Řezy hranatých těles
Pod pojmem řez tělesa rovinou budeme rozumět hledání průniku tělesa a roviny. Průnikem
je rovinný útvar, u něhož nás v tuto chvíli zajímá především jeho hranice a tvar. Hranice řezu
je lomená čára, která leží na povrchu tělesa a její vrcholy leží na hranách tělesa. Sestrojit řez
tedy znamená sestrojit průsečnice jednotlivých stěn s rovinou řezu. Při konstrukci řezu
hranatého tělesa rovinou je třeba znát následující tři věty:
1. Leží-li dva různé body v rovině, pak přímka jimi určená leží v téže rovině.
2. Dvě rovnoběžné roviny jsou proťaty třetí rovinou, která s nimi není rovnoběžná, ve
dvou rovnoběžných přímkách.
3. Tři roviny, z nichž žádné dvě nejsou rovnoběžné a žádná není rovnoběžná s průsečnicí
zbývajících dvou, mají společný právě jeden bod.
Z těchto vět vyplývají tři užitečné důsledky:
1) Leží-li dva různé body roviny řezu v téže stěně tělesa, leží v rovině této stěny i jejich
spojnice. Průnik spojnice a stěny je jednou stranou řezu (obr. 1).
2) Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice
roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné (obr. 2).
3) Průsečnice rovin dvou sousedních stěn (tj. stěn se společnou hranou) s rovinou řezu a
přímka, v níž leží společná hrana, se protínají v jednom bodě (obr. 3).
Na následujících třech obrázcích jsou tyto důsledky prezentovány na konkrétních řezech
krychle. Rovina řezu je vždy zadána body K, L, M, části řezu jsou zvýrazněny červenou
barvou.
Obrázek 1 Obrázek 2 Obrázek 3
Rovina řezu může být zadána i třemi body, z nichž žádné dva neleží v téže stěně tělesa. Pak je
třeba použít větu č. 3 v trochu jiné podobě, než je důsledek č. 3. Za tři roviny, které mají
právě jeden společný bod, můžeme považovat také rovinu řezu, rovinu podstavy ABCD a
rovinu kolmou k podstavné rovině procházející přímkou KL (viz. Obr. 4). Jinými slovy
zkonstruujeme průsečík přímky KL s rovinou, v níž leží třetí zadaný bod roviny řezu M, v
tomto případě např. s podstavnou rovinou ABCD (mohli bychom též zvolit stěnu ADHE).
Využijeme k tomu pomocnou rovinu, která je kolmá k podstavě ABCD, v obecném případě
rovnoběžná s pobočnými hranami, je-li řezaným tělesem hranol (kolmý i kosý), popř.
procházející hlavním vrcholem, jeli řezaným tělesem jehlan. Na průsečnici pomocné roviny s
podstavou (zde je to přímka K1L1 ) leží i hledaný průsečík (bod I) přímky KL s podstavnou
rovinou ABCD. Tím získáme dva body roviny řezu v téže stěně tělesa a na jejich spojnici již
leží část řezu. Další části řezu již získáme s využitím výše uvedených důsledků 1) - 3).
Obrázek 4
© 2013 Jana Hromadová | jole@karlin.mff.cuni.cz | poslední změna proběhla 1.9.2013
Řezy krychle – geogebra:
https://www.geogebra.org/m/xpvw4q4s
Řez krychle, kde si můžete krokovat konstrukci i posouvat body určující řez
https://www.geogebra.org/m/BcVE3y4m
Řez pravidelného čtyřbokého jehlanu
https://www.geogebra.org/m/uahJ5kp9#material/jds3WWnM
Řez pravidelného šestibokého jehlanu
https://www.geogebra.org/m/jDzrUyyp
Pracovní listy pro řezy krychle a řezy pravidelného čtyřbokého jehlanu:
https://www.geogebra.org/m/MGhjdMwr#material/vhTFYWtG
Výuková videa:
https://www.youtube.com/watch?v=C00SB0KDm68&t=403s&ab_channel=Matematikaafyzikavmal%C3%AD%C
4%8Dkuabezbolesti
https://www.youtube.com/watch?v=z5KIT1LK5gI&t=9s&ab_channel=Matematikaafyzikavmal%C3%AD%C4%8D
kuabezbolesti