Algebraické struktury se dvěma operacemi
Definice 1: Na množině M jsou definovány dvě binární operace * a o. Operace * jc distributivní vzhledem k operaci o právě tehdy, když platí
(V JT, }'. Z e M)[ (x O y) * z = (x * z) O {y * z)]     ... pravý distributivní zákon (PDZ) a
[z * (X O y) = (r * Jt) O (; * y)]   ... |evý distributivní zákon (LDZ).
Značíme * D O.
Příklad I Na množině M uvažujeme dvě binárni operace obyčejné sčítáni + a obyčejné násobeni     . Operace ' je distributivní vzhledem k operaci + právě tehdy, když platí: (Vjt, y, Z £ M)l (jr + ý) ■ Z= (JC   ■ z) + (y   ■ z)]     ... pravý distributivní zákon(PDZ)
A
\z  ■    (X + ý) = (z  ■  X) + (Z •   v)] ... levý distributivní ztton (I.DZ).
Značíme • D + . („Zákon o roznásobováni závorek")
Definice 2: Nechľ M je neprázdná množina, ve které jsou de linovány dvě operacemi) a Q
• Algebraická struktura (M,(±),0) se nazývá polookruh právě tehdy, když:
I,    Operace ©je ND a A a K II     Operace© je ND a A III.    Platí OD®
• Je-li operaceOnavíc K., pak polookruh (M, (i) ,0) nazýváme komutativní pulookruh.
• Pologrupu (M @ ) nazýváme aditivní pologrupa
• Pologrupu (M, G ) nazýváme multiplikativní pologrupa.
• Polookruh (M,4y. O), jehož aditivní pologrupa (M, Hř! ) je kumulativní grupou, se nazývá okruh.
• Je-li operace ;ľ> navíc K. pak okruh (M, ,'-f) , Q) nazýváme komutativní okruh.
• Nechť (M, @ , O) je okruh. Prvky a # O, b # O, a. b e M, pro které platí a3b = O, se nazývají děliteli nuly okruhu (M,>0).
• Komutativní okruh (M. +     ), ve kterém neexistují dělitelé nuly, se nazývá obor integrity.
• Okruh (M, © ,0), pro který platí, že (M - {0} ,£) je grupa, se nazývá těleso.
• Je-li operace j navíc K, pak těleso (M, + ,; ) nazýváme komutativní těleso.
Poznámka ľ. Uvažujeme polookruh (M, f^),Qy.
• ()pcrace © se nazývá s řiti ní. V zápise
a(t)h c
nazýváme prvky a. b sčítanci, prvek c nazýváme součet prvků a. b.
Neutrálni prvek nazýváme nulový prvek, značíme 0. Pokud k prvku a existuje prvek inverzní, nazýváme jej opačný nrvek k prvku o, značíme   a. F.xistuje-li prvek x, pro který plati b Q) x - a, nazýváme jej rozdíl prvků a. b a zapisujeme .v aOb.
V tomto zápise prvek a nazýváme menšenec. prvek b nazýváme menšitcl Pokud existuje prvek   b. pak plati x = aQ b = a®(-b). Operace Q se nazývá odčítání
•   Operace O se nazývá násobení. V zápise tiQb C
nazýváme prvek a. resp b I. činitel resp. 2. činitel, prvek c nazýváme součin prvků a. b. Neutrálni prvek nazýváme jednotkový prvek, značíme 1. Pokud k prvku a existuje prvek inverzní, nazýváme jej převráceny prvek k prvku a, značíme ^ nebo též a "'. Ľxistuje-li pro
prvky a. bíO prvek x, pro který plati ŕ í? x ^ a. nazýváme jej podíl prvků a. b a zapisujeme
x = <iQb nebo taky X ~. V tomto zápise prvek a nazýváme dělcnec (čitatel), prvek h nazývame mcnšitel I jmenovatel i Pokud existuje prvek -, resp. b"', pak platí x = aQ)b = j = a(j) - = aOb"'. Opcrace(?)se nazývá děleni.
Podíl prvků pro b - 0 nedefinujeme, neboť:
1 v případě, že a = 0. je řešením rovnice 0 ■ x = 0 každý prvek množiny M.
2 v případě, že a / 0. rovnice 0 ■ x■ = a nemá řešeni v množině M. Připad I. vede k tomu, že by dělení nebylo operací!
Příklad2: Určete typ algebraické struktury (P(M),U,n), kde M = {a, b}.
Schéma k Definici 2.
	operace a vlastnosti	algebraická struktura
	© ND a K a A	
	O ND a (K) a A	Polookruh
	Od©	(komutativní)
	0  ND a K a A a EN a El	
	O ND a (K.) a A	Okruh (komutativní)
	Od©	
	<+) ND a K a A a EN a El	
	0 ND a K a A	Komutativní okruh bez dělitelů
	Od©	nuly ■ Obor integrity
	Neexistují o#0, b± 0,a b e M.pro které platí aQb = 0.	
	(+) ND a K a A a EN a El	
	0   ND a (K) a A	
	Od©	Těleso (komutativní)
	(M - {0},O) je grupa, tj. na množině M - {0} je operace 0 ND a A a EN a El	
Příklady algebraických struktur číselných množin sc dvěmi operacemi
• N - {1, 2,3,4, ...} • množina všech přirozených čísel
• No - {0, 1, 2, 3, 4, ...} - množina všech přirozených čísel s nulou (množina všech nezáporných celých čísel)
• C - {.., -2, -1, 0,1,2,3.4,...} - množina všech celých čísel
• Q - množina všech racionálních čísel (zlomky)
• R - množina všech reálných čísel
Přiklad 2: Uvažujme binární operace obyčejné sčítání + a obyčejné násobení ■ v číselných množinách:
I. (N, +, • ) komutativní polookruh s jednotkovým prvkem
+      ... ND. a K a A a 6N a fit ... ND a & a A a EN a St e= 1
• D +
2. (No, +, ' ) komutativní polookruh s nulovým (e = 0) a jednotkovým prvkem (e= 1)
+      ... ND a K a A a EN a B e = 0
... NJ2 a KaAaEHa £i e= 1
D +
3. (C, +, ' ) komutativní okruh bez dělitelů nuly = obor integrity
+ ...NDaKaAaENaEJ e = 0
...NDa KaAaľNa H e = 1
■ D +
V množině C neexistují dělitelé nuly, tj. neexistují a + 0, b / 0, a, b í C, pro které platí a b = 0
4. (Q. +, " )■ (R, +, ' ) komutativní těleso
+      ... ND a K a A a EN a El e = 0
... ND a K a A a EN a El e= 1
D +
(Q - {0}, ' ), (R - {0}, • ) komutativní grupa, tzn. na množině Q - {0} a na množině R - {0) má operace ■ vlastnosti: ND a JC a A. a EN a El