Domácí úkol 1
Upozornění: příklady byly náhodně vygenerovány odpovědníkem „Domácí úkol 1". Nabízené řešení bylo zpracováno Lukášem Másilkem.
Příklad 1: Vypočítejte limitu posloupnosti:
5- (n + 1)!
lim
>oo 3 • (n + 1)1 + 2 • (n - 1)! Řešeni:
5-(n + l)! 5 • (n + 1) -n ■ (n - 1)!
lim -------—   =i lim
n-
oo 3 • (n + 1)! + 2 • (n - 1)! «^°o 3 • (n + 1) • n ■ (n - 1)! + 2 • (n - 1)!
5 • (n + 1) • n ■ (n — 1)!
rSíä, (n - 1)! ■ [3 • (n + 1) • n + 2]
5 • (n + 1) • n hm-----
n^oo 3 • (n + 1) • n + 2
5n2 + 5n 5
lim
3n2 + 3n + 2 3
Poznámky k výpočtu: 1. krok (=i): úprava obou faktoriálú (n + 1)! tak, aby vyjádřeny se stejným podvýrazem (n — 1)! jako sčítanec ve jmenovateli vpravo; 2. krok (=2): vytknutí podvýrazu (n — 1)! v čitateli i jmenovateli zlomku; 3. krok (=3): krácení výrazu (n — 1)!; 4. krok (=4): Roznásobení závorek a následný výpočet limity (nahoře i dole jsou polynomy stejného stupně, tudíž výsledkem je podíl vedoucích koeficientů).
Příklad 2: Vypočítejte limitu posloupnosti:
(2)
lim
n^oo 3 + 5 + 7 H-----h (2n
Řešeni:
lim-----:-- =1 lim
n-(n—1) 2
3 + 5 + 7 + • • • + (2n + 1) n^oo I ■ (3 + 2n
n • (n — 1) 2 • f • (4 + 2n) n • (n — 1) n ■ (2n + 4) n — n 1
2n2 + 4n 2
Poznámky k výpočtu: 1. krok (=1): vyjádření kombinačního čísla (™) v čitateli a použití vzorce pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti ve jmenovateli; 2. krok (=2): přenesení čísla 2 z čitatele do jmenovatele; 3. krok (=3): krácení výrazu ve jmenovateli; 4. krok (=4): roznásobení závorek a
následný výpočet limity (nahoře i dole jsou polynomy stejného stupně, tudíž výsledkem je podíl vedoucích koeficientů).
Příklad 3: Vypočítejte limitu posloupnosti:
, n — 3
lim
n—>oo \ TI
n
Nápověda: lim^oo (l + ^)n = e. Řešeni:
lim^oo (^)n =1 lim^oo (l - f )n =w Substituce: — ^ = ^, z čehož n = —3k, tedy
=(*) lim^oo (l + \) 3k =2 (^lim^oo (l + l)k^j    =3 e~3
Poznámky k výpočtu: 1. krok (=i): vydělení polynomů v čitateli a jmenovateli; 2. krok (=2): úprava zápisu exponentu a limitní přechod k vnitřní funkci (l + i) ; 3. krok (=3): využití nápovědy a stanovení výsledku limity.
Příklad 4: Určete všechny hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupnosti
an = (-l)n-cos
Řešeni: Nejprve si spočítáme několik prvních členů, abychom si udělali představu o možných podposloupnostech.
I)1 • cos (|) = —| (kosinus z úhlu | v 1. kvadrantu je kladný) l)2 • cos (^) = —| (kosinus z úhlu j v2. kvadrantu je záporný) l)3 • cos (^) = 1 (kosinus z úhlu n je —1)
l)4 • cos (4^) = —| (kosinus z úhlu y v3. kvadrantu je záporný) l)5 • cos (^) = —| (kosinus z úhlu ^ ve 4. kvadrantu je kladný) l)6 • cos (^) = 1 (kosinus z úhlu 2n je 1)
a\ -a2 = a3 = 04 = a5 = a6 =
dj = Oi, dg = tÍ2) • • •
Podposloupnosti:
1. n = 6k + 1, A; G No: lim^oo an = limfc^00(—l)6fc+1 • cos ^ — linifc^oo cos (| + 2Aľ7r) = — cos (|) = —|, tedy —| G H(an).
(6fc + l)-7T
3
2. n = 6A; + 2, A; G N0: limn^oo an = limfc^00(—l)6fc+2 • cos ^ lim^oo cos (4f + 2kn) = cos       = -\.
3. n = 6A; + 3, A; G N0: lim^oo an = limfc^00(—l)6fc+3 • cos ^ — lim^oo cos      + 2A;7r) = — cos (n) = 1, tedy 1 G H(an).
(6fc+3)-7T
3
2
(6fc+4)-7T
	3
(6fc-	+ 5)-7T
	3
(6fc-	+6)-7T
4. n = 6k + 4, k e N0: lim^^ an = limfc^00(-l)6fc+4 • cos ( linifc^oo cos (4^ + 2A;7r) = cos (4^) = —|.
5. n = 6k + 5, A; G No: limn^oo an = lim^o^—l)6fc+5 • cos ^
- linifc^oo cos      + 2kn) = - cos (^) = -±.
6. n = 6A; + 6, A; G No: limn^oo an = lim^o^—l)6fc+6 . cos ^
— linifc^oo cos      + 2A;7r) = — cos (2n) = 1.
Závěr: H(an) = { — |, l} , liminfan = —|, limsupan = l.
Příklad 5: Vypočítejte limitu funkce pomocí běžných úprav, nikoliv ĽHospitalovým pravidlem.
x2 + 7x + 12 lim —--
x^-3 x2 + 2x - 3
Řešeni: Po dosazení —3 do limitního výrazu vyjde neurčitý výraz [^]. Oba polynomy v čitateli a jmenovateli však lze rozložit na součin kořenových činitelů (pomocí Vietových vztahů či diskriminantu):
x2 + 7x + 12     ,      (x + 3) • (x + 4)     ,      x + 4 1 lim —-- = lim---—--- = lim - = —
x^-3 x2 + 2x - 3 [x - 1) • (x + 3) X - 1 4
Příklad 6: U zadané funkce určete jednostranné limity v bodech nespojitosti:
m = (* - 2>2
• (x + 3)
Řešení: Výrazy v čitateli i jmenovateli jsou již ve tvaru kořenových činitelů, nelze je tedy nijak zkrátit. Body x\ = —3 ai2 = 0 jsou body nespojitosti 2. typu a jejich jednostranné limity budou vycházet ±00. Spočítejme znaménka funkce nanesením nulových bodů a bodů nespojitosti na reálnou číselnou osu:
-1
-■->x
-3 0 2
• V levém okolí bodu nespojitosti x\ = —3 je funkce záporná, je tedy lim:E^_3- f(x) = -00.
• V pravém okolí bodu nespojitosti x\ = —3 je funkce kladná, je tedy lim:E^_3+ f(x) = 00.
• V levém i pravém okolí bodu nespojitosti x2 = 0 je funkce kladná, je tedy lim^o- f(x) = lima.^0+ f(x) = °o.
3