Kapitola XIV.
N3URČITÉ   VÝRAZY.   Ľ H O S P I 1 A I O V O PRAVIDLO,
Při výpočtu limity lomené funkce v bodě a jsme po dosazeni x=a při-
cházeli k výrazu § ,který jsme ponechali jako symbol,neboč jako zlomek neměl smysl.Poznali jsme mnoho lomených funkci,jež pro určité x vedly k tomuto symbolu a jejichž limity byly většinou od sebe různé.
Symbol ^ , který sam-o sobě nemá žádný početni význam,patři ke skupině tak zvaných neurčitých výrazů,jež zavádíme užitím limit dvou funkcí.
Neurčit£_v£raz   O   . (m)
• .
I Je-li lim u(x) = lim v(x) = O, pak je pro x-» a neurčitý výraz typu 2 :
: x-*- a x» a v ' v l
• •
Jestliže k symbolu ^ můžeme přijít většinou pouhým dosazením určitého čísla do dané funkce,není to možné u jiných neurčitých výrazů,jež jsou vyjádřeny užitím symbolu co .Nelze totiž zapsat,že nějaký výraz dává po dosazení symbol oo a sám symbol oo nelze také dosazovat,neboí není číslem ,kdežto nula je číslo. Z neurčitých výrazů,obsahujících symbol oo.je nejzákladnější
Seurčitýjrýraz   gj. : (115)
• «
: Je-li lim u(x) = lim v(x)=+oo, pak ^>x< je pro x-» a neurčitý výraz typu ~r l I x-*»a a " vw 00 :
• •
Ostatní neurčité výrazy   O.oo  , oo - oo  , 0° , O00 , oo0   , l00    zavedeme postupně až při výpočtu limit některých funkcí tvarů   u(x).v(x)    ,   u(x) - v(x) , a
.rlT7 funkci,jež vedou k neurčitým.,výrazům § nebo ~ vypočítáváme užitím tzv. 1-Ž-&§£±í2í2Z^__£ií£ZI£í^ ♦ ^fceré stručně zapíšeme t
.........................................................'(n5;
• lim Sgi = lim = lim =........... = llm " ° W l (116)
: x-»- a   ^ '   x-*-a v (x)   x-»- a v   (x) x-*- a vK 1 (x) '.
• .
Když po případné úpravě je podíl   u opět neurčitý výraz typu 2 nebo ~- ,
u"rx") V'W .
určujeme dále lim   fty> '    . Podle potřeby užíváme 1 Hospitalova pravidla až po
v"(x)
limitu,která se dá vypočítat.
I. Výpočet_limity funkce již po užitíjpryních derivací u'^x^ x y'fcc},.
/as/.příkladí lim *-cosx - sinx = lim cosx-x.sinx-cosx =lim =s±nx=_ llis^ox^ 1 --------*- x* 0 x5 x* 0 *>yr x* 0    3*       5      x 3
256wcjriěen±. Vypočtěte limity funkcí t
*>xiim Tn4. ri_7;   W^ij |^ ,f- f_75 c^im ^;d)lim %C 1 „7;
3     2 x   -x Výsledky:
e> "f ^clli2       Í 7; f) lim y1, g) lim ^-,^2.7; f) T % J l
x-1   cos^x VT x—1     cos fx x-0    x c) l~ 0 7
- 1J6 -
px _ 0-x ax    bx 2x -,
h) lim —2-§-iCzJ. k) lim e   - e    ^ft,b ?  m) Um  e   - 1      ^ 7>
O   sinx.cosx x— O   sin x "       x* 0 ln(l+2x)
!  DESÍTKA.   ÚLOH   čís 50      |      Vypočtěte limity funkci í i------------------------j
1)   lim tg x -1 t cos?x -1 7 2) jgT?
x—O        ex- e x 2_ x-*a        |T2   2 fc ~
lx^£|_=a_
3)   u, e   - cos ax   ( f a_7;        4)   ^ m2(Hx) - sin2x      ^~ O   7 ;
x»-0 e   - cos bx x-»- O 1 - e "
5)   lim , ^.7;        6)   lim , f 7.
x—3 x^^x^-x-e /0 x-*o   i/r~2 L ^ - '
x.|rl-x
7)   lim i- sin x + cos x   , /- x 7|        8)   lim ž - arctg; x rl ;
x-» j   sin2x - cos x x-»- 0       x5 * ~
9)   iim 21^1 , /" 1 7i       10)   lim arcsin(x-a) f 1 7 .
x» 1   ln x x-* a tg(x-a)
11 • YŽESážt-liEiiZ-ÍMSk?.©^2_YÍ£§5Í22^5Í5_li|iÍi_ilHos2italova pravidla . /87/.přiklad« lim e*~ e~*- 2x = lim       e~*- 2 = lim eX~e"X = lim ^ři£^ 3 | = 2
x-*0    x- sin x    x*- 0     1 - cosx   x» 0 sin x    x-^0 cos x
DESÍTKA   ÚLOH   Sis.   51 Í      Vypočtěte limity funkci i
l___
4
1)   Um *- sinx , <fo _75   2)   lim í=        ax    /-l ?    }        ex- é^Xflj x-0 1- cos x x-|| (2ax-Tr        8~       x-0       x3 ?
)   u, ícosx-lf f fQ Jx 5) lim «*■ Éfl ¥^±x ri 7. 5)lim x^sinx   - 1 7 x-0   sin^x x-0   cosx + ^2, 1      "   -      *~0    x3     ' 5"
7)   iim 8)lim  x*~ x   ,<T-2 7; 9)lim etgx-ex       ?. 10)llmxn-nx+n-l
x-*-0+cotg x x*>1 1-x+lnx ~      x-»»0   tgx- x      "      x*-l (x-1)
III. V^oče^_limit j_f unkce_^ravou_na_s .
Než užijeme znovu l'Hospitalova pravidla,pokusíme se nahradit funkci součinem funkcí,jejichž limity dovedeme vypočítat dřívějšími metodami nebo opět pravidlem 1'Hospitalovým.
/88/.pŕiklad. 1    _ 1
lim arctg; x - arcsin x = Um " ft^c* = 1±m cos^.dfcx2" - 1- x2) _
x-0      tg x - sin x        *~0 —2- - cosx   *~ 0 (1.cos3x)(1+x2)t/^
—--2x
a lim      c08^     .lim -l-^2 =   1 .lim 1S- =lim   Z^Sl * 2/T?)__
X^° U+s2)!^? x*°    1- cos^x x^> 5cos2x.sinx   x*° 3cos2x.sinx. VI^
a lim —1^   .iim    *   .Um 1+ Ž.Vl-x* = _ = _ i
x-* O 5cos x x-K) sin x x-o    y^j? 1
257.cvičeni. p
a) lim —7; b) lim la sinax,a> 0,b> 0,0 7; c) lim |~=4 . T-2_7 x-*0+ ln sinx x-»0+ ln sinbx x-*-0 c08*--1
- 137 -
|  DESÍTKA  ÚLOH   čís. 52 j       Vypočtěte limity funkcí :
x"*°        x x-~0 arcslax:   x x-**0   ln cos bx b*
_áVx   , „ cosx 5
4) lim -e    - 1 7;   5) lim —^- ,/--e 7; 6) lim -^-sin x ,/~ 4 7
x""° y sin bx Vb x"~°   1_ si^-cosx "      x—0 (l-cosx)^
7) lim ^.cosx %L-ZJ .   Q) nm m(l-x)+ tgft   ^ 7;g)iim cosx.ln^x-a)tZ-osa x-* 0   1- cosx x-* 1-     cotg#"x "    x-»- a* ln(e -e )
l^x2" + Jx2 - 1
10) lim-- ■ -    , r- 3 7.
x-*- 0    cosx -1+ £x
2§íi£Ši£á_IÍ2aSX__2*_2° (117)
•••••••••*•••••••••••••••••*••••••••»•••*•••••••••»«•»••••*•••#••#•^••••••■••e»«
• o
• a
l Je-li lim u(x)=0 a lim v(x)=oo ,pak u(x).v(x) je pro x-#» a neur.výraz typu O.oo :
x-» a x-*» a
Při výpočtu limity převádíme na typ § nebo ~,abychom mohli užít l'Hospitalova pravidla.
/89/.příklad: lim (l-x).tg Že = lim   1 " x   j= lim -zJL-= -L-
x—1 ^    x—1 cotg fx   x—1    "g ý. " *
sin   £x 2
258.cvičení.
a) lim x.sin § ,^"a 7;    b) lim ln(2-x) .cotg Tx   , /"-A 7 x-* co x       ~ x* 1 •* ~
j-------------------------,
^ DESÍTKA   ÚLOH   čís. 53 j      Vypočtěte limity funkcí s
1)   lim arcsin(x-a).cotg(x-a) ,/~ 1_7;      2)   lim (éx- D.cotg x s      /" .1 J x-» a x-*- O
1
3)   lim x.(ex - 1) , C 1_7;      ^)   lim (sin a - sin x).t&^,/~cosa7
x-» oc x* a
5)   lim (#"- 2.arctg x).ln x , £~ 0_7;       6)   lim x ,ln cos ~~ , -5—_7
„2 ,____
x-*- 00 x-*> 00
7)   lim x.ln tg( f+ f ) ,        C?-*J;       8)   lim x2.( ax + aS - 2), ^""ln2a 7 x-*- 00 x-*- co
9)   lim x.ln §a£§ , C a_7;     10)   lim (x+a).ln( 1 + § ) , /"" a 7
x-»« 00 a x-» 00 *
Neurčité výrazy 00-00
----------i---i--------- (
• ••«••••»•0« • • •••«••»»•« • • ••••• • o • a 0«ae«*««ao*«a«««e«c9e*««<t!>ii90«»ed
• — *
iJe™li lim u(x) = lim v(x)=oo $pak^"u(x)-v(x)^/ je pro x<+* a neurevýraz tjpu oo-co •
l        x-** a x-*- a •
• •
Obyčejně jde o rozdíl lomených funkcí.Uvedením na společného jmenovatele obdržíme typ   9t   nebo        . Obecně lze užít úpravy s u - v = -ir - -ij- s —  ľ u
/90/.přiklad: lim ( |--=i— ) = L   ;    lim i = 00 ,   lim -h~— = os.Tvps 00 - <s>
:x-*0+ e - 1 x-*0+ x-»0+   eA- 1
L = lim e*~ 1 ~ x = lim   _eX~ 1    - = lim        e*-- = lim —i— = i
x-*0+   x.(e -1)   x-K)+ e - 1+ xe     X-+C+ eJÍ+ ex+ xe*   x-»0+ 2 + x d
- 138 -
259«cvičení. Vypočtěte limity funkcí :
a) Um (tg x - J- ) ,/-0_7;b) limf    ^ - f 0_7;c)lim(cotgx - i),/07
x-*w 2" x-»-u x-»-0
2
í  DESÍTKA   ÚLOH   ôís. 5*
1)   iim ( _^---L. ) ,   ^-.1 _7; 2)   lim ( -i-       ~  1   ) , /" 1 7;
x-*l    x - 1     x-1 x—0    x.sin x        x*1 -   o -
5)   lim ( —±2---1~ ) ,   r   \j i 4)   lim ( --— ),        1 7;
'2
x->0    sin xx — x-*í     cotgx 2.cosx
5)   iia ( _J---), ^-   1   7. 6)   um ( i .      1^ ) ,       ĹZ |_7 ;
x-*-0     sin x     e - 1 x-»0      x     ■UUA+X-' *
7)   lim ( -2--- ) ,          1   7; 8)   lim ( -i_—---1      ),^- 1 7
x-*l     x-1     ln x                  2 " x-1    2(1- Vi) fTj 12
9)   um ( _±--i ) ,      /JOJ', 10)   lim ( -i---- ) ,      /" i 7
X-*0       Sin X      X Y-» *       v—T,       -r _v_£ ~     5 ~
v(x)
Neurčité_v£razj___0"_A_oo "_i_0^_x_l^_A_k_nimž_vede_fi^ce   ^~u(x)_7 (119)
:je-li lim u(x)=0 a lim v(x)=0 ,pak u(x)v^je pro x-* a neur.výraz typu 0°
x-*- a x-*- a
!Je-li lim u(x)=ooa lim v(x)=0 ,pak u(x)v^je pro x-* a neur.výraz typu   00 0 :
t        x-* a x-» a '.
• •
Ue-li lim u(x)=0 a lim v(x)=oo,pak u(x)v^je pro x-* a neur.výraz typu    O00 :
l        x-* a x-*~ a :
• •
ÍJe-li lim u(x)=l a lim v(x)=oo,pak u(x)v^je pro x-* a neur.váraz typu     l00 !
I        x-*- a x-* a :
• ■
v(x)
Při výpočtu limity   L = lim £ u(x)_7        postupujeme dvojím způsobem (jako při derivování takové funkce) :
1. způsob.(Rovnost logaritmujeme )
ln L = ln^flim u(x)v(x)_7 = lim^"ln u(x)v(x)_7 = lim^"v(x).ln u(x)_7= m Bxistuje-li   lim ^~v(x).ln u(x)_7 = m , pak      L = em .
2. způsob. (Užijeme rovnosti =   eD,ln a    pr0   a>0 )
L = lim u(x)v(x) = lim ev(x)'ln uCx) = elim ^vOO-ln u<x>-7 = em , za předpokladu,že limita v exponentu existuje. Oba způsoby vedou k typu   0 . 00   a další úpravou na typ   *  nebo  r— .
COS nX <m.
791/.přiklad:   lim (1-x) = L ;      lim(l-x) = 0 ,   lim cos %x =0 . Typ 0°.
x* 1- x* 1- x— 1- c
2.způsobí cos ^Ml-x)      lim cos fx.ln(l-x) m
L = lim e =e =e=e°=l, neboí
x-*> 1-
1
m = lim cos •fx.ln(l-x) = lim —ÍSikS-Ľ   = iim-1 ~ x- _
*~1_(cos fx)       x-^ (cos fxfísin £x.-f
2 , (cos %x)        p -2cos 3jc*sin yx.T
= - £.lim —i—.lim--- =- ř-.l.lim-£-?—?_ = 0
/x* i- sin g* x-*i- 1-x        T  x-*-1- - 1
- 139 -
260.cvičeni, a
)   lim x* ,f 1_7;   b)   lim (sin x)x ,f \ 7;   c)   lim (1- cos x)sinx , fl 7 . x-*- 0+ x-*- 0+ x-*> 0
/92/.přikladl   lim (ln i )X= L;     lim ln § = co ,   lim x = 0 .     Je to typ   oo° . x-»0+        x x-»»0+      x x-«-0+
1.způsobt x
ln L = ln ^~lim(ln \)   7 = lim/~ln(ln i)   7= lim^~x.ln(ln i ) 7 = x-0+ ~    x*0+ " x*0+
ln(ln i) (lni)_1.x(-x-2)
= lim -t—— = lim---^--        = lim —--        = o
x-*- 0+    - x-*- 0+ - x x*0+ - ln x
L = e° = 1
261. cvičeni. a
.cvičeni.^ _ ^
)   liu   / , f 1 7 i     b) lim I/-Í- , fl 7 ;   c)   lim (cotg x)15* , f i   7 . x-* oo x-*- od r x x-»- 0+
------------------------,
i  DESÍTKA    ÚLOH   čis. 55  '      Vypočtěte limity funkcí t
1)   lim (x-a)x-a, ^1_7;   2)   lim x™5 , ^"e3_7 ;   3)   lim (sin x)*^ ,/fl_7 ; x-*- a+                                 x-»- 0+ x-» 0+
1
iO   lim xsinx ,<f 1_7?   5)   lim x^C^"1) , f&J ;   6)   lim (cotg x)sinx ,^1_7; x-» 0+                             x-* 0+ x-» 0+
t tgx _ x
7)   lim(i)     , <fl 7;8) lim(l+ |) ,/~l 7; 9) lim(tg x) ,/l/;
x— 0+ x x*> 0+    x 1
a>0 2 10) lim( tg Ä-)x t/f 1 7.
x-*- oo CX+J-
262.cvičeni.Vypočtěte limity funkcí :
„ x tg2x     n -r~     -, p —
a) lim(cos|) , /!/; b) lim(tg x)       , c) lim x1_x, /£/; d) limd+x^^./V.
x-«- oo      x _T e      x-*-l x— 0
x 5
,------------------------,
!  DESÍTKA.   ÚLOH   čís. 56       !    Vypočtěte limity funkcí : L____-__________________i
i -2 x
1)   lim (ex+ x)x , 7;   2)   lim (cos 2x)x   ,fe~2J; 3)   lim(l+ K ) ,<fl 7;
x-*- 0 x-*- 0 x-"- oo x
0„       i , 2 ,    x* cotgx
4)   lim (e2x+ x)x ,^V7 ;   5)   lim ( x-£i )   , ^0-7; 6) lim(l+ tgx) ,/~e_7 x-*- 0 x* oo      x x-* 0
0   cotg2x        , „   tg "2- «.
7)   lim (1+ 3tg2x) , Ce?J;       8)   lim ( 2 - | )     d&   ,   f <ť J ;
x-» 0 x* a
1
9)   lim /"tg( f + x ) 7°0tg2X , /e/-,      10)   lim ( žinx f~ f f ecotg a j # x-» 0 x-» a    sin a
- 140 -