Mechanika a molekulová fyzika Tekutiny Doc. RNDr. Petr Sládek, CSc. Pedagogická fakulta Masarykova Univerzita Poříčí 7, 603 00 Brno Pro potřeby přednášky zpracováno s využitím www.studopory.vsb.cz materialy html_files Proudění ideální kapaliny §Uspořádaný makroskopický pohyb částic tekutiny označujeme jako §proudění tekutiny. §Popis pomocí rychlosti a tlaku v každém místě proudění. §Proudění Øustálené (stacionární) v libovolném místě rychlost a tlak nezávisí na čase. Øneustálené (nestacionární) v libovolném místě rychlost a tlak závisí na čase. § § §Ke grafickému znázornění proudění tekutiny §používáme proudnic. 2 Proudění ideální kapaliny §Proudnice – trajektorie pohybující se částice tekutiny. § § § §Každým bodem oblasti proudící tekutiny prochází právě jedna proudnice. §Proudnice se nemohou navzájem protínat. §Rychlost pohybující se částice tekutiny má směr tečny k proudnici v libovolném v bodě. § §proudová trubice §proudové vlákno 3 Proudění ideální kapaliny §Proudnice – trajektorie pohybující se částice tekutiny. § § § §Každým bodem oblasti proudící tekutiny prochází právě jedna proudnice. §Proudnice se nemohou navzájem protínat. §Rychlost pohybující se částice tekutiny má směr tečny k proudnici v libovolném v bodě. § §proudová trubice §proudové vlákno 4 Při proudění ideální tekutiny je ve všech bodech průřezu proudové trubice, kolmého k její ose, rychlost stejná. Proudění ideální kapaliny §Průřezem S vybrané proudové trubice při velikosti rychlosti proudící kapaliny v proteče za 1 sekundu objem kapaliny S.v. Tato veličina se nazývá objemový průtok QV . § QV= S.v § §Je-li hustota kapaliny ρ v místě průřezu S stejná, je hmotnostní průtok Qm, což je hmotnost kapaliny proteklé průřezem S proudové trubice za 1 sekundu, dán vztahem § Qm = S.v. ρ Jednotkou je 1 kg.s-1 . §Popis pomocí rychlosti a tlaku v každém místě proudění. 5 Proudění ideální kapaliny §Kapalina nemůže stěnami trubice ani vytéci, ani přitéci musí být hmotnostní průtok pro libovolný průřez proudové trubice stálý: § Qm = S.v. ρ = konst § §Tato rovnice se nazývá rovnice spojitosti neboli kontinuity a je vyjádřením zákona zachování hmotnosti pro ustálené proudění kapaliny. § §V případě ideální kapaliny, která je dokonale nestlačitelná, je při stálé teplotě ρ = konst pak pro ideální kapalinu můžeme rovnici kontinuity psát ve tvaru § § S.v = konst nebo S1v1 = S2v2 6 Proudění ideální kapaliny §Kapalina pod tlakem může konat práci. Má tedy potenciální energie tlaková. § §Velká nádoba s kapalinou, ze které vychází §tenká trubice s pístem o plošném obsahu S. §Tlak kapaliny lze v místech pístu považovat §za stejný. §Při posunutí ds vykoná síla F= p.S práci § § dA = Fds = pSds = pdV § §Tato práce je číselně rovna úbytku potenciální energie tlakové dWtl. § 7 Proudění ideální kapaliny §Kinetická energie proudící kapaliny objemu dV s hustotou ρ: § § dWk= ½ v2dm = ½ v2ρdV § §Potenciální energie tíhová proudící kapaliny objemu dV s hustotou ρ § § dWp = g h dm = h g ρdV (pozor na volbu nulové hodnoty dWp) § §Navíc je zde potenciální energie tlaková § § dWtl = p dV § §Celková mechanická energie proudící kapaliny je pak: § dW = dWk + dWp + dWtl 8 Proudění ideální kapaliny §Hustota energie je energie připadající na jednotkový objem kapaliny, tedy: § § dwk= ½ v2ρ dwp = h g ρ dwtl = p § §Protože v ideální kapalině se nemůže mechanická energie proudící kapaliny měnit v jiné formy energie, bude hustota celkové mechanické energie (tj. celková mechanická energie jednotkového objemu) proudící ideální kapaliny stálá: § dw = dwp + dwtl + dwk = konst §tj.: § p + h g ρ + ½ ρ v2 = konst § §Označovaná jako Bernoulliova rovnice. 9 Proudění ideální kapaliny §Event. p1 + h1 g ρ + ½ ρ v12 = p2 + h2 g ρ + ½ ρ v22 = konst § §Pro vodorovnou trubici (h1=h2) pak § p1 + ½ ρ v12 = p2 + ½ ρ v22 = konst §nergie připadající na jednotkový objem kapaliny, tedy: § § dwk= ½ v2ρ dwp = h g ρ dwtl = p § §Zúžení trubice, kterou proudí kapalina, vyvolá zmenšení tlaku kapaliny, byl §nazván hydrodynamický paradox. § §Pro reálné kapaliny lze Bernoulliovu rovnici použít jen přibližně. §Pro plyny, kde se změnou tlaku se mění i jejich hustota, jsou rovnice proudění plynu složitější. Všeobecně však i pro proudící plyny ve vodorovné trubici platí, že v užších průřezech trubice vzrůstá jejich rychlost a klesá tlak. 10 Proudění ideální kapaliny 11 Proudění ideální kapaliny 12 Vnitřní tření 13 Vnitřní tření §Ve skutečnosti při otevření výtokového otvoru poklesne výška sloupců v manometrických trubicích a ustálí se, jak je znázorněno na Obr. § § § § § § §Protože trubice má stálý průřez, je podle rovnice kontinuity velikost střední rychlosti proudící vody po celé délce trubice stejná. Je ale menší než rychlost, kterou by vytékala voda přímo z otvoru ve stěně. Podél trubice dochází k rovnoměrnému poklesu tlaku. Tlak vody u výtokového otvoru z trubice roven nule. Spojnice středů volných hladin v manometrických trubicích protne stěnu nádoby v hloubce h1 pod volnou hladinou v nádobě. Tato hloubka určuje část tlakové energie, která se změnila v kinetickou energii vytékající vody. Zbývající tlaková energie se mění postupně podél celé trubice ve vnitřní energii kapaliny (zvýší se teplota vytékající kapaliny).Část tlakové energie, která se změní na vnitřní energii proudící kapaliny, je rovna práci vykonané silami vnitřního tření v proudící kapalině. 14 Vnitřní tření 15 Vnitřní tření 16 Laminární a turbulentní proudění §Proudění ideální kapaliny (bez vnitřního tření) je nevírové (potenciálové). §Platí při něm zákon zachování mechanické energie. Částice kapaliny při tomto §proudění konají jen postupný pohyb. §Otáčivý pohyb není možný. Rychlost §proudění je ve všech bodech průřezu §trubice stejná. §Proudění reálné kapaliny není potenciálové, je vždy vírové. Částice kapaliny §kromě posuvného pohybu konají i otáčivý pohyb. §Pro malé rychlosti proudění je proudění reálné §kapaliny laminární. Je charakterizováno tím, §že ve vybraném kruhovém průřezu trubice rozložení rychlostí je v osovém řezu parabolické. Jednotlivé vrstvy (proudové trubice) se nepromíchávají. §Objemový průtok Qv je dán Poisseuillovým zákonem: 17 Laminární a turbulentní proudění 18 Laminární a turbulentní proudění §Kritické Reynoldsovo číslo Rek ~2000 laminární proudění přestává být stabilní a může se změnit na turbulentní. §Podobné závěry platí i pro proudění reálných plynů. § § § 19 Odpor prostředí při proudění §Při vzájemném pohybu tělesa a tekutiny dochází k přemisťování částic tekutiny a uplatňují se třecí síly. Tento jev se nazývá odpor prostředí. Sílu, která vzniká při vzájemném pohybu tělesa a tekutiny, nazýváme odporová hydrodynamická resp. aerodynamická síla, působí proti pohybu. §Pro malé rychlosti (proudění laminární) je odpor prostředí způsoben vnitřním třením. §Velikost odporové síly je přímo úměrná velikosti rychlosti tělesa vzhledem k prostředí. §Závislost na tvaru se uplatňuje méně. §Pro velikost odporové síly a těleso tvaru koule o poloměru platí Stokesův vztah: § § § §Měření viskozity -Na kuličku při pohybu působí tři síly tíhová síla, hydrostatická vztlaková síla a §hydrodynamická odporová síla - při ustálené rychlosti – rovnováha sil. 20 kde h je dynamická viskozita a v relativní rychlost pohybu tělesa vzhledem k tekutině Odpor prostředí při proudění §Pro vyšší rychlosti (při turbulentním proudění), kdy za tělesem se vytváří §zřetelné víry, odporová síla vzrůstá. Newton odvodil pro velikost odporové §síly vztah nazývaný Newtonův vzorec: § § § §kde C je součinitel odporu, S obsah plochy příčného řezu tělesa, ρ hustota tekutiny a v relativní rychlost pohybu tělesa vzhledem k tekutině. §Součinitel odporu C závisí na tvaru tělesa. § 21 Těleso Činitel Cx aerodynamický tvar 0,037 vypuklá polokoule 0,33 koule 0,50 rovná tenká deska 1,2 dutá polokoule 1,3 Odpor prostředí při proudění §Při pohybu nesouměrného tělesa vzhledem §k pohybu v prostředí (např. křídlo letadla) vzniká §síla, která na těleso působí ve směru odchýleném §od směru pohybu. §Její složka ve směru pohybu orientovaná proti §pohybu je odporová hydrodynamická resp. §aerodynamická síla. §Síla k ní kolmá – vztlaková hydrodynamická resp. aerodynamická §síla směřuje nad těleso a nadzvedává jej. 22 Odpor prostředí při proudění §Magnusův jev – golfový, tenisový míček – let s rotací. § § § § 23 Je-li rychlost tělesa vzhledem k tekutině větší než rychlost šíření zvuku v dané tekutině, jsou zákonitosti proudění značně odlišné od zákonitostí proudění s rychlostmi menšími. Velikost odporové síly je přibližně úměrná třetí odmocnině velikosti rychlosti pohybu tělesa vzhledem k tekutině. Vytváří se tzv. rázová vlna. Ta je např. příčinou silných zvukových třesků u nízko letících nadzvukových letadel. Zdroje: 24 § https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/Flusso_laminare_blu.gif §http://33.media.tumblr.com/dfca988463b4bd7a8f3d05e50c41e53d/tumblr_nqkaza0Uwu1r3c0qwo1_540.gif §https://eluc.kr-olomoucky.cz/verejne/lekce/1688 §https://physics.mff.cuni.cz/kfpp/skripta/kurz_fyziky_pro_DS/display.php/kontinuum/obrazky/image084 .gif § § §