přednáška 08:
  některá význačná        diskrétní i spojitá         rozdělení psti

Při matematickém popisu jakékoli náhodné veličiny zhruba potřebujeme projít šest základních otázek

i) X = … co daná veličina měří



ii) X ∊﷐…﷯ … jakých hodnot veličina nabývá

     (podotázka – je to veličina diskrétní nebo spojitá?)

iii)Jaký je vzorec pro pstní funkci p či hustotu f



iii) P(X∊(a;b>) = F(b)-F(a)=  ﷐𝑘∈(𝑎;𝑏>﷮﷮𝑝(𝑘)﷯ … pro diskrétní velič.

                                                (𝑝(𝑘) je pstní funkce)

                                           = ﷐𝑎﷮𝑏﷮𝑓﷐𝑥﷯𝑑𝑥﷯ … pro spojitou veličinu

                                                (𝑓﷐𝑥﷯ je hustota psti)

+ nakreslete graf pstní funkce nebo hustoty

iv) Jaký je vzorec pro distribuční funkci F



iv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x):

F(x)= P(X≤x) =   ﷐𝑘≤𝑥﷮﷮𝑝(𝑘)﷯ … pro diskrétní velič.

                                                (𝑝(𝑘) je pstní funkce)

                      = ﷐−唴﷮𝑥﷮𝑓﷐𝑡﷯𝑑𝑡﷯ … pro spojitou veličinu

                                                (𝑓﷐𝑡﷯ je hustota psti)

+ nakreslete graf distribuční funkce



v) Jaká je střední hodnota takto se chovající veličiny



v) Střední hodnota veličiny X:

EX =    ﷐𝑘∊𝑋(Ω)﷮﷮𝑘∙𝑝(𝑘)﷯ … pro diskrétní velič.

                                           (𝑝(𝑘) je pstní funkce)

      = ﷐−唴﷮+唴﷮𝑥∙𝑓﷐𝑥﷯ 𝑑𝑥﷯ … pro spojitou veličinu

                                           (𝑓﷐𝑡﷯ je hustota psti)

vi) Jaký je rozptyl této veličiny



vi) Rozptyl veličiny X (definice a způsob výpočtu):

DX = E ﷐﷐𝑋−𝐸𝑋﷯﷮2﷯= ﷐﷐𝑘∊𝑋(Ω)﷮﷮﷐𝑘﷮2﷯∙𝑝(𝑘)﷯﷯−﷐﷐𝐸𝑋﷯﷮2﷯… pro diskr. velič.

                                                                        (𝑝(𝑘) je pstní funkce)

                               = ﷐−唴﷮+唴﷮﷐𝑥﷮2﷯∙𝑓﷐𝑥﷯ 𝑑𝑥﷯− ﷐﷐𝐸𝑋﷯﷮2﷯   … pro spoj. velič.

                                                                        (𝑓﷐𝑡﷯ je hustota psti)

Podívejme se na pět základních diskrétních rozdělení psti, která jsou tak důležitá, že mají svůj
vlastní název:



D1: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti

(discrete uniform distribution)

i) X = nějaká z konečně mnoha hodnot, které všechny mají stejnou šanci nastat



ii) X ∊﷐1,2,…, 𝑛﷯



D1: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti
(discrete uniform distribution)

iii) P(X∊(a;b>) =    ﷐𝑘∈(𝑎;𝑏>﷮﷮﷐1﷮𝑛﷯﷯

                                      vlastně se jedná o model klasické psti,
                kde Ω je konečná množina (reálných) čísel

                                                (𝑝(𝑘) = ﷐1﷮𝑛﷯ pro každé k)

Ve vzorci není chyba … funkční hodnota je ﷐1﷮𝑛﷯ a nezávisí tedy na hodnotě k, je pro každé k stejná

D1: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti
(discrete uniform distribution)



iv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x):

F(x)=    ﷐𝑘≤𝑥﷮﷮﷐1﷮𝑛﷯﷯



distribuční funkce – viz obr na tabuli/ ve skenu 08:

(kumulativní funkce s pravidelnou výškou všech schodů)



D1: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti
(discrete uniform distribution)



v) Střední hodnota veličiny X:

EX =    ﷐𝑘∊Ω﷮﷮𝑘∙﷐1﷮𝑛﷯﷯ = … = ﷐𝑛+1﷮2﷯

vi) Rozptyl veličiny X:

 DX =  ﷐﷐𝑘∊𝑋(Ω)﷮﷮﷐𝑘﷮2﷯∙﷐1﷮𝑛﷯﷯﷯−﷐﷐﷐𝑛+1﷮2﷯﷯﷮2﷯= … = ﷐﷐𝑛﷮2﷯−1﷮12﷯

Příklad D1= diskrétního rovnoměrného rozdělení psti:

X= co padne na kostce



Značíme zhruba:  X ~ Ro(1,2,…,n)

D2: alternativní rozdělení psti:
(alternative distribution)



i) X = odpověď na otázku, která nabývá pouze dvou hodnot

(odpovědi se navzájem vylučují)

(či výsledek experimentu, který nabývá pouze dvou výsledků: 0 při „neúspěchu“, 1 při „úspěchu“ …
tyto výsledky se navzájem vylučují)



ii) X ∊﷐0,1﷯



D2: alternativní rozdělení psti:
(alternative distribution)

iii) Pstní funkce: p(1)= p

                             p(0)= 1-p



Obrázek – popřípadě na tabuli

D2: alternativní rozdělení psti:
(alternative distribution)



iv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x):



Má pouze dva schody obecně různých výšek (1-p) a p



viz obr na tabuli



D2: alternativní rozdělení psti:
(alternative distribution)



v) Střední hodnota veličiny X:

EX = 0∙﷐1−𝑝﷯+1∙𝑝 = p



vi) Rozptyl veličiny X:

 DX =  ﷐﷐0﷮2﷯∙﷐1−𝑝﷯+﷐1﷮2﷯∙𝑝﷯−﷐𝑝﷮2﷯ = 𝑝∙﷐1−𝑝﷯

Příklady D2 = alternativního rozdělení psti:

•     X= počet šestek, které padnou při jednom hodu kostkou (0 nebo 1)

•     X= počet voličů, kteří budou volit kandidáta AB na prezidenta, pokud se ptáme jen jednoho
voliče (tj. nabývá pouze hodnot 0 nebo 1)

•     X= počet „úspěchů“ při jednom opakování experimentu (nabývá pouze hodnoty 0 = neúspěch, 1 =
úspěch)



Značíme zhruba:  X ~ Alt(p)



D3: binomické rozdělení psti:
(binomial distribution)



i) X = počet „úspěchů“ při N nezávislých opakováních experimentu, který má dva navz. se vylučující
výsledky „úspěch“ nastávající s pstí p a „neúspěch“ nastávající s pstí (1-p)

(nezávislé opakování znamená, že výskyt úspěchu při předchozím opakování experimentu nemá vliv na
to, zda při dalších opakováních nastane úspěch či neúspěch)



ii) X ∊﷐0,1,2,3, …, 𝑁﷯



D3: binomické rozdělení psti:
(binomial distribution)

iii) Pstní funkce: p(k)= ﷐﷐𝑁﷮𝑘﷯﷯∙﷐𝑝﷮𝑘﷯∙﷐﷐1−𝑝﷯﷮𝑁−𝑘﷯

                                                              pro k = 0,1,2, …, N



Obrázek – popřípadě na tabuli nebo v jazyku R – viz příklad, co bude následovat

D3: binomické rozdělení psti:
(binomial distribution)



iv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x):



Má schody různých výšek



viz obr na tabuli nebo obdelníčkový graf BARPLOT v jazyku R



D3: binomické rozdělení psti:
(binomial distribution)



v) Střední hodnota veličiny X:

EX = 0∙𝑝﷐0﷯+1∙𝑝﷐1﷯+ …+𝑁∙𝑝﷐𝑁﷯= N ∙ p



vi) Rozptyl veličiny X:

 DX = ﷐﷐0﷮2﷯∙𝑝﷐0﷯+ ﷐1﷮2﷯∙𝑝﷐1﷯+…+﷐𝑁﷮2﷯∙𝑝﷐𝑁﷯﷯−﷐𝑁﷮2﷯﷐𝑝﷮2﷯ = N∙𝑝∙﷐1−𝑝﷯

Příklady D3 = binomického rozdělení psti:

•     X= počet šestek z N hodů kostkou … př 11.1- str. 169 z textu BMA3-stary

•     X= počet voličů, kteří budou volit kandidáta AB na prezidenta, pokud se ptáme N nezávislých
(náhodně vybraných) voličů … př.11.2.str. 170

•     X= počet „úspěchů“ při N nezávislých opakováních experimentu



Značíme zhruba:  X ~ Bi(N,p)



Bi (N,p) v jazyku R:



X= počet šestek z N hodů kostkou … př 11.1- str. 169

Ø   px <- dbinom(0:4,4,1/6)  # spocte psti Bi (N=4, p=1/6)

Ø  plot(px,pch=16) # nakresli pstni funkci, “pch=16” jsou tucne tecky

Popis osy x je posunuty, nevim jak to spravit

Ø  Fx <- pbinom(0:4,4,1/6) # spocte schody distribucni funkce (kumul.fce)

Ø  barplot(Fx, col=6:7) # nakresli distrib fci F – horni strany tech obdelnicku

col=6:7 … pouze meni barvu obdelnicku … strida barvy 6 a 7







Bi (N,p) v jazyku R:  kvantily a generování hodnot



Ø   qbinom(0.95, 4,1/6)  # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd  Bi (N=4, p=1/6)



Ø  genbi  <- rbinom(1000,4,1/6) # do vektoru genbi nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni
Bi(4,1/6) …. rbinom = random binom



Ø  table(genbi) # spocitaji se cetnosti nahodne gener hodnot velic X







D4: geometrické rozdělení psti:
(geometric distribution)



i) X = počet „úspěchů“ před prvním neúspěchem při nezávislých opakováních experimentu, který má dva
navz. se vylučující výsledky „úspěch“ nastávající s pstí p a „neúspěch“ nastávající s pstí (1-p)



ii) X ∊﷐0,1,2,3, …﷯   teoreticky až do nekonečna



D4: geometrické rozdělení psti:
(geometric distribution)

iii) Pstní funkce: p(k)= ﷐𝑝﷮𝑘﷯∙(1−𝑝)

                                                              pro k = 0,1,2, …

(tyto psti tvoří geometrickou posloupnost, odtud název rozdělení)



Obrázek – popřípadě na tabuli nebo v jazyku R – viz příklad, co bude následovat

D4: geometrické rozdělení psti:
(geometric distribution)



iv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x):



Má schody různých výšek, schodů je nekonečně mnoho, ale nesměřují až „do nebe“, nýbrž jsou stále
menší a schodiště stoupá pouze k hodnotě 1



viz obr na tabuli nebo obdelníčkový graf BARPLOT v jazyku R



D4: geometrické rozdělení psti:
(geometric distribution)



v) Střední hodnota veličiny X:

EX = 0∙𝑝﷐0﷯+1∙𝑝﷐1﷯+ … = ﷐𝑝﷮1−𝑝﷯

(výpočet integrací řady člen po členu)

vi) Rozptyl veličiny X:

 DX = ﷐﷐0﷮2﷯∙𝑝﷐0﷯+ ﷐1﷮2﷯∙𝑝﷐1﷯+…﷯−﷐﷐﷐𝑝﷮1−𝑝﷯﷯﷮2﷯ = ﷐𝑝﷮﷐﷐1−𝑝﷯﷮2﷯﷯

Příklady D4 = geometrického rozdělení psti:

•     X= počet hodů kostkou před prvním padnutím šestky

•     X= počet dnů bezporuchového provozu před první poruchou linky (pst poruchy linky v každém dni
je stále stejná a nezávislá na předchozích dnech



Značíme zhruba:  X ~ Geom(p)



Geom(p) v jazyku R: pozor, ve vzorcích p=5/6, ale R potrebuje p=1/6 (tj. R uziva spise 1-p)



X= počet hodů kostkou před prvním padnutím šestky

Ø  x <- c(0:30)  # je def pro nekonecne  mnoho x, ale pocitac se musi omezit na konecne mnoho

Ø  px <- dgeom(x,1/6)  # spocte psti Geom (p=1/6) pro hodnoty z vekt x

Ø  plot(px,pch=16) # nakresli pstni funkci, “pch=16” jsou tucne tecky

Popis osy x je posunuty, nevim jak to spravit

Ø  Fx <- pgeom(x,1/6) # spocte schody distribucni funkce (kumul.fce)

Ø  barplot(Fx, col=6:7) # nakresli distrib fci F – horni strany tech obdelnicku

col=6:7 … pouze meni barvu obdelnicku … strida barvy 6 a 7







Geom(p) v jazyku R:  kvantily a generování hodnot



Ø   qgeom(0.95,1/6)  # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd  Geom (p=1/6)



Ø  gengeom  <- rgeom(1000,1/6) # do vektoru gengeom nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni
Geom(1/6) …. rgeoom = random geom



Ø  table(gengeom) # spocitaji se cetnosti nahodne gener hodnot velic X







D5: Poissonovo rozdělení psti:
(Poisson distribution)



•      X = počet  výskytů jisté nepravidelné „náhodné události“ (příchod zákazníka do fronty v
supermarketu, narození dítěte v jisté porodnici, apod.) za jednotku času; přičemž λ= průměrný počet
těchto výskytů za jednotku času

Předpoklady modelu: a) zdroj událostí je dosti velký (tisíce a víc)

b) Následujíci výskyt události je nezávislý na předchozím výskytu

c) Počet událostí v intervalu (t; t+h) nezávisí na počtu výskytů před okamžikem t (tzv.
forgetfulness property = zapomnětlivost)

ii) X ∊﷐0,1,2,3, …﷯   teoreticky až do nekonečna



D5: Poissonovo rozdělení psti:
(Poisson distribution)

iii) Pstní funkce: p(k)= ﷐﷐λ﷮𝑘﷯﷮𝑘!﷯∙﷐𝑒﷮−λ﷯

                                                              pro k = 0,1,2, …

Přesné odvození např. viz text Matematika 3 (na internetu: Fajmon, Hlavičková, Novák, 2014, str.
203-206)

Obrázek – popřípadě na tabuli nebo v jazyku R – viz příklad, co bude následovat

D5: Poissonovo rozdělení psti:
(Poisson distribution)



iv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x):



Má schody různých výšek, schodů je nekonečně mnoho, ale nesměřují až „do nebe“, nýbrž jsou stále
menší a schodiště stoupá pouze k hodnotě 1



viz obr na tabuli nebo obdelníčkový graf BARPLOT v jazyku R



D5: Poissonovo rozdělení psti:
(Poisson distribution)



v) Střední hodnota veličiny X:

EX = 0∙𝑝﷐0﷯+1∙𝑝﷐1﷯+ … = λ

(s využitím rozvoje funkce ﷐𝑒﷮𝑥﷯ v Taylorovu řadu)

vi) Rozptyl veličiny X:

 DX = ﷐﷐0﷮2﷯∙𝑝﷐0﷯+ ﷐1﷮2﷯∙𝑝﷐1﷯+…﷯−﷐λ﷮2﷯ = λ

Příklady D5 = Poissonova rozdělení psti:

•     X= počet návštěvníků restaurace za jednotku času

•     X= počet narozených dětí v jisté porodnici za jednotku času

•     X = počet průjezdů auta jistým místem na silnici za jednotku času



Značíme zhruba:  X ~ Po(λ)



Po(λ) v jazyku R:



X= počet návštěvníků restaurace za jednotku času

Ø  x <- c(0:50)  # je def pro nekonecne  mnoho x, ale pocitac se musi omezit na konecne mnoho

Ø  px <- dpois(x,20)  # spocte psti Po(λ =20) pro hodnoty z vekt x

Ø  plot(px,pch=16) # nakresli pstni funkci, “pch=16” jsou tucne tecky

Popis osy x je posunuty, nevim jak to spravit

Ø  Fx <- ppois(x,20) # spocte schody distribucni funkce (kumul.fce)

Ø  barplot(Fx, col=6:7) # nakresli distrib fci F – horni strany tech obdelnicku

col=6:7 … pouze meni barvu obdelnicku … strida barvy 6 a 7







Po(λ) v jazyku R:  kvantily a generování hodnot



Ø   qpois(0.95,20)  # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd  Po(λ =20)



Ø  genpois  <- rpois(1000,20) # do vektoru genpois nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni
Po(λ=20) …. rpois = random pois



Ø  table(genpois) # spocitaji se cetnosti nahodne gener hodnot velic X







Rekapitulace otázek:



19: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti … D1

20: Alternativni rozdělení psti … D2

21: Binomické rozdělení psti … D3

22: geometrické rozdělení psti … D4

23: Poissonovo rozdělení psti … D5





Nyní se podívejme na tři spojitá rozdělení psti



S1: Exponenciální rozdělení psti

(exponential distribution)

•      X = doba mezi dvěma následnými výskyty jisté nepravidelně se vyskytující „náhodné události“

(příchod zákazníka do fronty v supermarketu, narození dítěte v jisté porodnici, apod.); přičemž λ=
průměrný počet těchto výskytů za jednotku času

Tatáž situace jako u Poissonova rozd, ale měříme jinou veličinu

S1: Exponenciální rozdělení psti
(exponential distribution)



Předpoklady modelu: a) zdroj událostí je dosti velký (tisíce a víc)

b) Následujíci výskyt události je nezávislý na předchozím výskytu

c) Počet událostí v intervalu (t; t+h) nezávisí na počtu výskytů před okamžikem t (tzv.
forgetfulness property = zapomnětlivost)



ii) X ∊ ﷐𝑅﷮+﷯ (teoreticky jakékoli kladné reálné číslo)



S1: Exponenciální rozdělení psti
(exponential distribution)

iii) P(X∊(a;b>) =﷐𝑎﷮𝑏﷮𝑓﷐𝑥﷯𝑑𝑥﷯

                                      kde f je hustota psti daná vzorcem

  𝑓﷐𝑥﷯=0 … x < 0

               λ∙﷐𝑒﷮−λ𝑥﷯ … x ≥ 0

Přesné odvození viz Fajmon, Hlavičková, Novák 2014, kap. o exponenciálním rozdělení

Obrázek – popřípadě na tabuli nebo za chvíli v jazyku R

S1: Exponenciální rozdělení psti
(exponential distribution)



iv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x):

F(x)= 0 … …. …. … x < 0

          1− ﷐𝑒﷮−λ𝑥﷯ …  x ≥ 0



distribuční funkce – viz obr na tabuli:



S1: Exponenciální rozdělení psti
(exponential distribution)



v) Střední hodnota veličiny X:

EX = ﷐−唴﷮0﷮𝟎﷯∙f(x) dx +﷐𝟎﷮唴﷮𝒙﷯∙f(x) dx = ﷐1﷮λ﷯

vi) Rozptyl veličiny X:

 DX = ﷐−唴﷮0﷮﷐𝟎﷮𝟐﷯﷯∙f(x) dx +﷐0﷮唴﷮﷐𝒙﷮𝟐﷯﷯∙f(x) dx – ﷐﷐𝑬𝑿﷯﷮𝟐 ﷯= …  = ﷐1﷮﷐λ﷮2﷯﷯

Příklad S1= exponenciálního rozdělení psti:

•     X= doba mezi dvěma následnými příchody zákazníků do restaurace

•     X= doba mezi dvěma narozeními dítěte v jisté porodnici

•     X = doba mezi dvěma následnými průjezdy aut jistým místem na silnici



Značíme zhruba:  X ~ Exp(λ)

Exp (λ) v jazyku R:



X= doba mezi dvěma narozeními dítěte … λ = 4 za den

Ø  x<- seq(0,3,0.01) # vytvori vektor hodnot od 0 do 3 s krokem 0.01

# teorie vede az do 唴 ale pocitac se musi omezit na konecne mnoho

Ø  plot(x,4*exp(-4*x),type=“l”) # nakresli hustotu, spoji body, “l” = linka, tj. spojitá čára



Ø  plot(x,1-exp(-4*x), type=“l”) # nakresli distrib fci F





Exp(λ) v jazyku R:  kvantily a generování hodnot



Ø   qexp(0.95, 4)  # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd  Exp (λ =4)



Ø  genexp  <- rexp(1000,4) # do vektoru genexp nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni Exp(4) ….
rexp = random exponential



Ø  table(genexp) # spocitaji se cetnosti nahodne gener hodnot velic X







S2: Rovnoměrné spojité rozdělení psti
(uniform distribution)

i) X = veličina, kterou měříme v intervalu (a;b) … každá z hodnot intervalu má stejnou šanci být
naměřena



ii) X ∊ (a;b)

S2: Rovnoměrné spojité rozdělení psti
(uniform distribution)

iii) P(X∊(a;b>) =﷐𝑎﷮𝑏﷮𝑓﷐𝑥﷯𝑑𝑥﷯

                                      kde f je hustota psti daná vzorcem

  𝑓﷐𝑥﷯=0 … mimo interval (a;b)

              ﷐1﷮𝑏−𝑎﷯ … x ∊ (a;b)

Obrázek – popřípadě na tabuli nebo za chvíli v jazyku R

S2: Rovnoměrné spojité rozdělení psti
(uniform distribution)



iv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x):

F(x)= 0 … …. …. … x ≤ a

          ﷐𝑥−𝑎﷮𝑏−𝑎﷯  ….. x ∈ (a;b)

          1 …  x ≥ b







S2: Rovnoměrné spojité rozdělení psti
(uniform distribution)



v) Střední hodnota veličiny X:

EX = ﷐−唴﷮+唴﷮𝑥∙𝑓﷐𝑥﷯ 𝑑𝑥﷯  = ﷐𝑎﷮𝑏﷮𝑥∙﷐1﷮𝑏−𝑎﷯ 𝑑𝑥﷯ … = ﷐𝑎+𝑏﷮2﷯

vi) Rozptyl veličiny X:

 DX = ﷐−唴﷮+唴﷮﷐𝑥﷮2﷯∙𝑓﷐𝑥﷯ 𝑑𝑥﷯− ﷐﷐𝐸𝑋﷯﷮2﷯  = ﷐𝑎﷮𝑏﷮﷐𝑥﷮2﷯∙﷐1﷮𝑏−𝑎﷯ 𝑑𝑥﷯− ﷐﷐﷐𝑎+𝑏﷮2﷯﷯﷮2﷯  = … atd.

Příklad S2= rovnoměrného rozdělení psti:

•     X= doba příchodu člověka, o které nemáme žádnou informaci, pouze že přijde v daném intervalu

•     X= množství zboží koupeného v daný den MĚŘENO NA VÁHU – a prodáváme nově v dané lokalitě,
nemáme informaci o tom, kolik se prodá … jakékoli prodané množství je stejně pravděpodobné



Značíme zhruba:  X ~ Ro(a;b)

Ro(a;b) v jazyku R:



X= blíže neurčená doba dodání balíku v intervalu (8 hod; 16 hod)

Ø  x<- seq(8,16,0.01) # ulozi do vektoru x dostatecne mnoho bodu z int

Ø  plot(x,x-x+1/8,type=“l”) #oklamani R, aby nakreslil konstantni funkci 1/8

Ø  w<-seq(0,8,0.01); y<-seq(16,24,0.01)

# w,x,y … intervaly pro ruzne vzorce distribucni funkce

Ø  plot(c(w,x,y), c(w-w+0,x/8-1,y-y+1) # nakresli distrib fci F … museli jsme ji spocitat a zadat
vzorcem





Ro(a;b) v jazyku R:  kvantily a generování hodnot



Ø   qunif(0.95, 8,16)  # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd  Ro(8:16)



Ø  genunif  <- runif(1000,8,16) # do vektoru genunif nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni
Ro(8,16) …. runif = random uniform



Pro vytvoření rozumných četností bychom museli z vektoru genunif vytvořit intervalové rozdělení
četností – viz cvičení 2





S3: Normální rozdělení psti
(normal distribution)

i) X = veličina, která vznikne jako součet řady různých vlivů (např. IQ, výška člověka, výška
stromů v lese, teplota v daném místě, atd.)



ii) X ∊ R



Značíme zhruba:  X ~ No(𝜇;﷐𝜎﷮2﷯)

S3: Normální rozdělení psti
(normal distribution)

iii) P(X∊(a;b>) =﷐𝑎﷮𝑏﷮𝑓﷐𝑥﷯𝑑𝑥﷯

                                      kde f je hustota psti daná vzorcem

  𝑓﷐𝑥﷯=0 … ﷐1﷮𝜎∙﷐﷮2𝜋﷯﷯∙﷐𝑒﷮﷐−﷐﷐𝑥−𝜇﷯﷮2﷯﷮2﷐𝜎﷮2﷯﷯﷯  … pro jakékoli reálné x



S3: Normální rozdělení psti
(normal distribution)



iv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x):

F(x)=﷐−唴﷮𝑥﷮𝑓﷐𝑡﷯𝑑𝑡﷯ … pro  x reálné

Hodnoty tohoto integrálu nelze vyjádřit konečným vzorcem – musíme rozvinout v nekonečnou řadu, nebo
integrovat numericky (= rozdělit obsah plochy na malé obdélníčky a spočítat přibližně součet jejich
obsahů)

P(X∊(a;b>) =﷐𝑎﷮𝑏﷮𝑓﷐𝑥﷯𝑑𝑥﷯ = F(b)-F(a) … takto budeme počítat!!







S3: Normální rozdělení psti
(normal distribution)



v) Střední hodnota veličiny X:

EX = ﷐−唴﷮+唴﷮𝑥∙𝑓﷐𝑥﷯ 𝑑𝑥﷯  = … = 𝜇

vi) Rozptyl veličiny X:

 DX = ﷐−唴﷮+唴﷮﷐𝑥﷮2﷯∙𝑓﷐𝑥﷯ 𝑑𝑥﷯− ﷐﷐𝐸𝑋﷯﷮2﷯  = … = ﷐𝜎﷮2﷯

No(𝜇;﷐𝜎﷮2﷯) v jazyku R:



X= výška stromu v lese se střední hodnotou 50 m a směro odchylkou 5 m

Ø  x<- seq(30,70,0.01) # ulozi do vektoru x dostatecne mnoho bodu z intervalu (30; 70)

Ø  plot(x,dnorm(x,mean=50,sd=5)) # vykresleni hustoty f



Ø  plot(x, pnorm(x,mean=50,sd=5)) # nakresli distrib fci F





No(𝜇;﷐𝜎﷮2﷯) v jazyku R:  kvantily a generování hodnot



Ø   qnorm(0.95, mean=50,sd=5)  # spocte 0.95-kvantil rozd  No(50:16)



Ø  gennorm  <- rnorm(1000,mean=50,sd=5) # do vektoru gennorm nahodne vygeneruje 1000 hodnot
rozdeleni No(𝜇=50;﷐𝜎﷮2﷯=25) …. rnorm = random normal



Pro vytvoření rozumných četností bychom museli z vektoru gennorm vytvořit intervalové rozdělení
četností – viz cvičení 2





Rekapitulace otázek:



24: exponenciální rozdělení psti

25: spojité rovnoměrné rozdělení psti

26: normální rozdělení psti … tato otázka ještě není ukončena