Kapitola 1 Polynomy S polynomy či česky mnohočleny se setkáváme již od dětství. Obyčejná přímá úměrnost se dá vyjádřit vzorcem y = kx, kde x G IR je nezávisle proměnná, y G IR je závisle proměnná afcGl, fc^Oje konstanta. Rovnice přímky ve směrnicovém tvaru je y = kx + q. Můžeme se na to podívat i z jiné strany, totiž, že rovnice y = kx + q představuje jistou funkci, jejímž grafem je přímka, po latinskú linea, proto tuto funkci pokřtíme jménem funkce lineární Později jsme poznali i funkci kvadratickou, která je definována vztahem y = ax2 + bx + c, přičemž Jen pro pořádek dodávám, že grafem kvadraticé funkce je parabola, jejíž osa je rovnoběžná s osou y. Zopakovali jsme si to co známe z předchozích kurzů a nyní začneme zobecňovat. Def. 1.1 Polynom stupně n je dán vzorcem Pn(x) : y = anxn + an_xxn~x + ... + axx + a0. kde x G IR je (nezávisle) proměnná, a,i G IR jsou koeficienty, opět klademe podmínku an ý 0 a n EN je stupeň polynomu. Poznámka 1.1 Tato definice může být rozšířena i na čísla komplexní, a to jak pro koeficienty, tak pro proměnnou. My však budeme uvažovat jen polynomy reálné. Poznámka 1.2 V mnoha učebnicích se můžeme setkat i s označením jdoucí do protivky, tedy a0xn + ... + an. Operace s polynomy máte zažité již od základní školy, připomenu proto jen dělení. Věta 1.1 Necht jsou dány polynomy Pm(x) aOn(x), m > n. Pak existují polynomy Qq{x) a Rr(x) takové, že platí Pm{x) = Qq{x)On(x) + Rr(x) Polynomy Qq{x) a Rr(x) jsou určeny jednoznačně. Poznámka 1.3 Polynom Rr(x) může být roven nule (nulovému polynomu). 1 2 KAPITOLA 1. POLYNOMY Poznámka 1.4 Pokud někdo namítá, že jsem opsal větu o děleni celých čísel, tak má samozřejmě pravdu. Proto ponecháme i názvosloví, zejména Qq{x) nazveme podíl a Rr(x) zbytek. Nyní přistoupíme k definici pojmu kořen polynomu. Def. 1.2 Řekneme, že číslo x = c je kořenem polynomu P{x), jestliže platí P'(c) = 0. Hledat kořeny polynomu znamená řešit rovnici anxn + an_xxa^x + ... + a\x + a0 = 0. Takovéto rovnici říkáme algebraická a x nazýváme neznámou. Již vidím, jak si mnete ruce, jelikož si myslíte, jak snadný život vás v tomto kurzu čeká, musím však vaše nadšení zchladit. Hledání kořenů je obecně velmi nesnadné a mnohdy ani k cíli nevede. Nejdříve rozhodneme, zda vůbec kořeny existují. Zde uděláme jednu výjimku a povolíme i komplexní čísla. Pak platí věta, která je též nazývána základní věta algebry. Věta 1.2 Každá algebraická rovnice má alespoň jeden kořen. A ještě jedna věta, která je známa jako věta Bezoutova. Věta 1.3 Dělíme-li polynom P{x) dvojčlenem x — c, je zbytek roven P{c). Vskutku, podle věty (1. 1) platí P(x) = Q(x)(x - c) + R(x) Dosadíme-li x = c, jsme s důkazem hotovi. Navíc jako důsledek můžeme uvést následující větu. Věta 1.4 Číslo x = c je kořenem polynomu P{x) právě tehdy, když výraz x — c dělí tento polynom beze zbytku. Dejme tomu, že jsme nějakým způsobem zjistili, že číslo x = c\ je kořenem polynomu P(x). Pak platí Pn(x) = (x — Ci)Qn-i(x). Podle základní věty algebry má polynomQn-i alespoň jeden kořen, dejme tomu c2, platí tedy Qn-i = Qn-2{x — c2), či Pn(x) = {x- ci)(a: - c2)Qn-2{x). Tak budeme postupovat tak dlouho, až nalezneme všechny kořeny. Polynom Qn-i(x) může mít za kořen opět číslo x\. V tom případě říkáme, že Ci je dvojnásobný kořen polynomu Pn(x). Zbývá nám dořešit, jak je to s kořeny komplexními. Je-li x = a + bi kořenem polynomu Pn(x), je i číslo komplexně sdružené kořenem tohoto polynomu. Součin patřičných kořenových činitelů {x — a — bí){x — a + bí) je roven x2 — 2ax + a2 + b2, tedy je to kvadratický trojčlen s reálnými koeficienty. Je tedy namístě uvést následující dvě věty. Ti, kteří ještě neslyšeli o komplexních číslech, nechť mají chvíli strpení, tento číselný obor bude zmíněn na konci kurzu. 3 Věta 1.5 Každý polynom stupně n má právě n kořenů, bereme-lí v úvahu jejích násobnost. Věta 1.6 Každý polynom stupně n lze rozložit na součin polynomů stupně nejvýš dva. Tento rozklad je jednoznačný (až na pořadí činitelů). Kdo v poslední větě vidí paralelu se základní větou aritmetiky, má nejen dobrý zrak, ale také mu to myslí. Nyní se zkusme podívat na problém z jiné stránky. Řekněme, že jsme objevili kořeny C\ a c2 kvadratické rovnice. Potom tato rovnice má tvar (x — c1)(x — c2) = 0, což po úpravě dává x2 + (—c\ — c2):r + Cic2 = 0. Použijeme-li standardní označení, obdržíme tzv. Vietovy vzorce ci + c2 = -p cic2 = q. Analogicky pro kubickou rovnici x3 + px2 + qx + r = 0 lze odvodit vzorce Ci + c2 + c3 = -p Cic2 + Cic3 + c2c3 = q C1C2C3 = -r. Obdobné vzorce můžeme odvodit i pro rovnice vyšších stupňů. Tento poznatek můžeme využít pro případ, že koeficenty algebraické rovnice jsou celočíselné. Věta 1.7 Nechť v algebraické rovnici anxn + an_\xa^x + • • • + a\x + a0 = 0 platí clí G Z pro všechna i = 0,1,... ,n a nechť xq = - je kořenem této rovnice. Pak p\a0 a q\an. Užití této věty si ukážeme na několika příkladech. Příklad 1.1 Najděte kořeny polynomu x3 — 3x2 — 6x + 8. Koeficienty tohoto polynomu jsou celočíslelné, proto jsou případné racionální kořeny jsou rovněž celočíselné (patřičná rovnice je totiž normovaná, kdy koeficient u nejvyšší mocniny je roven jedné) a navíc jsou to dělitelé čísla osm. V úvahu tedy připadají pouze čísla ±1,±2,±4, ±8. Snadno se přesvědčíme, že kořenem je číslo x = 1. Platí (x3— 3x2— 6x + 8) : (x—1) = x2 — 2x — 8. Zbývá najít kořeny podílu, což znamená vyřešit kvadratickou rovnici x2 — 2x — 8 = 0, což je úkol snadný, zbývající kořeny jsou x = —2 ax = 4. Můžeme též psát x3 — 3x2 — 6x+8 = (x— l)(x+2)(x—4). Příklad 1.2 Najděte kořeny polynomu x4 + 2x3 — 2x2 — 6x — 3. Snadno najdeme první kořen x = — 1. Nyní musíme hledat kořeny polynomu x3 + x2 — 3x — 3. Je to vlastně nová úloha, ale ne zase tak docela. Pokud jsme některé kořeny u zadaného polynomu již vyloučili, nemohou být kořeny ani zde. Číslo x = — 1 však kořenem být může, dopručuji jím začít a zjistíme, že se jedná o kořen dvojnásobný. Nový podíl je x2 — 3 a zbývající kořeny jsou ±\/3. Patřičný rozklad je xA + 2x3 - 2x2 - 6x - 3 = (x + l)2(x - VŠ)(x + \/3). 4 KAPITOLA 1. POLYNOMY Příklad 1.3 Najděte kořeny polynomu x3 + 3x2 + Ax + 12. Již osvědčeným způsobem zjistíme, že kořenem je x = —3. Polynom x2+A reálné kořeny nemá, kořeny komplexní jsou x = ±2i. Patřičný rozklad je x3 + 3x2 + Ax + 12 = (x + 3)(x2 + 4). Zdálo by se, že máme vystaráno, avšak pozor! Rovnice s celočíselnými koeficienty nemusí mít racionální kořen, jak nám ukazuje jednoduchý příklad polynomu x4 — Ax2 — 5, kdy ani jedno z podezřelých čísel ±1,±5 kořenem polynomu není, ačkoliv tento polynom musí mít kořeny čtyři. V tomto případě se z toho ještě můžeme vylhat substitucí y = x2, což vede na rovnici kvadratickou y2 — Ay — 5 = 0 s kořeny yľ = — 1 a y2 = 5 a po návratu k původní proměnné skutečně získáme čtyři kořeny x\ = i, x2 = —i, x% = y/E, x4 = — y/E. Jen pro pořádek dodám i rozklad x4 - Ax2 - 5 = (x2 + l)(x2 - y/E)(x + y/E). Také se asi podivujete, proč neřešíme rovnice vyšších stupňů pomocí jednoduchých vzorců jako je tomu v případě kvadratické rovnice. Tady nás ovšem čeká velké zklamání. Věta 1.8 Algebraická rovnice stupně n > A není řešitelná pomocí koeficientů u neznámé (tzv. radikálů). Řešení rovnice lineární se bere už na základní škole, vzorce pro řešení rovnice kvadratické jsou rovněž notoricky známy. Řešení rovnice kubické je poměrně velice pracné, přesto se u ní zastavíme. Je-li dána rovnice x3 + aľx2 + a2x + a3 = 0, lze substitucí x = y — y eliminovat kvadratický člen. Můžeme tedy uvažovat rovnice tvaru x3 + px + q = 0, jejíž kořeny jsou dány vzorcem 3/ lp3 q2 q 3/ lp3 q2 q sf— sf— X=VV27+ 4 - 2 + V-V27 + 4 - 2 = ^+^ Tyto vzorce nesou poněkud neprávem název Cardanovy. Příklad 1.4 Pomocí Cardanových vzorců řešte rovnici x3 — 6x — 9 = 0. Zde je p = —6 a q = —9. Dosazením do vzorce máme R\ = 1 a R2 = 2 a máme kořen x\ = 3. My víme, že polynom x3 — 6x — 9 můžeme rozložit na součin (x — 3)(x2 + 3x + 3). Zbývající kořeny jsou tedy komplexně sdružené x2^ = ~3=^žV^. Samozřejmě že tyto kořeny umíme najít i pomocí vzorců. Jak se dozvíme v závěrečné kapitole, existují tři odmocniny z jedničky, a to e± = 1, e2 = —\ — a 6% = — \ + • Zbývající dva kořeny jsou x2 = e2y/R~[ + £3yfR2 a x% = £3y/R~[ + e2yfR2. Příklad 1.5 Řešte rovnici x3 — 6x + 4 = 0. Budeme postupovat podobně jako v předchozím příkladě. Jenž ouha, dostali jsme \J—^§7- Tato rovnice by tedy neměla mít řešení, leč snadno se přesvědčíme, že x\ = 2 a známým postupem nalezneme x2^ = 1 ± y/3. Tato záhada trápila matematiky již v 16. století a díky ní byla postupně vybudována teorie komplexních čísel. Jak již bylo řečeno ve větě (1.8), tak nelze vynalézt vzorec pro řešení rovnic vyššího stupně než čtyři. Přesto někdy potřebujeme znát alespoň přibližnou hodnotu kořene. Zatímco při výuce matematiky preferujeme malá celá čísla, v praxi je 5 tomu spíše naopak a nalezení přibližné hodnoty kořene má svou cenu. Ukážeme si tudíž aspoň některé z metod jak toho dosíci. První problém je tzv. separace kořenů, to jest nalezení intervalů, v nichž se nachází právě jeden kořen. Jednou z možností je tato: Věta 1.9 Nechi funkce je v intervalu [a; b] ryze monotónni a nechť je f(a)f(b) < 0. Pak je v intervalu [a; b] právě jeden kořen. Poznámka 1.5 Tuto větu můžeme aplikovat i na jiné rovnice než algebraické, např. rovnice transcendentní. Omlouvám se, ale neumím v techu obrázky, tak alespoň slovně. Sestrojme v bodě x = a tečnu ke grafu funkce y = f {x). Tato tečna protne osu x v bodě x = a\. Stanovíme funkční hodnotu f(aľ) a v tomto bodě opět sestrojíme tečnu atd. Tak budeme pokračovat tak dlouho, až se k hledanému kořeni dostaneme s požadovanou přesností. Nyní byste měli ocenit, že jsem trval na tom, abyste rovnici tečny a normály uměli sestrojit, takže víte, že tečna má rovnici V ~ f(a) = f'(a)(x ~ a)-Průsečík tečny s osou x najdeme tak, že položíme y = 0. Obdržíme /(«) ai = a~ či obecně _ /(fln-l) (ln &n—1" f'(an-i) Jelikož podle předpokladu je funkce f(x) ryze monotónní, tak její první derivace nemůže být rovna nule. Pozornému čtenáři neunikne, že tímto postupem se také můžeme kořenu vzdalovat, vyřešme tedy problém, v kterém bodě začít. Věta 1.10 Nechi v intervalu [a;bj je f'(x) / O a f"(x) / O o nechi je f(a)f(b) < 0. Pak je třeba vybrat ten koncový bod intervalu, v němž funkce a její druhá derivace maji stejná znaménka. Příklad 1.6 Najděte kořen rovnice x5 — x — 0,2 = 0 v intervalu [1; 1,1] Je /(l) = —0,2 a f (1,1) = 0,31051, kořen tam tedy je. Dále máme f'(x) = 5x4 — la f"(x) = 20x3, jak první tak druhá derivace jsou kladné, startovat budeme tedy z bodu a = 1,1. Je f'(l, 1) = 6,3205. Vypočítáme 0,31051 ai = 1,1 --- = 1,051 6,3205 Zkusíme ještě jeden krok, /(l, 051) = 0,0313, /'(1,051) = 5,1005. 0 0313 °2 = 1'°51-ŕôÔ5=1'04487- Takto postupujeme až dosáhneme požadované přesnosti. 6 KAPITOLA 1. POLYNOMY Čiperové mezi vámi si všimnou, že díky tomu, že funkční hodnoty na koncích intervalu leží v opačných polorovinách vymezených osou x je můžeme propojit úsečkou, která protne osu x blíže kořene. Rovnice této přímky je f(b)-f(a), V - f (a) =-7-(x ~ a) o — a Položme y = 0, pak obdržíme Tento působ výpočtu kořene se nazývá regula falší a je obdobná lineární interpolaci při hledání v tabulkách, což je pro vás věc zcela neznámá. Příklad 1.7 Pustíme metodu regula falší na rovnicí z předchozího přikladu. Máme 0,1.0,2 ai = 1 + —-— = 1,039 1 0,51051 a v druhém přiblížení 0,012.0,0282 a2 = 1'°39+ 0.0595 =l-0Am- Nyní prosím ortodoxní matematiky, aby tento odstavec nečetli. Jelikož pro tuto metodu platí podmínka f"(x) ý 0, je graf funkce vždy vypouklý. Zatímco Newtonovu metodu používáme tam, kde je graf vypouklý, metoda regula falši se používá na straně opačné. Výsledky jdou tedy kořenu naproti z obou stran. Vrátíme-li se k předchozímu příkladu, tak za kořen můžeme považovat číslo 1,045. Vskutku, do-sadíme-li je do levé strany rovnice obdržíme 0,0012, což je pro technickou praxi slušná hodnota. Kapitola 2 Číselné obory V této kapitole se stručně zmíníme o konstrukci číselných oborů. Zatím jsme zaváděli číselné obory pouze intuitivně, tedy například přirozená čísla jsme chápali jako počet prvků konečných množin. Kdo bude pokračovat v magisterském studiu, tak se dozví, že přirozená čísla jsou kardinální čísla konečných množin. My půjdeme trochu jinou cestou. Matematika je založena na třech pilířích—axiomy, definice a věty. Položme si tedy otázku, zda by bylo možné vybudovat množinu přirozených čísel pomocí axiomů. Tuto problematiku vyřešil italský matematik Giuseppe Pe-ano. Jeho axiomy můžeme uvést v následujících bodech. Předtím však zavedeme pojem následovník, jakožto další prvek v lineárně uspořádané množině. Značit ho budeme a+. Nyní si můžeme uvést Peanovy axiomy. 1) Ke každému prvku a G N existuje následovník a+ 2) 1 G N 3) Jednička není následovník žádného prvku 4) Jestliže platí a = b, pak platí i a+ = b+ 5) Nechť A C N, přičemž platí: i)l G A a ii) Jestliže a E A. pak i a+ G A. Potom A = N. Poslední axiom je axiom matematické indukce. Jeho použití si zopakujeme na jednoduchém příkladě. Příklad 2.1 Dokažte, že pro všechna n G N platí 2+ 4 +6 H-----h2n = n(n + l) Jelikož tvrzeni má platit pro všechna přirozená čísla, důkaz provedeme matematickou indukcí. Krok první spočívá v tom, že tvrzení dokážeme pro n = 1, což je snadné, neboť 2 = 1.2. Nyní můžeme přijmout předpoklad 2 + 4 + 6 + • • • + 2k = k(k + 1) a pokusíme se dokázat, že za tohoto předpokladu platí 2 + 4 + 6 + • • • + 2k + 2(k + 1) = (k + l)(fc + 2) P oužijeme-li předpoklad, lze dokazované tvrzení psát ve tvaru A;(A;+1)+2(A;+1) = (k + l)(k + 2), čímž je důkaz ukončen. Spojením obou bodů lze říci, že platnost pro n = 1 indukuje platnost pro n = 2, platnost pro n = 2 indukuje platnost pro n = 3 atd. 7 8 KAPITOLA 2. ČÍSELNÉ OBORY Poznámka 2.1 V literatuře se mnohdy vyskytuje první axiom ve tvaru 0 G N. Důvod je nasnadě. Přidáním nuly do množiny N získáme neutrální prvek i pro operaci sčítání, zatímco bez nuly by byl neutrální prvek pouze pro operaci násobení. Zavedeme ještě základní aritmetické operace následujícím způsobem: 1) a + b+ = (a + b)+ 2) ab+ = ab + a 3) a < b =>- 3c G N tak, že platí a + c = b. Nyní bychom logicky měli přistoupit k vybudování množiny celých čísel, my však uděláme zdánlivou nelogičnost, budeme předpokládat, že celá čísla máme již k dispozici a zavedeme čísla racionální. Tento postup totiž znáte již ze základní školy. Tam se žáci seznamují s pojmem zlomek jakožto podílem dvou celých čísel, učí se zlomky sčítat a násobit a zjišťují, že různé zlomky mohou mít "stejnou hodnotu", např. | = |, neboť když naznačené dělení provedou, dojdou v obou případech k hodnotě 0, 5. Nyní těmto poznatkům zkusíme dát trochu fazónu. Nechť m = (a; b) a n = (c; d), přičemž a, b, c, d G Z a b, d ^ 0 jsou uspořádaé dvojice celých čísel. Řekneme, že m je v relaci s n právě tehdy, když platí ad = bc. Snadno se přesvědčíme, že tato relace je ekvivalence. Tato relace vyvolá rozklad množiny všech uspořádaných dvojic celých čísel na nekonečně mnoho tříd ekvivalence, přičemž každá z těchto tříd představuje jedno racionální číslo. Ze uspořádaná dvojice celých čísel představuje vlastně zlomek si snad uvědomuje každý. První složka představuje čitatel, druhá jmenovatel. Zbývá zavést operaci sčítání a násobení, tak vězte, že (a; b) + (c; d) = (ad + bc; bd), (a; b) ■ (c; d) = (ac; bd). I v tomto jistě poznáváte sčítání a násobení zlomků, tak jak to znáte z dětství. To je všechno hezké, jenže to plave na vodě, celá čísla vlastně neexistují. Co však, kdybychom tento trik použili na zkonstruování množiny Z pomocí prvků množiny N? Jistě, nemohli bychom použít operaci násobení, ale pořád máme k dispozici sčítání. Tak to pro velký úspěch zopakujeme. Nechť m = (a; b) a n = (c; d), přičemž a,b,c,d G N jsou uspořádaé dvojice přirozených čísel. Řekneme, že m je v relaci s n právě tehdy, když platí a + d = b+c. Snadno se přesvědčíme, že tato relace je ekvivalence. Tato relace vyvolá rozklad množiny všech uspořádaných dvojic přirozených čísel na nekonečně mnoho tříd ekvivalence, přičemž každá z těchto tříd představuje jedno celé číslo. Ze uspořádaná dvojice celých čísel představuje vlastně rozdíl Například dvojice (7; 2), (14; 9) atd. představují celé číslo 5, prohodíme-li v nich pořadí, tak máme číslo —5. Zbývá zavést operaci sčítání a násobení, tak vězte, že (a; b) + (c; d) = (a + c;b + d), (a; b) ■ (c; d) = (ac + bd; ad + bc). Tak nám to šlo jako po másle, ale teď je problém jak se dostat k číslům reálným. Tentokrát již nebudeme moci aplikovat tento postup, ale musíme zkusit něco jiného. Jedna možnost je využití cauchyovských posloupností racionálních čísel. Z analýzy víme, že každá cauchyovská posloupnost je konvergentní. Můžeme tedy zavést relaci mezi těmito posloupnostmi. Řekneme, že posloupnosti {an} a {bn} jsou v relaci právě tehdy, když mají stejnou limitu. Mohou nastat dva případy. Buďto v jisté 9 třídě nalezneme konstatní posloupnost racionálních čísel, tato třída pak představuje ono racionální číslo. např. nalezneme-li v jisté třídě posloupnost {an = 6}, pak tato třída představuje racionální číslo šest. Nenajdeme-li tam takovou posloupnost, pak tato třída představuje číslo iracionální. Druhou možnost navrhl německý matematik Richard Dedekind. ten si pořádně nabrousil nůž a číselnou osu prostě přeříznul. Množina racionálních čísel tímto řezem byla vlastně rozdělena na dvě disjunktní podmnožiny. Platí A U B = Q, AC\B = $& x< yix E A,y E B. Dále hledal největší (nejmenší) prvek těchto podmnožin. Je vyloučeno, aby množina A měla největší prvek a množina B měla nejmenší prvek, další dva případy jsou identické, buď množina A má největší prvek a množina B nemá nejmenší prvek, nebo množina A nemá nejmenší prvek a množina B má nejmenší prvek. Zde jsme se v každém případě trefili do čísla racionálního. Poslední možnost je, že množina A nemá největší prvek a množina B nemá nejmenší prvek. Tento řez představuje číslo iracionální, netřeba v tom hledat žádná kouzla, to vlastně taky znáte z dětství. To je známé vyjádření iracionálního čísla pomocí čísel racionálních. Např. 3 < 7r < 4, 3,1 < 7r < 3, 2, 3,14 < 7r < 3,15, 3,141 < 7T < 3,142 atd. Závěrem uvedeme ještě definici řezu tak, jak je možné ji nalézt v literatuře. Def. 2.1 Dedekíndův řez je každá dolní množina v lineárně uspořádané množině, která obsahuje své suprémum pokud existuje. Def. 2.2 Řekneme, že funkce je v boděx0 spojitá, jestliže ke každému e > 0 existuje ryzí ô - okolí bodu x0 takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí \f(x)-f(x0)\ XQ x X = 0 x eR-0 y i sm x X 2. Limita funkce sice neexistuje, ale existují obě jednostranné limity, jsou vlastní a různé. Tento případ nazveme bod nespojitosti prvního druhu. Příkladem budiž funkce definovaná následujícím způsobem. Limita neexistuje, jednostranné limity jsou rovny -1 resp. +1. 3. Alespoň jedna z jednostranných limit neexistuje nebo je nevlastní. Tento případ nazveme bod nespojitosti druhého druhu. Příkladem budiž funkce y =\- Kapitola 3 Derivace funkce V motivačních úlohách, ať se již jednalo o určení okamžité rychlosti, rovnici tečny a další hrál klíčovou roli podíl jestliže jmenovatel byl prakticky roven nule. Jelikož jsme se již seznámili s pojmem limity, kterémuž dobře rozumíme, je nám jasné, že můžeme opustit čachry s Ax a definovat pojem derivace. Def. 3.1 Derivací funkce v bodě Xq nazveme limitu lim f(x) ~ f(xo) = lim f(xo + Ax) ~ f(xo) x^x0 x — xq Ax^o Ax Značit budeme f(x)' resp. y'. Je-li limita vlastni, mluvíme o vlastni derivaci, v opačném případě se jedná o derivací nevlastní. V případě, že existují jen jednostranné limity, mluvíme o derivací zprava (zleva). Následující věta uvádí vztah mezi spojitostí a derivací. Věta 3.1 Nechť funkce f{x) má v bodě xq derivací (derivací zprava, derivací zleva). Pak je zde spojitá (spojitá zprava, spojitá zleva). Musíme si uvědomit, že tato věta je implikace, nemusí tedy platit implikace obrácená. Jednoduchým příkladem je funkce y = \x\, která má derivaci zprava rovnu 1 a derivaci zleva rovnu -1, derivaci tedy nemá. V další větě uvedeme postup pro derivaci součtu, součinu a podílu funkcí. Zatímco u součtu či rozdílu je to stejné jako u limity, v případě součinu resp. podílu funkcí je již situace složitější. Věta 3.2 1. (cf(x0))' = cf'(x0) 2. (f(x0)±g(x0))' = f'(x0)±g'(x0) 3- (f(x0) ■ g(x0))' = f'(x0) ■ g(x0) + f(x0) ■ g'(x0) I (/OoA _ ľ(xo)-g(xp)-f(x0)-g'(x0) 4- \g(x0)) g2(xo) Abychom nemuseli pořád psát u x index, nadefinujeme si derivaci na intervalu a pak již přistoupíme k některým vzorcům pro derivace elementárních funkcí. Def. 3.2 Řekneme, že funkce f(x) má derivaci na intervalu I C D(f), jestliže má derivaci v každém bodě tohoto intervalu. Je-li interval na některé straně uzavřený, musí mít patřičnou jednostrannou derivaci. 11 12 KAPITOLA 3. DERIVACE FUNKCE Nyní si uvedeme vzorce pro derivaci elementárních funkcí. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. c)' = 0 sinrrY = cos x cos x)' = — sin x i tgx)' — , ,2 cotgrrY = — i .1 x2 lnrrY = - ' X loga*)' = ^ x ln a ex)' = e1 ax)' = ax ■ lna / _ i arcsin x arccos x vt^x1 i _ i arctgrr)' = ^ arccotgx)' — 1 l+x2 Bohužel, většina funkcí s nimiž budeme pracovat jsou funkce složené, musíme si tedy říci, jak se derivuje funkce složená. Věta 3.3 Nechť funkce u = g(x)má vlastni derivací v bodě x0 a nechť funkce y = f (u) má vlastni derivací v bodě u0 = g(x0). Pak složená funkce y = F (x) = f [g (x)] má vlastni derivací v bodě xq a piati: F'(x0) = f'(u0) ■ g'(x0) = f'[g(x0)] ■ g'(x0). Přidáme ještě větu o derivaci funkce složené. Věta 3.4 Nechť funkce x = f (y) je spojitá a ryze monotónni na intervalu I. Nechť yo je vnitřní bod intervalu I a nechť má funkce f v bodě yo derivací f'(yo). Pak má inverzní funkce y = f~ľ(x) v bodě xq = f(yo) rovněž derivací. Je-li f'(yo) ý 0, je derivace inverzní funkce vlastní a platí (rl),(^/4ľ Je-li f'(yo) = 0, je derivace funkce inverzní nevlastní a rovna +oo pro funkcí rostoucí a — oo pro funkcí klesající. Derivace funkce na intervalu J je funkce, neboť každé hodnotě x E I přísluší právejedna hodnota y . Tuto funkci můžeme opět derivovat, je tedy namístě následující definice. Def. 3.3 Druhou derivací funkce f rozumíme funkce f" = (/')' a pro libovolné n > 2 definujeme n—tou derivací (derivací n—tého řádu) funkce f vztahem f^ = (/(n-l)y_ Kapitola 4 Aplikace derivace Důležitou úlohou nejen v matematice je nalezení tečny a normály ke grafu funkce v jistém bodě. Na základě toho, co jsme dosud probrali o derivaci a vzpomínek na analytickou geometrii můžeme formulovat následující větu. Věta 4.1 Rovníce tečny ke grafu funkce y = f (x) v bodě T[x0; y0] má tvar y-yo = f'(x0)(x - x0). Rovníce normály má tvar y-yo = -J7^-)(x-x0). f'(x) Nyní se vrátíme k výpočtu limity neurčitých výrazů. Máme k dispozici poměrně účinný prostředek známý jako L'Hospitalovo (nemocniční) pravidlo. Věta 4.2 Nechť x0 G IR* a je splněna jedna ze dvou následujících podmínek lim f(x) = lim g(x) = 0 nebo lim \g(x)\ = +oo. x—>xo Exístuje-lí lim , pak existuje i lim a platí x^x0 9 (x°> x^x0 9(x0) Um m = Hm ^> x^x0 g(x0) x^x0 g'(x0) V následující částí se budeme věnovat průběhu funkce, čímž se míní nalezení důležitých údajů o fukci (definiční obor, obor hodnot, monotonie, extrémy, inflexní body, asymptoty). Z toho, co již víme o derivaci, můžeme formulovat následující větu. Věta 4.3 Nechť funkce f má na otevřeném intervalu I vlastní derivaci. Pak platí: 4-1. Funkce f je neklesající na I právě tehdy, když f'{x) > 0 na P 13 14 KAPITOLA 4. APLIKACE DERIVACE 4-2. Funkce f je rostoucí na I právě tehdy, když f'(x) > O na I, přičemž rovnost f'(x) = O neplatí na žádném podintervalu intervalu I. Analogická tvrzení platí pro nerostoucí a klesající funkce. Platnost této věty lze rozšířit na interval I libovolného typu. Stačí předpokládat, že / je spojitá na I a /' existuje uvnitř I. Věta platí i v případě, když / má někde nevlastní derivaci, pokud se předpokládá, že funkce / je spojitá. Z této věty snadno odvodíme postačující podmínku pro monotonii funkce. Věta 4.4 Nechť f má konečnou derivaci na otevřeném intervalu I. Je-li f'(x) > 0 (f'(x) < 0) pro každé x E I, pak je f rostoucí (klesající) na I. Definujme lokální extrém. Def. 4.1 Řekneme, že funkce f má v bodě x0: • lokální maximum, existuje-li okolí O (xq) tak, pro každé x G O (xq) je f (x) < f M, • lokálni minimum, existuje-li okolí O (x q) tak, pro každé x G O (x q) je f (x) > f M, • ostré lokálni maximum, existuje-li ryzí okolí O {x q) tak, pro každé x G O (x q) je f (x) < f(x0), • ostré lokálni minimum, existuje-li ryzí okolí O {x q) tak, pro každé x G O (x q) je f (x) > f(x0). Tvrzení předchozí věty nám dává návod, jak nalézt lokální extrémy. Věta 4.5 Nechť je funkce f spojitá v bodě x0 a má vlastní derivaci v nějakém ryzím okolí O(x0). Je-li pro všechna x < x0 z tohoto okolí f (x) > 0 a pro všechna x > 0 z tohoto okolí f (x) < 0, pak má v bodě xq ostré lokální maximum. Obdobné tvrzení platí i pro ostré lokální minimum, zobáčky jsou obrácené. Máme ještě jeden prostředek na nalezení lokálních extrémů. Věta 4.6 Nechť f'(xo) = 0. Je-li f"(xo) < 0, má funkce f v bodě xq osré lokální maximum. Je-li f"(xo) > 0 má funkce f v bodě xq ostré lokální minimum. Shrneme-li tyto dvě věty, máme souvislost mezi derivací a lokálními extrémy. Věta 4.7 Nechť má funkce f v bodě x0 lokální extrém a nechť je v tomto bodě vlastní derivace. Pak je f'(xo) = 0. Tuto větu jsem uvedl jen pro první a druhou derivaci, mohl jsem ji ovšem formulovat obecněji zhruba tímto způsobem. Je-li lichá derivace rovna nule a následující sudá je kladná (záporná), má funkce / v bodě x0 ostré lokální minimum (maximum). Praktického smyslu to však moc nemá, snad jen u jednodušších funkcí má smysl počítat dervace vyšších řádů. Zatím jsme zdůrazňovali, že se jedná o extrémy lokální, tedy že se jedná o záležitost bodu xq a jeho blízkého okolí. Můžeme se také ptát, zda má funkce na nějaké množině největší či nejmenší hodnotu. Odpověď nalezneme v následující definici. 15 Def. 4.2 Nechi funkce f je definována na množině M. Řekneme, že funkce f má v bodě xq absolutní (globální) maximum, jestliže pro všechna x E M platí f (x) < f(xo). Řekneme, že funkce f má v bodě xq absolutní (globální) minimum, jestliže pro všechna x E M platí f (x) > f(x0). Vykreslíme-li si graf nějaké funkce, pak většinou dojdeme k ladným křivkám. Definujeme Def. 4.3 Řekneme, že funkce f je konvexní na intervalu I, jestliže pro libovolné tři body x1} x2, x3 E I takové, že x\ < x2 < x3 platí f(x2) < f(Xl) + f{X3)~f{Xl\x2 - Xl). x3 — Xi Řekneme, že funkce f je konkávni na intervalu I, jestliže pro libovolné tři body Xi, x2, 13 G / takové, že Xi < x2 < x% platí f(x2) > f(xi) + f{X3)~f{Xl\x2 - Xi). x3 — Xi pokud nahradíme neostré nerovnosti ostrými, dostaneme definici pojmů ostré konvexnosti (konkávnosti) na intervalu I. Zkusme si tuto krkolomnou definici rozklíčovat jak se teď říká hezky česky. Spojme body xľ a x3 přímkou. Ta bude mít rovnici ,/ x . /fa) ~ f{Xi) y = f(xi) +-(x - xi). x3 — Xi Znamená to, že všechny body funkce jsou pod touto přímkou, graf funkce je vypouklý směrem dolů všude tam, kde je vypouklý. Zajímat nás musí jak zjistíme tuto vlastnost grafu. Odpověď nám dá následující věta. Věta 4.8 Nechť funkce f má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Funkce f je konvexní (ostře konvexní) na I právě tehdy když je funkce f neklesající (rostoucí) na I. Funkce f je konkávni (ostře konkávni) na I právě tehdy když je funkce f nerostoucí (klesající) na I. Uvědomíme-li si jak zkoumáme monotonii, tak můžeme formulovat tuto větu. Věta 4.9 Nechi I je otevřený interval a funkce f má na I vlastní derivaci. Je-li f"{x) > 0 pro každé x E I, pak je funkce na I ostře konvexní. Je-li f"(x) < 0 pro každé x E I, pak je funkce na I ostře konkávni. Uvedeme ještě jednu větu, která nám tyto pojmy více objasní. Věta 4.10 Nechť funkce f má vlastní derivaci na intervalu I. Pak je f konvexní (konkávni) na I právě tehdy, když pro každé dva různé body x, xq E I platí: f(x) > f(x0) + f'(x0)(x - x0) f(x) < f(x0) + f'(x0)(x - X0) 16 KAPITOLA 4. APLIKACE DERIVACE Nahradíme-li ve výše uvedených rovnicíc f(x) písmenem y a nerovnosti rovností, obdržíme rovnici tečny. Graf funkce konvexní je tedy nad tečnou, u funkce konkávni pak pod tečnou. Tyto vlastnisti se mohou na nějakém intervalu střídat, ten bod, v němž tato změna nastane se nazývá bodem inflexním. Definujme si ho přesněji. Def. 4.4 Nechť f má derivací v bodě x0 G IR. je-li tato derivace nevlastni, musí zde být navíc spojitá, řekneme, že x0 je inflexním bodem funkce f, exístuje-lí ô-okolí bodu x0 takové, že je funkce na intervalu [xq — ó~;x0) ryze konvexní a na intervalu (xq; xq + ô) ryze konkávni nebo naopak. Abychom mohli nakreslit graf funkce, musíme se ještě seznámit s pojmem asymptota (tečna v nekonečnu). Def. 4.5 Buď xq G IR. Přímka x = xq se nazývá asymptotou bez směrnice funkce f, jestliže má funkce v boděxo alespoň jednu limitu nevlastní. Přímka y = ax+b, a, b E IR se nazývá asymptotou se směrnicí funkce f, jestliže platí nebo lim (f(x) — (ax + X^ř + OO b)) = 0 nebo lim (f(x) — (ax + b)) = 0. x—>—oo Problém, jak vypočítat koeficienty a, b řeší následující věta. Věta 4.11 Přímka y = ax + b je asymptotou se směrnicí ke grafu funkce f{x), je-li a = lim a b = lim (f(x) — ax). Analogickou větu můžeme zformulovat X^řOO X X^řOO pro x —ř —oo. Nyní si ukážeme, jak asymptoty počítat. Příklad 4.1 Najděte asymptoty ke grafu funkce y = ^r^- Tato funkce je definována pro všechna reálná čísla, nemá tedy asymptoty bez směrnice. Podívejme se tedy, zda bude mít asymptoty se směrnicí. Nejdříve budeme hledat směrnici. x2 — l ^2 k = lim x +1 = lim —--= 0. x^oo x x^oo x6 + x Usek na ose y určíme podle vzorce x2 q = lim —--0 • x ) =1. x^oo \x2 + 1 J Ke stejnému výsledku bychom došli i pro x —> — oo, přímka y = 1 je tudíž asymptotou se směrnicí. Jiná situace nastane v následujícím příkladu. Příklad 4.2 Určete asymptoty ke grafu funkce y = xex. I tato funkce je definována pro všechna reálná čísla, proto nemá asymptoty bez směrnice. S asymptotami se směrnicí je to ale jiné. Je totiž rozdíl, počítáme-li limitu pro plus či mínus nekonečno. Zatímco lim — = oo, je lim — = 0. Dopočítáme ještě X—>OQ X X^ř — OO X q = lim xex = lim Použitím ĽHopitalova pravidla snadno zjistíme, že X—> — OO X^ř — OO Ě se rovná nule a přímka y = 0 je asymptotou se směrnicí pro x —> oo. 17 Závěrem této kapitoly si řekneme věty o střední hodnotě. První z nich je věta Rolleova. Věta 4.12 Nechť funkce f je definována na intervalu [a; b]. Nechť má tato funkce derivaci (může být i nevlastni) a nechť platí f (a) = f(b). Pak existuje c G (a; c) takové, že je f'(c) = 0. Zobecněním této věty je věta Lagrangeova. Věta 4.13 Nechť funkce f je definována na intervalu [a; b]. Nechť má tato funkce derivaci (může být i nevlastní). Pak existuje c G (a; c) takové, že platí Se svou troškou do mlýna přišel i pan Cauchy. Věta 4.14 Nechť funkce f a g jsou definovány na intervalu [a; b] a nechť v každém bodě x G (a; b) existuji vlastni derivace f')x), g'(x). Pak existuje c G (a; b) tak, že platí [f(b)~ f(a)]g\c) = [g(b)-g(a)]f\x). KAPITOLA 4. APLIKACE DERIVACE Kapitola 5 Přibližné vyjádření funkce Na závěr si něco řekneme o přibližném vyjádření funkce. Problém spočívá v tom, že někdy je přesné vyjádření funkce dosti složité, přičemž v praxi bychom vystačili i s méně přesným, zato jednodušším vyjádřením funkce v okolí nějakého bodu. Budeme preferovat vyjádření pomocí polynomu, neboť tato funkce se mimo jiné snadno derivuje i integruje. Def. 5.1 Nechi funkce f je definována v okolí 0(xq) bodu xq a platí xq + h G 0(xq). Pak číslo h nazýváme přírůstkem nezávisle proměnné a rozdíl Af(xo) = f(x0 + h) — f(x0) nazýváme přírůstkem funkce f v bodě x0 s krokem h nebo též přírůstkem závisle proměnné. Pokusíme se nyní vyjádřit přírůstek funkce v závislosti na čísle h. Jednu z možností udává následující definice. Def. 5.2 Řekneme, že funkce f je diferencovatelná v bodě x0 G IR, jestliže existuje okolí bodu xq takové, že pro všechny body z tohoto okolí platí f(x0 + h) - f(x0) = A-h + r(h), kde A je vhodné číslo a r{h) je funkce, pro niž platí lim = 0. Je-li funkce f v bodě x q diferencovatelná, nazývá se výraz A-h diferenciál funkce f v bodě xq a značí se df(xo)(h) či stručněji df(xo). Nyní se pokusíme zjistit význam konstanty A. Pracujeme s funkcemi spojitými, které moho mít v bodě xq derivaci. Pokud tomu tak je, pak máme vyhráno, nebt byla dokázána následující věta. Věta 5.1 Funkce f má v bodě xq diferenciál právě tehdy, když existuje vlastní derivace f'(x0). Konstanta A z předchozí definice je dána vztahem A = f'(x0), je tedy df(x0)(h) = f(x0)-h. Píšeme též df(x0) = f'(x0)dx. 19 20 KAPITOLA 5. PŘIBLIŽNÉ VYJÁDŘENÍ FUNKCE Může se stát, že přibližné vyjádření funkce diferenciálem není dostatečně přesné. V tomto případě můžeme hledat vyjádření polynomem stupně n ve tvaru Pn(x) = clq + Ai(x — xq) +ci2(x — xq)2 + • • • + an(x — xq)h. Je rozumné požadovat, aby platilo f(x0) = Pn(x) = aQ f'(x0) = KW = a\ /"(*<>) = 2a2 řn){xQ) = ď\x) = n\an Hledaný polynom má tvar Pn(x) = f(x0) + ^-(x - X0) + f~^{x ~ x0)2 + ■■■ + ^P±(x - X0)n = Tn(X) 1! 2! ni Polynom Tn(x) se nazývá Taylorův polynom se středem x$. Pan Taylor, po němž je pojmenována následující věta, dokázal, že funkci f(x) lze nahradit polynomem. Věta 5.2 Nechť funkce f má v okolí bodu xq vlastní derivace až do řádu n + 1 pro některá n G N U {0}. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí: f(x) = Tn(x0) + Rn(x). Rn(x)=J JI (X-Xo)**1, [n + 1)! kde £ je vhodné číslo mezi x a xq je zbytek (chyba). Je-li xq = 0, pak se polynom nazývá Maclaurinův. Kapitola 6 Funkce více proměnných V této kapitole se budeme věnovat funkcím více proměnných. Kdo se dobře učil v minulém semestru, bude mít úlohu značně usnadněnou, neboť řada věcí je stejných či alespoň hodně podobných. Některé věci jsou však znčně odlišné, tak si na to dávejte pozor čili bacha. Budu se snažit na to upozorňovat. Na druhé straně vám to zjednoduším tím, že se budeme skoro výhradně bavit o funkci dvou proměnných. 6.1 Limita a spojitost Def. 6.1 Reálná funkce dvou reálných proměnných je zobrazeni M —> R, kde M c IRxIR. Jinými slovy každé uspořádané dvojici [x; y] g M je přiřazeno právě jedno 2éR. Množina M se nazývá definiční obor, množina všech z, které jsou přiřazeny k nějaké uspořádané dvojici [x; y] se nazývá obor hodnot funkce. Píšeme z = f(x, y). Nebude-li hrozit nedorozuměni, budeme mluvit stručně o funkci dvou proměnných. Příklad 6.1 Určete definiční obor funkce z = arcsiny + ln (4 — x2 — y2). Budeme vycházet ze znalosti funkcí jedné proměnné a vzpomeneme si na definiční obory funkcí arkussinus a přirozený logaritmus. Obě mají jistá omezení, která musí platit současně, je tedy -1 < y < 1 n 4 - x2 - y2 > 0. Zatímco první podmínce vyhoví pás mezi přímkami y = — 1 a y = 1, druhé podmínce vyhoví všechny body uvnitř kruhu se středem v počátku a poloměrem r = 2, v prvním případě včetně hranice. Definiční obor je samozřejmě průnik obou oblastí, leč obrázek zatím neumím. Def. 6.2 Grafem funkce dvou proměnných nazýváme množinu uspořádaných trojic [x,y,z], kde body [x,y] patří do definičního oboru funkce. Jinými slovy je to plocha o rovnici z = f(x,y). Vrstevnice je křivka o rovnici f(x,y) = c. Takovým nejběžnějším příkladem grafu funkce dvou proměnných je obyčejná plastická mapa. Proměnné představují zeměpisná šířka a délka, funkční hodnotu pak nadmořská výška. Patří sem i ona původně normální mapa, která se nacházela v kanceláři 91. pěšího pluku a kterou učinil plastickou až kocour chovaný písaři. Jen připomínám, že prvním, kdo se o této změně dotykem přesvědčil byl oberst Schrôder a že to mělo pro písaře nepříjemné následky. Pojem vrstevnice je převzat z 21 22 KAPITOLA 6. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH geografie a má stejný význam—zlepšit představu o grafu funkce v dvourozměrném modelu. Uvedeme několik příkladů. 6.1. Z analytické geomtrie víte, že grafem funkce z = ax + by + c je rovina v IR3. 6.2. Grafem funkce z = a/9 — x2 — y2 je horní polovina kulové plochy se středem v počátku a poloměrem r = 3 nad podstavnou rovinou os x a y. 6.3. Grafem funkce z = x2 + y2 je rotační paraboloid s vrcholem v počátku, jehož osou je osa z. Vrstevnice tvoří soustředné kružnice o rovnicích x2 + y2 = c. Nyní přistoupíme k definici pojmů limita a spojitost. Začneme definicí okolí. Def. 6.3 Vzdálenost dvou bodů A[xi;yi] a B[x2;y2] rozumíme číslo d = a/(x2 - xi)2 + (y2 - yi)2 Vzdálenost bodů ve vícerozměrném prostoru si jistě odvodíte sami. Def. 6.4 ô-okolím bodu P nazýváme množinu všech bodů, jejichž vzdálenost od bodu P je menší než ô. Vyjmeme-li z této množiny samotný bod P, mluvíme o ryzím okolí. Def. 6.5 Řekneme, že funkce z = f(x,y) má v bodě M[xo;yo] limitu rovnou číslu L, jestliže ke každému e > 0 existuje ô > 0 takové, že pro pro všechny body z ryzího ô okolí bodu M platí \f(x,y) -L\[x0;yo] Řekneme, že funkce je spojitá v oblasti O, jestliže je spojitá v každém bodě této oblasti. Poznámka 6.1 Pojem spojitosti v bodě lze samozřejmě definovat i bez pojmu limita, a to tak, že definici limity opíšeme a číslo L nahradíme f(xo;yo). Poznámka 6.2 Jestliže jsme zkoumali spojitost funkce na uzavřeném intervalu, tak jsme v krajních bodech tohoto intervalu definovali spojitost zleva (zprava). U funkce dvou proměnných toto postrádá smysl, přesto můžeme uvažovat i o pojmu spojitost na uzavřené oblasti. Pro hraniční body budeme prostě ignorovat ty body z jeho okolí, které nespadají do dané oblasti. Nyní si ukážeme několik příkladů na výpočet limity. Zatímco u funkce jedné proměnné je situace podobná ražbě tunelu z obou stran, kdy se buď trefíme přesně nebo máme dva tunely, zde musíme vyzkoušet všechny možné cesty, a že jich je. Příklad 6.2 Určete limitu lim 2±í_ Tato funkce v bodě [0;0] není definována, [z;ž/]->[0;0] x y pokusíme se tedy spočítat limity pro různé cesty. Začněme přímkami y = kx. x + y x + kx 1 + k lim - = lim--— = lim-- [:r;j/H[0;0] x — y x^o x — kx x^o 1 — k Limity pro různé směry jsou různé, limita neexistuje. Tato situace paradoxně nenastane, pokud bychom se přibližovali po parabolách y = kx2. x + y x + kx2 1 + kx lim -= lim--—- = lim--— = 1 [x;j/]^[0;0] x — y x^o x — kx x^o 1 — kx Příklad 6.3 Zjistěte, zda existuje lim —+9^- • Zkusme se nejdřív přibližovat po přímkách y = kx. 2xy 2kx2 lim - = lim n [x;j/]^[0;0] xy + 2x — y x^o kx2 + 2x — kx ovšem s výjimkou k = 2, to je Ax lim x^o 2x + 2 - 2 Tato limita tedy neexistuje. K bodu pq[xq; yo] se z bodu p[x; y] můžeme rovněž přibližovat po dvou kolmých přímkách x = p a y = q, kde p a g jsou konstanty, a to dvojím způsobem. Pak lze limitu funkce vypočítat postupným limitním přechodem funkce jedné proměnné, jak uvádí následující věta. 24 KAPITOLA 6. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Věta 6.2 Označme lim y^yo lim f(x,y) Li lim x—>xq lim f(x,y) y^yo Lo. Existuje-li limita lim f(x, y) = L, [x;y]->[x0;yo] pak platí L = Li = L2 Uvědomte si, že tato věta je implikací a představuje pouze podmínku nutnou, což značí, že bude sloužit k důkazu neexistence limity. Příklad 6.4 Rozhodněte, zda existuje limita ,. x-2y lim [*;*/]-> [0;0] 3x + y Určime postupné limity. lim lim x — 2y -2y y^O \_x^o 3x + y i- ľi- x~2y hm hm- x^O [y^o 3x + y lim y^O y lim — x^o 3y 1 3' Tato limita neexistuje. Podobně jako pro funkci jedné proměnné platí následující věta. Věta 6.3 Nechť pro všechny body x G O s výjimkou bodu M[xo;yo] platí f(x,y) g(x,y) a nechť je lim f(x,y) = L. Pak je i lim g(x,y) = L. [x;y]->[x0;yo] [x;y]->[x0;yo] Příklad 6.5 lim x — y lim (x — y){x2 + xy + y2) X4 - y4 [x;y]T[l;l] (x - y) (x + y) (x2 + y2) Tato funkce je v okolí bodu [1; 1] shodná s funkcí x2 + xy + y2 z = - (x + y) (x2 + í/2) Její limita je v tomto bodě rovna funkční hodnotě, tedy je x3 — y3 x2 + xy + y2 3 lim - = lim -= — [x;y]^[l;l] xa - í/4 [x;y]^[l;l] (x + y) {x2 + y2) 4 Při výpočtu limity můžeme použít i některé triky známé z funkce jedné proměnné, jeden příklad následuje. 6.2. PARCIÁLNÍ DERIVACE 25 Příklad 6.6 3(x2 + y2) lim [x;y]-+[0;0] ^x2 _|_ y2 + 4 _ 2 Vynásobíme-li funkci jedničkou ve tvaru a/x2 + í/2 + 4 + 2 v/x2 + y2 + 4 + 2 a upravíme-li, počítáme limitu lim 3(v/x2 + w2 + 4 + 2) = 12 [*»]->[0;0] Závěrem této části vám uvedu tři limity, které vám určitě něco připomenou. sin fix, y) lim M '.^ = 1 [x;j,]^[x0;í/o] /(z,?/) lim —-— = 1 lim 1 + —-- I = e [x;y\-+[x0;y0\ \ f{X,y) 6.2 Parciální derivace Už problémy s limitou nám naznačují, že to s derivacemi vůbec nebude snadné. Pokud bychom chtěli udělat nějakou analogii s funkcí jedné proměnné, bylo by to značně obtížné. Proto půjdeme jinou cestou. Grafem funkce dvou proměnných je plocha. Pokud však plochu řízneme nějakou rovinou, tak řezem je křivka, křivku umíme popsat funkcí jedné proměnné—čajník je v kredenci. My budeme řezat rovinami kolmými k osám x a y. Def. 6.7 Nechi existuje limita f(x,yo) - f(x0,y0) lim >x0 X — Xq Pak tuto limitu nazveme parciální derivací podle x v bodě [x0; y0], značíme 9^q^ či f'x{xQ,yo). Analogicky definujeme parciální derivaci podle y. Nechi existuje limita Hm f(x0,y) - f(x0,y0) y^y0 y-yo Pak tuto limitu nazveme parciální derivací podle y v bodě [xo;yo], značíme 9^v^ či fý(xo, yo). Má-li funkce parciální derivaci podle nějaké proměnné v každém bodě nějaké oblasti M, potom říkáme, že zde má parciální derivaci. Jinými slovy vznikne na této oblasti nová funkce, to je stejné jako u funkce jedné proměnné. 26 KAPITOLA 6. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Protože jsme parciální derivace definovali jako derivace funkce jedné proměnné, platí pro ně všechna pravidla tak jak je znáte z kurzu MA1, nebudu je tedy uvádět. Stejně tak nebudu řešit derivace vyšších řádů, tam ovšem jeden problém přece jen vyvstane. Záleží na pořadí proměnných podle kterých derivujeme nebo nezáleží, to je oč tu běží. Odpověďnám dává Schwarzova věta. Věta 6.4 Nechť jsou derivace fxy(x,y) a fyx(x,y) jsou v bodě M[rr0;ž/o] spojité. Pak jsou si rovny. Obdobnou větu bychom mohli zformulovat i pro smíšené parciální derivace vyšších řádů. Jak vidíme, u spojitých funkcí je to s parciálními derivacemi jako s mušketýry, je jich o jednu víc než je jejich řád. Stejně jako tři mušketýři byli čtyři, tak i třetí parciální derivace jsou čtyři: fxxx, fxxy, fxyy a fý'ýy. Tak je tomu u parciálních derivací jakéhokoliv řádu. Příklad 6.7 Je-li z = u(x) + v(y), je z'x = u'(x), z' = v'(y), zxx = u"{x), z'ý = v"(y) a zxy = zyx = 0. Tak je-li z = 3x2 — 5y3 + 1, máme zx = 6x a z' = — 15y2. Pro druhé derivace vychází zxx = 6, z" = —30y a z" = z" = 0. Příklad 6.8 Je-li z = u{x)v{y), je z'x = u'(x)v(y), z' = u(x)v'(y), zxx = u"(x)v(x), z'ý = u(x)v"(y) a zxy = zyx = u'(x)v'(y). Tak je-li z = 5x2y4, máme z'x = 10xy4 a z'y = 20x2y3. Pro druhé derivace vychází zxx = 10y4, zyy = 60x2y2 a zxy = zyx = AOxy3. Příklad 6 Q Je li 7 - 1P 7' - VĽäí 7> — ^)v'(y) „ _ u"(x) „ _ ,, _ r i iridii u.w je u z — je zx — v^ , zy — , zxx — ^ , zyx — zyx — —u ^2(y^ a z'ýy = —u{x)v ^V^l^xjv ^ ■ Konkrétní příklad dáme tento: z = Potom ie z' — — z' — — z" — D z" — — a z" — — ruuuiu je Jak postupovat si ukážeme na příkladě. Příklad 6.13 Určete totální diferenciály druhého a třetího řádu funkce z = y\nx. Nejdříve si určíme všechny parciální derivace až do řádu 3. z'x = ^, z' = \nx, z" — —2- z" — - z" — 0 z'" — z'" — -— z'" — z'" — 0 Totální xx x2' xy x> yy > xxx x3> xxy x2' xyy ^yyy u' ± ub "'"'^ diferenciál druhého řádu je d2z = z"xx[dx)2 + 2zxydxdy + z'ýy(dy)2 =--^(dx)2 H—dxdy(dy)2 Totální diferenciál třetího řádu je pak 2y 3 d3z = zmxxx(dx)3 + 3zxxy(dx)2dy + 3zxyydx(dy)2 + z'yy^ = -^(dx)3 -— (dx)2 dy 6.3. TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL 29 6.3.1 Extrémy funkce dvou proměnných Def. 6.11 Řekneme, že funkce f(x,y) má v bodě M[x0; y0] lokálni maximum (minimum), existuje-li okolí O bodu M takové, že pro všechna x E O platí f(xo, y$) > f(x,y) (f(xQ,yo) < f(x,y). V případě ostrých nerovností mluvíme o ostrém lokálním maximu (minimu). Postup při stanovení extrémů je obdobný jako u funkce jedné proměnné. Věta 6.10 Nechť funkce f(x, y) má v bodě M[xq; yo] lokální extrém a nechť existují v bodě M parciální derivace prvního řádu. Pak je fx(xQ,y0) = fý(xQ,y0) = 0. Poznámka 6.4 Tak jako u funkce jedné proměnné budeme bod M nazývat bodem stacionárním. Stacionární (podezřelé z extrému) body budeme vyšetřovat pomocí následující věty. Věta 6.11 Nechť M je stacionární bod a nechť v jeho okolí existují spojité parciální derivace prvního a druhého řádu. Vypočtěme výraz D = fxx(X0,y0)fyy(X0,y0) ~ (fxy(X0,y0))2 Je-li D > 0, pak pro fxx > 0 je v bodě M lokální minimum a pro fxx(xo, yo) < 0 je v bodě M lokální minimum. Je-li D < 0, pak v bodě M extrém není, je-li D = 0, nemůžeme o extrému rozhodnout (extrém tady být může, ale nemusí). Poznámka 6.5 Označení D jsme nezvolili náhodou, D je de facto determinant druhého řádu, přičemž v hlavní diagonále jsou derivace podle xx ayy a ve vedlejší diagonále jsou derivace smíšené (ty jsou si samozřejmé rovny). Nyní ukážeme několik příkladů. Příklad 6.14 Naleznete lokální extrémy funkce z = x3 + xy2 + 6x2 + y2. Nejprve spočítáme parciální derivace prvního řádu. f'x = 3x2 + y2 + 12x, f'y = 2xy + 2y . Položíme-li tyto derivace rovny nule, získáme čtyři stacionární body Si[—1;3], S2[—1; —3], S3[0;0] a S^—4;0]. Spočteme tedy parciální derivace druhého řádu f xx = ^x 12, fxy = 2y, fyy = 2x + 2. Budeme postupně dosazovat jednotlivé stacionární body a počítat číslo D. V prvních dvou případech je D(S±) = —36, D(S2) = —36, extrém nenastává. D(Ss) = 24 a protože je fxx(0, 0) = 12, je v počátku minimum. Naproti tomu je D(s4) = 24, ale tentokrát je fxx(—A,0) = —12, v bodě S4 je tedy maximum. 30 KAPITOLA 6. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Příklad 6.15 Určete lokálni extrémy funkce z = x2 + Axy + 6y2 — 2x + 8y — 5. Začneme prvními parciálními derivacemi. z'x = 2x + Ay-2 z'y=Ax+12y + 8 Opět položíme obě derivace rovny nule, po vyřešení soustavy dvou lineárních rovnic získáme jediný stacionární bod S[7; —3]. Druhé parciální derivace jsou zxx = 2, zxy = 4 a z'ý = 12. Všechny jsou konstantní, není kam dosazovat a determinant má univerzální hodnotu D = 8 > 0. Jelikož je zxx = 2 > 0, je v bodě S lokální minimum. Jen pro zajímavost, jeho hodnota je z(7, —3) = —24. Příklad 6.16 Určete lokální extrémy funkce z = —3x4 — 5y4. Spočteme první derivace z'x = —12x3, z' = —20y3. Jediným stacionárním bodem je počátek. Jdeme na druhé derivace. zxx = — 36x2, z'ýy = —60y2, zxy = 0. Zřejmě je D = 0, o extrému nemůžeme tímto způsobem rozhodnout. My si ale všimneme, že funkční hodnoty jsou mimo počátek záporné, je zřejmé, že v počátku bude maximum. Tak jako u funkce jedné proměnné můžeme určovat i extrémy absolutní, a to v případě, že je funkce definovaná na uzavřené oblasti. Ty pak mohou nastat buď v bodech lokálních extrémů nebo na hranici oblasti. Ukážeme si to na příkladu, nejdříve trochu teorie. Def. 6.12 Řekneme, že funkce f(x,y) má v bodě [x^y^] absolutní maximum (minimum), jestliže pro všechny body [x;y] G M platí f (x, y) < f(xQ,y0) (f (x,y) > f(x0,y0)- Def. 6.13 Bod [xo;yo] nazveme vnitřním bodem množiny M, exístuje-lí okolí O tohoto bodu takové, že O G M. Množina, která obsahuje pouze vnitřní body, se nazývá otevřená. Bod [xQ;y0] nazveme vnějším bodem množiny M, jestliže každé jeho obsahuje jak body množiny M, tak i body, které do ní nepatří. Množinu všech hraničních bodů nazýváme hranicí. Množina, která obsahuje všechny své hraniční body, se nazývá uzavřená. Def. 6.14 Množina M se nazývá omezená, existuje-li kruh K se středem v počátku tak, že M C K. Věta 6.12 Nechť f (x, y) je spojitá funkce definovaná na omezené uzavřené množině. Pak zde nabývá své nejmenší a největší hodnoty. Příklad 6.17 Stanovte absolutní extrémy funkce z = \/2x — x2 — Ay2. Po doplnění na čtverec zjistíme, že definičním oborem jsou vnitřní a hraniční body elipsy {x — l)2 + Ay2 < 1. Stacionární body určíme řešením soustavy rovnic ' - 2~2X _ g / _ -% _ q x ~ 2^2x - x2 - Ay2 ~ y ~ 2^2x - x2 - Ay2 ~ Existuje jediný stacionární bod S'fljO]. Je /(1,0) = 1. Stanovení extrémů na hranici je obecně velmi obtížné, vezmeme-li rozum do hrsti, tak vidím,e že funkce je na hranici rovna nule a jinak je kladná. Absolutní maximum je tedy ve středu elipsy a minimun na její hranici. 6.3. TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL 31 Podobně jako u funkce jedné proměnné se budeme ptát, zda lze funkci dvou proměnných nahradit polynomem v okolí nějakého bodu A[rro;?/o]- Odpověď zní ano, je to analogické, jen derivace musíme nahradit totálními diferenciály. Následující věta se nazývá Taylorova. Věta 6.13 Nechť funkce f(x,y) má spojité parciální derivace do řádun + 1 včetně na množině M C IR2- Nechť body A = [x0; y0] a X = [x; y] patří do M. Potom platí l f d d \1 f (x,y) = f(x0,y0) + — [g^dx+g^dy) f(xo,Vo) + 1 / d , d x 2 lid d \n H—r T^dx + —dy f(x0, y0) + Rn+1 ni \ox oy ) Ze dx — X CCq db dy = y — yo jste jistě poznali sami. Zbytek se nejčastěji vyjadřuje ve tvaru Rn+1 = (ŤT+1)! [dx^ + dydy ' Čísla £ a i] leží mezi x &x0, resp. y a y0. KAPITOLA 6. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Literatura [1] Novák V.: Diferenciální počet v IR. MU Brno, fakulta přírodovědecká, Brno 1995 33