Vlastnosti binárních oi)erací: De/7?z.cG .. Binámí operace o v množině M, která má vlastnost, že je definována pro každou uspořádanou dvojici [x,)/] E M x M, se nazývá operace neomezeně definovaná v množině M (zkráceně operace definovaná na množině M). Značíme ND. Symbolicky: x, )/ € M)(] z E M)[ x o )/ = z]. Déý?ýž7%.cG.. Binámí operace o definovaná na množině M Ce ND), se nazývá komutativní právě tehdy, když platí: jx, )/ € M)[ x o ); = ); o jx]. Značíme K. DG#73z.cé?.. Binámí operace o definovaná na množině M, se nazývá asociativní právě tehdy, když platí: jx, );, z € M)[ (x o );) o z = x o Ó; o z)]. Značíme A. Déý! ?73z.cG.. Necht' v množině M je definována binámí operace o . Existuje-1i prvek é? e M, pro který platí: x € M)[ x o é? = e o x = x]. Pak se prvek G E M nazývá neutrálním prvkem množiny M vzhledem k operaci 0. Značíme EN. Poz7?ó77€Áflí. Je-li operace o komutativní, pak v zápisu vlastnosti EN lze vynechat jedna ze dvou stran rovnosti x o é? nebo é? o x. DG##z.cé? .. Nechť v množině M je definována binámí operace o a necht' é! je neutrální prvek imožiny M vzhledem k operaci o . Prvek Č € M nazýváme inverzním prvkem k prvku cz e M v operaci o v množině M právě tehdy, když platí: á o a -- a o á = e . Jestliže (cz E M)(] Ó € M)[ Ó o cí = cz o ó = é?], řekneme, že ke každému prvku množiny M existuje prvek inverzní vzhledem k operaci o. Značíme EI. Poz7ecžm% . Je-li operace o komutativní, pak v zápisu vlastnosti El lze vynechat jedna ze dvou stran rovnosti Č o cz = cz o Č. Déý7 ?J?z.ce .. Říkáme, že binámí operace o definovaná na množině M má vlastnost řešite]nost základních rovnic právě tehdy, když platí: cz, b € M) )(E x, ); € M)[ cz o x = b ); o cz = b]. Značíme ZR. Poz73óm4cz. Je-li operace o komutativní, pak v zápisu vlastnosti ZR lze vynechat jedna z výrokových forem cř o x = Ó nebo )/ o cí = Č7. Déý? ?7cz.cé?.. Necht' v množině M je definována binámí operace o . Existuje-1i prvek g E M, pro který platí: x € M)[ x o g = g o x = g]. Pak se prvek g nazývá agresivním prvkem množiny M vzhledem k operaci o . Určování vlastností operací 1. Určených předpisem -přímým výpočtem 11. Určených tabulkou: ND - tabulka zcela vyplněna prvky množiny M K - tabulka souměrná podle hlavní diagonály A -kromě výjimek nelze z tabulky přímo poznat -viz dále EN -existuje řádek a sloupec shodný se záhlavím tabulky EI -v každém řádku a každém sloupci tabulky je neutrální prvek ZR -v každém řádku i sloupci tabulky jsou všechny prvky množiny M Agresivní prvek g E M poznáme tak, Že v celém jemu příslušejícím řádku i sloupci se vyskytuje pouze prvek g. Užitečné vztahy: K 3 ND, A j ND, EI 3 EN (užívají se v obměněném tvaru) A 3 (EI O ZR) Určování asociativnosti z tabulek. 1. Pohledem (velmi zřídka) 2. Ověřením všech možných trojic prvků (s využitím cvičení 9 -13 v učebnici, s.123 -124) (těžkopádné a zdlouhavé) 3. Využitím obměny implikace A j ND a implikace A j (El e ZR) 4. Podle tvrzení: „ Operace, která splňuje EN ^ EI ^ ZR a současně není asociativní, existuje na množině o nejméně pěti prvcích". Užití na příkladech.. ad 1. Např. ad 3. Nejčastější případ -rozbor implikace A j (El e ZR). Je-1i u El a ZR rozdílná pravdivostní hodnota, pak operace není asociativní. Jsou-1i u El a ZR pravdivostní hodnoty 1, pak postupujeme podle bodu 4 (v písemných pracích jsou zadávány tabulky o maximálně čtyřech prvcích). Jsou-1i u El a ZR pravdivostní hodnoty 0, pak je nutno postupovat podle bodu 1 nebo 2. Zpravidla jde o bod 1, kdy učíme asociativnost přímo z tabulky. 0 abc a abc bC bca cab Má všechny vlastnosti. Př: Rozhodněte a zdůvodněte, které zvlastností ND, A, K, EN, EI, ZR má v množině M = {cz, Ó,c} operace určená tabulkou: # a b C a a b b a b C C b C b 0 a b C a b a C b C b a C a C b #: iH} ^ K ^ A ^ EN ^ EI ^ ZR o: ND ^ K ^ A-^EN ^ H ^ ZR E: ĎH) ^ K ^ A ^ EN ^ EI ^ ZR 1: ND ^ K ^ A ^ EN ^ EI ^ ZR I a b C a C a a b C b C a b C I a b C a a b C b b a C C C b a Př: V množině M = {cz,ó,c} definujte tabulkou aspoň jednu binámí operaci, která má vlastnosti: a)K^EN b)ND^K^EN c)ND^EN^El d)A^ZR e) K ^ EN^ H f) EI ^ ZR g) ND ^ A ^ EI ^ ZR h) A ^EN ^ EI ^ ZR a) a b C a C C b b a b C C b C b e) a b C a a b b a b C C C C a b) a b C a b a a b C b b C a b C Í) a b C a a b C b b C a C C a b c) a b C a b a a b a C b C a b C g) a b C a C a a b a C b C a b C d) a b C a a a a b a a a C a a a Nemá VV, reseni Algebraické struktury s jednou operací DG#73z.cG 9.. Uspořádaná dvojice (M, o), kde M je neprázdná množina, ve které je definována binámí operace o, se nazývá algebraická struktura s jednou operací. Přz'k/cic7 9: Příklad algebraických struktur: (N, +), (@, -), (Q I {0}, :), (R, .); (M, o), kde množina M = {a, b, c} a operace o je určena tabulkou. Definice 10 : 11. 111. Algebraická struktura (M, o) se nazývá grupoid právě tehdy, když operace o je neomezeně definovaná v množině M (ND). Grupoid (M, o), jehož operace o je asociativní, se nazývá podgrupa (ND, A). Pologrupa (M, o) taková, Že v M existuje neutrální prvek vzhledem k operaci (M, o) a ke každému prvku cz € M existuje prvek inverzní Č e M, se nazývá grupa (ND, A, EN, EI). Poz73cím% 6. Jestliže v případech 1.,11.,111. je operace o komutativní, pak hovoříme o 1. Komutativním grupoidu 11. Komutativní pologrupě 111. Komutativní grupě Schéma k Dé? JO: Vlastnost operace o A]gebraická struktura (M, O) ND Grupoid ND^K Komutativní grupoid ND^A Pologrupa ND ^ A ^ K Komutativní pologrupa ND ^ A ^ EN ^ EI Grupa ND ^ A ^ EN ^ EI ^ K Komutativní grupa Poz7€címÁcz.. Operace v grupě má vždy také vlastnost ZR. Plyne z implikace A j (EI A -S EH AE c±ť= A T-= S •c Í SJů /,^ E*_ů 9 H =7 Á = B VLASTNosT\ ~ UR8ENY~C,H c>PERAcl FŘEDP15EM ® ND á Fff CxŮ€z=7x+ďMGz) A#%bl*-- •p-xo®-čo(#) EN; xX+°=+=AX=x \-y JL = - A E\: xoÝ=-4 x+Ť+/ --4 -_ - y_-f L zR\; o.ox-A cl+yí+^-ft Et\: \0 X +JL-9 =X LX JL = Í3 E\i koÝ=3 *+-*-%--r3> -*=-y+G = (x+ď4)+z+4€ X+ďz+2 L=p = Ý +(ďz+4\ +4 = x+(Tz+2 zk: Xo(~4)= Ý+(~4)+42X Ž.k' y ® (-Y-2\ = *+ (-y-2)+ A --, 2k.=Qií?A-=-ti4!^=\h = ol+A -cl-4 +^ = A Žnám~n AĚÉC5\$7z®R\ ND ft- _ +y:-3 yuf 5rJ-á Tf L t#`;}2+~z3;?3==x+xá++á+~zG_GL=p Ží\,, o"X-A ti+x-g=A x = A-cL +3 A„doúuvfáur © __.`'_\ `>7 -`=:--+-=-` Ťl-ň_# •y` * 9- - y: rL} - 9 ---, Y` JL =L X r-R_ crjójri Nstř o_J*y`--F> rrfJ=Y`--fl> - 2cR-fl f lJ7€ Y -- y` rLg--ř --y- fi9-9i ^w-^- ",L ťcý2riIs =l_-ť _ .=..\, z=-\í 5-,Ti `* #&cr taÁ#d-A-rŇ oá=ú-flL7x-2dďů~&`# ^u_- Ť=T/,Tiy.;: ri " N.rfi.Cfvv` U Y\o D--Y` y~1Q,=X Ly k--O y_2tď2\ = X~2a++2 L±P =tx-2a)_2Z=X~2d-22 flJoy`--y` J2,-rLft-Y` f L=r5ri fiLTUójri r~ř cL O * -- f lT ?l-:i`T--i=- 2- ------_T_--:-l-]---:---::-T_-- `T`::_ = 2n+u z3sišzE±±TE±.- „`-MJQA-- ".olc^ E/(Q'o\ ol o fl = cL+A # L=t}o#\oC= Fr, © 9iS é; © 1 L-P =flocP = CLoCAOG`= Cio 0. o J2, - CI C=l==cLrl c}+&-1cl J_L_=9_=_ k 77JáJJ* r-& cl+A 2L +c 2- A+c 0`+i 2A o Cl- CI J+L+Q-cl J2. - Cl clo%-fl Q± - ft- 1 X=2Qr-cl eQ o1 x A - Q-o-fl NĎ +ol~ Q\A^€Q^=T= o1 +JL + 1 c, + 1ci+fl+c #Áoatstti®ui-"á,h ``J' 'r-- cL*A=2Lafl\ fl*cl=2A-CL Á<®®ť=ťá+»*c=r±q*g„t2„`®c=qQAc_ ^ \ ' P = `tiŤ C&*c\ = ~Qť_* ggp * q. * C2Ac\ .= h ů -:----- :--:-: :-: :-:]-_--- nÁá:Qú r&' -=T_=:_-______i_ Á :/ C} * JL - Cl cLJL = JL 01 _^-',- 2 Cl * 0` \ ; cL , Cl+o -?6:=+fl QF