Vlastnosti binárních operací: Definice : Binární operace ○ v množině M, která má vlastnost, že je definována pro každou uspořádanou dvojici [x,y] M x M, se nazývá operace neomezeně definovaná v množině M (zkráceně operace definovaná na množině M). Značíme ND. Symbolicky: ("x, y M)($ z M)[ x ○ y = z]. Definice: Binární operace ○ definovaná na množině M (je ND), se nazývá komutativní právě tehdy, když platí: (" x, y M)[ x ○ y = y ○ x]. Značíme K. Definice: Binární operace ○ definovaná na množině M, se nazývá asociativní právě tehdy, když platí: (" x, y, z M)[ (x ○ y) ○ z = x ○ (y ○ z)]. Značíme A. Definice: Nechť v množině M je definována binární operace ○. Existuje-li prvek e M, pro který platí: ("x M)[ x ○ e = e ○ x = x]. Pak se prvek e M nazývá neutrálním prvkem množiny M vzhledem k operaci ○. Značíme EN. Poznámka. Je-li operace ○ komutativní, pak v zápisu vlastnosti EN lze vynechat jedna ze dvou stran rovnosti x ○ e nebo e ○ x. Definice : Nechť v množině M je definována binární operace ○ a nechť e je neutrální prvek množiny M vzhledem k operaci ○. Prvek ā M nazýváme inverzním prvkem k prvku a M v operaci ○ v množině M právě tehdy, když platí: ā ○ a = a ○ ā = e. Jestliže ("a M)($ ā M)[ ā ○ a = a ○ ā = e], řekneme, že ke každému prvku množiny M existuje prvek inverzní vzhledem k operaci ○. Značíme EI. Poznámka . Je-li operace ○ komutativní, pak v zápisu vlastnosti EI lze vynechat jedna ze dvou stran rovnosti ā ○ a = a ○ ā. Definice : Říkáme, že binární operace ○ definovaná na množině M má vlastnost řešitelnost základních rovnic právě tehdy, když platí: ("a, b M) )($ x, y M)[ a ○ x = b y ○ a = b]. Značíme ZR. Poznámka. Je-li operace ○ komutativní, pak v zápisu vlastnosti ZR lze vynechat jedna z výrokových forem a ○ x = b nebo y ○ a = b. Definice: Nechť v množině M je definována binární operace ○. Existuje-li prvek g M, pro který platí: ("x M)[ x ○ g = g ○ x = g]. Pak se prvek g nazývá agresivním prvkem množiny M vzhledem k operaci ○. Určování vlastností operací I. Určených předpisem – přímým výpočtem II. Určených tabulkou: ND – tabulka zcela vyplněna prvky množiny M K – tabulka souměrná podle hlavní diagonály A – kromě výjimek nelze z tabulky přímo poznat – viz dále EN – existuje řádek a sloupec shodný se záhlavím tabulky EI – v každém řádku a každém sloupci tabulky je neutrální prvek ZR – v každém řádku i sloupci tabulky jsou všechny prvky množiny M Agresivní prvek g M poznáme tak, že v celém jemu příslušejícím řádku i sloupci se vyskytuje pouze prvek g. Užitečné vztahy: K Þ ND, A Þ ND, EI Þ EN (užívají se v obměněném tvaru) A Þ (EI Û ZR) Určování asociativnosti z tabulek: 1. Pohledem (velmi zřídka) 2. Ověřením všech možných trojic prvků (s využitím cvičení 9 – 13 v učebnici, s. 123 – 124) (těžkopádné a zdlouhavé) 3. Využitím obměny implikace A Þ ND a implikace A Þ (EI Û ZR) 4. Podle tvrzení: „ Operace, která splňuje EN Ù EI Ù ZR a současně není asociativní, existuje na množině o nejméně pěti prvcích“. Užití na příkladech: o a b c a b c a a a a a a a a a ad 1. Např. ad 3. Nejčastější případ – rozbor implikace A Þ (EI Û ZR). Je-li u EI a ZR rozdílná pravdivostní hodnota, pak operace není asociativní. Jsou-li u EI a ZR pravdivostní hodnoty 1, pak postupujeme podle bodu 4 (v písemných pracích jsou zadávány tabulky o maximálně čtyřech prvcích). Jsou-li u EI a ZR pravdivostní hodnoty 0, pak je nutno postupovat podle bodu 1 nebo 2. Zpravidla jde o bod 1, kdy určíme asociativnost přímo z tabulky. o a b c a b c a b c b c a c a b Má všechny vlastnosti. Př: Rozhodněte a zdůvodněte, které z vlastností ND, A, K, EN, EI, ZR má v množině M = operace určená tabulkou: ⁕ a b c ○ a b c □ a b c a b c a a b a b a c a c a a a a b c b a b c b c b a b c b b b a c c b c b c a c b c a b c c c b a ⁕: [DEL: ND :DEL] [DEL: K :DEL] [DEL: A :DEL] EN EI Ù [DEL: ZR :DEL] ○: ND [DEL: K :DEL] [DEL: A :DEL] [DEL: EN :DEL] [DEL: EI :DEL] Ù ZR □: [DEL: ND :DEL] [DEL: K :DEL] [DEL: A :DEL] EN EI [DEL: ZR :DEL] ■: ND [DEL: K :DEL] [DEL: A :DEL] EN EI [DEL: ZR :DEL] Př: V množině M = definujte tabulkou aspoň jednu binární operaci, která má vlastnosti: a) K [DEL: EN :DEL] b) ND [DEL: K :DEL] EN c) ND EN [DEL: EI :DEL] d) A [DEL: ZR :DEL] e) [DEL: K :DEL] EN [DEL: EI :DEL] f) EI ZR g) ND [DEL: A :DEL] EI [DEL: ZR :DEL] h) [DEL: A :DEL] EN EI Ù ZR[DEL: :DEL] a) a b c b) a b c c) a b c d) a b c a c a b a b a a a b a a a a a a b a c c b c b b b a c b b a a a c b c b c a b c c a b c c a a a e) a b c f) a b c g) a b c Nemá a a b a a b c a c a a řešení b a b c b b c a b a c b c c c a c c a b c a b c