Adobe Systems
1
Aritmetika 2 – jaro 2021
3. prezentace
Mgr. Helena Durnová, Ph.D.
RNDr. Petra Bušková

Adobe Systems
2
Prvočísla a čísla složená
̶Rozdělíme přirozená čísla na dvě velké podmnožiny a jednu jednoprvkovou:
̶číslo 1 bude patřit do zvláštní podmnožiny
̶prvočísla (čísla, která mají právě dva různé dělitele) tvoří jednu velkou podmnožinu
̶čísla složená (čísla s alespoň třemi různými děliteli) tvoří druhou velkou podmnožinu
̶
̶Podmnožina prvočísel a podmnožina čísel složených mají prázdný průnik
(tj. číslo je buď prvočíslo, nebo číslo složené).

Adobe Systems
3
Definice: prvočíslo, číslo složené
Definice 2.
Přirozené číslo p>1 nazýváme prvočíslem, právě když má právě dva různé přirozené dělitele (tj.
čísla 1 a p).
Přirozené číslo a>1, které není prvočíslem (tj. má více než dva  přirozené dělitele), nazýváme
složeným číslem.

Adobe Systems
4
Příklady
̶Číslo  13  je prvočíslo, protože má právě dva přirozené dělitele, čísla  1 a 13. Jsou to
samozřejmí dělitelé čísla 13.
̶Číslo  12  je složené číslo, protože má více než dva přirozené dělitele: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
̶
̶ Číslo 1 podle definice není prvočíslo ani číslo složené.

Adobe Systems
5
Věta o existenci prvočíselného dělitele
Věta 2: Každé přirozené číslo  n > 1  má aspoň jednoho prvočíselného dělitele.
Důkaz: Číslo  n > 1   má alespoň jednoho dělitele, který je větší než 1. Z jeho dělitelů je jeden
nejmenší, označme ho  p.
Tento nejmenší přirozený dělitel  p > 1   musí být prvočíslem.
Kdyby totiž  p  bylo složené číslo, tj.  p = a.b, kde  1 < a <  p ,  1 < b <  p ,  pak by ze
vztahů  a| p a  p|n  plynulo  a| n,  což by znamenalo, že existuje dělitel
a <  p čísla  n, což by bylo  v rozporu s naším předpokladem, že  p je nejmenší z přirozených
dělitelů čísla n.  Číslo  p je tedy prvočíslo.

Adobe Systems
6
Jak rozhodneme, zda je dané číslo prvočíslo nebo číslo složené?
Máme-li rozhodnout o tom, zda dané číslo a > 1  je prvočíslem nebo složeným číslem, můžeme
postupovat tak, že zjišťujeme, zda je dané číslo dělitelné prvočísly menšími než toto číslo.
Platí totiž věta:  Existuje-li prvočíslo menší než číslo a, které dělí číslo a, pak  a je složené
číslo.
Uvedený postup je však  značně zdlouhavý. Proto budeme využívat následující věty:
Věta 3. Jestliže přirozené číslo a není dělitelné žádným prvočíslem menším nebo rovným  odmocnině z
a, pak a  je prvočíslo.

Adobe Systems
7
Důkaz věty 3
Provedeme nepřímý důkaz, tj. přímý důkaz věty obměněné)
Věta obměněná k větě 3: Není-li a prvočíslo, pak je dělitelné aspoň jedním prvočíslem p menším než
odmocnina z a.
Tedy předpokládejme, že číslo a není prvočíslo, pak podle věty 2. existuje prvočíslo p, které je
nejmenším dělitelem čísla a. Můžeme psát:  a = q . p   a současně  p < a; současně platí také:  p
je menší nebo rovno q .  Je tedy a větší nebo rovno p2   a odtud plyne, že  p musí být menší nebo
rovno odmocnině z a.

Adobe Systems
8
Jak zjistit, zda dané číslo je prvočíslo
Příklad: Zjistěte, zda 173 je prvočíslo nebo složené číslo.
Řešení:  Odmocnina ze 173 je menší než 14 (druhá mocnina 14 je 196), proto budeme zjišťovat, zda
číslo 173 je dělitelné některým z prvočísel 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Číslo 173 není dělitelné žádným z těchto prvočísel, proto je prvočíslem.
̶

Adobe Systems
9
Prvočíselný rozklad

Adobe Systems
10
Příklady
Příklad 1
Rozhodněte a zdůvodněte, zda jsou čísla 437, 593, 1007, 2771, 3012 prvočísla, nebo čísla složená.
Příklad 2
Najděte alespoň tři prvočísla větší než 120 a zároveň menší než 150.
Příklad 3
Najděte největší prvočíslo, kterým je dělitelné číslo
a)1326
b)2406
c)4380

Adobe Systems
11
Příklady
Příklad 4
Rozložte na součin prvočinitelů číslo
a)500
b)2024
c)1326
Příklad 5
Najděte alespoň tři přirozená čísla, která jsou dělitelná
a)všemi jednocifernými prvočísly,
b)všemi přirozenými čísly od jedné do deseti.
Určete v obou případech nejmenší přirozené číslo, které podmínkám vyhovuje.