Domácí úkol 2
Upozornění: příklad byl náhodně vygenerován odpovědníkem „Domácí úkol 2". Nabízené řešení bylo zpracováno Lukášem Másilkem.
Zadání: Vyšetřete průběh funkce
A-(x-l)
/(*) =
x
2
a sestrojte její graf, na němž vyznačte veškeré význačné body (průsečíky s osou x, lokální extrémy inflexní body) i přímky (asymptoty bez směrnice i se směrnicí), pokud existují.
Graf nakreslete rukou na papír (případně dotykovým perem na tabletu). Jinou barvou zvýrazněte křivku funkce, jinou barvou význačné body a jinou barvou asymptoty.
Vaše výpočty přehledně strukturujte a postupujte chronologicky, tj. od určení definičního oboru až po asymptoty. V případě bodů nás zajímají obě souřadnice, u inflexních bodů [xo,yo] spočítejte také první derivaci f'(xo,yo).
Řešení:
1. Definiční obor: D(f) = R- {0}.
2. Sudá, lichá funkce:
4-((-x)-l)       4-Qr + l) J{    ' {-xf x2
Funkce není ani sudá, ani lichá.
3. Charakteristika bodů nespojitosti: pro bod nespojitosti x = 0 stanovíme obě jednostranné limity, přičemž si pomůžeme stanovením znamének funkce. Nulové body funkce jsou 0,1.
-=-\-^—\---
0 1
V okolí bodu nespojitosti x = 0 je funkce na obou stranách záporná, tudíž:
lim fix) = lim fix) = —oo
4. Znaménka funkce: z předchozího obrázku je patrné, že funkce je pod osou x pro x E (—oo, 1) a nad osou x pro x E (1, oo). Bod [1; 0] je průsečíkem s osou x.
5. Monotonie, lokální extrémy: spočítejme nejprve 1. derivaci funkce fix): [4- (x - 1)1' -x2 -4 • (x - 1) ■ \x2}'     4x2-4-(x-l)-2x    Ax2 - 8x2 + 8x
m =
[X
2\2
-Ax-ix-2)     , x-2 = (-4)
Dva nulové body 0, 2 opět naneseme na číselnou osu a zjistíme znaménka 1. derivace.
1
O 2
Funkce /(x) je klesající pro x G (—oo, 0) U (2, oo) a rostoucí pro x G (0,2). Bod x = 0, v němž se mění znaménko 1. derivace, nemůže být lokálním extrémem (funkce v něm není definovaná). Bod A[2;f(2)] = A[2; 1] je lokálním maximem.
6. Konvexnost/konkávnost, inflexní body: spočítejme nejprve 2. derivaci funkce fix):
x-2l'    ,   1X (x-2)'-x3
-4)
-4)
= M)
(x - 2) ■ 3x2
t6
X°
= M)
= M) x2 ■ [x - 3 • (x - 2)]
(x - 2)■ (x-
3V
(X'
3\2
= M)
-2x + 6
= 4-
2 • (x - 3)     8 • (x - 3)
Dva nulové body 0, 3 opět naneseme na číselnou osu a zjistíme znaménka 2. derivace.
A
A
v/
0 3
Funkce fix) je konkávni pro x G (—oo, 0) U (0,3) a konvexní pro x G (3, oo). Bod .B[3;/(3)] = B[2; |] je inflexním bodem. Tečna v bodě B má směrnici /'(3) = —^, takže v něm pomalu klesá a graf funkce mění tvar jen velmi pozvolně.
7. Asymptoty: asymptotou bez směrnice je přímka x = 0. Graf funkce v jejím okolí jsme již řešili v bodu 3. Najdeme asymptotu se směrnicí y = kx + q.
i-(x-l)
fix) 4'{X21] k   =    lim -=  lim —--      =  lim ■
x—>±oo    x x~>ioo      X x~>ioo
A-(x-l)
= 0
q   =    lim f(x) — kx = lim
0 • x = 0
x—>±oo
:r—>±oo
ar
Asymptotou se směrnicí je pro x —> ztoo přímka y = 0. 8. Graf
2