Domácí úkol 3 Upozornění: příklady byly náhodně vygenerovány odpovědníkem „Domácí úkol 3". Nabízené řešení bylo zpracováno Lukášem Másilkem. Příklad 1 (definiční obor): Znázorněte graficky definiční obor zadané funkce dvou proměnných: 'ar 4 y- i Řešení: nejdříve stanovíme podmínky. Výraz pod odmocninou musí být větší nebo roven 0 a zároveň nelze dělit nulou: x 4 ž/2 - 1 .2 > 0 x 4 > 0 A y2 - 1 > 0) V (x2 - 4 < 0 A y2 - 1 < 0) y - 1 ý o ^ y±±l Obě podmínky lze upravit do jedné takto: x 4 > 0 A y2 - 1 > 0) V (x2 - 4 < 0 A y2 - 1 < 0) (x2 > 4 A y2 > l) V (i2<4Aí/2< l) (|rr| > 2 A \y\ > 1) V (|rr| < 2 A < 1) Z poslední úpravy už lze symbolicky zapsat definiční obor funkce: d (z) = {[x,y] e R2, (\x\ > 2 A \y\ > 1) V (|o;| < 2 A \y\ < 1)}. Co se týče grafického znázornění, tak si nejprve narýsujeme přímky x = 2,x = —2 (plnou čarou) a y = l,y = — 1 (čárkovaně). Poté už „vyšrafujeme" oblasti příslušející oběma podmínkám. y x = 2 y = -\ II x x = -2 y=\ Příklad 2 (výpočet limity): Vypočítejte následující limitu: xy + 2x + y + 2 lim —---- [x,j,]^[-i,o] xy2 + y2 + x + 1 Řešeni: tuto limitu lze spočítat úpravami, a to částečným vytýkáním: lim xy + 2x + y + 2 [x,j,]^[-i,o] rry2 + í/2 + x + 1 Um x-(y + 2) + (y + 2) [x,i/]^[-l,0] í/2 • (x + 1) + (x + 1) (ž/ + 2)-(x + l) lim---——--- [x,y]-+[-i,o] (x + 1)- (y2 + 1) ,. y + 2 o lim [x,y]'T[-l,0] y2 + 1 Příklad 3 (metoda postupných limit): Zjistěte, zda ar lim [x,y]^[0,0] y existuje, přičemž použijte metodu postupných limit. Potvrzují výsledky Vašich výpočtů neexistenci limity? Zdůvodněte Vaši odpověď. Řešeni: spočítáme obě postupné limity: l2 lim lim x^O lim — x—>0 y x2 lim — y^O y = lim — = 0 y^O y neexistuje, protože přibližováním se y —> 0 zleva a zprava dostáváme jiné výsledky limity. Protože tedy l± ^ l2, plyne z metody postupných limit neexistence limity. Příklad 4 (přibližování po přímkách): Zjistěte, zda lim x + x [x,y]^[o,o] xy + y existuje, přičemž použijte metodu přibližování se k limitnímu bodu po přímkách. Potvrzují výsledky Vašich výpočtů neexistenci limity? Zdůvodněte Vaši odpověď. Řešení: nejprve si limitní výraz zjednodušíme pomocí vytýkání v čitateli i jmenovateli: lim x + x lim x ■ (x + 1) lim x [x,y]^[0,0] Xy + y [x,y]^[0,0] y ■ (x+1) [x,y]^[0,0] y Vzhledem k limitnímu bodu [^ojŽ/o] = [0,0] volíme substituci y = k ■ (x — x q) + yo = kx, tedy: x x 11 lim — = lim — = lim — = — [a:,í/]->[0,0] y x^O kx x^O k k Protože výsledek limity zcela závisí pouze na parametru k, je tím potvrzena neexistence limity. 2 Příklad 5 (přibližování po parabolách): Zjistěte, zda x2- 1 hm [z,ž/]->[l,4] í/ - 4 existuje, přičemž použijte metodu přibližování se k limitnímu bodu po parabolách. Potvrzují výsledky Vašich výpočtů neexistenci limity? Zdůvodněte Vaši odpověď. Řešeni: vzhledem k limitnímu bodu [^ojŽ/o] = [1>4] volíme substituci y = k ■ (x — x q) + yo = k ■ (x — l)2 + a, tedy: x2 — 1 x2 — 1 (x — 1) • (x + 1) x + 1 lim -= lim —-—-= lim —-—;-—— = lim [x,y]^[i,4] y - 4 A;(x - l)2 + 4 - 4 k ■ (x - l)2 k ■ (x - Dosadit limitní bod x = 1 nelze (dělení nulou). Protože výsledek limity je závislý na parametru k i proměnné x, nelze o neexistenci limity rozhodnout. Příklad 6 (transformace do polárních souřadnic): Zjistěte, zda hm - [*,ž/]->[6,8] x -\- y 14 existuje a případně uveďte výsledek limity, přičemž použijte metodu transformace do polárních souřadnic. Potvrzují výsledky Vašich výpočtů existenci či neexistenci limity? Zdůvodněte Vaši odpověď. Řešení: vzhledem k limitnímu bodu [^ojŽ/o] = [6,8] volíme substituci x = x0 + g ■ cos íp = 6 + g ■ cos [6,8] x + y — 14 e^o 6 + g ■ cos (p + 8 + g • sin (f — 14 g • sin o? í?-sin o? hm -= hm e^o ^ • cos f + g ■ sin 99 e^o g ■ (cos 99 + sin (p) sin 99 cos ip + sin 99 Protože výsledek limity zcela závisí pouze na úhlu 99, je tím potvrzena neexistence limity. Příklad 7 (bonusový): Zjistěte, zda x2 + y- (y - l)2 a;2 + (y - l)2 existuje a případně uveďte výsledek limity, přičemž použijte metodu transformace do polárních souřadnic. Potvrzují výsledky Vašich výpočtů existenci 3 či neexistenci limity? Zdůvodněte Vaši odpověď. Řešeni: vzhledem k limitnímu bodu [^OjŽ/o] = [1,4] volíme substituci x = xq + g ■ cos ip = g ■ cos ip, V = Vo + Q ' cos V = 1 + Q ' sm ¥■ Polární souřadnice nyní použijeme při výpočtu limity: x2 + y ■ (y — l)2 g2 ■ cos2 p> + (1 + g ■ sinw) • (1 + g ■ sinw — 1} lim —--;-—— = lim [:r,j/H[o,i] x2 + (y — l)2 e^o g2 ■ cos2 if + (1 + g ■ sin 99 — l)2 g2 ■ cos2 o? + (1 + g ■ sin o?) ■ g2 ■ sin2 o? = lim-------5- e^o g2 ■ cos2 p> + g2 ■ sin 99 g2 ■ [cos2 99 + (1 + g ■ sin p>) • sin2 99] = lim -t~i-9-- e^o ^ • (cos^ p> + sm ip) = lim [cos2 99 + (1 + g ■ sin ip) • sin2 99] = lim [cos2 99 + sin2 p + g • sin3 99] = lim [1 + g ■ sin3 99] = 1 + lim \g(g) ■ h(g, ip)] = 1, jelikož 1. lim^o g{Q) = lim^o p = 0a 2. 99) = sin3 ip je funkce ohraničená zdola —la shora 1. 4