Kapitola XI.
CVIČENÍ   V DERIVOVÁNÍ
§ 27.DERIVACE   ZÁKLADNÍCH   ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ. Derivace mocniny.
• n         ,        „ i     (postupně se dokazuje platnost pro každé   n I
• 7 = *   ,   y = n.ar     ;   přirozené,celé,racionální a reálné .) :
- . ;( 91)
= ax11,   y' = a.
nx
y = ax ,   y = a
y = a   ,   y   = 0
210. cvičeni. Derivujte funkce :
a) y= x7 , b) y = 5x\ c) y = |x6, d) y = ^x, e) y = x~5, f) y = 3x-5,g)y=^,
l 2 m 1 5
h) y = x^, k) y = |x5, m) y = ex31, n) y = x 5,o) y = |x      y = x1'7,?) y =x~5'5,
ř) y = 22,0.»   s) y . x^, t) y = axe , y = xloS 2 , u) y = 4.x',y.C^-l)x»+1.
1 _1
Výsledky : a)7x6, b) 20x5, c) 8x5, d)| , e)-3x"\ f)-15x-6, g)-x"5, h) |x?,k)x"?
m^.x^.n) - y5, o)- ff.x"7" } 1,7,0.7, p) ^.Jx"6^, r) 2f4x-C.1?S)^xV?-1, t) aex^1,    log2.x1°82-1 , ,   v) x^ .
V dalších případech před derivováním převedeme funkční předpis na mocninu proměnné x :
x10 = xn
nac-
211.cvičeni, a) y = |, b) y = -4-, c) y =- i , d) y =- e) y = l£ ,f )y=
32xH x 9X5 4 '
6) 7 = 3= » h) y = - ^Ľ-, k) y = jfx3?^, m)y=12^.íx^.fc5, n) y= Vxfei .
Výsledky i a)-3x-2, b)- -±» f c) -i , d) -š-, e) -L. , f) |.Vxn-m, g) - -JL- , -- QjP yŕ 3x4        2/í m Zf
x^~z . k) 2x2íx , m) 231\^IT ,   n) l.fc5 .
Derivace součtu funkcí.
:   <ff(x) + g(x) + h(x) + ..... 7   =   f'(x) + g'(x) + h'(x) +.
:   Pro k stejných funkcí        f (x)_7   =   k.f'(x)
: ( 92)
212.cvičení. Derivujte funkce :
a) y = 5x4- 4X5* 8x2- 7x - 6 ,   b) y = 3 - x4, c) y = 2x3- JL + 3- 4?? +
d) y = Vx.<x5- £ ♦ 1 ) ,    e) y = ž£= 6x2+ 2
3x^
3x*
2/x
Výsledky 1 a)20x5- 12x2+ 16x - 7, b)-^, c) 6x2+ -i£ - -4;--ijj- ,
d) Zx2lk - 1 + — ,   e) 5*!=Jt . ^     & SxVx"
^ 2Vx 3x^
- 99 -
V případech d),e) minulého cvičení provedené z*"---. -:■  - výkony
(násobeni,dělení) a pak teprve derivujeme se:; ť: _......
i * * *................................. .....•
I     y = u(x).v(x) Stručně s   y ~ u,v 5
:     y'x u'(x).v(x) + v'íx).u(x) y'a u'.v , i{ 93)
• y a u.v.w        y b u - -  . v :
/73/-přiklad.
a) y = (x2- 3x + 3).(x2+ 2x - 1)
y'= (2x-3).(x2+2x-l) + (2x+2).(x2-Jx+3) = ........ = *,.<-- -.V- .•>; + q ;
b) y = (x2 + 1).(1- x5).íx"2~ 1)
y'=/2x.(l-x3) + (-3x2).(x2+l)7.(x"2-l) + (^.x~5).(x2+i).0.-x;, - .  ....... >
= 5x4 - 2x - 1 - 2x~3 213«cvičeni. Derivujte funkce :
a) y = ( Vx" + 1 ).( JL - 1 )   ,     C - J ?
Vx £x¥x
b) y = ( 1 -e nx* ).( 1 + ^ ) ,     r^.\fX + x11"1 + (m+n)xffi+n~1}   J .
!---------.---------------,
i   DESÍTKA   ÚLOH   čís. 29   !       Derivujte funkce t u.----.----—------------J
D y - $Lr + P.P    , C      *4!ľy? _7 «
3) y   = VTWW  -  ý ÍW*    ,        C  t£? - i.    7 ,
4) y   = V x.( xVx - Vx + VxVx ) ,       4)   /-   i .     $3      e       ..^r- , -
5) y   =   ( xVx + 2.Vx - 2x )  s 3Vx'   ' +j
6) 5x\x - 3x    2x"2 6)    /- -5x4 + čx3!^ - l£fa 7
' Sx3.^
?) y   =     4 - 3X3 + 2x2Vx       ^ y)   /-   - 4 - 24X3 * 13x2l^   _7 ,
2Vx 6xVx
ft,              3x~1 - 2x t 2x^x2" r   -63^ f lgxffx ~ IQx3 ;
C ~ - V? ).( *xVx"   + ) ,     /-   1( 6£ _ + \6   „ 48^7) 7
yx 3x -y
/x     x'/x-^ xVx
9) y
10) y = ( % + 2x ).( 1 + v5 + 3x ) , /" 1+12x+9Y? ^PvVx j +) Výsledek úlohy 5) « ,1_!X^--
i8x2yV
- 100 -
1 „'___vl(x)
v(x) '
^ v(x)jr v v :
v -   ut*) u'(x).v(x) - y'{>;).u(x)  . u        '    u'.v - v*.u '.
v(x) lv(x)Jr v
:( 94)
214.cvičení. Derivujte funkce .
=   „      2x       v ^ „    1 i x - -ŕ „ v Tr    ax + b     , s   „    1 - x^
a; y = —% •   d; y =-——2' »   c; y = ■——— , á)   y =-T ,
1-x                    1 - x + xr cx + d                  1 + x-7
e) y =       ,  f) y = -Jt , g) y = - . n) y - -—-t— .
Výsledky , a) ^f-^, b)     2<*^*j , c) d) _=SŕL ,e) —i--
(1-x2)2         (1-x+x2)2 (cx^dT        (1«?T        2Vx(Vx +1)2
fl        - 4x               x       3-2x hx        6x(l t- 3x -5*?)
3/x2.(x- /x)            (x2-3x+6) (1-x2). (1-2X5)
: y  .   C fCx) _7n   ,      y' =   n.<f f(x) _7n_1.f'(x) j
• «
'. Platnost pro n přirozené plyne z derivace součinu. J( 95) « .
'       Platnost pro   n     celé     záporné   plyne z derivace podílu.:
• •
l       Platnost pro   n     reálné     se ověří derivací složené funkce. *.
Po zná nka,%ocnina funkce patří k tzv. složeným funkcím,jichž derivace budeme určovat později podle zvláštního pravidla.Poněvadž se však s takovou funkci setkáme velmi často,je třeba její derivaci si osvojit brzy a provádět ji s jis totou. /7V.přiklad t
a) y = Ox2- 5x +2)5 , y'= 5.(3x2~5x+2)4. (jx2-5x+2)'= 5. (3x2-5x+2 f. (6x-5) j
b) y a (x5 - 2x+l)~? , y'2x+l)"\ (x3-2x+l) '=-3. (x3-2x+l)-\ (3x2-2) 5
12xyxlfx n-i
d) y = ( x11- 1) ' ,      y'=- 1)     (**-!)'= --
3.7(x5^
V dalších případech převedeme funkční předpis na mocninu funkce t
e> 7 = «3   žili   7 = Ox-2)"1,   y'= -l.(3x-2)_2.(3x-2)'=--2—,
(3x-2)'
f) y = -V- čili y = 5(l-x2r5,   y'=     ?°f 6 S
(l-x^)5 (l-xc)b
g) y = ^x2- 2x + 6 čili   y = (x2-^x+6)^   ,     y' = -g j^jx-l)
3.f(x2-2x+6)
h) y =      1 _     čili   y = (l-x5)"2" ,   y'= -.
Některé   z uvedených   příkladů možno také derivovat jako podíl funkcí .
7 *
- 101 -
215.cvičeni. Derivujte funkce s
a) 7 = (5x2- 2)1(>b) y= (7x2- 1 +6)6, c)
y = —~------ . -=— Ť)y=V3x-5,
3x)n, k):
ř-l-   x  -  x Iři-X
Výsledky i a)100x(5x2-2)9, b) 6(7x2- i +6)5. .     - _ -gx
0-7^=, f)        . g) ■ ,       , h) fer3x72,        "3 ,
2V3x-5*      2^-3x71 ' JTo^TF
j_ DESÍTKA   ÚLOH   Sis. 30 Derivujte funkce :
11 -,,          1        ^         5                   i-     -2 15x ij y = .s—— + "f —ľ~   t    L —3*—:---:—  ~ —t f-
fex-l V(x2+ 2)5 " 3 j/(2x-l)4 ^i/(77S7
2) y = x5. ^x6-8     , r    *V 7X& " 4°L    .7 ;
fix6- 8
3) y = x. \£If  , r 2-^-^   .1/^7   .7 ;
Vl «c2 2(l-x).(l+x2)    ř l7?
4) y = x2, /i + C   , /- *<8/fe--   _7 ;
4. Vl + W
5) y a _Slg_ # ý(5x+1)2 . f /-   , * + 1       „J ;
5
^x+l
6) y a    ta-x)P      ^ . £    -(l-x)p~'.^ p-t-q i- {p-q)x /     j .
(g!I2l_ ' íl+x)1+1
7) y               . C-            VV   J7 .
?x 27x5. /(4x5+2)a
8) y .-f^Jŕ      , /"        \"jL—    _7 I
4x2 te'.y 2 - x2
9) 7 = "(l-x)2.(l«)3     ' L      (1-^.(1^   ^ ' 10) y =   „_- 1    ; —-   , C   -       1 J i
VÍh?.(x+ VI77) yo7 x^)5
Derivace goni £2^rick^ch_funkci.
i
y   =   sin x         y   =   cos x             y   =   tg x y   =   cotg x j
i '         i : ( 96)
y   =   cos x y   = -sin x y   = -<r-        J   =--TJ~ l
cos x sin x :
216.cvičeni.   Derivuje funkce i
a) y = 5x2- sin x , b) y = sin x   -   cos x , c) y= tg x - cotg x, d)y=sínx.cosx
- 102 -
e) y = x2.cotg x , f) y =   cos x   , g) y =   x'8Ín ž   , h) y = sin x - x'cos ž ,
1-sin x 1+ tg k cos x + x.sin x *
Výsledky i a) 10x-cos x, b) cosx+sinx, c) -—-~- ,d) cos2x, c)x^3in^x"x^
(bídx.cosx) sin x
f-j _L—     a-) coa x(l+tgx)(Bisoc+x.co3x)-x.3inx      , \ x2
1-sin x cos x.Q+tgx)* (coa x + x.sin
Mocniny gonio^trickýohJgunkci derivujeme podle pravidla o derivaci mocniny funkce,Doporučuje se před derivací zapsat mocninu goniometrické funkce podle vzoru :
y = sinnx   čili   y = (sin x)n   »     j" =   n.(sin x)21""1. (sin x)'=.......
Později si můžeme tento zápis jen představovat.
217.cvičeni. Derivujte funkce :
a) y = cos~5x , b) y = tg7x , c) y = sin3x + cos5x , d) y = tg^x - Jtg x + 3x,
k) y = —-2J-, m) y = /sin x , n) y = Vcos^x, o)y= -2     -   , p) y = Vl + 2tg x , cos x
tg x
^-.—.      ~_--,- 2 2
q) y =   4. \'cotg2x +   Ycotg8x , r) y =    sin x   + cos x   ,s)y=   3in x - 3slax>
3r
;otg8x , r) y =
1+cotg x     1+tg x ^cos^x Scos^x'
Y-— ,j-
t) y = (1+ sin2x)4 , u) y = Vl+ cos2x , v) y =--L——. w)y= cosx.Fl+Sin2x.
Výsledky í a) 5cos~Dx.sin x, b) 7tg6x.—, c)|sin2x(sinx-cosx), d) 3tg4x ,
cos x
e) sin3x.cos2x, f) cos5x , g)- -2SĚ^£ , h) l^inx ^ fc) 4 sin x f ffi)     cos x
sin x cos'Sc cos-'x 2 Vsin x
«^      2sin x        %        - 1 _\ 1 _ \ - 8
aj - —rrrri °) ————-—t P)--- g) -
»
-y  ■---;■— t   OJ------,   p^  —-g;---- , --
3 ycos x cos2x.ytg5x cos2x. Vl+2tg x 38in*x. /cotg x
r) -cos2x , s) Žco^-12cos2x+8, t) 4(l+sin2x)3.sin2x , u)     ,, = sip2x
4.y(x+cos -x.Y
v) —- siu2x .— , w) - —ggíg^jr- . 2. ^(lt-si^x)5 Vl+sin2x
lS£ j;Z§ce_ex£onenciálnicb_f unkci.
:" '*•*".......................•.........................................:
: y   =   ax , a > 0   ,   y' =   ax.ln a   ;      y   =   ex   ,   y' =   ex   Í( 97)
•.................................................... :
218.cvičeni.   Derivujte funkce :
x
a) y = 3X, b) y = l<ŕ, c) y = (V? ) , d) y = ex.cos x , e) y = x.ex(cosx+sinx),
o) y = , P)   y =      , ? ,   q)   y = |A-^4- •
2. y(x-ex)2 H + e
Výsledky t a) 3X.ln3, b) KF.lnlO , c) (V3 ) .lnK3 , d) ex(cos x - sin x ) ,
e) ex(cosx+sinx+2x,cosx), f)    2e* , , g) - 2'1°Z-lní0, h) - k) i-*'?**
(l-ex)2 (Í+IO1)2 2X 4X
f #
- 103 -
e
x-        » ^ ——ľ~2-        ^ --      P; tt-
( 98 )
y   =   logax ,   y' =   i.logae   =  \' XHä '     * = ^ *
219.cvičení.   Derivujte funkce :
2
a) y = x .log,x , b) y = x.log x , c) y = x.lnx - x , d) y = rc.sir. x.In x
e) y = f) y = — ,g) y = ±=i3£f h)y= ln6x, 3c) y =ylnx, s)ts r _+ in2x
x lnx 1+lnx
Výsledky : a) 2xlog?x + xlog^e, b) logx + , c) In x , d)sinx,i:ix -ŕsinx +
+ x.cosx.lnx , e) 1"n-j[ľr , f) -     1 ■>    , g) -=-2-        , h) |.in5x ,
x31*"1 x.ln^x x(l+ lnxr x
ln x
k) -ŕ , m)--
3x /ln2x x. VŤ-+ ln2x
• • •	=   arcsin x ,   y' s	1	:   arccos x , y =-	1 :
		vír?		
i y = •	=   arctg x   ,   y' =	1	:   arccotg x, y'=-	i :
		1+x2       5     7 :		—_ . 1 +yŕ : •
220.cvičení.   Derivujte funkce :
a) y = x.arcsin x, b) y = 3X0003 x, c) y = VLarctg x , d) y =   arcsin x ,
2 .......
e) y = (arcsin x)2 , f) y =   ÍSSSŠp x)     , g) y = ľ 1 - (arccos x)2 . Výsledky : a) arcsinx + —^-, b)- ž±SES£ggJSE , c) arctg_x + J£
VI^       x2. \CT
d)
V 2
il-x   + x.arcsin x     e^ 2arcsinx   f^ arctgx ^
2Vx        1+ x'
arccos x
.2
Vd-x*)5 VH? 1+x2 Vl^?. Vl- (arccos x)T
'  DES í ZIKA   ÚLOH   čís.   íl Derivujte funkce :
I-----._____________________i
,\        arccotR x /-    x2* 2x(l+x2).arccotg x 7
X X  (1+X )
5\ „    e .arccos x /—  x /- arccosx         1         arccosx   \ ■»
2; y =- £  e .( —-—------; _/;
2
x
2
x + 1 x
3) y = —g-.arctg x   -   |   ,        ^~ x.arctg x   _7 ;
4) y = x. yi-x     +   arcsin x   ,       /" 2,
5) y = x - Vl^.arcsin x   , /" x<arcsln x    7 ;
Si v -   1 j x.arctK x ' arctp; x        7 .
- 104 -
7) y = x.(arcsin x)2 - 2x + 2. VZJ .arcsin x ,     f (arcsin x)      7 ;
8) y = l/l - arcsin x ^ -1-
f ar08ln X l/CT./íarcsinx)2 - 1 ^
9) y = x +  Kl-x2.arccos x   , *-arccos *      7 ,
10) y = Jx3.arcsin x   + (x2* 2). i/l-x2 ,   /" 9X2.arcsin x   _7 . § 28.DERIVACE   SLOŽENÝCH FUNKCÍ.
Složenou funkci nahrazujeme řetězcem funkcí,jež jsou jejími složkami 1 y = P/~f(x)_7   lze zapsat   y_=_l£z.i ,     z isf(i)
y = F{f^p(x)_7J lšliz)_ '     z = f£~?Cx)-7
z = f(u)   ,        u = <p(x) Důležité je vystihnout první,tzv. vnější složku   a pořadí vnitřních složek.Např.í
y = sin 2x        lze zapsat   y = sin z ,    z = 2x ;
2 2 y = sin x lze zapsat   y = z        ,    z = sin x ;
2 2 y = sin 2x        lze zapsat   y = z        ,   z = sin 2x
z = sin u   ,      u = 2x
:      y = F<ff (x)_7    čili    y = F(z)   ,     z = f(x) I
• •
: y'= *'(«> . f'(x) : (100)
! Stručně tDerivace složené funkce se rovná součinu derivací složek. :
y a sin 2x   5     y'= (sin z)'. (2x)'= cos z . 2 = 2.cos 2x
y = sin2x     ;     y'= (z2)'.(sin x)' = 2z . cos x = 2.sin x.cos x = sin 2x
y = sin22x   ;     y'= (z2)'.(sin u)'.(2x)'= 2z.cos u. 2 = 4.sin 2x ,cos2x
= 2.sin 4x
Při procvičováni derivace složené funkce se doporučuje provést v několika prvních případech nejprve její rozklad na složky,derivace složek znásobit a zavést zpět původní proměnnou x.Postupně je třeba se osvobozovat od zavádění nových proměnných a derivovat složenou funkci přímo.Za tím účelem budeme procvičovat derivaci složené funkce postupně na jednotlivých typech : derivace mocniny funkce,derivace složené funkce goniometrické atd.
Derivace mocniny funkce   byla již určována podle pravidla »
y = CtíxlJ*     ,     y' =   n.ftMJ11-1^ '(x)
Ověřte si jeho správnost a platnost pro každé n užitím pravidla (100).Připomeňte si*cvičení : 215,217,218opq,219hkm a 220defg.
Znovu se zdůrazňuje úprava zápisu funkce před derivováním v některých případech, jako :        y = cosS:     čili     y = (cos x)n     ;     y m tg0!      čili     y = (tg x)n ;
y = arcsin33* y = (arcsin x)n;     y = log11* y = (log x)n .
_ 105 -
^gilM§_§í°ÍggýgtL-fuakgí _goni ometrických. (101
\ y = sin f (x) y = cos f (x) y - tg f(x] r f (x)
Í y'= cos f(x).f'(x); y'=-sin f(x).f'(x); y'= -i-.í\i        = -f'(x)
cos^fCx) s^f(x)
y = sin(ax+b) ,   y'= cos(ax+b).(ax+b)'= a.cos(ax+b) 221.cvigeni»   Derivujte funkce i
a) y = sin5x, b) y = cos| , c) y = tgíjx2-*), d) y = sin/x, e . - = cosí^x2" ,
f) y = sini , g) y = cos -i-- , h) y = sin2x ,k) y = sin ií^i'yyrcOtgKl+x2,
1-2T
n) y = sin(sin x) , o) y = tg(sin x) ,p) y = cotgCln x), q) 7 =cos(arccos x) Výsledky:a) 5cos5x, b)- Jslnf, c)-$£=K-, d) 2SsS ,e)_ ^siJx2" ,
cos (3x -x) 2Vx
3.kx
f)- -4.cosi fg) —-2* m.sin -i-jr , h) 2x.ln2.cos 2X, k)    x      .cosl^l+? , x (1-x^) 1-x U, 2
m)   r      _" —-t"       ,n)cosx.cos(sin x) , o) -£os x- p)
3yo^ŕr*s±n2n^r cos (sln x) x.sinjfinx)
q) sin(arccos x)
K? 222.cvičeni.
a) y = sin54x ,b) y = cos3(2), c)y = —4—, d) y =    k y,e)y=l/t5, f)y3 1
tg22x sin3 f 2
Výsledky? a) 20sin\x.cos4x, b)-cos2(f).sin» ,c) -~ 4 g—, d)   3c°f2 f
In 1_ ^„olr-     *        *        tg2x.sin 2x        2sin 5
e; —.  iu--ir— ,    ~\        - cosVx 0 2
j y = af(x)   ,   y'= af(x).ln a.f'(x)   ; y = ef(x) , y'=ef«*>.f'(x>^(102)
223.cvičení.   Derivujte funkce t
a) y = a™, b) y= 5jř-2x+1, c) y= e3x, d)y= e~x, e) y= e^, f) y = eVx ,
g) y = e1* x, h) y= esin x, k) y= 2^ , m) y= e^, nj y=eVT5x', Oj^3^,
p) y = icř-^, q) y= e'^.ln x , r) y= x.e1"00^ ,s) y= sin( e*2*3*"5 ) .
Výsledkyt a) amx+n.lna.m ,b) 2(x-l)ln5.5x2"2x+1, c) 3e3x, d)-e~x, e) 2x.e^ ,
Vx   1      _\ „lnx 1     . n Äsinx Ä-„„     . -> „ , ~ 1 nx-1     „n „ 1 f; e   .—— p g; e     .- , h; e       .cosx , k; y.ln2.--—, m; y.——— 1
2Vx x ln x 2VT+X
2
n) y.-^      , o) y.lna.3sin2x.cosx , p) y.lnlO.(tgx + —x?-)»q)e~x.(i ~2xlnx)
2x.VTňx cos x
r) b1-00**^!* x.sinx) , s) (2x+3).ex2+5x-2.cos( ,^+3*-* ) . Na složené exponenciální funkce o základu e převádíme funkce exponenciálni, jichž základem je nějaká funkce proměnné x (nebo jen proměnná x).Přitom užíváme rovnosti pro a > O a   =   e1x1 a
- 106 -
Například y - x*    zapíšeme    y = eln y   =   e2,11^     ,pro   x ;> O
y'= =   ex,lnx.(lnx + 1)= x^lnx+l)
224.cvičení.   Podle uvedeného vzoru derivujte funkce i
a) y = xsin x , /y.Ccosx.lnx + ^J.ľ; b)   y « x*S * ,/">.( -Í2f- + «B; _7 .
cos X X
Poznámka. S derivací řuikcí exponenciálních tvaru
y » / ^J7 , stručně      * = u ,
se setkáme u derivační metody zv. logaritmická derivace , která je výhodnější, jde-Ji o složitější funkční zápis. r-------.-----......-----------1
j   DBSÍ'JJKA   ÚLOH   čís.   ?2     |        Derivujte funkce i
D 7 = cos2-^|   , y' = —.sin(2.i^ ) ;
i + Vx Vx.(l+Vxr 1+Vx
2) y = (tgi=2-)     , y' >( s.n 1^ ) .
l+ex (l+exr l+ex
3) y = sin2 , y' = 122^2. sin(2.l^E ) .
4) y =  1/ sin5 ~^x-
5) y
y' -      J.-1/sija .cos -£ŽĹ .
4.Vx(l+Vxr   F       1+Vx 1+Vx"
KJuZT), y' - §Cl+lnx). ,lnx).sin2(x,lnx) ;
Vx +1
6) y . e/Tfx   , y' . - y
a+x). Vi- x55
y' - - 12y.lnl0.sin33x.cos3x
n\ „,      1     x~-arctgx + ilnx +1       *     _   r ov        1 % 8; y = ~-.e °      2 , y   = y. i 2x - -——) ;
7) y = io^^x
Vx 1+ yŕ
2
9) y s 2sln x,cos x    , y' s 2y.ln2.sinx(cosx.cos x2-x.sinx.sin x2);
io) y = —-±—    , y' „
VIT?* ♦..V5.G.Vu ♦ e-^ )3
ŕ   y = log&f(x)   ,   7'= jf^čj-ftx).^   ;      y = ln f (x)   , y'=^yf'(x) j (103)
225acvičení.     Derivujte funkce :
a) y = ln(3-5x> ,b) y = ln(?x2-2x+5) ,c) y = in sinx ,d) y= ln cosx, e)y=ln tgx,
f) y a iog2(l-x2) , g) y = ln(x+ l'xk + ? ) , h) y = ln tg(| + f ) .
Výsledky; a) ^fL, b) —|£=2__, c) cotg x, d)-tg x, e) iI|-^t f) "g2x
ln 2
Y777      003 x
Jestliže u složené funkce logaritmické je vnitřní složka vyjádřena výrazem, který se dá logaritmovat,je výhodné nejprve naznačený logaritmus složky f(x) provést a pak teprve derivovat.
- 107 -
/75/.přiklad » y = ln ^^f = J.In g| = ln(l-x)
1-x 1
-1
Provádíme-li derivaci takové funkce přímo,pak v případe,:č .-^_:r-i složka je zlomkem,tj. f(x) - f píšeme při derivování'hned z^ = ~: T=rr- :l:nek ^|§j
nebo je-li   f(x) =^A~^f^. píšeme při derivování hned =.: = -: vyraz V^It"
U přímé derivace se setkáváme se složitějšími zápisy.Tak v  ~í-_±-íz -říkladě /75/ by bylo,,    WJJ   1/^  , , *
y = Kt=5E-( ta > = ta •? ta-c T+x ) - ■ z—p ■
226«cvičeni.   Derivujte funkci : ^
a) y = ln , b) y = ln ,°y = In ±=-í£ , y = m(x.sir s. '/i- x2 )
x-3 2- x* ex
Výsledky:a)        x"*--, b)   g 2x2    , c) —i- , d) i - —* cotg x .
(x-2).(x-3)        x -5x +6        ex- 1 x    1- yř
\  DESÍTKA.   ÚLOH   čís. 33    j      Derivujte funkce :
i_____,____________________i
1) y = ln - , y = -
2) y = ln-í-—   , y'= -
5) y = ln( e3
e* + Vl l e2x ) , y'= -Ä*
VIZ*
4) y = -i- .ln( VZ.tgx +   Vl + 2tg2x ) ,y'= -L
. ľxW+ 1
6) y - m Vl ~ sinx ' _ 1 , o; y _ in   Vl + 3inx y        cos x '
x
_ v Vln(ax2+bx+c) i * 2ax + b
7) y = e^TX" '< i y = y.-- ■ -~~---;
2(ax2+bx+c). Vln(ax +bx+c) 3/ '"' cotg x^"3
8) y = V la sin ^     , y'= -3 —Z=      — 5
'_ LS.v/ln^sin ^
9) y = ln ex-,2 + Ve2** ggZZ 2ex
Aa - Ve2** 4ex+ 1 Ve^WTT
10) y = ln I/' +!S y'= ~ 1
II - VTT
2x.V^"x
Při derivaci součtu dvou složených funkcí různého typu můžeme derivovat zvláší jednotlivé funkce,k čemuž se doporučuje zavést za tyto funkce nové označení.
/76/Např. u funkce,_ 2 ,_
y = |.(1 - V1+? )   + 3.1n(l+ yi+x2 )     zavedeme :
u = 2.(1 - V^l+x2 )*    , v = 3.1n(l+ )       a derivujeme
- 108 -
u'= - §ž + 6xKl+x v'_______6x
3.^(l4x2)2 " 3.^(lvx2)2.(l+ h+x* )
»      *      * 2x
y   =   u + v   ,       y   = u   + v =
1 +   ^1+ x2"
r------------------------—i
|  DESÍTKA   ÚLOH   čís.    ?4    j        Derivujte funkce j
J
1) y = 2. Vx-1   +   ln x+2 = 2-'i^L     , y'= SSL .
2) y = S^S. |^4x+x2   - 2.In(x+2 + /^x+x2 ) , y'= YZTTx^
3) 7 = - +   J.ln + , y'_- -1-
4) y = ln(l + Vl+x2 )   + -1 , y'=
1 + Vl+x2 x2+ 2   + 2Kl+x2
5) 7 * }. ^(3x+l)2   +   fW+l   +   ln( ^3x+l   - 1) , y'=   ,     1- ;
/3x+l - 1
6) y = Vx2+ 2x +2     - J.ln(x+1 + Ife^x-rô ) , y'=        *2+ 4x ;
Vx2* 2x + 2
vi—
7) yslnlx_±l x^l # _4x_ .
l+ex   - 1 „' x.ex
8) y = <x-£).řl+e*   -   ln Iiw     " x     , y'=
Ifc?   + 1 2. VIT?
9) y = —S-.arcsin x    +   ln Vl-x2   , y'= 53:03111 x-
_ (1-x2).^
10) y = - -SSggž       +     m V 1 + <*08 x , y' cos2x
2ain^x t      sin x sin^x
Derivace složených, funkcí .cyklometrických. (104)
• .
] y = are sin f(x) , y'= --.f'(x);   y= aretg f(x)   , y'= -±-f'(x)!
j Vi - &(xXř i+^(x272 :
: y = arccos f(x) , y'= " 1 —-.f'(x);   y =arccotg f(x), y'= -—-f'(x)Í
i n - (fixlŤ- i+íTíxif :
x+2       '__1 /X+2x' 1 1
/77/.Přiklad.
y = arcsin —r~ t 7 = .(-y—) = —- ^ . ▼ = — —-
227.cvičení.     Derivujte funkce í
a) y = are sin ST2 1       ;        b) y = i. are tg -5—i-
' 7    fx^? 2     ♦   7    x2- 2x +5
c) y = arccos , y'= —•;   d) y = arccos i   ,        y'= -i
V? Vl+ 2x- 2X2 X
109 -
e) y = arccos 2~   , y'=
-2
n 1-X2
g) y = arcsxn     n , y = 1+xT .
k) y = arcsin ex , y'=
ICTX
n) y = arcsin r 1-x2 , y'= ———;
1+ xT x
h) y = -Š. -
m) y = £,az:s^i ■
o) y = arctr--
2 5
-IF—2T
l+x^+x*
y-z
rx- x
2./1-x'
! DESÍTKA ÚLOH čís. 35 I Derivujte funkce I______________________,J
1) y = 2.arcsin
2) y a - £y§ y^ŤÄx-x2"   +  ^.arcsin ^ ,
-O _      1 . (x-2)^ ^ x^+2x+4
4) y =
x +2x+2
x -2x+2
-   -i-.arcte: 2í2
* vr  8 V3
+   J-arctg
5) y = I^ax^?
6) y = J.ln(x2+x+l)
2~.arcsin 1
a
2x+l
-arctg V3 Vf
+   a .arcsin - J
7) y = J.^x.Fa2- x2
8) y = x.arcsin +   arctg Vx    - ^x
y =
y =
y =
y =
y =
*
y =
M-g"
lf5+ 4x- x~
1
yp - 8 1
x*+4
x+~x~T
y   = arcsin!
9) y «
-    a.arctg
Derivace funkci hyperbolických. Pro hyperbolické funkce sinh x
y =
;a-x x
10) y :  i:: ^± ~ ;,t_-      +   2.arctg fjST ,
1 1/l-x
y = x* fi+x
ex— e~x
cosh x   = 6 + e 2
,     tgh x   = ex" e_x , cotgh x e + e
ex+ e~x
x -x
e - e
se odvozuje i
y = sinh x , y = cosh x y = cosh x , y'= sinh x y = tgh x     , y'=
y b cotgh x , y
cosh x
-1
-T"
sinh x
y = sinh f(x) ,
y = cosh f(x) ,
y = tgh f(x) ,
y = cotgh f(x) ,
y = cosh f(x).f'(x) y'= sinh f(x).f'(x)
y'= —-K-      .f'(x)
:(105)
cosh f(x)
y'=   "\ , ..f'oo
sinirf(x)
K zjednodušení funkcí,které obdržíte derivováním,užijte vztahů mezi hyperbolickými funkcemi,z nichž nejzákladnější jsou :
2 2 cosh x - sinh x = 1
tgh x =
sinh x cosh x
cotgh x
cosh x sinh x
- 110 -
2 2
cosh 2x = cosh x   +   sinh x     ;       sinh 2x   =   2.sinh x.cosh x
Z každého racionálního vztahu mezi funkcemi goniometrickými lze získat odpovídající vztah mezi funkcemi hyperbolickými tak,že
symbol   sin      nahradíme symbolem      i.sinh symbol   cos      nahradíme symbolem cosh 2
symbol   tg       nahradime symbolem      i.tgh - - 1
symbol   cotg    nahradíme symbolem -i.cotgh Přesvědčte se o tom u uvedených pěti vztahů mezi hyperbolickými funkcemi.
228.cvičeni.     Derivujte funkce :
a) y = cosh(sinh x) , b) y =   tghd-x2) , c) y = -Ggh(ln x) , d) y = sinh'x ,
e) y = sinh2x + cosh2x , f) y = ^cosh x , g) y = ln coshx ,h) y=arctg(sinh x).
Výsledky t a)sinh(sinh x) .cosh x , b) -g 2x g   , c)-- ,
cosh (1-x ) x.cosh (lnx)
d) 3sinh2x.cosh x , e) 2sinh 2x , f)   ■slnh x  , g) tgh x , h)
2l&hx cosn x
DESÍTKA.   ÚLOH   čís.    36 Derivujte funkce í
1) y = - ln cotgbf ,1'—=^*- J .        2) y = ln cosh x   +    1   m ,^gh?x7
sinh x sinlrx 2cosh x
3) y = i.tgh \   - i.tgh5 f ,C-^-TTx 7;        4) y = arcsin(tgh x) , f—- _7;
4cosh   j cosh x
5) y = arccosí —ig-^ ) ,     fséxx -7 *        6) y = arctg(tgh x) , /~c08n 2x _/
7) y =   Vi + sính24x" ,        ^*4sinh 4x_7? 8) y = y(l+tgh2x)3,/--x 7
2cosh2x.Vl+tgh£;x
9) y = ecosh*x   ,        reC03h2x.Sinh2x 7 HO) y= ítghx + %Ui t^f-ft* + 1 ,
^ a       1 - /2.tgh x
1-sinh x
L o g a r i t m i c k á___d_e _r_i_v_a_c_ie.
Funkce vyjádřené výrazem,který se dá logaritmovat,můžeme derivovat metodou tzv. logaritmické derivace.Podstatu této metody tvoří derivace složené logaritmické
funkce : <fln f(x) J' = ^jj.f'(x)   = f^p
Při označení   y = f(x)        ^~ln y j'      =   ± . y'        = Z
Kromě funkcí,jež jsou součinem a podílem mocnin funkcí.derivujeme metodou logaritmické derivace funkce tvaru
y   = /u(x)_7vU;   , stručně    y   =   uv . Postup ukážeme na dvou příkladech t ^
/78/.příklad x y = ŽSiíHjjB
" ^3?
1. krok t funkční rovnici logaritmujeme (přirozeným logaritmem )
ln y = 3.1n(xH) + J.ln(x-2) - |.ln(x-3)
2. krok : derivujeme obě strany vzniklé rovnosti funkci
- 111 -
*     ■ — -
y " "x+I + 4(x-2) ~ yŠ-T
3*krok s pravou stranu upravíme 0
1 _ SfeT - ?02g + 561 y   2o(x+i; tx-2; ^x-3~J
4.krok s rovnost násobíme číslem y,za něž na pravé strac:  -    -r.zŕ i=-su funkci;
p
?x   - 302x + :
^ôCx-lHx-TT
po krácení y'= 3^-302^,^3,61 _
•y .. •
229.cvičení.     Užitím logaritmické derivace derivujte funl-::^ -
a) y = U+x).|^.^5+5    , y' - -&L3SľL*£+^^--1ť
b) y
(x+1) 2(x+i>6, í^l
5--_
1/ x.Cx2^ 1)
3x2 jhlOx -ť 20
l$(x2*4) .yčx-5)2,^ŕ
d) y = 1/ -x-? » y' =
Derivujte některý z těchto případů také dřívějšími metodami a srovnejte s metodou logaritmické derivace.
fix)
Touto metodou možno derivovat všechny složené exponenciální funkce tvaru y =a ', a >0. Viz cvič. 223.
779/.Přiklad s y   =   (sin x)coa x
i.krok slogaritmujeme   In y   a   cos x . In ein x
■» 2
2cos X / s -sinx.ln sinx   +   -g^-^      /• y
3. a 4*krok : y' -   (cosx.cotgx - sinx.In sinx).(sin x)cos x
230.cvičeni.     Užitím logaritmické derivace derivujte funkce :
a) y = x* , b) y = ^ , c) y b 2.x^ , d) y = xx?~ , e) y = x111 x,f)y=xar^nx,
g) y ^(sin x)x, h)y= (tg x)xs k)y«= (ln x)x, m)y= ( ~j ) , n)y = ( j±| )
Výsledky i a) x^l+lnx), b)    +/    , c) i^Sž-.y , d) x3^1. (2.1nic +1) , ---------- 2.Vx
e) 2,xLnx"1.lnx ,f) y* k —~ + SS£|Ž£JE ^ gj y.(ln s±ox   + x.Cotg x ) ,
Yi- x2
h) j.(In tgx   + ), k) y.( +   ln lnx ),m) y.( jij + ln )
Q) (I^?'(1 + lnT^   } '        b)  ^F^.U- lnx) Derivace funkce daaé.....i m pli cit n ě .
U funkce dané implicitně rovnicí     F(x,y) = 0    předpokládáme exiätenci explicitního tvaru   y = f(x) , i když někdy nedovedeme   vypočítat y z rovnice F(x,y)=0. Tedy také ve funkční rovnici P(x,y) =0   je y jistou funkci proměnné x,a to nejčastěji funkcí složenou.Proto při derivování se setkáme s takovými zápisy t
(ay)'=   a.y'   ;       (y*)' =   n.y^.y'     ;       <xV>' =   3x2y4 + 4y5y.'x3
- 112 -
(sin y)' =   cos y . y'   ;     (e7)' =   e7.y'   5     (arcsin y) =
Derivaci implicitní funkce   F(x,y) = 0   budeme zatím počitat zcela formálně takto
Funkci   F(x,y)= 0   derivujeme podle proměnné x,přičemž y považujeme za funkci x.
Ze vzniklé rovnice vypočteme derivaci y' jako neznámou.
/80/.přiklad : ? ,
x^-2xy   +   3r-l   = 0
2x   - 2(y+yíx)+3y2y'       = 0
3y - 2x
Derivace funkce určená z implicitního tvaru je obyčejně vyjádřena oběma proměnnými   x,y. Hledáme-li pak derivaci funkce v určitém bodě, tj. pro určité x,musíme si vypočítat i příslušnou funkční hodnotu y   z funkční rovnice   F(x,y) = 0.
251.cvičení.     Vypočtěte derivace funkcí daných implicitně :
a) y2 = 2px , b) b2x2+ a2y2 = a2b2, c) x3* y3 = Jaxy , d) x2/2 - x4 - y4 = a4,
e) (x2+ y2)2 = 2a2(x2- y2), f) y - e.sin y = x , g) xy - ln y =a, h) yx2 = e7,
k) yex + e7 = 0 , m) e7 - e~x + xy = 0 , n) y - arctg y = x .
Výsledky , a)y'= f, b) y'= -        , c) SgsĹ , d) ŽÍZ^j£lt éz *\\
7 + yaá ya-ax y(2y2- x2)        y(x2+ y27a^)
f) _-1-, g) __£_., h)     27    , k) -2-, m) - ^£ , n) 1   + 1 .
1- e.cos y       1 - xy       x.(y-l)        y-1 ejr + x
Poznámka.Dané funkční implicitní rovnice se užívá někdy k zjednodušení výsledku.
Derivaci funkcí daných implicitně budete později počitat užitim tzv.
parciálních derivaci funkce dvou proměnných. r------------------,------j
!  DESÍTKA.   ÚLOH   čís. 37    !        Derivujte funkce dané implicitně : I------------_------.------1
ye*7 - yex - *7
1)	xe7 + yex -	e3*7 = 0 ,	y
2)	sin(xy) - e	- x2y = 0 ,	y
3)	2 2 x^ +	2 . a*	y
4)	arctg =22		y
5)	x7   = y*	*	y
6)	in Vx2+ y2	=   arctg 1 ,	y
7)	y   =   2x.arctg | ,		y
8)	ex.sin y -	e~7.cos x   = 0 ,	* j
9)	x.sin y -	cos y   +   cos 2y =	0, y'
xe7 + ex - xe^ y.(2x + e'*7- cos xy) x(cos xy - e7^ - x )
-W .
a2
^ 5
(x+y)
y(y- x.ln y) _ y2(l- ln x) x(x- y.ln x)     xr(l- ln y)
x + y
x - y '
Z x
exsiny + e"7sinx
excosy + e"*7cosx
__sin y_
x.cos y + sin y - 2sin 2y x _y_
10)   x.e 2   +   y.e"2"   =   2 y' =   7'e ? ~ 2*e- .
s   "Í "I «í.e    - x.e
x
-  113 -
§ 29. DERIVACE   FUNKCE   VYJADRENÉ PARAMETRICKY.
Je-li určitá funkční závislost   y = F(x)   dána ávér_§. : •_- _ řevnicemi
x = f(t)     ,       y = g(t)  , (106) rozlišujeme derivace obou těchto funkcí podle parane.r- :        ;ť:. i:í funkce F(x) podle proměnné x.Proto také budeme užívat rozdílr--_;  . :
x    nebo     f    pro derivaci funkce   f(t)   podle ;a_ : .
y    nebo    g    pro derivaci funkce   g(t)   podle z-^zs -.: j .   - .
y    nebo P'(x) pro derivaci funkce   F(x)   podle rrcr_i.-_ii     z . Derivaci   y' vyjádříme podílem diferenciálů   dy   a   dx , Irter-       ::re~e z pa-rametrických rovnic : dx = f(t).dt   ,   dy = g(t).dt
Proto y' =      = §   =   ? (107)
°*    f x
Derivace y' je pak vyjádřena jako funkce parametru t.Např. :
x = a.cos t   ,     y = b.sin t        ;        x = - a.sin t     ,   y = o.cos t
'   v    b.cos t b    ^ j.
y _ í _ "■■„. _ _ |.cotg t
x    -a.sin t
Pro t =       jest   y'= - |- , což je směrnice tečny v bodě   t = jj". Hledáme-li rovnici tečny v tomto bodě.musíme z parametrických rovnic vypočítat souřadnice x,y bodu dotykového,přxslusné parametru   t = £
Tečna v bodě   T( ^.^Š » jr*!^ )   ma rovnici     bx + ay - ab.^2 =
0
Pro určení druhé_derivace funkce   y = F(x) , dané parametrickými rovnicemi (106) si uvědomíme,že první derivace y' je funkcí parametru t.Proto k druhé derivaci y" lze dospět takto i *    . * dt     aj*, to    dy'   • nnRs
Druhou derivaci y" můžeme tedy určiti tak,že funkci y' derivujeme podle t a dělíme derivací funkce   f(t)   podle t.Takto lze postupně tvořit i vyšší derivace. Druhou derivaci vypočítáváme také podle vzorce :
y  = (-4-)*   s   f  = " l'fi (109)
(f)
f
/83/.příklad.Pro funkci x = ascos t     ,     y = b.sin t
x =-a.sin t     ,     y = b.cos t
1.způsob: podle (108) 2.způsobí podle vzorce (109)
y    = ( -    cotg t )    : f f =-a.sint^^ g = b.cost
=     - L-=V   * <-a'sin *> f =-a-COat^f><^S =-b.sint
sin t „"     ab.sin t + ab.cos t
y     = -_—_-
b -a*'. sin^t
~ azsin5t =--^
a2sin^t
232 .cvičení.   Vypočtěte 1. a 2. derivaci funkcí daných parametricky :
a) x = a.(t+l)   , y = a.ť      ;     y'= Jt2 y"= |.t
b) x = a.ln t     , y = |.(t+ |)j     y'= |(t- |) y"=
1 + t2
- 114 -
c) x = a.t2 , y = b.t5       ; y'= g£
d) x
t+t"
. t-t5      .   *   (ťc»i)(t*ŕ-»t^+i)    ~     - I2t(i+t*)
.4 ,.,.2.
7"=-^-4a£t
e) x
.2t
f) x = (ŕ
g) x = a.cos^t
y = e
1+ť 1-fb
U-t^CtW+l)"* J (l-t^íW+tV
y =
% y
f t.Ci
. 3 ' a.sirt ; y = - tg t
t y =
i
h) x = at.cos t , y = at.sin t; y'=
3a.cos t.sin t
2
s m t ■» t.cos t      " _2 + t
t j -
cos t - t.sin t
a(cos t - tsínt)-
I DESÍTKA ÚLOH čís 37a I Vypočtěte 1. a 2. derivaci funkcí daných I__________________________j      parametricky :
D
2)
3)
4)
ô)
7)
3)
x = a.(t- sin t) y = a.(1- cos t)
x = a,(t+ sin t)+b.sinj|
y = a.(2+ cos t)+b.cos~
fx = a.cos t+(at+b)sin t
[y = a.sin t-(at+b)cos t a.cos t
y = cotg 2
0 0
y =
- i
y =
tg|
y =
a.(l - cos t) _-1
—^-z—
cos 2-,(4a,cosjř +b)
y =
(at+b).cos5t
ly =
Vcos 2t a.sin t
f     cos 2t. I^čos 2t
y b---j-
a.sin^t
Vcos 2t x = a.cos t. ^cos nt
y = a.sin t.
x = —^, 1+ ť
y = bt -
y = tg t y*= cotg t
y*= - cotg(t+ nt)
v'^ _ b.CU ?t2+2t4)       *>_ b.(6tc-l).(t*+l)
y'-        - (n+l).cos nt a.sin3(t+nt). ykos nt
2^3
bt
2.(1+ t?)
fx =
y =
a. cos t 1+ 2.cos t
b. sin t 1+ 2.cos t
h
a.e
4at
r'__       b.(cos t +2)
a. sin t
8aŕV
b.(l+ 2.cos t)3
y------i—
aSsin^t
cos t - sin t
••f
y =-gat - a*ln fcost-sintj
'x = a.^Äi . m tg(5" + |) 7 cos t 4      ^ "
\lcostJ.81nt
y =
sirtt - cost
y     = -5-
a.e
'X _ 3cos t.cos 2t
-T"
cos^t
mt
sin 2t
y =
4a.sin t
^       fx = e   .cos nt
'c:>   i mt
[y = e   .sin nt
'   m.sin nt +n.cos nt (m +n ).ne
- —- ,y ---3-"-5r
m.cos nt -n.sxn nt        (m.cos nt -n.sin nt)?
- 115 -
Funkční rovnici v polárních souřadnicích dáváme explicitní tvar   r = f (<ý>) Pro určení derivace   y'= ^  nahradíme rovnici   r = f (<f)   pararie-rickými rovnicemi užitím transformačních rovnic
x = r.cos y    »     y = r.sin <p Dosadíme-li za r pravou stranu polární rovnice   r = f( <p)    , otiržíme
x =f(p).cosy? ,     y = f (y).sin f  , (110) což jsou parametrické rovnice s parametrem cp .
Rovnicemi (110) se převádí derivování funkce dané polární rovnicí na derivaci funkce vyjádřené parametricky.Parametrem je <J> •
/82/.přiklad t r   ■   a. <f> (Archimedova spirála)
Parametrické rovnice* x = a. o^.cos <p ,     y = a cf? .sinej?
x = a.(cos^>- f.s±o.cp) ,     y = a.(sin cp + 3?.cos cf> )
y'- 5 _   sin f + y. cos 9 x      cos 9? -    sin ý
v"   ŕ 2 )*     1   - ( sin 9? + ?Uos <P \* _1_
7 x       'i   "     cosjO-^.sin^      * a.(cos^-^.sin^)
Po derivování a po úpravě obdržíme :
a.(cosy? - (jP ,sln<f)3
DESÍTKA   ÚLOH   čís. 37**   l      Vypočtěte 1.derivaci funkce y= f(x) dané polární l--------------------------1      rovnicí :
1) r = a.(l- cosc?) , y'= tg § <p 2) r = a2.cos 2o?,y'= 6cosV -5003?
7 * J esin^^ -5sin<?
3)r=_^Í_   , y'=   cotgy.^2Bln^ 4) r , I y^sin^-y.cosf
cos 2J» l+2cosC(? f cos f+f.sxnp
5) r = a.emy y'= m,3Ín9+0039;     6) r =tfk y'= k.sinf + fcos^
m.cos^?-sin^3 ^ k.cosy - y>siny
7) r = _l_ y'= 1 - cos Z 8) r = a..1+si*? , y'= 1+ 2sln/ -sln^»
1- cos<j? sin^? cosy cos-^
9) r = a.sin y'= 3Bln<P+co8<fttfi3?> 1Q)r = a.8in3f     y'= tg $
7 3cos^-sin^.tg3^ p 3 .
- 116 -