114
KLÍČ MODULU 1. MECHANIKA
1.1.1. POHYB HMOTNÉHO BODU
ZTO 1.1.1.-1 d
BTO 1.1.1.-2 rovnice přímky: 0343 =−− yx
BTO 1.1.1.-3 rovnice kružnice: 422
=+ yx
1.1.2. RYCHLOST HMOTNÉHO BODU
ZTO 1.1.2.-1 I) c, II) a, III) b, IV) d
ZTO 1.1.2.-2 Nápověda: Vůči vodě jede loďka šikmo, složka rychlosti proti proudu je rovna
rychlosti řeky, aby vzhledem ke břehu nebyla loďka strhávána po proudu. Složka rychlosti
kolmo k proudu řeky je dána šířkou řeky a dobou, během níž loďka řeku přepluje.
I) d, II) a, III) c, IV) b, V) b
BTO 1.1.2.-3 518 2
+= tv , (m.s-1
, s)
BTO 1.1.2.-4 ttts 523
++= , (m, s)
BTO 1.1.2.-5 7 m.s-1
BTO 1.1.2.-6 38 m.s-1
BTO 1.1.2.-7 t6
ZU 1.1.2.-1 150 m
ZU 1.1.2.-2 20 m.s-1
ZU 1.1.2.-3 8,61 =v m.s-1
, 8,12 =v m.s-1
ZU 1.1.2.-4 1,02 m.s-1
ZU 1.1.2.-5 8,66 m.s-1
ZU 1.1.2.-7 jeho záměr se mu nemůže podařit
BU 1.1.2.-8 120 km.h-1
BU 1.1.2.-9 a) 80 km.h-1
, b) 114,7 km, 201,3 km, c) 8h 59min
1.1.3. ZRYCHLENÍ HMOTNÉHO BODU
ZTO 1.1.3.-1 I) b, II) a, III) b
BTO 1.1.3.-2 I) t36 , II) 72 m.s-2
, III) 5,57 m.s-2
BTO 1.1.3.-3 b
BTO 1.1.3.-4 a
BTO 1.1.3.-5 c
BTO 1.1.3.-6 b
BU 1.1.3.-2 a) 5 m.s-1
, b) 0
53
3
4
tg ≅⇒== αα
x
y
v
v
, c) 1 s, x = 3 m, y = 2 m, d) 0 m, 6 m
BU 1.1.3.-3 11 m.s-1
, 15,6 m.s-2
BU 1.1.3.-4 a) 14 m, 7 m.s-1
, -4 m.s-2
, b) 3 s, c) 4/3 s
BU 1.1.3.-5 a) pro obecné řešení: souřadnice HB v libovolném okamžiku jsou dány
parametrickými rovnicemi trajektorie: 32
3
1
,,52 tztytx =−=+= , po třech sekundách
pohybu platí: [11 m, -9 m, 9 m, b) ( ) ktjtitv 2
22 +−= , ( ) ktjta 22 +−= , =1v 11 m.s-1
,
=1a 6,32 m.s-2
, c) tat 2= , =na 2 m.s-2
1.1.4. PŘÍMOČARÝ POHYB HMOTNÉHO BODU
ZTO 1.1.4.-1 b
ZTO 1.1.4.-2 I) b, II) g, III) c
115
ZTO 1.1.4.-3 I) b, II) b
ZTO 1.1.4.-4 I) a II) c
ZTO 1.1.4.-5 c
ZTO 1.1.4.-6 =
−
∆
=⇒−=∆ 2
4
2
5
2
4
2
5
2
2
1
2
1
tt
s
aatats 10 m.s-2
BTO 1.1.4.-7 I) c, II) a, III) c, IV d)
BTO 1.1.4.-8 d
ZTO 1.1.4.-9 c
BU 1.1.4.-1 3 s, 9 m
ZU 1.1.4.-2 1,2 km
ZU 1.1.4.-3 1 km
BU 1.1.4.-4 a) 0
3
4
=− y
x , tj. přímka procházející počátkem soustavy souřadnic,
5,02
max
2
max =+= yxr m, b) =0v 5 m.s-1
, 0a = 0 m.s-2
, c) =maxv 5 m.s-1
, =maxa 50 m.s-2
ZU 1.1.4.-5 a) ( ) 2
0028,0 ttv = , ( ) 3
0009,0 tta = , b) =1v 22,5 m.s-1
, =1s 675 m c) =2v
0,26 m.s-1
, =2s 0,92 m
ZU 1.1.4.-6 1,5 m.s-2
, 108 km.h-1
BU 1.1.4.-7 3 m.s-2
, 11 km.h-1
ZU 1.1.4.-9 2,58 s, 0,4 s, 2,45 m.s-1
ZU 1.1.4.-10 a) 5s, b) 10 s a resp. také 0 s, ale tento kořen postrádá pro náš příklad fyzikální
smysl, c) 18 m.s-1
BU 1.1.4.-11 30 s, 225 m, 15 m.s-1
a 30 m.s-1
1.1.5. POHYB HMOTNÉHO BODU PO KRUŽNICI
ZTO 1.1.5.-1 I) a, II) a, III) c
ZTO 1.1.5.-2 I) b, c, II) a III) b
BTO 1.1.5.-3 b
ZTO 1.1.5.-4 c
BTO 1.1.5.-5 10 rad.s-1
ZTO 1.1.5.-6 3,3.103
m.s-2
ZTO 1.1.5.-7 0,15 m
ZTO 1.1.5.-8 3090 m.s-1
ZTO 1.1.5.-9 A
BTO 1.1.5.-10 I) a, II) b
BTO 1.1.5.-11 12,57 rad.s-2
BTO 1.1.5.-12 1,6 rad.s-2
BU 1.1.5.-1 5 m.s-2
, 4 m.s-2
, 6,4 m.s-2
ZU 1.1.5.-2 5,8g
ZU 1.1.5.-4 12,6 m.s-1
, 0 m.s-2
, 316 m.s-2
ZU 1.1.5.-6 5,17 m
BU 1.1.5.-8 a) 1,2 m.s-1
, b) 0,8 m.s-2
, c) 7,2 m.s-2
, d) 6° 20´
ZU 1.1.5.-9 0,15 m.s-2
, 0,25 m.s-2
BU 1.1.5.-10 1:20
ZU 1.1.5.-11 0,4 m.s-2
, 12,80 m.s-2
, 12,81 m.s-2
BU 1.1.5.-12 10 s
BU 1.1.5.-14 a) 463,8 m.s-1
, b) 298,1 m.s-1
ZU 1.1.5.-15 1047,4 m, 52,3 m.s-1
116
BU 1.1.5.-16 10π rad.s-1
1.2.1. Síla
ZTO 1.2.1.-1 I) c, II) b, III) d, IV) c
ZTO 1.2.1.-2 I) d, II) b
ZTO 1.2.1.-3 a, b, d
1.2.2. NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY
ZTO 1.2.2.-1 I) c, II) a
BTO 1.2.2.-2 I) a, II) b, III) a
ZTO 1.2.2.-3 I) b, II) d
ZTO 1.2.2.-4 I) b, II) d, III) b
ZTO 1.2.2.-5 I) B, II) A
ZTO 1.2.2.-6 I) a, c, II) a, c, d, III) f, IV) b
ZTO 1.2.2.-7 I) a, II) c
ZTO 1.2.2.-8 b
ZTO 1.2.2.-9 a
ZTO 1.2.2.-10 40 kg
ZTO 1.2.2.-11 1,6.103
N
BTO 1.2.2.-12 34 += tF
BTO 1.2.2.-13 I) 14 m.s-1
, II) a = 2t – ½, III) 6,75 m
ZTO 1.2.2.-14 150 N
ZTO 1.2.2.-15 0,5 m.s-2
ZTO 1.2.2.-16 1700 N, 1,4 m.s-2
BTO 1.2.2.-17 e
ZU 1.2.2.-1 1,14 m.s-2
, 172 km.h-1
ZU 1.2.2.-2 31,3 m
ZU 1.2.2.-3 66,7 m
BU 1.2.2.-4 =
+
=
21 mm
F
a 2 m.s-2
, =
+
= F
mm
m
FT
21
2
6 N
ZU 1.2.2.-5 2100 N
ZU 1.2.2.-6 a) = b)= 5800 N, c) 113 km.h-1
BU 1.2.2.-8 20 m.s-1
, 22°
1.2.3. HYBNOST A IMPULZ SÍLY
ZTO 1.2.3.-1 I) b, II) c, III) d
ZTO 1.2.3.-2 I) d, II) a, III) d
BTO 1.2.3.-3 d
BTO 1.2.3.-4 6 kg.m.s-1
ZTO 1.2.3.-5 0,4 kg.m.s-1
BU 1.2.3.-6 I) b, II) c
ZU 1.2.3.-1 100 N
ZU 1.2.3.-2 4.10-2
s, 5.103
N
BU 1.2.3.-4 0,053 m.s-1
ZU 1.2.3.-5 2,25 m.s-1
ZU 1.2.3.-6 Nápověda: řešte pomocí zákona zachování hybnosti. 1,93 m.s-1
v původním
směru
117
1.3.1 MECHANICKÁ PRÁCE, VÝKON, ÚČINNOST
ZTO 1.3.1.-1 I) a, II) c, III) a, IV) b
BTO 1.3.1.-2 c
BTO 1.3.1.-3 50 J
BTO 1.3.1.-4 8 J
ZTO 1.3.1.-5 I) b, II) d
ZTO 1.3.1.-6 d
BTO 1.3.1.-7 I) a, II) d
ZTO 1.3.1.-8 c
ZTO 1.3.1.-9 I) 500 J, II) 8,33 W
BU 1.3.1.-1 8 J
BU 1.3.1.-2 680 J
ZU 1.3.1.-4 4,9 kW
ZU 1.3.1.-5 17,4 kN
ZU 1.3.1.-6 96.106
J, 1600 kW
ZU 1.3.1.-7 2.107
J, 2.106
W, 1.106
W
1.3.2 MECHANICKÁ ENERGIE
ZTO 1.3.2.-1 I) c, II) b
ZTO 1.3.2.-2 I) a, II) c, III) d, IV) b
ZTO 1.3.2.-3 16 J
ZTO 1.3.2.-4 I) c, II) d
ZTO 1.3.2.-5 I) b, II) b, III) d
BTO 1.3.2.-6 7,2 m
ZTO 1.3.2.-7 a, b, c
ZU 1.3.2.-1 a) 14 m.s-1
, b) 2600 J, c) 3,5 s
BU 1.3.2.-2 77,3 km.h-1
, 0,2 m.s-2
ZU 1.3.2.-4 dle zákona zachování energie (volba nulové hladiny potenciální energie – úpatí
kopce):
22
0
2
1
2
1
mvmghmv =+ ⇒ 6722
0 =+= ghvv km.h-1
BU 1.3.2.-5 5,12.105
J
ZU 1.3.2.-6 1500 J
BU 1.3.2.-7
( )
F
nmv
s
2
122
0 −
=
BU 1.3.2.-8 Nápověda: vyjděte ze zákona zachování mechanické energie; kritickým bodem
pohybu se stává bod na vrcholu válcové plochy.
5/2 R
BU 1.3.2.-9 10 kN
1.4.1. Newtonův gravitační zákon
ZTO 1.4.1-1 144 N
ZTO 1.4.1-2 144 N
ZTO 1.4.1-3 a
ZTO 1.4.1-4 dx : =9:10
ZU 1.4.1.-2 2,4.10-3
N
ZU 1.4.1.-3 1,9.1024
kg, 2,2.10-4
m.s-2
, 2,1.10-7
m.s-2
1.4.2. POPIS GRAVITAČNÍHO POLE
ZTO 1.4.2.-1 c
118
ZTO 1.4.2.-2 K/9
ZTO 1.4.2.-3 3K
ZTO 1.4.2.-4 12 N
BU 1.4.2.-1 8,5 m.s-2
1.4.3. GRAVITAČNÍ A TÍHOVÉ POLE ZEMĚ
ZTO 1.4.3.-1 Nemůže uletět, jeho tíha se vlivem odstředivé síly sníží jen asi o 0,3 %.
Tíhová síla je vždy větší než síla odstředivá.
ZU 1.4.3.-1 ( )=−= 12ZRh 2640 km
1.4.4. POHYBY V HOMOGENNÍM TÍHOVÉM POLI ZEMĚ
ZTO 1.4.4.-1 I) c, II) c, III) b
ZTO 1.4.4.-2 I) b, II) b, III) b, IV) c
ZTO 1.4.4.-3 I) 20 m.s-1
, II) 2,83 s, III) 20,04 m (pohyb v této sekundě trvá pouze 0,83 s!),
IV) 40,04 m (pohyb v tomto intervalu trvá pouze 2,83 s!).
ZTO 1.4.4.-4 I) b, II) a
BTO 1.4.4.-5 d
ZTO 1.4.4.-6 c
ZTO 1.4.4.-7 Nejsou nám nebezpečné, jsou bržděny ve vzduchu. Bez odporu prostředí by
měly kapky rychlost jako vystřelený projektil z revolveru.
ZTO 1.4.4.-8 b
ZTO 1.4.4.-9 c
BTO 1.4.4.-10 10 m.s-1
ZU 1.4.4.-1 5,36 s
ZU 1.4.4.-2 4
2
1
2
1
,2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
====
gt
gt
s
s
gt
gt
v
v
BU 1.4.4.-3 3 s, 45 m.s-1
BU 1.4.4.-4 80 m, 120 m, 40 m.s-1
, 30 m.s-1
ZU 1.4.4.-7 a) 3 s, b) 75 m, c) 39 m.s-1
ZU 1.4.4.-8
2
0
gh
nv =
ZU 1.4.4.-9 6,25 kJ
BU 1.4.4.-10 letí ve směru tečny ke kružnici, dopadne ve vzdálenosti 3,9 m
ZU 1.4.4.-11 40 J, 20 m
ZU 1.4.4.-12 a) 10,8 m.s-1
, 5,1 s, c) 127,4 m, d) 10,2 s, e) 50 m.s-1
ZU 1.4.4.-13 127 m.s-1
ZU 1.4.4.-14 7°58´, 35,4 m.s-1
BU 1.4.4.-15 0,125 s, 0,53 m, 3,67 m.s-1
, 6,12 m.s-1
BU 1.4.4.-16 44,2 m.s-1
1.4.5. RADIÁLNÍ GRAVITAČNÍ POLE ZEMĚ
BTO 1.4.5.-1 I) d, II) c, III) b, IV) a, V) b , VI) c
BTO 1.4.5.-2 b, neboť o půlnoci se rychlost otáčení Země přičítá k postupné rychlosti
Země, v poledne se odečítá (princip skládání rychlostí)
ZTO 1.4.5.-3 I) a, II) b, III) c
BTO 1.4.5.-4 d
119
BTO 1.4.5.-5 b
ZU 1.4.5.-1 7,59 km.s-1
, 5370 s
1.5. MECHANIKA SOUSTAV HMOTNÝCH BODŮ A TUHÝCH TĚLES
ZTO 1.5.1.-1 I) b, II) c, III) a, IV) b, V) b
ZTO 1.5.1.-2 I) b, II) c, III) d
BTO 1.5.1.-3 e
BTO 1.5.1.-4 I) f, II) a, III) c
BTO 1.5.1.-5 10 N
BTO 1.5.1.-6 5 m.s-2
ZTO 1.5.1.-7 a
BTO 1.5.1.-8 ( )αµα cossin −= ga
ZTO 1.5.1.-9 kg.m2
.s-2
ZTO 1.5.1.-10 I) c, II) d, III) d, IV) b, V) a
BTO 1.5.1.-11 Nápověda: ověřte výpočtem pomocí zákona zachování momentu hybnosti
I) b, II) b
BTO 1.5.1.-12 d
ZTO 1.5.1.-13 b
ZTO 1.5.1.-14 I) 10 N.m, II) 14,1 N.m, III) 14,1 N.m, IV) 20 N.m
ZTO 1.5.1.-15 a) F5, b) F1, F4, c) F3, F6
ZTO 1.5.1.-16 I) c, II) b
ZU 1.5.1.-1 108 km.h-1
, 94,2 rad.s-1
, 15
BU 1.5.1.-3 6,7 m.s-1
BU 1.5.1.-4
( )
743,0
cossin
sin
cossin
sinsin0
=
+
=
+
===
αµα
α
αµα
αα
η
smg
mgs
mas
mgs
W
W
BU 1.5.1.-5 0,43
BU 1.5.1.-7 1a > 2a
BU 1.5.1.-8 1,4 m.s-2
, 1,68 N
BU 1.5.1.-9 1,045 kg
BU 1.5.1.-10 =
+
−
=
21
1
2
mm
l
ghm
gm
a 0,23 m.s-2
, == maF 1,34 N
BU 1.5.1.-11 4,24 N
BU 1.5.1.-12 0,4 kN.m
1.5.2. SKLÁDÁNÍ SIL
ZU 1.5.2.-2
3
21
mg
FF ==
2
,
2
3
21
mg
F
mg
F ==
BU 1.5.2.-3
( )
=
−
= mg
al
l
F 22
22
1
50 N
ZU 1.5.2.-4 a) 90 N, 0,7 m od větší síly, b) 30 N, 2,1 od větší síly
1.5.3. TĚŽIŠTĚ TUHÉHO TĚLESA
ZTO 1.5.3.-1 1,8 m, -1,2 m
120
ZTO 1.5.3.-2 3 m
ZU 1.5.3.-5 2,17 m, 0,67 m, -1,17 m
BU 1.5.3.-6 těžiště leží na ose souměrnosti ve vzdálenosti R
8
3 od středu koule
BU 1.5.3.-7
( )
( )2
2
21
2
1
2
2
2
2121
2
1
00
2
2
,0
hrhr
hrhhhr
yx
+
++
==
ZU 1.5.3.-8 720 J
1.5.4. ENERGIE TUHÉHO TĚLESA
ZTO 1.5.4.-1 a
ZTO 1.5.4.-2 I) c, II) a
BTO 1.5.4.-3 1,22 Hz
ZTO 1.5.4.-4 I) b, II) d
ZTO 1.5.4.-5 4 kg
ZTO 1.5.4.-6 7mR2
/5
ZTO 1.5.4.-7 a
BTO 1.5.4.-8 0 J
ZTO 1.5.4.-9 0,75 kJ
BTO 1.5.4.-10 gH2
BTO 1.5.4.-11
3
4gH
BU 1.5.4.-1 10 s
BU 1.5.4.-2 6,1 kg.m2
BU 1.5.4.-3 118,4 m
BU 1.5.4.-4 4,5 s
BU 1.5.4.-5 6 s
ZU 1.5.4.-6 Pomůcka: momenty setrvačnosti zadaných těles:
tenké obruče
2
mR , plného válce
2
2
1
mR , plné koule
2
5
2
mR
222
10
7
,
4
3
, mvEmvEmvE KKK ===
BU 1.5.4.-8 ghv 3= , těžiště, tj bod ve výšce hh
3
2
1 =
BU 1.5.4.-9 == glv 6 7,7 m.s-1
, mgF 4= =39,2 N
1.6.1. Netlumené kmitání
ZTO 1.6.1-4 c
ZTO 1.6.1-5 b
ZTO 1.6.1-6 d
ZTO 1.6.1-7 b
ZTO 1.6.1-8 d
ZTO 1.6.1-9 a,c
ZTO 1.6.1-10 b
ZTO 1.6.1-11 d
ZTO 1.6.1-12 b
121
ZTO 1.6.1-13 a
ZTO 1.6.1-14 b
ZTO 1.6.1-15 a
ZTO 1.6.1-16 d
ZTO 1.6.1-17 a
ZTO 1.6.1-18 b
ZTO 1.6.1-19 a
ZTO 1.6.1-20 d
ZTO 1.6.1-21 c
ZTO 1.6.1-22 a
ZTO 1.6.1-23 a
ZTO 1.6.1-24 a
ZTO 1.6.1-25 b
ZTO 1.6.1-26 a
ZTO 1.6.1-27 b
ZTO 1.6.1-28 a
BTO 1.6.1-29 a,d
ZTO 1.6.1-30 a
ZTO 1.6.1-31 b
ZU 1.6.1-32 11 ykF = . Pak
1
1
y
F
k = dosadíme do vztahu N22
1
1
22 === y
y
F
ykF
ZU 1.6.1-33 Síla pružnosti je ykF = . Z toho plyne, že
y
F
k = a zároveň 2
ωmk = . Pak
ym
F
m
k
==ω .
Po dosazení je rad50=ω .
ZU 1.6.1-34 Z rovnovážné polohy do bodu vratu (amplitudy) urazí těleso čtvrtinovou dráhu.
Pak čas s5,0
4
2
4
===
T
t .
ZU 1.6.1-35 s2
5,0
11
===
T
f
ZU 1.6.1-36 Z rovnovážné polohy do bodu vratu (amplitudy) a opět do rovnovážné polohy
urazí těleso poloviční dráhu. Pak čas t představuje poloviční dobu potřebnou k vykonání
jednoho kmitu. s25,0
2
5,0
2
===
T
t .
ZU 1.6.1-37 a) ω = 20 rad.s-1
, b).
π
10´
=f rad.s-1
, c)
10
π
=T s, d) 





+
4
20
π
t rad, e) ϕ0=
4
π
rad,
f) A = 0,1 m
ZU 1.6.1-38 Srovnáním s rovnicí 



 +=
0
sin ϕω tAy zjistíme, že πω 5,0= .
Protože s4
5,0
22
===
π
π
ω
π
T . Z rovnovážné polohy do bodu vratu se těleso dostane za
čtvrtinu periody. Pak s1
4
4
4
===
T
t .
122
ZU 1.6.1-39 Použijeme rovnicí 



 +=
0
sin ϕω tAy . Po dosazení hodnot je
m707,0
4
sin1
4
0sin1
4
0.sin1 ==





+=





+=
πππ
ωy .
ZU 1.6.1-40 Použijeme rovnicí 



 +=
0
sin ϕω tAy . Po dosazení hodnot je výchylku tělesa.






+=
4
5sin05,0
π
πty (m,s).
ZU 1.6.1-41 Srovnáním s rovnicí 



 +=
0
sin ϕω tAy zjistíme, že m6=A , -1
rad.s3=ω
a rad00 =ϕ . Po dosazení do vztahu 




 +== 0
cos
d
d
ϕωω tA
t
y
v dostaneme tv 3sin18−= .
ZU 1.6.1-42 Pro rychlost kmitavého pohybu platí vztah 




 += 0
cos ϕωω tAv . Srovnáním
určíme -1
rad.s3=ω . Protože platí 6=Aω je m2
3
6
==A .
ZU 1.6.1-44 Pro rychlost kmitavého pohybu platí vztah ( )tAv ωω cos= . Po dosazení je
1-
m.s0
2
cos
4
2
cos =







=







=
π
ω
π
ω A
T
T
Av .
ZU 1.6.1-45 Protože u tohoto kmitavého pohybu nedochází k fázovému posunu, prochází
těleso rovnovážnou polohou v čase s0=t . Po dosazení do rovnice je
-1
m.s60cos60.3cos6 ===v .
ZU 1.6.1-46 V bodě vratu se těleso zastaví, pak je jeho rychlost nulová a v = 0 m.s-1.
ZU 1.6.1-47 Vztah pro rychlost kmitavého pohybu je dán rovnicí ( )tAv ωω cos= .
Rovnovážnou polohou prochází rychlostí
-1
max
m.s77,32,0.3.14,3.22 ==== fAv πω .
ZU 1.6.1-48 Podle rovnice pro výchylku je m2=A , -1
rad.s3=ω . Rovnice zrychlení je dána
vztahem 



 +−=
0
2
sin ϕωω tAa . Protože je fázový posuv nulový, je po dosazení
ta 3sin18−= (m,s).
ZU 1.6.01-49 Podle rovnice pro výchylku je m2,0=A , -1
rad.s3=ω . Rovnice zrychlení je
dána vztahem 



 +−=
0
2
sin ϕωω tAa . Protože je fázový posuv nulový, je po dosazení
ta 3sin8,1−=
(m.s-2
,s).
ZU 1.6.1-50 Rovnovážnou polohou prochází těleso v čase s0=t . Pak po dosazení do
rovnice je -2
m.s0=a .
ZU 1.6.1-51 Protože v bodě vratu působí na těleso maximální síla, je zrychlení maximální,
pak -2
m.s10=a .
ZU 1.6.1-52 Kinetická energie je 2
2
1
vmEk = . Protože je v bodě vratu rychlost nulová, je
J0=kE .
123
ZU 1.6.1-53 Kinetická energie je 2
2
1
vmEk = . Rovnice rychlosti je í ( )tAv ωω cos= . Po
dosazení je ( ) -1
m.s6,00.3cos2,0.3 ==v . Kinetická energie je pak J36,06,0.2
2
1 2
==kE .
BU 1.6.1-54 a) Na těleso působí síla pružnosti a tíhová síla, které jsou v rovnováze
pak 1-
N.m25,245
16,0
81,9.4
=⇒=⇒=⇒= kk
y
mg
kmgky
b) Pro tuhost pružiny platí s284,0
25,245
5,0
22
4
2
2
2
===⇒== ππ
π
ω
k
m
T
T
mmk .
BU 1.6.1-55 a) Na těleso působí síla pružnosti a tíhová síla, které jsou v rovnováze
pak m9,24
44
2
2
2
2
==⇒=⇒=⇒=
ππ
gT
A
m
Tgm
A
k
gm
Amgky
m
.
b) Podobně jako v předchozím případě
pak Hz23,2
2
1
4 222
==⇒=⇒=⇒=
A
g
fgAfgmAmmgAk
π
πω ..
BU 1.6.1-56 Nejprve určíme počáteční fázi z rovnice pro okamžitou výchylku




 +=
0
sin ϕω tAy , pak ( ) ( )00 sin35,10.42sin35,1 ϕϕπ =⇒+= . Úpravou dostaneme
rad
6
sin
2
1
00
π
ϕϕ =⇒= . Nyní opět použijeme vztah pro okamžitou výchylku




 +=
0
sin ϕω tAy a dosadíme zadané hodnoty, pak






+=⇒





+=
6
8sin3
6
42sin3
π
π
π
π tyty (m, s).
BU 1.6.1-57 Sílu určíme podle vztahu ( ) N98,01,0.5,0.4
22
==== πω ymykF .
BU 1.6.1-58 Pro maximální zrychlení a maximální rychlost platí
2
ωAa
m
= , ωAv
m
= .
Pak po dosazení je 1-
rad.s9
3
27
===⇒=
m
m
mm
v
a
va ωω .
BU 1.6.1-59 Pro potenciální energii platí vztah
2
2
1
ykEp = . V bodě vratu je výchylka rovna
amplitudě, J363.2.2
2
1
2
1 2222
=== AmE
p
ω .
BU 1.6.1-60 Celková energie
2
2
1
AkE = je rovna součtu EEE kp =+ . Pak
J27,009,02,03.2
2
1
2
1 2222
=−=−=−=
ppk
EAmEEE ω .
124
BU 1.6.1-61 Celková energie je
2
2
1
AkE = , maximální síla je AkF
m
= . Vyjádříme
A
F
k m
= . Dosadíme do vztahu pro energii,
pak m10.4
10.5,1
10.3.22
2
1
2
1 5
3
5
2 −
−
−
===⇒=⇒=
m
m
m
F
E
AAFEA
A
F
E .
BU 1.6.1-63 a) k=200 N.m-1
, b) m = 1,39 kg, c) f = 1,9 Hz
BU 1.6.1-64 Určíme poměr
4
12
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
=








===
A
A
A
y
Ak
yk
E
E p
. Pak EEp
4
1
= .
Energie kinetická je EEEEEE pk
4
3
4
1
=−=−= .
1.6.2. TLUMENÉ KMITÁNÍ
BTO 1.6.2-1 a, b
BTO 1.6.2-2 a
BTO 1.6.2-3 d
BTO 1.6.2-4 b
BU 1.6.2-5 Protože
m
R
b =2 , je bmR 2= . Pak jednotkou je kg.s-1
.
BU 1.6.2-6 Výraz v exponentu vztahu
tb
eAA
−
=
0
je bezrozměrné číslo. Pak jednotkou b je
s-1
.
BU 1.6.2-7 Diferenciální rovnici těchto tlumených kmitů můžeme psát ve tvaru
0
d
d
2
d
d 2
2
2
=++ y
t
y
b
t
y
ω .
Srovnáním dostaneme
1-
2
2
rad.s
44
π
ω
π
ω =⇒=
t
.
BU 1.6.2-8 Diferenciální rovnici těchto tlumených kmitů můžeme psát ve tvaru
0
d
d
2
d
d 2
2
2
=++ y
t
y
b
t
y
ω .
Srovnáním dostaneme 1-
s2
2
4
42 ==⇒= bb .
BU 1.6.2-9 Protože druhá amplituda je časově o periodu posunutá, můžeme psát
tTb
tTbtb
tb
t
Ttb
tb
e
ee
e
eA
eA
===
−−
−




 +−
−
.
0
0
λ .
125
BU 1.6.2-10
t
tTb
Tbe === lnln λδ
BU 1.6.2-11 Poměr výchylek zapíšeme pomocí útlumu tTb
e=λ . Protože
t
t T
bTb
δ
δ =⇒= . Pak 2,12,0
==== eee
tT
t
T δ
δ
λ .
BU 1.6.2-12 Pro energii kmitů platí vztah
2
2
1
AkE = . Amplituda tlumených kmitů klesá
podle funkce
tb
eAA
−
=
0
. Pak
2
02
1






= − tb
eAkE . Po úpravě
tbtb
eEEeAkE
2
0
22
02
1 −−
=⇒= .
tb
eEE 2
002,0 −
=
tb
e 2
2,0 −
=
etb ln22,0ln −=
t
b
=
− 2
2,0ln
3.2
2,0ln
−
=t
s27,0=t .
1.7.1 MECHANICKÉ VLNĚNÍ
ZTO 1.7.1-1. c
ZTO 1.7.1-2. c
ZTO 1.7.1-3. a, b, c, d
ZTO 1.7.1-4. b
ZTO 1.7.1-5. c
ZTO 1.7.1-6. b
ZTO 1.7.1-7. c
ZU 1.7.1-1. λ = 3 m
ZU 1.7.1-2. λ = 314 m
ZU 1.7.1-3. f = 10 Hz
ZU 1.7.1-4. v = 30 m.s-1
ZU 1.7.1-5. 



 −
12
ϕϕ = 4π rad
BU 1.7.1-1. 



 −
12
ϕϕ = π rad
ZU 1.7.1-6. 





−=
−−
xttu
22
10204sin10.2
BU 1.7.1-2. 







−=
20
252cos2
x
tv π
BU 1.7.1-3. v = 31,4 m/s
BU 1.7.1-4. a = 1974 m.s-2
126
ZU 1.7.1-7. 7,5.1014
Hz – 4,3.1014
Hz
ZU 1.7.1-8. 1 m až 200 m
BU 1.7.1-5. 80/ π krát
BU 1.7.1- 2. Při úplném odrazu se vlnění šíří po rozhraní obou prostředí, tzn. že úhel lomu
α2 má hodnotu 90°. Pak ze zákona lomu
2
1
2
1
sin
sin
v
v
=
α
α
platí
2
2
1
1
sinsin αα
v
v
= . Po dosazení
je 10687,0sin 1 =α , pak °= 13,61α .
1.7.2 Interference
ZTO 1.7.2-1. c)
ZTO 1.7.2-2. c)
ZTO 1.7.2-3. d)
ZTO 1.7.2-4 d)
ZTO 1.7.2-5. b),c)
BTO 1.7.2-1. b)
BTO 1.7.2-2. c)
BTO 1.7.2-3. b)
ZU 1.7.2-1. d = 12,08 m
ZU 1.7.2-2. v = 1 450 m/s
BU 1.7.2-1. d = 4/3m ( ) txu ππ 1200sin3cos10.2
3−
= (m,s)
BU 1.7.2-2. 82,80
BU 1.7.2-3. A = 4,44 mm
BU 1.7.2-4. A = 5 cm
1.7.3 Zvuk
ZTO 1.7.3-1. a)
ZTO 1.7.3-2. b)
ZTO 1.7.3-3. b)
ZTO 1.7.3-4. a)
ZTO 1.7.3-5. c)
ZTO 1.7.3-6. c)
ZTO 1.7.3-7 c)
ZTO 1.7.3-8 b)
ZTO 1.7.3-9. b)
ZTO 1.7.3-10. a),b)
ZTO 1.7.3-11. c)
ZTO 1.7.3-12. b)
ZTO 1.7.3-13. b)
ZTO 1.7.3-14. c)
ZU 1.7.3-1. Frekvence zvuku se při přechodu z jednoho prostředí do druhého nemění. Ve
vodě je rychlost šíření zvuku větší, pak se zvětší jeho vlnová délka. Pro poměr vlnových
délek platí
127
35,4
340
4801
2
1
2
1
2
1
====
v
v
f
v
f
v
λ
λ
Vlnová délka je ve vzduchu 4,35 krát kratší.
ZU 1.7.3-2.
ZU 1.7.3-3. f = 100 kHz
ZU 1.7.3 - 5. Rychlost podélných vln v pevné látce je dána vztahem
ρ
E
v = . Úpravou
určíme ρ2
vE = . Po dosazení hodnot je E = 9,8.109
Pa.
ZU 1.7.3-6. Rychlost šíření vlnění je v daném prostředí konstantní. Pak
t
s
v = a zároveň platí
ρ
E
v = . Porovnáním obou vztahů je
2
2
t
s
E
ρ
= . Po dosazení je E =2,12.1011
Pa.
ZU 1.7.3-7. Vypočítejte modul pružnosti v tahu mědi, rozšíří-li se podélné vlnění v mědi do
vzdálenosti 1000 m za dobu 0,269 s.
E = 1,22.1011
Pa
BU 1.7.3-1. Pro rychlost podélných vln v kapalině platí vztah
ργ
1
=v , úpravou dostaneme
ρ
λ
2
1
v
= , po dosazení γ =8,26.10-10
Pa-1
.
BU 1.7.3-2. Pro rychlosti šíření podélných v1 a příčných vln v2 platí vztahy
ρ
E
v =
1
a
ρ
G
v =
2
. Kde modul pružnosti v torzi
)1(2 +
=
m
mE
G . Protože ρ2
1
vE = je po úpravě
( ) ( )1212 1
2
1
2 +
=
+
=
m
m
v
m
vm
v
ρ
ρ
. Po dosazení je v2 = 3111 m-s-1
.
ZU 1.7.3.-8. Intenzita zvuku je
v
p
I
ρ
2
2
1
= . Po dosazení číselných hodnot je
a) I = 11,7.10-6
W.m-2
b) I = 3,37.10-9
W.m-2
ZU 1.7.3-9.
Jestliže
S
P
I = , pak
2
4 rS π= je velikost kulové plochy o poloměru 1 m, v jejímž středu je
umístěný zdroj zvuku. Po úpravě je
2
4 r
P
I
π
= a dosazení hodnot je I = 0,08 W.m-2
.
128
BU 1.7.3.-3. Intenzita zvukové vlny ve vzduchu je
11
2
1
1 2
1
v
p
I
ρ
= , intenzita zvukové vlny ve
vodě je
22
2
2
2 2
1
v
p
I
ρ
= . Jestliže
21
II = pak porovnáním obou vztahů a vyjádřením
akustického tlaku p2 získáme výraz
11
22
12 v
v
pp
ρ
ρ
= . Po dosazení hodnot vyjde p2 = 1115,4
Pa.
BU 1.7.3.-4. Podle základního vztahu je intenzita zvuku
S
P
I = , kde
2
4 rS π= je plocha
koule poloměru r. Pro vzdálenost D je
21
4 D
P
I
π
= a
( )22
504 −
=
D
P
I
π
.
Protože
12
2 II = je
( ) 22
4
2
504 D
P
D
P
ππ
=
−
.
Po úpravě je ( )22
502 −= DD , pak 





+−=
222
50.22 DDDD .
Získáme kvadratickou rovnici 05000200
2
=+− DD . Řešením je D = 170,7 m.
BU 1.7.3-5.
Dopadá-li, na přijímací systém několik zvukových vln, bude jejich výsledná hladina intenzity
rovna hladině intenzity součtu veličin, které původní hladiny určily (např. intenzita, výkon,
tlak).
Hladina intenzity zvuku je
0
lg10
I
I
L = . Pak








+==
+
=
000
lg2lg10
2
lg10lg10
I
I
I
I
I
II
L
v
.
32lg10lg10
0
+=+= L
I
I
L
v
Výsledná hladina intenzity je o 3 dB vyšší.
BU 1.7.3-6. Původní hladina intenzity
0
1
1
lg10
I
I
L = se zvýší na
0
lg10
I
I
L = . Podle zadání
je 301
+= LL .
Pak
0
1
0
lg1030lg10
I
I
I
I
=− ,
rovnici vydělíme 10 a upravíme podle pravidel pro počítání s logaritmy.
010
lglg10lg3lglg IIII −=−−
1
lg1000lglg II =−
1000lglglg 1
=− II
1000lglg
1
=
I
I
129
1000
1
=
I
I
1
1000 II =
Intenzita zvuku se zvýší 1000 krát.
BU 1.7.3-7. Intenzita zvuku v daném místě závisí na vzdálenosti a výkonu zdroje
vztahem
2
4 r
P
S
P
I
π
== .
V dané vzdálenosti h =100 m je intenzita
2
4 h
P
I
π
= a hladina intenzity
0
lg10
I
I
L = .
V hledané vzdálenosti h1 je intenzita
2
1
1
4 h
P
I
π
= a hladina intenzity
0
1
1
lg10
I
I
L = .
Dosazením do obou vztahů za intenzity dostaneme
0
2
4
lg10
Ih
P
L
π
= a
1
2
1
1
4
lg10
Ih
P
L
π
= .
Protože je výkon zdroje v obou případech stejný, vyjádříme a porovnáme.
10
0
210
1
0
2
1
104104
LL
IhIh ππ =
10210
1
2
1
1010
LL
hh =
10
1
10
1
10
10
L
L
hh =
m3,316210.100
3
1
==h
BU 1.7.3.-8. Pro hladiny intenzit platí vztahy
0
1
1
lg10
I
I
L = a
0
2
2
lg10
I
I
L = . Z obou vztahů
vyjádříme intenzity:
12
01
0
112
0
1
0
1
0
11
10.10lg12lg
10
120
lg
10
II
I
I
I
I
I
I
I
IL
=⇒=⇒=⇒=⇒= .
Podobně
2,9
02
10.II = .
Oba vztahy dáme do poměru 9,63010
10.
10. 8,2
2,9
0
12
0
1
2
===
I
I
I
I