Poruchy učení v matematice a možnosti jejich nápravy 3. prezentace Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. •Problémy učení v matematice, které souvisí s pochopením pojmu přirozeného čísla a jeho zápisem, se často projeví při provádění základních početních operací s přirozenými čísly. •K tomu pak přistupují problémy související s pochopením jednotlivých operací a s pochopením a nácvikem pamětných spojů i s písemnými algoritmy. •Při vyvozování každé operace s přirozenými čísly je nutné, aby dítě správně pochopilo její podstatu. Vycházíme tedy z manipulativních činností s konkrétními předměty, později pracujeme se zástupci – reprezentanty těchto předmětů – tj. s jejich symboly a na základě těchto činností vyvozujeme jednotlivé operační spoje a zapisujeme příslušné příklady. • • • • • • • • • • • • • • I) Problémy v oblasti početních operací • Na základě dramatizace, manipulativních činností, kreslení apod. vyvozujeme základní spoje sčítání v oboru do pěti. Postup: 1.Konkrétní manipulativní činnost každého dítěte: Na lavici máš 2 kostky červené a 3 kostky žluté. Kolik máš dohromady jablíček? 2.Znázorníme situaci pomocí symbolů. Na tabuli nebo do sešitu zakreslíme: 3. 3. • • •3. Zápis příkladu: 2 + 3 = 5 • • • • • • • • • • • • • I) Sčítání přirozených čísel •Konkrétní nebo grafické znázornění poskytujeme tak dlouho, dokud se nenaučí početní spoje bez opory o názor. Pokud dítě některý z početních spojů zapomene, může se k názoru vždy vrátit. • 1.fáze vyvozování: volíme příklady, kdy sčítáme prvky stejného druhu, aby i součet byl téhož druhu: (např. 2 kostky a 3 kostky je 5 kostek) 2.fáze vyvozování: prvky volíme tak, aby součet byl nazván nadřazeným pojmem (např. 2 jablka a 3 hrušky je 5 kusů ovoce) •Nevhodný názor: 1. 1. • • • • • • • • • • • • • • I) Sčítání přirozených čísel Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky •Měli bychom respektovat vidění dítěte, co v daném zápisu vidí: •Např. zápis 2 + 3 = 5 interpretujeme: •Dva plus tři rovná se pět •Dvě a tři je pět •Když přidám ke dvěma tři, dostanu pět •Pět je o tři více než dvě •Dvě je o tři méně než pět 1. 1. • • • • • • • • • • • • • • I) Sčítání přirozených čísel •Při nácviku pamětného sčítání musí dítě nejprve důkladně zvládnout pamětné sčítání v oboru do 20i. Až poté se rozšiřuje nácvik pamětného sčítání v oboru do sta. Postup výuky pamětného sčítání by měl probíhat dle metodické řady a trpělivém pamětném nácviku. • •Pamětné sčítání v oboru do 20i: a)Základní spoje do pěti b)Základní spoje do deseti c)Přičítání jednociferného čísla k číslu 10, např. 10 + 2,.. • 1. 1. • • • • • • • • • • • • • • I) Pamětné sčítání d)Sčítání ve druhé desítce bez přechodu přes základ 10, např. 13 + 5,… •Ke znázornění sčítání můžeme použít mřížku: • • 1. • •e) Sčítání do dvaceti s přechodem přes základ 10, např. 9 + 7,… • • • • • • • • • • • • • I) Pamětné sčítání Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky • • • • • • • • • • • • • I) Pamětné sčítání Obsah obrázku text, bílá tabule Popis byl vytvořen automaticky Pamětné sčítání Obsah obrázku papírnictví, psací potřeby Popis byl vytvořen automaticky Pamětné sčítání Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky • • • • • a)Sčítání násobků deseti, např. 20 + 40 •Využíváme analogie ze sčítání jednociferných čísel 2 + 4 = 6 •2 desítky a 4 desítky je 6 desítek, 20 + 40 = 60 •Znázornění a pomůcky – pomocí svazků dřívek nebo brček po deseti, čtvercové sítě, modelů peněz. • • • I) Pamětné sčítání Pamětné sčítání v oboru do 100 Nácvik pamětného sčítání přirozených čísel v oboru do sta je vhodné provádět v elementárních krocích – tj. v jemné metodické řadě, ve které každý následující jev využívá dříve probraného a procvičeného učiva Obsah obrázku text, bílá tabule Popis byl vytvořen automaticky • • • I) Pamětné sčítání Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku tkanina Popis byl vytvořen automaticky •b) Sčítání dvojciferného čísla s jednociferným •Spoje vyvozujeme v metodické řadě příkladů se vzrůstající obtížností. Příklady typu 20 + 5, 50 + 4, 60 + 3 apod. •Znázornění a pomůcky – pomocí svazků dřívek nebo brček po deseti, čtvercové sítě, modelů peněz. • I) Pamětné sčítání •c) Sčítání dvojciferných čísel •Postupujeme po malých krocích, příklady si řadíme dle následující metodické řady: 23 + 40 • 23 + 45 • 23 + 47 • 23 + 49 •Využíváme následujících pomůcek: • I) Pamětné sčítání •Dřívka nebo brčka ve svazcích po deseti • • • •Čtvercová síť Pamětné sčítání Obsah obrázku text, stůl Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text, stůl Popis byl vytvořen automaticky •Modely peněz • • • Pamětné sčítání Obsah obrázku text, stůl Popis byl vytvořen automaticky •Při vyvozování jednotlivých spojů využíváme rozkladu vždy na jednoho sčítance: •Při sčítání bez přechodu přes základ deset rozkládáme dvojciferného sčítance na desítky na jednotky • 12 + 6 = 18 • 10 2 •Při sčítání s přechodem přes základ deset rozkládáme jednoho ze sčítanců na dva sčítance tak, abychom prvního sčítance doplnili do deseti. 8 + 6 = 14 • 2 4 • • Pamětné sčítání •Při sčítání dvojciferných čísel rozkládáme jednoho ze sčítanců na desítky na jednotky • 32 + 26 = 58 • 20 6 •Nikdy nerozkládáme oba sčítance (i když se to zdá pohodlnější), neboť při odčítání s přechodem přes základ deset by návyk rozkládat oba sčítance mohl způsobit těžce napravitelné škody. •Příklad – děti chybně počítají: 61 – 23 = 42 Pamětné sčítání •Poruchy: Dítě nerozlišuje operaci sčítání a zápis čísla •Děti nejsou schopny pochopit rozdíl mezi zápisem čísla v desítkové soustavě a operací sčítání a zapisují čísla vedle sebe. •1 + 3 = 13 2 + 5 = 25 73 + 26 = 7326 •Možnosti nápravy: •„Ukaž 1, přidej 3. Ukaž, kolik máš? Ukaž 13. Je to stejně?“ • • Pamětné sčítání •Poruchy: Dítě si zafixuje některé spoje pro pamětné sčítání chybně •Zafixování špatných součtů: •8 + 8 = 18 8 + 5 = 19 6 + 7 = 14 •Možnosti nápravy: •Důsledná manipulativní činnost, znázorněné pomocí konkrétních předmětů, modely peněz. • • Pamětné sčítání •Poruchy: Dítě nerozlišuje jednotlivé řády v zápisu čísla •Sčítání desítek s jednotkami: •6 + 20 = 80 7 + 17 = 87 6 + 7 = 14 •Možnosti nápravy: •Modelování každého z čísel – sčítanců i součtu. Využívání záměny sčítanců, neboť pro některé děti je výpočet podle druhého zápisu snadnější 4 + 20 = 20 + 4) • • Pamětné sčítání •Poruchy: Dítě ní schopno zapsat výsledky příkladů zadávaných pomocí diktátu • •Možnosti nápravy: •Zadávání úloh typu: •„Zapiš číslo 7 a zpaměti řekni některý z jeho rozkladů na dva sčítance.“ •„Zapiš číslo 7 a zpaměti řekni všechny jeho rozklady na dva sčítance.“ •Hra na školu: Nejprve je dítě učitel – diktuje příklady a kontroluje, zda jsou zapsány a spočítány správně. • • • Pamětné sčítání •Algoritmus písemného sčítání vyvozujeme nejprve pro dvojciferná čísla a po jeho zvládnutí jej vyvozujeme pro víceciferná čísla. a)Písemné sčítání bez přechodu přes základ: b) b) • • • Písemné sčítání Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky •b) Písemné sčítání s přechodem přes základ: • • • • • • • a) a) • • • Písemné sčítání Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky Pokud děti naučíme přesný postup při sčítání a důsledně trváme na jeho uplatňování, usnadníme jim odčítání. Nedůslednost komplikuje další operace. •Poruchy: Nesprávný zápis sčítanců pod sebe, nepochopení principu poziční číselné soustavy • a)Nesprávný zápis sčítanců pod sebe: b) b) b)Nepochopení principu zápisu v poziční číselné soustavě c) • • • Písemné sčítání Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky Písemné sčítání •Operace sčítání a odčítání spolu úzce souvisí: •a + b = c, a = c – b, b = c – a •tj. 3 + 2 = 5, 3 = 5 – 2, 2 = 5 – 3 •Při vyvozování odčítání využíváme jeho význam vycházející z praxe: •ubírání, zmenšování, oddělování apod. •Manipulativní činnosti • • • • Odčítání přirozených čísel •Příklad: Na lavici jsou 4 kostky, ze tří postavím komín. Kolik kostek zbude? • • • • • • •Zápis 4 – 3 = 1 •Zbyde mi jedna kostky. • • • Odčítání přirozených čísel Obsah obrázku text, bílá tabule Popis byl vytvořen automaticky •Snažíme se zjistit, co dítě pod příkladem 4 – 3 = 1 vidí a jak jej interpretuje: •Čtyři minus tři rovná se jedna. •Čtyři bez tří je jedna. •Když od čtyř oddělím tři, dostanu jednu. •Čtyři mohu rozdělit na tři a jednu. •Čtyři je o tři větší než jedna. •Čtyři je o jednu víc než tři. •Čtyři je tři a jedna. • • • • Odčítání přirozených čísel •Pamětné odčítání v oboru do dvaceti a)Pamětné spoje pro odčítání do pěti b)Pamětné spoje pro odčítání do deseti •Odčítání jednociferného čísla od dvouciferného •c) Odčítání bez přechodu přes základ 10 • 16 – 4 = (10 + 6) – 4 = 10 + (6 - 4) = • = 10 + 2 = 12 a) a) • a) • • • Pamětné odčítání Obsah obrázku text, bílá tabule Popis byl vytvořen automaticky •d) Odčítání s přechodem přes základ 10 • 13 – 8 = 13 – (3 + 5) = (13 – 3) – 5 = • = 10 – 5 = 5 a) a) • a) • • • Pamětné odčítání Obsah obrázku text, bílá tabule Popis byl vytvořen automaticky •Znázornění na mřížce: • a) • • • • • Pamětné odčítání Obsah obrázku text, bílá tabule Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku text, bílá tabule Popis byl vytvořen automaticky Pamětné odčítání je náročné na paměť dítěte a na dobrou představu o čísle. Odčítání je možné vyvozovat i bez rozkladů, ale pokud je dítě schopno provádět rozklad, usnadní mu to do budoucna pamětné i písemné počítání s vícecifernými čísly. •Pamětné odčítání v oboru do sta a)Odčítání násobků čísla 10: 70 - 40 b)Odčítání jednociferného čísla od dvojciferného: •Postupně: 65 – 5, 78 – 4, 60 – 3, 65 – 7 • •c) Odčítání dvojciferných čísel: •Postupně: 67 – 40, 67 – 27, 76 – 42, 60 – 32, 56 – 28 •U c) je vhodné používat jednotný postup, a to vždy rozkládat menšitele. a) • • • Pamětné odčítání •Pamětné odčítání v oboru do sta •c) Odčítání dvojciferných čísel: •Postupně: 67 – 40, 67 – 27, 76 – 42, 60 – 32, 56 – 28 •U c) je vhodné používat jednotný postup, a to vždy rozkládat menšitele. •U některých případů by bylo možné rozložit menšence i menšitele (např. 76 – 42, kde by byl postup následující: 70 – 40 = 30, 6 – 2 = 4, 76 – 42 = 34). Tento postup by byl zdrojem chyb. a) • • • Pamětné odčítání •Porucha: Dítě odčítá čísla různých řádů, nechápe zápis čísla v poziční soustavě: •Dítě například počítá: •60 – 5 = 10 (počítá 6 – 5 = 1, ale jedna je málo, připíše nulu) •83 - 2 = 63 (počítá 8 – 2 = 6) •42 – 6 = 20 (počítá 6 – 4 = 2, ale dvě je málo, připíše nulu) •93 – 3 = 60 (počítá 9 – 3 = 6, 3 – 3 = 0). •Strategie dítěte: „odečtu to, co odečíst jde“. • • • • Pamětné odčítání •Možnosti nápravy: •Využívání modelů čísel – papírové peníze, počitadlo, stovková tabule. •Každý příklad na odčítání by měl mít jako nedílnou součást zkoušku správnosti pomocí sčítání, ne však provedenou formálně, kde se jen chyba opakuje. •U dyskalkuliků je možné použít ke kontrole kalkulačku. • • • • • Pamětné odčítání •Porucha: Dítě má problém s odčítáním dvojciferných čísel s přechodem přes základ: •Pro děti jsou velmi obtížné příklady typu 80 – 17 •K usnadnění zvládnutí těchto příkladů mohou pomoci cvičení typu: •10 – 8 20 – 8 30 – 8 40 – 8 ... • 100 – 10 90 – 10 80 – 10 70 – 10 … •Nesprávné postupy: •23 – 15 dítě počítá: 20 – 10 = 10, 5 – 3 = 2, 10 + 2 = 12 • Pamětné odčítání •Porucha: Dítě má problém s odčítáním dvojciferných čísel s přechodem přes základ: •Nejsou-li tyto postupy včas odstraněny, způsobují potíže při písemném odčítání. Dětem usnadníme tyto příklady oporou o názor a řadami pomocných cvičení: •13 – 5, 23 – 5, 33 – 5, 43 – 5, … •23 – 10, 33 – 10, 43 – 10, 53 – 10,… •83 – 10, 83 – 20, 83 – 30, 83 – 40,… • •Vhodné je použití grafického znázornění: Pamětné odčítání •Písemné odčítání je vyvozováno pro čísla dvojciferná, pro víceciferná čísla se využívá analogie. •Doporučujeme následující postup: •a) Písemné odčítání bez přechodu přes základ Písemné odčítání •b) Písemné odčítání s přechodem přes základ •Opírá se o poznatek, že rozdíl se nezmění, jestliže zvětšíme menšence i menšitele o totéž číslo, například o 10. Abychom tedy mohli odčítat, zvětšíme menšence o deset jednotek a menšitele o jednu desítku. • Písemné odčítání •Porucha: Při odčítání s přechodem si dítě zaměňuje cifry tak, aby mohlo odečíst menší číslo od většího • • Písemné odčítání •Porucha: Dítě má problémy s čísly, v jejichž zápise se vyskytují nuly • • • •Dítě počítá dočítáním, ale ve dvou případech nepřipočítává správně k menšiteli v případech přechodu. Nepostřehne (nebo mu nevadí), že rozdíl je větší než menšenec. • • Písemné odčítání •Možnosti nápravy: Trpělivé procvičování v metodických řadách od jednodušších příkladů po složitější: • • • • • • •Důsledná kontrola výpočtu pomocí sčítání, využití kalkulátorů. Písemné odčítání •Při vyvozování operace násobení vycházíme z dramatizace – ze skutečné činnosti: •Příklad: U tabule jsou tři děti. Dej každému dítěti 2 sešity (tužky, bonbony, jablka apod.). Kolik sešitů (tužek, bonbonů, jablek apod.) budeš potřebovat? •Situaci znázorníme na tabuli (v sešitě): • oo oo oo •Zapíšeme: 2 + 2 + 2 = 6 • 3 . 2 = 6 • Násobení přirozených čísel Pamětné násobení •Ke snazšímu znázornění součinů můžeme použít: •Krabičky z bonboniér (plata od vajíček) a různé drobné předměty (knoflíky, korálky, apod.), pomocí kterých si dítě může spoje pro násobení znázornit: • • Násobení přirozených čísel Pamětné násobení •Čtvercovou síť, do které mohou děti spoje pro násobení zakreslovat: • • • • • •Řady násobků přirozených čísel, které jsou zapsány na proužku papíru a mohou sloužit k vybavení a zapamatování si jednotlivých spojů: • • Násobení přirozených čísel Pamětné násobení •Stovkovou tabuli, ve které si znázorní násobky vybraných čísel: • • Násobení přirozených čísel Pamětné násobení •Pro některé děti jsou při násobení oporou součiny sobě rovných činitelů: • • • • •Ty poskytují informaci o rozložení těchto součinů v jednotlivých desítkách, umožňují nalezení násobků předcházejících i následujících • • Násobení přirozených čísel Pamětné násobení Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky •Porucha: Dítě nechápe podstatu násobení •Dítě nechápe násobení, např. místo 4 . 6 = 6 + 6 + 6 + 6 píše 4 + 4 + 4 + 4, protože je to pro něj dominantní činitel. •Možnosti nápravy: Neustále se vracet k manipulativní činnosti a znázorňování si jednotlivých spojů. Potom teprve pamětné učení. • • • Pamětné násobení •Ke správnému pochopení písemného násobení je nezbytné: a)Zvládnutí schématu zápisu písemného násobení, přesnost zápisů částečných součinů pod sebe b)Zvládnutí spojů pamětného násobení a sčítání – jistota v pamětném počítání •Algoritmus písemného násobení vyvozujeme ve velmi jemné metodické řadě: • • • • Písemné násobení Obsah obrázku stůl Popis byl vytvořen automaticky •Porucha: Dítě má problémy s čísly, ve kterých se vyskytují na některých řádech nuly • •Porucha: Dítě nezvládne zápis algoritmu písemného násobení • •Možnosti nápravy: Pěstování odhadů, určení přibližného výsledku. •Kontrola výpočtu záměnou činitelů, zejména u činitelů s nulami. •Kontrola na kalkulačce. • • • Písemné násobení 1.Blažková, R., Matoušková, K., Vaňurová, M., Blažek, M. (2000). Poruchy učení v matematice a možnosti jejich nápravy. Brno. Paido. 2.Kumorovitzová, M., Novák, J. (1996). Nauč mě počítat. Praha: KPP. 3.Košč, L. (1984). Poruchy matematických schopností. Hradec Králové, KPP. 4. • • • • Literatura