Zobrazení z množiny do množiny, typy zobrazení


Nechť R je relace z množiny A do množiny B splňující vlastnosti: Ke každému prvku aÎ A existuje
nejvýše jeden prvek bÎ B takový, že [a,b] Î R. Tato relace se nazývá zobrazení z množiny A do
množiny B. Značíme R: A → B.


Nechť R je zobrazení z množiny A do množiny B.

§  Jestliže [a,b]Î R, pak prvek aÎA nazýváme vzorem prvku bÎ B v zobrazení R; prvek b Î B nazýváme
obrazem prvku a Î A v zobrazení R.

§  Množina O[1](R) = {a Î A: existuje b Î B takové, že [a,b] Î R} se nazývá definiční obor
zobrazení R. Platí O[1](R) Ì A.

§  Množina O[2](R) = {bÎ B: existuje aÎ A takové, že [a,b]Î R} se nazývá obor hodnot zobrazení R.
Platí O[2](R) Ì B.


Rozlišujeme následující typy zobrazení R:


§  I) Je–li O[1](R) = A Ù O[2](R) Ì B Ù O[2](R) ≠ B, nazývá se R zobrazení množiny A do množiny B.


§  II) Je–li O[1](R) Ì A Ù O[1](R) ≠ A Ù O[2](R) = B, nazývá se R zobrazení z množiny A na množinu
B.


§  III) Je–li O[1](R) = A Ù O[2](R) = B, nazývá se R zobrazení množiny A na množinu B.


§  IV) Je–li O[1](R) Ì A Ù O[1](R) ≠ A Ù O[2](R) Ì B Ù O[2](R) ≠ B, nazývá se R zobrazení z množiny
A do množiny B.



Zobrazení Z z množiny A do množiny B se nazývá prosté zobrazení

právě tehdy, když relace Z^−1 je zobrazení z množiny B do množiny A.


Uzlový graf prostého zobrazení Z z množiny A do množiny B je charakteristický tím, že do každého
bodu, který znázorňuje prvek y Î B, směřuje nejvýše jedna šipka. Můžeme tedy říci, že platí
následující věta:

Zobrazení Z z množiny A do množiny B je prosté právě tehdy, když pro každé

y Î B platí, že je obrazem nejvýše jednoho prvku x Î A v zobrazení Z.


V praxi používáme pro rozlišení prostého zobrazení následující tvrzení:

Zobrazení Z z množiny A do množiny B je prosté právě tehdy, když každé dva různé vzory mají různé
obrazy.


Př. 1: Jsou dány množiny A = {a, b, c} a B = {u, v}. Nechť R[1], R[2], R[3], R[4] jsou

binární relace z množiny A do množiny B definované takto:

a) R[1] = {[a, v], [b, v], [c, u]}, b) R[2] = {[a, u], [b, v]},

c) R[3] = {[a, v], [b, v], [c, v]}, d) R[4] = {[a, u], [b, u]}.

Rozhodněte, zda tyto relace jsou zobrazení z množiny A do množiny B. Pokud ano, určete typ
zobrazení.

a) R[1] je zobrazení množiny A na množinu B, není prosté.

b) R[2] je prosté zobrazení z množiny A na množinu B.

c) R[3] je zobrazení množiny A do množiny B, není prosté.

d) R[4] je zobrazení z množiny A do množiny B, není prosté.


Př. 2: Jsou dány množiny A = {x, y, z}, B = {a, b}. Rozhodněte, zda dané relace z množiny A do
množiny B jsou zobrazení z A do B.

         a) R[1] = {[x,a], [y,b], [z,a], [z,b]},

         b) R[2] = {[x,a], [z,b]},

         c) R[3] = {[x,a], [y,a], [z,a]}.


R[1][  ]není zobrazení.

R[2][  ]je prosté zobrazení z množiny A na množinu B.

R[3][  ]je zobrazení celé množiny A na množinu B, není prosté (nemůže být).


Př. 3: Jsou dány množiny A = {x, y, a, c}, B = {c, x, b, z}.

a) Rozhodněte, o jaký typ zadaných zobrazení se jedná.

R = {[x, z], [c, c], [y, c]},         S = {[x, z], [y, z], [a, z], [c, x]}.

b) Zapište výčtem prvků jednu binární relaci z množiny A do množiny B, která není zobrazením.

c) Zapište výčtem prvků

          1) jedno zobrazení R[1] z množiny A do množiny B,

2) jedno zobrazení R[2 ]množiny A do množiny B,

3) jedno zobrazení R[3 ]množiny A na množinu B,

4) jedno zobrazení R[4 ]z množiny A na množinu B.


Řešení: a) R je zobrazení z množiny A do množiny B, není prosté.

                 S je zobrazení množiny A do množiny B, není prosté.

b) T = {[x, z], [x, b], [a, z], [c, x]}.

c) R[1] = {[x, z]}, je prosté.

    R[2] = {[x, z], [y, z], [a, z], [c, z]}, není prosté.

    R[3] = {[x, c], [y, b], [a, z], [c, x]}, je prosté.

    R[4] neexistuje.


Prosté zobrazení množiny A na množinu B nazýváme bijektivní zobrazení nebo také vzájemně
jednoznačné zobrazení.


Př. 4: Jsou dány množiny A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d}. Rozhodněte, o jaký typ zobrazení se
jedná a zda je toto zobrazení prosté:

a) R[1][ = ]{[1,a], [2,c], [3,d]},

b) R[2][ = ]{[1,a], [2,c], [3,d], [4,a]},

c) R[3][ = ]{[2,a], [1,c], [3,b], [4,d]}. Vzájemně jednoznačné zobrazení.


a) Prosté zobrazení z množiny A do množiny B.

b) Zobrazení množiny A do množiny B, není prosté.

c) Prosté zobrazení množiny A na množinu B.


Permutací konečné množiny A nazýváme každé prosté zobrazení množiny A na množinu A (vzájemně
jednoznačné zobrazení).


Př. 5: Zapište všechny permutace tříprvkové množiny A = {1, 2, 3}.


a =  , b =  , c =  ,


d =  , e =  , f =  .


Definice: Nechť R je zobrazení z množiny M do množiny N a S je zobrazení z množiny N do množiny K.
Pak relace R ○ S je zobrazení a nazývá se složené zobrazení ze zobrazení R a S.

Př. 6: Jsou dána zobrazení R, S v množině  A = {1, 2, 3, 4} takto:

           R = {[1, 3], [4, 2], [2, 3], [3, 1]},

           S = {[1, 1], [4, 2], [2, 1], [3, 4]}.

Určete  složené relace R ○ S, S ○ R.


Řešení: R ○ S = {[1, 4], [4, 1], [2, 4], [3, 1]},

             S ○ R = {[1, 3], [4, 3], [2, 3], [3, 2]}. Vidíme, že R ○ S ¹ S ○ R.


Složení dvou zobrazení je vždy zobrazení, složení dvou permutací je permutace.


Př. 7: Složte permutace b ○ c,  f ○ d, e ○ b   z  předchozího příkladu.


b ○ c =  = d , f ○ d =  = b, e ○ b =  = c.


Povšimněte si, že platí e ○ d = d ○ e = , což je identická permutace. Obě permutace d, e jsou
navzájem inverzní.



Řekneme, že množiny A, B jsou ekvivalentní právě tehdy, když existuje prosté zobrazení množiny A na
množinu B. Značíme A ~ B.


Př. 8: Jsou dány množiny A = {a, b, c}, B = {x, y}, C = {1, 2, 3}. Rozhodněte, které množiny jsou
ekvivalentní.

Ř: Množiny A, B nejsou ekvivalentní (neexistuje prosté zobrazení množiny A na množinu B). Množiny
A, C jsou ekvivalentní (existuje prosté zobrazení množiny A na množinu C, například  R =
{[a,3],[b,1],[c,2]}), tj. A ~ C.


Množina M je vlastní podmnožinou množiny N právě tehdy, když M je podmnožinou N a současně M ≠  N.

Řekneme, že množina A je konečná právě tehdy, když žádná vlastní podmnožina množiny A není
ekvivalentní s množinou A.

Řekneme, že množina B je nekonečná právě tehdy, když existuje alespoň jedna vlastní podmnožina
množiny B, která je ekvivalentní s množinou B.


Př. 9: Uvažujme množinu ℕ všech přirozených čísel a množinu S všech kladných sudých čísel.
Zjistěte, zda jsou ekvivalentní.


Řešení: Připomeneme, že ℕ = {1, 2, 3, 4, 5,…}, S = {2, 4, 6, 8 , 10,…}.

Uvažujme relaci R = {[x,y] ϵ ℕ ´ S; y = 2x}.


Relace R je prosté zobrazení množiny ℕ na množinu S, neboť

ke každému x ϵ ℕ existuje právě jedno y ϵ S takové, že [x,y] ϵ R,

ke každému y ϵ S existuje právě jedno x ϵ ℕ takové, že [x,y] ϵ R.

                            Tedy ℕ ~ S.

Množina ℕ všech přirozených čísel je nekonečná, neboť je ekvivalentní s množinou S všech kladných
sudých čísel, přičemž S je vlastní podmnožinou množiny ℕ.


Nechť A, B jsou konečné množiny. Pak platí: A ~ B Û |A | = |B | , tedy dvě konečné množiny jsou
ekvivalentní, právě když mají stejný počet prvků.

Př. 10: Jsou dány množiny M =  a  N = .

 a) Definujte výčtem prvků relaci R z množiny M do N, která není zobrazením.

 b) Definujte relaci Z, která je zobrazením z množiny N do M a určete jeho typ.

 c) Zapište výčtem prvků relaci R•Z a rozhodněte, zda je tato relace zobrazením.

     Pokud ano, určete, zda je prosté.

 d) Zapište dvě různé bijekce množiny N na množinu M.

 e) Na množině N definujte dvě různé permutace P[1], P[2] a určete permutace P[1]•P[2]

     a  P[2]•P[1].


Řešení: a) R = {[2, b], [2, c], [3, a]}.


b) Z[1] = {[c, 4]}. Prosté zobrazení z N do M.

    Z[2] = {[a, 4], [b, 4], [c, 1], [d, 1]}. Zobrazení celé N do M, není prosté.


c) R•Z[1 ]= {[2, 4]}. Prosté zobrazení z M do M.

    R•Z[2] = {[2, 4], [2, 1], [3, 4]}. Není zobrazení.


d) B[1 ]={[a, 4], [b, 3], [c, 2], [d, 1]}, B[2 ]={[a, 2], [b, 4], [c, 3], [d, 1]}. Platí A ~ B.


e) P[1 ]= {[a, b], [b, c], [c, d], [d, a]}, P[2 ]= {[a, c], [b, d], [c, b], [d, a]}.


Jinak zapsáno P[1 ]=  , P[2 ]= .


P[1 ]• P[2] =  ,  P[2 ]• P[1 ]= .


Př. 11: Je dána množina M = . V množině M jsou dány relace R, T, U, V takto:

   R = ,

   T = ,

   U = ,

   V = .


a) Rozhodněte a zdůvodněte, zda jsou některé z relací R, T, U, V zobrazení

     v množině M. Pokud ano, určete přesně jejich typ. Je některá z těchto relací

     permutací na množině M?

 b) Zapište relace R^-1,  V^-1,  V•V,  U•V,  R•U,  R•(V•U). Je některá z těchto

     relací zobrazením v množině M?  Pokud ano, určete přesně typ.


Řešení: a) R = {[2, 3], [3, 2], [1, 1], [2, 2], [3, 3]}. Není zobrazení.

                 T = {[1, 1], [1, 2], [1, 3], [3, 1], [3, 2], [3, 3], [2, 3]}. Není zobrazení.

                 U =  {[1, 2], [2, 3]}. Prosté zobrazení z M do M.

                 V = {[1, 3], [2, 1], [3, 2]}. Permutace množiny M.


b) R^-1 = {[3, 2], [2, 3], [1, 1], [2, 2], [3, 3]}. Není zobrazení.

    V^-1 = {[3, 1], [1, 2], [2, 3]}. Permutace množiny M.

  V•V = {[1, 2], [2, 3], [3, 1]}. Permutace množiny M.

  U•V = {[1, 1], [2, 2]}. Prosté zobrazení z M do M.

  R•U = {[3, 3], [1, 2], [2, 3]}. Zobrazení celé M do M, není prosté.

  V•U = {[2, 2], [3, 3]}. Prosté zobrazení z M do M.

R•(V•U) = {[2, 3], [3, 2], [2, 2], [3, 3]}. Není zobrazení.