«e%J M-tcL\Al.
•.i:_?u_=:-iJL
ďcM\=|S\íttftliiQ\A}} \ fl
W # hhuůúv®4\/
ť:--i-±i-ť-----.-i
ÁJ"iŤ.---.i
Í\DA
A. (SAC;| = CAn©) A (A.C})
íq\S;
NLř\±\A\E_N\EJ \ZRLR
&"JCw#~\AA\AC&Bio\#_B`#q
o*4
-i:.'-__i:-:č
n tcl! iAS ůÍ&l
Scl\
8 Í91 ! t4Q!
\E-tJ,ŽÍ,ZK
®
ft-An,®ncl=@nBlnc
c@"\,^\##Ů#=ft
M- tq ,At
•---:--:::*;::***:**_-**::*;:::*--_***:;_------:-:-:*-*:*----*--::-:*::*ri*:-:--:--
-AMď,
A Í`B = + =7 ^ = S V 8=4 CMťu, A= {at\ B=íAT\ .
#'Áí; &o~dQh~ cuft , ép^ú&mj MQ~ Jé&d€n. ":g],
@,@\©\
MúL 4ft #-
ů/rvu
y© (č!©21= A®
(y@á)®(y®z\ - 7
EN,,
A©D®
=y(1á+2z\=
Ťz = 2xd +2yz
©É= 1(1x
Y`® D;- y`
cJ=}++Q--- Y`
c©,®\ W, sth \
JzmcQJ ®
2ydů:
rLf+ť>*--PJr
©
®D®
3í(!9;+ř22a{2d#=j=+:#::q
zŘ,, _cu® X-An
A 1a-
---l-:-i--:=-----l:_-:-:=-:-_--:j:i---:-:_::-::l----_:-l--_i:::-:_-l:-_:-------:-:-::
=:::[T:T-:1::-i--T-:-=:-:--:::--:|-i-:----:=::::-::-:-:ii:-::-[i---L:-i---:-i::--:-:-:T---------
E-
E-
Homomorfismus a izomorfismus alg. struktur s Éednou oDerací
Motto: Morfismus j e zobrazení zachovávající operace.
Mějme dány dvě alg. struktury ÍG, o), (f7, E). Obě operace o, E musí mít vlastnost ND
(o ostatních vlastnostech nic prozatím nepředpokládáme), tzn. obě struktury jsou
minimálně grupoidy. Nechť/ je zobrazení celé množiny G do množiny H. Uvažujme
následující situaci (sledujte průběžně obrázek).
Ťt=F.Ů *
ů ff . ffi !
#:_i_. -:- :_.i_.*
V množině G zvolíme libovolné dva prvky x, );. Protože struktura (G, o) je grupoid,
určitě existuje v množině G prvek x o )/. Vzhledem k tomu, Že /je zobrazení celé
množiny G, má každý prvek množiny G svůj obraz v množině f7. Má ho tedy i prvek
x o }7, označíme ho/(x o )/). Z téhož důvodu mají v množině f7 své obrazy i prvky x, )/,
označíme je/(x), /0;). V množině fJje definována operace E, která je ND (struktura
(fz, E) je grupoid). Pak v množině fJ existuje prvek/(x) E /0;). Ten se může nebo
nemusí rovnat prvku/(x o )/). Z obrázku je vidět, Že rovnost
f (X o y»--f (x) rif U» ť6)
vypadá i z geometrického pohledu „hezky". Tato rovnost vyjadřuje to, co je mottem
tohoto textu: / je zobrazení zachovávající operace. Zobrazení / nazveme
homomorfismem, pokud výše uvedená rovnost (*) platí pro libovolnou dvojici prvků
množiny G. Nyní můžeme formulovat definici.
Definice 1: Nechť/je zobrazení množiny G do množiny f7, nechť (G, o), (fJ, E) jsou
alg. struktury (alespoň grupoidy). Pak zobrazení/nazveme homomorfismus (G, o) do
(fJ, H), jestliže platí:
CV x, y € G) f (x o yí) = f (x) ri f U» .
Poz#óm4cr / : Existuje několik typů morfismů. Liší se podle typu zobrazení/(může být
do množiny Z7 nebo na množinu fJ, může a nemusí být prosté, množiny G, fJ mohou být
různé nebo se mohou rovnat atd. Podle toho se před slovo morfismus dávají různé
předpony. Nejobecnějším názvem je homomorfismus, dále existuje monomorfismus,
epimorfismus, automorfismus, izomorfismus atd. Pro naše potřeby budeme později
definovat pouze izomorfismus.
Nyní se budeme se zajímat o to, jaké jsou vlastnosti operací o, E v případě, že existuje
homomorfismus struktur (G, o), (ZJ, E). Máme definováno celkem šest vlastností
operací: ND, K, A, EN, EI, ZR, přičemž vlastnost ND se u obou operací předpokládá
podle definice homomorfismu. Problém jejich přenášení řeší následující věta:
Věta 1: Necht'/je homomorfismus alg. struktury (G, o) do alg. struktury (fJ, E), tzn.
platí (V x, ); € G)/(x o };) =/(x) H /0/) . Pak platí: Jestliže operace o má některou z
vlastností K, A, EN, EI, ZR, pak má tuto vlastnost i operace E.
Tuto větu 1 nelze obrátit, vlastnosti obou alg. operací se tedy přenášejí pouze „zleva
doprava", ze „vzorové" struktury na „obrazovou" strukturu. Všechny vlastnosti operace
o má tedy i operace E, ta jich však může mít i více. Uvedeme příklad.
Přz'k/c7d /: Nechť G = {ď, Č), c}, j7 ={0}. Operace o, E jsou na množinách G, fJ dány
tabulkami:
Struktura (G, o) je grupoid, operace o májedinou vlastnost ND. Vlastnost A vyloučíme
protipříkladem c7 o (Čp o c) ± (cz o Čp) o c, neexistenci ostatních vlastností ověříme
pohledem na tabulku. Struktua (H, E) je komutativní grupa, přestože obsahuje jediný
početní spoj 0 E 0 = 0. Platnost všech vlastností operace E lze určit přímo z tabulky.
Definujeme-1i nyní zobrazení/předpisem//c7j =0, //Z>/ = 0, /rc) = 0, je zřejmé, Že se
jedná o homomorfismus, protože struktura (fJ, E) obsahuje pouze jediný prvek. Vidíme,
Že může existovat homomorfismus „obyčejného" grupoidu na komutativní grupu.
Nyní uvedeme dvě věty upřesňující větu 1. Týkají se vlastností EN a EI.
Věta 2: Nechť/je homomorfismus alg. struktury (G, o) do alg. struktury (ZJ, E), tzn.
platí (V x, y € G)/(x o )/) =/(x) E/O;) . Jestliže operace o má vlastnost EN, pak má
tuto vlastnost i operace E. Označíme-1i neutrální prvek operace =o jako é7/ a neutrální
prvek operace E jako é72, platí //ej/ = é72. Obrazem neutrálního prvku operace o je
neutrální prvek operace E.
Věta 3: Necht'/je homomorfismus alg. struktury (G, o) do alg. struktury (fr, D), tzn.
platí (V x, y € G)/(x o );) =/(x) H/0;) . Jestliže operace o má vlastnost EI, pak má tuto
vlastnost i operace H. Necht' cz € Gje libovolný prvek, necht' cr` € G je inverzní prvek
k prvku cť v operaci o. Pak platí/Ícz-'/ = ffícz//-'. Obrazem inverzního prvku k prvku cí
v operaci o je inverzní prvek k obrazu/Ící/ v operaci H.
Pozrikcz 2.. Nyní již můžeme přistoupit k definici pojmu izomorfismus. Nejprve
připomeneme potřebné pojmy. Zobrazení / množiny G do množiny H se nazývá
vzájemně jednoznačné (bijektivni'), jestliže je prostým zobrazením celé množiny G na
celou množinu H. Pokud takové prosté zobrazení množiny G na množinu fJ existuje,
říkáme, Že množiny G, fJjsou ekvivalentní a píšeme G ~ fJ. Připomeňme rovněž, Že
ekvivalentní konečné množiny musí mít stejný počet prvků.
Nechť existuje prosté zobrazem' / celé množiny G na celou množinu fJ. Potom
inverzní zobrazení / -' je rovněž prostým zobrazením celé množiny H na množinu G
(odtud plyne název vzáj emně jednoznačné zobrazení).
Definice 2: Nechť /je vzáiemně iednoznačné zobrazení množiny G na množinu fJ,
nechť (G, o), (fJ, E) jsou a-lg. struktury (alespoň grupoidy). Pak zobrazení/nazveme
izomorfismus (G, o) na (ZJ, E),jestliže platí: (V x, }; e G)/(x o )/) =/(x) E/0/). Píšeme
(G90)--(H,r=).
Ve smyslu předchozí poznámky platí: Je-li/izomorfismus (G, o) na (H, E), je také
zobrazem' / -' izomorfismem (f7, E) na (G, o). Proto u izomorfismu algebraických
struktur nezáleží na pořadí těchto struktur; říkáme, Že algebraické struktury (G, o) a
(fJ, E) jsou izomoríhí.
Věta 4: Nechť (G, o), (fr, H) jsou struktury (alespoň grupoidy), nechť (G, o) = (ff, H)
(tj. obě struktury jsou izomorfhí). Pak platí:
1. G -H.
2. Má-1i jedna z operací o, E některou z vlastností K, A, EN, EI, ZR, má tuto vlastnost
i druhá z těchto operací. Obě operace mají tedy tytéž vlastnosti.
3. Obě algebraické struktury (G, o), (fJ, E) jsou téhož typu.
Přz'k/crcý 2: Necht' G = {cz, b, c, d}, H ={/, -/, z., -z.}. Operace o, . jsou na množinách
G, fJ dány tabulkami:
0 abcd
a abcd
b badc
C cdba
d dcab
Pro úplnost doplníme informaci, Že množina j7je množina všech řešení rovnice x4 = /
v oboru komplexních čísel, tedy množina všech čtvrtých odmocnin z čísla 1. Operace .
na možině ZJje pak „obyčejné" násobení v oboru komplexních čísel. Čtenáři, který
není seznámen s komplexními čísly, postačí vědět, že z. . z. = -/. Ostatní spoje v tabulce
alg. struktury (fJ, .) sejiž snadno doplní s využitím znalosti násobení v oboru jR reálných
čísel.
Zkoumáním vlastností operací o, . zjistíme, že obě tyto operace mají všechny
probrané vlastnosti K, A, EN, EI, ZR, tzn. obě algebraické struktury (G, o), (fr, .) jsou
komutativní grupy. Definujeme-li nyní vzáj emně j ednoznačné zobrazení / množiny G
na množinu frpředpisem/ÍczJ = /, /ÍziJ = -/, /Íc/ = J., /Í#/ = -z., snadno se přesvědčíme
pohledem na tabulky, že toto zobrazení je izomorfismus, tedy platí vztah
(G, o) = (ZJ, .). Prvky v obou tabulkáchjsou totiž „konfigurovány" úplně stejně; prvek
a je na stejných místech jako číslo j (podle věty 2 je předpis/Ía/ = / vynucený, oba
prvky jsou ve svých strukturách neutrální), prvek Ó je na stejných místech jako číslo -/,
prvek c je na stejných místech jako číslo z. a prvek cýje na stejných místech jako číslo -z..
V tom mj. tkví podstata izomorfismu: i když obě algebraické struktury jsou fomálně
různé (mají různé nosné nmožiny a různé operace), „počítá" se v nich přitom podle
stejných pravidel, protože obě tabulky obsahují čtyři prvky rozmístěné úplně stejně. Je
to i další doklad toho, Že obě izomorfní struktury musí být téhož typu.
Přz'k/czcý 3: Nechť jr označuje množinu všech kladných reálných čísel, nechť jR je
množina všech reálných čísel. Uvažujme algebraické struktury (j[+, . ), (R, +). Obě tyto
struktury jsou komutativní grupy (operace . , +jsou „obyčejné" násobení a sčítání
reálných čísel). Zobrazením/množiny jr na množinu j[ necht' je reálná funkce jedné
proměmé /rx/ = /# x pro každé xE R+. Jak je známo ze střední školy, logaritmická
funkce je definována pro všechna kladná reálná čísla a jejím definičním oborem je
množina všech reálných čísel, přitom je prostá v celém definičním oboru. Pro funkci
//x/ = /# x platí vztah /Íx . }!/ = /# Íx . ){/ = /# x + /# )/ =/Íx/ +/r){/. Logaritmická funkce
je tedy izomorfním zobrazením (R+, . ) na (R, +), platí (R+, .) = (R, +).
Jestliže existuje izomorfní zobrazení/rx/ = /73 x grupy (R+, . ) na grupu (R, +), existuje
také inverzní izomorfní zobrazení/-` grupy (R, +) na grupu (R+, .). Tímto zobrazením
je reálná funkce/Íx/ = ex. Vskutku, exponenciální funkce je prostá a je definována pro
všechna reálná čísla a jejími funkčními hodnotami jsou pouze kladná reálná čísla,
přičemž platí vztah ex + y = ex . eJ'.
Přz'k/czd 4.. Necht' A4= {/, 2, 3}. Označíme o, Ó, c, c7, e/ všechny pemutace množiny
Á4: Množinu těchto permutací označme P.
•--(:
c-(:
:), o - (í
:), d - (í
:), b - (:
:), /-(:
Nekomutativní grupa pemutací množiny n4 s operací skládání pemutací je určena
tabulkou:
Nechť 4Bc j e rovnostranný trojúhelník. Všechna shodná zobrazení, která převáděj í
tento trojúhelník na sebe, označíme následuj ícím způsobem:
i . . . identita
oi . . . osová souměmost podle osy strany 48
o2 . . . osová souměmost podle osy strany BC
o3 . . . osová souměmost podle osy strany 4C
ri . . . otočení o +60° podle středu trojúhelníka
r2 . . . otočení o -60° podle středu trojúhelníka
Množinu všech těchto zobrazení označíme S.
Grupa skládání těchto shodných zobrazení s operací skládání zobrazení je dána
tabulkou:
Definujme nyní zobrazení/. P + S takto:
/-(, oal
bcd
o2 o3 r|
Toto zobrazení je izomorfismem, platí tedy ÍP, o / = ÍS, o /.
Srovnejme nyní všechny permutace množiny A4 a všechna shodná zobrazení
z množiny S určená výčtem:
z.-(á 8 8), ol-(g
03-(á g í), rl-(š
g), o2 - (á
á), r2 - (é
Ztotožníme-1i 4 ~ /, 8 ~ 2, C ~ 3, vidíme, Že šest pemutací tříprvkové množiny přesně
odpovídá šesti shodným zobrazením, převádějícím rovnostranný trojúhelník na sebe.
Homomorfismus a izomorfismus alg. struktur se dvěma operacemi
Tato část bude velmi krátká. Stručně ji můžeme charakterizovat takto: Jedná-li se o
algebraické struktury se dvěma operacemi, musí být definice homomorfismu (resp.
izomorfismu) splněna pro obě dvě operace. Pro každou z nich pak platí všechno, co bylo
uvedeno v první části zaměřené na homomorfismus a izomorfismus struktur s jednou
operací. Proto uvedeme pouze definici, větu a příklad.
Definice 3: Necht' (G, © , 0), (ZJ, EE , E]) jsou algebraické struktury se dvěma operacemi.
Necht' / je zobrazení množiny G do množiny f7. Pak zobrazení / nazveme
homomorrismus (G, © , 0) do (f7, EE , E), jestliže současně platí:
(i) (V x, y E G)/(x ® };) =/(x) EE]/0;) ,
(ii) (V x, y € G)/(x 0 )/) =/(x) E /0;).
Je-li / vzájemně jednoznačné zobrazení množiny G na množinu fJ, nazývá se
izomorfismus (G,®,O) na (j7, EE,E]), píšeme (G,®,O) = (Zr, EI],H).
Věta 5: Necht' (G, ® , 0), (fr, EE , H) jsou algebraické struktury, necht' pro tyto struktury
platí (G, ® , 0) = (fr, EE , H) (tj . obě struktury jsou izomorfní). Pak platí:
L. G -H.
2. Obě algebraické struktury (G, ® , o), (Z7, EE , E) jsou téhož typu.
Přz'4/cyc7 J: Necht' (Z, +, .) je obor integrity všech celých čísel s operacemi sčítání a
násobení, nechť (9, +, .) je těleso všech racionálních čísel s operacemi sčítání a
násobení. Pro každé celé číslo # definujme zobrazení celé množiny Z do množiny g
předpisem//#/ = : . Pak toto zobrazení je homomorfismem oboru integrity (Z, +, .) do
tělesa (0 +, .), o čemž se snadno přesvědčíte rozepsáním. Protože zobrazení/je prosté,
říká se tomuto homomorfismu též vnoření. Můžete se proto setkat i s tvrzením, že se
jedná o vnoření oboru integrity do tělesa.