Mechanika a molekulová fyzika Ideální plyn Doc. RNDr. Petr Sládek, CSc. Pedagogická fakulta Masarykova Univerzita Poříčí 7, 603 00 Brno Pro potřeby přednášky zpracováno s využitím www.studopory.vsb.cz materialy html_files Ideální plyn, stavová rovnice §Ideální plyn. Vlastnosti molekul plynu v tomto modelu jsou: 1.Rozměry molekul jsou ve srovnání se střední vzdáleností molekul od sebe zanedbatelně malé (tj. zanedbáváme vlastní objem molekul). 2.Molekuly nepůsobí na sebe navzájem přitažlivými silami (zanedbáváme síly interakce mezi molekulami plynu). 3.Vzájemné srážky molekul a srážky molekul se stěnami nádoby jsou dokonale pružné (při srážkách platí ZZH a ZZE). 4.Protože doba trvání srážky molekul je ve srovnání se střední dobou volného pohybu molekul zanedbatelná, pohybuje se v určitém okamžiku převážná část molekul rovnoměrným přímočarým pohybem. 5.Pohyb molekul je dokonale neuspořádaný (tj. všechny směry pohybu molekuly jsou stejně pravděpodobné). §Při dostatečně vysokých teplotách a nízkých tlacích se skutečné plyny svými vlastnostmi přibližují vlastnostem modelu ideálního plynu. § 2 Ideální plyn, stavová rovnice §Molekuly ideálního plynu nepůsobí na sebe navzájem silami, je potenciální energie soustavy molekul ideálního plynu nulová. § §Vnitřní energie ideálního plynu 1. 1.s jednoatomovými molekulami se rovná součtu kinetických energií jeho molekul pohybujících se neuspořádaným posuvným pohybem, 2.- s víceatomovými molekulami pak kromě toho zahrnuje kinetickou energii rotačního a kmitavého pohybu těchto molekul.). 3 Ideální plyn, stavová rovnice §Molekuly plynu nemají v určitém okamžiku stejnou rychlost. § §Vzájemnými srážkami molekul se neustále mění velikost a směr jejich rychlosti. § §Velikosti rychlosti molekul jsou v intervalu od nulových až po velmi velké (teoreticky nekonečně velké). § §Četnost velikostí rychlosti však v soustavě molekul plynu není stejná, § § § odpovídají určitému statistickému rozdělení. § §Chování velkého počtu částic se vyšetřuje metodami matematické statistiky. 4 Ideální plyn, stavová rovnice § §Pro popis rozdělení molekul ideálního plynu podle rychlostí se zavádí rozdělovací funkce f(v). § §Hodnoty této funkce pro danou rychlost v jsou relativní počty molekul, jejichž rychlosti jsou z diferenciálně malého intervalu rychlostí (v,v + dv), což se dá zapsat vztahem § § § §kde N je celkový počet molekul plynu v soustavě a dN je počet molekul s rychlostmi v intervalu (v,v + dv) § 5 Comparison Between Real Gas and Ideal Gas Ideální plyn, stavová rovnice 6 Ideální plyn, stavová rovnice §Největší význam má veličina, která se nazývá střední §kvadratická rychlost vk. § §Střední kvadratická rychlost je rychlost, se kterou by se pohybovaly všechny molekuly plynu v soustavě, aby celková kinetická energie byla stejná jako kinetická energie soustavy molekul, které se pohybují rychlostmi podle daného rozdělení rychlostí. § § § §kde m0 je hmotnost molekuly plynu a k = 1,38 ×10-23 J.K-1 je Boltzmanova konstanta. § ØStřední kvadratická rychlost se s rostoucí teplotou zvětšuje. 7 Ideální plyn, stavová rovnice 8 Kelvin: Thermodynamic Temperature | NIST Ideální plyn, stavová rovnice 9 Ideální plyn, stavová rovnice §Tlak plynu p vysvětlujeme z hlediska molekulové fyziky současnými nárazy molekul plynu na stěny nádoby (dále krychle), ve které je plyn uzavřen. §Molekuly, které dopadají na stěnu se pohybují neuspořádaně, a proto jejich počet i jejich rychlosti se neustále mění fluktuace tlaku. § §Odchylky jsou velmi malé a skutečný tlak lze ztotožnit s jeho střední hodnotou ps = p. § §Každá molekula, která se od plochy o obsahu S pružně odrazí, změní svojí hybnost §Za dobu t dopadne na 1 stěnu krychle molekul. Kde Nv = N/V . §Velikost celkové změny hybnosti všech molekul, které se za dobu t odrazí od plochy o obsahu S je . §Při velkém počtu dopadajících molekul se nárazy jeví tak, jako by na plochu o obsahu S působila po § dobu t stálá síla o velikosti . Druhou mocninu rychlosti musíme nahradit aritmetickým průměrem druhých mocnin rychlostí všech molekul, tj. druhou mocninou střední kvadratické rychlosti. §Základní rovnice pro tlak ideálního plynu 10 http://fyzika.jreichl.com/data/Termo_2_plyny_soubory/image058.png http://fyzika.jreichl.com/data/Termo_2_plyny_soubory/image060.png http://fyzika.jreichl.com/data/Termo_2_plyny_soubory/image061.png . http://fyzika.jreichl.com/data/Termo_2_plyny_soubory/image054.png Ideální plyn, stavová rovnice 11 . Ideální plyn, stavová rovnice 12 . Ideální plyn, stavová rovnice §Holandský fyzik van der Waals upravil stavovou rovnici pro reálný plyn, která lépe vyjadřoval vlastnosti plynu. §V tomto modelu předpokládal, že molekuly plynu mají vlastní objem a působí na sebe navzájem přitažlivými silami. § §Van der Waalsova stavová rovnice pro plyn o látkovém množství n má tvar §kde a a b jsou konstanty závislé na druhu plynu. 13 . Je-li teplota nižší, než je kritická teplota, má křivka lokální maximum a lokální minimum. U reálných plynů zmenšováním objemu pod Vg plyn začne kapalnět a tlak se nemění, dokud všechen plyn nezkapalní. Práce plynu 14 Bude-li V1 0 a plyn práci koná. Bude-li V1 >V2 , je A < 0 a plyn práci spotřebovává. Stavová rovnice, p-V diagram § § 15 Stavovou změnu (děj) probíhající v plynu můžeme znázornit v p-V diagramu, Děj v plynu je znázorněn křivkou závislosti tlaku plynu na objemu p = p(V) odpovídající uvažovanému ději od stavu (p1,V1) do stavu (p2,V2) Práce konaná plynem je pak úměrná velikosti obsahu plochy pod grafem závislosti p = p(V) a rovnoběžkami s osou p vedenými hodnotami V1 a V2 . Za tlak p dosazujeme ze stavové rovnice. Molární tepelná kapacita 16 §Při V = konst. je teplo dáno vztahem §Q = n ×C mV ×DT resp. Q = m× c V ×DT n ×C mV = m× c V § § §Pro p = konst. je teplo §Q = n ×C mp ×DT resp. Q = m× c p ×DT n ×C pV = m× c p § § § Molární tepelná kapacita 17 Tepelná kapacita teploměru — Sbírka pokusů §Termodynamický děj (nebo také stavová změna) je fyzikální děj, při kterém soustava přejde z daného počátečního stavu časovou posloupností stavů do stavu výsledného § Vratné děje v ideálním plynu 18 Vratný děj: počáteční stav výsledný stav (rovnovážný děj) Nevratný děj: počáteční stav výsledný stav (skutečné děje v přírodě) Termodynamika §Izochorický děj - při stálém objemu plynu ( V = konst) Izochorický děj s ideálním plynem 19 Charlesův zákon: Při izochorickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je tlak plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě. V p-V diagramu: izochora (V= konst) dA = p.dV = 0 DU = A¢+ QV = QV = m× c V ×DT Teplo přijaté ideálním plynem při izochorickém ději se rovná přírůstku jeho vnitřní energie. §Izobarický děj - při stálém tlaku plynu ( p = konst) Izobarický děj s ideálním plynem 20 Gay-Lussacův zákon: Při izobarickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je objem plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě. V p-V diagramu: izobara (p= konst) A = p. DV = nRDT (cp ˃ cV) Qp = A+ DU = (nR+nCV) DT = n× C p ×DT = m× c p ×DT Teplo přijaté ideálním plynem při izobarickém ději se rovná součtu přírůstku jeho vnitřní energie a práci, kterou plyn vykoná. §Izotermický děj - při stálé teplotě plynu ( T = konst) Izotermický děj s ideálním plynem 21 Boyle-Marriotův zákon: Při izotermickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je součin tlaku a objemu plynu stálý. §Adiabatický děj - bez tepelné výměny s okolím ( Q = 0) § §Odvození Poissonova zákona : Adiabatický děj s ideálním plynem 22 §Adiabatický děj - bez tepelné výměny s okolím ( Q = 0) § §Odvození Poissonova zákona : Adiabatický děj s ideálním plynem 23 §Adiabatický děj - bez tepelné výměny s okolím ( Q = 0) Adiabatický děj s ideálním plynem 24 §Adiabatický děj - bez tepelné výměny s okolím ( Q = 0) Adiabatický děj s ideálním plynem 25 ØV technické praxi se dosáhne adiabatické komprese nebo expanze zmenšením nebo zvětšením objemu plynu ve velmi krátké době tak, že plyn během této doby nepřijme ani neodevzdá svému okolí teplo. Ø ØOchlazení plynu, které provází adiabatickou expanzi, se využívá k získání nízkých teplot. Ø ØU vznětových motorů se při adiabatické kompresi vzduchu zvýší jeho teplota na zápalnou teplotu nafty, která po vstříknutí do horkého vzduchu se vznítí. Adiabatic Gas Compression GIF | Gfycat §Polytropický děj - nemění se tepelná kapacita plynu ( Cn = konst) Polytropický děj s ideálním plynem 26 §Kruhový děj - Termodynamický děj, při kterém je konečný stav soustavy totožný s počátečním stavem (tj. se stejnou vnitřní energií DU =0). §Grafickým znázorněním kruhového děje ve stavovém diagramu ( p-V, V-T, p-T ) je vždy uzavřená křivka. § §Práce A je dána obsahem plochy uvnitř uzavřené křivky §znázorňující kruhový děj . §A = A1 + A2 , kde A1 > 0 a A2 < 0 §A = A1 + A2 = -DU + Q = Q1 + Q2 1.VT § §kde dodané teplo plynu Q1 >0 a odebrané teplo Q2 <0 . §kde A1 >0 (plyn pracuje = koná práci, objem se zvětšuje) a A2 <0 (objem se zmenšuje). Kruhový děj s ideálním plynem 27 A1 >0 A2 <0 Kruhový děj s ideálním plynem 28 Q1 > 0 Q2 < 0 Kruhový děj s ideálním plynem 29 Kruhový děj s ideálním plynem Planck - Clausius 30 Je nemožné přenášet cyklickým procesem teplo z chladnějšího tělesa na teplejší, aniž se přitom jistá část práce změní na teplo. Zdroje §https://concept-stories.s3.ap-south-1.amazonaws.com/test/Stories%20-%20Images_story_5743/image_201 9-01-29%2011%3A29%3A40.169173%2B00%3A00 §https://www.nist.gov/sites/default/files/images/2018/05/15/translation.gif §https://fyzikalnipokusy.cz/media/02335/1.full.tagged.png §https://lh3.googleusercontent.com/proxy/ppislUeg483R-oE33jp5pGfKxLgyAz7IoC3Ez0smCGsq3SGzh4xaxaBZnB cwKQArOfyUHv6WhVkmIXsjqA9A24_DuC-wD0l_xkLAxGZI-9hyAYJSPXjwOHtevrhtRXhRXxuGBeYlx_1Z8aYFfiGA4wQSowxpR xUip50Am9ynPdSrfwgi §https://thumbs.gfycat.com/HandsomeEcstaticLadybug-size_restricted.gif § § § § § 31