Zobrazení z množiny do množiny, typy zobrazení


Definice 1: Nechť R je relace z množiny A do množiny B splňující vlastnosti: Ke každému prvku a  A
existuje nejvýše jeden prvek b  B takový, že [a,b]  R. Tato relace se nazývá zobrazení z množiny A
do množiny B. Značíme R: A → B.


Definice 2: Nechť R je zobrazení z množiny A do množiny B.

·       Jestliže [a,b]  R, pak prvek a  A nazýváme vzorem prvku  b  B v zobrazení R; prvek b  B
nazýváme obrazem prvku a  A v zobrazení R.

·         Množina O[1](R) = {a  A: existuje b  B takové, že [a,b]  R} se nazývá definiční obor
zobrazení R. Platí O[1](R)  A.

·         Množina O[2](R) = {b  B: existuje a  A takové, že [a,b]  R} se nazývá obor hodnot
zobrazení R. O[2](R)  B.


Příklad 1. Jsou dány množiny A = {x, y, z}, B = {a, b}. Rozhodněte, zda dané relace z množiny A do
množiny B jsou zobrazení z A do B, případně určete definiční obor a obor hodnot zobrazení.

            a) R[1] = {[x,a], [y,b], [z,a], [z,b]},

            b) R[2] = {[x,a], [z,b]},

            c) R[3] = {[x,a], [y,a], [z,a]}.



Rozlišujeme následující typy zobrazení R:


I) Je – li O[1](R) = A  O[2](R)  B  O[2](R) ≠ B, nazývá se R zobrazení množiny A do množiny B.


II) Je – li O[1](R)  A  O[1](R) ≠ A  O[2](R) = B, nazývá se R zobrazení z množiny A na množinu B.


III) Je – li O[1](R) = A  O[2](R) = B, nazývá se R zobrazení množiny A na množinu B.


IV) Je – li O[1](R)  A  O[1](R) ≠ A  O[2](R)  B  O[2](R) ≠ B, nazývá se R zobrazení z množiny A do
množiny B.


Příklad 2. Jsou dány množiny A = {x, y, a, c}, B = {c, x, b, z}.

a) Rozhodněte, o jaký typ zadaných zobrazení se jedná?

            1) R = {[x,z], [c,c], [y,c]}.

            2) S = {[x,z], [y,z], [a,z], [c,x]}.

b) Zapište výčtem prvků jednu binární relaci z množiny A do množiny B, která není zobrazením.

c) Zapište výčtem prvků

1) jedno zobrazení R[1] typu z množiny A do množiny B,

            2) jedno zobrazení R[2 ]množiny A do množiny B,

            3) jedno zobrazení množiny A na množinu B,

            4) jedno zobrazení z množiny A na množinu B.


Definice 3: Zobrazení R z množiny A do množiny B se nazývá prosté právě tehdy, když relace R^-1 je
zobrazení z množiny B do množiny A.


Důsledek: Zobrazení R z množiny A do množiny B je prosté právě tehdy, když

            a) ke každému y  B existuje nejvýše jedno x  A takové, že [x,y]  R,

            b) ke každým dvěma různým vzorům x[1, ]x[2][  ]  A přiřadíme dva různé obrazy y[1,
]y[2][ ]  B

                v zobrazení R.

Hovoříme pak o:

·         Prostém zobrazení množiny A do množiny B,

·         Prostém zobrazení z množiny A na množinu B,

·         Prostém zobrazení množiny A na množiny B,

·         Prostém zobrazení z množiny A do množiny B.


Definice 4: Prosté zobrazení množiny A na množinu B nazýváme bijektivní zobrazení nebo také
vzájemně jednoznačné zobrazení.


Příklad 3. Jsou dány množiny A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d}. Rozhodněte, o jaký typ zobrazení
se jedná a zda je toto zobrazení prosté:

            a) R[1][ = ]{[1,a], [2,c], [3,d]},

            b) R[2][ = ]{[1,a], [2,c], [3,d], [4,a]},

            c) R[3][ = ]{[2,a], [1,c], [3,b], [4,d]}.


Definice 5: Permutací konečné množiny A nazýváme každé prosté zobrazení množiny A na množinu A
(vzájemně jednoznačné zobrazení).


Příklad 4. Zapište všechny permutace tříprvkové množiny A = {x, y, z}.


Definice 6: Nechť R je zobrazení z množiny M do množiny N a S je zobrazení z množiny N do množiny
K. Pak relace R ○ S je zobrazení a nazývá se složené zobrazení ze zobrazení R a S.


Příklad 5. Složte permutace P[2] ○ P[3],  P[3] ○ P[2], P[4] ○ P[6] z  Příkladu 4.



Ekvivalence množin, konečné a nekonečné množiny


Definice 7: Říkáme, že dvě množiny A, B jsou ekvivalentní právě tehdy, když existuje prosté
zobrazení množiny A na množinu B.  Zapisujeme A ~ B.


Příklad 6. Jsou dány množiny A = {a, b, c}, B = {x, y, z}, C = {x, y}. Rozhodněte, které dvojice
zadaných množin jsou ekvivalentní.


Poznámka. Relace  ~  dvou množin definovaná v libovolném systému množin M má vlastnosti:
reflexivní, symetrická, tranzitivní. Relace ~ je tedy relací ekvivalence. Relace ekvivalence dvou
množin v libovolném systému množin M vytváří rozklad systému M  na třídy ekvivalentních množin.


Příklad 7. Je dán systém množin M  = {A, B, C, D, E, F, G, H}, kde A = {a, b, c}, B = {1, 2}, C =
{x, y}, D = {○, ○, ○, ○}, E = {∆, ∆, ∆}, F = { [*],  [*]}, G = { □ }, H = {☺, ☺, ☺, ☺}. Rozhodněte,
které množiny ze systému M  jsou ekvivalentní.


Definice 8: Řekneme, že množina A je konečná právě tehdy, když žádná vlastní podmnožina množiny A
není ekvivalentní s množinou A.


Definice 9: Řekneme, že množina B je nekonečná právě tehdy, když existuje alespoň jedna vlastní
podmnožina množiny B, která je ekvivalentní s množinou B.


Poznámka. Množina M je vlastní podmnožinou množiny N právě tehdy, když

M  N  M ≠ N.





[ ]