Kartézský součin, binární relace v množině


Definice 1: Kartézským součinem dvou množin A, B rozumíme množinu A x B = {[x,y]; x A  y B}, tj.
množinu všech uspořádaných dvojic [x,y], kde x A a y B.


Znázornění kartézského součinu A x B se provede tzv. kartézským grafem – sestrojíme dvě na sebe
kolmé přímky x, y (vodorovnou a svislou). Na vodorovnou přímku x (osu) znázorníme pomocí bodů
všechny prvky množiny A, z níž vybíráme první složky dvojic,  na svislou přímku y (osu) znázorníme
pomocí bodů všechny prvky množiny B, z níž vybíráme druhé složky dvojic. Uspořádanou dvojici [x,y]
A x B  znázorníme bodem, který je průsečíkem dvou přímek procházejících body x, y a rovnoběžných po
řadě se svislou a vodorovnou osou.


Definice 2: Binární relací R z množiny A do množiny B rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského
součinu A x B.


Definice 3: Nechť R je binární relace z množiny A do množiny B.

·         Relaci R´ z množiny A do množiny B definovanou předpisem R´ = (A x B) - R nazýváme
doplňkovou relací k relaci R.

·         Relaci R^-1 z množiny B do množiny A definovanou předpisem

               R^-1 = {[y,x]  B x A; {[x,y]  R}

nazýváme relací inverzní k relaci R.  v množině M.



Definice 4: Binární relací R v neprázdné množině M rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského
součinu M x M.


Znázornění binárních relací se provede:

•         Kartézským grafem relace R  – analogicky jako u kartézského součinu výše.

•         Uzlový graf relace R v množině M -  v rovině znázorníme pomocí bodů (tzv. uzlů) všechny
prvky množiny M . Uspořádanou dvojici [x,y] R znázorníme pomocí šipky (tzv. orientované hrany),
která vychází z uzlu x a směřuje do uzlu y. V případě, že x = y, nazýváme šipku smyčkou. Pokud jsou
v relaci R dvojice [x,y] a [y,x], znázorníme je “dvojšipkou” (tzv. neorientovanou hranou).


Úloha . Na množině M =  {0,1,2,3,4} jsou definovány binární relace R, S, T, U, V. Zapište je výčtem
prvků:

R = {[x,y]  M x M;  x > y}

S = {[x,y]  M x M;  x + y = 5}

T = {[x,y]  M x M;  x < y  x + y = 4}

U = {[x,y]  M x M;  x = y}

V = {[x,y]  M x M;  x = y  x = 2.y}









Kartézský součin, binární relace v množině


Definice 1: Kartézským součinem dvou množin A, B rozumíme množinu A x B = {[x,y]; x A  y B}, tj.
množinu všech uspořádaných dvojic [x,y], kde x A a y B.


Znázornění kartézského součinu A x B se provede tzv. kartézským grafem – sestrojíme dvě na sebe
kolmé přímky x, y (vodorovnou a svislou). Na vodorovnou přímku x (osu) znázorníme pomocí bodů
všechny prvky množiny A, z níž vybíráme první složky dvojic,  na svislou přímku y (osu) znázorníme
pomocí bodů všechny prvky množiny B, z níž vybíráme druhé složky dvojic. Uspořádanou dvojici [x,y]
A x B  znázorníme bodem, který je průsečíkem dvou přímek procházejících body x, y a rovnoběžných po
řadě se svislou a vodorovnou osou.


Definice 2: Binární relací R z množiny A do množiny B rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského
součinu A x B.


Definice 3: Nechť R je binární relace z množiny A do množiny B.

·         Relaci R´ z množiny A do množiny B definovanou předpisem R´ = (A x B) - R nazýváme
doplňkovou relací k relaci R.

·         Relaci R^-1 z množiny B do množiny A definovanou předpisem

               R^-1 = {[y,x]  B x A; {[x,y]  R}

nazýváme relací inverzní k relaci R.  v množině M.



Definice 4: Binární relací R v neprázdné množině M rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského
součinu M x M.


Znázornění binárních relací se provede:

•         Kartézským grafem relace R  – analogicky jako u kartézského součinu výše.

•         Uzlový graf relace R v množině M -  v rovině znázorníme pomocí bodů (tzv. uzlů) všechny
prvky množiny M . Uspořádanou dvojici [x,y] R znázorníme pomocí šipky (tzv. orientované hrany),
která vychází z uzlu x a směřuje do uzlu y. V případě, že x = y, nazýváme šipku smyčkou. Pokud jsou
v relaci R dvojice [x,y] a [y,x], znázorníme je “dvojšipkou” (tzv. neorientovanou hranou).


Úloha . Na množině M =  {0,1,2,3,4} jsou definovány binární relace R, S, T, U, V. Zapište je výčtem
prvků:

R = {[x,y]  M x M;  x > y}

S = {[x,y]  M x M;  x + y = 5}

T = {[x,y]  M x M;  x < y  x + y = 4}

U = {[x,y]  M x M;  x = y}

V = {[x,y]  M x M;  x = y  x = 2.y}