Poruchy učení v matematice a možnosti jejich nápravy
2. prezentace
Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D.

•
•
•
•
3. Zápis čísel
Problémy dětí vyskytující se při zapisování přirozených čísel můžeme rozdělit do skupin:
a)Nesprávný zápis a používání číslic 1, 2, … , 9, 0
•Problémy s rozlišením číslic tvarově podobných, např.
6 a 9, 3 a 8, 3 a 5, 2 a 5
•Problémy s pravolevou orientací
•Neschopnost zapsat číslice v přiměřené velikosti
•
•
•
•

•
•
•
•
3. Zápis čísel
b) Nesprávný zápis čísla v poziční desítkové soustavě
•Nesprávný způsob zápisu čísla psaním číslic v nesprávném pořadí, např. při zápisu čísla 18 píše
nejprve číslici 8 a  pak číslici 1 nalevo od 8.
•Nerozlišuje řád číslic (desítky a jednotky), tj. nerozliší 24 a 42 (chyby v pořadí číslic).
•Nesprávný zápis čísel, ve kterých se vyskytují nuly, např. místo 509 píše 59, místo 6008 píše 68.
•
•
•
•

•
•
•
•
3. Zápis čísel
•Neschopnost zapsat číslo jako celek – dítě zapisuje pouze izolované číslice, tj. místo 764 píše 7,
6, 4.
•Neschopnost zápisu čísel podle diktátu.
•
•
•
•

•
•
•
•
3. Zápis čísel
Při vytváření pojmu přirozeného čísla dbáme na správné používání a rozlišení pojmů číslo/číslice.
Přirozených čísel je nekonečně mnoho a zapisujeme je v poziční desítkové soustavě pomocí deseti
znaků, tj. číslic 0, 1, …, 9 (pomocí nuly, jedničky, dvojky, … , devítky). Pojmy jako „jedenáctka“,
„dvanáctka“ by učitel neměl používat. Číslo 12 je zapsáno pomocí dvou číslic: jedničky a dvojky.
•
•
•
•

•Porucha: Záměna tvarově podobných číslic
•
•Náměty na činnosti a hry, které přispívají k nápravě jsou následující:
1.Správné rozlišení číslic: Kamil dostal k narozeninám dort, na kterém bylo napsáno:
2.
•Kolik mu bylo roků? (urči obě možnosti)
•
•
•
•
3. Zápis čísel

•2. Figurky ve tvaru číslic: vhodné jsou pomůcky znázorňující číslice (hadrový váleček s drátem
uvnitř) – dají se z něj modelovat jednotlivé číslice
•Dětí se ptáme:
•Která číslice se Ti nejvíce líbí?
•Co Ti jednotlivé číslice připomínají?
(např. 1 – proutek, 2 – labuť, 6 – švestka,…)
•
•
•
3. Zápis čísel

•3. Umíš rozluštit tyto nápisy?
•
•
•
•
•Na horním obrázku zakryjeme pravou část každého znaku, na dolním obrázku zakryjeme levou část
každého znaku.
•
•
•
3. Zápis čísel

•Porucha: Nesprávný zápis víceciferného čísla
•K nápravě můžeme použít například tyto náměty:
1.Znázornění víceciferných čísel pomocí kartiček
•Některé děti jsou schopny znázornit víceciferná čísla pomocí kartiček s jednocifernými čísly tak,
že zvládnou umístit kartičky na příslušné řádové místo (desítky, stovky,…)
•
•
•
•
3. Zápis čísel

•Pokud chápání pozice číslice v zápisu čísla činí dětem problémy, je možný jiný postup: Při
znázornění dvojciferných a víceciferných čísel pomocí kartiček je vhodné, když děti ke znázornění
dvojciferného čísla, např. čísla 54, nepoužijí kartičky 5 a 4, ale kartičku 50 a na místo 0 přiloží
kartičku s číslicí 4. Podobně pro čísla např. 32, 359, 507.
•
•
•
•
3. Zápis čísel

•Montessori banka
•                                                         Zápis čísla 1363 a 2254
•
•
•M
3. Zápis čísel
Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky

•2. Zápis čísel pomocí stromů
•K pochopení zápisu čísla v poziční desítkové soustavě se osvědčují úlohy s kombinatorickou
problematikou, např:
•a) Pomocí číslic 1 a 4 zapiš všechna dvojciferná čísla tak, aby se číslice 1 a 4 v zápisu čísla
neopakovaly.
•
•
•
•Existují dvě možnosti: 41, 14.
3. Zápis čísel

•b) Pomocí číslic 1 a 4 zapiš všechna dvojciferná čísla tak, že se číslice 1 a 4 v zápisu čísla
mohou opakovat.
•
•
•
•
•
•Existují čtyři možnosti: 41, 14, 44, 11.
•
•
•
•
3. Zápis čísel

•Ke znázornění můžeme použít i tabulek:
•
•
•
•
3. Zápis čísel

•c) Pomocí číslic 1, 4 a 6 zapiš všechna dvojciferná čísla tak, že se
I)každá číslice v zápisu čísla vyskytne nejvýše jednou,
II)číslice v zápisu čísla se mohou opakovat.
•
•Řešení:
I)Zapíšeme čísla: 14, 16, 46, 41, 64, 61.
II)Zapíšeme čísla: 14, 16, 46, 41, 64, 61, 11, 44, 66.
•
I)
3. Zápis čísel

•d) Pomocí číslic 1, 4 a 0 zapiš všechna dvojciferná čísla tak, aby se
I)číslice v zápisu čísla neopakovaly,
II)číslice v zápisu čísla opakovaly.
•
•Řešení:
I)Zapíšeme čísla: 10, 40, 41, 14.
II)Zapíšeme čísla: 10, 11, 40, 44, 14, 41.
•
I)
3. Zápis čísel

•e) Pomocí víceciferných čísel zapiš všechny cesty, po nichž se dostane princ k princezně (např.
1468 atd.)
•
•
I)
3. Zápis čísel

•Celá řada problémů vzniká při zapisování čísel větších než 1000. Přitom o ta „velká“ čísla mají
děti zájem a je potřeba, aby se učily od počátku jejich správnému chápání a zapisování (zejména se
jedná o čísla, u kterých jsou na místech některých řádů nuly).
•
•Porucha: Dítě se neorientuje v číslech větších než 1000
•Pro správné pochopení „velkých“ čísel a k jejich správnému zápisu je třeba, aby se dítě postupně
dopracovalo ke zvládnutí:
•a) Principu poziční desítkové soustavy (deset jednotek tvoří jednu desítku, deset desítek tvoří
jednu stovku, deset stovek tvoří jeden tisíc atd.)
•
•
I)
3. Zápis čísel

•b) Principu zápisu čísla v poziční desítkové soustavě, tj. na každém místě v zápisu čísla může být
pouze jedna číslice.
•Je třeba, aby dítě získalo správnou představu určitého daného čísla. Ke snadnějšímu chápání mohou
složit karty s čísly, modely peněz, tabulka pro zapisování čísel podle příslušných řádů, řádové
počitadlo, číselná osa. Výběr modelu ponecháme na dítěti.
•
•
•
I)
3. Zápis čísel

1.Tabulka
•Zapiš do tabulky čísla 596, 24 098, 540 560 aj.
•
•
I)
3. Zápis čísel

•2. Čísla zapsaná v tabulce zapiš do sešitu a přečti je.
•
•
I)
3. Zápis čísel

•3. Řádové počítadlo
•Např. číslo 2641 je na řádovém počítadle znázorněno takto:
•
•
I)
3. Zápis čísel

•
•
•
•
•
•
I)
3. Zápis čísel

•3. Číselná osa
•
•
•
•
•
•
•Představa milionu: sáček máku o hmotnosti půl kilogramu představuje asi milion zrníček máku.
•Otázky: Žijete milion hodin? Uplynulo od počátku letopočtu už milion dní?
•
I)
3. Zápis čísel

•V rámci numerace je třeba, aby děti zvládly porovnávání přirozených čísel několika základními
způsoby.
•
•Porucha: dítě nezvládá porovnávání přirozených čísel
•
•Odstranění poruch: nový, podrobný, matematicky správný výklad doprovázený manipulativními
činnostmi.
•Porovnávání přirozených čísel vychází ze správného chápání vztahů „více“, „méně“, „stejně“, které
se opírají o porovnávání množin. Pro rozhodnutí, ve které je více/méně prvků, děti vytváří dvojice
(přiřazují prvky jedné skupiny prvkům druhé skupiny).
•
•
•
•
•
•
•
I)
4. Porovnávání přirozených čísel

•
•
•
•
•
•
•
I)
4. Porovnávání přirozených čísel

•Nejprve procvičujeme nerovnosti mezi čísly a později u operací sčítání a odčítání nás zajímá, o
kolik je jedno číslo větší než druhé.
•
•
•Třeba se vyvarovat nesprávného chybného znázornění (v řadě dětských publikací)
•Porovnáváme-li velikosti kruhu, lze říci, že kruh vlevo je větší než kruh vpravo. Nepřípustné je
zapsat mezi kruhy znaménko nerovnosti.
•
•
•
•
•
•
•
I)
4. Porovnávání přirozených čísel

•Porovnáváme počet velkých a malých kruhů. Počet velkých a malých kruhů je stejný, ale je
nepřípustné zapsat mezi kruhy znaménko rovnosti.
•
•
•
•
•
•
•
I)
4. Porovnávání přirozených čísel

•Důsledkem k nesprávnému přístupu k porovnávání může být situace, kdy děti porovnávaní více malých
předmětů s menším počtem větších předmětů. Pro dítě je dominantní velikost předmětů a zapíše:
•
•
•
•
•
•
•
I)
4. Porovnávání přirozených čísel

•Další chybný postup je nesprávné využití názoru pro znázornění rovnosti čísel.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
4. Porovnávání přirozených čísel

•Větší čísla porovnáváme pomocí jejich zápisu v desítkové soustavě nebo pomocí číselné osy.
•Využijeme-li k porovnávání zápisu v desítkové soustavě:
a)Jestliže mají porovnávaná čísla různý počet číslic, pak větší je to, které má větší počet číslic:
3142 > 876, neboť číslo 3142 má 3 tisíce, číslo 876 tisíce neobsahuje.
•Některé děti zapisují 876 > 3142, neboť u nich dominují hodnoty některých číslic: 8, 7, 6 je více
než 3, 1, 4, 2 (náprava pomocí modelů peněz).
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
4. Porovnávání přirozených čísel

•b) Jestliže mají porovnávaná čísla stejný počet cifer, porovnáváme postupně čísla zapsaná na
stejných řádech v zápisu čísla zleva doprava. Např. máme porovnat čísla 5643 a 5686. Obě čísla mají
stejně tisíců a stejně stovek. Liší se počtem desítek, tj. 5643 < 5686, protože 4 < 8
•
•Porovnávání pomocí číselné osy: ze dvou čísel znázorněných na číselné ose je větší to, jehož obraz
je více vpravo.
•Nesprávně se provádí porovnávání pomocí vzdálenosti od nuly.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
4. Porovnávání přirozených čísel

•Větší nároky klade na dítě porovnávání čísel pomocí vztahů „o několik méně“, „o několik více“.
Tyto vztahy se vyskytují ve slovních úlohách a děti mívají problémy
•s rozlišením těchto vztahů
•se správnou interpretací slovního vyjádření
•
•Někdy se používá mnemotechnická pomůcka
•„více“ – přičítáme
•„méně“ – odečítáme,
•což  může vést k chybám, neboť záleží na slovní formulaci.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
4. Porovnávání přirozených čísel

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
4. Porovnávání přirozených čísel
Obsah obrázku text, stůl Popis byl vytvořen automaticky

•Aby děti chápaly smysl a potřebu zaokrouhlování přirozených čísel, je nutná motivace:
•Některá čísla určíme přesně, např. počet dětí ve třídě.
•Některá čísla přesně určit neumíme (počet obyvatel města, státu apod.) Pro to používáme čísla
přibližná, tzv. zaokrouhlená. Zaokrouhlování čísel se řídí přesnými pravidly určenými státní
normou.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
5. Zaokrouhlování přirozených čísel

•Pravidla pro zaokrouhlování:
•Při zaokrouhlování čísel na určitý řád (např. na stovky) se všechny číslice řádu nižšího (desítky
a jednotky) nahradí nulami a číslice řádu, na který zaokrouhlujeme, se upraví podle toho, která z
číslice je zapsaná na místě řádu předcházejícího (tj. desítek).
•Pokud je to některá z číslic 0, 1, 2, 3, 4, pak číslice řádu, na který zaokrouhlujeme, se nemění
•Pokud je to některá z číslic 5, 6, 7, 8, 9, pak se číslice řádu, na který zaokrouhlujeme, zvětší o
jednu, číslice nižších řádů se nahradí nulami:
•Zaokrouhli na stovky:
•5629     5600 (zaokrouhlení dolů)
•5672     5700 (zaokrouhlení nahoru)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
5. Zaokrouhlování přirozených čísel

•Vhodné je znázornění na číselné ose, kdy ukážeme, že např. číslo 270 je výsledkem zaokrouhlení
čísel 265, 266, …, 273, 273 na desítky.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
5. Zaokrouhlování přirozených čísel

•Porucha: Dítě nepochopí význam zaokrouhleného čísla, pracuje pouze s číslicemi na zaokrouhlovaném
řádu a řádu o jednu nižším
•
•Např. číslo 4721 je třeba zaokrouhlit na stovky. Dítě zapíše:
• 4721      4701
•
•Možnost nápravy:
•Znázornění na číselné ose, zdůraznění „nejbližších desítek, stovek, tisíců apod. Používání
praktických příkladů.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
5. Zaokrouhlování přirozených čísel

•Porucha: Dítě zaokrouhluje postupně po jednotlivých řádech
•
•Chceme zaokrouhlit číslo 24469 na tisíce:
•         24469       24000
•
•Nesprávný postup spočívá v postupném zaokrouhlování:
•24469     24470,           24470      24500,     24500       25000
•Možnosti nápravy:
•Důsledné opakování pravidel zaokrouhlování, číselná osa, využití grafického znázornění – barevně
se označí příslušné cifry.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
5. Zaokrouhlování přirozených čísel

•  Pro  usnadnění sčítání a odčítání přirozených čísel je vhodné při poznávání jednotlivých čísel
děti seznamovat s rozkladem čísla na dva sčítance.
•Můžeme využít následující činnosti, které přispívají k upevnění nácviku rozkladů:
•pohybové
•výtvarné
•hudební
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
6. Rozklady čísel do deseti na dva sčítance

•  Situaci vysvětlíme na příkladu rozkladu čísla 7:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
6. Rozklady čísel do deseti na dva sčítance

•  Analogicky postupujeme tak dlouho, až se vyčerpají všechny rozklady čísla 7 na dva sčítance:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
6. Rozklady čísel do deseti na dva sčítance

•Jiná modifikace rozkladu čísla 7 na dva sčítance:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
6. Rozklady čísel do deseti na dva sčítance

•Problémy učení v matematice, které souvisí s pochopením pojmu přirozeného čísla a jeho zápisem, se
často projeví při provádění základních početních operací s přirozenými čísly.
•K tomu pak přistupují problémy související s pochopením jednotlivých operací a s pochopením a
nácvikem pamětných spojů i s písemnými algoritmy.
•Při vyvozování každé operace s přirozenými čísly je nutné, aby dítě správně pochopilo její
podstatu. Vycházíme tedy z manipulativních činností s konkrétními předměty, později pracujeme se
zástupci – reprezentanty těchto předmětů – tj. s jejich symboly a na základě těchto činností
vyvozujeme jednotlivé operační spoje a zapisujeme příslušné příklady.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
Problémy v oblasti početních operací

•  Na základě dramatizace, manipulativních činností, kreslení apod. vyvozujeme základní spoje
sčítání v oboru do pěti. Postup:
1.Konkrétní manipulativní činnost každého dítěte: Na lavici máš 2 kostky červené a 3 kostky
červené. Kolik máš dohromady kostek?
2.Znázorníme situaci pomocí symbolů. Na tabuli nebo do sešitu zakreslíme:
3.
3.
•
•
•3. Zápis příkladu:                  2 + 3 = 5
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
Sčítání přirozených čísel

•Konkrétní nebo grafické znázornění poskytujeme tak dlouho, dokud se nenaučí početní spoje bez
opory o názor. Pokud dítě některý z početních spojů zapomene, může se k názoru vždy vrátit.
•
1.fáze vyvozování: volíme příklady, kdy sčítáme prvky stejného druhu, aby i součet byl téhož druhu:
(např. 2 kostky a 3 kostky je 5 kostek)
2.fáze vyvozování: prvky volíme tak, aby součet byl nazván nadřazeným pojmem (např. 2 jablka a 3
hrušky je 5 kusů ovoce)
•Nevhodný názor:
1.
1.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
Sčítání přirozených čísel
Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky

•Měli bychom respektovat vidění dítěte, co v daném zápisu vidí:
•Např. zápis 2 + 3 = 5 interpretujeme:
•Dva plus tři rovná se pět
•Dvě a tři je pět
•Když přidám ke dvěma tři, dostanu pět
•Pět je o tři více než dvě
•Dvě je o tři méně než pět
1.
1.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
Sčítání přirozených čísel

•Při nácviku pamětného sčítání musí dítě nejprve důkladně zvládnout pamětné sčítání v oboru do 20i.
Až poté se rozšiřuje nácvik pamětného sčítání v oboru do sta. Postup výuky pamětného sčítání by měl
probíhat dle metodické řady a trpělivém pamětném nácviku.
•
•Pamětné sčítání v oboru do 20i:
a)Základní spoje do pěti
b)Základní spoje do deseti
c)Přičítání jednociferného čísla k číslu 10, např. 10 + 2,..
•
1.
1.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
Pamětné sčítání

d)Sčítání ve druhé desítce bez přechodu přes základ 10,  např. 13 + 5,…
•Ke znázornění sčítání můžeme použít mřížku:
•
•
1.
•
•e) Sčítání do dvaceti s přechodem přes základ 10,  např. 9 + 7,…
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
Pamětné sčítání
Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
I)
Pamětné sčítání
Obsah obrázku text, bílá tabule Popis byl vytvořen automaticky

Pamětné sčítání
Obsah obrázku papírnictví, psací potřeby Popis byl vytvořen automaticky


Pamětné sčítání
Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky


•
•
•
•
•
a)Sčítání násobků deseti, např. 20 + 40
•Využíváme analogie ze sčítání jednociferných čísel 2 + 4 = 6
•2 desítky a 4 desítky je 6 desítek, 20 + 40 = 60
•Znázornění a pomůcky – pomocí svazků dřívek nebo brček po deseti, čtvercové sítě, modelů peněz.
•
•
•
I)
Pamětné sčítání
Pamětné sčítání v oboru do 100
Nácvik pamětného sčítání přirozených čísel v oboru do sta je vhodné provádět v elementárních
krocích – tj. v jemné metodické řadě, ve které každý následující jev využívá dříve probraného a
procvičeného učiva
Obsah obrázku text, bílá tabule Popis byl vytvořen automaticky

•
•
•
I)
Pamětné sčítání
Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku tkanina Popis byl vytvořen
automaticky

•b) Sčítání dvojciferného čísla s jednociferným
•Spoje vyvozujeme v metodické řadě příkladů se vzrůstající obtížností. Příklady typu 20 + 5,  50 +
4,  60 + 3 apod.
•Znázornění a pomůcky – pomocí svazků dřívek nebo brček po deseti, čtvercové sítě, modelů peněz.
•
I)
Pamětné sčítání

1.Blažková, R., Matoušková, K., Vaňurová, M., Blažek, M. (2000). Poruchy učení v matematice a
možnosti jejich nápravy. Brno. Paido.
2.Kumorovitzová, M., Novák, J. (1996). Nauč mě počítat. Praha: KPP.
3.Košč, L. (1984). Poruchy matematických schopností. Hradec Králové, KPP.
4.
•
•
•
•
Literatura