DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE SE SEPAROVANÝMI PROMĚNNÝMI
§ 1. Definice a postup řešení
Diferenciální rovnice prvního řádu se nazývá rovnice se separovanými proměnnými,
jestliže má rovnice tvar
y = f (x)g(y),
tj. pravá strana je součinem výrazů, z nichž každý závisí pouze na jedné z proměnných
x a y. Vzpomeneme-li na označení derivace y jako formálního podílu diferenciálů
d y
d x
,
řešení takovéto rovnice lze provést1
jejím přepsáním ve tvaru
d y
g(y)
= f (x) d x (1.1)
a následným zintegrováním podle jednotlivých proměnných:
∫
d y
g(y)
=
∫
f (x) d x. (1.2)
§ 2. Příklady
Příklad 2.1. Určeme obecné řešení diferenciální rovnice
y =
3
8
y + 2 cotan x. (2.1)
22. dubna 2020, rontoa@fbm.vutbr.cz.
1Odůvodnění tohoto postupu se zakládá na vzorci pro derivaci složené funkce. Vskutku pro závisle
proměnnou y = y(x) platí d y(x) = y (x) d x = f (x)g(y(x)) d x, odkud
d y(x)
g(y(x)) = f (x) d x a tudíž
∫
d y(x)
g(y(x))
=
∫
f (x) d x. (1.3)
V (1.3) máme integrál
∫ d u
g(u) , jenž obdržíme substituci y(x) = u. V praxi pro zjednodušení zápisu tento
krok obvykle vynecháváme a používáme v integrálu stejnou proměnnou y (viz (1.3)).
Toto lze provést vzhledem ke skutečnosti, že člen g(y) nezávisí na x. Takový postup, samozřejmé,
selhává, když se místo g(y) v rovnici vyskytuje vyraz g0(x, y) závisící i na x (nelze vykonat substituci
u = y(x)).
1
2 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE SE SEPAROVANÝMI PROMĚNNÝMI
Zde evidentně máme (1.1) ve tvaru
d y
3
8 y + 2
= cotan x d x (2.2)
a řešení rovnice obdržíme výpočtem integrálů v rovnosti
∫
d y
3
8 y + 2
=
∫
cotan x d x. (2.3)
Protože d 3
8 y + 2 = 3
8 d y, platí
∫
d y
3
8 y + 2
=
8
3
∫
d 3
8 y + 2
3
8 y + 2
=
8
3
ln
3
8
y + 2 + B,
kde B je libovolná konstanta. Dále d(sin x) = cos x d x a proto
∫
cotan x d x =
∫
cos x
sin x
d x =
∫
d(sin x)
sin x
,
pak dle (2.3)
8
3
ln
3
8
y + 2 + B = ln | sin x|
a
ln
3
8
y + 2 +
3
8
B =
3
8
ln | sin x| = ln | sin x|
3
8 (2.4)
Pro zjednodušení zápisu vezměme B ve tvaru B = lnC, kde C > 0 (takto udělat
můžeme, jelikož logaritmus nabývá všech hodnot z (−∞, ∞)). Potom z (2.4) obdržíme
rovnosti2
ln
3
8
y + 2 +
3
8
lnC = ln | sin x|
3
8 ,
ln
3
8
y + 2 + lnC
3
8 = ln | sin x|
3
8 ,
ln
3
8
y + 2 C
3
8 = ln | sin x|
3
8 ,
3
8
y + 2 C
3
8 = | sin x|
3
8 ,
3
8
y + 2 = C
8
3 | sin x|
3
8 . (2.5)
2Poslední krok je oprávněný, neboť logaritmus je funkce monotonní a tudíž z rovnosti logaritmů
dvou čišel plyne rovnost samotných těchto čísel.
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE SE SEPAROVANÝMI PROMĚNNÝMI 3
Výpočet absolutních hodnot výrazů 3
8 y + 2 a sin x v (2.5) závisí na jejich znaménku,
tj. na tom který z párů nerovností
3
8
y + 2 ≥ 0, sin x ≥ 0,
3
8
y + 2 ≤ 0, sin x ≥ 0,
3
8
y + 2 ≥ 0, sin x ≤ 0,
3
8
y + 2 ≤ 0, sin x ≤ 0
aktuálně platí. Je zřejmé, ze každé z těchto možností odpovídá bud znaménko „+“
nebo „−“ v rovnosti
3
8
y + 2 = ±C
8
3 (sin x)
3
8
nebo po vynásobeni 8
3
y +
16
3
= ±
8
3
C
8
3 (sin x)
3
8 . (2.6)
Jelikož zde C je libovolné kladné číslo a zahrnujeme oba dva případy se znaménkem
„+“ a „−“, vzorec (2.6) ve skutečnosti znamená, že vztah mezi proměnnými y a x je
ve tvaru
y = ˜C(sin x)
3
8 −
16
3
, (2.7)
kde ˜C je libovolná konstanta (buď kladná nebo záporná).3
Zderivováním snadno ověříme,
že (2.7) je řešením rovnice (2.1) pro libovolné ˜C.4
Teď ověřme, zda (2.7) popisuje všechna řešení rovnice (2.1) (tj. jestli jsme v průběhu
úprav nějaká řešení „neztratili“). Zde vidíme, že úprava rovnice na tvar (2.2) a všechny
operace v integrálech (2.3) jsou oprávněny, jestli je jmenovatel zlomku odlišný od 0 a
tak uvažujeme hodnoty y, pro něž 3
8 y + 2 0, tj.
y −
16
3
. (2.8)
Uvedené úvahy se tedy tykají případu když platí (2.8). Dosazením do (2.1) snadno
zjistíme, že je konstantní funkce y = −16
3 je řešením dané diferenciální rovnice. Toto
řešeni sice bylo kvůli předpokladu (2.8) vynecháno, nicméně si můžeme všimnout, že
je ve skutečností obsažené v (2.7) pro ˜C = 0. Obecné řešení rovnice (2.1) je tedy dáno
3Poněvadž každé ˜C ∈ (−∞, ∞) lze vyjádřit jako 8
3C
8
3 nebo −8
3C
8
3 pro odpovídající kladné C. Takovým
úvahám se v praxi často říká „odstranění absolutních hodnot“ ve vztazích typu (2.5).
4Po zápisu obecného řešení je vhodné vyšetřit jeho definiční obor. Zde funkce t → t
3
8 =
8
√
t3 je
definována pro t ≥ 0 a tudíž (2.6) a (2.7) uvažujeme pro hodnoty x, pro něž sin x ≥ 0.
4 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE SE SEPAROVANÝMI PROMĚNNÝMI
vztahem (2.7), kde ˜C je libovolná konstanta, a jiná řešení daná diferenciální rovnice
nemá.
Příklad 2.2. Určeme obecné řešení diferenciální rovnice
y + (2y + 1) cotan x = 0.
Podobně příkladu (2.1) zde máme
d y
2y + 1
= − cotan x d x,
∫
d y
2y + 1
= −
∫
cotan x d x,
1
2
ln |2y + 1| = − ln | sin x| + ln B,
kde B je libovolné kladné číslo. Po výpočtech obdržíme obecné řešení ve tvaru
y =
C
(sin x)2
−
1
2
, (2.9)
kde C ∈ (−∞, ∞) je libovolné. Konstantní řešení y = −1
2, jež po vydělení rovnice
výrazem 2y + 1 nebylo možné uvažovat, je obsažené v (2.9) pro C = 0.
Příklad 2.3. Určeme všechna řešení diferenciální rovnice
xy = y(y + 2). (2.10)
Dle § 1 máme
∫
d y
y(y + 2)
=
∫
d x
x
. (2.11)
Racionální lomená funkce y → 1
y(y+2) je ryze lomená a lze ji proto rozložit na součet
parciálních zlomků:
1
y(y + 2)
=
A
y
+
B
y + 2
=
A(y + 2) + By
y(y + 2)
,
kde A a B se volí tak, aby platilo
1 = A(y + 2) + By. (2.12)
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE SE SEPAROVANÝMI PROMĚNNÝMI 5
Z (2.12) dosazením hodnot y = 0 a y = −2 obdržíme 1 = 2A, 1 = −2B, odkud A = 1
2,
B = −1
2. Proto
∫
d y
y(y + 2)
=
1
2
∫
d y
y
−
1
2
∫
d y
y + 2
=
1
2
ln |y| −
1
2
∫
d(y + 2)
y + 2
=
1
2
ln |y| −
1
2
ln |y + 2| +
1
2
lnC =
1
2
ln
y
y + 2
+
1
2
lnC
=
1
2
ln
y
y + 2
+ lnC =
1
2
lnC
y
y + 2
,
kde C > 0. Po dosazení do (2.11) obdržíme
1
2
lnC
y
y + 2
= ln |x|,
lnC
y
y + 2
= 2 ln |x| = ln(x2
),
C
y
y + 2
= x2
(2.13)
pro kladná C. Výraz
y
y+2 je kladný pravě tehdy, když buď y > 0 nebo y < −2. Vztah
(2.13) tedy znamená, že pro C > 0 platí
±C
y
y + 2
= x2
,
kde je znaménko „+“ pro y ∈ (−∞, −2) ∪ (0, +∞) a „−“ pro y ∈ (−2, 0). V každém
případě vztah mezi y a x je ve tvaru
C
y
y + 2
= x2
,
kde C ∈ (−∞, ∞), odkud C y = x2(y + 2), (C − x2)y = 2x2 a
y =
2x2
C − x2
. (2.14)
Bezprostředním dosazením do (2.10) ověříme, že je (2.14) řešením dané diferenciální
rovnice pro libovolné C:
xy = x
4x(C − x2) + 2x2 · 2x
(C − x2)2
=
4C x2
(C − x2)2
,
y(y + 2) =
2x2
C − x2
2x2
C − x2
+
2C − 2x2
C − x2
=
4C x2
(C − x2)2
.
Dále si můžeme všimnout, že konstantní funkce y = 0 a y = −2 jsou také řešeními
rovnice (2.10), přičemž řešení y = −2 je speciálním případem vzorce (2.14) pro C = 0.
Řešení y = 0 z (2.14) neobdržíme pro žádnou hodnotu konstanty C; je to řešeni
výjimečné.
6 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE SE SEPAROVANÝMI PROMĚNNÝMI
Obecným řešením označujeme takové řešení diferenciální rovnice, které obsahuje
libovolnou integrační konstantu. Řešení partikulární je řešení, jež obdržíme, .
přiřadíme-li všem konstantám obecného řešení určité hodnoty. Navíc některé rovnice
mají řešení, jež nelze získat z řešení obecného pro žádné hodnoty konstant; taková
řešení se označují jako výjimečná.
Příklad 2.4. Určeme řešení diferenciální rovnice
y = y
√
ex
√
e−1
+
2
√
x
e
√
x
splňující podmínku y(1) = e. Je to rovnice se separovanými proměnnými a řešíme ji
jako obvykle podle § 1:
d y
y
=
√
ex
√
e−1
+
2
√
x
e
√
x
d x,
∫
d y
y
=
∫
√
ex
√
e−1
+
2
√
x
e
√
x
d x =
√
e
x
√
e
√
e
+ 2
∫
1
√
x
e
√
x
d x
= x
√
e
+ 2 · 2
∫
e
√
x 1
2
√
x
d x = x
√
e
+ 4
∫
e
√
x
d(
√
x)
= x
√
e
+ 4e
√
x
+ C,
odkud
ln |y| = x
√
e
+ 4e
√
x
+ C,
|y| = ex
√
e +4e
√
x +C
,
y = ±ex
√
e +4e
√
x +C
, (2.15)
kde C je libovolná konstanta. Dosazením do (2.15) za x čísla 1 zjistíme, jakou hodnotu
C je potřeba zvolit, aby byla podmínka y(1) = e splněna:5
e1
√
e +4e
√
1+C
= e,
1 + 4e + C = 1,
5Zde ihned vyřadíme část vzorce se znaménkem „−“, jelikož y(1) má být rovno e, což je kladné
číslo.
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE SE SEPAROVANÝMI PROMĚNNÝMI 7
odkud C = −4e. Hledaným řešením pak je6
y = ex
√
e +4e
√
x −4e
. (2.16)
Příklad 2.5. Určeme řešení diferenciální rovnice
y = 2y(x2
− 4) (2.17)
splňující podmínku y(1) = 0. Podle § 1 máme
∫
d y
y
= 2
∫
(x2
− 4) d x = 2
x3
3
− 4x = 2x
x2
3
− 4 ,
ln |y| = 2x
x2
3
− 4 + C, (2.18)
kde číslo C má být zvoleno tak, aby platilo y(1) = 0. Dosaďme tedy do (2.18) x = 1,
y = 0; vychází
ln 0 = C,
což nemá smysl. Toto znamená, že žádné řešení určené přes vzorec (2.18) danou podmínku
nesplňuje. Zdánlivý problém vyřešíme, když si všimneme, že (2.18) jsme obdrželi
za implicitního předpokladu y 07
a že y = 0 je řešením rovnice (je to výjimečné
řešení, jež není obsažené v obecném řešení určeném vzorcem (2.18)). Řešením rovnice
(2.17) splňujícím podmínku y(1) = 0 tedy je y = 0.
6Stejný výsledek bychom obdrželi bezprostředním použitím určitých integrálů, jejichž dolní meze
jsou 1 a e (tj. pro proměnnou x bod, ve kterém je stanovena počáteční podmínka, a pro y potřebná
hodnota řešení v tomto bodě):
∫ y
e
d t
t
=
∫ x
1
√
es
√
e−1
+
2
√
s
e
√
s
d s,
ln |y| − ln |e| = ln |y| − 1 = s
√
e
+ 4e
√
s x
1
= x
√
e
+ 4e
√
x
− 1 − 4e,
odkud obdržíme (2.16).
7přesněji řečeno, že nenabývá funkce y nulových hodnot