Kapitola XII. PRŮBĚH FUNKCE § 50. P&BHLSD ZÁKLADNÍCH ÚLOH. V VIII.kapitole o grafech funkci jsme na základnich případech poznali,jak možno z grafu funkce vyčíst její základní vlastnosti,zvláště okolnosti,charakte-risující její průběh v celém definičním oboru nebo aspoň v některém jeho intervalu.Přitom bylo zdůrazněno,že při výhradně grafickém vyšetřování průběhu funkce přicházíme jen k přibližným výsledkům,jež vznikají měřením nebo často také jen odhadem. Nyní jsme již vyzbrojeni znalostmi a dovednostmi,které nám umožní dospět výpočtem k přesným výsledkům pro vyšetřovaní vlastností funkce v okolí určitého bodu nebo v celých intervalech.Povede nás k tomu jednak pojem limity funkce,její význam a výpočet,jednak pojem derivace funkce v bodě,její význam a vypočet. Přehled základních úloh o funkci a jejim grafu je na stranách 119 a 120 i s poznámkami k řešení těchto úloh užitím funkční rovnice,limity funkce a užitím derivace funkce.U většiny úloh hledáme určitá x nebo množiny čísel x,pro která je splněna jistá vlastnost funkce.Přitom tato x obdržíme jako řešeni rovnic nebo nerovností,jež sestavujeme z funkce nebo z jejich derivaci. Pro funkci hlavně určujeme i 1) Definiční obor funkce. 2) Intervaly def.oboru,v nichž má funkce hodnoty kladné nebo záporné. 3) Intervaly def.oboru,v nichž funkce roste nebo klesá (intervaly monotónnosti ). 4-) Lokální extrémy funkce: a) x vedoucí k lokálním extrémům, x^^ , xmiri b) extrémní funkční hodnoty, ymgx , ymin Pro graf funkce určujeme : 1) Charakteristické body,případně jejich tečny . 2) Asymptoty V následujícím vymyšleném grafu jsou zobrazeny charakteristické body,jež se vyskytují v základních případech. - 117 - i:r^i' uhlový bod i: -Jii "uhlový bod Fro stručný zápis výsledků zavedeme si označeni a V ,.horní vrchol , H ,, horní "bod vratu (hre-. , V ,, dolní "vrchol , H dolní "bod vratu (hrot. , Souřadnice x bodů V , H , U vede k lokálnímu laxiz. f-lzkzt , souřadnice x bodů V . H , U vede k lokálnímu ainizu , —-J , inflexní bod,jehož tečna je rovnoběžná s osou x , /J , inflexní bod,jehož tečna je různoběžná s osou x , f J , inflexní bod,jehož tečna je rovnoběžná s osou y . N , nulové body (průsečíky grafu s osou x) V následujícím vymyšleném grafu jsou zobrazeny různé asymptoty.Jro polohu asymptot vzhledem ke křivce je zvoleno označení,které se připojuje k rovnici asym- A\ /y ■ mx+n / J / * \ S—"N. 1 ' ž7 1 / 1 / i V i Asymptoty rovnoběžné s osou y : Obr.38 . ,v , Asymptota rovnobežná s osou x > x = a, +|+ ; x = b, _|_ ; x = c, _|+ y = q , -- Různé polohy křivky k asymptotě rovnobežné s osou x t y = 0 , - + y = 0 ; y= ^jT- » S(x) > 0 \/g(x) y= ln g(x), g(x)>0 ; y= ^n g(x)i g(x) >0,g(x)j£L y= aresin g(x) , y= arccos g(x), -1 < g(x) < 1 v- u^x) průnik def.oborů funkcí u(x), v(x) y= vtxT * bez reál.kořenů rovnice v(x) = 0 Množina bodů osy x,pro něž existují body grafu 2 odstranitelné I.druhu ... Body nespojitosti II.druhu ... Pro x = a , v němž •.. funkce není definována a má vlastní limitu , ...obě jednostranné limity existují a jsou různé, tj.: lim f(x) = A , lim f(x) = B , A 4 B x-*- a- x-*- a+ ...aspoň jedna jednostranná limita neexistuje nebo je nevlastní. Souřadnice x bodů grafu, v nichž nastalo prerušení souvislého průběhu grafu. 3 Hodnoty proměnné x,jež vedou a) k dané funkční hodnota h b) k nulovým bodům funkce a) Kořeny rovnice f(x) = h b) Kořeny rovnice f(x) = 0 Souí. x průsečíku grafu a) s přímkou y = h b) s osou x h Intervaly proměnné x pro a) kladné funkční hodnoty b) záporné funkční hodnoty a) Řešení nerovnosti f(x) 0 b) Řešení nerovnosti f(x) < 0 části osy x a) nad nimiž jsou body grafu b) pod nimiž jsou body grafu 5 a) Intervaly růstu b) Intervaly klesání a) Řešení nerovnosti f'(x) > 0 b) Řešení nerovnosti f'(x) < 0 části osy x,jimž přísluší a) stoupající část grafu b) klesající část grafu 6 Lokální extrémy a) lokální maximum b) lokální minimum 1) Pro x , jež splňuje : f'(x) =0 a a) f"(x)<0 (nebo f'= f " = ... .f ^^^O.f (k>< 0) b) f"(x)>0 (nebo f'= f" = ....f(k-1)=0,f(k)> 0) pro k sudé 2) Pro x , v němž existují různé jednostranné a) vlastní derivace b) nevlastní derivace Body,jichž tečna t // x a a) graf leží pod tečnou (horní vrchol) b) graf leží nad tečnou (dolní vrchol) a) Úhlový bod grafu b) Bod vratu 3 tečnou t // y ? a) Intervaly konvexnosti b) Intervaly konkávnosti a) Řešeni nerovnosti f'^(x) > 0 b) Řešení nerovnosti f "(x) < 0 a) konvexní část grafu b) konkávni část grafu os. Úloha o grafu funkce y = f(x) Sešení úlohy a Směrnice tečny, rovnice tečny a normály v bodě (xQfy0) \ = f'(xD) ; y- y0 = f'(xQ).(x- xQ) ; y- yQ = .(x- xQ) f txo; 9 /o Inflexní body s tečnou rovnoběžnou s osou x různoběžnou s osou x Pro x , jež splňuje : f'UU 0 a f-(x)= 0> f"^o,(nebo,f'í.....f*"1^,^) é 0 f 0 pro k liché Body,jichž tečny jsou rovnoběžné s osou y a) inflexní body • b) bod vratu H nebo H • Pro x=a, v němž první derivace není definována a v němž a) lim f'(x)= +00, lim f'(x)= +oo ; limf'(x)= -co ,limf'(x)= -co x-*-a- x—-a+ a- x-»a+ b) lim f'(x)= +oo, lim f'(x)= -oo ; limf'(x)= -co ,limf' (x) = +oo x-«- a- x-»- a+ x* a- x-— a+ Asymptota rovnoběžná s osou x y = A , když existuje vlastní limita lim f(x) = A x-»- 00 12 Asymptota rovnoběžná s osou y x = a , když funkce f(x) není v bodě a definována a když aspoň jedna jednostranná limita je"nevlastní. 13 Asymptota různobě žná s osou x i s osou y y = kx + q. , když konstanty k , q jsou určeny limitami -k = lim ŽÍSŽ , q = lim/~f(x) - kx 7 X-*- +00 X-i" +00 (při oo olatí současně norci cebo doini .•.ii/ujk-iiIi.. i Asymptota různobě žná s osou x i y , je-li zároveň tečnou v nevlastním bodě. y s kx + q , když konstanty k , q jr.ou .si ■■■> i ui.i < mih , k = lim f '(x) , q r. .1 in:/" > í. -e > .-,.''« i X-*- +00 x «■- i Shrnutí. Pro náčrtek grafu funkce určujeme : Charakteristické body (vrcholy, bod;* :• n ľ l omm , i-<..iv v >~:íIm , uM l ov<:-body ,iiulovi; body, lxj(jtv uoupojitusti ) «' viz úlohy 2,5,6,9» 10 Tečny v bodě viz úloha 8 Asymptoty viz úlohy 11 - 14- § 31» ALGEBRAICKÉ iTPNKCS. I. Raclonálni_funkce_celé. Racionální funkce celé (mnohočleny,polynomy) jsou definované a spojité pro každé x.Jsou-li stupně n-tého,pak může existovat nejvýš (n-1) hodnot proměnné x, jež vedou k lokálním extrémům,Tato x jsou současně hranicemi intervelů monotónnosti. irafem racionální funkce celé n-tého stupně (n > 2) je tzv.,,vyšší parabola", která může mít nejvýš (n-1) vrcholů a nejvýš (n-2) inflexních bodů. 'Při výpočtech se setkáme s řešením algebraických rovnic a nerovností vyšších stupňů.Viz III. a IV. kapitola.Některé z nich se nám zatím nepodaří rozřešit. 233.cvičeni.Pro dané funkce určiti lokální extrémy,intervaly monotónnosti,charakteristické body grafu a náčrtek grafu. a) y= 2x5-9x2+12x+l, f V(l,6) , V(2,5) , /J( |,5j) J i b) y= 3x4-^x5, C V(l,-1), —^(0,0) , /J2( |,- ^ ) J; c) y= x^-3x2+3x+3 , ,/~-*-J(l,4-), funkce je v int.(-oo ,+co ) rostoucí_7 ; d) y= x^x5^^^,/- v4,-3^|), V(-l,-9), 1(2,-9), /J^iigS,^),/J2(i^2,)7; e) y= (x-l)2.(x+i)5, C V(|,y^l,l),V(l,0),W1(-l,0),/J2(i^5,35),/J3(i=íl,^)_7; DESÍTKA ÚLOH čís. 38 ! Úkol předešlého cvičeni provedte pro funkce t l)y= x^-5x2+3x+> , CU\,^)t 1(3,-*), /J( |, §°,) .7; 2)y= Jx5-3x+l , fvi-2,5), v(2,-3), /J( o, 1) 7 ; 3)y= 1 + x - x3, r-( ^25,, v(-í|,±f2), /J( o, D _7; *)y= x4- 4-7?+ 4x2, rV(l,D, 1(0,0), V(2,0),/J1(^2,3i), /J2(^.í) -7; =)y= x4- 2x3-ŕ 1 , Tíí ^(0,1), /J2(1,0) _7 ; S)y-- K ♦ x? , Tlí-Í.-6!). ^(0,0), /J2(-2,-4) _7 i ?)y= x5-5x4+10x3~10x2+ 5x-4,^""-«-J(l,-3), funkce je v int.(-co ,+oo) rostoucí _7 ; 3)y= ^"V(-l,-4) je tzv.plochý bod J \ -1+V5 9)y= (x«ir.(x-i)5 , i/-V(-l,0),VÍ^,yS-l,l),-*-J1(l,0), /J2j3 (—5—.y2,3)_7 L0)y= (x-l)2.(x+2)3 , Z" Ví^.yiS^.va.O^J^.O), /J2tJ( -2+3V5 II. nacionálni funkce lomené. 1. Racionálni funkce lomené y = , jichž jmenovatel Q(x) nemá reál.kořeny ( Q(x) není pro žádné reálné x roven nule ). Tyto funkce jsou definovány a spojité pro každé x. íechí je P(x) stupně n-tého a Q(x) stupně m-tého.Pak pro n < m mají grafy uvalovaných funkcí asymptotu totožnou nebo rovnoběžnou s osou x. Je to přímka y = q, Cde q . limglf- . x-*- 00 ' následujících cvičeních a desítkách úloh určiti pro dané funkce lokální extrémy, jitervaly monotónnosti,charakteristické body grafu a náčrtek grafu. tt* některé případy bude třeba načrtnout graf funkce bez všech možných inflexních >odů,nebo£ k určení jejich souřadnic x vede rovnice vyššího stupně nám známými me-;odami neřešitelná.Ve výsledcích bude zapsáno J(x -3x+l=0). - 121 - 23^.cvičeni. asymptota: a) y= 3i— , /."V(o,D, /Jx( 2|, |), /J2(^, |) , 7=0,— _7s b) y=-^^ž- , ^fvC-1,1), V(ls-1), /J,(0,0), /JpCV?,- ^|),/J,(-VS,%,ysO,:=--r .7; o)ya \+x+1, /"v(i,5),v(-i, ib./JCx^x+i^) y=isr-^„7 1 x -x+l " * 7 ,--------------------------1 i DESÍTKA ÚLOH čís. 39 i Dy= , Z"V(o,2), /Jxcy|, f ), /J2(-Vf. i ); y=o,— J 2)y= —í-j , ^V(l,|), V(-l,- |), /J^O.O), /J2cVj,^),/J3(-\^,^|2),y=0,=—t J 5) y= -I—- , nco.o), /Jx( J), /J2C- 2|, J >; 7=is— 7 *)y= ,yi7),V(l+V2,y= fj), JCj^-^-Ex+IsO); 7=1,=—y _7 7) y= » ^(-1,2Í), V(l,-3), J(x3-3x+l=0); 7=1,=-—; J x - x+l p 8) JX ^^,A(0,»), V(-2,2Í), J(x3+3x2-l=0); y=3,r~t _7 x^+x+l -5 9) y= £ V , rv(i,2), V(-l,-2), /^(O.O); 7=o,r-±>7 ^+. xl je vlastni, nebo bodem nespojitosti 2.druhu(když v( ^ x"*xi *w lim je nevlastni , " připadne jen jednostranná. V případě nespojitosti 2.druhu je přímka x = asymptotou grafu funkce. Platí-li o stupních mnohočlenů P(x) , Q(x) opět n < m , pak grafy těchto funkcí mají asymptoty rovnoběžné s osami souřadnic. V příkladech následujícího cvičení a desítky úloh určete lokální extrémy,charakteristické body grafu,asymptoty rovnoběžné s osami souřadnic a náčrtek grafu. 235.cvičení. a) y=2£^» C ŤCj, jg). /J(2,|); 7=0,—t;x= o.J., „7; b) y= jľT?' Z" /JC0.0), ycOt=-—|x-^,l,x.Wt 1_ .7= c) y= x gX~2» ^~ Pro x=1 1)0(1 nesP°J'Odstranit., 7=1,-—-;x=-l,_|+ . J\ x -1 Poznámka.Při sestrojováni náčrtku grafu narýsujeme nejprve asymptoty a všechny určené body.Teprve podle potřeby vypočítáváme souřadnice dalaích bodů. - 122 - ; DESÍTKA ÚLOH čia. 40 J 1)7= -|X x - 4 2x Z » 2)7= 1- x 5)y= 4- *)y= x"- 1 2x2+3x-4 5)y= 5»± - 2 ^"lok.extr.neexist., /J(0,0); y=0,-—£;x=-2,_ /"lok.extr.neexist., /j(0,0); y=0,^—-;x:=-l,+ ^VCO.O), y=l,=—Í;x=-1,+ ^< f.2T§ }» /JC^,2|>; 7^,--—±;x= o,_ Ci(~2,-3), /J(-3,-2§ ); yi„2,z-±;x= 0,+ 6) y= 2-^^X) , zfV(-l, f), /J(-2,l| )5 7=2 ,^t;x= 1,+ 2x-1} _ -9=0); 7) 7= g«"2x^ , ^V(0,-l),V(3íÍ);J(2x3-llx2+6x y=l,^-—;x=-3,+ x^+Sx-í + 3)y= ---—~, /""lok.extr.neexist., /J(|,0); 7=0,--;x= 0,+ 13 (X_1) 3r + 9)y= ^x2 + i , 5x Lineární část podílu,tj.dvojčlen (-x+5) je pravou stranou rovnice asymptoty. K těmto funkcím zařadíme nejprve funkci racionální neryze lomenou s kvadratickým čitatelem a lineárním jmenovatelem.Obecně je jejím grafem hyperbola,jejíž jedna asymptota je kolmá k ose x a druhá obecně položená.Z rovnic těchto dvou asymptot můžeme metodami analytické geometrie pro tuto obecněji položenou hyperbolu určit souřadnice středu,rovnice os,případně délky os a ostatní konstanty. /83/.přiklad. y = x | ^Xg~ 1- čili v implicitním tvaru x2-xy + 3x - 2y-l=0 - 123 - LU t, _ Z implicitniho tvaru poznáváme,že jde sku Dělením čitatele jmenovatelem obdržíme (xrjx-i;; Rovnice asymptot s x = - 2 čili x + 2 = 0 s v ; Střed S(-2,-l) ; rovnice os: o, » y = x(\ŕ2+ 1} T -i 256,cvičení. Určiti asymptoty,střed a osy hyperboly * a) y= —- 3x +1 2 b) y= x-y+1 0 -VT>+ 1-2V2* c) y= d) y= x+1 x2+ 1 2x2+ x x+1 1 - 5 • 7= x 5 ~ 1 , s(- 1 V 2v g)í -1 x - 1 , S(- li- 2); , ^= 0 » y= x , 3(0 » 0 / 5 -1 . y= 2x- 1 , s(- i,™ 5)i °1 2^y= C2+V5) r-l+V 10 =0 _7 237.cvičení. Pro dané funkce určiti asymptoty a charakteristické body grafu : a) y= , C V(-v3,=^),V(^f^|2),-^J(0,0){ y=x; x=-l,_|+; x=l,J+„7; x - 1 b) 7= ^'(x+l)2' ^ V(-5,-6|), —J(1,0); x^-f0" = ix - y= gt \ x*-*"! % ^ ^ y c) y= ^2 ?X"?»r v(l,Ž).V(2,2|),v(-3,^g)ryj(|fyž3j);y4^J x=o,_L „7. III, Iracioná^í_fuukce. Iracionální funkce mají někdy v některém bodě nevlastni derivaci.Je-li v tom to bodě daná funkce definována,pak graf funkce má v tomto bodě tečnu (polotečnu) rovnoběžnou 3 osou y.Mohou to být : 1) krajní body intervalů definičního oboru (viz obrazce : 13 , 14 , 15 ) 2) inflexní body (viz bod iJ v obrazci 37 ) 3) body vratu (viz body H , H v obrazci 37 ) Pro jejich určeni vyšetřujeme jednostranné nevlastni derivace.Pomůckou je nám geometrický význam derivace funkce v bodě (směrnice tečny) tgOC= f'(x)>0 Když x-* s+,f'(x)-m-oo lim f'(x) = + 00 x-*- s+ Obr. 42 tgoC= f '(x) >0 Kdyz x-*- S-,f'(xVrCO lim f'(x) = + co x-». 3- tgoí= f'(x)<: o Když sb*» s-,f '•*■ ~oo lim f*(x) = - 00 tgOfr: f'(x)< 0 Když x-*- s+f f-00 lim f'(x) = - 00 x-*- S+ Kombinací těchto čtyř případů obdržíme body inflexní s tečnou rovnoběžnou s osou y nebo body vratu t 1. nastanou-li oba případy a),b) nebo c),d), má graf pro x=s inflexní bod i J , 2. nastanou-li oba případy a),c) nebo b),d), má graf pro x=s bod vratu H nebo H. Viz obrazec 37, str. 117. - 124 - /m/, príklad. ,_ a) Funkce y = má derivaci y'= - - 1 —.která neexistuje v bodě x=l. Funkce je v bodě x=l definována a proto vyšetřujeme nevlastní derivace : lim ^ = + 00 , lim —r - = + 00 Graf funkce má v bodě x=l inflexní bod s tečnou rovnoběžnou s osou y. b) Funkce y = má derivaci y'= —|— , která neexistuje v bodě x=0. 3./JT Nevlastní derivace J 2 2 lim —; = - 00 lim —m = + 00 Graf funkce má v bodě x--0 bod vratu H . Pro x= 0 existuje lokálni minimum. 238.cvičeni. Určití všechny možné lokálni extrémy funkcí,případně inflexní body a) y = 3 - , C f J(2 , 3) _7 b) y = V(l-x2).(l+2x2) ,/" V(4,-ž),V(0,l);body (-1,0),(1,0) mají ,.svislé" polotečny . c) y = 3.^? - x2 , V(-1,2),V(1,2), H(0,0) _7 d) y = 2x - 3.^? , C SC1.-D 9 H(0,0) _7 l" DESÍTKA ÚLOH čís. 41 J Úkol předešlého cvičení provezte pro funkce : 1) y= (x+l)5.^2" , C y(" iT'y-0'^). W(-1,0), H(0,0) _7; 2) y= y'íx+l)2 + ^(x-l)2" ,/~ V(0,2), HjC-l, ?4 ), HgCl, ?4 ) _7 ; 3) y= \ x-l.^(2x-l)T » f V( ^ ), ♦JCI.O), H( |,0) _7 ; 4) y= ^(x+l)2 - y'Cx-l)2 H(-l,-í» ), H(l, ^ ), /J(0,0) ; y=0tZ—t _7 ; 5) y= ^? - Jx*- * , r ▼1(-^,2?ř),?2(^f2fe,H(0,fe)f ♦J1(-2,fo,fJ2(2,fe 6) y= fř(x2~3x+2)2 , r ▼( i» jfc >. «1,0), H(2,0) _7 ; 7=°' ^ 7) y= 2X2- x5" , a^ y= vlíT *V C x- -1» l_i funkce je v int.(-l,+oo) rostoucí _7 ; b) y= yš=g ; ^"(-00,-2>,(2,+00);bod (-2,0) má svislou polotečnu; x=2, |+ • c) y= l& ^ , a >0, ^"/j( a, f?2);bod (a,0) má svislou polotečnu;x=0, I* 7 d) y= j( Vx2 +x+l + Vx2-x+l ), ^ V(0,1); asympt.: y=x;y=-x_7. - 125 - § 32. TRANSCENDENTNÍ FUNKCE. I. Goniometrické_funkee. Při určování průběhu funkcí goniometrických sť —r i řešením gonio- metrických rovnic a nerovností.V každém případě si u.t~;: = dičnosti goniometrických funkcí obdržíme vždy nekoneói.:-k lokálním extrémům,nekonečnou množinu intervalů růstu,il nečnou množinu vrcholů,bodů inflexních apod.Každou mncži-ho čísla k a čísla vyjadřujícího periodu příslušné funkce, K správnému sestavení všech zápisů užíváme grafů základnic;. t-;~ :z cí. /35/»přiklad. Určiti lokální extrémy a charakteristické bodv srai 3T i^ledem k perio-:: i'l vedoucích r: graf neko--ť užitím celé- zerrických funk- funkce y = - £.sin(3x + £ ), vyšetřované bez užití l.a 2.derivace -iž v kapitole o grafech funkcí.Viz / str.80, obr.20 /. y'= - |.cos(3x+ f) y"= ^.sin(3x+ f) Nutná podmínka pro lokální extrémy i cos(3x+ ^) 3x + f = f + k.2f b) 3x + f x = ^.(Sk+l)^" a) 0 , což je splněno,když x = I^.(8k+ 5).T Dosazením do 2.derivace se přesvědčíme o splnění postačující podmínky : y"= ^ainf ^(8^1)^+ f_7 = ^.sin( |" + k.2^) = > 0 Množina x = ^(8k+l) 3T dává body, jež y"= ^.sin^.CSk+S) + f J = ^.sin( |T+ k.2ín = ^.(-1) < 0 Množina x = j^j"* (Sk-s- 5) T dává body, jež vedou k lokálnímu_maxd^u funkce. Několik bodů těchto množin obdržíme pouhým dosazováním k = 0 , +1 , +2,..... k=0, xQ= jjr#"» v obr.20 je to bod^ x'Q = -^T \ v obr.20 je to bod f 2 vedou k lokálnímu minimu funkce. k= 1, x1= \t\ v obr.20 je to boáj^ k=2 , Xg= jjpW i v obr.20 je to bod jF^ k=-l, Üjä- -j^x'; v obr.20 je to bod^2 k=-2, x2=- v obr.20 je to bodf'4 • ■ -4 xí = TŽľ"^: v obr.20 je to bod J ^ x^ = JE:?"; v obr.20 je to bod^ 6 *í =~ í^5 v 0Dr,2° 5e to bod ^ x2 =- jz^i v obr.20 je to bod^j 240.cvičeni.určete lokální extrémy daných funkci,případně i charakteristické body a náčrtek grafu funkce i a") 'y= sin x + cos x b)y= cos x + cotg x j^DESÍTKA ÚLOH čís. 42 j 1) y = 2sinx + sin2x 2 2) y = sin x - 2sinx 3) y = cosx jcos 2x C V/ f(8k+l), W / , V/ £<8k+5),- W / .7 x= k^J+; /J^f(4k+l),oj; W2ff(4k+3), O,) _7 Z" V(|(6k+l), s V(f(6k+5 C v(|(4k+3), 3 J) ; v(|(4k+l), -1 j _7 r v(kf, <-l)k+ £J ;v(|r(3k±l),- JJ_7 - 126 - 4) y = cos3x + sin3x , C v(kT,l) ; v(f(2k+l),l); v/J(*k+l)tS!§J pro k sudé v(JC4k+l),- ^j;V(krt-i;;VÍ|(2k+l),-lJ pro k lichéľ 5) y - sin3x + sin x , f ▼(|t2jll(ffafc»3)«"«}l /J( 0) _7 6) y = 4sin2x + tgx , ^~x= J<2k+1),+J_; ^ttá)i^£w(3*&); /J3(kT,0) _7 r, j y = sinx + jsin2x + ^sinjx C Vff(6k^),- ^;v"fí(8k+l)fl + |l/2-;;vr|(8k+5)7^|. 8) y = cosx + jycos2x + jcos3x V(T(2k+l),- |); vf|C2k+l)f - J 9) y = - 10 m ^~ V (k T, 10); V(T(2k+l), 5) ; inflexní body řešením 1 + sin x ~ 2 rovnice 2sin x - 5sin x + 1 = 0 _7 10) y = sinx - tg x ^f"x= f(2k+l),J+; v(|(6k+l),4^-^); V^C6k+5),- $2$i) J II« Exponenciální funkce. ------------------ f(x) Při vyšetrovaní průběhu exponenciální funkce tvaru y = a , a > O , si uvědomujeme,že fH5^£.f_5é_E£2_íäEÉÉ_5__kladné funkční hodnoty; proto f(x) E£2_EÉÍ-!£É_?_ô§5í__§____=__2 Poněvadž 1» a 2, derivace takové exponenciální funkce se dá uvést na tvar f(x) a . F(x) , f(x) pak řešení rovnice a .P(x) = 0 přechází na řešení rovnice F(x) = 0 . V příkladech následujícího cvičení a desítky úloh vyšetřete lokální extrémy , případně i charakteristické body a asymptoty grafu dané funkce.(U grafů některých funkcí existují inflexní body,ale vypočet jejich souřadnic je složitý ) 241.cvičeni. a) y = x.exx C Y.C-1, -e"1) ; /JC-2,-26"2); asymptota y= 0,-- J 1o) 7 ■ 2 C V(l,lr2); Ví-l, ^ );exist.J;LtJ2tJ3; y= 1, ~—± J r-----------■■---------j DESÍTKA ÚLOH čís. 43 I I_________________.___I x2 -11 D y = 2 C V(0,1); /J,( -Lr ,2M )j /J.( -^,2^); y= 0, _7 ' 1 VTn4 * Ylň4 2) y = e" , C v5 /J2(- ^ , -± ); y= o, J - 127 y = -2 e~x 1 4) y = e* , 5) y = 1 Š* fxtO; lim y=0; /J^lf, -±- );/J2(-|f, -^); y . I,™~-_7 x—0 A »5 eVe l-> eVe + /fxA>; lim y=0; lim y=+oo ; l.e"2);*^, f + ;y = 1,-± 7 x-*- 0- x-*-0+ /.'x^-Ž; lim y=05 lim y=+oo ; /JÍ-aLe"2) ;x=-2 ,P;t=1 ,-i? x-*-2- x-»-2+ * " 1 -2 6) y = , /fx/lílim y=0; /J( 2TSľ )} x=l, /+; y = I,-i 7 x-*-1- 7) y = 1 n , f&O; lim y=l; lim y=05 y = L—_ 7 1+ex ■*■ x-». 0- x-»0+ 2 >+ * 8) y = x^.e"*, /f" V(2, ^e"2);V(0,0)itf^&Jfe, y);/J2(2-V2ty); y = 0,=—± _/ 9) y = x.e* , /fx/Oj lim y=0; lim y=+oo ;V(l,e); x= 0,f+; y = 1,—-± 7 x*. O- x-» 0+ -x2 10) y = x.e""2", ^~ V(l,-i);V(-l,^i );/J,(0,0);/J2(i£,y>;J,í-VFsy): ^ ^ y = ot:r-t_7 III. Logaritmické funkce. Derivace logaritmické funkce tvaru y = In f(x) je funkcí tvaru jŕ^yž. Je-li vnitřní složka f(x) racionální funkcí,pak řešení příslušných rovnic a nerovností není obtížné. Často se setkáváme s rovnicí ln x = m , jež je splněna pro x = em nebo s nerovnosti ln x £ m , jež je splněna pro x £ em . Je však důležité zjistit předem definiční obor dané logaritmické funkce a přesvědčovat se,zda x,vypočítané pro lokální extrémy nebo pro charakteristické body grafu,náleží def.oboru funkce. V příkladech následujícího cvičení a desítky úloh určití lokální extrémy daných funkci,případně charakteristické body a asymptoty grafu. 242.cvičeni. a) y = ix2- ln x , fx >0; V(l, Ä); . x= 0, !+; 7 2 - 2=22 b) y = , ^>0; V(l,0);V(e2,4 );/J(e^^,y);x=0>! + ;y=0,-± 7 x e ,-------------------------, { DESÍTKA. ÚLOH čís. 44 j 1) y = Vx.ln x , />>0; Vie"2,- -f ) i /J(l.O) J 2) y s x.ln x , f*>0, V( |,- i ); J 3) y = x2.ln x , fx>0-, V( -i ,=i ); Vě 2e ,j( -i-,=ž_ ). eVe 2e^ J 4) y _ ln x fx>0i V(e,| ); /J(eVe, -2-_ ); e 2eVe y= 0,—± _7 5) y 1 - 1 ln x fx>Otx*li /Jíe-2,- l*i y =o»—1 „7 128 - m(l+ x2) , f 1(0,0)1*3^1,102)itf2i-J.,lů2)\ ln(l- x2) , /fObors(-l,l);V(0,0); 6) y 7) y 8) y = lnCx"- 1) , ); 9) y = x + ln(x2-l),ťrOborj(-oo,-l),(l,+oo); 10) y l.ln i-±JE , fObori(-l,l)| /J(0,0)j _7 l.J _7 i. L .7 i.J _7 i.1 _7 1 - X IV • 5y^omej;rickJ_funkce • U složených, funkcí cyklometrických se setkáváme častěji s některými zvláštnostmi (singularitami),které se zřídka objevovaly u funkcí předešlých tříd.Tyto funkce mívají body nespojitosti I.druhu,jejich grafy mají body uhlové apod.Proto je opět důležité určovat definiční obor funkce a vyšetřovat obě okolí bodů,pro něž není funkce definována. Příklad, y = arcsin -| Grafem funkce budou dva nekonečné oblouky s krajním bodem. První oblouk má krajní bod K-^C-l,- tj ),druhý oblouk má krajní bod KgG, jý ). y = -Ixl !.Vx^ ' pro x > 1 í y' = -, pro x<-l t y' = Def.obor : (-oo,-l>, (x) - 129 - zvlášt pro levé okolí a zvláší pro pravé okolí bodu x=0 tak,aby byla v tomto bodě definována : /f(x) pro x€ (-00,0) ff(x) pro x C (O, +00 ) *■ pro x = O (.0 pro x = O Jednostranné derivace funkcí ^;_(x) , ^2^x^ v DOxub___. .. \.e:,- ~J a.) ý= arctg ,_.~x=2 je bod nesp.I.dr. ;y=0,--; ýx-l, y= - jx-i J c) y= x+arccotg2_:,^TY( jj,y-ilf28);V(,- |,y=l,85);asymptota: y=x J d) y= are sin -^,^(1, J );U(-l,-f)} k,.« +1; /J(0f 0) jasympt. y=0, •z—± _7 - 130 -