Kapitola XI.
c v i C e n í v derivování
§ 27.DERIVACE   ZÁKLADNÍCH   ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ. Derivace mocniny.
„ ,        „t      (postupně se dokazuje platnost pro každé   n '.
x   ,   y = n.xT     i    přirozené,celé,racionálni a reálné .) :
y = ax11,   y'= a.nxn-J
y = ax ,   y = a
y = a   ,   y   = 0
:( 9i)
210. cvičeni. Derivujte funkce :
a) y= x7 , b) y = 5x\ c) y = |x6, d) y = i^x, e) y = x-3, f) y = 3x~5,g)y=^x-J*I
2 2 2 -1 -Ž
= 3T, k) y = |x^, m) y = ax5, n) y = x ^,o) y = <[x ', y = x1'7,p) y =x~5»J
v?
h) y
k) y
37 5
r) y = ^x0'8*, s) y . x*   t) y = axe , y = xloS 2     u)     „ 4.x* yd^-Dx^*1
1 .1
Výsledky : a)7x6, b) 20x3, c) 8x5, d)íj , e)-3x"^, f)-15x~6, g)-x~5, h) |x",k)x 5
-DÄ.x^.n) - o)- g.V* , l,7x°.7, p) -5.3X-6.3, r) 2,4x-°.1?s)^x^,
t) aex^1,    logS.x1^2"1 , u)Tx~~^" ,   v) x^ .
V dalších případech před derivováním převedeme funkční předpis na mocninu proměnné x :
».x-n
m
X*  = X3
hx°
211.cvičeni, a) y = |, b) y = —c) y =- i , d) y =- e) y = \£ ,f)y=
s) y = ý= . h) y = - T^r-, k) y - tt*3^. m)y=i2v£.Í/x5.^f n) y= Vxlpr .
Výsledky « a)-3x~2, b)- -i* , c) 4 • d) e) -i- , f) g.!^, g) - ,
8x5 3x*       2/5E 01
, k) 2x2fc , m) 23
h)
Derivace součtu funkcí.
j   ^ff(x) + g(x) + h(x) + ....._7   =   f'(x) + g'(x) + h'(x) +.
J «
:   Pro k stejných funkci:^~k.f(x)_7   =   k.f'(x)
( 92)
212.cvičení. Derivujte funkce :
a) y = 5x4- 4X3* 8x2- 7x - 6 ,   b) y = 3 - x4, c) y = 2X5- -S- + 3- 4^ + -4-,
í      2 3X 2Vx
ľ d) y = Vx.Cx3- £ ♦ 1 ) ,    e) y = ^       + 2
3x';
Výsledky í a)20x5- 12x2+ 16x - 7, b)-^, c) 6x2+ -ij - -fp--ijj- ,
3Vx 8xV£
V případech d),e) minulého cvičení provedeme nejprve naznačené početní výkony (násobení,dělení) a pak teprve derivujeme součet mocnin.
Derivace součinu funkci.
...................••••••••••••••••••
'.     y = u(x).v(x) Stručně i   y = u.v i
!     y'= u'(i).v(x) + v'(x).u(x) y'« u'.v ♦ v'.u !( 93)
: y = u.v.w        y' = u'.vw + v'.uw + w'.uv :
/73/.přiklad.
a) y = (x2- 3x + 3).(x2 + 2x - 1)
y'= (2x-3).(x2+2x-l) + (2x+2 ). (x2-3x+3) = ........ = 4x5- 3x2- 8x + 9 ;
b) y = (x2+ D.C1- x3).(x-2- 1)
y^/ix.d-x3) + (-3x2).(x2+l2Z(x"2-l) + (•^x_3).(x2+l).(l-x5)..........=
= 5x4 - 2x - 1 - 2x~3 213.cvičeni. Derivujte funkce :
a) y = ( Vx" + 1 ).< -Šr - 1 )    ,     C J \
Vx d-xXx
b) y = ( 1 + nx1" ).( 1 + mx11 ) ,     /frnn.^-1 + x"-1 + (m+n)xm+n-1}   J . |   DESÍTKA   ÚLOH   čís. 29 j      Derivujte funkce :
5) y = VxVTyŤ   -   ^l^ľx ,          Z"   7%7-l       7 ;
,)y .n,(,E-S*V3š> „ r^(^.\ + 13#j 7
5) y =    ( x^ + 2.^ - 2x )  : 3^? '        +)                     _ ^
6) y „     5xVx - ?S ♦ 2x-2 6)   ^ -?x» * 6x^ - 161E      7 .
7) y =    » -        ♦ 2x2Vx      f ?)   /-   - 4 - 24X3 , 15x2l^   _7 .
2Vx 6xVx
Q,              ^x-1 - 2x + 2xV? /-   -63^x" -t- 18x2jfc - lOx3 ;
2 x
9) y  =  ( 4* - V; )•( *xfc  ♦ 5Z ) , r  i( m _  5    + VL _ ^^7)_7
* Vx       X/X"' xVx
10) y   =   ( Vx + 2x ).( 1 + Vx2 + 3x ) , l+^x+gyx? +ioxfe +*>6Jféj ,
V5 + 4xVx 5^
x2-12
♦) Výsledek úlohy 5) » —
18x2
w
- 100 -
j    7 - -f" ,      y'= -    - Stručně  : y . 1 , y'=- % i
:        v(x) i v(x) 7^ v :
:     -<r  -    U^X) -o-'-  u'(x).v(x)  - v'(x).u(x) U '     u'.V  - v'.U Í
:        v(x) ^v(x) ľ2 v v2 :
• *
214.cvičeni. Derivujte funkce .
= ■> ^      2x        vi „     1 + x - x2      „i _     ax + b     ,1 - y? a) y = -n- ,   b) y = -? ,    c) y = - , d)   y = , ,
1-x 1-x+x^ cx + d 1+x-^
•) y = 7P- . f) y = , «) y - -r?—r-• M y - 7——^—tt~ •
Vx+1 x-fe x~ 5x+ 6 (l-x^).(l- 2X3)
... lai,_ . _\ 2(l+x2)   v\     2(l-2x)     „n ad-bc      ->     -6X2       % 1 výsledky : a; ,    3'J>> °> ->   m m , c; -7, d)       » ■? ,e)-- ,
(1-x2)2        (l-x+x2)2 (cx+d)2        (l+x5)2        2VÍ(Vx +1)*
f)   ^ »* .      , g)      ?-2x  ,   , h)        6x(l + ?x -^) (
~—-rr-j t 8-» -■-£   »    v -2
5V?.(x- /x) (x?-3x+6) (1-x2). (1-2JC3)
: y * C      -711 .    y' = n-f f<x) _7a"1.f'(x) i
:      Platnost pro   n    přirozené     plyne z derivace součinu.       :( 95)
Platnost pro   n     celé     záporné   plyne z derivace podílu.: :      Platnost pro   n     reálné     se ověří derivací složené funkce. '.
Poznámka.Mocnina funkce patří k tzv. složeným funkcím,jichž derivace budeme určovat později podle zvláštního pravidla.Poněvadž se však s takovou funkci setkáme velmi často,je třeba její derivaci si osvojit brzy a provádět ji s jistotou. /7V.příklad :
a) y = (3x2- 5x +2)5 , y'= 5.(3x2-5x+2)\ (3x2-5x+2)'= 5.(3x2-5x+2f.(6x-5) ;
b) y = (x3 - 2x+l)~3 , y'=-3.(x?- 2x+l)~\(x3-2x+l)'=-3.(x5-2x+l)"\(3x2-2) ;
c) y =
12x
d) y = ( x11- 1) * ,      y'=- fix*- 1) \í^-D'= -j^"1 _
3.7(x^
V dalších případech převedeme funkční předpis na mocninu funkce i
e> y = ik=?   čili   y = (3x-2)-1,   y'= -l.(3x-2)-2.(3x-2)'=--2—_
íx (3x-2)2
g) y = ^x2- 2x + 6 čili   y = (x^x+S)5"    ,     y' = -, 2(*-l)
5f2 .   v'=-2íl
3.5r(xíi-2x+6)^" '
h) y - '„J—    žili   y = (l-x?) c , y
Některé   z uvedených   příkladů možno také derivovat jako podíl funkci .
- 101 -
t
215.cvičeni. Derivujte funkce :
a) y = (5x2- 2)!°b) y= (Tx2- | +6)6, c) y =      2-        , d)y= _1 e)y=l^;,
f)y=l^-3x+l, g)y=Ot h)y=- ^(S-Jx)11, k)y = j^g"   B) y . yLi_^ ,
x2"+
Výsledky * a)100x(5x2-2)9, b) 6(7x2- | +6)5. iit^, c)_    2(2x-5) (J)_:8x
(x'-5x+7)í:' (x*+1)5
f)   ..f'*   , g)     i"2*        , h) ^x7 , k) & ,
2V3X-5    2^?-3x+i     iva^řr ^
m>     f" 2X        . ") -    2^*»x7      j 2x2+l     }     3-x >     x(x2+ 2a2)
i------------------1
|^ DESÍTKA   ÚLOH   čis. JO Derivujte funkce i
fac6- 8)2
3)y = x. yni,       ^4^4.^ ,
Vl +x2 2(l-x).(l+ar) ÍHr
4. VT7W
5) y . Již- . ^(5x+i)2 - , r-^=í=^    -7 I
5 ífexTl
(1-x)p ^    -(Í-x)P-1./ P+0 ♦  (P-q)x J 7
í^l_ ' (l+x)«+1 V4x^+ 2     ^ 4.(31x^ * 18)„ _7
6) y
7) 7
?   3x 27x5. ^Ôľx5+2)
-^(2-x2)2 6-x2
3"
„s x /-        1 - x » 4x 7
9) 7 = ci-.)*.(i«>*    ' '     (i^)3.(i„)*    7 '
10) y = _, 1—_,    •       C ~ .. 1 ,. .     -7 s
Der^vace_goniome^ric^ch_funkcí.
«......................................................................!
•     y   =   sin x y   =   cos x y   =   tg x y   =   cotg x :
i < '      i •        i     i ( 96)
y   =   cos x        y   = -sin x y   = -2~       y   =--~7~   ■ •
: cos x sin x :
216.cvi5eni.   Derivujte funkce «
a) y = 5x2- sln x , b) y = sin x   -   cos x , c) y= tg x - cotg x, d)y=sinx.coex
- 102 -
e) y = x^cotg x , f) y = -^§^ , g) y =   *'sia x   , h) y = sln x " x'cos x ,
l-sin x 1+ tg x oos x + x.sln x
Výsledky » a) 10x-cos x, b) coax+sinx, c)---? ,d) cos2x, e)X(sin2x:o)
(sinx.cosx) sin x
1 j cos2x(l+tgx)(Binx+x.cosx)-x.sinx      ^) _xf;_
1-sin x ' cos x.(l+tgx) '       (cos x + x.sin x)2
MS£5iS2_S2Bi222££i£fet£fe_lH2Í£Í derivujeme podle pravidla o derivaci mocniny funkce.Doporučuje se před derivaci zapsat mocninu goniometrické funkce podle vzoru :
y = sin1^   čili   y = (sin x)n   ,     y' =   n. (sin x)n_1.(sin x)'=.......
Později si můžeme tento zápis jen představovat.
217.cvičení. Derivujte funkce :
a) y = cos~^x , b) y = tg^x , c) y = sin^x + cos^x , d) y = tg^x - 3 tg x + 3x,
„    cos^x     cos^x     fl _      .„ _    2siii?x . sin^x     _v_    1 5_
e) y = —3---3— , f) y = srn x--j— + —5— , g)y= h)y= (
k) y = —ir-, m) y = Vsin x , n) y = ^cos2x, o)y= ~ , p) y = Vl + 2tg x ,
008 x_ _ Vtg^
q) y =   4. ýcotg2x +   V'cotg8* , r) y =     ^   + ,s)y= JÚ** _ _lsinx,
1+cotg x     1+tg x 4cos x     8cos x
t) y = (1+ sin2x)^ , u) y = Vl+ cos2x , v) y = —1       -. w)y= cosx.^l+sin2x.
Vl+sin^x
Výsledky : a) 5cos~6x.sin x, b) ?tg6x.—^5- , c)^sin2x(sinx-cosx), d) ítg^x ,
cos x
=-ít,3„                 „.„5„     _\     dos x         5sinx    t\ 4-sin x    _\     cos x e; sxn x.cos x, f) cos-^x , s)--, a) *—5— , k.) —   g   , m; -_ ,
sin x cos x cos^x
2 Vsin x
3 ycosx cos x.ytg^x cos x. yi+2tg x 3sinlx. ycotg x
n) -   2gtox   . 0) -p) -1 q)---Ji
„"»—10.—e.— si - S'inPx
r) -cos2x , s) 3cos x-12cos x+8it t) *(1+sia2x)3,Bln2X f u)
v)-- sin2x , w) - 2sin5x
2. V(l+sin2x)5 Vl+sin^x
8cos * *.ý(l*coŕx)í
y   = a
£ , a> 0   ,   y' =   ax.ln a   ;      y   =   ex   ,   y' =   ex   :( 97)
218.cvičeni.   Derivujte funkce t
a) y = 3X, b) y = ícř, c) y = (VF ) . d) y = ex.cos x , e) y = x.ex(cosx+sinx),
*\        l+ex     „s _    1-10X    ui _      1      t\ _      x      _v_   x^+2x   _v_ ex f) y = -r 1 g; y = -= , n; y = -=r~ » k; y = —- , m;y= -—, n;y= - ,
l-ex l+icŕ
o) y = YZŠ , p)   y = -, 5 ,   q)   y = >
2. ýíx-e1)* '1 + e
ex
Výsledky t a) 3X.ln3, b) lC^.lnlO , c) (V3 ) .InVi , d) ex(cos x - sin x ) ,
2ex j _ 2.10x.ln
(l-e1)* '       " (Í+IO1)
- 103 -
e) ex(cosx+sinx+2x.cosx), f) -^-5 , g) - žaiísi^S, n) _ ±2§, k) i^isä
0 2-2x+3x2-x? ( f) e^Csinx-cosx) >o)      e*     ? p)    i'r 1    fl) -z_eX
m-' —a—- » I-' —"-5- t"' -.. » » -
Derivace logaritmických funkci.
y   =   logax ,   y' =   i.logae   -   i. jjj |     y = ln x   ,   y'= i   j ( 98 )
219. cvičeni.   Derivujte funkce t
a) y = x^.logjX , b) y = x.log x , c) y = x.lnx - x , d) y = x.sin x.In x ,
e) y = iSS, f) y - -ä- ,g) y = i=ä2S., n)y= ln6x, k) y Jínx, m)y= 1^1+ ln2x , x lnx 1+lnx
Výsledky i a) 2xlog^x + xlog^e, b) logx + ^jq- , c) ln x , d)sinx.lnx +sinx +
♦ x.cosx.lnx , e) ^'l^ , f) -    1 a   ■ g)      ~ 2    -j. , h) |.ln5x ,
x11*-1 x.ln^x x(l+ lnx r x
* \      1_ »      ln x_
k) -r—r ,   m) - •
3x yjjTx x. yi+ incx
"vír? ' '
: i i     :< 99 )
:   y   =   arctg x   ,   y   = -?      ;     y   =   arccotg x, y =--^ :
1 + xr 1 +x :
220. cvičeni.   Derivujte funkce :
a) y - x.arcsin x, b) y = "°C0B *, c) y =      arctg x , d) y =   "°8ln* ,
: .. *       i 'i
!   y   =   arcsin x ,   y   = ——^——   ;     y   =   arccos x , y =--
1 - x"
e) y = (arcsin x)2 , f) y =   (arffi , g) y = V 1 - (arccos x)2 .
Výsledky « a) arcsin* ♦ , b)- *+arooosx.lCT    o) arc^x + Ji_ (
VI^?              x2. VI^?                   z\k        1+ x2 d^ Vl-x2 + x.arcsin x     ej 2arcsinx   f^ arctgx     j _arccos x_
V^tw i«2     v^?. vír (arccos x;
,-----------—----------j
!  DESÍ2KA   uXOH   čis.   31  i      Derivujte funkce J I______________________i
t \ _    arccotR x /-_   x2* 2x(l-t-x2) .arccotg x      7 .
1) y = -—   , Ĺ--4,,   2v •
x* x (1+x )
2) y    e1.arccos x £■ eX( arccosx _      1      _ arccosx 7. x X x.""
c.yi^ x2
3) y =    g 1 .arctg x   -  f   ,        C x.arctg x   J .
4) y = x. Vl-x2   +   arcsin x   ,      ^"2. Vl-x2     _7 i
5) y = x - O.arcsin x   , f x'^°^ *   -7 ;
1 + x.arctK x '1-3ŕ /- arctp; x       -, .
- 104 -
7) y = x.(arcsin x)2 - 2x + 2. .arcsin x ,     £~ (arcsin x)     _7 ;
8) y = l/l ~ arcsin x ^ 1-.y ,
1 + arcsin x /^./íarcsinx)2 - 1 J
9) y = x + l^.arccos x   , <f- x'arccos x      7 ;
10) y = 3X3 •arcsin x   + <xV2). O,   T9X2 .arcsin x    7 . § 28♦DERIVACE   SLOŽENÍCH FUNKCÍ.
Složenou funkci nahrazujeme řetězcem funkci,jež jsou jejimi slojíkami t
y = P^~f(x)_7   lze zapsat   y_=_F£z2 , £_=_££í2
y = p[f^jp(x)_7) y = P(z) ,     z = tffix)J
z = f(u)   ,        u = y>(x) Důležité je vystihnout první,tzv. vnějši složku   a pořadi vnitřních složek.Např.i
y = sin 2x        lze zapsat   y = sin z ,   z = 2x ;
2 2
y = sin x lze zapsat   y = z        ,   z = sin x
2 2
y = sin 2x lze zapsat   y = z        ,   z = sin 2x
z = sin u   ,      u = 2x
j      y = F(ff(x)_7    čili     y = P(z)    ,     z = f(x) |
! y'= P'(z) . f'(x) j (100)
! StručnějDerivace složené funkce se rovná součinu derivaci složek. :
• *
y = sin 2x   ;     y'= (sin z)'. (2x)'= cos z . 2 = 2.cos 2x
y = sin2x     ;     y'= (z2)'.(sin x)' = 2z . cos x = 2.sin x.cos x = sin 2x
y = sin22x   ;     y'= (z2)'.(sin u)'.(2x)'= 2z.cos u. 2 = 4.sin 2x .cos2x
= 2.sin 4-x
Při procvičováni derivace složené funkce se doporučuje provést v několika prvních případech nejprve jeji rozklad na složky,derivace složek znásobit a zavést zpět původni proměnnou x.Postupně je třeba se osvobozovat od zaváděni nových proměnných a derivovat složenou funkci přimo.Za tim účelem budeme procvičovat derivaci složené funkce postupně na jednotlivých typech : derivace mocniny funkce,derivace složené funkce goniometrické atd.
Dejrivace_mocniny_funkce   byla již určována podle pravidla I
y = ftMj*    ,     y' =   n.ftWj*-1^ '(x)
Ověřte si jeho správnost a platnost pro každé n užitim pravidla (100).Připomeňte si cvičeni i 215,217,218opq,219hkm a 220defg.
Znovu se zdůrazňuje úprava zápisu funkce před derivováním v některých případech, jako :        y = cos11!    čili     y = (cos x)n     ;     y =.tg°x      čili    y = (tg x)n ;
y = arcsin11* y = (arcsin x)n;     y = log11* y = (log x)n .
- 105 -
Derivace složggých_fiinkci goniometrických.
(101)
j y = sin f(x) y = cos f(x) y - tg f(x) y =cotg f(x) j
Í y'= cos f(x).f'(x); y'=-sin f(x).f'(x); y'=-i--f'(x)s y'= _=_i-f'(x)!
j cos2f(x) sin^fíx) :
y = sin(ax+b) ,   y'= cos(sx+b).(ax+b)'= a.cos(ax+b) 221.cvičeni.   Derivujte funkce i
a) y = sin5xf b) y = cos| , c) y = tg(3x2-x), d) y = sinl£, e) y = cos^? ,
f) y = sini i g) y = cos , h) y = sin2x ,k) y = sin ľl^,m)y=cotgfe?,
* 1-x
n) y = sin(sin x) , o) y = tg(sin x) ,p) y = cotg(ln x), q) y =cos(arccos x)
Výsledky»a) 5oos5x, b)- isiní, c)-p=k>-, d) ££ä!S ,e)- 2>si?jx? ,
cos (53T-x) 2Vx 3.yx
f)- -i.cosi ,g) —.sin -i-,- , h) 2x.ln2.cos 2X, k)     x      .cosľl+x5 , x ^ £77
m)   f 2x    ■        ,n)cosx.cos(sin x) , o) -S03 x-      p) -^-i- ,
3yaT?7.sin2^? cos*(sin x) x.sinflnx)
j sin(arccos x)
K?
222.cvičeni.
a) y = sin54x ,b) y = cos3(ž), c)y = -4—, d) y =     K x,e)y^tgl, f)y~-i
3 tg^x sin? ž 8 U-7
5 x VsinVx
Výsledky: a) 20sinVx.cos4x, b)-cos2(5).sin| ,c) -" 4 »—, d) —° f2* - ,
e)     ľ-i-     a x ,   f)        -cosVi ?        tg2x.sin22x       2sin* f
..Viif-.cos   | '
I y = af(x)   ,   y'= af<x>.ln a.f'(x)   , y = ef(x) , y'=ef(x>.f'(x)i(102)
223.cvičeni.   Derivujte funkce t
mx+n   v\ _   cX^-Sx+l   „\ _    3x   .\_   „-x     v        x2    -\ _ Vx a) y = a      , b) y= 5 > c; y= e-' , d;y= e   , ej y= e   , f; y = e ,
x , g) y = e1* *   b) y= esin x, k) y= 2^ , m) y= e*155, n) y^*155, o)y=asin'x,
p) y = ló1'***, q) y= e-^.ln x , r) y= x.e1-00^ ,s) y= sin( e^+3x^ ) .
Výsledky» a) a^^.lna.m ,b) 2(x-l)ln5.5x2"2x+1, c) 3e5x, d)-e~x, e) 2x.ex2 ,
f) e^^L. , g) e^.i , b) esinx.cosx , k) y.ln2.±2ž=^., ffi) y._l
2Vx ' " "      x •   - ln^x '   " " 2VT+5 '
n) y.--- , o) y.lna.3sin2x.cosx , p) y.lnlO.(tgx + —x*j-),qje   .(5 -2xlnx)
2x.VTňx cos x
r) e1-00".^ x.sinx) , s) (2x+3).ex2+5x-2.cos( e3?*^ ) . Na složené exponenciální funkce o zakladu e převádíme funkce exponenciální, jicnž základem je nějaká funkce proměnné x (nebo jen proměnná x).Přitom užíváme rovnosti pro a > 0 a   = a
- 106 -
í
Například y = r*    zapíšeme    y = eln y   =   e1* ^    ,pro   x ;> O
y'= =   ex,lax.(lnx + 1)= xx(lnx+l)
224.cvičení.   Podle uvedeného vzoru derivujte funkce i
a) y = x8in x , ^"y.ícosx.lnx + &*)Jt b)   y = x*« x -^£- + 7 .
cos x x
Poznámka. S derivaci furkcí exponenciálních tvaru
y . /><x)_7v<x)   t stručaě      y - u- f
se setkáme u derivační metody zv. logaritmická derivace , která je výhodnější, jde-li o složitější funkční zápis.
|  DESÍTKA   ÚLOH   čís.   32    |       Derivujte funkce » i------------------------1
1) y . cos2_l^   , y' =        1   _ » .sin(2.i^g ) ,
1+Vx Vx.d+Vxr 1+Vx
2) y=(tgi=2i)     , y' =^e     .( 8ini=^ ) ,
l+ex d+exr l+ex
xi ~     -í.2 1-ln x '     lnx - 2   _4_/0 1-ln x s
?; y = sxn  —-- , y   =--—. sinC2.—--       ) ;
x
*) y .   1/bin3 , y'  = -2-ě
Vx „„„ Vx sin- .cos -
1+Vx 1+Vx
5) y
\^cos2(x.lnx), y' =- |(l+lnx). Vtg(x.lnx).sin2(x.lnx) ;
6) y = e'A+x   , y' = - y.
7) y = I01-3in43x .
(1+x). VÍT?
y' = - 12y.lnl0.sin53x.cos3x
8) y = J^.e^-arctgx + £lnx +1      - = y> ( 2x _ _1 >
vx 1+ 7L
2 2
9) y = 2sin x,cos x   , y' = 2y.ln2.sinx(cosx.cos x2-x.sinx.sin x2);
1
10) y
Vl ♦ • 4..V5.£.V<1 + e"^ >'
Derivace eložených funkci logaritmických.
j   y = logaf(x)    ,   y'= j^y.ííx).^   ;      y = ln f(x)   , y'=j^f'(x)jd03)
225.cvičení.     Derivujte funkce :
a) y = ln(3-5x) ,b) y = ln(3x2-2x+5) ,c) y = ln sinx ,d) y= ln cosx, e)y=ln tgx, f) y = log^l-x2) , g) y = ln(x+ V?ľ~? ) , h) y = ln tg(| + £" ) .
a) 3=^, b) <=> cotg x, d)-tg x, e) -J^j, f) g ,
S)     í     ■    , n) -i- .
Jestliže u složené funkce logaritmické je vnitřní složka vyjádřena výrazem, který se dá logaritmovat,je výhodné nejprve naznačený logaritmus složky f(x) provést a pak teprve derivovat.
- 107 -
/75/.přiklad : y = ln |^ = £.ln £j| = ^lnd-x) - ln(l+x)_7 >   1 /-   -1 1      7 -1
y ■ z*t -i=ž---r«- -7 ■ tt^z
Provádime-li derivaci takové funkce přímo,pak v případě,že vnitřní složka je zlomkem,tj. f(x) = y^*] , píšeme při derivování hned místo j^jj zlomek
nebo je-li   f (x) =|/ y[x j» píšeme při derivování hned místo výraz V^u(xj
U přímé derivace se setkáváme se složitějšími zápisy.Tak v uvedeném příkladě 775/ by bylo,,    \T£ ,1/1^ / 1 l/l^" , 1-x / 1
226.cvičeni.   Derivujte funkci : ^
a) y = ln £s£ň , b) y = ln ,°y = ln 1=-SÍ , y = ln(x.sin x. 1^1- x2 )
x-3 2- x* ex
Výsledky:a) -—-, b)   h 2x,    , c) -^i— , d) i--2L_ + cotg x .
- (x-2).(x-3)        x4-5xz+6        ex- 1
|  DESÍTKA   ÚLOH   čís. 33   j      Derivujte funkce s 1)y = ln2L+JS_   , y'--
x.l^?.(x + V7^ )
2) y = m-1 , y'= -
V?! i
e*+ h~7č*
3) y = ln( ex +  ľ 1 + e" ) ,
4) y = -i- .ln( VZ.tgx +   Vl + 2tg2x ) ,y'= ——í
* x.
« ^ « * vh^nf     x 7'=-ČÔFx I
7) y = 9^»Č+*™)lt y'=y. -häAJL
sin x 2
Sías^+bx+c). Vlníax^+bx+c)
f/-xTi <        cotg ^
8) y = Vln sin ^     , y =-3
12.v/ln2sin 2jt2.
9) y = ln *X+2 ♦ Ve2^4e^íl_ y*. _
e*+2 -  Ve2*+ 4e*+ 1 ^
46*+ 1
1V2^^ y'—1
II - VT=x
2x.Kl- x
Při derivaci součtu dvou složených funkci různého typu můžeme derivovat zvlášt jednotlivé funkce,k čemuž se doporučuje zavést za tyto funkce nové označení.
/76/Kapř. u funkce,_ 2 ,_
y = - V1+? )   + 3.1n(l+ yi+x2 )     zavedeme^ ž
)      a derivujeme
- 108 -
+ ĎXVI+X2
*   - 6x + 6xKl+x^ ' _ _6x
U  — 5 ■ v —
»       ♦       ' 2x y   =   u+ v,       y   = u   + v   = - I
1 +   /1+ x2
I------------------------1
!  DESÍTKA   ÚLOH   čís.   34    |        Derivujte funkce t i____________________J
1) y = 2. VxTI   ♦   in ^ -x2.yi^       , y'= E- ,
2) y = ^4x+x2   - 2.1n(x+2 + l^x+x2 ) , y'=   l^x + x2 ;
xi , Vl^ 1       Vl+x2 -i- 1 '_ 1
3) 7 =--~2~   ♦   2' - > 7 -
5) y
2^ x5.yi^
4) y = ln(l + Vl+x2 )   + -1 ,  . j'= —-X
1 + Vl+x* TT* 2   + 2K1+X
= |. y^(3x+l)2   +  ^3x+l   +   ln( ^3x+l   - 1) , y'=   -     1- i
/Íx+1 - 1
6) y = 2»5. Vx2* 2x +2     - £.ln(x+l ♦ l^tóxtó ) , y'=        ^ 4x ;
Vx+2x+2
8) y = (x-2).C?   -   in ^   -1     , y'= 5
l+e*   +1 2. Vl+ex
„. x . V-i   .2 „'      arc sin x
9) y = .arcsxn x     +   ln fl-xr   , y = - -
V£7 (1-x2).^
10) y---£S2X      t     m I/ 1 * cos *     , y'=
2sin x "     sin x
cos x sirr x
. .
Í y = arcsin f (x) , y'= 1      —.f'(x);   y= arctg f(x)   , y'= -i-f'(x)l
j                                      Vl - tfíxľŕ l+^íxiľ2 j
! y = arccos f(x) , y'= -—-.f'(x);   y =arccotg f(x), y'= -—-f'(x)i
Í                                      Vl - {fixXr l+^íxi?2
/77/.přiklad.
x+2     _* 1 /x+2x' _J._ 1
y = arcsin —r~ , y = — -. {—r-J = — t—, t = ————————
22?.cvičeni.     Derivujte funkce t
i.arctg Sg^i '= -5—±
v^ • 7 x -21 +5
a) y = arcsin í^—   ^ y'« ;        b) y = j.arctg (   y'= —■-- ;
c) y = arccos 2x~1 , y'=        "*^2* —-;   d) y = arccos i   ,        y'= -—
V* Vl* 2x- 2x* 1 |x|.V?CI
- 109 -
e) y = arccos —-rž   , y' xVŽ
a
g) y = arcsin 1- », , y'
z. V í2+4-1-4 1+
f) y = arctg y'= —i-- ;
A x   '        1+ -ŕ
^---~° 1^' 7 = TT?^ '
k) y = arc a in ex , y'=
n) y = arcsin l^l-x2 , y'= ■■ -1 ■ ;
1£?
g
m) y = 2.arcsin Vx ,   y'=     1 ■
l^x- x* 1
o) y = arctg
y =
1+
i DESÍTKA ÚLOH fiis. 35 I Derivujte funkce l______________________l
1) y = 2.arcsin        -    V2X-x2 ,
^yí^I?   ♦   ^.arcsin ^ ,
2) y =
3) y . ^.In
jŕ+2x+4
4) y = a.ln
16 x^-2x+2
j.arctg -25y
5) y = ^í2. /
6) y = ^.ln(x2+x+l)
g*-, arcsin 1
a
2x1-1
.arctg V3 \5
7) y = ^.^x.Va2- x2   +   a2.arcsin | _7
8) y = x.arcsin V-^r   +   arctg Vx    - ^Jx
9) y
=  l^ax-x2    -    a.arctg ,
+   2.arctg |(^=§~ ,
y y
y y
ě
y
0
y
y y y y
V5+ 4x- x2
i
777 i
x4+ 4
2ax- x j
x^* x + 1 = arcsin'
VlTx + VJ^x
Derivace funkci Jrfljertolických. Pro hyperbolické funkce sinh x
/a-x
1 l/Iľx" x* FT+x
e*~ e"X   cosh x   = e%+ e~X,
tgh x   = eX" e"X , cotgh x = eJ+ e~*
•»■       —t   * x —x
se odvozuje »
y y
= sinh x ,	9 y =	cosh x ;	y =
= cosh x ,	0 y =	sinh x ;	y =
= tgh x ,	y =	1 —2 ' ' cosh x	y =
= cotgh x ,	# y =	-1 ----9 • sinli x	y =
sinh f(x)
y = cotgh f(x)
ex+ e~x
t     y = cosh f(x).f'(x)
»     y'= sinh f(x).f'(x)
é
• y
:(io5>
—Vr^'w
cosirf(x) y'=   ~\ , ,.f'(x)
sinli f(x)
K zjednodušeni funkci,které obdržite derivovánim,užijte vztahů mezi hyperbolickými funkcemi,z nichž nejzákladnějěi jsou i
2 2 cosh x - sinh x = 1
tgh x =
sinh x
cosh x - 110 -
cotgh x =
cosh x sinh x
2 2
cosh 2x = cosh x   +   sinh x     ;       siah 2x   =   2.sinh x.cosh x
Z každého racionálního vztahu mezi funkcemi goniometrickými lze získat odpovídající vztah mezi funkcemi hyperbolickými tak,že
symbol   sin      nahradíme symbolem      i.sinh
symbol   cos      nahradíme symbolem cosh
symbol   tg        nahradíme symbolem      i.tgh = - 1
symbol   cotg    nahradíme symbolem -i.cotgh Přesvědčte se o tom u uvedených pěti vztahů mezi hyperbolickými funkcemi.
228.cvičeni.     Derivujte funkce :
a) y = cosh(sinh x) , b) y =   tghíl-x2) , c) y = tgh(ln x) , d) y = sinh3x ,
e) y = sinh2x + cosh2x , f) y = |/coshx , g) y = In coshx ,h) y=arctg(sinh x).
— 2x 1
Výsledky : a)sinh(sinh x).cosh x , b) -t-5~" « c^-- »
cosh (1-^) x.cosh (lnx)
d) 3sinh2x.cosh x , e) 2sinh 2x , f)   slnh x , g) tgh x , h)
2rcoshx
1
cosh x
1^ DESÍTKA   ÚLOH   čís.   36   j        Derivujte funkce t
1) y = 003n *   - m cotghf ,C J i        2) y = ln cosh x   +    1   g ,<ftgh5x7
sinh x sinlrx 2cosh x
3) y = j.tgh |   - g.tgh3 f ,/~-i-Tp^ 7;       *) y = arcsin(tgh x) , f—- _7;
4cosh   j cosh x
5) y = arccos( ) ,     C^é^í -7 '        6) 7 = arctg(tgh x) , Cčäé^x J
7) y =   Vl + sinh24x   ,        <f4sinh 4x_7; 8) y = ^(l+tg^x)3,/--x 7
2cosh2x.Vl+tghi:x
9) y = ecosh2x   ,        ^^.sinbžx 7; 10) y= itghx + Sin VŽ-*frj + * ,
d a      1 - vt.tgh x
1-sinli x
Logaritmická___d_e_r__i_y_a_c_e.
Funkce vyjádřené výrazem,který se dá logaritmovat,můžeme derivovat metodou tzv. logaritmické derivace.Podstatu této metody tvoři derivace složené logaritmické
funkce i ^fln f(x) J' = ^J.t'(x)   = £^3p
Při označeni   y = f (x)        ^~lix y J*      =   - • y*        = Š
Kromě funkcí,jež jsou součinem a podílem mocnin funkcí,derivujeme metodou logaritmické derivace funkce   tvaru „/„\
y   = ^u(x)_7vU;   , stručně     y   =   uv .
Postup ukážeme na dvou příkladech t ^ /78/.příklad : y = W1)3.^
1. krok : funkční rovnici logaritmujeme (přirozeným logaritmem )
ln y = 3.1n(x+l) + |.ln(x-2) _ |.in(x-3)
2. krok t derivujeme obě strany vzniklé rovnosti funkcí
- 111 -
y'  _J5        1 2 y - 5+1 + 5Ti=27 ~ 3Tx^7
3.krok : pravou stranu upravíme
t' - 302x + 361
y = 20lx+l)(x-2)Cx-3)
4.krok t rovnost násobíme číslem y,za něž na pravé straně dosadíme danou funkci;
«. v.s^ní 57x2 - 302x + 361 (x+l^.j^x-a
po kráceni y = '' £0U-i]Tx-3)      '     5 9
229»cvičení.     Užitím logaritmické derivace derivujte funkce í
a) y c (l+x).|C5.^+7     , y' =     6+ 3x ♦ 8x2+ 4x\ 2x% ^
V2+7.V(3+x5)2
b) y _ (3-x)4.yx7I , =   (x2- ?2x -73).(3-x)3
í»«5 2(x+l)6. Vxtó
3/- 3,
„i „    l/ x. (3?+ 1)~ ' _   x4+ 6x2+ 1 l/x.Cx^+l)
0)y = r W      •     7 -  jsa-/) -rífe?
3x2 + lOx + 20
' I*** i5<jŕ«).l(<i-5)2.^í
Derivujte některý z těchto prípadu také dřívějšími metodami a srovnejte s metodou logaritmické derivace.
f (x)
Touto metodou možno derivovat všechny složené exponenciální funkce tvaru y =a , a >0. Viz cvič. 223.
/79/.přiklad : y   =   (sin x)coa x
l.krok :logaritmujeme   ln y   =   cos x . In ein x
» 2
2C OS   X j = -sinx.ln sinx   +   a^n ^      /. y
3. a 4.krok : y' =   (cosx.cotgx - sinx.ln sinx).(sin x)
cos x
230.cvičeni.     Užitím logaritmické derivace derivujte funkce :
a) y = x* , b) y = y£ , c) y = 2.xVÍ , d) y = ^ , e) y = x1* x,f)y=xar°!x°
g) y =(ain x)x, h)y= (tg x)x, k)y= (ln x)x, m)ys ( -fj ) , n)y = ( i±§ )
Výsledky í a) xx(l+lnx), b)    +/    , c) 2+lnx .y , d) x*2*1.(2.1nx +1) , —-2.Vx
e) 2.xlnx-1.lnx ,f) y. .     ^ x   + arc°ln x ), g) y.(ln sinx   + x.cotg x ) ,
h) y.(ln tgx   +   i|x25 ), k) y.( ^ +   ln lux ),m) y.( ^ + ln ^ ) n> (l+x7,(1 + ^ T+l   5 '    +/ b)   í?3*. U- 1**) Derivace funkce _dané__i_5_E_i_t_£_i_S_2_i .
U funkce dané implicitně rovnici     F(x,y) = 0    předpokládáme existenci explicitního tvaru  y = f(x) , i když někdy nedovedeme   vypočítat y 2 rovnice P(x,y)=0. Tedy také ve funkčni rovnici P(x,y) =.0   je y jistou funkci proměnné x,a to nejčastěji funkcí složenou.Proto při derivování se setkáme s takovými zápisy :
(ay)'=   a.y'   ;      (y*)' -   a.y^.y'     ; Cx5/)'>   3*^ + 4y5y.'x3
- 112 -
(sin y)' =   cos y . y'   ;     (e7)' =   e-^.y'   ;     (arcsin y)
Derivaci implicitní funkce   F(x,y) = 0   budeme zatím počítat zcela formálně takto:
Funkci   F(x,y)= 0   derivujeme podle proměnné x,přičemž y považujeme za funkci x.
Ze vzniklé rovnice vypočteme derivaci y' jako neznámou.
/80/.přiklad : , ,
x-2xy   +   yp-l   = 0
2x   - 2(y+yíx)+3y2y'       = 0
3f - 2x
Derivace funkce určená z implicitního tvaru je obyčejně vyjádřena oběma proměnnými   x,y. Hledáme-li pak derivaci funkce v určitém bodě, tj. pro určité x,musíme si vypočítat i příslušnou funkční hodnotu y   z funkční rovnice   F(x,y) = 0.
231.cvičeni.     Vypočtěte derivace funkcí daných implicitně :
a) y2 = 2px , b) b2x2+ a2y2 = a2b2, c) x3* y3 = 3axy , d) x2^ - x4 - y4 = a4,
e) (x2+ y2)2 = 2a2(x2- y2), f) y - e.sin y = x , g) xy - ln y =a, h) yx2 = e7,
k) yex + ey = 0 , m) ey - e~x + xy = 0 , n) y - arctg y = x .
Výsledky , a)y' = £, b) y'- - ^ , c) Sg£ , d) x^2^?, e)'^* \~ <{\ 7 ya y -ax y(2y - x*)       yíxS y% tŕ)
f) -i-, g) -Č—, h) -, k) m) - , n) 1   + i .
1- e.cos y       1 - xy       x.(y-l)       y-1 eJ + x y*~
Poznámka.Dané funkční implicitní rovnice se užívá někdy k zjednodušení výsledku. Derivaci funkci daných implicitně budete později počítat užitím tzv. parciálních derivací funkce dvou proměnných.
I-----------------------1
!  DESÍTKA   tflOH   čís. 37    j        Derivujte funkce dané implicitně : I----,-----------------1
D ♦ yex - e^ = 0      , y' =   ^ ' f* " g I
xe"7 + e   - xe J
2) sin(xy) - e** - x2y = 0   , y' =   y-(2x + e^-cos xy) .
x(cos xy - e ^ - x ) 2 2 2 ,
3) x7   +    y3"   .    a* / =   " /T !
4) arctg 2±Z     _   Z   = o   , y' =      a   g ;
a a (x+y)^
5) x7   =     y*   , y' =   7fr- x.ln y) = y2(l- ln x)
f_ x(x- y.ln x)     x*(l- ln y)
6) ln Vx2+ y2   =   arctg |   , j   m   §-±-Z ;
7) y   =   2x.arctg |   , y' = |
8) ex.sin y   -   e^.cos x   = 0 ,        y' =   - exsin,y ♦ e^sinx .
e cosy + e ycosx
9) x.sin y   -   cos y   +   cos 2y = 0, y' =--s^n 7
x
2*       o _»      y.e g - 2.e
10)   x.e      +   y.e      =2 y =
- 113 -
x.cos y + sin y - 2sin 2y x v
2
2 "Í "í 2.e     - x.e