P3
Zápočtová písemná práce předmětu IMAp02 (max. 18 bodů)
1. Je dána množina Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Určete výčtem prvků množiny A,
B, jestliže platí:
Z = A ∪ B ∧ {1, 3, 4, 5} ⊂ A − B ∧ 2 /∈ B ∧ B = ∅.
Situaci zakreslete pomocí Vennových diagramů.
2. Nechť p, q, r jsou výrokové formule. Rozhodněte a zdůvodněte, zda následující
zápis je zápisem správného pravidla odvozování:
p⇔q, q⇒¬r
p∨¬r .
3. V množině A = {1, 2, 3, 4} jsou definovány binární relace:
R1 = {[1, 1], [2, 1], [3, 2], [4, 4]},
S = {[4, 3], [3, 2], [1, 1], [2, 2]}.
Zapište výčtem prvků binární relaci R1 ◦ S, (R1 ◦ S)−1
, (R1 ◦ S) .
Rozhodněte a zdůvodněte, zda relace R1 ◦ S je uspořádání v množině A.
4. Je dána množina M = {1, 2, 3}. Zapište výčtem prvků binární relaci
R2 = {[x, y] ∈ M × M; x < 3 ⇒ x + y = 3}.
Určete, které z vlastností R, AR, S, AS, T , SO má binární relace R2.
Rozhodněte a zdůvodněte, zda je relace R2 relací ekvivalence na množině
M. Pokud ano, určete třídy rozkladu příslušejícího relaci R2.
5. Jsou dány množiny A = {a, b, 1, c}, B = {1, 2, c, 3}.
a) Zapište výčtem prvků binární relaci R1 z množiny A do množiny B,
která není zobrazení.
b) Určete přesně typ zobrazení Z = {[c, 1]} z množiny A do množiny B
a rozhodněte, zda je prosté.
c) Zapište výčtem prvků jedno vzájemně jednoznačné zobrazení množiny
A na množinu B.
6. Vysvětlete pojmy:
a) binární relace R z množiny A do množiny B,
b) relace inverzní k binární relaci R v množině M,
c) relace R je symetrická v množině M,
d) lineární uspořádání v množině M,
e) množiny A, B jsou ekvivalentní.