Masarykova univerzita • Přírodovědecká fakulta Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH S PROGRAMEM MAPLE V Brno, 1999 Obsah Obsah i Předmluva iv Využití počítače ve výuce matematické analýzy 1 1 Pojem funkce více proměnných 7 2 Limita a spojitost funkce 16 2.1 Metrické vlastnosti E" ....................... 16 2.2 Limita funkce............................ 17 2.3 Spojitost funkce........................... 24 2.4 Vety o spojitých funkcích...................... 26 3 Parciální derivace 30 3.1 Parciální derivace 1. řádu...................... 31 3.2 Derivace vyšších řádů........................ 34 3.3 Směrové derivace.......................... 37 3.4 Lagrangeova věta o střední hodnotě................ 40 4 Diferenciál funkce 43 4.1 Diferencovatelná funkce, diferenciál................ 43 4.2 Diferenciály vyšších řádů...................... 49 4.3 Kmenová funkce.......................... 50 5 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec 56 5.1 Parciální derivace složených funkcí ................ 56 5.2 Taylorova věta ........................... 66 6 Lokální a absolutní extrémy 72 6.1 Lokální extrémy........................... 72 6.2 Absolutní extrémy ......................... 81 7 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí 89 7.1 Zobrazení z R2 do IR2........................ 89 7.2 Zobrazení z W do Mm ....................... 93 7.3 Diferenciální operátory matematické fyziky............ 96 8 Funkce zadaná implicitně 100 8.1 Implicitně zadaná funkce jedné proměnné............. 101 8.2 Implicitně zadaná funkce více proměnných ............ 108 8.3 Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí .... 111 9 Vázané extrémy 116 9.1 Metoda Lagrangeových multiplikátorů...............116 9.2 Vázané extrémy a nerovnosti....................124 10 Generování grafiky v Maplu 129 10.1 Graf funkce dvou proměnných...................129 10.2 Vrstevnice..............................142 11 Výpočty limit v Maplu 148 11.1 Ilustrační grafika..........................148 11.2 Výpočty...............................153 12 Derivace funkce v Maplu 162 12.1 Parciální derivace 1. řádu......................162 Geometrický význam parciálních derivací.............164 12.2 Derivace vyšších řádů........................166 12.3 Směrové derivace..........................169 12.4 Parciální derivace složených funkcí ................173 13 Aproximace funkce v Maplu 182 13.1 Diferencovatelná funkce...................... 182 13.2 Tečná rovina ke grafu funkce.................... 193 13.3 Užití diferenciálu k přibližným výpočtům............. 199 13.4 Taylorova věta ........................... 202 13.5 Kmenová funkce.......................... 207 íi 14 Extrémy funkce v Maplu 210 14.1 Lokální extrémy........................... 210 14.2 Absolutní extrémy ......................... 229 14.3 Vázané extrémy........................... 236 15 Funkce zadaná implicitně v Maplu 241 15.1 Generování PC-grafu funkce zadané implicitně..........241 15.2 Výpočty...............................245 Přílohy 253 P 1 Software pro podporu výuky matematické analýzy ........253 P 2 Materiály na Internetu........................257 Výsledky cvičení kapitol 1-9 262 Použitá literatura 270 Rejstřík 273 iii Předmluva Tento CDROM je učebním textem nového typu využívající možností současné výpočetní techniky. Jde o moderní způsob výuky matematické analýzy, kdy prostřednictvím počítačových technologií se student učí matematickou analýzu a naopak. Podnětem k vytvoření vytvoření CDROMu byla potřeba zvýšit geometrickou představivost studentů a zmodernizovat výuku využitím moderních technologií. Jako první partie z matematické analýzy byl vybrán „Diferenciální počet funkcí více proměnných" a to z těchto důvodů: problémy zde řešené jsou vhodné pro počítačové zpracování, vybrané téma vyžaduje dobrou geometrickou představivost v prostoru a nedostatek zahraničních materiálů k tomuto tématu. Základem CDROMu byl učební text [D], práce [P3] a zkušenosti s přípravou CDROMů na Masarykově univerzitě v Brně ([DKV, So]). K počítačové realizaci byl vybrán program Maple V pro svoje snadné ovládání a široké rozšíření na vysokých školách v České republice. Vlastní text je uložen ve formátu PDF (Portable Document Formát), který se stává standardem pro elektronickou publikační činnost a je nezávislý na platformě. Kromě jiného umožňuje prostřednictvím křížových odkazů rychle vyhledávat souvislosti napříč celým textem. CDROM je určen pro posluchače odborného studia matematiky, fyziky, informatiky a pro posluchače učitelského studia matematiky a dále všem zájemcům o výuku matematické analýzy s využitím počítače a uživatelům CAS systému Maple. Materiály zde uvedené jsou koncipovány tak, aby uživatele vedly k samostatnému použití výpočetní techniky při studiu diferenciálního počtu funkcí více proměnných či k přípravě dalších materiálů pro podporu výuky. Spojení textu, grafiky, počítačových vstupů a výstupů by mělo vytvořit prostředí sloužící k maximálně efektivnímu zvládnutí probírané problematiky. CDROM je rozdělen do dvou základních částí - na část teoretickou a část praktickou. Teoretická část je rozdělena do devíti kapitol, v úvodu každé kapitoly jsou připomenuty příslušné pojmy z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné. Nové pojmy a tvrzení z diferenciálního počtu funkcí více proměnných jsou nejprve iv formulovány pro funkce dvou proměnných a teprve potom obecně pro funkce n proměnných. Pouze v případech, kdy je situace zcela stejná pro dvě a více proměnné, uvádíme přímo definice a tvrzení pro n > 2. Na konci každé kapitoly jsou uvedena cvičení, jejichž výsledky lze najít na konci textu. Praktická část ilustruje využití programu Maple V v diferenciálním počtu funkcí více proměnných. K probírané problematice je zde systémem Maple vytvořena ilustrační grafika a ukázky počítačového řešení příkladů. Teoretická i praktická část jsou úzce svázány prostřednictvím křížových odkazů (po seznámení s teoretickým pojmem si pouhým stiskem tlačítka myši můžeme prohlédnout jeho geometrickou interpretaci a můžeme se seznámit i se způsobem, jakým byla ilustrační grafika vygenerována). Všechny počítačové materiály jsou uloženy na CDROMu. Tedy uživatel CDROMu může snadno generovat podobné obrázky bez nutnosti studování syntaxe příkazů Maplu. Závěrem bychom chtěli poděkovat doc. RNDr. J. Kubenovi, CSc. za vypracování obrázků v první části textu, za pomoc při psaní v systému ETgX a převod první části textu do formátu PDF. Tento CDROM vznikl za podpory Fondu rozvoje VŠ v rámci řešení projektu č. 448/1999. Brno, prosinec 1999 Autoři v Využití počítače ve výuce matematické analýzy Rychlý rozvoj výpočetní techniky v současnosti ovlivňuje téměř všechny oblasti lidského života. Stranou nezůstává ani proces výuky na vysokých školách. V našich podmínkách bylo zatím použití počítače ve výuce spíš nahodilé a bylo ponecháváno na iniciativě vyučujících. Až v poslední době se tímto způsobem výuky začíná zabývat větší počet vyučujích, kteří si své zkušenosti sdělují na konferencích pořádaných Českým sdružením uživatelů Maplu a na celostátních seminářích kateder matematiky fakult připravujících učitele matematiky (např. Počítačem podporovaná výuka matematiky a příprava didaktického experimentu, Rybník u Poběžovic, 8.-11. září 1998). Otázky tohoto způsobu výuky však nejsou zatím souhrnně zpracovány a zodpovězeny. Tato kapitola je proto věnována problematice využití výpočetní techniky ve výuce matematické analýzy. Jejím cílem je ukázat možnosti tohoto způsobu výuky a najít odpověď na otázky: „Kde, proč a jak používat počítač při výuce matematické analýzy" a zároveň upozornit i na úskalí používání počítačových systémů ve výuce. Využití počítače ve výuce matematické analýzy může být na základě našich zkušeností rozděleno následujícím způsobem: • počítačová grafika • počítačové řešení úloh Počítačová grafika - pod tímto termínem budeme v dalším rozumět jakýkoliv grafický výstup pořízený počítačem (obrazovka, tiskárna, ploter, ... ). Grafika může být statická (graf funkce) nebo dynamická (animace v CAS systémech). Počítačové řešení úloh - pod počítačovým řešením úloh rozumíme využití počítače při řešení zadaného matematického problému. Úlohy, při kterých získáváme řešení pouze použitím standardního příkazu systému, nebudeme uvažovat. V takovém případě je pro nás počítač jakousi „černou 1 2 Využití počítače ve výuce matematické analýzy skřínkou", která nám dává výsledek bez našeho přispění a bez pochopení, co se děje „uvnitř". Naše pozornost bude soustředěna na netriviální a smysluplné použití počítače při řešení matematických problémů, tj. tam, kde: • počítač pomáhá při rutinních a zdlouhavých výpočtech (předpokládá se, že daná technika výpočtu byla již dříve probrána) • počítač pomáhá při opakování a prohloubení probírané látky jiným, netradičním postupem (úloha je formulována tak, že bez znalosti nezbytné teorie je počítačově neřešitelná) • počítač pomáhá při vysvětlení, objasnění daného teoretického pojmu či závislosti (často v úzkém spojení s počítačovou grafikou) Vedle těchto dvou základních způsobů využití počítače ve výuce matematické analýzy někdy používane i programů k testování znalostí. Tyto slouží k mechanickému procvičování a prověřování získaných vědomostí a dovedností. Protože program Maple V není určen k tvorbě takových testů, uvádíme pouze v kapitole 15.2 odkazy na testovací programy na Internetu. Pokusme se nyní nalézt odpovědi na otázky položené v předcházejícím odstavci. Kde Kde, přesněji ve které fázi a formě výuky a vzdělávání v matematické analýze, lze efektivně využívat výpočetní techniku? Ze získaných zkušeností plyne, že výpočetní techniku lze používat při • přednáškách • cvičeních • samostatné přípravě studentů. Při přednáškách využíváme nejčastěji počítačové grafiky. Méně časté je použití počítačového řešení úloh, ale i to nachází při přednáškách uplatnění a to zejména při usnadnění zdlouhavých výpočtů a při úpravách výrazů. Testovacích programů při přednáškách nevyužíváme. Při cvičeních hraje klíčovou roli počítačové řešení úloh, které doplňují počítačová grafika a testovací programy (myšlena jsou speciální cvičení v počítačové laboratoři). To samé platí i pro samostatnou přípravu, pouze roste úloha testovacích programů. Využití počítače ve výuce matematické analýzy 3 Proč Proč výpočetní techniku, přesněji výše uvedených způsobů, ve výuce matematické analýzy využívat? Geometrická představivost hraje v matematické analýze významnou úlohu (studenti někdy nemají s daným matematickým pojmem spojenu konkrétní geometrickou představu). K jejímu vytváření významnou měrou přispívá i počítačová grafika. Ta nám umožňuje tuto geometrickou představu vytvářet i v případech, které jsou bez použití počítače jen těžko realizovatelné (viz např. obr. 11.6). Při řešení příkladů si pak student může vytvořit geometrickou představu o tom co má počítat a může získané výsledky s počítačovou grafikou konfrontovat (viz např. příklad 14.4). Zjednodušení rutinních výpočtů umožní studentům věnovat více času výběru metody řešení a interpretaci výsledků. V důsledku toho můžeme obohatit různorodost typů, zvýšit počet a prohloubit náročnost problémů, které studenti samostatně řeší. Ilustrací takového přístupu je například určování limity funkce dvou proměnných (kapitola 11.2). Nezanedbatelný je i příspěvek počítačového řešení úloh k opakování a prohloubení učiva. Ilustrujme tento přístup na hledání stacionárních bodů funkce dvou proměnných (příklad 14.1). Student musí nejdříve sám sestavit soustavu rovnic pro nalezení stacionárních bodů. Počítače pak využije k výpočtu odpovídajích parciálních derivací a k výpočtu soustavy rovnic (při řešení postupuje stejně jako při řešení pomocí „tužky a papíru", pouze vlastní zápis provádí formou příkazů zvoleného počítačového systému). Dalším stupněm je pak automatizace tohoto postupu pomocí programovacího jazyka zvoleného systému. Počítačové řešení úloh přispívá i k objasnění teoretických pojmů a prohloubení jejich pochopení (např. znázornění geometrického významu směrových derivací, kapitola 12.1). Ve všech uvedených případech umožňuje studentům použití počítače soustředit se na podstatu problému více než na mechanické zvládnutí výpočtu. Použití počítače ve výuce má však i svá úskalí. Ne vždy totiž počítačovým programem získáme výsledek, který odpovídá skutečnosti. Při výuce studentů u počítače je proto třeba klást důraz na interpretaci a kontrolu získaných výsledků. Studenti mají často tendenci používat počítačový program mechanicky, bez uvažování. Uveďme si jeden ilustrační příklad: Příklad. Pomocí počítače nakreslete graf funkce f(x) = ex + ln |(4 — x)\ pro x e (0,5). K řešení byl použit systém Maple. > f:=x->E**x+ln(abs(4-x)); /:=*-► Ex + ln( |4 - x|) 4 Využití počítače ve výuce matematické analýzy > plot(f(x) , x=0..5, labels=[x,y]) ; Rada studentů se zde soustředí především na syntaxi příkazu a je se získaným výsledkem spokojena (obr. 1). Podrobnější analýzou zadané funkce ale zjistíme, že tato funkce / je v bodě 4 nespojitá a limx^4 f(x) = —oo. Grafický výstup proto poté upravíme přidáním parametru discont=true a zvýšením počtu referenčních bodů (tj. bodů, které Maple používá k aproximaci zadané funkce). Pro větší názornost volíme x z intervalu (3.9, 4.1) (obr. 2). >plot(f(x), x=3.9..4.1, y=47..58, numpoints=500, > discont=true, labels=[x,y]); obr. 1 obr. 2 V dalších částech práce průběžně upozorňujeme na nebezpečí bezmyšlenkovitého použití počítače. Budou uvedeny příklady, kdy počítač dává nesprávné nebo neúplné výsledky (obr. 10.5, příklad 14.4,... ). Tyto jsou na druhou stranu důležité z hlediska motivace. Ukazují, že počítač není „všemocný" a teprve porozumění probírané látce dělá z počítače skutečně „mocného" pomocníka. Jak Jak, přesněji s jakým technickým vybavením a při jaké organizaci výuky (časové i obsahové), počítačem podporovanou výuku realizovat? Zabývejme se nejdříve podrobněji technickou realizací uvedených způsobů použití počítače ve výuce matematické analýzy. Pro využití počítače při přednáškách je nejvýhodnější trvale instalovat v posluchárně počítač s projektorem, případně LCD panelem a promítacím plátnem. Při tomto uspořádání může projekční plátno sloužit jako „inteligentní tabule", kdy např. můžeme změnou parametrů zadání již vyřešeného příkladu okamžitě vyřešit příklad modifikovaný. Výhodou tohoto uspořádání je tedy možnost dynamické změny parametrů (např. oproti grafickým Využití počítače ve výuce matematické analýzy 5 výstupům připraveným na tiskárně) a přímé interakce vyučujícího s počítačovým programem. Příklady počítačového řešení úloh by bez tohoto uspořádaní bylo jen obtížně možno na přednáškách realizovat. Pokusy s konáním přednášek přímo v počítačové učebně končily většinou nezdarem. Studenti v tomto případě věnovali větší pozornost interakci s počítačem než výkladu vyučujícího. Další nevýhodou pak bylo různé tempo postupu. Studenti s menší znalostí práce s počítačem nebyli schopni po určité době výklad sledovat. Dále se ukázalo, že cvičení je optimální provádět naproti tomu v počítačové učebně a to tak, aby každý student pracoval u svého počítače či terminálu. Výhodou je možnost individuálního postupu u každého studenta. Nezbytnou je také podmínka volného přístupu studentů do počítačové učebny, protože řada úkoluje určena k samostatnému řešení během týdne. Kromě nezbytného hardwaru je zapotřebí i vhodný software. Pro matematickou analýzu je nejvýhodnější zajištění některého z CAS systémů, výuku je však možno realizovat i pomocí specializovanějších public domain programů, které jsou volně přístupné na počítačové síti Internet. K výuce některých partií je možno využívat také interaktivních programů, přístupných na Internetu. O těchto možnostech bude podrobněji pojednáno v části 15.2. Druhá otázka - začlenění počítačem podporované výuky do osnov závisí zejména na typu (zaměření) školy. Ideální by bylo k současným „klasickým" cvičením přidat ještě další hodiny počítačové výuky. V USA v rámci projektu CALC (Calculus As a Laboratory Course) byla klasická cvičení zrušena úplně, výpočetní operace a metody jsou procvičovány v rámci počítačové výuky. Dosavadní výsledky a hodnocení projektu ukazují, že studenti zahrnutí do projektu dosahují u zkoušek lepších výsledků a hlubšího pochopení látky než studenti v tradičních třídách, v těchto třídách je ale na vyšší úrovni početní zručnost. Informace o projektuje možno nalézt na http://www.math.duke.edu/education/proj_calc/. Zavedení výuky podobné projektu CALC však v našich podmínkách naráží na téměř nulovou možnost zvýšení počtu hodin věnovaných výuce matematické analýzy. Stávající sylabus je dimenzován tak, že zavedení počítačové výuky by bylo na úkor současného obsahu učiva. Snížení počtu hodin klasických cvičení na úkor počítačových laboratoří by mohlo mít za následek snížení početních schopností studentů, což je zejména u studentů učitelského studia jevem nežádoucím. Těžiště využití počítače je zde tedy především při přednáškách a jako doplnění klasických cvičení (zejména příklady ilustrační grafiky). Ukázkami ve výuce a při cvičeních by měli být studenti motivováni k samostatné práci a k experimentování v počítačové laboratoři. (Předpokladem je opět volný přístup do počítačové laboratoře 6 Využití počítače ve výuce matematické analýzy vybavené vhodným softwarem). Snazší je zavedení výuky v počítačových laboratořích na školách, kde je matematika aplikovanou vědou, tj. zejména na vysokých školách technického směru. Zde můžeme rozdělit cvičení na část klasickou a počítačovou (např. střídavě po 14 dnech jako na strojní fakultě VUT v Brně). U těchto oborů je výhodné, aby po analýze problému vlastní výpočet provedl počítač. (Není zde kladen takový důraz na početní zručnost studentů). Technické poznámky V počátečních kapitolách počítačového zpracování tématu je v textu řešení příkladů uváděn zápis ve dvojí podobě. Nejdříve je uveden obvyklý matematický zápis (sazba je provedena systémem I^TgX) a následně je uveden zápis výpočtu v Maplu. Poté, co si čtenář postupně zvykne na zápis v Maplu, je matematický zápis vynecháván a uváděny jsou již pouze příkazy Maplu. Mapleovské vstupy jsou v textu označovány > a změnou typu písma na strojopisné. Vstup (zadání příkazu) je v Maplu ukončován pomocí znaků ; nebo:. Pokud je vstup zakončen znakem ;, následují ihned řádky s výstupem, při ukončení pomocí : se řádky s výstupem nevypisují na obrazovku a nejsou tedy uvedeny ani v textu. Vstupy a výstupy byly získány exportem (automatickým převedením) Mapleovských zápisníků do TgXu (v textu je vždy uvedena úplná posloupnost příkazů). Všechny pro účely této práce naprogramované procedury jsou uloženy v knihovně mvcalp. Při programování procedur byl kladen důraz na jednoduchost a matematickou správnost více než na programátorskou efektivnost a úplnost tak, aby procedury nebyly zbytečně složité a aby je byli schopni vytvářet i studenti bez hlubší znalosti programovacích jazyků. Knihovna mvcalp a všechny Mapleovské zápisníky s ilustračními příklady jsou taktéž uloženy na CDROMu. Všechny obrázky jsou uloženy v postscriptu1 a jsou přístupné také prostřednictvím Internetu na: http://www.math.muni.cz/~plch/difer/difer.html. Maple V R3 byl zvolen pro svoje snadné ovládání a pro svou dostupnost. Během tvorby práce došlo k dalšímu vývoji programu, proto se v práci vyskytují i odkazy na verzi Maple V R4 (verze Maple V R5 byl k dispozici teprve až v době závěrečného zpracování, proto na ni v textu neodkazujeme). Maple byl provozován na počítači s operačním systémem Linux. Přechodem k jinému operačnímu systému (Windows 95) může dojít ke zvýšeni doby, potřebné k výpočtu (zejména u generování grafiky). Jeden z nejpoužívanějších jazyků pro popis stránky (PDL), vyvinutý společností Adobe Systems. Kapitola 1 Pojem funkce více proměnných Reálná funkce jedné reálné proměnné, stručně funkce jedné proměnné, je zobrazení z IR do IR. Zobecněním tohoto pojmu je zobrazení zM.n (n > 2) do IR, které se nazývá funkce více proměnných. Cílem této kapitoly je naučit se určovat pro funkci dvou a více proměnných její definiční obor a graf. Přestože tato kapitola, jako jediná, neobsahuje žádnou matematickou větu, je svým zaměřením na geometrii v IR2 a IR3 fundamentální. Definice 1.1. Nechť M c W1, n > 1,1/0. Zobrazení / : M -> M se nazývá reálná funkce n reálných proměnných a množina M se nazývá definiční obor této funkce a značí se <£)(/). Z předchozí definice vyplývá, že po formální stránce funkce / : M -> M je množina uspořádaných dvojic [x, j] e M x M, x = [x\, ..., xn] (tj. relace na M x M), která má následující vlastnosti: 1. x e M, j e M. 2. Ke každému bodu x — [x\, ..., xn] e M existuje právě jedno číslo y (bod prostoru M) tak, že [x, y] e f. Obraz bodu x — [x\, ..., xn] e M v zobrazení /, tj. reálné číslo y takové, že [x, y] e /, označujeme f (x) nebo f{x\, ..., xn) a nazývá se hodnotafunkce f nebo také funkční hodnota v bodě x — [x\, ..., xn]. Z definice funkce více proměnných vyplývá, že tato funkce je jednoznačně určena udáním jejího definičního oboru <£>(/) a předpisem, kterým je každému bodux = [xi,..., xn] e <©(/) přiřazena funkční hodnota f(x). Pokud j e předpis dán vzorcem a není udaný definiční obor funkce, pak definičním oborem rozumíme množinu všech bodů x e IR", pro něž má tento vzorec smysl. 7 8 Pojem funkce více proměnných Pro n = 2 budeme místo f(x\, X2) psát /(x, y) apro n = 3 místo f(x\, X2, X3) píšeme f(x,y,z). Příklad 1.1. i) Zobrazte v rovině definiční obor funkce f(x, y) = J[x2 + ^—— - l) (x2 + v2 - 6x). Řešení. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj. musí být splněna podmínka í(y-2)2 ^ + x2 - 1 (x2 + y2 - 6x) > 0. To nastane právě když (y - 2)2 4 nebo (y - 2)2 + x2 - 1 > 0 a (x2 + y2 - 6x) > 0 + x2 - 1 < 0 a (x2 + y2 - 6x) < 0. Rovnice (y-2)2 + x = 1 je rovnicí elipsy se středem v bodě [0, 2] a poloosami délek a = 1 a b = 2, rovnice x2 + y2 — 6x =0 je rovnicí kružnice se středem v bodě [3, 0] a poloměrem r = 3, neboť tuto rovnici lze převést na tvar (x — 3)2 + y2 = 9. Množina všech bodů [x, y] e M2 splňující výše uvedené nerovnosti, tj. definiční obor funkce /, je znázorněna na vedlejším obrázku. Je to uzavřená množina v IR2. ii) Zobrazte v rovině definiční obor funkce f(x, y) = arccos(x2+y2-l) + y |x| + |y| - \fl. Řešení. Definičním oborem funkce arccos je interval [—1, 1], první sčítanec je tedy definován pro [x, y] splňující nerovnosti ■1 < x2 + y2 - 1 < 1, Pojem funkce více proměnných 9 ti- O 2 . 2 x + y 2, což je vnitřek a hranice kruhu se středem v počátku a poloměrem r = \/2. Definičním oborem druhého sčítance je množina bodů [x, y] splňující nerovnost \x\ + \y\ — V2 > 0. Načrtněme v rovině křivku danou rovnicí \x\ + \ y \ = ■s/2. V prvním kvadrantu je tato rovnice ekvivalentní rovnici x + y = ■s/2, což je rovnice přímky. Ve zbývajících kvadrantech postupujeme obdobně a obdržíme kosočtverec načrtnutý na vedlejším obrázku. Definičním oborem funkce / je množina vyšrafovaná na tomto obrázku. Tato množina je uzavřená v IR2. iii) Zobrazte v rovině definiční obor funkce f(x,y) = ln(y ln(y — x)). Řešení. Logaritmovaný výraz musí být kladný, musí být tedy splněna nerovnost y ln(y — x) > 0, která je ekvivalentní dvojici nerovností ln(_y — x) > 0, y > 0; ln(_y — x) < 0, y < 0, které jsou dále ekvivalentní systémům nerovností y > 0, y — x > 1 a y < 0, y — x < 1, y — x > 0 (poslední nerovnost plyne z definičního oboru funkce ln(_y — x)). Řešením těchto dvou systémů nerovností je množina načrtnutá na obr. 1.1. Je to otevřená množina vK2. iv) Zobrazte definiční obor funkce f(x, y) = arcsin + arcsin(l — _y). Řešení. Definičním oborem funkce arcsin je interval [—1, 1]. Proto musí být splněny podmínky: 1 < x y 2^' y2 > -x, y2 > x, y 7^0 a zároveň — 1 < 1 — y < 1, tj. y e [0, 2]. Celkem tedy £>(f) = {[x,y]:y2 -x, y x, y e (0, 2]}, tato množina je načrtnuta na obr. 1.2. Je to množina, která není ani otevřená ani uzavřená v R2 (neboť [0, 0] i £>(/)). 10 Pojem funkce více proměnných Definice 1.2. Nechť / je funkce n proměnných definovaná na množině M c n > 2. Grafem funkce f nazýváme množinu bodů G(f) = {[x, y] € Rn+1 : x = [xi,..., xn] € M, y = f(x)}. Pyz Pxz Pxy obr. 1.3 Souřadné stěny pxy, pxz, pyz Pro funkci dvou proměnných, tj. n = 2, je grafem funkce množina bodů v třírozměrném prostoru. V příkladech, se kterými se zde setkáme, to bude vždy nějaká třírozměrná plocha. Pro získání názorné představy, jaký je tvar a průběh této plochy, nám pomohou řezy rovinami z = 0, y = 0, x = 0 (což jsou rovnice souřadných stěn pxy, pxz, pyz, viz obr. 1.3) a rovinami s nimi rovnoběžnými. Pojem funkce více proměnných 11 Definice 1.3. Nechť McR2a/:M^Mje funkce dvou proměnných definovaná na M, c e IR. Množinu fc = {[x, y]eM : f(x, y) = c} nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Pojem vrstevnice funkce lze samozřejmě analogicky definovat i pro funkce n proměnných, n > 3, zde však ztrácíme názorný „geografický" význam. Chápeme-li graf funkce dvou proměnných jako reliéf krajiny, pak vrstevnice funkce na úrovni c je množina všech bodů s nadmořskou výškou rovnou c, tj. náš pojem vrstevnice je totožný s geografickým významem tohoto slova. Příklad 1.2. i) Pomocí vrstevnic a řezů rovinami pxz, pyz zobrazte graf funkce f(x,y) = y/x2 + y2. Řešení. Vrstevnice funkce na úrovni k > 0 jsou dány rovnicemi k = y/x2 + y2 tj. k2 = x2 + y2, což jsou kružnice se středem na ose z a poloměrem k, viz obr. 1.4. Řez rovinou pyz tj. x = 0 dává z = y/y2 = Řezem je lomená čára s vrcholem v počátku daná rovnicí z = \y\. Podobně řez rovinou y = 0 dává z = \x\. V obou případech je řezem lomená čára s vrcholem v počátku o rovnici z = \y\, resp. z = \x\, viz obr. 1.5, 1.6. (V terminologii technického kreslení a zobrazovacích metod se vlastně jedná o průmět do svislých souřadných nárysen, tj. nárys a bokorys). y obr. 1.4: Půdorys obr. 1.5: Bokorys obr. 1.6: Nárys Na základě získaných výsledků již můžeme říci, že grafem funkce z = y/x2 + y2 je rotační kužel s vrcholem v počátku a hlavní osou z, nacházející 12 Pojem funkce více proměnných se v poloprostoru z > 0, viz obr. 1.10. Na tomto obrázku je znázorněn i dolní kužel, který je grafem funkce z = —y/x2 + y2. ii) Zobrazte v M3 graf funkce fix, y) = *j + jň,a,b > 0. Řešení. Podobně jako v předchozím příkladu vrstevnice jsou dány rovnicemi 2 2 x y x + y = i. b2' ka2 kb2 což jsou rovnice elipsy se středem v počátku a poloosami a ■s/k, b*Jk, viz obr. 1.7. Řezy rovinami y = 0, x = 0 dávají - _ - 2_ což jsou rovnice parabol s vrcholem v počátku souřadných stěnách pxz a pyz, viz obr. 1.8, 1.9. Celkem vidíme, že grafem je plocha, která se nazývá eliptický paraboloid. Tato plocha je prostorově v okolí počátku znázorněna na obr. 1.11. obr. 1.7: Půdorys obr. 1.8: Bokorys obr. 1.9: Nárys iii) Zobrazte v IR3 definiční obor funkce f(x,y, z) = ln(—z2 — x2 — y2 + 1). Řešení. Logaritmická funkce je definován jen pro kladná čísla. Proto musí být -z2 - x2 - y2 + 1 > 0, tj. x2 + y2 + z2 < 1 a tedy £>(/) = y, z] e M3 : x2 + y2 + z2 < í}. V řezech rovinami z = 0, _y = 0, x = 0 postupně dostáváme x2 + y2 < 1, x2 + z2 < 1, y2 + z2 < 1, což jsou body uvnitř kružnice se středem v počátku a poloměru r = 1, celkem je tedy definičním oborem vnitřek koule se středem v bodě [0, 0, 0] a poloměrem r = 1, je to otevřená množina v IR3. Pojem funkce více proměnných 13 obr. 1.10: z — ±^x2 + y2 obr. 1.11: z = 4 + Ě az bz 2x Příklad 1.3. i) Načrtněte v rovině vrstevnice funkce z = ex2+y2 2x Řešení, Vrstevnice funkce mají rovnici c = ex2+y2 a odtud lne Označíme-li nyní ln c = k, postupnými úpravami dostáváme k = 2x x2 + y2 a tedy pro k ^ 0 (tj. c ^ 1), 2x x2+y2 ■ k(x2 + y2) = 2x x2 - -x + y2 = 0 k 1 , , 1 Z poslední rovnice je již vidět, že vrstevnicemi dané funkce pro c ^ 1 jsou kružnice se středem S = [|,0] = [^,0] a poloměrem r = ^ = ^ procházející počátkem, avšak bez počátku (neboť pro bod [0, 0] není funkce definována). Pro c = 1 dostáváme 0 = 2x tedy osa y (bez počátku). x2+y2 ' tj. x = 0, vrstevnicí dané funkce je pro c = 1 ii) Načrtněte vrstevnice funkce z = \x\ — \y\ + \x — y\. Řešení. Nejprve se zbavíme ve vyjádření funkční závislosti absolutních hodnot. Provedeme diskusi v jednotlivých kvadrantech. 14 Pojem funkce více proměnných la) x > O, y > O, x > y z = x — y + x — y = 2(x — y). Ib) x > O, y > O, x < y ==>• z = x — y — x + y = 0. II) x < O, y > O, (zde vždy x < y) ==>• z = —x — y — x + y = —2x. Obdobným způsobem získáme vyjádření funkční závislosti bez absolutních hodnot ve zbývajících dvou kvadrantech a jako výsledek obdržíme situaci znázorněnou na obr. 1.12. Protože pro libovolná [x,y] e M2 platí nerovnost \x — y \ > \y\ — \x\ (zdůvodněte proč), je vždy f(x, y) > 0, tj. pro c < Oje fc = 0. Pro c > 0 načrtneme v jednotlivých sektorech křivku \x\ — \y\ + \x — y\ = c a. pro c = 0, 1, 2, 3 je výsledek znázorněn na obr. 1.13. c = 0 obr. 1.12: z — \x — y \ + \x\ — \y\ obr. 1.13: vrstevnice Cvičení. 1.1. Zobrazte v rovině definiční obory funkcí: i)z = Jl-x*-4y2 g)z = A/ěfe 2x — x1—y1 arccos x+y b) z = yi- (f + £) h)z c) z = ln(x + y) i)z = y/1- (x2 + yY d) z = ^(x2 + y2-í)(4-x2-y2) j) z e) z = arcsin \ - k) z = ln [x ln(y - x)] ln(l-xz-yz) f) z = + v^7 1) z = ^(1 - x2 - y2)(f + y2 - 2ľ) 1.2. Načrtněte vrstevnice funkcí: Pojem funkce více proměnných 15 a) z = x2 + y2 c) z = xy, kde x > O b) z = x2 - y2 ď)z = V* • y 1.3. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami pxz, pyz načrtněte v prostoru grafy funkcí: a)z = 2- x- y c) z = yfl - x2 - y2 d) z = \ (x2 - y2) e) z = 2lW b)z=x2 + y2 f) z = 2 - Jx2 + y^ 1.4. Určete definiční obory funkcí: a) u = y/l + x2 — y2 — z2 f) u = ln (x_yz) b) m = Vl - * + Vľ + 3 + Vž u = A X2 a2 y2 b2 z2 c2 X2 a2 y2 b2 z2 c2 c) u = yj\ + x2 + y2 - z2 d) u = arccos , z i) u = arcsin - + arcsin y + arccos | ^/x2+y2 y e) u = v/l + g + g-^ j) u = ln {-x2 - y2 + 2z) Většina učitelů ztrácí čas tím, že klade otázky, jejichž cílem je zjistit, co žák neumí, zatímco pravé umění tázat se spočívá v tom, že má odhalit, co žák umí nebo je schopen umět. (A. Einstein) Kapitola 2 Limita a spojitost funkce Pojem limity funkce patří k základním pojmům diferenciálního počtu. Je to lokální vlastnost funkce, popisující chování funkce v ryzím okolí bodu, v němž limitu určujeme. (Ryzím okolím bodu rozumíme okolí kromě tohoto bodu.) Skutečnost, že jde o ryzí okolí znamená, že limita nezávisí na funkční hodnotě funkce v tomto bodě - funkční hodnota se může lišit od limity v tomto bodě nebo funkce nemusí být v daném bodě vůbec definována. Rovněž pojem spojitosti funkce více proměnných lze podobně jako pro funkce jedné proměnné definovat pomocí limity funkce, proto zde najdeme řadu tvrzení podobných těm, se kterými jsme se již setkali v diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné. K definici limity, spojitosti a všech dalších pojmů diferenciálního počtu je třeba na IR" zavést metriku. Proto připomeňme několik základních pojmů z teorie metrických prostorů. 2.1. Metrické vlastnosti Kn Připomeňme, že e-okolí vlastního bodu a e IR lze zapsat jako interval \x — a \ < s, s > 0. Okolí O (a) bodu a e IR" je definováno pomocí metriky p v IR" jako množina Oe(a) = {xeř: p(x,a) < s}. Není-li poloměr okolí podstatný, budeme index s vynechávat. Podle výběru metriky dostáváme různé typy okolí. Např. v IR2 dostaneme kruhové okolí, zvolíme-li euklidovskou metriku PiiUu yiL Úl, yi\) = y/Oi - x2)2 + (ji - yiÝ 16 Limita funkce 17 čtvercové okolí dostaneme volbou maximové metriky A»([*i, yú, [X2, yiY) = max{|xi - x2\, \yi - y2\}, či kosočtvercové okolí, zvolíme-li součtovou metriku PiiUi, yú, [x2, yi\) = \x\ - x2\ + \yi - y2\. Podstatná je ekvivalentnost těchto metrik, která znamená, že existence (neexistence) limity nezáleží na tom, kterou z těchto ekvivalentních metrik zvolíme (viz [D-D]). Z důvodu formální jednoduchosti zvolme v této kapitole maximální metriku, ve které je okolí bodu a = [a\,,,,, an] e IR" kartézským součinem okolí jednotlivých souřadnic a\,..., an, tj. Oe{a) = {x = [x\,..., xn] e M" : max \xi — a, | < e). \(/) (připomeňme, že bod x e <£>(/) je hromadným bodem množiny <£>(/), jestliže každé jeho ryzí okolí obsahuje alespoň jeden bod této množiny). 2.2. Limita funkce Definice 2.1. Řekneme, že funkce / : W M {n > 1) má v bodě a e (IR*)" limitu L, L e IR*, jestliže ke každému okolí 6>(L) bodu L existuje ryzí okolí O (a) bodu a takové, že pro každý bod x e O (a) n <£>(/) platí fix) e O ÍL). Píšeme lim fix) = L . 18 Limita a spojitost funkce Limita se nazývá vlastní, jestliže l e IR, v opačném případě (l = ±00) se nazývá nevlastní limita. Bod a e (IR")* se nazývá limitní bod. Uvedená definice limity je univerzální definicí pro funkci jedné či více proměnných, pro vlastní či nevlastní limitu a pro vlastní i nevlastní limitní body. Specifikací okolí pro vlastní limitní bod i limitu a e IR", l e IR dostáváme tzv. s — 8 definici vlastní limity ve vlastním bodě. Tuto definici zde zformulujeme pro funkci dvou proměnných. Definice 2.2. Řekneme, že funkce / : IR2 -> IR má v bodě [xq, yo\ e IR2 limitu l e IR, jestliže ke každému s > 0 existuje 8 > 0 takové, že pro každý bod [x, y] e <£>(/) splňující \x - x0\ < 8, \y - y0\ < 8, [x, y] ^ [x0, y0], platí \f(x, y) — L\ < e. Píšeme lim fix, y) = L. (x,y)^(x0,y0) Zásadní rozdíl mezi limitou funkce jedné proměnné a limitou funkce dvou a více proměnných spočívá v „dimenzi" okolí limitního bodu - u funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (což znamená, že funkce má limitu v bodě, má-li obě jednostranné limity a tyto se sobě rovnají), zatímco u funkce více proměnných je těchto možností nekonečně mnoho; můžeme se blížit k danému bodu po přímkách, po parabolách či obecných množinách. Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Naopak, dostaneme-li různé hodnoty limity pro různé cesty, znamená to, že limita v daném bodě nemůže existovat. Příklad 2.1. i) Pomocí konkrétní specifikace okolí limitního bodu a limity definujte lim fix, y) = 00. CoO-ki.O) Řešení. Vzhledem k tomu, že okolí bodu 00 je tvaru (A, 00) a ryzí 5-okolí bodu [1, 0] je {(1 — 8, 1 + 8) x i—8, 5)}\{[1, 0]}, dostáváme tuto specifikaci obecné Definice 2.1: limita lim(x j3,)^(ijo) fix, y) = 00, jestliže ke každému A e IR existuješ > 0 takové, že pro všechna [x, y ] e <©(/) splňující \x — l\ < 8, \y\ < 8, [x,y]^[í,0] platí fix, y) > A. Limita funkce 19 ii) Dokažte, že funkce f {x, y) = nevlastní limitu oo. má v bodě [0, 0] Řešení. Nechť A e IR ie libovolné. Položme 8 = -J==. Pro J -'2\A\ \x\ 8, \y\ 282 = ttt . Odtud pro 8 platí x2 + y2 ^ ^ - |A|. 1 - \A\ > A. Tedy k A e [x, y] # [0,0] platí x2+y2 libovolnému jsme našli 8 > 0 takové, že pro [x, y] ^ [0, 0] splňující \x\ < 8, \y\ < 8 platí 2]_ 2 > A, tj. podle definice limity lim(x(o,o) jq^s = oo. Graf funkce z = ^ znázorněn na vedlejším obrázku. je Podobně jako u funkce jedné proměnné platí následující věty o limitách funkcí. Protože definice limity funkce více proměnných pomocí okolí boduje stejná jako pro funkci jedné proměnné, jsou i důkazy těchto tvrzení stejné jako pro funkce jedné proměnné a čtenáři doporučujeme šije provést jako cvičení. Věta 2.1. Funkce f má v bodě [xq, yo] nejvýše jednu limitu. Věta 2.2. Nechťlim(X,y)^.(Xo,y0) fix, y) = 0 a funkce g je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu [xq, yo] (tj. existuje konstanta K > 0 taková, ze \g(x,y)\ < K v tomto ryzím okolí). Pak lim f(x,y)g(x,y) = 0. (x,y)^-(x0,yo) Věta 2.3. Nechťh(x, y) < f(x,y) < g(x, y) v nějakém ryzím okolí bodu [xq, yo] a platí lim h(x, y) = lim g(x, y) = L. (x,y)-*(xQ,yQ) (x,y)->(xQ,yQ) Pak lim fix, y) = L. (x,y)^(x0,y0) Věta 2.4. Nechť lim f(x,y) = Lu (x,y)^(x0,y0) lim g(x,y) = L2 (x,y)^>(x0,yo) aL\, L2 e IR. Pak pro každé c, c\, c2 e IR platí lim cfix, y) = cL, (x,y)-*(xQ,yQ) lim [c\f(x, y) + c2g(x, y)] = cxLx + c2L2, (x,y)^(x0,y0) lim [f(x,y)g(x,y)] = L1L2. (x,y)^-(x0,yo) 20 Limita a spojitost funkce Je-li L 2 7^ 0, pak f {x,y) Li hm -= —. (x,y)^(x0,yo) g(x, y) L2 Věta 2.5. Má-li funkce f v bodě [xq, yo] e (M*)2 vlastní limitu, pak existuje ryzí okolí bodu [xq, yo], v němž je funkce f ohraničená. Poznámka 2.1. Počítání limit funkcí dvou a více proměnných je často obtížnější než v případě funkcí jedné proměnné, neboť k počítání tzv. neurčitých výrazů (limity typu ", ") nemáme k dispozici žádnou analogii 1'Hospitalova pravidla. Proto při výpočtu limit tohoto typu používáme různých úprav funkce, jejíž limitu počítáme. Nejčastěji používané úpravy jsou ukázány v následujících příkladech. Příklad 2.2. Vypočtěte limity následujících funkcí i) /(*,:y) = fggvbodě[i,0]. Řešení. Pokud můžeme souřadnice limitního bodu do příslušného výrazu dosadit (tj. po dosazení neobdržíme neurčitý výraz), je hodnota limity dané funkce rovna funkční hodnotě v tomto bodě. Platí tedy ľ x+y+l 1 lim -= - . CcjO-ki.O) x + y + 3 2 ii) f{x, y) = f+f 1 v bodě [0, 0]. ^/x2+y2 + l -1 Řešení. Protože bychom dosazením souřadnic limitního bodu získali neurčitý výraz typu jj, najdeme hodnotu limity obratem typickým i pro funkce jedné proměnné. Čitatele i jmenovatele zlomku vynásobíme výrazem ^Jx2 + y2 + l + 1. Po této úpravě dostáváme x2 + y2 r (x2 + y2Kjx2 + y2 + l + l) lim —-= lim---------= (x,y)->(0,0) yx2 + y2 + l _ l (x,y)->(0,0) X2 + y2 + 1 - 1 = lim (jx2 + y2 + l + l) = 2. (*,?)-». (0,0) iii) f(x,y) = (x + y) sin - sin - v bodě [0, 0]. x y Řešení. Protože lim^^o^C* + y) = 0 a | sin ^ sin ^| < 1 pro každé [0, 0] ^ [x, y] € M2, je podle Věty 2.2 lim(Xjj)^(o,o) (x + y) sin \ sin j = 0. iv) /(x,y) = ^vbodě(l,oo) Limita funkce 21 Řešení. Nejprve ukážeme, že lim(xj3,)^(ij0o) = 0. Nechť e > O je libovolné. Musíme najít 8 > 0 a A e IR taková, že pro x e (1 — 8, 1 + 5) a y > A platí < e. Nechť 8 > 0 je libovolné a položme A = ^ + 8 — 1. Pak pro x e (1 - 8, 1 + 5), y > A platí x + y > l-S + S- l + ± = ±, odtud ^ < e. Protože funkce cos y je ohraničená, platí lim(xj3,)^(ij0o) fyy = 0. v) f(x,y)= xy ln(x2 + y2) v bodě [0, 0]. Řešení. Z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné víme, že lim t ln t = 0 (to lze snadno spočíst pomocí 1'Hospitalova1 pravidla). Protože platí nerovnost \xy\ < x \y (která je ekvivalentní nerovnosti (x ± y)2 > 0), platí 0< |xyln(x2 + y2)| < l-{x2 + y2)ln(x2 + y2). Položme t = x2 + y2. Je-li (x, y) -> (0, 0), je t -> 0+ a tedy lim (x2 + y2) ln(x2 + y2) = lim t ln t = 0. (jc,;y)-K0,0) f->0 Nyní z nerovnosti (2.1) a Věty 2.1 plyne lim xy ln(x2 + y2) = 0. (jc,y)-»-(0,0) vi) fix, y,z) _ sin(x-y+z-l) x—y+z—1 v bodě [1, 1, 1]. Řešení. Příklad vyřešíme metodou substituce. Položme t = x — y + z — 1. Pro (x, y, z) -> (1, 1, 1) je ř -> 0. Protože lim^o ^ = L k libovolnému s > 0 existuje <$i > 0 takové, že pro 0 < |ř| < <$i je | ^ — 11 < s. Položme 8 = y. Pak pro [x, y, z] e IR3 splňující \x — 1| < 5, |y — 1| < 8, \z— 1| < 5, x — y + z — 1 # 0 je0< |x — y + z — 11 <<$iatedy sinfx - y + z - 1) x y + z-l 1 lim (jC,y,z)->(l,l,l) sin(x -y + z-l) x = 1. Řekli jsme, že existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Naopak, dostaneme-li různé hodnoty limity ^uillaume de 1'Hospital (1661-1704), francouzský matematik. 22 Limita a spojitost funkce pro různé cesty, znamená to, že limita v daném bodě nemůže existovat. Tohoto faktu užíváme při důkazu neexistence limity funkce dvou proměnných ve vlastním bodě [xo, yo] zavedením polárních souřadnic r, cp definovaných vztahy x — xq = r cos (p, y — y0 = r sin (p, kde r > 0 udává vzdálenost bodů [xo, yo] a[x,y],

. (jc,)0-ko,0) x2 + y2 r^o+ r2 2 Protože výsledek závisí na cp, tj. na cestě, po které se blížíme k bodu [0, 0], uvedená limita neexistuje. Graf této funkce viz obrázky 11.4 a 11.5. Poznámka 2.2. Zavedením polárních souřadnic při výpočtu limity vyšetřujeme chování funkce / v okolí limitního bodu [xo, yo] na přímkách se směrovým vektorem (cos cp, sincp). Pokud limita vyjde nezávisle na úhlu cp, je to pouze nutná podmínka pro existenci limity v bodě [xo, yo], protože pro jiný způsob „blížení", např. po parabolách, můžeme obdržet zcela odlišný výsledek. Jako příklad uvažujme funkci / : IR2 -> IR definovanou takto /(*> y) = ■ [x,y]#[0,0], 0, [*,?] = [0,0]. Po transformaci do polárních souřadnic dostáváme r3 cos2 cp sin cp r cos2 cp sin cp lim —r—i---r-^— = lim -z--.-r^— = 0, r^o rl{rl cos4 (p + sin2 (p) r^o r1 cos4 (p + sin2 (p přesto však limita funkce v bodě [0, 0] neexistuje. Vskutku, položíme-li y = kx2, tj. k limitnímu bodu [0, 0] se blížíme po parabolách, dostáváme kx k lim x^0x4+k2X4 í+k2, což je výsledek závisející na konstantě k, viz obrázek 11.6. Limita funkce 23 Následující věta udává podmínku, za které je nezávislost limity na cp po přechodu k polárním souřadnicím i postačující pro existenci limity. Věta 2.6. Funkce f má v bodě [xq, yo] limitu rovnu L, jestliže existuje nezáporná funkce g: [0, oo) -> [0, oo) splňujícílimr^o+ g(r) — 0 taková, ze \f{xQ + r cos (p, yo + r sin cp) - L\ < g(r) pro každé (p e [0, 2tt] a r > 0 dostatečně malá. Speciálně, platí-li po transformaci do polárních souřadnic lim f(x,y)= lim h(r)g((p) (x,y)^>(x0,yo) r^0+ kde limr^o+ h(r) — 0 a funkce g((p)je ohraničená pro (p € [0, 2tt), /?a& lim /(*,>>) = 0. (x,j)^(x0,jo) Důkaz. Protože limr^o+ g(r) — 0, ke každému e > 0 existuje 5 > 0 tak, že pro 0 < r < S jeg(r) < e, tj. \f(xo + r cos (p, yo + r sin (0, 0), je r -> 0+ a tedy x3 + j3 r3(sin3

(0,0) xl + yl r^0+ r2(sin2 ^ + COS2 (p) r^0+ neboťfunkce g(^>) = sin3 cp + cos3 cp je ohraničená, ii) /(x, y) = x2/^y-_%y v bodě [0,1]. Řešení. Postupujeme podobně jako v předcházejícím příkladě. Platí x2 + (y - l)2v , lim —~-— = lim (1 + r sin w) — 1, (jc,;y)-K0,l) x2 + (y - l)2 r^0+ čímž je splněna nutná podmínka pro existenci dané limity. Dále platí |(1 + r sin3 cp) — 1| = \r sin3 cp\ < r, takže podle Věty 2.6 je splněna také postačující podmínka a hodnota limity je rovna 1. 24 Limita a spojitost funkce Poznámka 2.3. Podobně jako transformaci do polárních souřadnic při výpočtu limity funkce dvou proměnných, používáme při výpočtu limity funkce tří proměnných transformaci do sférických souřadnic x — xq — r cos (p sin ů, y — yo — r sin (p sin ů, z — zo — r cos ů, kde r udává vzdálenost bodů [xo, yo, zo] a [x, y, z], ů je úhel, který svírá průvodič ^spojnice těchto bodů) s kladným směrem osy z a (p je úhel, který svírá průmět průvodiče do podstavné roviny pxy s kladným směrem osy x. Zejména, jestliže po zavedení sférických souřadnic vyjde výraz závisející na (p nebo ů, limita neexistuje (toto odpovídá skutečnosti, že při „blížení" po různých přímkách k limitnímu bodu dostaneme různé hodnoty). V některých speciálních případech je vhodná k vyšetřování existence limity následující věta, která se někdy v literatuře bere za definici limity (tzv. Heineho1 definice). Důkaz této věty neuvádíme, neboť je v podstatě stejný jako pro analogické tvrzení týkající se funkce jedné proměnné, viz [Ni], strana 189. Věta 2.7. Nechť[xQ, yo] je hromadný bod definičního oboru <£)(/) funkce f : M2 —> M. Funkce f má v tomto bodě limitu L právě kdyžpro každou posloupnost bodů {[xn, yn]}, kde [xn, yn] [xq, yo] Pro velká n, konvergující k bodu [xq, yo] má posloupnost {f(xn, yn)} limitu L. 2.3. Spojitost funkce Definice 2.3. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě [xo, yoLjestližemávtomto bodě vlastní limitu a platí lim f{x, y) = f(x0, yo). (x,y)^-(x0,yo) Pro funkci n proměnných dostáváme zcela stejnou definici spojitosti: Nechť / je funkce n proměnných, n > 2. Řekneme, že funkce / je spojitá v bodě x* — [xj, ..., x*], jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí lim fix) = fix*). x^x* Porovnejme tuto definici s definicí spojitosti zobrazení mezi metrickými prostory. Zobrazení / z prostoru iP, p) do prostoru iQ, a) je spojité v bodě x* e P, jestliže ke každému okolí V bodu fix*) e Q existuje okolí U bodu x* takové, že pro každé x* e U je fix*) e V. Je-li iP, p) prostor M" s některou z výše uvedených ekvivalentních metrik Heinrich Heine (1821-1881), německý matematik Spojitost funkce 25 Pí, P2, Poo (viz odstavec 2.1.) a (g, er) je M1 s metrikou er (x , y) — \x — y\, pak je definice spojitého zobrazení stejná s definicí spojité funkce n proměnných v bodě x*. Vzhledem k tomu, že spojitost funkce dvou a více proměnných se definuje pomocí pojmu limity funkce stejně jako pro funkci jedné proměnné, obdobně platí věta, že součet, součin a podíl spojitých funkcí je spojitá funkce a dále platí věta o spojitosti složené funkce. Věta 2.8. Jsou-li funkce f g spojité v bodě [xo, yo] e M2, pak jsou v tomto bodě spojité i funkce f + g, fga je-li g(xo, yo) # 0, je v tomto bodě spojitá také funkce f/g- Věta 2.9. Nechť funkce g, h jsou spojité v bodě [xo, yo], uo = g(xo, yo), vo = h{xo, yo) a funkce f je spojitá v bodě [uq, vq]. Pak je v bodě [xq, yo] spojitá složená funkce F(x, y) = f(g(x,y),h(x, y)). Příkladem funkcí spojitých v celé rovině jsou např. polynomy ve dvou proměnných, funkce sin u, cos u,eu, kde u je polynom ve dvou proměnných. Příklad 2.5. Určete body, v nichž nejsou následující funkce spojité 2x — 5y sin(x2y + xy2) a)f(x,y) = ——--- b)f(x,y) =---—. xl + yl — 1 cos(x — y) Řešení, a) Funkce f\(x,y) = 2x — 5y, fi{x, y) = x2 + y2 — 1 jsou polynomy ve dvou proměnných a ty jsou spojité v celé rovině. Funkce / není spojitá v bodech, ve kterých není definována, tj. kde x2 + y2 = 1. Body, v nichž funkce není spojitá tvoří kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1. b) Funkce f\(x,y) = x2y + xy2, fi{x, y) = x — y a sin u, cos u jsou spojité v celé rovině. Podle Věty 2.9 o podílu není funkce / spojitá v bodech, kde cos(x-y)=0, tj. y=x + (2k + l)^- k e Z. Příklad 2.6. Zjistěte zda funkce f(x,y) definovaná následujícím způsobem je spojitá v bodě [0, 0]: fix, y) = ■ ^ pro [x, y] #[0,0] 0 pro[x,y] = [0,0]. Řešení. Nejprve ověřme, zda existuje lim^-y^o.o) f(x,y). Zvolíme-li y = kx, snadno vidíme, že výsledná hodnota záleží na k, neboli že záleží na přímce, po 26 Limita a spojitost funkce které se k počátku blížíme. Proto uvedená limita neexistuje a daná funkce nemůže být v počátku spojitá. Poznámka 2.4. Je-li funkce / spojitá v bodě [xo, yo] e K2, pak jsou spojité i funkce jedné proměnné g(x) — f(x, yo) v bodě xq ah(y) — /(xo, y) v bodě jo- Spojitá funkce dvou proměnných je tedy spojitou funkcí proměnné x při konstantním y a spojitou funkcí y při konstantním x. Opačné tvrzení neplatí! Ze spojitosti vzhledem k jednotlivým proměnným neplyne spojitost jakožto funkce dvou proměnných. Uvažujme funkci z předchozího příkladu. Není obtížné ověřit, že pro libovolná pevná xq, y q e M jsou funkce f {x, yo), /(xo, y) spojité v M, avšak funkce dvou proměnných / není spojitá v bodě [0, 0], neboť v tomto bodě limita neexistuje. 2.4. Vety o spojitých funkcích Stejně jako pro funkci jedné proměnné, platí pro funkci n proměnných Weier-strassova1 a Bolzanova2 věta. Uvedeme obě věty pro funkci dvou proměnných. Připomeňme, že Weierstrassova věta pro funkce jedné proměnné se týká funkcí spojitých na uzavřeném a ohraničeném intervalu, přičemž spojitost na uzavřeném intervalu znamená spojitost zleva (zprava) v pravém (levém) krajním bodě a normální spojitost ve vnitřních bodech. Pro funkci dvou proměnných definujeme spojitost na množině takto. Definice 2.4. Řekneme, že funkce / je spojitá na množině M c IR2, jestliže pro každý bod [xq, yo] £ M platí lim f{x, y) = f(x0, yo). (x,y)^>(x0,yo) (x,y)eM Limitní vztah chápeme takto: Ke každému e > 0 existuje 8 > 0 takové, že pro každé [x, y] e Osi[x0, y0]) n M platí \f(x, y) - f(x0, y0)\ < s. Věta 2.10. (Weierstrassova) Nechť funkce f je spojitá na kompaktní množině M c IR2. Pak nabývá na M své nejmensí a největsí hodnoty. Důkaz. Uvedená věta je důsledkem obecné věty z metrických prostorů: Je-li / spojité zobrazení mezi metrickými prostory, pak obrazem kompaktní množiny je kompaktní množina. V Eukleidovských prostorech je kompaktní množinou ^arl T. W. Weierstrass (1815-1897), německý matematik 2Bernard Bolzano (1781-1848), český matematik a filosof Věty o spojitých funkcích 27 každá ohraničená uzavřená množina. Odtud okamžitě plyne ohraničenost množiny / (M). Protože každá neprázdná shora ohraničená množina má supremum, existuje K= sup f(x,y). (x,y)eM Zbývá dokázat, že existuje bod [xo, y o] e M takový, že f(xo,yo) = K. Podle definice suprema existuje pro libovolné n e N bod [xn,yn] e M tak, že f(xn,yn) > K — -. Posloupnost {[.*„, y„]} je ohraničená, proto existuje vybraná podposloupnost {[x„k, ynk]} konvergující k bodu [xo, yo\. Vzhledem k uzavřenosti množiny M je [x0, yo] e M a ze spojitosti funkce / plyne, že {f(x„k, ynk)} f(x0, yo). Poněvadž f(x„k, y„k) > K - ^ pro všechna k, je lim^^oo f(x„k, y„k) = f(x0, y o) > K. Z definice suprema plyne f(x0, y o) < K, a proto f(x0, y o) = K. Podobně se dokáže tvrzení o nej menší hodnotě funkce /. □ Poznámka 2.5. Důsledkem této věty je ohraničenost spojité funkce na kompaktní množině, což bývá někdy spolu s Větou 2.10 formulováno ve dvou větách jako první a druhá Weierstrassova věta. V následující větě je třeba předpokládat, že množina M je souvislá. Připomeňme z teorie metrických prostorů, že otevřená množina M c E2 se nazývá souvislá,''' jestliže pro každé dva body X,Y e M existuje konečná posloupnost bodu X\,..., Xn e M, X\ — X, Xn — Y taková, že všechny úsečky XíXí+\ jsou podmnožinami M. Věta 2.11. (Bolzanova) Nechť funkce f je spojitá na otevřené souvislé množině M c IR2. Nechť pro A, B e M platí f (A) ^ f (B). Pak ke každému číslu c ležícím mezi hodnotami f (A) a f(B) existuje C e M tak, že f (C) = c. Důkaz. Položme g (x, y) = f(x,y) — c.Ze souvislosti množiny M plyne existence konečné posloupnosti bodů X\,..., Xn e M, X\ = X, Xn = Y takové, že všechny úsečky XiXi+\ jsou podmnožinami M. Uvažujeme-li hodnoty g(X{), pak buď existuje index i takový, že g (X i) = 0 nebo existuje j takové, že g (X j) < 0, (> 0), g(Xj+í) > 0 (< 0). Označíme-li X j = [xi, yi], Xj+Í = [x2, yi\, jsou parametrické rovnice úsečky XjXj+\ x = x\ + (x2 - xi)t, y = yi + (y2 - yi)t, t e [0, 1]. Položme G (t) = f(xi + (x2 - xi)t, yi + (y2 - yi)t), t e [0, 1]. Pak G(0) = g (X j) < 0 (> 0), G(l) = g(Xj+i) > 0 (< 0) a G je spojitá funkce na uzavřeném 28 Limita a spojitost funkce intervalu. Podle Bolzanovy věty pro funkci jedné proměnné existuje t q e (0, 1) tak, že G (to) = 0. Zvolíme-li C = [x\ + (x2 — xi)to, y\ + (yi — y\)to\, dostaneme g(C) = 0, tj. f(C) = c. □ Poznámka 2.6. Důsledkem této věty je následující tvrzení: Nechť funkce / je spojitá na otevřené souvislé množině M c M2. Existují-li A, B e M takové, že f (A) < 0, f (B) > 0, pak existuje C e M tak, že f (C) = 0 (tzv. první Bolzanova věta). Ľ Cvičení. 2.1. Pomocí konkrétní specifikace okolí limitního bodu a limity definujte a) lim f (x, y) = oo b) lim f (x, y) = —oo 2.2. Vypočtěte limity následujících funkcí: a) iim ^+1= d) lim (x,30^(1,1) «Jx2+y2 (x,j)^(-4,-l) x +y b) lim — e) lim xy2 cos -K (x,y)^(e2,\) y {x,y)^{0,0) c) lim (x,j)^(l,0) «Jx2+y2 2.3. Vypočtěte limity následujících funkcí: a) Um ^±ň e) lim 2 x~\ 2 b) Um 4^4 f) lim ^ (x,y)->(0,0) x +y {x,y)^{0,2) X s/x2y2 + l-l .-2 , „2 c) lim v%Vz ' S) lim t?? d) lim (x2 + y2)^2 h) lim ^í^i (x,y)->(0,0) {x,y)^{0,2) X 2.4. Vypočtěte limity následujících funkcí: a) lim (x2 + y2)z-{x+y) d) lim {-^rif (x,j)^(oo,oo) (x,y)^(oo,ooyx +^ y 2 9 , 9 e * +:v b) lim + e) lim (x,j)™(oo,l) V~ ' x/ 7 (x,yf-^lo,0) x4+y4 C) lim ^^V? f) lim (l+x^) (jc,y)-»-(0,0) (x +y )x y (x,y)->(0,0) Věty o spojitých funkcích 29 2.5. Dokažte, že funkce f(x,y) = nemá v bodě [0,0] limitu. 2.6. Určete body nespojitosti funkcí: a) z = d) z = sin — ' xy e) z = - i ■s/x2+y2 c>z = ÍS f)í = ln|l sin x- sin y x 2.7. Určete body nespojitosti funkcí: x x2+y5+x+3 a) z — —-4-- x4+xyi b) z = c) z = x2+3y x2—3y d) z = arccos - ' xyz f)z = ln ey-1 s/ (x-a)2+(y-b)2+(z-cý 2.8. Zjistěte, zda funkce / je spojitá v bodě [0,0]: a) fix, y) = h)fix,y) = xy x2+y2 0 pro [x, y] ^[0,0] pro [x,y] = [0, 0] Ä pro[x,ľ]^[0,0] 0 pro [x,y] = [0, 0] Učitel by měl působit tak, že to, co nabídne, je přijímáno jako cenný dar, ne jako úmorná povinnost. (A. Einstein) * Kapitola 3 Parciální derivace Derivace funkce je druhým základním pojmem diferenciálního počtu. Cílem této kapitoly je zavést tento pojem pro funkci více proměnných a ukázat souvislost s limitou a spojitostí funkce. Připomeňme definici a geometrický význam derivace funkce jedné proměnné: derivace funkce / :I^Kv bodě xq je limita f Oo) = lim -. (3.1) x^x0 x — Xq Derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke křivce y = f (x) v bodě [xq, f(xo)]. Má-li funkce derivaci v bodě xq, je v tomto bodě spojitá a tudíž zde existuje také limita funkce. Jak jsme již ukázali v předcházející kapitole, je limita funkce dvou a více proměnných komplikovanějším pojmem než v případě funkce jedné proměnné, neboť k bodu [xo, yo] (v případě dvou proměnných) se můžeme blížit mnoha způsoby. Zcela přirozené je začít zkoumat situaci, blížíme-li se k bodu [xo, yo] ve směru souřadných os x a y. Tím se dostáváme k pojmu parciální derivace funkce dvou proměnných. Při „parciálním"1 derivování se vždy na jednu z proměnných x, y díváme jako na konstantu a podle druhé derivujeme. Blížíme-li se k bodu [x0, y o] ve směru předem daného vektoru u = (u\, 112), jde o směrovou derivaci, která je přirozeným zobecněním pojmu parciální derivace. Pro funkci n proměnných je situace analogická. Doslovný český překlad slova parciální je „částečný". 30 Parciální derivace 1. řádu 31 3.1. Parciální derivace 1. řádu Definice 3.1. Nechť funkce / : IR2 -> IR je definovaná v bodě [xq, yo] a nějakém jeho okolí. Položme cp(x) = f(x, yo). Má-li funkce cp derivaci v bodě xo, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce / podle proměnné x v bodě [xo, y0] a označujeme fx(x0, y0), event. |£(*0, y0), fx(x0, yo)-To znamená, že r, , r (P(x)-(p(xo) fix, yo) - f(x0, yo) fxíxo, yo) = lim -= lim -. x^x0 x — Xo x^x0 x — Xo Podobně, má-li funkce ýiy) = fixo, y) derivaci v bodě yo, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce / podle proměnné y v bodě [xo, yo] a označujeme fy(x0, yo) (f£(*o> yo), fý(xo, yo))- Poznámka 3.1. i) Má-li funkce z = fix,y) parciální derivace ve všech bodech množiny ./V c <©(/), jsou tyto derivace funkcemi proměnných x, y. Označujeme je fx{x, y), fyix, y),popř. y), j^fix, y), fx{x, y), f'yix, y), zx, zy, z'x,z'y. ii) Zcela analogicky se definují parciální derivace funkce n proměnných. Je-li z = fix\,..., xn) funkce n proměnných, x* = [xf,..., x*] e M.n, definujeme ^■(.x*) = lim i [fix^ x*_x,x* + t, ..., x*) - fixl,x*)]. iii) Z definice parciální derivace plyne, že při jejím výpočtu postupujeme tak, že všechny argumenty kromě toho, podle něhož derivujeme, považujeme za konstanty. Protože parciální derivace fx. funkce n proměnných je definována jako „obyčejná" derivace podle proměnné xi, platí pro počítání parciálních derivací obvyklá pravidla pro derivování. Uvedeme je přímo pro funkci n proměnných. Veta 3.1. Nechť funkce f, g : M." —>• IR mají parciální derivaci podle proměnné Xi, i e {1,..., n}, na otevřené množině M. Pak jejich součet, rozdíl, součin a podíl má na M parciální derivaci podle xi a platí — [fix) ± gix)] = —fix) ± —gix), ň Y; ň Y: ň Y: 32 Parciální derivace -£-U(x)g(x)] = ^f(x)g(x)+g(x)^f(x), dXi dXi dXi 3 (fixy f(x)g(x)- f(x)^-g(x) dxi \g(x)) g2{x) přičemž tvrzení o podílu derivací platí za předpokladu, že g(x) ^ 0. Příklad 3.1. i) Vypočtěte parciální derivace funkce dvou proměnných a) z = arctg | b) z = xy, x > 0. Řešení, a) Při výpočtu parciální derivace podle proměnné x považujeme proměnnou y za konstantu, tj. + x2)~ y x2 + yz Analogicky, 1 íl x Zy = 1 _|_ žl \xj x2 + y^ b) Parciální derivaci podle x určíme jako derivaci mocninné funkce a derivaci podle y jako derivaci exponenciální funkce se základem x, tj. zx = yxy~1, zy=xy\nx. ii) Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce f(xi,...,x„) = Tjx2 + ---+x2exi+-+x». Řešení. Při výpočtu parciální derivace podle proměnné xi považujeme všechny ostatní proměnné za konstanty: d dxi x2 H-----h x2 exi XÍ + ---+XÍ e*í+~+< + 2xJx2 + ---+x2n exi+-+xn = XÍ + ---+XÍ [l+2(x2 + ---+x2n)] . Parciální derivace 1. řádu 33 Geometrický význam parciálních derivací. z = f(x, y) Nechť je dána funkce / : Rz -> R a G/ je její graf. Nechť % je rovina daná rovnicí y = yo- Za rozumných předpokladů (např. spojitost funkce /) je průsečíkem G f ílu křivka y v rovině % a parciální derivace fx(xo,yo) udává směrnici tečny t k této křivce v bodě Qq = [xo, yo, f(x0, y o)], viz vedlejší obrázek. (Připomeňme, že směrnice tečny t je tg a). Podobně, derivace fy(xo, y o) vídává směrnici tečny ke křivce v bodě Qo, která vznikne průsečíkem plochy G f s rovinou x = xq. Zatímco u funkcí jedné proměnné plyne z existence derivace v daném bodě její spojitost, u funkcí více proměnných toto tvrzení neplatí. Má-li funkce f : R2 -> IR parciální derivace v bodě [xq, yo], nemusí být v tomto bodě spojitá, jak ukazuje následující příklad. Příklad 3.2. Funkce definovaná předpisem fix, y) = ■ 1 pro x = 0 nebo y = 0 0 jinak má v bodě [0, 0] obě parciální derivace (rovny nule) a není zde spojitá, neboť v tomto bodě neexistuje limita (grafem funkce je podstavná rovina, z níž je „vyzdvižen" osový kříž). Skutečnost, že z existence parciálních derivací neplyne spojitost, je zcela přirozená, neboť parciální derivace udávají informaci pouze o chování funkce ve směrech rovnoběžných se souřadnými osami, přičemž v jiných směrech se funkce může chovat „velmi divoce". 34 Parciální derivace 3.2. Derivace vyšších řádů Definice 3.2. Nechť [xo, yo] £ D(fx). Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y) podle proměnné x v bodě [xo, yo], nazýváme tuto derivaci parciální derivací 2. řádu podle x funkce / v bodě [xo, yo] a značíme fxx(xo, yo) nebo také §77 Oo, y0). Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y) podle proměnné y v bodě [xo, yo], nazýváme tuto derivaci smíšenou parciální derivací 2. řádu funkce / v bodě [xq, y0] a značíme fxy(x0, y0) nebo také 4J-(x0, yo)- Obdobně definujeme parciální derivace 2. řádu fyx(xo, yo) a fyy(xo, yo)-Parciální derivace n-tého řádu in > 3) definujeme jako parciální derivace derivací in — l)-tého řádu. Příklad 3.3. i) Vypočtěte derivace 2. řádu obou funkcí z Příkladu 3.1 i). Řešení, a) V případě funkce z = arctg | jsme vypočetli zx = — x2+y2, zy Odtud 3 3 ( y \ 2xy Zxx — Ti (.Zx) — Ti +yz,^y x2+y2' dx dx \ x2 + y2 J (x2 + y2)2 Podobně 3 / y \ x2 + y2 — 2y2 y2 — x2 ZXy — Zyx — Z yy dy \ x2 + y2 J (x2 + y2)2 (x2 + y2)2 3 / x \ _ x2 + y2 - 2x2 _ y2-x2 3x" \x2 + y2) ~ (x2 + y2)2 ~ (x2 + y2)2' 3 / x \ 2xy ly~ \x2 + y2) =~(x2 + y2)2' Pro funkci z = xy z části b) je zx = yxy 1,zy = xy lnx. Odtud Zxx =y(y - í)xy 2, zXy = xy 1 + yxy 1 ln x, zyx =yxy 1 lnx + xy — = xy 1 + yxy 1\nx, zyy=xy\n2x. ii) Ukažte, že pro funkci u = , 1 platí uxx + uyy + uzz = O.1 ■\/x2+y2+z2 1 Uvedený příklad hraje důležitou roli ve fyzice; podrobněji viz příklad 5.3ii) Derivace vyšších řádů 35 Řešení. Při výpočtu parciálních derivací využijeme skutečnost, že funkce u závisí na proměnných x,y, z symetricky. Platí x (x2 + y2 + z2)i' (x2 + y2 + z2)i - 3x2(x2 + y2 + z2)h*2 + y2 + zH 1 3x< + x2 + y2 + z2 (x2 + y2+z2)2 Ze symetrické závislosti na zbývajících proměnných pak dostáváme 1 3v Uyy - , , , + 2 yy x2 + y2+z2 (x2 _|_ y2 _|_ z2)2' 1 3z 2 U77 — ,-, , , "I- zz x2 + y2+z2 (x2 + y2 + z2)2' Odtud nyní snadno ověříme platnost rovnice uxx + uyy + uzz = 0. Všimněme si, že u obou funkcí v části i) předcházejícího příkladu vyšla rovnost zxy = zyx. Následující věta ukazuje, že tyto rovnosti nejsou náhodné. Věta 3.2. (Schwarzova1) Nechť funkce f má spojité parciální derivace fxy, fyx v bodě [xq, yo]. Pak jsou tyto derivace záměnné, tj. platí fxyixo, yq) = fyXixo, yo). (3.2) Důkaz. Ze spojitosti funkcí fxy a fyx v bodě [xo, yo] plyne existence 5-okolí \i = (xo — 8, xo + 8) x (yo — 8,yo + 8) bodu [xo, yo], v němž jsou parciální derivace fxy a fxy definovány. Pro 0 < h < 8 položme t?/1 \ f(xo + h,yo + h)-f(xo + h,yo)-f(xo,yo + h) + f(xo,yo) Fih) =-—- (3.3) a dále označme \y\, 0 pro \x\ < \y\. Pak pro y ^ 0 je fx (0, y) = 0 a pro y = 0 je podle definice parciální derivace fx(0, 0) = lim---= hm---= 0. h^0 h h^0 h Pro x ^Oaliv absolutní hodnotě dostatečně malá je f(x, h) = xh, tedy f(x,h)-f(x,0) xh-0 fy (x,0) = lim-= lim-= x y h->o h h->o h a konečně fy (0, 0) = lim---= lim - = 0. jyK ' h-+o h h^oh Směrové derivace_37 Využitím těchto výsledků plyne z definice parciálních derivací 2. řádu /^(O, 0) = hm---= hm 0 = 0, y h->0 h h->0 fyx(0, 0) = hm -1--—--= hm —-— = 1. y h->o h h->o h Matematickou indukcí můžeme tvrzení Schwarzovy věty rozšířit pro derivace vyssich radu. Věta 3.3. Má-li funkce f v bodě [xq, yo] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu n, pak hodnota parciální derivace řádu n v libovolném bodě z tohoto okolí závisí pouze na tom, kolikrát se derivovalo podle proměnné x a kolikrát podle proměnné y, nikoliv na pořadí, v jakém se podle těchto proměnných derivovalo. 3.3. Směrové derivace Parciální derivace funkce / v bodě x e W1 jsou obyčejné derivace, které získáme zúžením definičního oboru funkce / na přímku jdoucí bodem x a rovnoběžnou s i-tou souřadnicovou osou. Zobecněním parciálních derivací jsou směrové derivace, které získáme zúžením definičního oboru funkce na přímku j doučí bodem x a maj ící směr daného vektoru i/eV". To znamená, že vyšetřujeme funkci (p(t) — f(x + tu), která je již funkcí jedné proměnné, a pro ni je pojem derivace již dobře znám. Poznamenejme, že V" je standardní označení pro zaměření ^-rozmerného euklidovského prostoru. Definice 3.3. Nechť / je funkce n proměnných, x je vnitřní bod <£>(/), u e V". Položme (p(t) — f(x + tu). Má-li funkce (p derivaci v bodě 0, nazýváme ji směrovou derivací funkce / v bodě x (derivací / ve směru vektoru u) a označujeme fu(x). To znamená, že (p(t)-(p(O) f(x + tu)-f(x) fu(x) = lim- = lim-. Poznámka3.2. i) Nechť (e\,..., en) je standardní báze v V" (vektor e; má na z'-tém místě jedničku a na ostatních místech nuly). Pak fei(x) — fXi(x), tj. směrová derivace podle vektoru et je totožná s parciální derivací podle proměnné X{. ii) Jelikož je směrová derivace obyčejnou derivací funkce (p, platí pro počítání tato pravidla: Nechť existuje /„, guv bodě x e W1. Pak a) pro všechna c e M existuje fcu (x) a platí fcu (x) — cfu (x) 38 Parciální derivace b) (f ± g)u(x) = fu(x) ± gu(x) C) (fg)u(x) = fu(x)g(x) + f(x)gu(x) d) Je-li g(x) / O, pak ■A ^ - f(x)gu(x) g/u S (x) iii) Naopak neplatí aditivita směrových derivací vzhledem ke směrům. Jestliže existují /„, /„, nemusí existovat /„+„ a pokud existuje /„+„, může být fu + fv fu+v, viz následující příklad, část ii). iv) V Příkladu 3.2 jsme ukázali, že z existence parciálních derivací funkce / v bodě [xq, jo] neplyne spojitost funkce. V části iii) následujícího příkladu ukážeme, že ani existence směrové derivace v bodě [xo, jo] ve směru libovolného vektoru u e V2 není postačující pro spojitost. Toto je na první pohled překvapující skutečnost, uvědomíme-li si však, že směrové derivace popisují chování funkce /, blížíme-li se k bodu [xo, jo] po přímkách, a definice limity (pomocí níž je definována spojitost v bodě [xo, yoT) zachycuje všechny způsoby „přiblížení" (např. po parabolách), je toto zcela přirozené. Příklad 3.5. i) Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x, y) — arctg (x2 + y2) v bodě [1, —1] ve směru vektoru u — (1, 2). Řešení. Přímým dosazením do definice a využitím ľ Hospitalova pravidla dostáváme arctg[(l+ř)2 + (-l+2ř)2]-arctg2 /(1,2)(1, 1) = lim--- arctg(2 -2t + 5t2) - arctg 2 -2 + lOř 2 lim- = lim-r-rr = —. í^O ř í^O 1 + (2 - 2t + 5f2)2 5 ii) Ukažte, že pro funkci ľ xy(x+y) I x2+y2 |0 pro (x, y) = [0,0] ti ^ I x2+v2 Pro (x, y) ŕ [0,0] f (x, y) = t x +y a vektory u = (1, 0), v = (0, 1) existují/M(0, 0), fv(0, 0), fu+v(0, 0), avšak fu+v(0, 0) # /«i(0,0) + /„(0, 0). Řešení. Platí /„ = fx, fv = fy. Protože f(t, 0) = 0 = /(0, f), je /„(0,0) = 0 = /„(0, 0). Pro derivaci ve směru vektoru u + v — (1,1) dostáváme z definice směrové derivace fu+v(0, 0) = lim -[/(0 + t, 0 + ř) - /(0, 0)] = lim = 1. f-»0 ř f-»0 2t3 Tedy 1 = fu+v(0, 0) # /„(0, 0) + fv(0, 0) = 0. Směrové derivace 39 iii) Ukažte, že funkce / definovaná předpisem f( , \£Ě*> pro(*,y)#[0,0], f(x, y) = l* +y [0, pro (x, y) = [0,0] má v bodě [0, 0] směrovou derivaci ve směru libovolného vektoru u e V2 a přesto není v tomto bodě spojitá. Řešení. Je-li 0 ^ u — (mi, uf) e V2 libovolný, podle definice směrové derivace platí 1 t4u4 ■ t2u2 /„(0,0) = lim-[/(0 + ími,0 + ím2) - /(0,0)] = lim 1 2 - Mí"' " ...... t->Qt{ru\+tAu\) = lim A * . = 0. Blížíme-li se k bodu [0, 0] po parabolách y = kx2, dostáváme x4 ■ k2x4 k2 lim „ A o — A ■ x^o x8 + k4x8 1 + k4 To však znamená, že lim f(x,y) neexistuje, tedy funkce / není v bodě [0, 0] (x,y)^(0,0) spojitá. Definuj eme-li směrové derivace 2. řádu vztahem fuv(x ) = hm-, f-»0 t platí analogické tvrzení jako věta o záměnnosti smíšených parciálních derivací. Věta 3.4. Nechť u, v e V", funkce f : M.n —> M má v bodě x* spojité směrové derivace fuv a fvu- Pak jsou si tyto derivace rovny, tj. fuv(x ) = fvuix ). Poznámka 3.3. Předpokládejme, že funkce / má v bodě x* spojité parciální derivace 2. řádu a označme fix*) — (fxiXj), i, j — 1, • • •, n, matici parciálních derivací druhého řádu funkce / v bodě x* (tato matice se někdy nazývá Hessova matice funkce / v bodě x*), pak pro libovolná u, v e V" existuje smíšená směrová derivace fuv(x*) a platí fuvíX*) = fvuíX*) = (f"(x*)u, V) = (f"ix*)v, U), kde (,} je obvyklý skalární součin v M". 40 Parciální derivace 3.4. Lagrangeova věta o střední hodnotě Jedním z důležitých tvrzení diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné je Lagrangeova1 věta o střední hodnotě. Tato věta říká, že pro diferencovatelnou funkci / : [a, b] -> M lze rozdíl f(b) — f(a) vyjádřit ve tvaru f(b) - f(a) = f'(š)(b - a), kde £ e (a, b). Její analogií pro funkce dvou proměnných jsou následující dvě tvrzení; první pro parciální derivace, kdy „body střední hodnoty" leží na hranici obdélníku určeného danými dvěma body, a druhé tvrzení pro směrovou derivaci. Věta 3.5. Předpokládejme, ze funkce f má parciální derivace fx a fy ve všech bodech nějakého obdélníku M C M2 a nechť[xQ, yo], [*l> Ji] £ M. Pak existují čísla £, rj ležící mezi xq, x\ resp. yo, y\ taková, že /Ol, Ji) - f(x0, yo) = fx(£, y\)(xi - xq) + fyixQ, r])(yi - y0). Důkaz- Platí f(x\, y\) - f(x0, jo) = f(x\, ji) - f(x0, yi) + f(x0, yi) - f(x0, y0) = = fx(M, Jl)(*l ~ xo) + fyixQ, r])(yi - y0). V poslední úpravě jsme aplikovali Lagrangeovu větu pro funkce jedné proměnné na funkce (p(x) = f(x, ji) aý(y) = f(x0, y). □ Poznámka 3.4. Body [£, ji], [xo, r/] leží na sousedních stranách obdélníku se stranami rovnoběžnými se souřadnými osami, určeného body [xo, jo] a íxi, Ji] (načrtněte si obrázek). Upravíme-li si rozdíl f(x\, y\) — /(xo, yo) poněkud odlišně, a to f(xi, Jl) - f(xo, jo) = f(x\, Ji) - /(xi, jo) + f(xi, jo) - f(xo, yo), dostáváme nepatrně odlišné vyjádření f(xi, Ji) - /(x0, jo) = fx(H\,yo)(x\ - x0) + fy(xi, rji)(yi - yo). V tomto vyjádření body [£i, jo] a [xi, r/i] leží na zbývajících dvou stranách obdélníku. Projdeme-li důkaz Věty 3.5, snadno zformulujeme analogickou větu pro funkce n proměnných. Jsou-li x* = [xj,..., x*], x = [xi,..., xn] e M", existují body z\, ■ ■ ■, zn et" ležící na hranách n-rozměrného kvádru určeného body x* a x takové, že f(x) - /(**) = J2 ^-(Zk)(xk ~ xf). Joseph Louis Lagrange (1736-1813), francouzský matematik Lagrangeova věta o střední hodnotě 41 Aplikujeme-li Lagrangeovu větu o střední hodnotě pro funkci jedné proměnné na funkci (p(t) — f(x + tu), dostáváme větu o přírůstku v následujícím tvaru. Věta 3.6. Nechť f : W1 —> M má derivaci ve směru vektoru u e V" ve všech hodech úsečky {x + tu; t e [0, 1]}. Pak existuje takové číslo ů e (0, 1), že platí f(x + u)-f(x) = fu(x + ůu). Cvičení. 3.1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí: a) z = x3 + 2x2y + 3xy2 + Ax - 5y + 100 h) z = arctg cos x h)z = x_VpL i)z = c) z = x sin (x + 2y) j) z = ln O + jx^+y2) d) z = sin i • cos y- k) u = e^1"^ e) u = Xy/l - y2 + yVl - x2 - Zy/l - x2 - y2 1) z = arctg ^ y f) z = e y m) z = arcsin — 2 g) z = ln (^) n) u = ln ^/x2+y _ ,n l~Vx2+y2+z2 3.2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí: a) z = x b) z = 2 xy á)z = xy ■ ln(x + y) e) z = (2xJ)1y)2x+y g) z =Xy .esmjt^ h) m = x z i) z = arctg (x - y)2 j)u = sin(x2 + y2 + z2) k) u = xyZ r_|_ aj \ 2 + arcsin xy J x+y xy 3.3. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu následujících funkcí v daných bodech: a) z = y2 + y ■ Vl + x2 b) z = ln(x + £) \ _ x-cosy—y-cosx ' ^ l+sinx+siny v [2,5] v [1,2] v [0,0] 42 Parciální derivace 3.4. a) Vypočtěte uz v bodě [0,0, |], je-li u = ^sin2 x + sin2 y + sin2 z. b) Vypočtěte ux + uy + uz v bodě [1,1,1], je-li u = ln(l + x + y2 + z3). 3.5. Ověřte rovnost zxy = zyx u funkcí: a) z = x2 — 2xy — 3y2 b) z = arccos - 3.6. Najděte parciální derivace 1. a 2. řádu funkcí: a) z = x4 + y4 - 4x2y2 b) z = S±£ i) z i) z k)z ln ^Eg-* ^/ x2+y2+x ln(x + y2) (x+y) e) z = x sin(x + y) ln yj x2 + y2 arcsin ,x ^xl+yl (i + x2y f)z = cosx y Moudrost není produktem vzdělání, ale celoživotním úsilím. (A. Einstein) Kapitola 4 Diferenciál funkce Diferenciálem funkce / jedné proměnné v bodě xq rozumíme přírůstek funkce na tečně vedené ke grafu funkce v bodě [xo, f(xo)]. V tomto případě existence diferenciálu neboli diferencovatelnost funkce je ekvivalentní existenci derivace v bodě xo. Připomeňme, že / : IR -> IR je diferencovatelná v bodě xo, jestliže existuje reálné číslo A takové, že f(x0+h) - f(x0) - Ah lim-= 0. h^O h U funkce n proměnných in > 2) je totální diferenciál definován analogicky: je to přírůstek funkce na tečné nadrovině vedené ke grafu funkce bodem xo € IR". Přesnou definici pojmu tečná nadrovina uvedeme později; v podstatě je to ňadro vina (tj. afinní podprostor dimenze n — 1), která má s grafem funkce lokálně (tj. v okolí bodu, kde tečnou nadrovinu sestrojujeme) společný právě jeden bod. Se zavedením těchto pojmů okamžitě vznikají tyto otázky: Kdy v daném bodě existuje tečná nadrovina ke grafu funkce neboli kdy je funkce diferencovatelná? Stačí k tomu pouhá existence parciálních derivací jako u funkce jedné proměnné? Odpovědi na tyto a další podobné otázky jsou obsahem této kapitoly. 4.1. Diferencovatelná funkce, diferenciál Nejdříve definujme pojem diferencovatelnosti a diferenciálu pro funkce dvou proměnných. 43 44 Diferenciál funkce Definice 4.1. Řekneme, že funkce / : IR2 -> IR definovaná v okolí bodu [xq, yo] je v tomto bodě diferencovatelná, jestliže existují reálná čísla A, B taková, že platí f(xo + h,y0 + k)-f(x0,yo)- (Ah + Bk) lim -, -= 0. (4.1) (A,*)-K0,0) V/*2 + k2 Lineární funkce Ah + Bk proměnných h, k se nazývá diferenciál funkce v bodě [x0, y0] a značí se d/(*0, y0)(h, k), příp. d/(*0, y0)- Poznámka 4.1. i) Ekvivalentní zápis definice diferencovatelnosti funkce dvou proměnných je tento: existují A, B e IR a funkce x : IR2 -> IR tak, že platí f(x0 + h,y0 + k)- f(x0, y0) = Ah + Bk + x(h, k) (4.2) kde x(h,k) lim , = 0. (4.3) (A,*)-K0,0) V/l2 + £2 ii) Jmenovatel limity ve výrazu (4.1) je velikost vektoru (h, k) v euklidovské metrice. V odstavci 2.1 jsme zdůraznili ekvivalentnost metrik p\, p2 a Poo- Proto nahradíme-li výraz výrazem + \k\ (velikost (h,k) v metrice pi) nebo výrazem max{|/i|, \k\} (velikost (h,k) v metrice p^), dostaneme definici ekvivalentní s Definicí 4.1. V předchozí kapitole jsme ukázali, že pro funkce dvou a více proměnných z existence parciálních derivací ani směrových derivací neplyne spojitost. Následující dvě věty ukazují, že diferencovatelnost funkce je tou „správnou" vlastností, která implikuje spojitost a některá další vlastnosti funkce. Věta 4.1. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [xq, y$~\, pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz. Z diferencovatelnosti funkce / v bodě [x0, yo] plyne lim [f(x0 + h, y0 + k) - f(x0, y0)] = lim [Ah + Bk + xih, k)] = 0, (/a)-Ko,o) (/a)-*-(o,o) neboť podle Poznámky 4.1.i) je lim^^^o) /:) = 0. Odtud lim f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0), (A,fe)^.(0,0) Diferencovatelná funkce, diferenciál 45 je tedy funkce / spojitá v bodě [xq, yo\. □ Poznámka 4.2. Opak této věty neplatí. Je-li funkce spojitá, nemusí být diferencovatelná, např. f(x,y) = x2 + y2 v bodě [0, 0]. Věta 4.2. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [xq, yo], pak má v tomto bodě parciální derivace a platí A = fx(xo, yo), B = fy(xo, yo), tj. df(x0, yo) = fx(x0, yo)h + fy(x0, y0)k. (4.4) Důkaz. Položme v (4.1) k = 0. Pak lim^0 f^+h^-f^^-Ah = 0, a proto r f(x0 + h, y0) - f(x0, yo) - Ah f(xo + h,y0)-f(x0,yo) . lim-= lim--A = h^O h h^O h = fx(x0, y0)- A= 0, tj. A = fx(xo, yo)- Stejným obratem dokážeme rovnost fy(xo, yo) = B. □ Poznámka 4.3. i) Přírůstky h, k nezávisle proměnných x, y v definici diferenciálu se často značí dx, dy (především ve starší literatuře a v literatuře s fyzikálním zaměřením). ii) Je-li funkce / diferencovatelná v každém bodě množiny M, má v každém bodě této množiny diferenciál, který je funkcí čtyř proměnných: x, y, h, k. Označíme-li dx = x — xo = h, dy = y — yo = k, dostáváme, že diferenciál funkce / je df(x, y) = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy. iii) Diferenciál se používá k přibližnému výpočtu funkčních hodnot. Zanedbá-me-li funkci x, z (4.2) plyne fix, y) = f(x0, yo) + df(x0, yo)- (4.5) Geometrický význam totálního diferenciálu. Rovina v IR3 o rovnici z = Ax + By + C se nazývá tečnou rovinou ke grafu funkce z = f(x,y)v bodě T = [xo, yo, f(x0, y o)], platí-li ľ f(x,y)-Ax-By-C lim — -= 0. (x,y)^(x0,y0) ^(x - x0)2 + (y - Jo)2 46 Diferenciál funkce Má-li tato rovina procházet bodem T, musí tento bod vyhovovat rovnici roviny, tj- f(x0, yo) = Ax0 + By0 + C, odkud z = A (x - x0) + B (y - y0) + f(x0, y0). Tato rovina je tečnou rovinou, jestliže existuje diferenciál funkce v bodě [x0, yo], tj. podle Věty 4.2 je A = fx(xo, yo), B = fy(xo, yo)- Rovnice tečné roviny má tvar z = f(x0, y0) + fxixo, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - yo)- (4.6) Odtud je vidět, že diferenciál funkce v daném bodě je přírůstek funkce na tečné rovině. Funkce r (h, k) z Poznámky 4.1 určuje rozdíl mezi skutečným přírůstkem a přírůstkem na tečné rovině. Rovnice tečné roviny je nejlepší lineární aproximací funkce f(x,y)v okolí bodu [xo, yo]- Příklad 4.1. Z definice diferenciálu určete d f a funkci x pro f(x,y)=x2 + y2 v obecném bodě [x, y]. Řešení. Platí f(x+h,y+k)-f(x,y) = (x+h)2 + (y+k)2-x2-y2 = 2xh + 2yk + h2+k2. Je tedy df(x, y)(h, k) = 2xh + 2yk a r(h, k) = h2 + k2. Příklad 4.2. i) Pomocí totálního diferenciálu přibližně vypočtěte a) 1, 042'02 b) 7(2, 98)2 + (4, 05)2. Řešení, a) K výpočtu použijeme diferenciál funkce f(x, y) = xy v bodě [1, 2] s diferencemi d x = 0, 04, dy = 0, 02. Platí d fix, y) = yxy~xdx + xy \nxdy, tj. dfil,2) = 2dx+0dy = 2dx a. tedy podle (4.5) 1, 042'02 = fií, 04; 2, 02) = /(l, 2) + d/(l, 2) = 1, 08. b) K výpočtu použijeme diferenciál funkce f(x,y) = yfx2 + y2 v bodě [3, 4] s diferencemi d x = —0, 02, dy = 0, 05. Platí xdx ydy dfix, y) = —=== + y/x2 + y2 y/x2 + y2 a. dosazením do (4.5) dostáváme 7(2, 98)2 + (4, 05)2 = 5 + i(-3 • 0, 02 + 4 • 0, 05) = 5, 028. Diferencovatelná funkce, diferenciál 47 ii) Napište rovnici tečné roviny grafu funkce z = x2 + y2 v bodě [1, 1, ?]. Řešení. Dosazením do funkčního předpisu najdeme z-ovou souřadnici dotykového bodu z = l2 + l2 = 2. Nyní přímým dosazením do vzorce pro tečnou rovinu dostáváme její rovnici z = 2 + 2(x — 1) + 2(y — 1), tj. 2x + 2y — z — 2 = 0. Jak již víme, ze samotné existence parciálních derivací funkce v bodě [x0, y o] neplyne diferencovatelnost (viz příklad 3.2). Jsou-li však tyto derivace v tomto bodě spojité, je diferencovatelnost zaručena, jak ukazuje následující věta. Věta 4.3. Má-li funkce f v bodě [xq, yo] spojité parciální derivace 1. řádu, pak má v tomto bodě také diferenciál. Důkaz. Ze spojitosti parciálních derivací fx, fy v bodě [xo, yo] plyne jejich existence v jistém okolí tohoto bodu. Podle Věty 3.5 platí lim (/a)-Ko,o) f(x0 + h,y0 + k)- f(x0, y0) - fx(x0, y0)h - fy(x0, y0)k V/*2 + k2 fx(x0 + ůih, y0+k)h+fy(x0, yo + ů2k)k-fx(x0, yo)h-fy(x0, y0)k = lim ,_ (A,*)-K0,0) V/*2 + k2 = lim [fx(x0 + ů1h,y0 + k) - fx(x0, y0)] (h,k)->(0,0) h V/i2 + k2 k + +(ä,ä,o)lfy(Xo'yo + Ů2k)" //Xo'yo)]' Vä^tf = 0, neboť ze spojitosti parciálních derivací plyne, že limity výrazů v hranatých závorkách jsou nulové, a platí h V/*2 + k2 < 1, V/*2 + k2 < 1, tj. podle Věty 2.2 je výsledná limita nulová. Dokázali jsme platnost (4.1). □ Příklady funkcí, které jsou, resp. nejsou diferencovatelné v daném bodě - viz příklady 13.4, 13.5, 13.9. Obecně, funkce n proměnných / : M" —> M je diferencovatelná v bodě x* e Rn, jestliže existuje a — (a\, ..., an) e V" takové, že pro h — {h\, ..., hn) e V" platí /(x* + /0-/(x*)-(a,/í) lim- = 0, h^O \\h\\ 48 Diferenciál funkce kde \\h\\ — yjh2 + • • • + h\ a (a, h) — YTi=\ aini Je obvyklý skalární součin v M". Diferenciálem funkce / v bodě x* pak rozumíme lineární funkci definovanou předpisem n i—> (a,n), tj. df(x*)(h) — (a, h). Stejně jako ve Větách 4.1 a 4.2, z existence diferenciálu v bodě x* plyne spojitost funkce a existence parciálních derivací v tomto bodě a pro vektor těchto parciálních derivací f'(x*) platí f'(x*) — a, tj. ^(x*) — clí, i — l, ..., n. Na závěr tohoto odstavce ukažme, že z diferencovatelnosti funkce plyne - kromě spojitosti a existence parciálních derivací - také existence směrové derivace ve směru libovolného vektoru. Ukážeme také, jak lze pomocí diferenciálu tyto směrové derivace spočítat. Věta 4.4. Předpokládejme, že funkce f : W1 —> Wje diferencovatelná v bodě x* e M" a nechť u € Yn. Pak existuje směrová derivace fu(x*) a platí Mx*) = (f'(x*), u) = T ^(x*)uk. Důkaz- Nechť / je diferencovatelná v bodě x*. Z definice směrové derivace dostáváme f(X* +tu)~ f(x*) df(x*)(tu) + T(tu) fu(x ) = lim-= lim í^O t t^o t ■ T (til) = df(x*)(u) + ||u|| lim ^ = df(x*)(u) = {f'(x% u), t^O \\tu\ neboťlim^oS=0. □ Ve fyzikální terminologii se vektor f'(x*) nazývá gradient funkce / v bodě x* a značí se grad f(x*). Z lineární algebry víme, že skalární součin (grad f(x*), u) nabývá pro vektory u dané konstantní délky největší hodnotu, jestliže jsou vektory grad/(x*) a u lineárně závislé. Protože směrová derivace fu(x*) udává rychlost změny funkce / ve směru vektoru u, je grad f(x*) směr, v němž funkce / v bodě x* nejrychleji roste. Podobně, — grad f(x*) je směr, v němž funkce nejrychleji klesá. Poznámka 4.4. Diferenciál definovaný v Definici 4.1 se nazývá také totální nebo také Fréchetův a lze jej definovat i pro zobrazení mezi lineárními normovanými prostory, což jsou většinou nekonečně dimenzionální prostory. Kromě toho existují jiné, obecnější diferenciály, používané často v diferenciálním počtu v normovaných lineárních prostorech, např. slabý (Gáteauxův) diferenciál. Podrobnější informace o této problematice lze nalézt ve skriptu [N2]. Diferenciály vyšších řádů 49 4.2. Diferenciály vyšších řádů V tomto odstavci zavedeme diferenciály vyšších řádů pro funkce více proměnných. Připomeňme, že diferenciál m-tého řádu funkce jedné proměnné v bodě x e IR je mocninná funkce m-tého stupně přírůstku h dmf(x)(h) = f(m\x)hm. Přírůstek h se často označuje také dx, tj. dm f(x) = f^m\x)(dx)m, přičemž existence diferenciálu m-tého řáduje ekvivalentní existenci derivace /(m)(x). Pojem diferenciálu m-tého řádu funkce n proměnných bychom mohli definovat pomocí jisté limity jako v Definici 4.1 pro diferenciál prvního řádu a pak ukázat, že z existence m-tého diferenciálu plyne existence parciálních derivací m-tého řádu, které jsou rovny jistým konstantám vystupujícím v limitním vztahu definujícím m-tý diferenciál (srovnej s Větou 4.1 pro m = 1). Podrobně je tento postup uveden ve skriptu [N2]. Zde pro jednoduchost uvedeme pouze konečný výsledek, který nejprve zformulujeme pro funkci dvou proměnných. Definice 4.2. Nechť funkce / : IR2 -> IR má v bodě [xq, yo] spojité parciální derivace až do řádu m včetně. Diferenciálem m-tého řádu funkce / v bodě [xo, yo] rozumíme homogenní funkci m-tého stupně dmf(x0, y0)(h, k) = J2 (/J^77(V()- yoWkm-j- Poznámka 4.5. Pro případ m = 1 je vzorec pro dm f samozřejmě totožný se vztahem (4.4). Pro m = 2, 3 dostáváme diferenciály 2. a 3. řádu d2f(x0, yo) = fxxixo, y0)h2 + 2fxy(x0, yo)hk + fyy(x0, yo)k2 d3f(x0, yo) = = fxxxixo, yo)h3 + 3fxxy(x0, yo)h2k + 3fxyy(x0, yo)hk2 + fyyy(x0, y0)k3. Pro případ n proměnných je diferenciál m-tého řádu homogenní funkce n proměnných h — (h\,... ,hn) j r\ jfl n M se spojitými parciálními derivacemi prvního řáduje výraz P\{x)dx\ + • • • + Pnix)dxn diferenciálem jisté kmenové funkce n proměnných v bodě x — [x\,..., xn], právě když d d — Pj(x) = —Pí(x), i, i = 1, ..., n, i^j. dxi dxj Praktický postup při určování kmenové funkce v případě tří proměnných je ilustrován v následujícím příkladu. Příklad 4.4. Rozhodněte, zdaje výraz (y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz diferenciálem jisté funkce H(x, y, z)- Pokud ano, tuto funkci určete. Řešení. Nejprve ověříme, zdaje daný výraz opravdu diferenciálem: d d d d — iy+z) = 1 = —(x + z), -^(x + y) = 1 = — (y + z), dy dx dx dz d d — (x+z) = l = — ix+y). dz dy Kmenovou funkci určíme takto: H(x, y,z) — j'iy + z) dx = yx + zx + C(y, z), kde funkce C(y,z) opět hraje roli integrační konstanty. Derivováním podle y a z a porovnáním s funkcemi u dy, dz dostáváme d — H(x,y,z) = x + Cyiy,z) = x+z, tj. Cy(y,z) = z dy d — H(x,y,z) = x + Cziy,z) = x + y, tj. Cz(y,z) = y. dz Tím jsme dostali stejný problém jako v Příkladu 4.3, kdy je třeba určit funkci C(z, y), jestliže známe obě její parciální derivace. Stejným postupem jako v Příkladu 4.3 snadno zjistíme, že C(y, z) — yz + c, c e M. Zadaný výraz je diferenciálem funkce H(x, y, z) — xy + yz + xz + c, cel. Kmenová funkce 53 Poznámka 4.7. Skutečnost, zda je výraz P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz (4.9) diferenciálem jisté funkce, hraje fundamentální roli v teorii křivkových integrálů a v jejich fyzikálních aplikacích. Funkce P, Q, R můžeme chápat jako souřadnice nějakého silového pole v prostoru - vektor F(x, y, z) — (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) udává směr a velikost síly působící v bodě [x, y, z]- Toto pole se nazývá konzervativní nebo také potenciálové, jestliže se při pohybu v tomto poli po libovolné uzavřené křivce nevykoná žádná práce (tuto vlastnost má například pole gravitační). Lze ukázat, že pole F je konzervativní, právě když je výraz (4.9) diferenciálem jisté funkce H. Tato funkce se ve fyzikální terminologii nazývá potenciál silového pole. Cvičení. 4.1. Určete diferenciál funkce v daném bodě, popř. v obecném bodě tam, kde není konkrétní bod specifikován: a) z = xy + i, [x0, y0] = [1, 1] e) z = y/x2 + y2, [x0, y0] = [3, 4] b) z = arctg \, [x0, y0] = [1, -1] f) z = arcsin x [x0, y0] = [1, \/3] c) z = arctg y±^, [x0, y0] = [VŠ, 1] g) u = [x0, y0, zq] = [1, 0, 1] i d) u = x1!, [xq, yo,z0] = [2, 1, 1] h) u = (^jz. 4.2. Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně: a) arctg c) Vd, 02)3 + (1, 97)3 e) b) arcsin d) ln(0, 972 + 0, 052) f) e0'053"0-02 g) O kolik cm3 se změní přibližně objem kužele s poloměrem podstavy r = lOcm a výškou /i=10cm zvětšíme-li poloměr podstavy o 5mm a výšku o 5mm zmenšíme. h) O kolik přibližně musíme změnit výšku komolého jehlanu se čtvercovou základnou s délkami hran a = 2m, b =lm a výškou v =lm, jestliže a zvětšíme o 7cm a b zmenšíme o 7cm chceme-li, aby objem zůstal nezměněn. 54 Diferenciál funkce xy 4.3. Rozhodněte, zda funkce / je diferencovatelná v bodě [0, 0]: [x,v]#[0, 0] [x,y] = [0, 0] a) fix, y) = «J\xy\ b)f(x,y) = c) fix, y) = - 0 [x, y] ŕ [0,0] 1 [x, y] = [0,0]. 4.4. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce v daném bodě: a) fix, y) = y/l - x2 - y2, [x0, y0, zo\ = [^=, ý=] b) fix, y) = x2 + xy + 2y2, [x0, y0, z0] = [1, 1, 4] c) fix, y) = arctg y- [x0, y0, z0] = [1, -1, ?] d) f (x, y) = e _ aX +y [xq, y0, zo] = [0, 0, ?]. c) fix, y) = x2 ď)f(x,y)=x> 4.5. Na grafu funkce / najděte bod, v němž je tečná rovina (nadrovina) rovnoběžná s danou rovinou (ňadrovinou): a) fix, y) = x3 + y3, p = Í2x + 3y - z = 0 b) fix, y) = y/l - x2 - y2, p = ax+by-z = 0 -y2, p = x + y + z = 0 p = x — z = 0 e) fix, y, z) = Xy/z2 + y2, p = x + y- z- u= 0 f) fix) = ^x\ H-----\-x2, p = axx\ H-----h anxn + xn+1 = 0. 4.6. Pomoci diferenciálu vypočtěte směrové derivace funkce / ve směru vektoru u v daném bodě: a) fix, y) = xy, u = (1, 2), [x0, y0] = [1, 1] b) fix, y, z) = y/x2 + y2 + z2, u = (1, 0, 1), [x0, y0, z0] = [0, 1, 0]. 4.7. Vypočtěte diferenciály vyšších řádů zadaných funkcí (v obecném bodě): a) z = x ln(xy), d2z =? b) z = x3 + y3 - 3xyix - y), d2z =? c) z = ix2 + y2)ex+y, dnz =? d) z = ln(x + y), dnz =? e) z = g, d"z =? f) u = xyzex+y+z, dnu =?. 4.8. Zjistěte, zda dané výrazy jsou totálními diferenciály nějaké funkce, a pokud ano, najděte je: a) ix + ln y) dx + i- + sin y) dy c) b) x sin 2y dx + x2 cos 2y dy x dx+y dy s/x2+y2 d) iy2 -l)dx + i2xy + 3y) dy 4.9. Zjistěte, zda dané výrazy jsou totálními diferenciály nějaké funkce, a pokud ano, najděte je: Kmenová funkce 55 a) (3x2 - 3xyz + 2)dx + (3y2 - 3xz + ln y + l)dy + (3z2 - 3xy + í)dz n y z dx _|_ xz dy . xy dz 0) l+x2y2z2 l+x2y2z2 l+x2y2z2 Nikdy nepovažujte své studium za povinnost, ale za záviděníhodnou příležitost naučit se poznávat osvobozující účinky krásy ve sféře ducha, abyste z toho vy získali osobní potěšení, a společenství, k němuž budete později patřit, výhody. (A. Einstein) Kapitola 5 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec Stejně jako u funkce jedné proměnné potřebujeme u funkcí více proměnných určit parciální derivace složené funkce. To je obsahem prvního odstavce, kde také ukážeme použití odvozených vzorců. Druhý odstavec této kapitoly je věnován Taylorovu vzorci pro funkci více proměnných. Podrobnější srovnání s funkcí jedné proměnné provedeme v každém odstavci zvlášť. 5.1. Parciální derivace složených funkcí Vzorce pro parciální derivace složených funkcí jsou jedním z nejdůležitějších nástrojů řešení rovnic matematické fyziky. Tyto rovnice jsou tzv. parciální diferenciální rovnice - to jsou rovnice, které obsahují parciální derivace neznámé funkce a jejichž řešení jsou funkce dvou či více proměnných. Odvozené vzorce umožňují transformovat tyto rovnice na jednodušší tvar, z něhož buď již umíme najít řešení nebo alespoň můžeme vyvodit řadu důležitých vlastností řešení rovnice. Na úvod připomeňme, jak se derivuje složená funkce jedné proměnné. Nechť funkce u = g (x) má derivaci v bodě xq. Označme uq = g(xo). Má-li funkce y = f (u) derivaci v bodě uq, pak složená funkce y = F (x) = f (g (x)) má derivaci v bodě xq a platí: y'ixo) = f'(uo)g'(xo). Nyní odvodíme podobné vztahy pro parciální derivace složené funkce dvou proměnných. Bude nás především zajímat případ, kdy vnější funkce / není explicitně zadána (obvykle je to hledané řešení parciální diferenciální rovnice). 56 Parciální derivace složených funkcí 57 Věta 5.1. Nechť funkce u = u(x, y), v = v (x, y) mají parciální derivace prvního řádu v bodě [xq, yo], označme uq = u(xq, yo), vq = v(xq, yo). Je-li funkce z 11/ /. v) diferencovatelná v bodě [uo, vq\, pak složená funkce z = F(x, y) = f(u(x,y),v(x, y)) má parciální derivace 1. řádu v bodě [xq, yo] a platí: dF df du df dv — Oo, yo) = —(«o> v0) — (x0, yo) + — Oo, v0) — (x0, yo) óx du óx dv dx dF df du df dv — (xq, yo) = —(uq, vq) — (xq, yo) + —Oo, v0) — (xq, y0). dy du dy dv dy (5.1) Zkráceně píšeme Zx = ZUUX + ZyVx, Zy=ZuUy+ZVVy (5.2) nebo také dz dz du ^ dz dv dz dz du ^ dz dv ^ dx du dx dv dx' dy dudy dv dy Důkaz. Dokážeme pouze první vzorec v (5.1), druhý se dokáže zcela analogicky. Vyjdeme přímo z definice parciální derivace. dF F(x0 + t,y0) - F(x0,yo) — Oo, yo) = lim---= dx t^o t (54) r f(u(xo + t,yo),v(xo + t,yo))-f(u(x0, yo), v(x0, y0)) = lim-. í^O t Označíme-li u(t) = u(xo + t, yo), v (t) = v (xo + t, yo), z diferencovatelnosti funkce / plyne existence funkce x splňující (4.3) takové, že fiuit), vit)) - f(uq, Vq) = = fuiuo, v0)(u(t) - u0) + fv(uo, v0)(v(t) - v0) + x(u(t) - u0, v(t) - v0). Dosazením tohoto vztahu do (5.4) dostáváme dF 1 — Oo, yo) = lim - [fu(u0, v0)(u(t) - u0) + fv(u0, v0)(v(t) - v0)+ dx t^o t u(xq + t, yo) — u(xq, yo) +x(u(t) - uo, v(t) - v0)] = fu(u0, v0) lim--h í^O t , ,r v(x0 + t,y0)-v(x0,yo) , x(u(t) - u0, v(t) - v0) + fv(uQ, f o) hm--h lim-= í^O t t^o t x(u(t) - u0, v(t) - Vq) = fu(u0, v0)ux(x0, yo) + fviuo, vo)vx(xq, yo) + lim í^O t 58 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec K dokončení důkazu nyní stačí ukázat, že poslední limita je nulová: x(u(t) - u0,v(t) - v0) x(u(t) - u0,v(t) - v0) lim-= lim — t t^o y(M(0-Mo)2 + (KO-^o)2 - Uq\ | / ť(Q - Vp" r~I " x(u(t) — Uq, V(t) — Vq) V y(M(0-«o)2 + (KO-^o)2 V posledním výpočtu jsme využili faktu, že lim^o u(t) = uq, lim^o v(t) = vo, neboť funkce u(t) = u(xo + t, yo), v(t) = v(xo + t, yo) jsou spojité v bodě t = 0-to plyne z existencí parciálních derivací funkcí u, v v bodě t = 0 a pro funkci jedné proměnné plyne z existence derivace spojitost. □ Příklad 5.1. i) Je dána funkce z = e" sin v, kde u = xyav = x + y. Vypočtěte ZX &Zy. Řešení. Protože vnitřní i vnější složky mají spojité parciální derivace v celém IR2, má složená funkce parciální derivace v každém bodě tohoto prostoru. Dosazením do (5.2) dostáváme zx = zuux + ZyVx = (e" sin v)y + (e" cos v), Zy = ZuUy +ZVVy = SUl v)x + (&" COS v). Zbývá dosadit zauav,u=xyav = x + ya dostaneme zx = exy(y sin(x + y) + cos(x + y)), zy = exy(x sin(x + y) + cos(x + y)). ii) Pomocí transformace do nových nezávisle proměnných u = x + y, v = x — y najděte všechny diferencovatelné funkce / : IR2 —>• IR splňující rovnost fx(x,y) + fy(x,y)=0. (5.5) Řešení. Označme z = fix, y). Pak zx = zuux + zvvx = zu + zv, zy = zuuy + zvVy = Zu-Zv Dosazením dostáváme zu + zv + zu - zv = 2zu = 0, tedy zu = 0. To znamená, že funkce z = z(u, v) nezávisí na proměnné u a tedy z(u, v) = g (v), kde g je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. Dosazením za v vidíme, že všechny diferencovatelné funkce dvou proměnných, které splňují (5.5) Parciální derivace složených funkcí 59 jsou tvaru f(x,y)=g(x — y), kde g je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. iii) Proveďte totéž jako v předchozím příkladě zavedením polárních souřadnic cp = arctg |, r = yfx2 + y2 do rovnice yfxix, y) - xfy(x, y) = 0. (5.6) Řešení. Vypočtěme nejprve parciální derivace funkcí r a cp. - x - y yfx2 + y2 y yfx2 + y2 y x x2 + y2' J x2 + y2 Označíme-li opět z = f(x,y) a dosadíme-li do vzorečků pro derivace složené funkce prvního řádu, dostáváme Zx =Zr7^Ť7 ~ Z M a m-tice funkcí g: M" —> M, které mají spojité parciální derivace 2. řádu. Označme Uk — gk{x\, ■ ■ ■, xn), k — 1, ..., m, Pak složená funkce F{x\, ..., xn) — f(gi(x\ ..., xn), ..., gm(x\, ..., xn) platí d A a d — F(xi ...,xn) = ) -—/(mi, ..., um)—gk(xi, ...,xn) (5.8) axi ^ dut dxi d2 A a2 d d --F(xi, ...,xn)= >--f(u)—gk(x)—gi(x) + dXiXj ^ dukUi dxi dXj n Q2 d d' + Eir-^(M)^—sk(x), t—1 OUk OXiXi kde i, j — 1,2, ... ,n ave vzorci (5.9) je u — {u\ ..., un), x — (x\,..., xn). (5.9) Poznámka 5.3. i) Jsou-li funkce gi ve Větě 5.3 lineární, pak všechny členy v druhé sumě v (5.9) jsou nulové (neboť druhá derivace lineární funkce je nulová). Pak metoda formálního vynásobení derivací prvního řádu a následná náhrada součinů prvních derivací odpovídajícími druhými derivacemi dává přímo vztahy pro druhou derivaci. Takto je tomu např. v Příkladu 5.2 i). ii) Uvedli jsme si zde pouze vzorce pro parciální derivace složené funkce 1. a 2. řádu, které jsou potřeba v rovnicích matematické fyziky. Metodou stejnou jako v důkazu Věty 5.2 lze odvodit vztahy pro třetí a vyšší derivace, nebudeme je zde však již uvádět, neboťjsou formálně poměrně složité. 64 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec Příklad 5.3. i) Transformujte Laplaceovu rovnici v IR 3 do sférických souřadnic x — r cos (p sin ů, y — r sin (p sin ů, z — r cos ů. Řešení. Mohli bychom postupovat podobně jako při řešení Příkladu 5.2 iii), zde však pro ilustraci různých možných metod postupujeme odlišně. Vyjádříme nejprve r, (p, ů pomocí x,y,z. Jednoduchými úpravami dostáváme r — J xA + yz + z ,

'))+ 2 , 2^ 2^*? " x^ + r4 \(x2 + y2)2 (x2 + yL)L ) r(x2 + y2) „2, ,nurů X z y Z / 2 1 2 1 1 o / ^ 1 +„,Y!-íl±^) + _^_<_2.í, + 2.ÍV) + r r3 / (x2 + y2) 2z 2z r-: ~ 2z +Uů I „ ' „ - ^Jx2 + y2 + —Jx2 + y2 r2jx2 + y2 r4V r4 V r^yfx^Ty7 2 1 1 cotg?? = urr H—wr H—. nw H—t«# H--ť— 66 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec ii) Určete řešení Laplaceovy rovnice v M3, které je sféricky symetrické, tj. závisí pouze na vzdálenosti od počátku. Řešení. Nechť funkce u závisí pouze na proměnné r = y7*2 + y2 + z2 a nikoliv na proměnných (p a ů, tj. u — u(r) (tento předpoklad je „rozumný" vzhledem k fyzikálnímu významu Laplaceovy rovnice). Pak všechny parciální derivace podle (p, ů jsou rovny nule a dostáváme rovnici 2 Xtyy ~\~ li f - 0. r Položíme-li ur — v, dostáváme dále rovnici vr + f v — 0 a po úpravě r vr + 2rv — 0, což je ekvivalentní rovnici -^-(r2v) — 0. Řešením této rovnice je např. v(r) — —p- a tedy " = 7' y- 1 u{x,y,z) = = Vx2 + v2 + z2 je jedním z řešení Laplaceovy rovnice (srov. Příklad 3.3 ii)). 5.2. Taylorova věta Nejprve připomeňme, co to je Taylorův polynom a Taylorova věta1 pro funkci jedné proměnné. Nechť / : IR —>• M, xo,xeIRa/i = x — *o- Taylorův polynom (mnohočlen) stupně n e N funkce / se středem v bodě xq je polynom Tn{x\ x0) = a0 + ai(x - x0) H-----h a„(x - x0)", afe = —-—, k\ k = 0,..., n. Koeficienty a^ určíme z požadavku, aby polynom Tn měl v bodě xq stejnou funkční hodnotu a hodnotu prvních n derivací jako funkce /. Taylorův polynom používáme k přibližnému výpočtu funkčních hodnot funkce / v okolí bodu xq. Taylorova věta udává velikost chyby, které se dopustíme, aproximujeme-li funkci Taylorovým polynomem. Obdobně je tomu u funkce více proměnných. Taylorův polynom funkce / : IR" —>• IR je polynom více proměnných, který má s funkcí / v daném bodě x* = [xf,..., x*] e IR" stejnou funkční hodnotu a stejnou hodnotu všech parciálních derivací až do řádu n, kde n je stupeň polynomu. Pro funkce dvou proměnných dostáváme toto tvrzení. Věta 5.4. (Taylorova) Nechť funkce f : IR2 —^ IR má v bodě [xq, yo\ a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu n + 1 včetně. Pak pro každý bod ^rook Taylor (1685-1731), anglický matematik Taylorova věta 67 [x, y] z tohoto okolí platí f(x,y) = Tn(x,y) + Rn(x,y) (5.10) kde df df Tn(x, y) = f(x0, y0) + —(x0, y0)h + — (x0, y0)k + dx 3yy 1 /32/ 2 9V 32/ 2^ + 2! läx2" y°^h +2\3x~d^k> in + 1)! pj V i / 3* + ^ľ7 a /i = x — xq, k = y — yo, ů e (0, 1). Poznámka 5.4. Vzorec (5.10) se nazývá Taylorův vzorec, polynom Tn Taylorův polynom a Rn zbytek v Taylorově vzorci. Taylorův vzorec lze zapsat pomocí diferenciálů takto 1 2 fix, y) = fixo, yo) + dfixQ, y0)ih, k) + -d fix0, y0)ih, k) H-----h + -dnfix0, y0)ih, k) + —L-dn+1fix0 + ůh, y0 + ůk)Qi, k). n\ [n + 1)! Důkaz Věty 5.4. Zaveďme pomocnou funkci jedné proměnné Fit) = fixo + th, y0 + tk). Platí F(l) = Fixo + h, y0 + k) = Fix, y), F(0) = fix0, y0). Pomocí Taylorova vzorce pro funkci jedné proměnné dostáváme F(l) = F(0) + F'(0) + ^F"(0) + • • • + -F(n\0) + ] F(n+1\ů), 2! n\ in + 1)! kde # e (0, 1). Pro výpočet derivací funkce F využijeme vztahů pro parciální derivace složených funkcí. Dostáváme . d 3 3 F (0) = -r fixo + th, y0 + tk)\t=0 = —fix0, yo)h + —fix0, y0)k, d t dx óy 68 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec d2 d2 F"(0) =—F(t)\t=0 = ^/(*o + th, y0 + tk)\t=0 = =fxx(x0, y0)h2 + 2fxy(x0, y0)hk + fyy(x0, y0)k2 a analogicky obdržíme Stejně postupujeme i při výpočtu zbytku Rn. □ Příklad 5.4. i) Určete Taylorův polynom 2. stupně se středem v bodě [xq, yol = [1, 1] pro funkci f(x, y) = |. Řešení. Vypočteme nejprve všechny potřebné parciální derivace 1 x 1 2x fx = ~ 5 fy= Ť) fxx = 0, fXy = r, fyy = 7- y y y r Podle Věty 5.4 T2(x, y) = /(l, 1) + fxih l)(x - 1) + fy(í, í)(y - 1) + l)(x - l)2 + 2/^(1, l)(x - l)(y - 1) + /„(l, l)(y - l)2] = = 1 + (x - 1) - (y - 1) - (x - í)(y - 1) - (y - l)2 = = — y2 — xy + 2x + 2y — 1. ii) Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně vypočtěte přibližně a) 7(2, 98)2 + (4, 05)2 b) 1, 042-02. Výsledek porovnejte s hodnotou získanou pomocí diferenciálu z Příkladu 4.2 ii). Řešení, a) Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce z = f(x,y) = y/x2 + y2 v bodě [xo, yo\ = [3, 4] a diferencemi h = —0, 02, k = 0, 05. Parciální derivace funkce z jsou _ x _ y _ y2 Zx — /—--—5 Zy — ;—--— , Zxx — (x2 + y2W Zxv — xy x2 xy (x2 + y2)3/2' yy (x2 + y2)3/2 Taylorova věta 69 Taylorův polynom je roven T2(x, y) = f(3, 4) + fx(3, 4)(x - 3) + fy(3, 4)(y - 4) + +\UxxiX 4)(x - 3)2 + 2fxy{3, 4){x - 3(y - 4) + fyy(3, 4)(y - 4)2] = = 5 +i[3(* - 3)+4(y - 4)] + ^[16(x-3)2-24(x-3)(y-4)+9(y-4)2]. Odtud 7(2, 98)2 + (4, 05)2 = 5 + i(-0, 06 + 0, 2) + 1 +—(16 • 0, 0004 - 24 • 0, 001 + 9 • 0, 0025) = 5, 0281332. V příkladu 4.1 ii) jsme pomocí diferenciálu dostali výsledek 7(2, 98)2 + (4, 05)2 = 5, 028. b) V Taylorově vzorci pro funkci z = xy položme [xo, yo] = [1,2], h = 0, 04, k = 0, 02. Nejprve vypočtěme všechny potřebné parciální derivace. Platí zx = yxy~l, zx{\,2) = 2,Zy= xylnx, zy(í,2) = 0, zxx = y(y - í)xy~2, zxx{\,2) = 2, zxy = xy~l + yxy~l lnx = xy~l(í + ylnx), zxy(l, 2) = 1, zyy = xy lnxlnx = xyln2x,zyy(l,2) =0. Pak T2(x, y) = í+2(x-í) + (x- l)2 + (x - í)(y - 1)). Odtud 1, 04202 = 1 + 2 • 0, 04 + 0, 0016 + 0, 0008 = 1, 0824. V Příkladu 4.1 ii) j sme pomocí diferenciálu obdrželi přibližný výsledek 1, 04202 = 1,08. iii) Mnohočlen P(x, y) = x3 + 3y3 + xy2 + 2x2 + xy + x — 2y napište jako polynom v proměnných u = x — l,v = y + 2. Řešení. Nechť T3(x, y) Taylorův polynom 3. stupně funkce P se středem xq = 1, yo = — 2. Pak ve zbytku R3(x, y) vystupují 4. derivace funkce P, které jsou však všechny nulové, neboť P je polynom 3. stupně. Tedy T3(x, y) = P(x, y) a stačí nalézt určit koeficienty v T3(x, y). Postupně dostáváme P(l, — 2) = —20 Px = 3x2+_y2+4x+y + l, Px{\, -2) = 10, Py = 9y2+2xy+x-2, Py{\, -2) = 31, Pxx =6x + 4, Pxx(í, -2) = 10, Pxy = 2y + 1, Pxy(í, -2) = -3, Pyy = 18y + 2x, Pyy(l, -2) = -34, Pxxx = 6, Pxxy = 0, Pxyy = 2, Pyyy = 18, Odtud T3(x, y) = -14 + 10(x - 1) + 31(y + 2) + 5(x - l)2 - 3(x - l)(y + 2) --11 (y + 2)2 + (x - l)3 + (x - l)(y + 2)2 + 3(y + 2)3. 70 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec Jestliže ve výsledku provedeme umocnění, po úpravě samozřejmě dostáváme polynom P. Tuto kontrolu výsledku necháváme čtenáři jako cvičení. Zformulujme na závěr kapitoly ještě Taylorův vzorec pro obecný případ funkcí n proměnných. Důkaz tohoto tvrzení neuvádíme, neboť je v podstatě stejný jako pro dvě proměnné. Věta 5.5. Nechť funkce f : M" —> M má v bodě x* — [x*,..., x*] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro h — \h\, ..., hn] platí f{x* + h) = fix*) + dfix*)ih) + \d2fix*)ih) + ■■■ + —dmfix*)ih) + Rm(x), 1 m\ kde Rmix)=í ] dm+lfiX* + ůh)ih), #€(0,1) im + 1)! je zbytek v Taylorově vzorci a dkfix*)ih) = Y -:--1 . ix*)h\x ...ht ji+...+jn=k J1 JZ Jn úx\ ---Xn je k-tý diferenciál funkce f v bodě x*. Cvičení. 5.1. Využitím uvedené substituce najděte všechny funkce splňující danou rovnost: a) yzx - xzy =0, u = x, v = yfx2 + y2. b) xzx + yzy = 0, u = x, v = f. c) ux + uy + uz = 0, I = x + y - 2z, rj = x - 2y + z, X = z. 5.2. Diferenciální rovnice transformujte do nových proměnných u, v. V případech, kdy po transformaci vyjde jednoduchý výsledek, pokuste se najít jejich řešení: a) Zxx ~ yzyy - \zy = 0, u = x v = x + 2^/y. b) y2Zxx + x2zyy - 2xyzxy - xzx - yzy =0,u = y/x2 + y2, v =xy. c) x2Zxx ~ (x2 + y2)zxy + y2zyy =0, u = x + y,v = ± + ±. d) Zxx ~ 2zxy + Zyy = 0, u = x -\- y, v = ~~y~ ■ e) xyzxx - (x2 + y2)zxy + xyzyy + yzx + xzy = 0, u = \ix2 + y2), v = xy. f) xzxx ~ yzyy =0, u = +Jx + Jy, v = y/x- y/y. g) XZxx + yzxy +zx =0, U = x + y,v = h) x2zxx - 2xyzxy + y2zyy + xzx + yzy = 0, u = xy, v = y. i) x2zxx - y2zyy =0,u = xy,v = ^. Taylorova věta 71 5.3. Ukažte, že daná transformace do nových proměnných nemění tvar rovnice Zxx+Zyy =0, x = (p(u, v), y = ý(u, u),kde jsou funkce dvou proměnných splňující identity (pu = IR nabývá v bodě x* e Rn lokálního maxima (minima), jestliže existuje okolí 0(x*) bodu x* takové, že pro každé x e 0(x*) platí /(*) < /(**) (/(*) > /(**)). Jsou-li nerovnosti v těchto vztazích pro x ^ x* ostré, mluvíme o ostrých lokálních maximech a minimech. Pro (ostrá) lokální minima a maxima budeme požívat společný termín (ostré) lokální extrémy. Příklad 6.1. i) Funkce f(x,y) = y/x2 + y2 má v bodě [x,y] = [0,0] ostré lokální minimum, neboť f(0, 0) = 0 a pro každé [x, y] ^ [0, 0] je f(x, y) > 0. (Grafem funkce je kuželová plocha, viz obr. 13.2.) 72 Lokální extrémy 73 ii) Funkce / : IR2 -> IR definovaná předpisem fix, y) = ■ x2 + y2, pro [x, y] # [0, 0], 1, pro[x,y] = [0,0], má v bodě [0, 0] ostré lokální maximum, neboť pro [x,y] ^ [0, 0] dostatečně blízko počátku platí f(x,y) < f (0,0) = 1. Uvedené příklady ilustrují skutečnost, že pro existenci lokálního extrému v nějakém bodě funkce nemusí mít v tomto bodě parciální derivace, nemusí zde být dokonce ani spojitá. V následuj ícím odvodíme nutné a postačuj ící podmínky pro existenci lokálního extrému v případě, že má funkce v daném bodě parciální derivace. Podobně jako u funkce jedné proměnné, je nutná podmínka formulována pomocí stacionárního bodu a postačující podmínka pomocí parciálních derivací 2. řádu. Definice 6.2. Nechť / : IR" -> IR. Řekneme, že bod x* e IR" je stacionární bod funkce f, jestliže v bodě x* existují všechny parciální derivace funkce / a platí Následující věta, která prezentuje nutnou podmínku existence lokálního extrému, bývá v některé literatuře citována jako Fermatova věta.1 Veta 6.1. Nechť funkce f : IR" -> IR má v bodě x* e IR" lokální extrém a v tomto bodě existují všechny parciální derivace funkce f. Pak je bod x* jejím stacionárním bodem, tj. platí (6.1). Důkaz. Předpokládejme, že některá z parciálních derivací funkce / v bodě x* je nenulová, tj. platí fXi (x*) ^ 0. To vzhledem k definici parciální derivace znamená, že funkce (p(t) = f(x* + teť), kde a = (0,..., 0, 1, 0,..., 0), jednička je na z-tém místě, má nenulovou derivaci v bodě t = 0 a tedy zde nemůže mít lokální extrém. To však znamená, že ani funkce / nemůže mít v bodě x* lokální extrém. Poznámka 6.1. Funkce / : IR" -> IR může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje. ipierre de Fermat (1601-1665), francouzský matematik. -(x*) = 0, i = 1, . . . , n. (6.1) □ 74 Lokální a absolutní extrémy Zdůrazněme, že stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému, jak ukazuje obrázek, kde je znázorněn graf funkce f(x,y) = f(xo, yo) + (y — yo)2 — (x — xo)2, která má stacionární bod [xo, yo], avšak v tomto bodě nemá lokální extrém (takový bod se nazývá sedlo, viz obr. 6.1). z y obr. 6.1 V následující větě odvodíme postačující podmínku, aby funkce měla ve stacionárním bodě lokální extrém. Připomeňme situaci pro funkci jedné proměnné g : IR -> IR. Nechť t0 e IR je stacionární bod této funkce. O tom, zda v tomto bodě je nebo není extrém, rozhodneme podle hodnot vyšších derivací funkce g v to. Speciálně, je-li g"(to) > 0(< 0), má funkce g v bodě to ostré lokální minimum (maximum). Toto tvrzení se dokáže pomocí Taylorova rozvoje funkce g v to. Platí g(t) = gdo)+g'(t0)(t - to) + \g"im - to)2 = g(t0) + \g"im - tof, kde | je číslo ležící mezi t a to- Je-li nyní funkce g" spojitá, pak g"(to) > 0 (g"(t0) < 0) implikuje > 0 < 0) pro % dostatečně blízká t0. Pak g"{m - to)2 > 0 (g"(m - to)2 < 0) a tedy g(t) > g(t0) (g(t) < g(t0)) pro t dostatečně blízko řo, tj. funkce g nabývá v to ostrého lokálního minima (maxima). Analogicky postupujeme u funkcí více proměnných. Zformulujme nejprve postačující podmínku pro existenci lokálního extrému pro funkci dvou proměnných. Lokální extrémy 75 Veta 6.2. Nechť funkce f : IR2 -> IR má v /Jradě [xo, yo] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a nechť [xq, yo] je její stacionární bod. Jestliže D(x0, yo) = fxxixo, yo)fyy(x0, yo) - [fxy(x0, yo)Ý > O, (6.2) pak má funkce f v [xq, yo] ostrý lokální extrém. Je-li fxxixo, yo) > O, jde o minimum, je-li fxx (xo, yo) < 0. jde o maximum. Jestliže D{xq, yo) < O, pak v bodě [xq, yo] lokální extrém nenastává. Důkaz. Nechť Dixo, yo) 7^ 0. Ze spojitosti parciálních derivací 2. řádu funkce / plyne spojitost funkce D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) - [fxy(x, y)]2 a funkce fxx v bodě [xo, yo]- Odtud plyne, že pro [x, y] dostatečně blízká bodu [xo, yo] platí sgnDíx, y) = sgnD(x0, yo), sgnfxx(x, y) = sgnfxx(x0, yo)- Taylorův vzorec pro n = 1 se středem [xo, yo] dává 1 2 f(x, y) = f(x0, yo) + -ifxxicu c2)(x - x0) + 2 (6.3) +2fxy(cu c2)(x - x0)(y - yo) + fyy(c\, c2)(y - y0)2] kde [c\, c2] leží na úsečce spojující [xo, yo] a [x, y]. Označme A = fxx{c\,c2),B = fxy(ci,c2),C = fyy(ci,c2), h = x - x0, k = y — yo a uvažujme kvadratický polynom dvou proměnných Pih, k) = Ah2 + 2Bhk + Ck2. Pak vztah (6.3) můžeme psát ve tvaru fix0 + h,y0 + k) = fix0, y0) + P(h, k). (6.4) Vyšetřeme nyní znaménko polynomu Pih,k). Uvažujme dva případy. I. Dixo, yo) > 0. Pro k = 0 je Pih, 0) = Ah2, přičemž A ^ 0 (plyne ze vztahu AC - B2 > 0). Proto Pih, 0) > 0 pro A > 0, Pih, 0) < 0 pro A < 0. Pro k ^ 0 lze Pih, k) psát ve tvaru PQi,k)= k2 Ai\)2 + 2B\ + C. Označme Qit) = At2 + 2Bt + C kde, t = -. k Jelikož AC — B2 > 0, tj. Q má záporný diskriminant, je pro A > 0 polynom Qit) > 0 pro všechna í e la odtud Pih, k) > 0 pro všechna h, k e IR. Podobně v případě A < 0 je Pih, k) < 0. To podle (6.4) znamená, že pro A > 0 má funkce / v [xq, yo] ostré lokální minimum a pro A < 0 ostré lokální maximum. 76 Lokální a absolutní extrémy II. D(xq, yq) < O, tj. diskriminant polynomu Q(t) je kladný. To znamená, že existují t\,t2 e IR taková, že Qit\) > 0 a <2fe) < 0- Položme [h\,k\] = [ati, a], [fi2, k2] = [at2, a], kde a / O. Pak Pihu k{) = a2Q(h), P(h2, k2) = a2Q(t2), tj. pro [xu yi] = [x0 + huy0 + k{\, [x2, y2] = [x0 + h2, yo + k2] platí f(xuyi) > f(x0, y0), f(x2, y2) < f(x0, y0). Protože a/0 bylo libovolné, tj. [x\, yi], [x2, y2] mohou být libovolně blízko [xq, yo], v tomto bodě extrém nenastává. ^ Příklad 6.2. Určete lokální extrémy funkce z = x3 + y3 — 3xy. Řešení. Funkce, jejíž extrémy hledáme, je polynomem proměnných x, y, a proto jsou její parciální derivace spojité v celém IR2. Proto lokální extrémy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech, které najdeme jako řešení soustavy rovnic zx = 3x2 — 3y = 0, zy = 3y2 — 3x = 0. Z první rovnice plyne y = x2 a dosazením do druhé rovnice dostáváme x4 - x = x(x - í)(x2 + x + 1) = 0, odtud x\ = 0, X2 = 1 (kvadratický troj člen x2 + x + 1 má záporný diskriminant a je proto vždy kladný). Existují tedy dva stacionární body P\ = [0,0], P2 = [1, 1]. Dále platí zxx =6x, zyy = 6y, zxy = — 3. Odtud dostáváme D(x, y) = 36xy - 9, tj. D(Pj) = -9 < 0, D(P2) = 36 - 9 = 27 > 0. Podle Věty 6.2 v bodě Px extrém nenastává a v bodě P2 nastává ostré lokální minimum, neboťzXx(P\) = 6 > 0. Poznámka 6.2. V případě, že ve stacionárním bodě [xq, yo] platí D(xq, yo) = 0, o existenci extrému v tomto bodě nelze na základě druhých derivací rozhodnout. Pro funkce jedné proměnné máme k dispozici tvrzení, které říká, že funkce / má ve stacionárním bodě xo, v němž f"(xo) = 0, lokální extrém nebo inflexní bod podle toho, je-li první nenulová derivace v xo sudého nebo lichého řádu. U funkcí více proměnných není však aparát vyšších derivací v praktických případech příliš vhodný. V některých příkladech lze o existenci lokálního extrému rozhodnout vyšetřením lokálního chování funkce v okolí bodu [xo, yo], bez počítání druhých derivací. Tento postup je ilustrován na následujících dvou příkladech. Lokální extrémy 11 Příklad 6.3. i) Určete lokální extrémy funkce f(x,y) = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2. Řešení. Stacionární body určíme jako řešení soustavy rovnic Zx = 4x3 - 2x - 2y = 0, zy = 4y3 - 2x - 2y = 0. (6.5) Odečtením rovnic dostáváme x —y = 0, odtud x = y a dosazením do jedné z rovnic v (6.5) dostáváme tři stacionární body P\ = [0, 0], Pi = [1, 1], P3 = [-1,-1]. Dále D(x, y) = fxxfyy - [fxy]2 = (Í2x2 - 2)(í2y2 - 2) - 4. Protože D(P2) = D(P3) = 96 > 0 a fxx(l, 1) = fxx(-l, -1) = 10 > 0, má funkce / v obou těchto stacionárních bodech ostré lokální minimum. Ve stacionárním bodě P\ je však D(P\) = 0, proto o existenci extrému v tomto bodě nelze takto rozhodnout. Zde postupujeme následujícím způsobem: Funkci / můžeme upravit na tvar f(x, y) = x4 + y4 - (x + y)2. Odtud f(x, -x) = 2x4 > 0 pro x ^ 0. Na druhé straně fix, 0) = x4 — x2 = x2i\ — x2) < 0 pro x e (—1, 0) U (0, 1). Tedy v libovolném okolí bodu [0, 0] funkce / nabývá jak kladných tak záporných hodnot, což spolu s faktem, že /(0, 0) = 0 znamená, že v tomto bodě lokální extrém nenastává. ii) Určete lokální extrémy funkce z = fix, y) = xy ln(x2 + y2). Řešení. Stacionární body určíme jako řešení soustavy rovnic zx=y ln(x2 + y2) + xy zy = x ln(x2 + y2) + xy 2x x2 + y2 2y y = X ln(x2 + y2) + Mx2 + y2) + 2xz x2 + y2 2y2 x2 + y2 Jsou možné čtyři případy: a) [x, y] = [0, 0], v tomto bodě však není funkce definována. b) x = 0, pak lny2 = 0, tj. y = ±1. Označme Pu = [0, ±1]. c) y = 0, lnx2 = 0 , tj. x = ±1. Označme P3A = [±1, 0]. x2 + yz 0, 0. d) ln(x2 + y2) + Ix1 x2+y2 = 0, ln(x2 + y2) + 2y2 ■ — o, 78 Lokální a absolutní extrémy odtud x2 = y2 a soustavě rovnic vyhovuje čtveřice bodů Ps_8 = [±-j^=, O tom, v kterém z těchto stacionárních bodů nastává extrém, rozhodneme vyšetřením znaménka funkce /. Funkce / nabývá nulové hodnoty na souřadných osách (v počátku má limitu rovnu 0 - viz příklad 2.2 v) a v bodech kružnice x2 + y2 = 1. Uvnitř jednotkové kružnice je funkce v I. a III. kvadrantu záporná, ve II. a IV. je kladná. Vně jednotkové kružnice je tomu naopak (načrtněte si obrázek). Odtudje zřejmé, že v bodech P\2 = [0, ±1], Pj,,a = [±1,0] extrém nenastává, neboť funkční hodnota je zde nulová a v libovolném okolí tohoto bodu nabývá funkce jak kladných tak záporných hodnot. Dále je vidět, že v bodě [-J=, -j=\ (ležícím uvnitř jednotkové kružnice) je lokální minimum, neboť na hranici množiny, která je tvořena souřadnými osami a jednotkovou kružnicí a kde leží tento bod, je funkce nulová a uvnitř této množiny je funkce / záporná. Pak nutně v jediném stacionárním bodě uvnitř této množiny musí být lokální minimum. Stejnou úvahou zjistíme, že lokální minimum je i v bodě [— -^=, a ve zbývajících dvou bodech je lokální maximum. Graf funkce z = xy ln(x2 + y2) a její vrstevnice jsou znázorněny na obrázku 14.9 a 14.10. Na tomto znázornění je dobře vidět charakter jednotlivých stacionárních bodů. Poznámka 6.3. Je-li funkce / diferencovatelná v bodě [xo, yo] a fx(xo,yo) = 0 = fy(xo, yo), pak tečná rovina ke grafu funkce / v bodě [xo, yo] je vodorovná. Je-li výraz D(xo, yo) > 0 a fxx(xo, yo) > 0 (< 0), pak je v bodě [xo, yo] lokální minimum (maximum), tj. v okolí tohoto bodu leží graf funkce nad (pod) tečnou rovinou. Projdeme-li důkaz Věty 6.2, snadno zjistíme, že i v případě, kdy [xo, yo] není stacionární bod, jsou podmínky D(xo, yo) > 0, fxx(xQ, yo) > 0 (< 0) dostatečné pro to, aby graf funkce / v okolí bodu ležel nad (pod) tečnou rovinou v tomto bodě. Příklad 6.4. Rozhodněte, zda graf funkce f(x, y) — x3 + y3 — 2xy leží v okolí bodu [1,1] nad nebo pod tečnou rovinou sestrojenou v tomto bodě. Řešení. Přímým výpočtem určíme parciální derivace funkce / v bodě [1,1]: fx — 1, fy — 1, fxx — 6, fxy — —2, fyy — 6. Podle (4.6) má tečná rovina ke grafu funkce v bodě [1, 1] rovnici z — x + y — 2. Vzhledem k tomu, že D(\, 1) = 34 — 4 = 32 > 0, leží podle předchozí poznámky graf funkce v okolí bodu [1,1] nad tečnou rovinou sestrojenou v tomto bodě. Pro funkce tří a více proměnných je situace podobná jako pro dvě proměnné. O existenci extrému ve stacionárním bodě „rozhoduje" kvadratický polynom n proměnných v Taylorově rozvoji. Pouze rozhodnout, kdy tento polynom nemění své znaménko, je poněkud složitější. K tomu připomeňme nejprve některé pojmy z lineární algebry. Lokální extrémy 79 Definice 6.3. NechťA = (a/j), h j — 1je symetrická matice, h e M". Řekneme, že kvadratická forma P(h) — (Ah, h) — Yll j=i aijninj určená maticí A je pozitivně (negativně) semidefinitní, jestliže P(h) > 0, (P(h) < 0), pro každé AeE". (6.6) Jestliže v (6.6) nastane rovnost pouze pro h — 0, řekneme, že forma P je pozitivně (negativně) definitní. Jestliže existují h, h e M" taková, že P(h) < 0 a P(h) > 0, řekneme, že kvadratická forma P je indefinitní. Často místo o definitnosti resp. indefinitnosti kvadratické formy P mluvíme o definitnosti resp. indefinitnosti matice A. V následujících úvahách pro funkci / : M" -> M symbolem /' značíme n— rozměrný vektor, jehož komponenty jsou parciální derivace ^ a symbol /" značí n x n matici, jejíž prvky jsou parciální derivace 2. řádu funkce /, tj. (f")ij — dxJx., i, j — 1,... ,n. Věta 6.3. Nechťx* e M" je stacionární bod funkce f a předpokládejme, že f má v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu. Položme A — (a,-j) = f"{x*\tj.aij=fXiXj{x*\ i) Je-li kvadratická forma P(h) — (Ah, h) pozitivně (negativně) definitní, má funkce f v bodě x* ostré lokální minimum (maximum). ii) Je-li kvadratická forma P indefinitní, v bodě x* extrém nenastává. iii) Má-li funkce f v bodě x* lokální minimum (maximum), je kvadratická forma P pozitivně (negativně) semidefinitní. Důkaz. Vzhledem k tomu, že důkaz prvních dvou tvrzení je zcela stejný jako pro dvě proměnné, dokážeme pouze tvrzení iii). Předpokládejme, že funkce / má v x* např. lokální minimum a kvadratická forma P není pozitivně semidefinitní, tj. existuje h e M" takové, že P (h) < 0. Protože pro pevné h e M" je kvadratická forma P spojitou funkcí koeficientů této formy a,-j, existuje s > 0 takové, že je-li |a,-j — bij\ < s, i, j — 1, ..., n a B — (bij), platí (Bh, h) < 0. To vzhledem ke spojitosti derivací druhého řádu funkce / znamená, že (f"(x)h, h) < 0, je-li x dostatečně blízko x*, tj. pro x splňující x £ &$ (x*), kde S > 0 je vhodné reálné číslo. Nyní nechť {an} je libovolná posloupnost kladných reálných čísel konvergujících k nule a položme xn — x* + anh. Pak xn —> x*, tedy pro dostatečně velká n']&xn e &$(x*) a z Taylorova vzorce pro n — 1 dostáváme /(*„) - f(x*) = (f'(x*), anh, ) + (f"(yn)anh, anh) = a2n(f"(yn)h, h) < 0, kde yn leží na úsečce spojující x * a xn. Proto yn e &$(x*) pro n dostatečně velká a odtud f(xn) < f(x*), což je spor s tím, že funkce / má ví* lokální minimum. □ Poznámka 6.4. Podle předchozí věty neumíme o existenci lokálního extrému v daném stacionárním bodě x* rozhodnout v případě, kdy je matice f"(x*) pouze semidefinitní. 80 Lokální a absolutní extrémy Analogicky jako u funkce jedné proměnné (i když podstatně komplikovaněji), lze určit postačující podmínky pomocí definitnosti kubických a vyšších forem, které odpovídají diferenciálům vyšších řádů, viz [N2], str. 70. O tom, jak rozhodnout o definitnosti kvadratické formy určené danou symetrickou maticí A, vypovídá následující věta. Věta 6.4. i) Kvadratická forma P určená symetrickou maticí A — (a//)> n P(h) = (Ah,h) = ^ aijhihj U=l je pozitivně (negativně) definitní, právě když všechna vlastní čísla matice A jsou kladná (záporná). Forma P je pozitivně (negativně) semidefinitní, právě když všechna vlastní čísla jsou nezáporná (nekladná). ii) Kvadratická forma P je pozitivně definitní, právě když jsou všechny hlavní minory matice A, tj. determinanty \an\ a\\ an au a22 an an ai2 an ai3 an au an ■ ai2 • ■ a\n ■ atn = det A «31 «32 «33 an\ an2 . ann kladné. Kvadratická forma P je negativně definitní, právě když hlavní minory střídají znaménko, počínajíc záporným. Příklad 6.5. Určete lokální extrémy funkce u = x + |^ + y + | ležící v prvním oktantu, tj.x > 0, v > 0, z > 0. Řešení. Nejprve určíme stacionární body, tj. derivujeme a řešíme soustavu rovnic ,2 „2 1 y 4x2 , y y 2x z 0 = 0 \xl *-2=o V ZL r = 0, 2xz2 = 0, 0. y Z první rovnice plyne y = ± 2x, a protože hledáme pouze kladné řešení, uvažuj eme pouze případ y — 2x. Dosazením do druhé rovnice dostáváme 2x(4x2 — z2) — 0, odtud z — 2x (případ z — —2x opět neuvažujeme). Dosazením do třetí rovnice obdržíme 8x3 — 2x — 0 a tato rovnice má kladné řešení x — j, tedy na množině x > 0, y>0, z>0 má soustava rovnic jediné řešení B — [j, 1, 1]. Vypočteme druhé derivace Absolutní extrémy 81 a v bodě B — 1, 1] : uxx — 4, uyy — 3, uzz — 6, = 2, wxz = 0, uyz — —1. Dále použijeme Větu 6.3. Pro bod B — [|, 1, 1] je a její všechny tři hlavní minory jsou kladné, jak zjistíme snadným výpočtem. Celkově má daná funkce u v prvním oktantu jediný lokální extrém v bodě B — [j, 1, 1], kde nastává ostré lokální minimum. 6.2. Absolutní extrémy Definice 6.4. Nechť / : Rn -> R, M c £>(/). Řekneme, že bod x* e M je bodem absolutního minima (maxima) funkce / na M, jestliže f(x*) < f(x) (/(■**) > /(^)) Pro každé x e M. Jsou-li nerovnosti pro i// ostré, mluvíme o ostrých absolutních extrémech. Místo termínu absolutní extrém se používá často pojem globální extrém. Připomeňme, že spojitá funkce jedné proměnné na uzavřeném a ohraničeném intervalu nabývá své největší a nejmenší hodnoty buď v bodě lokálního extrému ležícím uvnitř intervalu nebo v jednom z krajních bodů. Pro funkce více proměnných je situace podobná. Věta 6.5. Nechť M c R" je kompaktní množina (tj. uzavřená a ohraničená) a funkce f : M —>• IR je spojitá na M. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálního extrému ležících uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Důkaz. Tvrzení o existenci absolutních extrémů plyne ihned z Weierstrassovy věty (Věta 2.10). Zbývající tvrzení je triviální, neboť jestliže bod absolutního extrému není hraničním bodem (tj. je vnitřním bodem M), musí být i lokálním extrémem. 0 0 0 0 du — 4dx + 3dy + 6dz + 2dxdy — 2dydz. Tato forma je pozitivně definitní, neboť matice této formy je □ Předchozí věta dává praktický návod, jak hledat absolutní extrémy diferencovatelných funkcí (s takovými se v praktických situacích setkáváme nejčastěji) na 82 Lokální a absolutní extrémy kompaktních množinách. Najdeme stacionární body ležící uvnitř množiny a pak vyšetříme danou funkci na hranici množiny. Vyšetření funkce na hranici množiny M C K" je obecně poměrně složitý problém a pojednává o něm devátá kapitola. Pro funkce dvou proměnných je však situace poměrně jednoduchá. V tomto případě jsou velmi často hranice nebo její části tvořeny grafy funkcí jedné proměnné. Vyšetřit funkci na hranici pak znamená dosadit rovnici křivky, která tvoří část hranice do funkce, jejíž extrémy hledáme a vyšetřovat extrémy vzniklé funkce jedné proměnné. Tento postup je nejlépe srozumitelný na následujících příkladech. Příklad 6.6. i) Určete nejmenší a nej větší hodnotu funkce z = f(x, y) = xy — x2 — y2 + x + y v trojúhelníku tvořeném souřadnými osami a tečnou ke grafu funkce y = ^ v bodě [2, 2]. Řešení. Nejprve určeme rovnici tečny ke grafu funkce y = ^. Platí y' = — p-, tj. rovnice tečny je y — 2 = — | (x — 2) = — x + 2. Tedy množinou M, na níž hledáme absolutní extrémy je množina M = {[x, y] e R2 : x > 0, y > 0, y < 4 - x}. Určíme stacionární body funkce z zx = y - 2x + 1 = 0, zy = x - 2y + 1 = 0, odkud dostáváme stacionární bod [x, y] = [1, 1] e M. Nyní vyšetřeme funkci / na hranici množiny M, která se skládá z úseček I. y = 0, x e [0, 4] II. x = 0, y e [0, 4] III. y = 4 - x, x e [0, 4]. I. y = 0, x e [0,4]. Dosazením dostáváme u = f (x,Q) = —x2 +x a hledáme absolutní extrémy této funkce jedné proměnné pro x e [0, 4]. Platí u'(x) = —2x + 1=0, odtud x = |. Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou = |, w(0) = 0, w(4) = 12. II. x = 0, y e [0, 4]. Dosazením dostáváme v = f(0, y) = — y2 + y a stejně jako v části I u(0) = 0, u(4) = -12, u(i) = \. III. y = 4 — x, x e [0,4]. Dosazením dostáváme w = fix, A — x) = xiA-x)-x2-iA-y)2+x+A-x = -3x2+í2x-12. Platí w'(x) = -6x + í2 = 0, odtud x = 2, w(2) = 0. V krajních bodech u;(0) = —12, w(A) = —12. Porovnáním funkčních hodnot funkce / na hranici (tj. hodnot funkcí u, v, w v jejich stacionárních bodech a v krajních bodech intervalů, kde tyto funkce Absolutní extrémy 83 vyšetřujeme) s funkční hodnotou funkce / v jediném stacionárním bodě [1, 1] vidíme, že fmin = -12 pro [x, y] = [0, 4] a [x, y] = [4, 0], /max = 1 pro [x, y] = [1, 1]. Závěrem poznamenejme, že algebraické úpravy spojené s vyjádřením funkce / na hranici bývají nejčastějším zdrojem numerických chyb. Máme však k dispozici poměrně dobrou průběžnou kontrolu. V bodě [x, y] = [4, 0] se stýkají části hranice I a III a tedy funkce u zl musí pro x = 4 nabývat stejné funkční hodnoty jako funkce w z III v x = 4. V našem případě je w(4) = —12 = u>(4). Podobně v bodě [0, 0] se stýkají části I a II a v bodě [0, 4] části II a III. Také v těchto bodech průběžná kontrola vychází, neboť w(0) = 0 = u(0) a w(0) = f (4) = —12. Doporučujeme čtenáři tuto kontrolu vždy provést, neboť značně minimalizuje možnost šíření numerické chyby ve výpočtu. ii) Určete nejmenší a největší hodnotu funkce z = (2x2 + 3y2)e~x2~y2 na množině M = {[x, y] e R2 : x2 + y2 < 4}. Řešení. Nejprve určíme stacionární body ležící uvnitř množiny M, kterou je kruh o poloměru 2. Vypočteme parciální derivace Zx =4xe~x2-y2 - 2x(2x2 + 3y2)e~x2-y2 = -2xe~x2-y2 [2x2 + 3y2 - 2], Zy =6ye-x2-yl - 2y(2x2 + 3y2)e~x2-y2 = -2yt~x2-y2 [2x2 + 3y2 - 3]. a položíme je rovny nule: xe~x2-y2 [2x2 + 3y2 - 2] = 0, ye-x2-y2 [2x2 + 3y2 - 3] = 0. Odtud dostáváme 4 možnosti: A) x=0 = y => /(0,0)=0. B) x = 0, 3y2 = 3 y = ±1, /(0, ±1) = 3c"1. C) y = 0, 2x2 = 2 x = ±1, /(±1, 0) = 2c"1. D) 2x2 + 3y2 — 2 = 0 a 2x2 + 3y2 — 3 = 0- tento systém nemá řešení. Nyní vyšetřeme funkci / na hranici množiny M. Tu si rozdělíme na dvě části, horní a dolní půlkružnici. l.y = V4 - x2, x e [-2, 2], u = f (x, V4 - x2) = (2x2 + 3(4 - x2))e"4 = (12 — x2)e~4. Najdeme největší a nejmenší hodnotu funkce u na intervalu [—2, 2]. Těchto extremálních hodnot je dosaženo buď v lokálním extrému uvnitř intervalu 84 Lokální a absolutní extrémy [—2, 2] nebo v některém z krajních bodů x = ±2. Platí u' = —2xe 4 = 0 =>■ x = 0. Odtud u(0) = e"4, w(±2) = 8e"4. II. y = -Ví" e [—2, 2]. Zde je situace zcela stejná jako pro I, neboť fix, -y) = fix, y). Porovnáním všech vypočtených hodnot vidíme, že /max = 3e"1, pro [x, y] = [0, ±1], /min = 0, pro [x, y] = [0, 0]. Graf vyšetřované funkce je znázorněn na obr. 14.13 a 14.14; zde lze ověřit, že všechny stacionární body leží uvnitř kruhu M. iii) Je dán drát délky /, tento drát je rozdělen na tři části. Z jedné je vytvořen kruh, z druhé čtverec a ze zbylé rovnostranný trojúhelník. Určete délky jednotlivých částí tak, aby plocha omezená těmito obrazci byla minimální resp. maximální. Řešení. Označíme-li x délku strany čtverce, y poloměr kruhu a z délku strany trojúhelníka, platí 4x + lizy + 3z = /, odtud z = l~Ax~2ny. Pro součet obsahů čtverce, kruhu a trojúhelníka platí P = x2 + ity2 + —z2 = x2 + ity2 H--!-=(/ - 4x - 2ny)2 4 ' 12V3 a hledáme absolutní extrémy této funkce na množině M = {[x, y] : x, y > 0, 4x + 2%y < l,}. Nejprve vypočteme parciální derivace a stacionární body: 8 4% Px=2x--— (Z -4x- 2jry) =0, Py = 2ny--—(Z -4x- 2ny) = 0. 12V3 12V3 Odtud / / x =-p, y = 4 + 7T + 3V3' 8 + 27T + 6V3 a funkční hodnota v tomto stacionárním bodě je l2 Pix,y) = 4(4 + x + 3V3) Nyní vyšetřeme funkci P na hranici množiny M. I. y = 0, x € [0, \], označme (p(x) = P(x,0) = x2 + ^=(Z - 4x)2. Pak ~~ 2(jt+3V3' ~~ 4(3V3+Jt)" III. y = ^,xe[0, |], označme co(x) = P(x, ^) = x2 + - 4x)2. co(0) = co({) = |, co'(x) = 2x - 1(1 - 4x) = O => x = ^, Porovnáním všech vypočtených hodnot zjistíme, že největší obsah dostaneme, jestliže celý drát stočíme do kružnice, tj. I2 Pmax = — pro [x, y] = 4it ' l ' 2% a nejmenší obsah Pmjn = P(x,y) = 4(4+^3^, jestliže jej rozdělíme takto: 4/ část na čtverec ... 4x =-—, 4+ n + 3V3 Til část na kruh... 2ny = část na trojúhelník... 3z = 4 + 7T + 3V3' 3V3Z 4 + % + 3VŠ' Na závěr této kapitoly si ještě ukažme metodu, jak lze řešit úlohy na absolutní extrémy v některých speciálních případech, např. umíme-li sestrojit vrstevnice funkce, jejíž extrémy hledáme, a pokud množina, kde tyto extrémy hledáme, je „dostatečně jednoduchá". Celý postup je nejlépe srozumitelný na příkladech. Příklad 6.7. i) Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x,y) = x2 — 4-x + y2 — 4y + 10 na množině M : x2 + y2 < 1. Řešení. Platí f (x, y) = (x — 2)2 + (y — 2)2 + 2. Protože konstanta 2 nemá vliv na to, v kterém bodě nastávává abs. minimum a maximum (má vliv pouze na hodnotu těchto extrémů), stačí najít absolutní extrémy funkce g (x, y) = (x — 2)2 + (y — 2)2. Tato funkce však udává druhou mocninu vzdálenosti bodu [x, y] od bodu [2, 2]. Úlohu proto můžeme přeformulovat takto: V jednotkovém kruhu najděte bod, který je nejblíže a nejdále od bodu [2, 2]. Geometricky je nyní řešení úlohy zřejmé. Sestrojíme přímku y = x spojující počátek s bodem [2, 2]. Průsečíky této přímky s kružnicí x2 + y2 = 1 jsou řešením naší úlohy, tj. 2x2 = 1, odkud x = ±-j=. Minimu nastává v bodě [-^=, -^=] a 86 Lokální a absolutní extrémy maximum v bodě [—-^, —-^] a extremální hodnoty jsou/min = 11—4*Jl, /max = 11 + 4\/2. Všimněme si také, že průsečíky přímky y = x s jednotkovou kružnicí jsou body, kde mají jednotková kružnice a vrstevnice funkce / - soustředné kružnice se středem [2, 2] - společnou tečnu. ii) Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x,y) = x — y na množině M ; x2 + y2 < 1. obr. 6.2 obr. 6.3 Řešení. Vrstevnice funkce / jsou přímky načrtnuté na obrázku 6.2. Nutnou podmínkou (a zde i dostatečnou) pro to, aby hodnota c e IR byla hodnotou absolutního maxima resp. minima funkce / je, že přímka x — y = c je tečnou ke kružnici x2 + y2 = 1. Vskutku, pokud přímka x — y = c kružnici protne, znamená to, že pro č dostatečně blízká c protne kružnici i přímka x — y = č. To však znamená, že funkce x — y nabývá na M hodnot jak větších než c (pro č > c) i menších (pro č < c). Jestliže přímka x — y = c kružnici vůbec neprotne, znamená to, že tyto body neleží v M a tedy nepřipadají v úvahu. Zbývá tedy pouze možnost, že přímka x — y = c je tečnou. Z obrázku je nyní zřejmé, že maximum nastane v bodě [-^=, —-^], jeho hodnota je ■s/2 a minimum je v bodě [—^, ^], jeho hodnota je — ■s/2. iii) Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x,y) = xy na množině M : |*| + \y\ < 1. Řešení. Množina M a vrstevnice funkce / jsou načrtnuty na obrázku 6.3 (vrstevnicemi j sou grafy funkcí xy = c, tj.ro vnoosé hyperboly y = £). Stejnou úvahou jako x 1 v předchozím příkladu zjistíme, že funkce nabývá absolutního maxima /max = 4 v bodech [±|, a absolutního minima /min = —| v bodech [±|, =|=i]. Absolutní extrémy 87 Cvičení. 6.1. Najděte lokální extrémy funkcí: a) z = x2 + y2 — xy — 2x + y f) z = x—2y+\n^x2 + y2+3 arctg b) z = xy(4-x - y) g) z = yVl + x + x+J\ + y c) z = 4(x - y) - x2 - y2 h) u = x3 + y2 + z2 + I2xy + 2z d) z = xy + 50+2O J x y i) u = x + £ + f + 2:,x,y,z>0 e) z = x2 + xy + y2 — ln x — ln y j) z = x2+xy + y2 + ^ + ^ k) u = xyziyi — x — 2y — 3 z) D u = x\x\.....xnn(\ - X\ - 2x2 - - ... — nXfi), X\, X\,..., xn > 0 m) u = xi + f + f + --- + ^ + x\ X2 Xn-\ 7"' xl' • ,xn>0. 6.2. Udejte příklad funkce / : IR2 —^ IR2 splňující uvedené podmínky: a) fx(l, 1) = O = fy(l, 1), ale v bodě [1,1] nenastává lokální extrém, b) / má v bodě [O, 1] ostré lokální minimum a v bodě [1,0] ostré lokální maximum. c) / má v bodě [—1,0] ostré lokální minimum, v bodě [0, 0] sedlo a v bodě [1,0] ostré lokální maximum. 6.3. Pomocí vrstevnic funkce / určete její nejmenší a největší hodnotu na množině M: a) f{x, y)=x + y,M : \x\ < 1, \y\ < 1, b) f(x, y) = x2 - 2x + y2 - 2y + 3, M : x > 0, y > 0, x + y < 1, c) f (x, y) = \x\ + \y\, M: (x - l)2 + (y - í)2 < 1, d) f (x, y, z) = x + y + z, M : x2 + y2 < 1, 0 < z < 1, e) f (x, y, z) = x2 + y2, M : x2 + y2 + z2 < 1. 88 Lokální a absolutní extrémy 6.4. Určete nejmenší a největší hodnotu funkce / na množině M: a) f(x, y) = x2+2xy + 2y2 — 3x — 5y, M je trojúhelník určený body A = [0, 2], 5 = [3,0],C = [0,-1]. b) f(x, y) = x2 + y2 + 3xy + 2, M je omezená grafy funkcí y = \x\ a y = 2. c) f(x, y) = x2 + y2 — xy — x — y, M je trojúhelník určený body A = [— 1, 0], fl = [l,2],C = [3,0]. d) f{x, y) = x2 + y2 — xy — 2, M = {[x, y] : x2 + y2 < 1, y > \x\ - 1}. e) fix, y) = 2x2 + Ay2 na M :{[x,y]: x2 + y2 < 9}, f) fix, y) = x2 + y2 - 2x + 2y + 2 na M = {x2 + y2 < 1}. 6.5. Určete absolutní extrémy funkce / na množině M: a) fix, y) = sinx siny sin(x + y), M : 0 < x, y < n, b) fix, y)=x2-xy + y2, M : \x\ + \y\ < 1, c) fix, y,z) = x + 2y + 3z, M : x2 + y2 < z < 1, d) fixu...,xn) = ^gZ^n+b)'M : a ~ ^'•••'^ = <£>(/) fl £)(g). Dále nechť zobrazení F : <£> -> M2 je dáno předpisem Pak řekneme, že zobrazení F je určeno funkcemi f, g, tyto funkce nazýváme složky nebo také souřadnicové funkce zobrazení F a píšeme F — [f, g}. Příklad 7.1. Vypište složky zobrazení pro stejnolehlost se středem v počátku soustavy souřadnic, otočení o úhel (p a pro kruhovou inverzi určenou jednotkovou kružnicí. Řešení, i) Stejnolehlost se středem v počátku. Je-li k koeficient stejnolehlosti, pak F [x, y] 1—> [kx, ky]. ii) Otočení o úhel (p e [0, iz] v kladném smyslu. Pro odchylku i/r dvou přímek procházejících počátkem a bodem [x\, y\\, resp. [x2, y2] platí , 1*1*2+ V1V2I 7.1. Zobrazení z M2 do M2 [x,y] F [f(x,y),g(x,y)]. cos ý — 89 90 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí (kosinus úhlu je roven podílu skalárního součinu a součinu velikostí vektorů určených počátkem a body [x\, y\\, resp. [x2, y2]). Proto zobrazení F, které bodu [x, y] přiřadí bod otočením o úhel (p kolem počátku v kladném smyslu (tj. proti směru otáčení hodinových ručiček) je tvaru F [x, y] i—> [x cos (p — y sm(p, x sm(p + y cos 0 takové, že u — ax, v — ay. Z podmínky na vzdálenost bodů [x, y] [u, v] od počátku dostáváme -Jx1 + y2\/u2 + v2 — a(x2 + y2) — 1, odtud a — (x2 + v2)-1. Toto zobrazení je proto tvaru F x y [x, y] i—► [ 2 2, 2 2]- x + y xL + y Příklad 7.2. Zobrazení množiny komplexních čísel do sebe lze chápat také j ako zobrazení z M2 do M2. Například zobrazení, které komplexnímu číslu z — x + iy přiřadí jeho druhou mocninu z2, definuje zobrazení [x, y] i—[x2 — y2, 2xy] neboť z2 = (x + iy)2 — x2 — y2 + 2ixy. Definice 7.2. Řekneme, že zobrazení F — {f, g} z M2 do M2 je spojité v bodě [xo, yo], jsou-li funkce /, g spojité v [xo, yo]. Řekneme, že F je diferencovatelné v bodě [xo, yo], jestliže každá z funkcí /, g je diferencovatelná v bodě [xo, yo]- Zobrazení dF(xo, yo) '■ K2 —► K2 dané předpisem dF [h, k] i—> [df(x0, yo)(h, k), dg(xoyo)(h, k)] = = ifxixo, yo)h + fy(xo, yo)k, gx(x0, yo)h + ^(x0, yo)k] nazýváme diferenciál zobrazení F v bodě [xq, yo] a značíme dF(xQ, y q) Podle této definice je tedy diferenciál zobrazení F lineárni zobrazení z M2 do M2. Protože z lineárni algebry vime, že každé lineárni zobrazení mezi konečnědimenzionálními prostory lze reprezentovat vhodnou maticí, dostáváme se k následující definici. Zobrazení z K2 do R2 91 Definice 7.3. Nechť zobrazení F — {/, g} z M do M je diferencovatelné v bodě [*0> Jí)]- Matici typu 2x2 F\x0,y0) = (fx^'yo] fy^y°A (7.1) \gx(x0,yo) gy(x0,y0)J nazýváme Jacobiho matice zobrazení F v bodě [xo, yo], determinant této matice nazýváme jacobián zobrazení F v bodě [xq, yo]. Nejprve odvodíme vzorec pro diferenciál složeného zobrazení. Je zcela analogický vztahu pro derivaci složené funkce jedné proměnné, stačí „zapomenout", že místo zobrazeními mezi jednodimenzionálními prostory se jedná o vícerozměrná zobrazení. Věta 7.1. Nechť F — {f\, f2], G — {g\, g2] jsou zobrazení z M2 do M2. Pak pro Jacobiho^ matici složeného zobrazení H — F o G platí H'(x,y) = F'(u,v)G'(x,y), (7.2) kde [u,v] — G(x, y), tj. u — g\{x, y), v — g2(x, y). Pro jejich jacobiány dostáváme áetH'(x, y) = áetF'(u, v)áetG'(x, y). Důkaz- Nechťh\, h2 jsou souřadnicové funkce zobrazení H, tj. h\(x, y) = f\(g\(x, y),g2(x, y)), h2(x, y) = f2(g\(x, y), g2(x, y)). (7.3) Aplikací Věty 5.1 dostáváme d d d d d —hi(x, y) = —fi(u, v)—gi(x, y) + —fi(u, v)—g2(x, y) (7.4) ôx au ôx ov ôx a podle Definice 7.3 F(u,v) = \^_ ^£ ),G(x,y)—\ Vynásobíme-li tyto dvě matice, vidíme, že prvek nacházející se vlevo nahoře je právě roven ^(x, y), kde h\ je dáno v (7.3). Stejným způsobem ověříme, že i ostatní prvky součinu matic F' ■ G' jsou totožné s výrazy pro prvky matice H získané pomocí (7.2), čímž je rovnost (7.2) dokázána. Vzorec pro jacobiány plyne z faktu, že determinant součinu dvou matic je roven součinu determinantů. □ V diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné jsme vyšetřovali lokální vlastnosti funkce (tj. v okolí daného bodu) pomocí derivace funkce v tomto bodě (což je pro iCarl Jacobi (1804-1851), německý matematik 92 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí funkci jedné proměnné v podstatě ekvivalentní diferenciálu této funkce, neboť funkce / : M -> M je v nějakém bodě diferencovatelná, právě když zde existuje konečná derivace /'). Podobně budeme postupovat v případě zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí. Věta 7.2. Předpokládejme, že složky zobrazení F — {f, g} : M2 -> M2 mají v bodě [xq, yo] spojité parciální derivace prvního řádu a Jacobiho matice F'(xq, yo)je regulárni, tj. det F'(xq, yo) ^ 0. Pak existuje okolí U bodu [xq, yo] v němž je zobrazení F prosté a pro Jacobiho matici inverzního zobrazení F-1 v bodě [uq, vq] — F(xq, yo) platí {F-1)'{uq, vo) = [F'(x0, yo)]'1 . (7.5) Důkaz- Tvrzení zde nebudeme dokazovat se všemi podrobnostmi (detailní důkaz je proveden v [Ri]). Zdůrazněme zde pouze hlavní myšlenku důkazu. Diferenciál dF(xQ, yo) zobrazení F : M2 -> M2 je nejlepší lineární aproximace F v okolí bodu [xo, yo]- Je-li zobrazení dF(xQ, yo) prosté - to nastane právě když je jeho matice F'(xq, yo) regulární -je v jistém okolí bodu [xo, yo] prosté i samo zobrazení F. Vztah (7.5) dokážeme takto: Z definice inverzního zobrazení je F~1(F(x, y)) — [x, v]. Položme [u, v] — F(x, y). Ze vztahu pro Jacobiho matici složeného zobrazení plyne (F-1)'^, v) F'(x, y) — E-jednotkovámatice (neboťJacobiho matice identického zobrazení je jednotková matice) a odtud (F-1)'^, v) — [F'(x, y)]_1. □ Příklad 7.3. i) Rozhodněte, zda zobrazení F — {f, g] : M2 —> M2 se souřadnicovými funkcemi f (x, y) — xy, g(x, y) — ^ je prosté v okolí bodu [x, y] = [2, 1], pokud ano, určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě [u, v] — F(2, 1). Řešení. Jacobiho matice zobrazení F je fx(x,y) fy(x, y) F'(x, y) - \8x(x,y) gy(x,y) a pro bod [x, y] = [2, 1] je det 7^(2, 1) = —4, tedy F je prosté v jistém okolí bodu [2, 1]. Pro Jacobiho matici inverzního zobrazení F_1 v bodě [2, 2] = F(2, 1) platí (F-1)'(2, 2) = [F'{2, l)]"1 = 0 _22) 1 = (j ji) . ii) Určete Jacobiho matici zobrazení F : M2 —> M2, které je složením kruhové inverze, jejíž řídící kružnice je jednotková, a otočení o úhel -| v kladném smyslu, přičemž nejprve se provádí kruhová inverze. Řešení. Kruhová inverze přiřadí bodu [x, y]bod ix2+ 2 > ^2^2] a otočení o úhel -| vkladném smyslu přiřadí bodu [x, y] bod [—y, x], viz příklad 7.1. Tedy složené zobrazení Zobrazení z W do R' 93 přiřadí bodu [x, y] bod [—jt-> 2+ 2!- Jacobiho matice tohoto zobrazení je x +y ' x2+y ŕ A. í y \ A. í y \ dx \ x2+y2J dy \ x2+y2) 2xy y2—x2 J7'(y v\ — I ox V x-+y-/ ay y x-+y-/ 1 _ I (x2+y2)2 (x2+y2)2 ( J,i ií^ 9 ( * \\~ \ y2-*2 2*y dx\x2+y2j dy \x2+y2) ) \(x2+y2)2 (x2+y2)2/ Poznámka 7.1. i) Jacobiho matici inverzního zobrazení v Příkladu 7.3, část i) můžeme vypočíst také přímo - prostřednictvím explicitního vyjádření inverzního zobrazení k F. Vypočteme-li z rovnic u — xy, v — ^ proměnné x a y pomocí u a v, dostáváme x — ±^fuv, y — ±,/— V v a vzhledem k tomu, že hledáme inverzní zobrazení v okolí bodu [1, 1], bereme v obou rovnicích +. Pak 2juv Dosadíme-li sem [u,v] — F(2, 1) = [2, 2], dostáváme vskutku stejný výsledek jako v Příkladu 7.3. ii) Ze skutečnosti, že detF'(xo, yo) = 0 pro nějaké zobrazení F : M2 -> M2 ještě neplyne, že F není prosté v okolí bodu [xo, yo], tj. podmínka det F'{xq, yo) 0 je pouze dostatečná, nikoliv nutná, pro to, aby zobrazení F bylo prosté v okolí bodu [xo, yo]. Například zobrazení F dané předpisem [x, y] [x3, y3] zobrazuje prostě M2 na M2, přestože det F'(0, 0) = 0. 7.2. Zobrazení z R" do R"' Pro zobrazení mezi prostory dimenzí vyšších než dvě je situace zcela analogická. Jsou-li n, m e N a f\,..., fm : M" -> M, pak přiřazení F [xi, ..., xn] i—> [/i(xi, ..., x„), ..., /m(xi, ..., x„)] definuje zobrazení F : W1 ^ Rm. Funkce f\,...,fm se nazývají složky nebo souřadnicové funkce zobrazení F. Jsou-li všechny složky spojité v bodě x*, řekneme, že F je spojité v bodě x*. Jsou-li f\,...,fn diferencovatelné v bodě x* e M", řekneme, že zobrazení F je diferencovatelné v bodě x*. Jeho diferenciál dF(x*) definujeme jako lineární zobrazení z M" do Rm dané předpisem a = [hu ..., hn] i—► [J/!(x*)(/í), ..., dfm(x*)(h)], 94 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí kde df\(x*), ..., dfm(x*) jsou diferenciály souřadnicových funkcí v bodě x*, tj. dfk(x*)(h) = dfk(x*)(hu ...,hn) = f] ^(X*)hi. dxi i=l Matice tohoto lineárního zobrazení (je to matice typu m x n) F'(x*) (7.6) se nazývá Jacobiho matice nebo také derivace zobrazení F a v případě n — m se její determinant nazývájacobián zobrazení F v bodě x *. V některé starší literatuře se j acobián značí D(fl, ■ ■ ■ , fn), , d(fi,...,f„) -(x ) nebo -(x ). D(x\, ..., xn) d(xi,...,xn) Věta 7.3. Nechť zobrazení G : M" —> Mm je diferencovatelné v bodě x* e W1 a zobrazení F : Mm —> Mk je diferencovatelné v bodě y* — G (x*). Pak složené zobrazení H — FoG : M" —> M,k je diferencovatelné v bodě x* a platí H'(x*) = F'(y*)G'(x*) = F/(G(x*))G/(x*). (7.7) Je-li n — m a detG'(x*) ^ 0, existuje okolí bodu x*, v němž je zobrazení G prosté, tj. existuje zde inverzní zobrazení G-1 a pro jeho Jacobiho matici v bodě y* — G (x*) platí (G-1)'(y*) = [ď (x*)]-1. (7.8) Poznámka 7.2. Vzorce (7.7) a (7.8) pro Jacobiho matici složeného zobrazení a Jacobiho matici inverzního zobrazení jsou formálně zcela stejné jako vzorce pro derivaci složené a inverzní funkce jedné proměnné, zde však musíme dávat pozor na pořadí obou činitelů, neboť násobení matic není komutativní operace. Matice F' je typu kxm, G' je typu mxn, násobení těchto matic je tedy možné pouze v pořadí uvedeném v (7.7) (tímto způsobem se také pořadí činitelů nejlépe pamatuje). Příklad 7.4. Vypočtěte Jacobiho matici zobrazení F : M3 —> M?, které bodu [x, y, z] přiřadí jeho sférické souřadnice n f r n> ť ô y Vx + y\ [x, y, z] i—> [Jxz + yz + zz, arctg -, arctg-]. v x z Zobrazení z M.n do 95 Řešení. Podle (7.6) platí {±^X2 + y2+z2 9_Jx2 + y2+z2 9_Jx2+y2+z2 F'(x, y, z) dz arctg - dx b x V 37 -ž- y/x2+y2+z2 y x2+y2 XZ ■g- arcte - dy b x 3 arctg^!±Z 3y & z y/x2+j2+z2 x2+y2 arcte - 3z te x 3 arctg^!±Z 3z & z \ yV+;y2+z; 0 Vi2!? \(x2+j2+z2)v/x2+7 (x2+j2+z2)V^2+j2 (x2+y2+z2)/ ii) Jak jsme již poznamenali v Příkladu 7.2, zobrazení F : C -> C množiny komplexních čísel do sebe můžeme chápat jako zobrazení z M2 do M2, které komplexnímu číslu z — x + iy přiřadí číslo F (z) — f (x, y) + ig(x, y), kde /, g jsou reálné funkce dvou proměnných. Podobně jako v reálném oboru definujeme derivaci komplexní funkce F v čísle zq — xq + iyo vztahem F'(zo) = Hm F (z) - F(zo) z^zo z — zq přičemž limita komplexní funkce v tomto vztahu se chápe zcela analogicky j ako v reálném oboru a znamená, že ke každému e > 0 existuje S > 0 takové, že pro všechna z splňující 0 < \z — zq\ < S platí F (z) - F(zo) z- zq F'(zo) < s. Dokažte toto tvrzení: Nechť funkce /, g jsou diferencovatelné v bodě [xo, yo]. Pak komplexní funkce F má v bodě zq — xq + iyo derivaci, právě když platí tzv. Cauchyovy--Riemannovy1 podmínky df dg df — (xq, yo) = — (xq, yo), —(xq, y0) dx dy dy dx (xq, yo). Augustin Louis Cauchy (1789-1857), francouzský matematik, Bernhard Riemann (1826-1866), německý matematik, oba j sou považováni za spolutvůrce moderní matematiky. 96 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí Řešení. Označme F'(zq) — A + iB. Z diferencovatelnosti funkcí /, g v bodě [xo, jo] plyne n ľ F (z) - F(zo) , 0 = lim--F (zo) = z^zo z — zo r f(x,y) + ig(x,y)-[f(xo,yo) + ig(x0,yo)] — lim--(A + iB) — (x,y)^(x0,y0) (x - xo) + i(y - yo) v f(x,y)-f(xo,yo)-A(x-x0) + B(y-y0) — lim--h (x,y)^(x0,yo) (x - x0) + i(y - yo) j) - g(xo, yo) - B(x - x0) - A(y - y0) +i lim - = (x,y)^(x0,y0) (x - Xo) +i(y ~ Jo) (fx(xo, yo) ~ A)(x - x0) + (fy(xo, yo) + B)(y - yo) = lim - :--h (x,y)->(x0,y0) yf(x- Xq)1 + (j ~ Jo)2 (gx(xo, yo) ~ B)(x - xo) + (gy(x0, yo) - A)(y - yo) +i lim - —-. (x,y)^(x0,yo) v(x - xo)2 + (y - yo)2 Odtud fx(x0, yo) = A = gy(x0, yo), fy(x0, yo) = -B = -^(xq, jo)- 7.3. Diferenciální operátory matematické fyziky V odstavci 4.1 jsme uvedli, že ve fyzikální terminologii a také v některých odvětvích matematiky, např. v numerických metodách, se vektor parciálních derivací /' funkce / nazývá gradient funkce a značí se grád/. Zobrazení F : M? —> M3 se ve fyzikální terminologii nazývá vektorové pole. Lze je chápat jako zobrazení, které bodu o souřadnicích [x, j, z] přiřadí vektor s počátečním bodem v počátku a koncovým bodem F(x, y, z) = [P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)], kde P, Q, R jsou souřadnicové funkce. Důležitými fyzikálními charakteristikami vektorových polí jsou tzv. divergence vektorového pole divF(x, z, y) = Px(x, y, z) + Qy(x, y, z) + Rz(x, y, z) a rotace vektorového pole mtF(x,z,y) = [Ry(x,y,z)- Qz(x,y,z), Pz(x, y, z) - Rx(x, y, z), Qx(x, y, z) - Py(x, y, z)] (tedy divergence je skalární veličina a rotace vektorová veličina). Příklad 7.5. Vypočtěte divergenci a rotaci gravitačního pole vytvořené hmotným bodem o jednotkové hmotnosti umístěným v počátku souřadné soustavy. Diferenciální operátory matematické fyziky 97 Řešení. Z fyziky je známo, že dva hmotné body o hmotnostech m\,m.2 se navzájem přitahují silou, jejíž velikostje |F| = kmj™2; kde k — 6, 67-10-11 Nm2/kg2 je Newtonova gravitační konstanta a J je vzdálenost bodů. Tedy bod [x, y, z] s jednotkovou hmotností bude přitahován do počátku silou, jejíž směr je opačný než směr vektoru s počátkem v [0, 0, 0] a koncem v [x, y, z] a jehož velikost |F| je rovna k(x2 + y2 + z2)-1. Tedy F(x, y, z) — —a[x, y, z] a hodnotu skaláru a určíme z podmínky pro velikost F, tj. ajx2 + y2 +z2 = k(x2 + y2 + z2)"1 a tedy a = k(x2 + y2 + z2)"l Odtud v, z) = V, Z), j, z), y, z)] = k [-^, --|] , kde r = -Jx2 + y2 + z2. Nyní vypočteme všechny parciální derivace funkcí P, Q, R potřebné k určení div F a rot F. ( 1 3x2\ / 1 3j2\ / 1 3z2 odtud snadno ověříme, že pro [x, y, z] ^ [0, 0, 0] je div F — 0. Podobně vypočteme Py = Qx=k^, PZ=Rx=k^, QZ — Ry — K~J~> a tedy i rot F — 0. Manipulace s diferenciálními výrazy obsahující operátory rotace a divergence se podstatně usnadňuje zavedením tzv. Hamiltonova nabla operátoru V.1 Tento symbol je formálně definován jako vektorový operátor předpisem / d d d V :=—, — , — \dx dy dz tj. jako operátor, který funkci / : IR 3 -> M přiřazuje vektorové pole \dx' dy' dz Toto je alternativní označení pro vektorové pole které diferencovatelné funkci / přiřazuje její derivaci. Operátor V lze s výhodou použít i při formalizaci operátorů divergence a rotace. Uvažujme nejprve případ divergenčního operátoru. Formálně můžeme aplikaci operátoru divergence na pole F zapsat takto divF = (r, (p), která definuje funkci F : C -> C předpisem z = ré(p -> R (r, ^e'"*^^. Využitím výsledku Příkladu 7.4 ii) určete nutnou podmínku, aby F měla derivaci. 7.4. Dokažte následují identity (buď přímým derivováním nebo pomocí operátoru V). V těchto identitách / : M3 M a F, G : M3 M3. 1. div(/F) = (F, grad /) + / div F, 2. rot(/F) = / rot F + (grad / F), 3. div(F x G) = (rotA, 5} - (A,rotS), 4. rot(rotF) = grad div F — A F (výraz A F je třeba chápat jako aplikaci operátoru A na každou z komponent vektorového pole F). Důležité je nepřestat se ptát. Zvědavost existuje z dobrého důvodu. Nelze než žasnout, rozvažujeme-li o tajemstvích věčnosti, života a úžasného uspořádání věcí vezdejších. Stačí, když se člověk snaží každý den porozumět alespoň kousku tohoto tajemství. Nikdy neztrácejte zvědavost, tu posvátnou vlastnost. (A. Einstein) Kapitola 8 Funkce zadaná implicitně Uvažujme tento problém: Nechť F je funkce dvou proměnných a označme množinu (křivku) M = {[x,y]e£>(F): F(x,y)=0}. Například pro F (x, y) = x2 + y2 — 1 je křivka M jednotková kružnice se středem v počátku. Zvolme libovolný bod na křivce M. Chceme vyšetřit chování křivky v okolí tohoto bodu, zejména určit rovnici tečny v tomto bodě a rozhodnout, zda křivka v okolí tohoto bodu leží nad nebo pod tečnou. Jestliže křivka M je přímo grafem funkce jedné proměnné y = f (x), tj. F(x, y) = y — f (x) = 0, problém snadno vyřešíme výpočtem derivací Rovněž v jednoduchých případech, jako je rovnice kružnice, lze využít metod diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné, neboť z rovnice kružnice můžeme snadno spočítat y jako funkci proměnné x. Je-li však rovnice křivky komplikovanější, např. x3 + y3 — 2xy = 0 a chceme určit rovnici tečny ke křivce určené touto rovnicí v bodě [xo, yol = [1> 1L předchozí postup selhává, protože z rovnice křivky nelze y rozumně spočítat. V této kapitole ukážeme, jak tuto nesnáz obejít. Budeme se nejprve zabývat problémem, zdaje křivka M v okolí daného bodu totožná s grafem nějaké funkce jedné proměnné, a pokud ano, jak spočítat její derivace. V prvním odstavci je tento problém vyřešen pro funkci jedné proměnné, v druhém pro funkci n proměnných a v třetím odstavci pro zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí. 100 Implicitne zadaná funkce jedné proměnné 101 8.1. Implicitně zadaná funkce jedné proměnné Definice 8.1. Nechť F je funkce dvou proměnných. Označme M = {[x, y] e £>(F) : F (x, y) = 0} a nechť F(xq, yo) = 0. Jestliže existuje okolí V. = {[x, y] e £>(F) : \x — xo\ < 8, \y — yo\ < <*>} bodu [xo, yo] takové, že množina M H tí je totožná s grafem funkce y = f (x), \x — xo\ < 8, řekneme, že funkce / je v okolí bodu [xq, yo] definována implicitně rovnicí F (x, y) =0. Jinými slovy, funkce y = f (x) je v okolí bodu [xo, yo] zadána implicitně rovnicí F (x, y) = 0, jestliže existuje 8 > 0 takové, že F (x, f (x)) = 0 pro x e (xo - 8, xo + 8). V případě rovnice kružnice x2 + y2 — 1 = 0 z obrázku vidíme, že v okolí libovolného bodu Po # [± 1 > 0] této kružnice je rovnicí x2 + y2 — 1 = 0 implicitně zadána funkce y = f (x) = ±Vl — x2 (znaménko + bereme, leží-li bod na horní půlkružnici a znaménko —, je-li na dolní půlkružnici). y obr. 8.1 Doslovný český překlad slova implicitní je nerozvinutý, v něčem obsažený 102 Funkce zadaná implicitně Dále vidíme, že v okolí bodů [±1,0] není rovnicí zadána žádná funkce proměnné x. Jako jiný příklad uvažujme křivky dané rovnicemi Je vidět, že v libovolném okolí počátku není rovnicí F (x, y) = 0 určena implicitně žádná funkce. Naopak, v dostatečně malém okolí každého jiného bodu těchto křivek je rovnicí F(x, y) =0 definována funkce y = fix). N prvním případě to jsou funkce y = *Jx nebo y = —-s/x, podle toho, leží-li bod v horní nebo dolní polorovině určené osou x, ve druhém případě y = x nebo y = —x podle toho, na které z dvojice přímek bod leží. V následující Větě 8.1 je uvedena postačující podmínka pro existenci funkce zadané implicitně v okolí daného bodu křivky a ve Větě 8.2 způsob pro výpočet její derivace. Věta 8.1. Nechťjefunkce F spojitá na čtverci R = {[x, y] e £)(F):\x — xo\ < a, \y—yo\ < a} anecht'F(xo, yo) = 0. Dále předpokládejme, že funkce F máspojitou parciální derivaci j^F(x, y) v bodě [xo, yo] a platí fy (*o> yo) 7^ 0. Pak existuje okolí bodu [xq, yo], v němž je rovností F (x, y) = 0 implicitně definována právě jedna funkce y = f (x), která je spojitá. Důkaz. Existenci implicitně zadané funkce dokážeme pomocí Banachovy věty 0 pevném bodu kontraktivního zobrazení v úplném metrickém prostom, viz [D-D]. Nechť e, 8 > Ojsoureálná čísla, jejichž přesnou hodnotu určíme později aoznačme 1 = [xq — 8, xo + 8]. Uvažujme prostor funkcí P = {g e Cil) : gix0) = yo, \g(x) - y0\ < s pro x e /}. To znamená, že P je prostor spojitých funkcí na I, jejichž grafy procházejí bodem [xo, yo] a leží v 8-s obdélníku kolem bodu [xo, yo]- Na P uvažujme metriku stejnoměrné konvergence p(f, g) = maxxe/ \f(x) — g(x)\. Označme d = Fy(xo, yo) 7^ 0 a definujme na P zobrazení T : P —>• C(I) předpisem Najdeme-li pevný bod f e P zobrazení T, je tento bod hledanou implicitně zadanou funkcí /. Vskutku, je-li fix) = T(f)ix) = fix) — d~xFix, fix)), je d~lFix, fix)) = 0 pro x e I, což podle Definice 8.1. znamená, že funkce / je implicitně zadána rovností Fix, y) =0. Fix, y) := x- y2 =0 Fix, y) := x2 - y2 = 0 (parabola) (dvojice přímek y = ±x) gix) 1—> gix) Fjx,gjx)) d Implicitne zadaná funkce jedné proměnné 103 Určíme nyní konstanty 8 a s tak, aby zobrazení T bylo kontrakcí a zobrazovalo prostor P do sebe (což jsou spolu s úplností prostoru P předpoklady Banachovy věty). Nechť f, g e P. Využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě pro funkci F dostáváme \T(f)(x)-T(g)(x)\ = max \f(x)-d~l F(x, fix)) - g(x) + d~1F(x, g(x))\ = xel lfM , , Fy(x^)(f(x)-g(x))i Fyix^) = l/CO - g CO------1 = \f(x) - g(x)\|1--—-1, d d kde £ = i-(x) leží mezi f(x) a g(x). Protože funkce Fy je spojitá v bodě [xo, yo] a Fy(xo,yo) = d, existují e,8\ > 0 taková, že |1 — d~lFy(x, y)\ < \ pro x e (xo — 8i, xo + 8i), y e (yo — s, yo + s). Je-li 8 < 8\, pro takto zvolená s, 8\ platí p(T(f),T(g)) = max\f(x) - g(x)\\l Fy(X,Š) xel d 1 1 < - max \f(x) - g(x)\ = -p(f g), Z xel Z tj. T je kontrakce s koeficientem kontrakce q = |. Nechť f e P. Pak T(f) je spojitá funkce a T(f)(xo) = f(xo) — d~l F(xo, f (xo)) = yo- Odtud plyne existence 82 > 0 tak, že pro x e (xo — 82, xo + 82) platí \T(f)(x)-y0\ 0 takové, že pro x e (xq — 8, xq + 8) platí F(x, f(x)) = 0. Implicitne zadaná funkce jedné proměnné 105 Důkaz existence derivace implicitně zadané funkce / zde nebudeme provádět (lze jej s podrobnostmi nalézt např. v [N2]), zde se pouze zaměříme na odvození vzorce pro Derivováním rovnosti F(x, f(x)) podle x dostáváme Fx(x, f(x)) + Fy(x, f(x))f\x) = 0, odkud Fx(x,f(x)) f (x) =--• Fy (x, f (x)) Dosadíme-li za x = xq, pak ze skutečnosti, že f(xo) = yo, plyne dokazované tvrzení. □ Příklad 8.1. i) Určete rovnici tečny a normály ke křivce dané rovnicí x3 + y3 — 2xy = 0 v bodě [1, 1] (viz úvodní komentář). Řešení. Označme F(x, y) = x3 + y3 — 2xy. Platí Fy(x, y) = 3y2—2x,Fy(l, 1) = 1 ^éO, jsou tedy splněny všechny předpoklady věty, tj. rovností x3 + y3 — 2xy = 0 je v jistém okolí bodu [1, 1] určena implicitně funkce jedné proměnné y = f (x), pro jejíž derivaci v bodě x = 1 dostáváme fm FÁh l) 3x2 ~2y 1 1 f (1) - "i^ČTl) " ~3?^I[^]=[U] " ~L Rovnice tečny t je y — 1 = — (x — 1) x + y — 2 = 0. Normála je přímka kolmá k tečně a vzhledem k tomu, že pro směrnice k\, k2 dvou navzájem kolmých přímek platí k\k2 = — 1, rovnice normály n je y — l = x — 1 y = x. ii) Určete, ve kterých bodech křivky x2 + y2 — xy — 1 = 0 je tečna rovnoběžná s osou x, resp. y. Řešení. Stejně jako v předchozím příkladu zjistíme, že ve všech bodech, kde ■^[x2 + y2 — xy — 1] = 2y — x 7^ 0, je rovnicí x2 + y2 — xy — 1 = 0 implicitně určena jistá funkce proměnné x. Pro její derivaci platí / 2x - y y = -~-• 2y - x Tečna je rovnoběžná s osou x v bodech, kde y' = 0, musí proto platit 2x — y = 0. Protože hledaný bod leží na křivce x2 + y2 — xy — 1 = 0, dostáváme systém rovnic y = 2x, x + y — xy — 1=0. 106 Funkce zadaná implicitně Dosazením z první rovnice do druhé snadno najdeme řešení x = ±-p, y = ± ^p, tedy tečna ke křivce je vodorovná v bodech [±^, ±^p]. Při určení bodů, kde je tečna rovnoběžná s osou y postupujeme podobně. Tečna může být svislá pouze v bodech, kde je jmenovatel zlomku vyjadřující y' nulový. (Ke stejnému výsledku dojdeme, jestliže se na rovnici x2 + y2 — xy — 1 = 0 díváme jako na rovnici určující implicitně x jako funkci proměnné y.) Obdržíme systém rovnic 2y - x = 0, x2 + y2 - xy - 1 = 0, jehož řešením je dvojice bodů [±^p, ±-^L v nichž je tečna ke křivce svislá. Poznámka 8.2. i) Při výpočtu derivace funkce zadané rovnicí F (x, y) = 0 využíváme často místo vzorce (8.1) postupu uvedeného při jeho odvození. Rovnici F(x,y) = 0 derivujeme podle x a na y se díváme jako na funkci proměnné x. Pak dostáváme Fx(x,y) + y'Fy(x,y)=0 (8.2) a z této rovnice vypočteme y'. ii) Postup z předchozí poznámky je vhodný i při výpočtu vyšších derivací funkce implicitně zadané rovnicí F(x, y) = 0. Derivujeme-li rovnici (8.2) ještě jednou podle x, dostáváme Fxxix, y) + (Fxy(x, y) + Fyx{x, y)) + Fyy(x, y)y') + Fy(x, y)y" = 0 a z této rovnice vypočteme y". Dalším derivováním poslední rovnice odvodíme vztah pro y'" atd. iii) Je-li c reálná konstanta, je rovnicí F(x, y) — c = 0 určena vrstevnice funkce F na úrovni c - viz Definice 1.3. Směrnice tečny k vrstevnici v bodě [xo, yo] (pokud je funkce F diferencovatelná a tečna existuje) má rovnici Fx(x0, yo) , . t: y-yo = ~—--(x-x0) Fy(x0, y o) a odtud Fx(xo, yo)(x — xo) + Fy(xo, yo)(y — yo) = 0- To znamená, že vektor u = (Fx(xq, yo), Fy(xo, yq)) je normálový vektor ke křivce F(x, y) — c = 0 v bodě [x0, y0]- Implicitne zadaná funkce jedné proměnné 107 Příklad 8.2. i) Rozhodněte, zda křivka x3 + y3 — 2xy = 0 leží v okolí bodu [1,1] pod tečnou nebo nad tečnou. Řešení. Rovnici tečny jsme vypočítali v Příkladu 8.1 i) podle vzorce o derivaci funkce dané implicitně. Nyní postupujme jako při odvození tohoto vzorce. Derivujeme-li rovnici x3 + y3 — 2xy = 0 podle x a uvážíme-li, že y je funkce proměnné x, dostáváme 3x2 + 3y2y' — 2y — 2xy' = 0. Dalším derivováním podle x obdržíme 6x + 6y(y')2 + 3y2y" - 2y' - 2y' - 2xy" = 0 a odtud //_4y/-6x-6y(y/)2 y 3y2 - 2x Dosadíme-li do tohoto vztahu za x, y a. y' (tato hodnota je vypočítána při výpočtu tečny), dostaneme y"(l) = —16, což znamená, že křivka leží v okolí bodu [1,1] pod tečnou (neboť implicitně určená funkce je v bodě x = 1 konkávni). ii) Najděte lokální extrémy funkce zadané implicitně rovností i- y ln yx2 + y2 = arctg —. (8.3) x Řešení. Derivováním rovnosti implicitně zadávající y jako funkci proměnné x dostáváme x + yy' 1 y'x - y xz + yz i _|_ ň x2 Odtud . / / _, / x + y x + yy = yx-y =>• y =-. x-y Z podmínky y' = 0 máme x = — y a dosazením do (8.3) dostáváme ln \Í2x2 = arctg(—1) a odtud x = +-^~^, y = "F^/J"- Nyní vypočteme y" v nalezených stacionárních bodech. Derivujeme-li rovnici x + yy' = y'x — y „implicitně" podle x (jiná možnost, vedoucí samozřejmě ke stejnému výsledku, je derivovat podle x zlomek ^-), dostáváme 1 + ij')2 + yy" = y"x + y' — y'. Odtud y = „ i + (y'Y x-y Dosadíme-li do této rovnosti, vidíme, že y"(~~^) < 0, y" (~^) > 0> tedy _ 21 v bodě x = — má implicitně zadaná funkce lokální maximum a v bodě 108 Funkce zadaná implicitně x = ^-j=- lokální minimum. (Geometricky se o správnosti výpočtu můžeme přesvědčit náčrtkem křivky, přejdeme-li v (8.3) k polárním souřadnicím x = r cos cp, y = r sin (p, pak pro cp e (—-|, -|) dostáváme část logaritmické spirály r = e2(p a pro cp e (-|, ^) křivku, která je středově symetrická podle počátku s touto spirálou. 8.2. Implicitně zadaná funkce více proměnných V úvahách prováděných na začátku předchozího odstavce se můžeme snadno „posunout" o dimenzi výše. Uvažujme v M3 množinu M = {[x, y, z] e M3 : F(x, y, z) = 0}, kde F je nějaká funkce tří proměnných. Za celkem přirozených předpokladů na funkci F (např. diferencovatelnost) je M nějaká plocha v IR3 a můžeme si klást otázku, jaká je rovnice tečné roviny k ploše M v bodě [xo, yo, zo] e M, popř. zda v okolí tohoto bodu je plocha pod nebo nad tečnou rovinou. Lze-li z rovnice F(x,y, z) = 0 vypočítat proměnnou z, můžeme použít postup ze čtvrté kapitoly. Pokud toto není možné, zcela analogicky jako pro funkci dvou proměnných můžeme odvodit podmínku, kdy je množina M v okolí bodu [xo, yo, yo] totožná s grafem nějaké funkce dvou proměnných z = f(x,y), tj. v okolí bodu [xo, yo, zo] platí F(x, y, f(x, y)) = 0 a f(xo, yo) = zo- Pokud taková funkce existuje, řekneme, že je v okolí bodu [xq, yo, zo] implicitně zadána rovnicí F(x,y, z) =0. Zcela analogická je situace, kdy je rovnicí F(x\,..., xn, y) = 0 v okolí bodu [x*, y] = [x\,... ,x*,y] implicitně určena funkce n proměnných y = f(x\,...,xn). Přistoupíme proto k formulaci existenčního tvrzení přímo pro tento obecný případ. Důkaz tvrzení neuvádíme, protože je v podstatě totožný s případem, kdy je x skalární proměnná. Věta 8.3. Nechťfunkce F : Rn+1 R, M = {[x, y] = [xU---, x„, y] e Rn+1, F(x,y) = 0}, [x*, y*] e M a F je spojitá na množině R = {[x, y] = [xi,..., xn, y] : \xí — x*\ < a, i = 1,..., n, \y — y*| < a}. Dále předpokládejme, že F má spojitou parciální derivaci Fy v bodě [x*, y*] a fyQe*, y*) ^ 0. Pak existuje okolí bodu [x*, y*] v němž je rovnicí F(x, y) = F(x\..., xn, y) = 0 implicitně určena právě jedna spojitá funkce y = f (x) = f(x\,..., xn). Má-li navíc funkce F v bodě [x*, y*] spojitě parciální derivace j^-.F, má implicitně určená funkce f v bodě x* = [x* ..., x*] parciální derivace a platí -(x ) = — - 3** fř(**> y*) Implicitne zadaná funkce více proměnných 109 Příklad 8.3. i) Určete rovnici tečné roviny v bodě [1,0, 1] k ploše určené rovnicí x3 + y3 + z3 — 3xyz — x — y — z = 0. Řešení. Určíme parciální derivace implicitně zadané funkce z = z(x, y). Derivováním zadávající rovnice podle x a podle y (uvážíme při tom, že z je funkcí proměnných x a y) dostáváme 3x2 + 3z2zx - 3yz - 3xyzx - 1 - zx = 0, 3y2 + 3z2zy - 3xz - 3xyzy — 1 — zy =0. Odtud 3x2 — 3yz — 1 3y2 — 3xz — 1 Zx = 3xy + l-3z2' Zy = 3xy + l-3z2' Dosazením x = 1, y = 0, z = 1 dostáváme zx(l,0) = —1, zy(l,0) = 2 a tedy tečná rovina k dané ploše v bodě [1, 0, 1] má podle (4.6) rovnici z — 1 = — (x — 1) + 2y, po úpravě x — 2y + z — 2 = 0. ii) Rozhodněte, zda plocha v E3 daná rovnicí x + y2 + z3 + z — 4 = 0 leží v okolí bodu [1, 1, 1] pod tečnou rovinou nebo nad tečnou rovinou sestrojenou v tomto bodě. Řešení. Postupem popsaným ve Větě 8.3 určíme parciální derivace v bodě [1,1] funkce z = z(x, y). Dostáváme 1 2y zx = l + 3z2' y l+3z2' _ 6z2xz _ 2 + 6zyz _ 6zxzyz Zxx_"T+3?' Zyy~~ í + 3z2 ' Zxj_"T+3?' tedy v bodě [1, 1, 1] platí zx = -\, zy = -\, zxx = zxy = zyy = -\. Tečná rovina v bodě [1, 1, 1] má rovnici z — 1 = — \(x — 1) — |(y — 1). Nyní použijeme tvrzení uvedeného v Poznámce 6.3. Platí D(i, d = Zxx(í, i)zyy(u d - 4,(1, d = (-i) (-D - (±ý = # > o az„(l, 1) = — Jj. Proto plocha určená rovnicí x + y2 + z3 + z — 4 = 0 leží v okolí bodu [1, 1, 1] pod tečnou rovinou v tomto bodě. iii) Určete lokální extrémy funkce z = f(x,y) určené implicitně rovnicí F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - xz - \p2~yz = 1. 110 Funkce zadaná implicitně Řešení. Derivováním zadávající rovnosti podle x a y dostáváme 2x + 2zzx - z- xzx — ^2yzx = 0, (8.4) 2y + 2zzy - xzy - V2z - V2yzy = 0 odtud _ z — 2x _ 42z — 2y Zx — ~ ~ 5 Zy — 2z — x — ■síly 2z — x — 42y Stacionární body určíme z podmínky zx = 0 = zy, tj. z = 2x = \píy, tedy y = *j2x. Dosazením do zadávající rovnice obdržíme dvojici stacionárních bodů P\ = [1, \Í2, 2], P2 = [-1, -V2, —2]. V těchto bodech je Fz ^ 0, tedy v jejich okolí je implicitně určena jistá funkce z = f(x, y). Derivováním (8.4) vypočteme parciální derivace 2. řádu ve stacionárních bodech 2 9 Zxx — "F1 5 Zxy — 0 , ±,xy — <.yy — r- ■ 2z — x — V2y 2z — x — ■s/2y V obou bodech Pí2 je D = zXxZyy — z\y = 1 > 0, tj. v těchto bodech nastávají lokální extrémy, a to maximum v bodě P\ (neboť zxx = — 2) a minimum v bodě Pl (Zxx = 2). Podobným způsobem jako v Poznámce 8.2 iii) lze dokázat následující tvrzení. Věta 8.4. Předpokládejme, že funkce F : W1 —> M má spojité parciální derivace v bodě x* — [x*, ..., x*] € M" a alespoň jedna z těchto parciálních derivací je nenulová. Pak lze k {n — X)-rozměrnéploše určené rovnicí F'(x) — F(x\, ..., xn) — 0 v boděx* sestrojit tečnou nadrovinu a tato nadrovina má rovnici (**)(*/-*?) = 0. (8.5) *=i dXi Ve vektorovém zápisu je uvedený vztah (F'(x*),x - x*) =0, ((., .} značí skalární součin v R"), tedy vektor F'(x*) = (f^(**), • • •, J£(**)) Je normálovým vektorem v bodě x* k ploše F(x) —0. Příklad 8.4. Určete rovnici tečné ňadro viny v bodě [l,l,...,l]k(« — 1)- rozměrné ploše dané rovnicí x\ + x| + • • • + x™ — n — 0 Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí 111 Řešení. Platí g|j (z~2k=l xk) ~ ^xk 1 • Odtud dosazením do (8.5) dostáváme rovnici tečné nadroviny En n(n + 1) k(xk - 1) = 0, tj. x\ + 2x2 H----+ nxn —---. k=\ 2 Poznámka 8.3. Derivace vyšších řádů funkce y — f(x\, ..., xn) zadané implicitně rovnicí F(x\, ..., xn, y) — 0 vypočteme úplně stejně jako pro dvě proměnné. Například parciální derivaci 3°.x. f(x) vypočteme tak, že rovnici F{x\,..., xn, y) = 0 derivujeme nejprve podle x; a pak podle x j (přitom vždy bereme v úvahu, že y je funkcí vektorové proměnné x — [x\, ..., xn]). 8.3. Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí V tomto odstavci se zabýváme nejobecnějším případem. Nechť je dáno m funkcí F{, n + m proměnných x = [x\,..., xn], y — [y\, ..., ym], i — 1, ..., m, a uvažujme systém rovnic F\(x\, ..., xn, y\, ..., ym) =0 : (8.6) Fm(x\, ..., xn, vi, ..., ym) =0. Na m-tici funkcí F\,..., Fm se můžeme dívat jako na zobrazení z Ríl+m —> ]Rm, které označíme 3r. Pak F\, ..., Fm jsou složky tohoto zobrazení, tj. F — [F\,..., Fm). Podobně j ako v předchozích dvou odstavcích označme M = {[x, y] e Rn+m : ^{x, y) — 0} a nechť [x*, y*] e M. Jestliže existuje okolí bodu [x*, y*] e M"+m O ([x*, y*]) = O (x*) x O (y*) a zobrazení % : Mm M" takové, že pro každé [x, y] e O ([x*, y*]) je množina bodů [x, y] e M totožná s množinou bodů [x, $(x)], x e 0(x*), řekneme, že zobrazení %, je v okolí bodu [x*, y*] implicitně určeno rovnicí !F(x, y) = 0. Hledáme podmínky pro existenci implicitně zadaného zobrazení. Jinými slovy, chceme v okolí bodu [x*, y*] ze systému rovnic (8.6) jednoznačně určit proměnné y\, ..., ym v závislosti na x\, ..., xn, neboli hledáme podmínky, za kterých systém rovnic (8.6) určuje v okolí bodu [x*, y*] e M nějaké spojité zobrazení % : Rm —> M". Současně odvodíme vzorec pro Jacobiho matici tohoto implicitně určeného zobrazení. Čtenáři doporučujeme při čtení výsledků tohoto odstavce dosadit m — n — 1 (tj. všechny matice a vektory se redukují na skalární hodnoty) a porovnat je s tvrzeními z odstavce 8.1. Takto zjistíme, že když „zapomeneme", že x, y jsou vektorové proměnné, je tvrzení Věty 8.5 stejné jako ve Větách 8.1, 8.2. 112 Funkce zadaná implicitně Věta 8.5. Nechť !F — {F\, ..., Fm] je spojité zobrazení na množině R — {[x, y] e Rn+m . [X; y] e 0fl(x*) x 0fl(y*)}, nechťmatice ($;Fi(x,y) ... ^-Fl(xty)\ 3=-y(x,y) 3yn \^Fm(x,y) dy, ■Fm(x, y)j je regulární v bodě [x*, y*] a její prvky jsou spojité v tomto bodě. Pak existuje okolí 0([x*, y*]) = O (x*) x O (y*) bodu [x*, y*] takové, že rovnici T (x, y) = Q je v tomto okolíbodu[x*, y*] určeno jediné spojité zobrazení fy : O (x*) -> O (y*), tj.prox e O (x*) jeF(x,g,(x)) = 0. Jsou-li navíc v bodě [x*, y*] spojité prvky matice 3=-x(x,y) \£Fn(x,y) pak jsou prvky Jacobiho matice implicitně určeného zobrazení $ spojité v x* a platí g>/(x*) = [^(x*,j*)]-1^(x*,j*). Důkaz. Označíme-li d — det !Fy(x*, y*) a budeme-li s maticemi Fy,^ manipulovat v podstatě stejně jako v důkazu Vět 8.1, 8.2, zjistíme, že důkaz těchto vět „projde" i v maticovém případě. Se všemi technickými podrobnostmi je tato myšlenka realizována ve skriptu [N2]. □ Nyní se budeme zabývat definicí tečného a normálového prostoru k podmnožinám v M" definovaných jako množina řešení jistého systému rovnic. Podrobně, nechť F : M" -> Rm, m < n, :Rn -> M, i — 1, ..., m, jsou složky tohoto zobrazení a označme M — 3r~1(0) — {x — [xi, ..., xn] e M" : ^(x) = 0}, tj. M je množina řešení systému rovnic /l(xi, . . . , Xn) = 0, fm(x\, . . . , Xn) = 0. Jako model uvažujme dvojici rovnic x2 + y1 + z1 — 1 = 0, x + y + z — 0. Z geometrického významu je zřejmé, že množinou M v M? určenou touto dvojicí rovnic je kružnice, která je průsečíkem sféry x2 + y1 + z1 — 1 s rovinou x + y + z — 0. Je-li [x*,j*,z*] e M, pak je přirozené směrový vektor tečny ke kružnici v bodě [x*, y*, z*] nazvat tečným prostorem k M v bodě [x*, y*, z*] a ortogonální doplněk k tomuto jednorozměrnému podprostoru normálovým prostorem. Je zřejmé, že normálový prostor k M v [x*, y*, z*] je lineární podprostor v M3 který je generován normálovými vektory ke kulové ploše a k rovině. Z tohoto pohledu je přirozená následující definice. Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí 113 Definice 8.2. Nechť F = [fu ..., fm} : R" -> Rm, m < n, M c R" jsou stejné jako výše a x* — [x*,..., x*] e M. Dále předpokládejme, že funkce fi,i — 1,..., m, mají na M spojité parciální derivace a Jacobiho matice ^'(x*) zobrazení F vboděx* máhod-nostm.Prostor JfM(x*) = Lin{//(x*), ..., f'(x*)}, f!(x*) = (|£(x*), ..., |£ (**)), nazýváme normálový prostor k M v bodě x* a jeho ortogonální doplněk 3m(x*) = [^(x*)]-1 se nazývá tečný prostor k M v bodě x*. Poznámka 8.4. i) V literatuře věnované diferenciální geometrii a globální analýze (viz např. [S]) bývá tečný prostor k podmnožinám v M" definován poněkud odlišně, pro množiny zadané systémem rovnic při splnění předpokladů z předchozí definice je však tento objekt totožný s námi definovaným tečným prostorem. Podrobněji o této problematice pojednává skriptum [N2] a monografie [S]. ii) Předpoklad na hodnost matice ^'(x*) v Definici 8.2 nelze vypustit. Uvažujme v M2 množinu M — {[x, y] : f (x, y) — x2 — y2 — 0, y > 0}. Pak evidentně M je tvořena dvojicí polopřímek y ± x = 0 a v počátku (kde fx(0, 0) = 0 = fy(0, 0)) tečnu nelze sestrojit, neboť křivka zde má „hrot". Příklad 8.5. i) Určete parametrickou rovnici tečny v bodě [xo, yo, zo], zo > 0, k prostorové křivce, která je průsečíkem kulové plochy x2 + y2 + z2 — 4 s válcovou plochou x2 + y2 — 2x = 0 (tzv. Vivianiho křivka1). Řešení. Normálové vektory k jednotlivým plochám v bodě [xo, yo, zo] jsou pro kouli n\ — (2xo, 2jo> 2zo) a «2 = (2xo — 2, 2yo, 0) pro válec. Normálový prostor ke křivce je generován těmito dvěma vektory (všimněte si, že v bodě [4,0,0] jsou lineárně závislé, zde má křivka hrot - načrtnete si obrázek). Jejich vektorový součin u — (—yozo, zoixo — 1), jo) je směrovým vektorem tečny, která má tedy rovnici ř : [x, y, z] — [xo, yo, zo] + a(-J0Z0, Z0(*0 - 1), JO), a € M. ii) Určete Jacobiho matici zobrazení F : M2 —> M2: u — u(x, y), v — v(x, y), které je v okolí bodu [x*, y*, u*, v*] — [1,0, 1,0] určeno implicitně dvojicí rovnic x2 + j2 + u2 + v2 -2 = 0, xu - yv + euv -2 = 0 { ' Řešení. Označme M množinu bodů v M4, které vyhovují zadávající dvojici rovnic. Přímým dosazením snadno ověříme, že vskutku [x*, y*, u*, v*] G M a derivováním systému rovnic podle x (s tím, že u, v jsou funkce proměnných x, j) dostáváme (po jednoduché úpravě) x + uux + vvx — 0, (x + veuv)ux + (-j + ueuv)vx = -u, 1 Vincenzo Viviani (1622-1703), italský matematik, žák G. Galileiho 114 Funkce zadaná implicitně odtud pomocí Cramerova pravidla (toto je pro lineární 2x2 systémy většinou nejrychlej ší metoda řešení) —x v —u - y + ueuv u v x + veuv -y + ueuv u —xv x + veuv —u u v x + veuv - y + ueuv Analogicky parciálním derivováním systému (8.7) podle y obdržíme systém dvou lineárních rovnic pro neznáme uy, vy, jehož řešením je (opět podle Cramerova pravidla) -y v v - y + ueuv u v x + veuv -y + ueuv u —x + veuvv v u v x + veuv -y+ueuv Dosazením bodu [x*, y*, u*, v*] do těchto vyjádřením vidíme, že systém (8.7) definuje implicitně v okolí bodu [x*, y*, u*, v*] opravdu zobrazení % : [x, y] i—> [u, v] (neboť jmenovatel všech zlomků je nenulový) a platí ux — — 1, vx — 0, uy — 0, vy — 0, tedydet^(x*, y*) = 0. Cvičení. 8.1. a) Najděte body křivky x2+2xy—y2—8 = 0, v nichž nej sou splněny předpoklady Věty 8.1 o existenci implicitní funkce y = f (x). b) Najděte body parabolické válcové plochy z2 — 2px = 0, kde p > 0, v nichž nejsou splněny předpoklady Věty 8.3 o existenci implicitní funkce z = fix, y). 2 2 2 c) Ve kterých bodech jednodílného hyperboloidu ^ + — = 1 nejsou splněny předpoklady předpoklady Věty 8.3 o existenci implicitní funkce z = fix, y)? 8.2. Vypočtěte y' funkce y = f (x) zadanou implicitně rovnicí: a) x — y2 = ln y b) xy = yx, kde x > 0, y > 0. 8.3. Určete rovnici tečny ke kuželosečce: a) 3x2 + Ixy + 5y2 + 4x + 5y + 1 = 0 procházející počátkem; Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí 115 b) lx2 — 2y2 = 14 kolmou k přímce p : 2x + 4y — 3 = 0. 8.4. Na elipse o rovnici x2 + 3y2 — 2x + 6y — 8 = 0 najděte body, v nichž je normála rovnoběžná s osou y. 8.5. Vypočtěte y" funkce y = f (x) zadanou implicitně rovnicí y — c sin y = x, c e (0, 1). 8.6. a) Určete rovnici tečné roviny a normály k ploše y — 3y + 2z2 = 0 v bodě r = [2,1,-1]. b) K elipsoidu x2 + 2y2 + 3z2 = 21 veďte tečné roviny rovnoběžné s rovinou a : x + 4y + 6z = 0. c) K elipsoidu o rovnici x2 + 2y2 + z2 = 1 veďte tečné roviny rovnoběžné s rovinou : x — y + 2z = 0. 8.7. Určete parciální derivace 1. a 2. řádu funkce z = z (x, y) dané implicitně rovnicí: a) x + y + z = e-^+y+z) b) z = y/x2-y2tg -yá= V1 r 8.8. Najděte stacionární body funkce y = y (x) dané implicitně rovnicí 3x2 + 2xy - y2 - 3y + x - ^ = 0 a zjistěte, zda jsou v těchto bodech lokální extrémy. 8.9. Najděte stacionární body funkce z = f(x,y) a zjistěte, zda jsou v těchto bodech lokální extrémy: a) x2 + y2 + z2 - 2x + 2y - 4z - 10 = 0 b) 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz - z + 8 = 0. * Nic na světě nemůže nahradit vytrvalost. Nenahradí ji ani talent; nic není běžnější než neúspěšný člověk s talentem. Ani genialita; nedoceněný génius je téměř příslovečný. Pouze vytrvalost a odhodlání jsou všemocné. (C. Coolidge) * Kapitola 9 Vázané extrémy V úvodu Kapitoly 6 jsme zdůraznili, že vyšetřování extrémů funkcí je jednou z nejdůleži-tějších částí diferenciálního počtu. V předchozích dvou kapitolách jsme si připravili aparát k tomu, abychom mohli vyšetřovat tzv. vázané extrémy. Je to vlastně v jistém smyslu speciální případ lokálních extrémů, avšak metody uvedené v Kapitole 6 zde nejsou vhodné. V prvním odstavci vysvětlíme tzv. metodu Lagrangeových multiplikátorů, kde extrémy původní funkce vyšetřujeme pomocí přiřazené, tzv. Lagrangeovy funkce. Ve druhém odstavci studujeme vázané extrémy pomocí nerovností mezi průměry čísel. 9.1. Metoda Lagrangeových multiplikátorů Začněme následující úlohou. Určete absolutní minimum a maximum funkce u — f (x, y, z) na množině M : x2 + y2 + z2 < 1, x, y, z > 0 (konkrétní tvar funkce / není v tuto chvíli podstatný). Vyšetřujeme-li při řešení úlohy funkci / na části hranice tvořené kulovou plochou, vyjádříme z — y/l — x2 — y2 a funkci f (x, y, y/l — x2 — y2) vyšetřujeme na množině M : x2 + y2 < 1, x, y > 0, tj. najdeme stacionární body uvnitř M a vyšetříme funkci na hranici množiny M. Provést toto na části hranice tvořené čtvrtkružnicí znamená vyjádřit y — \Jl — x2 a dosadit do /, tj. vyšetřovat funkci f (x, Vi — x2, 0) pro x e [0, 1]. Tímto postupem převedeme původní problém vyšetření funkce na hranici na studium extrémů funkce jedné proměnné. Je zřejmé, že tato metoda je nepraktická zejména při větším počtu proměnných. V tomto odstavci si popíšeme tzv. metodu Lagrangeových multiplikátorů, která řešení úlohy podstatně usnadní. Definice 9.1. Nechť / je funkce n proměnných, M c <£)(/), x* — [x*,..., x*] e M. Existuje-li okolí O (x*) bodu x* takové, že pro všechna x G M D O (x*) platí f (x) > f (x*), (f (x) < f (x*)) říkáme, že funkce / má v bodě A lokálni minimum {maximum) vzhledem k množině M. Jsou-li nerovnosti pro x ^ x* ostré, mluvíme o ostrých lokálních extrémech vzhledem k M. 116 Metoda Lagrangeových multiplikátorů 117 V této kapitole se zabýváme případem, kdy množina M je zadána systémem rovností ...,*„) = 0 g2(*i, ...,*„) = 0 i (9.1) gm(xu ...,*„) = 0, kde 1 < m < «. V tomto případě se často místo termínu lokální extrém vzhledem k M používá termínu lokální extrém vázaný podmínkami (9.1) nebo prostě vázaný lokální extrém. Nejprve zformulujme nutnou podmínku pro existenci vázaného extrému. Věta 9.1. Nechť funkce n proměnných f,g\,...,gm, 1 < m < n, mají spojité parciální derivace 1. řádu v otevřené množině U dW1 a nechť v každém bodě množiny U má matice 3gj_\ dx\ dxn dgm V 3*1 dgm dx„ / (9.2) hodnost m. BuďM množina všech bodů [x\, ..., xn], které vyhovují rovnicím (9.1). Má-li funkce f v bodě a — [a\, ..., an] € M lokální extrém vzhledem k M, existují reálná čísla A \, ..., tak Že jsou splněny rovnosti (9.3) Poznámka 9.1. i) Dříve než přistoupíme k důkazu tvrzení, objasněme si význam rovnosti (9.3). Zprvu uvažujme nejjednodušší případ n — 2, m — 1. Pak M je křivka v M2 zadaná rovnicí g(x, y) — 0 (píšeme x, y, [x*, y*] a g místo x\, X2, a a g\). Rovnost (9.3) můžeme psát ve tvaru rovnosti dvou dvourozměrných vektorů (/*(**, y*), fy(x\ y*)) = Hgx(x*, y*), gy(x\ /)). Když si uvědomíme, že vektor (gx(x*, y*), gy(x*, y*)) je normálovým vektorem ke křivce g(x, y) — 0 v bodě [x*, y*] a vektor (fx(x*, y*), fy(x*, y*)) je normálovým vektorem k vrstevnici funkce / na úrovni c — f (x*, y*), vztah (9.3) říká, že vektory (fx(x*, y*), fy(x*, y*)) a (gx(x*, y*), gy(x*, y*)) jsou lineárně závislé. Jinými slovy, křivky g(x, y) = 0 a f(x, y) = f(x*, y*) mají společnou tečnu v bodě [x*, y*]. Tato skutečnost je v plném souladu s úvahami, které jsme použili při řešení Příkladů 6.6. ii) V obecném případě nechť/', g'k jsou vektory parciálních derivací funkcí/, gk, k — 1,... , m, a nechť M je množina určená systémem (9.1). Pak v souladu s terminologií 118 Vázané extrémy z kapitoly o implicitních funkcích vztah (9.3) říká, že f {a) e J/m (a), kde Jím (a) je normálový prostor k M v bodě a. iii) Funkce m L(x, k) = L(xi, ...,xn,k\,...,,km) = f(x\, ...,xn)- ^A/tg/tCxi ...,xn) k=l se nazývá Lagrangeova funkce a konstanty Á£ Lagrangeovy multiplikátory. Princip metody Lagrangeových multiplikátorů spočívá v tom, že do Lagrangeovy funkce jsou „zabudovány" vazebné podmínky a místo vyšetřováni funkce f na M vyšetřujeme Lagrangeovu funkci L bez omezujících podmínek. Metodu multiplikátorů lze použít i v případě, kdy množina M je zadána nikoliv jen systémem rovností, ale i systémem nerovností. Důkaz Vety 9.1. Předpokládejme nejprve, že funkce g k jsou afinní, tj. gk(x) = (uk,x) + fa, kde Uk e M", fa eK,^ = 1, ..., m. Předpokládejme, že neexistuje m-tice multiplikátorů, pro něž platí (9.3), pak f {a) <£ Lin{^j(a), ..., g'm{a)}. To znamená, že existuje h e W1, h e Lin{^j(a), ..., g^ia)}1- i1- značí ortogonální doplněk) takové, že (/'(a), h) ^ 0. Položme y — a + ah. Vzhledem k tomu, že funkce g k jsou afinní a h G Lin{^j(a), ..., g^ia)}1- — Lin{wi, ..., Um}1, je gk(y) = (uk, a + ah) + fa = gk(a) + a(ut, h) = 0, tedy y e M.Z diferencovatelnosti funkce / dostáváme r(ah) f(y) = f (a) + a(f'(a), h) + x{ah) = f (a) + a (f'(a),h) + a kde linwo1^- Odtud f(y) - f (a) w. . r(ah) -= (f (a), h) h--. a a Je-li nyní např. (f'(a),h) > 0, limitním přechodem pro a -> 0 vidíme, že pro |a| dostatečně malá je f(y) > f (a) pro a > 0 a /(y) < /(a) pro a < 0. To je ve sporu s tím, že / má v bodě a lokální extrém vzhledem k M. Nyní vyšetřeme obecný případ, kdy funkce g k nejsou afinní. Pak bod y sestrojený v předchozí části důkazu již nemusí být prvkem množiny M, proto místo tohoto bodu musíme uvažovat jiný bod. Geometricky je jeho nalezení naznačeno na obrázku 9.1. Označme v\,..., vn-m bázi prostoru Lin{gj (a), ..., g^ia)}1- a uvažujme systém rovnic gúa + ah + r) — 0, k — l, .... m, (vk, r) — 0, k — 1, — m, Metoda Lagrangeových multiplikátorů 119 g'(ä) obr. 9.1 kde r e M". Pak jsou vzhledem k nezávislosti vektorů g'k{a) a výběru vektorů Vk splněny předpokladyVěty8.3asystémrovnic(9.4)určujeimplicitněvokolíbodu[o!, r] = [0, 0] e M x M" funkci r = r (a) : M -> M". Podle Věty 8.3 pro její derivaci podle a dostáváme r'(a)\a=o — 0, což podle 1'Hospitalova pravidla znamená, že r(a) lim — = 0. Nyní položme y — a + ah + r(a). Podobně jako v první části důkazu platí f(y) = f(a) + (f'(a), ah + r(a)} + r(a/i) = = f(a) + a (9.5) , , r(a) r(ah) (f'(a),h) + (f'(a),—) + a a a stejnou úvahou jako výše v libovolném okolí bodu a najdeme y, y e M taková, že f(y) < f(a) i f(y) > f(a) -spor. □ Definice 9.2. Nechť množina M c K" je dána systémem rovnic (9.1). Řekneme, že bod a € Mje stacionární bod funkce f na M, jestliže existují Lagrangeovy multiplikátory ..., Xm takové, že platí (9.3). Věta 9.1 říká, že v případě diferencovatelných funkcí / a gt, lokální extrém vzhledem k množině M může nastat pouze ve stacionárním bodě. O tom, zda ve stacionárním bodě nastává nebo nenastává lokální extrém rozhodneme pomocí vlastností matice druhých derivací Lagrangeovy funkce L"(x,k). Věta 9.2. Nechť funkce f a gk, k — 1, ..., m, mají spojité parciální derivace druhého řádu v bodě a, který je stacionárním bodem f na M a X\, ..., Xm jsou příslušné Lagrangeovy multiplikátory, tj. Ľ (a, X) — 0. Dále nechť matice (9.2) má pro x — a hodnost m. Jestliže pro každé 0^/i G LinM (a),..., g'm (a)}1- platí {L"(a)h,h) > 0(< 0), (9.6) 120 Vázané extrémy má funkce f v bodě a ostré lokální minimum (maximum) vzhledem k M. Jestliže existují h, h e Líníma), ..., g^ia)}1- taková, že (L"(a)h, h) > 0, (L"(a)h, h) < 0, (9.7) v bodě a lokální extrém vzhledem k M nenastává. Důkaz. Především si všimněme, že pro x e M je f (x) — L (x), tj. x* e M je lokálním extrémem / vzhledem k M, právě když je lokálním extrémem Lagrangeovy funkce L. Podobnějako v důkazu Věty 9.1 můžeme body y e M vyjádřit ve tvaruj — a+ah+r(a), kde h e L,ia{g[(a), ..., g'^a)}1- a r : M -> M" splňuje (9.5). Pomocí Taylorova vzorce dostáváme f (y) =L(y) = L(a) + (Z/(a), a A + r (a)} + - (Ľ'(ä)(ah + r(a), a2 I í r(a)\ r(a}\ (ah + r (a)) = /(a) + — U" (ä) (h + — ),h + —), (9.8) 2 \ \ a J aj kde ä leží na úsečce spojující aay, (využili jsme faktu, že a je stacionárni bod, tj. Ľ (a) — 0). Předpokládejme, že platí (9.6), pak vzhledem ke spojitosti druhých derivací funkce L stejné nerovnosti platí i pro ä místo a, je-li \a \ dostatečně malé. Limitním přechodem pro íř^Ov (9.8) dostáváme pro |a| dostatečně malé, sgn[/(v)- f(a)] = sgn(L"(a)h,h), tedy v bodě a nastává lokální extrém / vzhledem k M, a to minimum, je-li (L"(a)h, h) > 0, a maximum, platí-li opačná nerovnost. Nyní předpokládejme, že existují h,h e Lin{^j(a), ..., g,m(a)}-L taková, že platí (9.7). Položme y\ — a + ah + r (a), y2 — a + ah + r (a). Stejným způsobem jako v předchozí části důkazu lze ukázat, že pro |a| dostatečně malá platí f(y\) > f (a) a f(yi) < /(#)) tj. v bodě a lokální extrém / vzhledem k M nenastává. □ Nyní si shrňme tvrzení posledních dvou vět do praktického návodu hledání vázaných extrémů funkcí se spojitými druhými derivacemi. 1. Vytvoříme Lagrangeovu funkci L(x, X) — f(x) — Yľk=l ^kgk(x)- 2. Určíme stacionární body / vzhledem k M, tj. určíme x\, ..., xn a X\,..., Xm jako řešení systému n + m rovnic d -L(x, X) — 0, i — 1, ..., n, gj(x) =0, j — 1, ..., m. dxi Nechť a e M je takto vypočtený stacionární bod / vzhledem k M a X\, ..., Xm jsou příslušející multiplikátory. Metoda Lagrangeových multiplikátorů 121 3. Ze systému m lineárních rovnic -—(a)h\ H-----h -—(a)hn = 0, -(a)h\ + • • • H--= U 3xi dxn pro proměnné h\,... ,hn vypočteme m proměnných v závislosti na n — m zbývajících. Takto vypočtené vektory h e W1 jsou prvky tečného prostom k M v bodě a, Tm(o) — Lin{^j(a),..., ^(a)}-1. Tento výpočet je možný, neboť podle předpokladu má matice (9.2) hodnost m. Pro určitost předpokládejme, že jsme vypočetli h\, ..., hm v závislosti na hm+\, ..., hn. 4. Určíme druhý diferenciál Lagrangeovy funkce vzhledem k proměnným x ve stacionárním bodě a " d2L d2L(a,X) = v -(a)hihj = (L"(a)h,h), dxidxj za X\, ..., Xm dosadíme příslušející multiplikátory a za h i, ..., hm vyjádření z předchozího bodu. 5. Vyšetříme definitnost vzniklé kvadratické formy n — m proměnných (je to vlastně restrikce kvadratické formy d2L(a, X) na tečný prostor Tm (a))- Je-li tato forma pozitivně (negativně) definitní, nastává v bodě a ostré lokální minimum (maximum) a je-li indefinitní, v bodě a vázaný extrém nenastává. *± + ň + zl i2^ b2^ c2 M : x2 + y2 +z2 = 1. Příklad 9.1. i) Najděte lokální extrémy funkce u — ^j + jj + ^j,® > b > c, na množině Řešení. Nejprve sestavíme Lagrangeovu funkci úlohy a určíme stacionární body. x2 y2 z2 L(x, y, z, X) = -r + + -r - X(x2 + y2 + z2 - 1). aL bL cL Derivováním a přidáním vazebné podmínky dostáváme 2x / 1 Lx =-T - 2Xx = 0 ==» x -r - A = 0, a2 \ a2 Lz =^ - 2Xz = 0 =» z ^3 - M = 0, x2 +v2 + z2 = 1. 122 Vázané extrémy Z prvních tří rovnic plyne, že vždy dvě ze souřadnic x,y,z musí být nulové (neboť pouze jeden z výrazů v závorkách může vždy být nulový), dostáváme šestici stacionárních bodů a příslušejících multiplikátorů — [±1, 0, 0], A.12 = ^2, Pj>,4 — [0, ±1, 0], A.34 = , P5 g = [0,0, ±1], A.56 = p-. Určíme druhý diferenciál funkce L (užijeme obvyklého zápisu s dx, dy, dz místo h\, h2, A3), J2L(x, y, z,k) = 2^- kj (dx)2 + 2^-kj (dy)2 + 2^-kj (dz)2 a diferencováním vazebné podmínky dostáváme 2x dx +2y dy +2zdz — 0. Odsud plyne, že v bodech P\i2 je dx — 0, v bodech je dy — 0 a v je = 0. Využitím této skutečnosti vyšetřeme definitnost formy d2L na tečném prostoru v bodech P\-e ke kouli x2 + y2 + z2 = 1. A,2 : J2L = 2 b > c, je kvadratická forma v bodech P\i2 pozitivně definitní, v bodech P$fi negativně definitní a v bodech indefinitní. To znamená, že v P\i2 je ostré lokální minimum (rovno 4y), v P$fi je ostré lokální maximum (rovno ^)av bodech ^4 extrém nenastává. ii) Odvoďte vzorec pro vzdálenost bodu x* — [x*, ..., x*] od roviny a\x\ + • • • + anxn — b v prostoru E". Řešení. Označme a — [a\, ..., an], x — [x\,..., xn]. Pak můžeme úlohu zapsat ve vektorovém tvaru y/(x — x*, x — x*} -> min, (a,x)—b. Je-li i bodem minima této úlohy, je také bodem minima úlohy -(x — x*, x — x*) -> min, (a,x)—b (tato úvaha nám usnadní derivování). Lagrangeova funkce této úlohy je ^ y n n L(x, X) — - (x — x*, x — x*) — X((a, x) — b) — - ^^(x/t — x|)2 — X(^^ a-k*k ~ b). k=\ k=\ Derivováním dostáváme (používáme pro stručnost vektorového zápisu) Lx — x — x* — Xa — 0, (a, x) — b. Metoda Lagrangeových multiplikátorů 123 Z první rovnice x — x* + ka a dosazením do druhé rovnice (a, x* + Áa} = b, odtud , _ (b - (a, x*)) ^_ Ŕ-(a, x*) llall2 Halí2 tedy y/{x — x*, x — x*} |Ď-(a,x*}| |Ď - a\x\ - ... - anx*\ což je vzorec dobře známý z lineární algebry. iii) Určete obsah elipsy, která vznikne při řezu elipsoidu ^ + fr + 71 = 1 rovinou ŕ2 Ax + By + C z = 0 (obsah elipsy je i3 — itpq, kde /?, g jsou délky poloos elipsy). Řešení. K určení obsahu elipsy potřebujeme určit délky jejích poloos. To jsou vzdálenosti bodů ležících zároveň na elipsoidu i v řezné rovině, které mají nej menší resp. nej větší vzdálenost od počátku. Vzdálenost bodu [x, y, z] od počátku je dána vztahem -Jx1 + y2 + z2. Místo této funkce budeme hledat extrémy funkce u — x2 + y2 +z2, která se snáze derivuje a vypočtený výsledek odmocníme. Řešíme tedy úlohu x2 y2 z2 u=x2 + y2 + z2 -> max(min), _ + £- + — = l, Ax + By + Cy = 0. aL bL cL 2 2 2 Lagrangeova funkce úlohy je L(x, y, z, A, /x) = x2 + y2 + z2 — A. (^2 + |j + ^ — 1) — /x(Ax + By + Cy). Jejím derivováním a připojením vazebných podmínek dostáváme systém rovnic 2Ax 2ky 2kz 2x--=- - /zA = 0, 2y - —f - \xB = 0, 2z--=- - /xC = 0, az oz cz xz yL z — + f- + — = 1, Ax + By + Cz = 0. aL bL cL Vynásobíme-li první rovnici x, druhou y, třetí z a sečteme je, pak využitím vazebných podmínek dostáváme rovnost x2 + y2 + z2 = k, tedy ^max — kmax ä ^min — •^•min- Vyjádříme-li z prvních tří rovnic x, y, z a dosadíme do rovnice roviny, obdržíme rovnici A2 B2 C2 ^ ,2(1 + i)+2(1 + ^)+2(1 + Ä), "°' Protože /x ^ 0 (jinak x = y = z = 0a tento bod neleží na elipsoidu), z této rovnice vynásobením jmenovateli zlomků dostáváme W'-p)(*-?)+W-?)('-?)+ -hC2 — 1=0. k\ f k 2 7 v ď2 124 Vázané extrémy Tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru kvadratické rovnice X2 + Kik + K2, kde _ a2b2c2(A2 + B2 + C2) ^2 ~ A2a2 + B2b2 + C2c2 ' koeficient můžeme také vyjádřit explicitně, jeho hodnota však není podstatná, neboť rovnici nemusíme řešit. Nepotřebujeme totiž znát kořeny rovnice A.12, nýbrž pouze jejich součin A.1A.2 - ve skutečnosti nepotřebujeme znát délky poloos, stačí nám znát jejich součin. Tento součin je roven absolutnímu členu K2 v kvadratické rovnici. Protože jsme hledali extrémy funkce x2 + y2+z2 místo funkce y/x2 + y2 + z2, je hledaná plocha elipsy ,- r- A2 + B2 + C2A2a2 + B2b2 + C2c2 S — Tty/X\ A.2 = Tty ^2 = TiabcJ- 9.2. Vázané extrémy a nerovnosti V tomto odstavci si ukážeme, jak lze v některých speciálních (ale poměrně často se vyskytujících) případech hledat vázané extrémy, aniž by bylo nutné použít aparátu Lagrangeo-vých multiplikátorů. I když je tento postup poněkud vzdálený od metod diferenciálního počtu, uvádíme jej zde pro jeho výbornou praktickou použitelnost. Čtenáři doporučujeme všechny úlohy tohoto odstavce vyřešit pro srovnání také metodou Lagrangeových multiplikátorů. Nejprve připomeňme pojem kvadratického, aritmetického, geometrického a harmonického průměru «-tice čísel. Nechť xi, ..., xn jsou kladná reálná čísla, označme An{x\,x2, ...,xn) \x2+x2 + ... + x2 'i x\ + X2 H-----\-x„ n %n(.X\, XI, ... , Xn) —X\ X2 ■ ■ ■ Xn, n ^n(xi, X2, ■ ■ ■ , Xfi) ——. : 7-. — + — H-----h — X\ X2 xn Věta 9.3. Nechť x — \x\,..., xn]je n-tice kladných čísel. Platí nerovnosti &n(x) > An(x) > %(x) > Jť„(x), přičemž rovnosti nastávají právě když x\ — X2 — ■ ■ ■ — xn. Důkaz. Viz skriptum [H-K-Š]. □ Kromě nerovností mezi průměry je účinným nástrojem i tzv. Cauchyova nerovnost. Vázané extrémy a nerovnosti 125 Věta 9.4. Pro libovolné dvě n-tice reálných čísel x — (x\, ..., xn),y — (y\,..., yn) platí 2 / n \ 2 k=\ \k=\ i \k=\ i přičemž rovnost nastane právě když existuje reálné t takové, že y k — tx^, k — 1, ..., n, tj. právě když vektory x a y jsou lineárně závislé. Důkaz. Viz [H-K-Š]. □ Příklad 9.2. i) Mezi všemi trojúhelníky s konstantním obvodem o určete ten, který má největší obsah. Řešení. Vyjdeme z Heronova vzorce pro obsah trojúhelníka P — y/s (s — a)(s — b)s — c), kde a, b, c jsou strany trojúhelníka as = (a + b + c)/2 = o/2je tzv. poloperimetr. Označíme-li x — s — a, y — s — b, z — s — c a uvážíme-li, že najít maximum funkce P _1 2 je totéž jako najít maximum funkce P — s ^ P^, mužeme úlohu formulovat takto o P(x, y, z) = žjxyz -> max, x + j + z = -. Využitím nerovnosti mezi algebraickým a geometrickým průměrem dostáváme P(x, y, z) < (x + y + z)/3 = o/6, přičemž rovnost nastává právě když x — y — z — o/2. Máme tedy systém rovnic o o o s — a — -, s — b — -, s — c — -, 6 6 6 jehož řešením je a — b — c — o/3. Tedy mezi všemi trojúhelníky s daným obvodem o 2 má největší obsah rovnostranný trojúhelník a tento maximální obsah je Pmax — "j^/g- ii) Mezi všemi trojicemi kladných čísel x, y, z s konstantním součtem a najděte ta, pro která je součet převrácených hodnot minimální. Řešení. Z nerovnosti mezi harmonickým a aritmetickým průměrem dostáváme 3 x + y + z a < ! + ! + !- 3 3' x y z přičemž rovnost nastane právě když x — y — z — a/3. Odtud ^ + ^ + j > x+y+z — f • Tedy součet převrácených hodnot je minimální jsou-li všechna tři čísla stejná a rovna #. 126 Vázané extrémy 2 2 2 iii) Na elipsoidu ^2 + + = 1 najděte bod v prvním oktantu s vlastností, že objem čtyřstěnu tvořeného souřadnými stěnami a tečnou rovinou k elipsoidu v tomto bodě je minimální. Řešení. Nejprve připomeňme, že objem čtyřstěnu vypočteme podle vzorce V — ^xoyozo, kde [xo, 0, 0], [0, yo, 0], [0, 0, zo\ jsou průsečíky tečné roviny se souřadnými osami (sest-rojíme-li trojboký hranol se základnou tvořenou trojúhelníkem s vrcholy [0,0,0], [xo, 0,0], [0, yo, 0] a výškou zq, jeho objem je \xoyozo a je trojnásobkem objemu našeho čtyřstěnu). Vyjádřením proměnné z z rovnice elipsoidu nebo pomocí derivace implicitní funkce snadno ověříme, že rovnice tečné roviny k elipsoidu v bodě [x, y, ž] je zž yy xx ^ + § + — = 1, (9.9) cL bL aL 2 Odtud dostáváme, že úseky vyťaté tečnou rovinou na souřadných osách jsou xq — ^-(položíme y — 0 = z v (9.9)), zq — y, zo — y. Řešíme tedy úlohu 1 a2b2c2 . x2 y2 z2 ^ 6 xyz ' a2 b- c- která je, pokud jde o extremální bod, ekvivalentní úloze 1 1 Ix y z x2 y2 z2 v = (6V)-3 = ^maX; +y+h XJábc y a b c aL bL cL Z nerovnosti mezi kvadratickým a geometrickým průměrem dostáváme, že V je maximální, jestliže ^ = I = |, což vzhledem k vazebné podmínce nastane, když x = y/3a, y — y/3b, z — VŠe a pro tyto hodnoty dostáváme minimální objem Vmin — iv) Na elipsoidu x2 + ^- + 4j- = 1 najděte bod, který je nejblíže rovině x + y + z — 2VT4. Řešení. Pro vzdálenost bodu [xo, yo, zo\ od roviny ax + by + cz — d platí vzorec (viz Příklad 9.1 ii)) |axo + byo + czo — d\ d = Va2 + b2 + c2 Protože elipsoid leží pod rovinou x + y + z — 2y/l4, budeme řešit úlohu x + y + z- 2VTi 0 y2 z2 --^ V ^min, x2 + ^- + - = l. (9.10) která je (pokud jde o bod, v němž je dosaženo minima) ekvivalentní úloze 2 2 2 y z i x + y + z^max, x + — + — = 1. 4 9 Vázané extrémy a nerovnosti 127 Tuto úlohu vyřešíme pomocí Cauchyovy nerovnosti. Platí / 2 2 x + v + z = x+2|+3^ tj. (hledaný bod leží v /. kvadrantu) 1 4 9 vw yií' ví4 a dosazením do (9.10) dostáváme Jmin — '14 3 • Cvičení. 9.1. Určete vázané extrémy funkce / na množině určené rovnostmi: a) f(x, y, z) — xy2z3, x + 2y + 3z — a, a, x, y, z > 0 b) f(x, y, z) — sinx siny sinz, x + v + z — § c) f(x, y, z) = xyz, x2 + v2 + z2 = 1, x + y + z = 0 d) f(x, y, z) = xy + yz, x2 + y2 = 2, y + z = 2, x, y, z > 0 e) /(xi, ..., x„) = x\ + • • • + x2, + • • • + ^ = 1, en > 0, i = 1, ..., n f) /(*l, ...,*„) = ff + .- . + f1, + • • • + = \,ai,Pi,Xi > 0, i = 1, g) /(xi, ..., x„) = x"1 .. .x"", xi H-----h x„ = 1, ai > 0, z = 1, ..., n. 9.2. 2 2 2 a) Do elipsoidu ^ + ^ + = 1 vepište hranol s maximálním objemem. Tento objem určete. 2 v2 b) Do úseče eliptického paraboloidu - — ^ + jj, z < c, vepište hranol s maximálním c a b objemem. Tento objem určete. c) Do kužele s poloměrem podstavy r a výškou h vepište hranol s maximálním objemem. Tento objem určete. d) Mezi všemi čtyřbokými hranoly s konstantním povrchem P najděte ten, který má největší objem. Tento objem určete. a2 ^ b2 má největší vzdálenost od počátku. e) Na elipse ^ + tj — 1 najděte bod s vlastností, že normála sestrojená v tomto bodě f) Na elipsoidu v prostoru jsou dány dva body A — [a\, a2, a^], B — [b\, b2, b^]. Určete bod C na elipsoidu tak, aby vzniklý trojúhelník měl maximální obsah. 128 Vázané extrémy 9.3. Řešte extremální úlohy: a) 2"||x||2 —► rnin, (u, x) = a, (v, x) = fi, x, u, v € W1, a, €~R. b) (Ax, x) -> min, (uk, x) — ak, k — 1, ... ,n — 1, x,Uk & M", ak e M, dim{Lin{«i,..., un-i}} — n — 1. Všechny dobré zásady jsou již napsány. Nyní ještě zbývá je uskutečnit. (B. Pascal) Kapitola 10 Generování grafiky v Maplu Zde se využití počítače přímo nabízí. Tato část matematické analýzy se probírá v době, kdy nejsou probrány odpovídající partie z geometrie (zimní semestr druhého ročníku učitelského studia). Studenti proto často postrádají geometrickou představu v prostoru, a tak jsou visualizační schopnosti počítačových systémů velmi vítány. 10.1. Graf funkce dvou proměnných Všimněme si podrobněji problematiky tvorby grafů reálné funkce dvou reálných proměnných pomocí programu Maple V. Zaměříme se zejména na případy, kdy počítačem získaný výstup (v dalším nazývaný PC-graf), neodpovídá grafu funkce (Definice 1.2). Definujme funkci f(x, y) = sin(x) cos(y): > f:=(x,y)->sin(x)*cos (y); /:=(*,?)-► sin(x)cos(y) a sestrojme PC-graf funkce / (obr. 10.1): > plot3d(f, -Pi..Pi, -Pi..Pi); Stejně jednoduše je možno získat i PC-graf plochy dané parametricky, např. x = sin u cos v, y = sin u sin v, z = cos u, u e [0, jt], v e [0, 2jt] (obr. 10.2): > with(plots) : > plot3d([sin(u)*cos(v),sin(u)*sin(v),cos(u)],u=0..Pi, > v=0..2*Pi,style=patch, scaling=constrained, > axes=framed, labels=[x,y,z]); Parametrem scaling=constrained jsme dosáhli stejného měřítka na osách výsledného PC-grafu. Porovnejme PC-graf na obrázku 10.2 s PC-grafem na 129 130 Generování grafiky v Maplu obr. 10.2 obr. 10.3 obrázku 10.3, na kterém je tatáž koule generovaná bez použití tohoto parametru: > plot3d([sin(u)*cos(v),sin(u)*sin(v),cos(u)],u=0..Pi, > v=0..2*Pi,style=patch, axes=framed, labels=[x,y,z]); Jakým způsobem probíhá konstrukce PC-grafu? Zadáme funkční předpis a množinu bodů [x, y], pro které chceme funkci zobrazit. Tato množina je typu (*min, *max) x (ľmin, Jmax)- Na ní pak program vytvoří síť, v jejichž uzlových bodech numericky spočítá funkční hodnoty (tyto jsou uloženy do objektu PLOT3D). Hustotu sítě regulujeme pomocí parametru grid= [m, n], kde man udává počet uzlových bodů ve směru os x a y. Implicitní nastavení tohoto parametru je [25, 25]. Funkční hodnoty jsou poté podle interpolačních pravidel pospojovány a PC-graf zobrazen na výstupním zařízení. Graf funkce dvou proměnných 131 Tento postup však zřejmě může vést k zavádějícím výsledkům. Pro ilustraci např. vytvořme PC-graf funkce g(x, y) = sin(2jrx) sin(2jry), pro x a y z intervalu (0, 25) beze změny implicitního nastavení parametrů: > plot3d(sin(2*Pi*x)*sin(2*Pi*y), x=0..25, y=0..25, > axes=boxed, labels=[x,y,z]); Podrobnější analýzou zadané funkce však zjistíme, že získaný PC-graf (obr. 10.4) neodpovídá skutečnosti, funkce sin(2jrx) a sin(2jry) jsou periodické s periodou 1 a tomu PC-graf na obrázku 10.4 neodpovídá. Zhuštěním sítě dostáváme výsledek bližší skutečnému chování uvažované funkce (obr. 10.5): > plot3d(sin(2*Pi*x)*sin(2*Pi*y), x=0..25, y=0..25, > axes=boxed, grid=[60, 60], labels=[x,y,z]) ; obr. 10.4 obr. 10.5 Další problémy vznikají při tvorbě grafů nespojitých funkcí. Nejjednodušší situace nastává v případě, kdy studovaná funkce není v bodě [xq, yo] spojitá (viz Definice 2.3), ale v tomto bodě existuje konečná limita. Pak můžeme buď změnit hustotu uzlových bodů nebo funkci vhodným způsobem dodefinovat. Příklad 10.1. Vytvořte PC-graf funkce 2 x y xz + yz Příkazem: > f:=(x,y)->(x"2*y)/(x"2+y"2); 132 Generování grafiky v Maplu zadáme funkci a příkazem: > plot3d(f, -3..3, -3..3, orientation=[-57, 38] , > axes=framed, labels=[x,y,z]); získáme PC-graf zobrazený na obr. 10.6. Bod, ve kterém vyšetřovaná funkce není spojitá, je při této hustotě sítě totožný s uzlovým bodem a program v něm nemůže spočítat funkční hodnotu. Při zobrazování na výstupním zařízení je funkční hodnota v bodě nespojitosti vynechána a zobrazený PC-graf neodpovídá v okolí bodu [0, 0] grafu funkce. Všimněme si u tohoto příkladu podrobně struktury Mapleovské grafiky. Generujme graf zkoumané funkce pro x a y z intervalu (—3, 3) při hustotě sítě [7, 7] a podívejme se, jaká je struktura vytvořeného objektu PLOT3D: > p:=plot3d(f, -3..3, -3..3, orientation=[-57, 38] , > axes=framed,grid=[7,7],color=black,labels=[x,y,z]); > p; p := PLOT3D(GRID(-3...3., -3...3., [[-1.500000000000000, -1.384615384615385, -.9000000000000000, 0, .9000000000000000, 1.384615384615385, 1.500000000000000] , [-.9230769230769231, -1., -.8000000000000000, 0, .8000000000000000, 1., .9230769230769231], [ - .3000000000000000, - .4000000000000000, -.5000000000000000, 0, .5000000000000000, .4000000000000000, .3000000000000000], [0, 0, 0, FAIL, 0, 0, 0], [-.3000000000000000, -.4000000000000000, -.5000000000000000,o, .5000000000000000, .4000000000000000, .3000000000000000] , [-.9230769230769231, -1., -.8000000000000000, 0, .8000000000000000, 1., .9230769230769231], [ -1.500000000000000, -1.384615384615385, -.9000000000000000, 0, .9000000000000000, 1.384615384615385, 1.500000000000000]], C0L0R(i?G5, 0, 0, 0)), AXESLABELS(x, y, z), TITLE( ), AXESSTYLE(FRAME), PROJECTION( -57., 38., 1)) V objektu PLOT3D jsou uloženy funkční hodnoty v uzlových bodech sítě, které jsou počítány numericky postupně po řadách. Všimněme si funkčních hodnot pro body [0, —3], [0, —2], .... Zde skutečně výpočet funkční hodnoty pro bod [0, 0] „havaruje" (FAIL). Následně je tento objekt použit při zobrazování na výstupním zařízení a chybějící funkční hodnota v bodě [0, 0] je vynechána (obr. 10.7). Změníme tedy hustotu uzlových bodů tak, aby bod [0, 0] (bod nespojitosti) nebyl uzlovým bodem (obr. 10.8): Graf funkce dvou proměnných 133 obr. 10.6 obr. 10.7 > plot3d(f, -3..3, -3..3, orientation=[-57, 38] , > axes=framed, grid=[30, 30] , labels=[x,y,z]); Jinou možností je dodefinovat funkční hodnotu v bodě [0, 0] tak, aby funkce / v tomto bodě byla spojitá. Poté generujme PC-graf získané spojité funkce: > g:=proc(x,y) if x=0 and y=0 then 0 > else (x"2*y)/(x"2+y"2) fi end: > plot3d(g, -3..3, -3..3, orientation=[-57, 38] , > axes=framed, labels=[x,y,z]); Obdržíme výsledek znázorněný na obr. 10.9. obr. 10.8 obr. 10.9 Příklad 10.2. Funkce 134 Generování grafiky v Maplu není spojitá v bodech ležících na osách x a y, ale má zde konečnou limitu rovnu jedné. Při pokusu o tvorbu PC-grafu příkazem: > plot3d(sin(x*y)/(x*y), x=-3..3, y=-3..3, axes=framed, > color=black, orientation=[150, 50] , labels=[x, y, z] , > tickmarks=[7, 7, 3] ) ; dostáváme PC-graf na obrázku 10.10. Zde jsou opět patrné nespojené body, ve kterých výpočet funkčních hodnot „havaroval" (body nespojitosti na osách x a. y opět vycházejí do uzlových bodů sítě). Vytvořme tedy PC-graf spojité funkce (obr. 10.11) (dodefinujme funkci tak, aby byla spojitá) g(x, y) = ■ 1 pro x = 0 nebo y = 0 f (x, y) jinak. > g:=proc(x,y) if x=0 or y=0 then 1 > else sin(x*y)/ (x*y) fi end: > plot3d(g, -3..3, -3..3, axes=framed, > orientation=[150, 50] , color=black, labels=[x,y,z], > tickmarks=[7, 7, 3] ) ; obr. 10.10 obr. 10.11 Jinou možností je opět vhodně změnit hustotu sítě tak, aby body nespojitosti nebyly totožné s uzlovými body sítě. Pokud v bodech nespojitosti neexistuje konečná limita, je znázornění chování takové funkce pomocí počítače obtížnější. Graf funkce dvou proměnných 135 Příklad 10.3. Generujte PC-graf funkce f(x, y) = l/x. Protože limx^0+ l/x = +00, limx^o- l/x = —00, není funkce / na přímce x = 0 spojitá. Příkazem: > plot3d(l/x, x=-5..5, y=-5..5, orientation=[-63,73], > axes=framed, labels=[x,y,z]); dostáváme PC-graf z obr. 10.12. obr. 10.12 Vidíme, že PC-graf neodpovídá grafu zkoumané funkce. Podívejme se opět na objekt PLOT3D, pro zjednodušení zvolme grid= [7,3] (obr. 10.13): > p:=plot3d(l/x, x=-5..5,y=-5..5,orientation= [-63, 73], > axes=framed,grid=[7,3],color=black,labels=[x,y,z]);p; 136 Generování grafiky v Maplu p := PLOT3D(GRID(-5...5., -5...5., [[-.2000000000000000, -.2000000000000000, -.2000000000000000], [ -.3000000000000000, -.3000000000000000, -.3000000000000000], [- .5999999999999999, -.5999999999999999, -.5999999999999999], [ -.2251799813685248 1016, -.2251799813685248 1016, -.2251799813685248 1016], [.6000000000000002, .6000000000000002, .6000000000000002] [.3000000000000000, .3000000000000000, .3000000000000000] [.2000000000000000, .2000000000000000, .2000000000000000] ], C0L0R(i?G5, O, O, 0)), AXESLABELS(x, y, z), AXESSTYLE(FRAME), TITLE( ), PROJECTION( -63., 73., 1)) Maple volí rozsah zobrazovaných hodnot a měřítka na osách sám tak, aby se výsledný PC-graf co nejlépe „vešel" na výstupní zařízení. To zejména u funkcí, jejichž limita v některém bodě je rovna oo, způsobuje problémy (odlišnost grafu a PC-grafu funkce). Z algoritmu realizace PC-grafu na výstupním zařízení plyne i spojení těch funkčních hodnot, které by neměly být spojeny (v okolí bodů ne-spojitosti, body nespojitosti v tomto případě nejsou totožné s uzlovými body). Z objektu PLOT3D je také vidět, že při této hustotě sítě a stanovené přesnosti aproximace jsou v PC-grafu potlačeny funkční hodnoty blízké +oo. Stačí však změnit přesnost aproximace (změnou hodnoty proměnné D i git s, implicitní nastavení je Digits : =9), a dostáváme jinou síť uzlových bodů a také jiný PC--graf (obr. 10.14): > Digits:=18; Digits := 18 > plot3d(l/x, x=-5..5, y=-5..5, orientation=[-63, 73] , > axes=framed,grid=[7,3],color=black,labels=[x,y,z] ) ; Omezíme tedy rozsah zobrazovaných hodnot (view=-5 . .5) při původní přesnosti aproximace (obr. 10.15): > Digits:=9: > plot3d(l/x, x=-5..5, y=-5..5, view=-5..5, > orientation=[-63, 73] , axes=framed, labels=[x,y,z]); Na PC-grafu je vidět pozitivní vliv změny rozsahu zobrazovaných hodnot, nadále však přetrvává spojování i těch bodů PC-grafu, které spojeny být neměly. Graf funkce dvou proměnných 137 obr. 10.15 Skutečnosti odpovídající PC-graf získáme následujícím způsobem. Tvorbu PC--grafu rozdělíme do dvou částí tím, že definiční obor rozdělíme na dvě oblasti: (—5, —0.001) x (—3, 3) a (0.001, 5) x (—3, 3). Jednotlivé samostatně vytvářené části PC-grafu v závěru interpretujeme v jediném (obr. 10.16) pomocí příkazu display3d z knihovny plots: > ol:=plot3d(l/x, x=-5..-0.001, y=-3..3, view=-5..5): > o2:=plot3d(l/x, x=0.001..5, y=-3..3, view=-5..5): > display3d({ol,o2}, orientation=[-63,73],axes=framed, > labels=[x, y, z ] ) ; 138 Generování grafiky v Maplu obr. 10.16 Poznámka 10.1. Tvorba PC-grafu nespojité funkce jedné reálné proměnné je zjednodušena parametrem discont=true. Při použití tohoto parametru program nejprve určí body nespojitosti zadané funkce a poté rozdělí horizontální osu na intervaly, na kterých je tato funkce spojitá, takže nedojde ke spojení těch bodů PC-grafu, které spojeny být neměly. V některých případech je vhodnější nezobrazovat funkci ve tvaru explicitním, ale provést parametrizaci funkce (x = (u, v), y = \jr(u,v),z = f), kde u a. v jsou parametry). Výhodné je to zejména u funkcí, které vykazují středovou nebo osovou symetrii. Příklad 10.4. Vytvořte PC-graf funkce 2 = TT 2—ň- xl + yl — 9 Definičním oborem funkce / je množina IR2 — {[x, y] : x2 + y2 = 9}, tedy rovina xy kromě bodů ležících na kružnici se středem v bodě [0, 0] a poloměrem r = 3. V těchto bodech není funkce spojitá. Pokud se pokusíme vytvořit PC-graf funkce jednoduchým příkazem: > f:=2/(x"2+y"2-9); Graf funkce dvou proměnných 139 1 J x2 + y2-9 > plot3d(f, x=-5..5, y=-5..5); dostáváme obr. 10.17. Změna hustoty uzlových bodů a omezení rozsahu zobrazovaných hodnot v tomto případě nepomáhá (obr. 10.18): > plot3d(f, x=-5..5, y=-5..5, view=-5..5,grid=[30,40]); obr. 10.17 obr. 10.18 Proveďme nyní parametrizaci x = u cos v, y = u sin v, z = -^rzg a generujme PC-graf (obr. 10.19) této funkce: > plot3d([u*cos(v), u*sin(v), subs({x=u*cos(v) , > y=u*sin(v)}, f)], v=0..2*Pi, u=0..6, view=-5..5): obr. 10.19 Všimněme si rozdílu mezi PC-grafem funkce / (dané explicitně, obr. 10.17 a 10.18) a PC-grafem téže funkce dané parametricky (obr. 10.19) (graf by měl 140 Generování grafiky v Maplu být v obou případech stejný). Protože získaný PC-graf stále neodpovídá grafu funkce, rozdělíme tvorbu PC--grafu opět do dvou částí, přičemž parametr u bude postupně nabývat hodnot z intervalů (0, 2.999) a (3.001, 6): > sl:=plot3d([u*cos(v) , u*sin(v), > subs ({x=u*cos(v), y=u*sin(v)}, f)], v=0..2*Pi, > u=0..2.999) : > s2:=plot3d([u*cos(v) , u*sin(v), > subs({x=u*cos(v), y=u*sin(v)}, f)], v=0..2*Pi, > u=3.001..6) : > display3d({sl,s2}, view=-8..8); > display3d({sl,s2}, view=-8..8, orientation=[40, 102]) ; Z důvodu názornosti je funkce zobrazena ze dvou různých pohledů (obr. 10.20 a obr. 10.21). obr. 10.20 obr. 10.21 Všimněme si nyní ještě některých parametrů příkazu plot3d, kterými můžeme ovlivnit vzhled výsledného PC-grafu. Doposud jsme generovali PC-graf vždy nad čtvercovou nebo obdélníkovou oblastí. Ale rozsah druhého parametru může být udán v závislosti na prvním. Například při generování PC-grafu povrchu polokoule nad čtvercovým oborem: > plot3d(sqrt(l-x"2-y"2), x=-l..l, y=-l..l, > scaling=constrained); dostáváme PC-graf na obrázku 10.22. Získaný PC-graf neodpovídá na okrajích oblasti grafu funkce („zubaté okraje" jsou opět způsobeny spojováním funkčních hodnot v uzlových bodech). Graf funkce dvou proměnných 141 Při použití kruhové oblasti: > plot3d(sqrt(l-x~2-y~2), x=-l..l, > y=-sqrt(l-x~2)..sqrt(1-x"2), scaling=constrained); (tj. proměnného rozsahu na ose y) dostáváme PC-graf odpovídající grafu funkce (obr. 10.23). obr. 10.22 obr. 10.23 Rozsah zobrazovaných hodnot ve směru osy z měníme volbou parametru view= [zrnin. . zmax]. Pokud tento parametr nezadáme, volí Maple rozsah zobrazovaných hodnot sám, což opět může vést k zavádějícím výsledkům (viz také komentář k příkladu 10.3). Porovnejme dva PC-grafy (obr. 10.24 a obr. 10.25), generované příkazy: > plot3d(1/(x~2+y"2), x=-l..l, y=-l..l, axes=boxed, > color=black, labels=[x,y,z]); > plot3d(l/(x"2+y"2), x=-l..l, y=-l..l, view=0..6, > style=patch, axes=boxed, labels=[x,y,z]); obr. 10.24 obr. 10.25 142 Generování grafiky v Maplu Pro zkoumanou funkci je lim^-^^oH/C*2 + ľ2) = rozsah zobrazovaných hodnot a měřítka na osách v prvním případě Maple volil sám (+00 aproximoval hodnotou 7 • 1031). Výsledný PC-graf (obr. 10.24) pak neodpovídá grafu funkce. Obor zobrazovaných hodnot tedy omezíme parametrem view=0 . . 6 na interval (0, 6), získaný PC-graf je znázorněn na obr. 10.25. 10.2. Vrstevnice Pro vytvoření představy o tvaru a průběhu znázorňované plochy nám často pomáhají vrstevnice (viz Definice 1.3) grafu funkce a řezy rovinami z = 0, y = 0, x = 0, příp. rovinami s nimi rovnoběžnými. Maple nám tak může pomoci při vysvětlování geometrického významu pojmu vrstevnice funkce a při jejich znázorňování. Ukažme si nyní konstrukci vrstevnice funkce f(x, y) = x2 + y2 na hladině c = 6. Nejdříve generujme PC-graf funkce / a označme jej Pl (obr. 10.26). Poté vytvořme PC-graf roviny z = 6, označíme jej P2, a interpretujme funkci i rovinu v jednom PC-grafu (obr. 10.27): obr. 10.26 obr. 10.27 > with(plots) : > f := (x,y) -> x"2+y"2: > Pl := plot3d(f(x,y) , x=-3..3, > y= -sqrt(9-x"2)..sqrt(9-x"2), axes=framed, > tickmarks=[7,7,5], orientation=[45,60], > labels=[x,y,z]): "; > P2 := plot3d(6, x=-3..3, y= -3..3, > style = patchnogrid): Vrstevnice 143 > display3d({PI,P2}, axes=framed,tickmarks = [7,7,5], > orientation=[45,60], labels=[x,y,z]); Křivka, vzniklá jako průsečnice grafu funkce / a roviny z = 6 je dána parametricky rovnicemi x = Vócos t, y = Vósinŕ, z=6 a představuje vrstevnici funkce / na hladině c = 6. Znázornění vrstevnice v rovině získáme průmětem do roviny xy. Situaci znázorňují následující dva obrázky (obr. 10.28, obr. 10.29). Pro vykreslení prostorové křivky jsme použili procedury spacecurve z knihovny plot s: > P3 := spacecurve([sqrt(6)*cos(t) , sqrt(6)* sin(t) , 6] , > t=0..2*Pi, color=black, thickness=3): > P4 := spacecurve([sqrt(6)*cos(t), sqrt(6)* sin(t),0], > t=0..2*Pi, color=red, thickness=3): > display3d({Pl,P2,P3},tickmarks=[7,7,5], > orientation = [40, 120], axes=boxed, labels=[x, y, z] ) ; > display3d({Pl,P2,P3,P4},tickmarks=[7,7,5], > orientation =[40,120], axes=boxed, labels=[x,y,z]); obr. 10.28 obr. 10.29 Podobným způsobem můžeme znázornit i řezy rovinami rovnoběžnými s rovinami xz a yz. Např. zobrazme průnik roviny x = 2 a grafu funkce /. Jako průsečnici získáme křivku, kterou můžeme popsat parametricky rovnicemi x = 2, y = t, z = f(2, t) = 4 +t2. Graf funkce, rovinu i jejich průsečnici interpretujme v jednom PC-grafu (obr. 10.30): 144 Generování grafiky v Maplu > Pl := plot3d(f(x,y),x=-3..3,y=-3. .3) : > P2 := implicitplot3d(x=2,x=-3..3,y=-3..3,z=0..20, > style=patchnogrid): > P3 := spacecurve([2,t,j(2,t)],t=-3..3,thickness=3, > color=black): > display3d({Pl,P2,P3},tickmarks=[7,7,5], > axes=framed, orientation=[40,120], labels=[x,y,z]); obr. 10.30 Pro přímé znázorňování vrstevnic používáme příkaz cont ourplot (obr. 10.31): > plots [contourplot] (f(x,y), x=-3..3, > y=-sqrt(9-x"2)..sqrt(9-x"2), axes=boxed, color=black, > contours=10, numpoints=2500, scaling=constrained, > tickmarks=[7, 7, 0] ) ; Parametr style=patchcontour příkazu plot3d slouží k zobrazení grafu funkce s vrstevnicemi (obr. 10.32) a pro zobrazení vrstevnice na dané hladině můžeme použít příkazu levelcurve z knihovny mvcalp (obr. 10.33): > plot3d(f(x,y), x=-3..3, y=-sqrt(9-x"2)..sqrt(9-x"2), > style=patchcontour, axes=boxed, orientation=[40,120], > tickmarks=[7,7,5], labels=[x,y,z]); > with(mvcalp): > levelcurve(f(x,y),6, x=-3..3, y=-3..3, color=black, > scaling=constrained, tickmarks=[7,7]); Protože tvorba matematické grafiky není často jednoduchou záležitostí a vzhled výsledného PC-grafu můžeme ovlivňovat celou řadou parametrů, uvá- Vrstevnice 145 díme na závěr této kapitoly i stručný přehled základních použitých příkazů a jejich parametrů. Popis všech příkazů čtenář najde buď v manuálech [C-Gi], [C-G2] a [C-G3] nebo přímo v systému nápovědy programu Maple V. 146 Generování grafiky v Maplu Přehled použitých příkazů Generování PC-grafu funkce dvou proměnných: plot3d (f (x, y) , x=a . .b, y=c . . d, volby) ; pro výrazy a plot3d (f, a. .b, c . .d, volby) ; pro funkce. Volitelné parametry volby ovlivňují vzhled výsledného PC-grafu. Nejčastěji používané parametry jsou popsány Tabulce 10.1. Volba Efekt příkazu scaling = UNCONSTRAINED měřítka na osách CONSTRAINED view = zmin..zmax volba rozsahu zobrazovaných hodnot orientation = [theta,phi] úhel pohledu style = POINT HIDDEN způsob vykreslení grafu PATCH WIREFRAME CONTOUR LINE PATCHCONTOUR PATCHNOGRID axes = BOXED NORMAL znázornění os FRAME NONE grid = [m,n] regulace hustoty sítě numpoints = n alternativní zadání počtu bodů sítě labels = [x,y,z] popis os tickmarks = [n,m,p] počet značek na osách Tab. 10.1 Generování PC-grafu funkce dvou proměnných dané parametricky (obr. 10.2): plot3d([f(s,t),g(s,t),h(s,t)],s=a..b,t=c..d, volby); K rozšíření možností práce s grafikou slouží knihovna plot s. Procedury této knihovny zpřístupníme příkazem with(plots) : Vykreslení prostorové křivky (obr. 10.28 a 10.29): spacecurve([f(t),g(t),h(t)],t=a..b,volby); Znázornění vrstevnic (obr. 10.31): contourplot(f(x,y),x=a..b,y=c..d,volby) ; Znázornění vrstevnice na dané hladině (obr. 10.33): mvcalp[levelcurve] (f(x,y), hladina, x=a..b, y=c..d) ; Generování PC-grafu funkce dané implicitně (obr. 10.30 a viz také Kapitola 7): Vrstevnice 147 implicitplot3d(exprl, x=a..b, y=c..d, z=p..q, volby); Kapitola 11 Výpočty limit v Maplu Počítačového systému v této kapitole využíváme zejména ke tvorbě ilustrační grafiky. Přímý výpočet limit funkce dvou proměnných není ve většině případů možný, protože neexistuje vhodný algoritmus. (Jiná situace je u funkcí jedné proměnné.) Přesto nám může být počítač nápomocen při určování limit funkce dvou proměnných a to zejména jejich transformací do polárních souřadnic a následným výpočtem limity funkce jedné proměnné. Podobné metody lze použít při určování limit vzhledem k podmnožinám okolí limitního bodu. V této souvislosti budeme za takové podmnožiny volit spojité křivky procházející limitním bodem a mluvit o limitách závislých na cestě, resp. o limitě podél cesty. 11.1. Ilustrační grafika Cyklus PC-grafů z této části je možno využít při přednáškách k ilustraci probírané problematiky a v počítačové laboratoři k samostatnému experimentování studentů. Přitom většinu zde uvedených obrázků lze bez počítače realizovat jen velmi těžko. Příklad 11.1. Spojité funkce mají v libovolném bodě [a, b] limitu lim f(x,y) = f(a,b). Příkladem je např. funkce f(x, y) = x — x — xy + x y (obr. 11.1): > plot3d(x-x"3-x*y"2+x"3*y"2,x=-l.4..1.4,y=-l.4..1.4, > view=-l..l, style=patch, labels=[x,y, 'z']) ; 148 Ilustrační grafika 149 obr. 11.1 Příklad 11.2. Funkce 2 x y xz + yz není v bodě [0, 0] definovaná, ale má v tomto bodě limitu rovnu nule (podle Věty 2.6). Pokud se k limitnímu bodu „blížíme" podél jakékoli cesty, funkční hodnoty se blíží nule (obr. 11.2). (Existence limity nezávisí na funkční hodnotě v limitním bodě.) Aby byla funkce / v bodě [0, 0] spojitá, definujeme /(O, 0) = 0 a generujeme PC-graf vyšetřované funkce: > f:=proc(x,y) if x=0 and y=0 then 0 > else (x"2*y)/(x"2+y"2) fi end: > plot3d(f, -3..3, -3..3, orientation=[-57, 38] , > axes=framed, style=patch, labels=[x, y, ' z'] ) ; Následující příklady ilustrují jev, kdy hodnota limity funkce závisí na cestě, po které se k limitnímu bodu blížíme - tj. funkce nemá v daném bodě limitu. Příklad 11.3. Funkce 150 Výpočty limit v Maplu nemá v bodě [0, 0] limitu. Jestliže se k bodu [0, 0] blížíme po přímkách y = ±x dostáváme lim f(x, ±x) = 0, x^O ale po osách x a y dostáváme lim/(x,0) = l, lim/(0,y) = l. x^0 y^0 Protože hodnota limity závisí na cestě, po které se k bodu [0, 0] blížíme, limita lim(x jj)^(ojo) f(x, y) neexistuje. Uvedená situace je dobře viditelná na obr. 11.3. > f: = (x,y)-> ( (x~2-y~2)/ (x~2+y~2)) ~2: > plot3d(f(x,y),x=-3..3,y=-3..3,grid=[51,4 9] , > axes=framed, style=patch, labels=[x,y,'z']); Příklad 11.4. Funkce f( \ xy \ ' + y2 nemá v bodě [0, 0] limitu: pokud se k limitnímu bodu blížíme po přímkách y = kx, dostáváme výsledek závisející na konstantě k xy k lim —-- =--. (x,y)->(0,0) x2 + y2 í+k2 y=kx Ilustrační grafika 151 obr. 11.3 Situace je znázorněna na obr. 11.4 a obr. 11.5. Pro větší názornost je zde funkce zobrazena z různých úhlů pohledu. obr. 11.4 obr. 11.5 PC-grafy byly vytvořeny následující posloupností příkazů: > f:=(x,y)->x*y/(x"2+y"2); x y f := (x,y) -> xz + yz > z:=subs(x=r*cos(phi) , y=r*sin(phi), f(x,y)): > p:=plot3d([r*cos(phi) , r*sin(phi),simplify(z)],r=0..1, > phi=-Pi..Pi, grid=[15,45], axes=framed, style=patch): 152 Výpočty limit v Maplu > with(plots) : > display3d(p,orientation=[15,45],labels=[x,y,'z']); > display3d(p,orientation=[-69,38],labels=[x,y,'z']); Příklad 11.5. Funkce f(x,y) = [x, y] ŕ [0,0], 0, [x,y] = [0, 0] nemá v bodě [0, 0] limitu. V tomto případě jsou všechny limity po přímkách y = kx k bodu [0, 0] rovny 0, avšak po parabolách y = kx2 hodnota limity záleží na konstantě k (viz Poznámka 2.2). Bez použití počítače je velmi obtížné nakreslit graf funkce a studenti často nemají s touto funkcí spojenu konkrétní geometrickou představu (PC-graf obr. 11.6): > f:=proc(x,y) if x=0 and y=0 then 0 > else x"2*y/(x"4+y"2) fi end: > plot3d(f, -2. .2, -2..2, grid=[100, 100] , > style=patchcontour, orientation=[-46, 35] , > contours=12, axes=boxed, labels=[x, y, ' z' ] ) ; Výpočty 153 Příklad 11.6. Funkce f(x,y)= 1 x2 + y2 má v bodě [0, 0] nevlastní limitu oo (viz příklad 2.1-ii)). PC-graf funkce je uveden na obrázku 10.25. Příklad 11.7. Funkce f(x,y)= 2 x2 + y2 -9' není definovaná na množině K = {[x, y] : x2 + y2 = 9}, což je kružnice se středem v bodě [0, 0] a poloměrem r = 3, a nemá v žádném bodě této množiny limitu. Nechť [xo, yo] e K. Jestliže se k bodu [xo, yo] blížíme po libovolné cestě L\ ležící vně kružnice K, pak dostáváme 2 2 lim —---= — = +oo. (x,y)^(x0,y0) X2 + y2 -9 0+ (x,y)eL\ Jestliže se k bodu [0, 0] blížíme po libovolné cestě L2 ležící uvnitř této kružnice, dostáváme 2 2 lim —---= — = —00. (x,y)^(x0,y0) X2 + y2 -9 0-(x,y)eL2 Odtud plyne, že limita lim(x,y)^.(Xo,y0) f(x,y) neexistuje. Existují pouze limity po cestách ležících uvnitř a vně kružnice K. PC-graf funkce / je uveden na obrázcích 10.20 a 10.21. 11.2. Výpočty Maplu můžeme použít i při určování existence, resp. neexistence limity funkce dvou proměnných. Následující příklady ilustrují možnosti Maplu při procvičování některých metod určování limit funkce. Např. u funkce dvou proměnných se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoho způsoby: po přímkách, parabolách či obecných množinách. K důkazu neexistence limity přitom stačí najít dvě různé hodnoty limit vzhledem k různým množinám. Maple nám zde pomáhá při výpočtu volbou y = (p(x) (pro vhodné cp) získaných limit funkce jedné proměnné (př. 2.1 a př. 2.2). Maple nám může asistovat i při důkazu neexistence a příp. i existence 154 Výpočty limit v Maplu limity funkce dvou proměnných ve vlastním bodě [xq, yol zavedením polárních souřadnic (př. 2.3 apř. 2.4). Jinou možností řešení limit funkcí dvou proměnných je nejdříve určit graf funkce, podle grafu vyslovit hypotézu o existenci, resp. neexistenci a tuto dokázat (př. 2.5). K tomu lze efektivně, ale s jistou opatrností, využít PC-grafů uvažovaných funkcí. Některé příklady z této části již byly použity v části Ilustrace, zde je však na rozdíl od předcházející části kladen důraz na výpočetní aspekt problému. Příklad 11.8. Určete (x,j)^(o,o) x2 + y2' Zkoumanou funkci označme g (x, y). Za množiny, vzhledem k nimž budeme limity počítat, zvolme přímky. Pokud se k limitnímu bodu [0, 0] blížíme po přímce y = 0, dostáváme x2 L\ = lim g(x, 0) = lim — = 1, x^O x^Oxz ale pokud se k limitnímu bodu blížíme podél přímky y = x 2 2 x — x L2 = lim g(x, x) = lim —--- = 0. x^0 x^0 x — x Tedy L\ ^ L2, t.j. výsledek závisí na cestě, po které se blížíme k limitnímu bodu, a proto uvažovaná funkce g nemá v bodě [0, 0] limitu. Přitom bylo použito následujících příkazů: > g:=(x,y)->(x"2-y"2)/ (x"2+y"2) ; 2 2 g := (x,y) ——- xz + yz > Ll:=Limit(g(x,0), x=0)=limit(g (x,0), x=0) ; Ll := lim 1 = 1 x^0 > L2 : =Limit (g (x, x) , x=0) =limit (g (x, x) , x=0) ; L2 := lim 0 = 0 x^0 Výpočty 155 Poznámka 11.1. Pozor na nesprávné použití Maplu při výpočtech limit! Příkazem: > limit(limit(g(x, y) , y=0), x=0); 1 nepočítáme limitu dané funkce v bodě [0, 0], ale pouze limitu podél osy x. Správné použití příkazu limit k výpočtu hledané limity je: > limit(g(x,y), {x=0,y=0}); undefined Zde tedy dostáváme, že limita neexistuje. U všech dalších příkladů uvedených v této části však Maple není přímým výpočtem schopen o existenci limity rozhodnout. Příklad 11.9. Určete limitu funkce 2 xy xl + y4 v bodě [0, 0]. Budeme-li se k bodu [0, 0] blížit po přímkách y = kx, dostáváme k2x3 k2x lim —-—- = lim-—— = 0. x^o x2 + k4x4 x^o 1 + k4x2 Výsledek nezávisí na k, pro jakoukoli přímku dostáváme stejný výsledek. To však k existenci limity nestačí. Položme x = ky2. Dostáváme ky4 k lim o k2y4 + y4 k2 + ť což je výsledek závisející na konstantě k. Limita tedy neexistuje, pro různé cesty dostáváme různé výsledky. Realizace v Maplu: > f:=(x,y)->x*y"2/(x"2+y"4); 2 x y f := (x,y) x2 + yA > Limit(f(x,k*x), x=0)=limit(f(x,k*x),x=0); x3k2 lim —--—- = 0 x^o x2 +k4x4 156 Výpočty limit v Maplu > Limit(f(k*y"2,y),y=0)=limit(f(k*y"2,y),y=0); k y4 k hm ——--- = —-, y^o k2y4 + y4 k2 + í Príklad 11.10. Rozhodnete, zda existuje limita 2xy lim (x,j)^(o,o) x + yz Zavedením polárních souřadnic dostáváme 2xy 2r2sin(0)cos(0) . hm —-- = hm---= sin(20). (x,j)^(0,0) x + y2 r^o+ r2 Protože výsledek závisí na f:=(x,y)->(2*x*y)/(x"2+y"2); xy x2 + yz > Limit(subs(x=r*cos(phi) , y=r*sin(phi), f(x,y)), > r=0, right)= limit(simplify(subs(x=r*cos(phi), > y=r*sin(phi), f(x,y))), r=0, right); r2cos(0) sin(0) lim 2 —------- = 2cos(0) sin(0) r^o+ rL cos( + coť (j>) = 0. (x,y)^(p,o) x2 + y2 r^o+r2(sin20+ COS20) r^0+ Výpočty 157 Výpočet: > f:=(x,y)->(x"3+y"3)/(x"2+y"2); x3 + y3 f := (x,y) -> xz + yz > Limit(subs(x=r*cos(phi) , y=r*sin(phi), f(x,y)), > r=0, right)= limit(simplify(subs(x=r*cos(phi), > y=r*sin(phi), f(x,y))), r=0, right); r3 cos(

) + r sin(q> )z a protože funkce g( g:=(x,y)->x"2*y/(x"2+y"2); > plot3d(g, -0.003. .0 . 003, -0.003. .0 . 003, > orientation=[-57, 38] , axes=framed, labels=[x, y, ' z' ] ) ; Z toho, že funkční hodnoty se „blíží" nule, lze usoudit, že limita funkce v bodě [0, 0] patrně existuje a je rovna nule. Tuto hypotézu dále podpořme výpočtem limit po přímkách y = k x a parabolách y = k x2: g := (x,y) -> ——- xz + yz > Ll:=limit(g(x,k*x), x=0); Ll := 0 > L2 :=limit (g (x, k*x"2) , x=0) ; L2 := 0 Jestliže tedy limita existuje, musí být rovna 0. Proveďme transformaci do polárních souřadnic a existenci limity ověřme podle stejné věty jako v předcházejícím příkladě: x2y r2 cos2()) =0 (x,j)^(0,0) xz + yz r^0+ rz r^0+ a protože funkce cos2(0) sin(0) je ohraničená, je hodnota limity rovna nule. Výpočty 159 > Limit(subs(x=r*cos(phi) , y=r*sin(phi), g(x,y)), > r=0, right)= limit(subs(x=r*cos(phi) , y=r*sin (phi), > g(x,y)), r=0, right); r3 cos(0 )2 sin(0) lim ~o-TTTo-o ■ , mi = 0 r^o+ rl cos(4>) + r sin(q> )z Příklad 11.13. Určete sin(x + y) hm -. (jc,y)->(0,0) x + y > f:=(x,y)->sin(x+y)/(x+y);xl:=0:yl:=0: sin(x + y ) / := (x, y) -> x + y > Limit(f(x,yl+k*(x-xl)),x=xl)= > limit(f(x,yl+k*(x-xl)),x=xl); sin(x + kx) lim-= 1 x^o x + kx Všimněme si, že / je složená z funkcí FaG, kde: > F: = (x,y)->x+y;G:=t->sin (t)/t; F := (x, y) -> x +y siní t) G := t -> —— t > (G@F) (x,y); sin(x + y) x + y > Limit (G(t) , t=0) =limit (G(t) ,t=0) ; r sin(ř) lim-= 1 f->0 t V našem případě limity funkcí FaG existují a tedy podle věty o limitě složené funkce je limita rovna jedné. > plot3d(f(x,y), x=-2*Pi..2*Pi, y=-2*Pi..2*Pi, > orientation=[162,36], axes=framed, style=patch, > labels= [x,y,'z'], tickmarks=[7,7,3]); 160 Výpočty limit v Maplu obr. 11.9 Příklad 11.14. Určete x2 + y2 — 2x — 2y lim (jc,y)->(i,-i) x2 + y2 -2x+ 2y + 2 > f:=(x,y)->(x"2+y"2-2*x-2*y)/(x"2+y"2-2*x+2*y+2) ; > xl:=1:yl:=-l: , , . x2 + y2 - 2x - 2y f := (x, y) -> x2 + y2 -2x + 2y + 2 > Limit(f(x,yl+k*(x-xl)),x=xl)= > limit(f(x,yl+k*(x-xl)),x=xl); x2 + (-1 + k(x - l))2-2x + 2- 2k(x - 1) oo hm ►i x2 + (-1 + k(x - l))2 - 2x + 2k (x - 1) signum(1 +k2) Z toho plyne, že pokud se k limitnímu bodu blížíme po přímkách, dostáváme limitu rovnu oo, neboť sgn(l + k2) = 1. K důkazu existence limity využijeme věty o limitě součinu funkcí: > Cit:=numer(f(x,y)); Cit := x2 + y2 — 2x — 2 y Výpočty 161 > I jmen : =l/denom (f (x, y) ) ; 1 Ijmen — x2 + y2 _ 2x + 2y + 2 > (x-1)"2 +(y-1)"2=expand((x-1)"2+ (y+1)"2); (x - 1 )2 + (y - 1 )2 = x2 + y2 - 2x + 2y + 2 Jmenovatel denom (f (x, y) ) je vždy kladný a (x,y)->(\ -i) x2 + y2 - 2x + 2y + 2 lim(x ■v)^(i_i) x2 + y2 — 2x — 2y = 2 a tedy součin je roven oo (obr. 11.10). > plot3d(f(x,y), x=0.5..1.5, y=-l.7..-0.5,view=-l..200, > style=patchcontour, grid=[50,50], axes=boxed, > labels=[x,y,'z'] , tickmarks=[5, 6, 2 ] ) ; obr. 11.10 Kapitola 12 Derivace funkce v Maplu V této kapitole je z výpočetního hlediska velmi efektivní použití počítačového systému k přímým výpočtům parciálních derivací, zejména při kontrole výsledků náročnějších výpočtů. Pomocí PC-grafů můžeme také znázorňovat geometrický význam parciálních a směrových derivací. 12.1. Parciální derivace 1. řádu Pomocí Maplu lze Definici 3.1 zapsat následujícím způsobem: > Diff (f (x[0] ,y [0] ) ,x) = > Limit ( (f(x,y[0] )-f(x[0],y[0] ) )/(x-x[0]) , x=x[0]); — f (x0, y0) = hm - óx x^x0 x — Xq > Diff(f(x[0],y[0]),y)= > Limit((f(x[0],y)-f(x[0],y[0]))/(y-y [0]), y=y[0]); 3 , . , ľ f (xo, y) -f(x0, yo) — f (x0, y0) = hm - oy y^yo y - yo Označíme-li x — xq = h a y — yo = k, můžeme použít analogického zápisu: > Diff (f (x[0] ,y [0] ) ,x) = > Limit ( (f (x[0]+h,y [0] )-f(x[0] ,y[0] )) /h, h=0); 3 , ľ f (x0 + h, y0) - f (*o> yo) — f(x0, yo) = hm--- óx h^0 h > Diff(f(x[0],y[0]),y)= > Limit ( (f(x[0] ,y[0]+k)-f(x[0] ,y[0] ))/k, k=0); 162 Parciální derivace 1. řádu 163 3 c, , r f (*o> y0 + k) - f (x0, y0) — f (x0, y0) = lim--- óy k^o k Příklad 12.1. Určete parciální derivace funkce f(x,y) = x4y2 — xy +1 v obecném bodě [x, y] i) podle definice. > f:=(x,y)->x"4*y"2-x*y+7; / := (x,y) -+ x4y2-xy +7 > Limit((f(x+h,y)-f(x,y))/h, h=0):"=value("); (x + h)4 y2 - (x + h)y - x4 y2 + x y , Um--—---—---- = y (4yx3 - 1) h^o h > Limit((f(x,y+k)-f(x,y))/k, k=0):"=value("); x4 (y + k)2 - x (y + k) - x4 y2 + x y , lim——---—------ =x (2yx3 - 1) k^o k Tedy ^-(X,y) = y(4yx3 -1) óx a d-f(x,y)=x(2yx3 - 1). dy ii) Využitím příkazu dif f. Maple umožňuje i přímý výpočet parciálních derivací. Ten využíváme tehdy, pokud je parciální derivování dostatečně procvičeno a rutinními výpočty se nechceme dále zdržovat, případně ke kontrole správnosti výpočtu. K symbolickému derivování používáme příkazu diff pro výrazy a funkčního operátoru D pro funkce1: > Diff(f(x,y),x):"=value("); 3 — (X4y2-xy + l) = 4x3y2-y óx > factor ("); — (X4y2-Xy+l)=y(4yX3-l) óx 1 výraz a funkce ve smyslu základních datových struktur Maplu 164 Derivace funkce v Maplu > Diff(f(x,y),y) :"=factor(value (")); — (x4y2-xy+l)=x(2yx3-l) > D[l] (f) ; (x,y) -> Ax3y2-y > factor (D[l] (f) (x,y) ); y(Ayx3 1) > factor (D[2] (f) (x,y) ); x (2y x3 1) Geometrický význam parciálních derivací Grafických možností Maplu využijeme nyní i k znázornění geometrického významu parciálních derivací. PC-grafem znázorníme geometrický význam parciálni derivace funkce f (x, y) = x + y2 — x3 y podle x v bodě [1,2]. Generujme postupně PC-graf funkce / (pl), rovinu p; y = 2 (p2, za využití příkazu drawplane z knihovny mvcalp), křivku, která je průsečnicí roviny p s grafem funkce / (p3) a konečně tečnu k této křivce v bodě [1,2] (p4), ležící v rovině p. Parciální derivace funkce / podle x udává směrnici této tečny (smerx). Jednotlivé PC-grafy ne vykreslujeme na obrazovku, v závěru je pomocí příkazu display3d složíme do výsledného PC-grafu (obr. 12.1): > f:= (x,y)->x+y"2-x"3*y; / := (x, y) -> x + y2-x3 y > bod:=[1,2] ; bod := [1,2] > pl:=plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-3..3,axes=framed): > with(mvcalp): > with(plots): Parciální derivace 1. řádu 165 > p2:=drawplane(y=bod[2],x=-2..2, z=-10..20, > axes=framed): > p3:=plot3d([x,bod[2],f(x,bod[2])],x=-2..2,y=-3..3, > axes=framed, thickness=3, color=black): > smerx:=limit((f(bod[1]+h, bod[2])-f(bod[1],bod[2]))/h, > h=0); smerx := — 5 > p4:=spacecurve(evalm([bod[1] , bod[2], > f(bod[l],bod[2])]+t*[1,0,smerx]), > t=-3..1, color=black, thickness=3): > display3d({pl,p2,p3,p4}, labels=[x,y,z]) ; obr. 12.1 obr. 12.2 Obdobně generujme i PC-graf znázorňující parciální derivaci podle y. Zkoumaná funkce je zde uvedena z jiného úhlu pohledu (obr. 12.2): > g2:=drawplane(x=bod[1],y=-3..3,z=-10..20): > g3:=plot3d([bod[l],y,f(bod[l],y)], x=-2..2, y=-3..3, > thickness=3, color=black): > smery:=limit((f(bod[1] , bod[2]+h)-f(bod[1],bod[2]))/h, > h=0); smery := 3 > g4:=spacecurve(evalm([bod[1],bod[2],f(bod[1],bod[2])] > +t*[0,1,smery]), t=-4..1, color=black, thickness=3): > display3d({pl,g2,g3,g4}, labels= [x,y,z], > orientation=[129,-131]); 166 Derivace funkce v Maplu Uvedené postupy jsou univerzální a umožňují generovat tento PC-graf pro libovolnou funkci, která má v zadaném bodě parciální derivace pouze změnou zadání funkce a souřadnic bodu, ve kterém parciální derivace počítáme. Samostatné generování těchto PC-grafů studenty v počítačové laboratoři je vhodným cvičením na pochopení geometrického významu parciálních derivací. Skutečnost, že z existence parciálních derivací funkce f(x,y)v bodě [xo, yo] neplyne spojitost v tomto bodě, ilustruje následující příklad: Příklad 12.2. Funkce fix, y) = - ^ pro(x,y)#(0,0) 0 pro(x,y) = (0,0) > f:=(x,y)->if (x=0 and y=0) then 0 > else (x"4*y"2)/(x"8+y"4) fi: má v bodě [0, 0] obě parciální derivace (rovny nule): > limit ( (f(x, 0)-f (0,0) )/(x-0) , x=0); 0 > limit ((f (0,y)-f (0,0))/(y-0), x=0) ; 0 a není zde spojitá, neboť blížíme-li se k bodu [0, 0] po parabolách y = kx2, dostáváme: > Limit(f(x, k*x"2), x=0)=limit(f(x, k*x"2), x=0); xH2 k2 lim To však znamená, že lim(xjj)^(ojo) f(x,y) neexistuje a tedy funkce / není v bodě [0, 0] spojitá (obr. 12.3). > plot3d(f, -1..1, -1..1, style=patchcontour, > axes=boxed, grid=[100, 100] , orientation=[-45, 35] , > contours=7, labels=[x,y,'z']); 12.2. Derivace vyšších řádů K výpočtu derivací vyšších řádů se používá stejného příkazu jako pro derivaci prvního řádu, navíc pouze zadáme, kolikrát podle které proměnné derivujeme. Efektivnost výpočtu ilustrujme na následujícím příkladě: Derivace vyšších řádů 167 Příklad 12.3. Ukažte, že pro funkci 1 u = v7*2 + y2 + z2 platí UXX + Uyy + uzz = 0. > u:= (x,y,z)->l/sqrt(x"2+y"2 + z"2) ; u := (x, y,z) -> sqrt(x2 + y2 + z2) > st := time(): > diff(u(x,y,z),x$2)+diff(u(x,y,z),y$2)+ > diff(u(x,y,z),z$2); x2 1 y2 + 3----h (x2 + y2+ z2)5/2 (x2+ y2+ z2)3/2 (x2 + y2 + z2 )5/2 72 3 (x2 + y2 + z2)5/2 simplify(") ; 0 168 Derivace funkce v Maplu Tím je zkoumaná rovnost ověřena. Dobu výpočtu v sekundách určíme příkazem: > time() -st; .050 Následující příklad ukazuje, že bez předpokladu spojitosti smíšených parciálních derivací fxy, fyx v bodě [x0, y0] rovnost fxy(x0, y o) = fyx(x0, y0) obecně neplatí. Příklad 12.4. Nechť je funkce / dána předpisem fix, y) = - 3 3 xy —x y x2+y2 0 pro(x,v)#(0, 0), pro ix,y) = (0, 0). Ukažte, že pro tuto funkci je fxy (0, 0) ^ fyx (0, 0). Počítejme postupně parciální derivace 1. řádu fxix, y) = ■ 2xit:£r, (x,y)#(o,o), x2+y2 (xz+yzY 0 (x,y) = (0, 0). Pro výpočet fx(0, 0) jsme použili definice fx(0, 0) = UmA_,0 /(A-0)~/(0-0). Obdobně fyix, y) = ■ 3xy2-*3 _ 2y(xy3-x3y) , x , (() ™ x2+y2 (x2+y2)2 ' Kx> St ?= VJ,V), 0 (x,y) = (0,0). Využitím těchto výsledků plyne z definice parciálních derivací 2. řádu fxyi0, 0) = lim h^0 fyx(0, 0) = lim h^0 fxiO, h)-fx(0, 0) h fyih,0)-fyj0, 0) h h-0 = lim h^0 h = 1, = lim -h-0 h^0 h = -1. Tedy pro tuto funkci je fxy (0, 0) ^ fyx (0, 0). Výpočet: > f:=(x,y)->if (x=0 and y=0) then 0 > else (x*y"3-x"3*y)/(x"2+y"2) fi: > D[l] (f) (x,y) ; y3 - 3x2 y ^ (x y3 - x3 y)x x2 + y2 (x2 + y2)2 Směrové derivace 169 > D[2] (f) (x,y) ; 3xy2 - x3 ^ (xy3 - x3 y)y x2 + y2 (x2 + y2)2 > fxO:=limit((f(h,0)-f(O,0))/h, h=0); fxO := O > fyO:=limit((f(0,h)-f(O,0))/h, h=0); > limit((D[1](f)(0,h)-fxO)/h, h=0); 1 > limit((D[2](f)(h,0)-fyO)/h, h=0); -1 Počítačem generujme PC-graf funkce, kterou si jinak umíme jen velmi obtížně představit. Tento PC-graf je zajímavý i tím, že z něj není vidět, že smíšené parciální derivace nejsou záměnné (obr. 12.4): > plot3d(f, -3..3, -3..3, style=patch, axes=boxed, > labels=[x,y,'z']) ; 12.3. Směrové derivace Na rozdíl od parciálních derivací nemáme v Maplu k dispozici přímý příkaz k výpočtu směrových derivací. K výpočtu tedy používáme přímo Definice 3.3. V Maplu zápis vypadá takto: > Limit ( (f(x[0]+t*u[l] , y[0]+t*u[2] )-f (x[0],y[0] ) )/t, > t=0); f(x0+tUuyo + tU2)-f(xo,yo) lim- í^O t Příklad 12.5. Určete směrovou derivaci funkce g(x, y) = x2 + y2 — x cos(jry) — y sin(jrx) 170 Derivace funkce v Maplu obr. 12.4 v bodě [—1, 2] ve směru vektoru u = (2/s/(5), l/s/{5)). Nejdříve definujme funkci g(x, y): > g:=(x,y)->x"2+y"2-x*cos(Pi*y)-y*sin(Pi*x) ; g := (x, y) -> x2 + y2 — x cos( jr y) — y sin( jr x ) a nyní aplikujme definici: > Dg(-1,2):=limit((g(-l+t*2/sqrt(5), > 2+t*l/sqrt(5))-g(-l,2))/t, t=0); 2^4 r Dg(-1,2) :=--V5 + -jrV5 Ke znázornění geometrického významu směrových derivací použijeme podobného postupu jako u derivací parciálních. Generování tohoto PC-grafu je opět vhodným cvičením na pochopení geometrického významu a definice směrových derivací. PC-grafem znázorníme směrovou derivaci funkce f(x,y) = x2 + y2 ve směru vektoru u = (1, 1) v bodě [1, 1]. Tvorbu rozdělme do několika částí, postupně generujme PC-graf funkce / (s 1), rovinu y = x (s 2, znázorňuje směr vektoru u, v tomto případě ji zadáváme parametricky), křivku, která je průsečnicí roviny s grafem funkce (s3, tedy funkci jedné proměnné (pit), jejíž derivaci hledáme) a konečně tečnu k (pit) v bodě [1, 1] (s4). Výsledný PC-graf je znázorněn na obrázku 12.5. Směrové derivace 171 obr. 12.5 > f:=(x,y)->x"2+y"2; f:=(x,y)^x2 + y2 > bod:=[1,1] ; bod := [1, 1] > u:=[l,l]; k:=[1,1] > sl:=plot3d(f(x,y), x=-3..3, y=-3..3): > s2:=plot3d([bod[l]+u[l]*t, bod[2]+u[2]*t,z] , t=-4..2, > z=-5..18, grid=[5,5]): > with(plots): > s3:=spacecurve([bod[l]+u[l] *t, bod[2]+u[2]*t, > f(bod[l]+u[l]*t, bod[2]+u[2]*t)] , t=-4..2, > thickness=3, color=black): > smer:=limit((f(bod[l]+t*u[1] , 172 Derivace funkce v Maplu > bod[2]+t*u[2])-f(bod[l], bod[2]))/t, t=0); smer := 4 > s4:=spacecurve(evalm([bod[1] , bod[2] , f(bod[l], > bod[2])]+t*[u[1],u[2],smer]), t=-2..2, thickness=3) : > display3d({sl,s2,s3,s4}, scaling=constrained, > orientation=[-28,-170], labels=[x,y,z], axes=framed); Změnou zadání funkce, bodu (bod) a vektoru u (u) můžeme generovat další PC-grafy. V příkladu 12.2 jsme ukázali, že z existence parciálních derivací funkce / v bodě [xo, yo] neplyne spojitost funkce v tomto bodě. Nyní na stejné funkci ukážeme, že ani existence směrové derivace v bodě [xo, yo] ve směru libovolného vektoru u není postačující pro spojitost. Příklad 12.6. Ukažte, že funkce / definovaná předpisem fix, y) = - ^ pro (x, y) #[0,0] 0 pro (x, y) = [0,0] má v bodě [0, 0] směrovou derivaci ve směru libovolného vektoru m e V2 a přesto není v tomto bodě spojitá. (V2 je označení pro zaměření 2-rozměrného euklidovského prostoru.) Je-li 0 # u = (ui,U2) e V2 libovolný vektor, pak podle definice směrové derivace platí 1 ru4 ■ t2u2 /„(0,0) = lim-[/(0 + řMi,0 + řM2)-/(0,0)] = lim 1 2 - t^Ot"" t^0t(t8u\+t4U^) = lim A * 2 . = 0. t^o tAu\ + u\ > f:=(x,y)->if (x=0 and y=0) then 0 > else (x"4*y"2)/(x"8+y"4) fi: > Limit((f(0+t*u[l], 0+t*u[2])-f(0,0))/t, t=0)= > limit((f(0+t*u[l], 0+t*u[2])-f(0,0))/t, t=0); ru\4U22 lim ——---—- = 0 í^0 t% Mi8 + t4U24 Přitom v příkladu 12.2 jsem ukázali, že funkce / není v bodě [0, 0] spojitá, viz také příklad 3.5 a obr. 12.3. Parciální derivace složených funkcí 173 12.4. Parciální derivace složených funkcí Výpočty parciálních derivací složené funkce dvou proměnných jsou úkolem poměrně početně náročným, v učitelském studiu dnes probíráme pouze výpočet parciální derivace složené funkce prvního řádu. Ukážeme zde možnost, jak tyto výpočty značně zjednodušit za pomoci počítače. Pomocí Maplu lze vzorce pro parciální derivace 1. řádu složené funkce dvou proměnných v obecném bodě [u, v] (Věta 5.1) zapsat takto: > dFdx:=Diff(f(u,v),u)*Diff(u (x,y) ,x) + > Diff(f(u,v),v)*Diff(v (x,y) ,x) ; dFdx:= (J^f(u,v)^J (J^-u(x, y)^j + (J^-f(u, v^j v(x'? > dFdy:=Diff(f(u,v),u)*Diff(u (x,y) ,y) + > Diff (f (u,v) ,v)*Diff (v(x,y) ,y) ; dFdy:= (^-f(u,v)^j (J^-u(x, y)^ + (J^-f(u, v)^J (^-v(x,y)^j Úkolem pro studenty do počítačové laboratoře je využití těchto vzorců v procedurách pro výpočet parciálních derivací složených funkcí: > dzdl:=proc(z,uu,vv,u,v,x,y) > diff(z,u)*diff(uu,x)+diff(z,v)*diff(vv,x); > end: > dzd2:=proc(z,uu,vv,u,v,x,y) > diff(z,u)*diff(uu,y)+diff(z,v)*diff(vv,y); > end: Procedury dzdl a dzd2 určují parciální derivaci 1. řádu složené funkce dvou proměnných. Parametry procedury jsou: z je funkce z = f(u, v), uu je funkce u(x, y), vv je funkce v(x, y) a u, v, x a y jsou proměnné, ve kterých jsou funkce zapsány (můžeme použít libovolné označení proměnných, viz příklad 12.8). Procedury můžeme použít i obecně na funkce z(u, v), u(x, y) a v(x, y), přičemž dzdl počítá parciální derivaci podle první proměnné (zde podle x) a dzd2 podle 2. proměnné (y): > dzdl (z (u,v), u(x,y), v(x,y), u,v,x,y); 174 Derivace funkce v Maplu > dzd2(z(u,v), u(x,y), v(x,y), u,v,x,y); Příklad 12.7. Je dána funkce z = e" sin v, kde u = xy a v = x + y. Určete zx azy. Použitím procedur dzdl a dzd2 dostáváme: > zx:=dzdl(exp(u)*sin(v) , x*y, x+y, u,v,x,y ); zx := e" sin( v) y + e" cos( v) > zy:=dzd2(exp(u)*sin(v) , x*y, x+y, u,v,x,y ); zy := e" sin( v) x + e" cos( t>) Dosazením xauav dostáváme: > zx:=subs(u=x*y, v=x+y, zx); zx := éxy) sin(x + y) y + e(xy) cos(x + y) > zy:=subs(u=x*y, v=x+y, zy); zy := éxy) sin(x + y )x + éxy) cos(x + y) Poznámka 12.1. Pro řešení příkladu 12.7 můžeme použít i přímého výpočtu: > u:= (x,y)->x*y;v:= (x.y)->x+y; u := (x, y) x y v := x.y —>• x + y > vyraz:=exp(u(x,y))*sin(v(x,y)); vyraz := éxy) sin(x + y) > zx:=diff(vyraz,x); zx := y éxy) sin(x + y) + éxy) cos(x + y) Parciální derivace složených funkcí 175 > zy:=diff(vyraz,y); zy := xéxy) sin(x + y) + éxy) cos(x + y) V tomto případě jsou však vzorce pro výpočet parciálních derivací složené funkce „skryty" a tento postup je vhodný pouze pro kontrolu správnosti výpočtu. Příklad 12.8. Transformujte rovnici yfxix,y) -xfy(x,y) = 0 do polárních souřadnic

alias(z=z(r,phi)); I,Z (označení z=z (r, phi) bylo použito pro zjednodušení Mapleovského výstupu) > zx:=dzdl(z, sqrt(x"2+y"2), arctan(y/x), r,phi,x,y); zx :- > zy:=dzd2(z, sqrt(x"2+y"2), arctan(y/x), r,phi,x,y); zľ •= -f== + —;-tt , fl I ^, V * / Což po úpravě dává rovnici: > simplify(y*zx-x*zy=0); Poznámka 12.2. Řešení příkladu 12.8 opět za použití přímého výpočtu: > vyraz:=z(sqrt(x"2+y"2) , arctan(y/x)); vyraz := z (^fx2 + y2, arctan ^—^ 176 Derivace funkce v Maplu > zx:=diff(vyraz,x); Di(z) (y/*2 + y2, arctan x D2(z) (y' x2 + y2, arctan ľ :=--------r---- V*2 + y2 v2 A , y > zy:=diff(vyraz,y); A (z) (V*2 + y2, arctan y D2(z) (V*2 + y2, arctan z}; :=-/ 0 0---+-7-K-~— Označíme-li Diiz) (jx2 + y2, arctan (^)) = ^ a D2(z) x2 + y2, arctan (^)) = 0 dostáváme: > zx:=subs({op(1,op(1,zy))= > Diff (z,r),op (1,op (2,zy) )=Diff(z,phi) }, zx); > zy:=subs({op(1,op(1,zy))= > Diff (z,r),op (1,op (2,zy) )=Diff(z,phi) }, zy) (dr Z) y ,__"y zľ •= -f== + —;--2 v ('15 simplify(y*zx-x*zy=0); Podobným způsobem je možno naprogramovat i procedury pro výpočet parciálních derivací druhého řádu: > dzddl:=proc(z,uu,vv,u,v,x,y) > diff(z,u,u)*diff(uu,x)"2+2*diff(z, u,v)*diff(vv,x)* > diff(uu,x)+diff(z,v,v)*diff(vv, x)"2+diff(z, u)* Parciální derivace složených funkcí 177 > diff(uu,x,x)+diff(z,v)*diff(vv,x,x); > end: > dzdd2:=proc(z,uu,vv,u,v,x,y) > diff(z,u,u)*diff(uu,y)"2+2*diff(z,u,v)*diff(vv,y)* > diff(uu,y)+diff(z,v,v)*diff(vv,y)"2+diff(z,u)* > diff(uu, y, y)+diff(z,v)*diff(vv,y,y); > end: > dzddl2:=proc(z,uu,vv,u,v,x,y) > diff(z,u,u)*diff(uu,x)*diff(uu,y)+diff(z,u,v)* > diff(vv,y)*diff(uu,x)+diff(z,u,v)*diff(vv,x)* > diff(uu,y)+diff(z,v,v)*diff(vv,x)*diff(vv,y)+ > diff(z,u)*diff(uu,x,y)+diff(z,v)*diff(vv,x,y); Zde dzddl je procedura pro výpočet druhé parciální derivace podle 1. proměnné, dzdd2 pro výpočet druhé parciální derivace podle druhé proměnné a dzddl 2 pro výpočet smíšené parciální derivace, přičemž význam parametrů procedur je stejný jako u procedur pro výpočet prvních derivací. Nyní si pomocí těchto procedur připomeňme vzorce pro parciální derivace složené funkce 2. řádu v obecném bodě [u, v] (Věta 5.2): > alias(z=z(u,v)); > end: h Z > dzddl(z, u(x,y), v(x,y), u,v,x,y); — u(x,y) ) > dzdd2 (z, u(x,y), v(x,y), u,v,x,y); 178 Derivace funkce v Maplu (&z) O*+2 (žvt'-y>) (^u<",')) +&) (Ir^^+fcB (řu dzddl2(z, u(x,y), v(x,y), u,v,x,y); + (&-Z) (lV(X'y)) (lyV(X-y)) + (lZ) (áU(l',')) Možnosti nových procedur ilustrujeme na následujících příkladech. Příklad 12.9. Transformujte do nových nezávisle proměnných u = x + ay, v = x — ay rovnici @ Zxx Zyy — 0. Využitím procedur dzddl a dzdd2 dostáváme: > alias(z=z(u,v)); I,Z > zxx:=dzddl(z, x+a*y, x-a*y, u,v,x,y); OT:= (hz) + 2(^í-vz) + (hz) > zyy:=dzdd2(z, x+a*y, x-a*y, u,v,x,y); zyy := (íš z)a1-2 (^Tvz)al + {bz) "2 Parciální derivace složených funkcí 179 simplify(a"2*zxx-zyy=0); / i2 du dv 4 I ——z] a2 = 0 Příklad 12.10. Transformujte rovnici x2Zxx + y2zyy - 2xyzxy + xzx + yzy = 0 do nezávisle proměnných u = xy a.v = x/y. > zx:=dzdl(z, x*y, x/y, u, v, x, y) ; > zy:=dzd2(z, x*y, x/y,u,v,x,y) ; zy '.= I —— z I x 3 .\. x .3« / y2 zxx:=dzddl(z, x*y,x/y,u,v,x,y); x9w2~7 ^ ' V3u 3w ' y2 > zyy:=dzdd2(z, x*y,x/y,u,v,x,y); ":=ltf!J'"2—?—+^3—+2 }'3 zxy:=dzddl2(z, x*y,x/y,u,v,x,y); zxy :=[-—: z) y x----+ — z x du2/ " y3 \du / y > tr:=expand(simplify(x"2*zxx+y"2*zyy- > 2*x*y*zxy+x*zx+y*zy=0)); 2 X2 tr := 4-V"+ 4 Vď" 7 = 0 y2 y 180 Derivace funkce v Maplu Dalšími úpravami dostáváme: > tr:=factor(student[powsubs](x/y=v,tr)); > tr/(4*v); Příklad 12.11. Transformujte rovnici Zxx + Zyy — 0 do polárních souřadnic x = r cos alias(z=z(x,y)); h z > zr:=dzdl(z, r*cos (phi) , r*sin(phi), x,y,r,phi); zr := (J^ z^j cos( 0) + (J^- z^j sin( 0) > zrr : =dzddl (z, r*cos (phi) , r*sin(phi), x,y,r,phi); ( 92 \ 2 ( 32 \ / 32 \ 2 Zrr := l ěx2" Z) COS(^ +2 l 3^3^ Z) sin(0)cos(0) + l ^2 z J sin(0) > zf f : =dzdd2 (z, r*cos (phi) , r*sin(phi), x,y,r,phi); zjf:= (£2 z) r2sin(0)2-2 (t^*) r2 cos(0) sin(0) Vynásobíme-li vzorec pro zrr výrazem r2 a sečteme se vzorcem pro z^, dostáváme: > r2:=r"2*Diff(z,r,r)+Diff (z, phi, phi) = > simplify(r"2*zrr+zff); Parciální derivace složených funkcí 181 r2 :=r2 I — z I + I —7 z I = a2 \ / 3^ v3r2 ) \df2 y r2 z)+ {hz) r2-{-Lz)rco^}- z)r sin( 0} Dosazením a úpravami dále dostáváme: > r2:=simplify(r2, [diff(z,x,x)+diff(z,y,y)=0, > Diff(z,r)]=zr); > lhs (r2) -rhs (r2) =0; r2 &)+tír)+rGH=o Kapitola 13 Aproximace funkce v Maplu V této kapitole se opět nabízí bohaté využití jak grafických, tak i výpočetních možností počítačového systému. Postupně si všimneme zejména grafických možností při ilustraci pojmů diferencovatelná funkce a tečná rovina, výpočetních možností při určování diferenciálů a při přibližných výpočtech pomocí diferenciálu. Na závěr použijeme počítače při hledání kmenové funkce. 13.1. Diferencovatelná funkce Pomocí počítačové grafiky nyní ilustrujme pojem diferencovatelná funkce a vztahy mezi diferencovatelností, spojitostí a existencí parciálních derivací. Příklad 13.1. Funkce f(x,y) = arctan(xy) je diferencovatelná v bodě [0,0] (obr. 13.1), protože má v tomto bodě spojité parciální derivace (Věta 4.3). Ověřme spojitost parciálních derivací: > f:=(x,y) -> arctan(x*y); > plot3d(f(x,y),x=-3..3,y=-3..3,axes=framed, > grid=[2 0,20],orientation=[-50,40],labels=[x,y,z], > style=patch); / := (x, y) -> arctan(x y) > dx:=D[l] (f) ; dx := (x, y) -> 1 +x2y2 182 Diferencovatelná funkce 183 3 -3 obr. 13.1 > dx(0,0); 0 > dy:=D[2] (f) ; X dy := (x,y) ^ ——— 1 + xl yl > dy(0,0); 0 Limity lim(Xjj)^(o,o) 77^2 a lim(Xjj)^(o,o) určíme dosazením souřadnic li- mitního bodu: > limit(dx(x,y),{x=0, y=0}) ; 0 > limit(dy(x,y),{x=0, y=0}) ; 0 tedy limita parciálních derivací v bodě [0, 0] je rovna jejich funkční hodnotě v tomto bodě a parciální derivace jsou v bodě [0, 0] spojité. Ze samotné existence parciálních derivací funkce v bodě [xo, yo] však dife-rencovatelnost neplyne. 184 Aproximace funkce v Maplu Příklad 13.2. Funkce fix, y) = ■ 2 x y o, [x,v] # [O, 0] [x,y] = [0, 0] není v bodě [0, 0] diferencovatelná (PC-graf obr. 11.2), i když má v bodě [0, 0] obě parciální derivace (rovny nule). Tuto skutečnost ukážeme pomocí definice. Zjistěme nejprve, zda existují parciální derivace funkce / v bodě [0, 0]: > f:=(x,y)->if x=0 and y=0 then 0 > else (x"2*y)/(x"2+y"2) fi: > A:=subs(x=0,y=0,diff(f(x,y),x)); A :=0 > B:=subs (x=0,y=0,diff(f(x, y) , y)) ; B := 0 To znamená, že obě vyšetřované parciální derivace existují a jsou rovny nule. Má-li být funkce / diferencovatelná v bodě [0, 0], musí podle definice platit f(h, k) — /(0, 0) - (Oh + Ok) lim -, -= 0. (A,*)-K0,0) V/*2 + k2 Vypočtěme limitu na levé straně této rovnosti: > 1:=(f(h,k)-f(0, 0)-(A*h+B*k))/(sqrt(h"2+k"2) ); h2k l := (h2+k2y/2 Transformací do polárních souřadnic dostáváme: > Limit(subs(h=r*cos(phi), k=r*sin (phi), 1), r=0, > right)=simplify(limit(subs(h=r*cos(phi), > k=r*sin(phi), 1), r=0, right)); r3cos(0)2sin(0) 2 . lim -ttt=cos( f:=(x,y)->sqrt(x"2+y"2): > plot3d([r*cos(u), r*sin(u), r], r=0..3, u=0..2*Pi, > axes = framed,orientation=[45,60],shading=none, > tickmarks=[7,7,4],labels=[x,y,'z']); a /(O, 0) = 0, tj. funkce / je v bodě [0, 0] spojitá. Ukažme, že neexistují parciální derivace v bodě [0, 0]. Funkce / je symetrická vzhledem k proměnným x a y, proto stačí vyšetřit jen parciální derivaci podle x. Podle definice platí: > Limit ( (f (x, 0)-f (0, 0) )/(x-0) , x=0, left) = > limit((f(x,0)-f(0,0))/(x-0), x=0, left); obr. 13.2 Ověřme spojitost: platí lim Jx2 + y2 = 0 (jc,y)-»-(0,0) x^0- X 186 Aproximace funkce v Maplu > Limit ( (f (x, 0)-f (O, 0) ) / (x-0) , x=0, right) = > limit((f(x,0)-f(O,0))/(x-0), x=0, right); x^0+ x Jednostranné limity jsou různé, tedy parciální derivace podle x a y v bodě [0, 0] neexistují a funkce / není v tomto bodě diferencovatelná. Příklad 13.4. Funkce fix, y) = cos y - \x\ není diferencovatelná v bodech [0, y] (obr. 13.3). > f:= (x,y)->cos(y)-abs(x); / := (x, y) -> cos(y) - \x\ > plot3d(f(x,y),x=-5..5,y=-5..5,axes=framed, > grid=[31,29],orientation=[60,60],style=patch, > labels=[x,y,'z']); obr. 13.3 Ukažme, že v bodech [0, y] neexistují parciální derivace podle x: > Limit((f(x,y0)-f(0,y0))/x, x=0, left) = > limit((f(x,yO)-f(0, yO))/x, x=0, left); Diferencovatelná funkce 187 lim x^O- > Limit((f(x,yO)-f(O,yO))/x, x=0, right) = > limit((f(x,yO)-f(O, yO))/x, x=0, right); nm _ M = _i x^0+ X Limita zleva se nerovná limitě zprava a tedy parciální derivace podle x v bodech [0, y] neexistují. Příklad 13.5. Funkce je diferencovatelná v IR2 s výjimkou bodů osového kříže, tj. bodů [x, y], kde x = 0 nebo y = 0 (obr. 13.4). > f:=(x, y)->sqrt(abs(x*y)); f :=(x,y) ^ sqrt(Uyl) > plot3d(f(x,y), x=-3..3, y=-3..3, axes=framed, > style=patch, orientation=[70, 55] , tickmarks=[7, 7, 4 ] , > labels=[x,y,'z']) ; Najděme body, ve kterých existují a jsou spojité obě parciální derivace fx a fy. Podle Věty 4.3 je v takových bodech funkce diferencovatelná. Přímým derivováním dostaneme Tyto derivace jsou spojité na IR2 kromě obou os x = 0 a y = 0, které je třeba vyšetřit zvlášť. Nejprve vyšetříme parciální derivace podle x v bodech ležících na ose y kromě počátku [0, 0]. Uvažujme proto body [0, yo], yo # 0 libovolné. Podle definice derivace je: > Limit ( (f(x,y[0] )-f(0,y[0] ))/x, x=0, left) = > limit((f(x,y[0])-f(0,y[0]))/x, x=0, left); fix, y) = y/\xy lim x^0- = —oo X 188 Aproximace funkce v Maplu obr. 13.4 > Limit((f(x,y[0])-f(0, y[0]))/x, x=0, right) = > limit((f(x,y[0])-f(0,y[0]))/x, x=0, right); x^0+ X Jednostranné limity se nerovnají, ve vyšetřovaných bodech neexistuje parciální derivace podle x. Ze symetrie funkce / vzhledem k x a y plyne stejný výsledek pro parciální derivaci fy (xo, 0),xo ^ 0. To znamená, že na osách x, y kromě bodu [0, 0] není funkce f(x,y) diferencovatelná. Zbývá vyšetřit diferencovatelnost v bodě [0, 0]. Opět nejprve vypočtěme parciální derivace: > A:=limit((f(x,0)-f(0, 0))/x, x=0); A :=0 > B:=limit((f(0,y)-f(0,0))/y, y=0); B := 0 Diferencovatelná funkce 189 tj. v bodě [0, 0] obě parciální derivace existují a jsou rovny nule. Podle definice diferencovatelnosti musí platit f(h,k)-f(0,0)-(0h + 0k) lim -, -= 0. (*,*)-► (0,0) V/i2 + k2 Vyšetřeme limitu na levé straně rovnosti. Přechodem k polárním souřadnicím dostáváme: > l:=(f(h,k)-f(0,0) - (A*h+B*k) ) / (sqrt (h~2+k"2) ) ; Vh2 + k2 > Limit(subs(h=r*cos(phi), k=r*sin (phi), 1), r=0, > right)=simplify(limit(subs(h=r*cos(phi), > k=r*sin(phi), 1), r=0, right)); r2cos() sin(0) lim = a/|cos()| |sin(0)| r^°+ y/r2 cos( (p )2 + r2 sin(4> )2 Výsledek závisí na 4> a uvažovaná limita tedy neexistuje, proto / není v bodě [0, 0] diferencovatelná. Příklad 13.6. Funkce f(x,y) = xy [x,y] ŕ [0,0] 0, [*,>'] = [0,0] má v bodě [0, 0] obě parciální derivace rovny nule, neboť > f:=(x,y)-> if x=0 and y=0 then 0 > else x*y/(x"2+y"2) fi: > limit ( (f(x, 0)-f (0,0) )/(x-0) , x=0); 0 > limit ((f (0,y)-f (0,0))/(y-0), y=0) ; 0 Jak jsme ukázali v kapitole Limita funkce, / nemá v bodě [0, 0] limitu, a proto zde nemůže být diferencovatelná (obr. 11.4). 190 Aproximace funkce v Maplu Opět musíme dávat pozor na nesprávnou interpretaci PC-grafu! Generujme PC-graf funkce 5 1 + xL + oyz > f:=(x,y)->5/(l+x"2+6*y"2); f:=(x,y)^5 1+x2 + 6y2 > plot3d(f(x,y), x=-2..2, y=-2..2, orientation=[13,66] , > axes=framed, shading=none, labels=[x, y, ' z' ] ) ; Získaný PC-graf (obr. 13.5) svádí k domněnce, že funkce / není v bodě [0, 0] diferencovatelná. Ověřme spojitost parciálních derivací v bodě [0, 0]: > fx:=D[l] (f) ; X fx := (x, y) -> -10 (1 +x2 + 6y2)2 fx(0, 0) ; 0 > limit(fx(x, y) , {x=0, y=0}); 0 fy:=D[2] (f) ; fy:=(x,y)^ -60 y (1 +x2 + 6y2)2 fy (0,0) ; o > limit(fy(x, y) , {x=0,y=0}); 0 Funkční hodnota v bodě [0, 0] funkce fx(x, y) je rovna limitě fx v bodě [0, 0], tedy parciální derivace fx v bodě [0,0] je spojitá. Totéž platí i pro fy. Obě parciální derivace jsou v bodě [0, 0] spojité a funkce f(x, y) je tedy v tomto Diferencovatelná funkce 191 bodě diferencovatelná. Generujme znovu PC-graf funkce /, tentokrát ale pro x e (-0.1,0.1), y e (-0.1,0.1): > plot3d(f(x,y), x=-0.1..0.1, y=-0.1..0.1, > grid=[21,19], orientation=[13,66], axes=framed, > shading=none, labels=[x,y,'z']); Výsledný PC-graf (obr. 13.6) lépe ilustruje chovaní funkce / v okolí bodu [0, 0]. obr. 13.5 obr. 13.6 Diferenciál Při procvičování výpočtu diferenciálu můžeme využít i výpočetních a programovacích možností Maplu. Těchto využijeme zejména při výpočtech diferenciálů vyssich radu. Příklad 13.7. Napište proceduru, která pro zadanou funkci spočítá její diferenciál. Pomocí této procedury určete diferenciál funkce f(x, y) = x3 + ln(xy) nejprve v obecném bodě a poté v bodě [1,3] s diferencemi h = 0.2, k = —0.01. > difer:=proc () > > local derx,dery,dif; > > if nargs=l then > print(diff(args[1],x)*h+diff(args[1],y)*k); > fi; > if nargs=5 then > derx:=subs(x=args[2],y=args[3],diff(args[1],x)); > dery:=subs(x=args[2],y=args[3],diff(args[1],y)); > dif:=derx*args[4]+dery*args[5]; > RETURN(dif); 192 Aproximace funkce v Maplu > fi; > if nargsol and nargs <>5 then print > ('Spatne_zadano') > fi; > end: Procedura difer má proměnlivý počet argumentů. Příkaz difer(f(x,y)); určuje totální diferenciál zadané funkce v obecném bodě, příkaz difer (f (x, y) ,xO,yO,h,k) ; totální diferenciál dané funkce v bodě [xo, yo] s diferencemi h, k: > f:=(x,y)->x"3+ln(x*y); / := (x,y) -> x3 +ln(xy) > difer(f (x,y)); (3jf2 + l)Ä + 7 > difer (f(x,y),1,3,0.2,-0.01); .7966666667 Příklad 13.8. Napište proceduru, která počítá diferenciál m-tého řádu funkce /. Pomocí této procedury poté určete d2f pro f(x,y) = y/x a obecně diferenciál 3. řádu libovolné funkce /. > difern:=proc(funkce,m) > local j; > RETURN(sum(binomial(m,j)* > diff(funkce, x$j,y$(m-j))*h"j*k"(m-j), j=0..m)); > end: > difern(y/x,2); h k y h2 -2--\-2-— x xi > difern(f(x,y),3); / 9 f(x,y)] k3 + 3 (JL—f(x,y)\ hk2 + 3 (—3—- f(x, y)] h2 k dy3 J \dy2 dx J \3_y3x ' a3 3 Tečná rovina ke grafu funkce 193 13.2. Tečná rovina ke grafu funkce V této části využijeme grafické i výpočetní možnosti Maplu k ilustraci geometrického významu totálního diferenciálu. Vlastní generování PC-grafu je opět vhodným cvičením, zde uvádíme dvě řešení postupná (student příklad řeší stejně jako pomocí tužky a papíru, jen k zápisu a výpočtům používá prostředí Maplu) a nově naprogramovanou funkci GraphTan. Uvádíme také dva přístupy ke konstrukci tečné roviny, příklad 13.9 ilustruje spíše analytický a příklad 13.10 spíše geometrický přístup ke konstrukci. Příklad 13.9. Určete rovnici tečné roviny funkce f(x,y) = 4 — x2 — y2 v bodě [3, 2]. Tečnou rovinu a funkci zakreslete do jednoho PC-grafu. Rovnice tečné roviny funkce z = f(x, y) v bodě [xo, yo] má tvar z = f(x0, y0) + fxixo, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - yo)- Dosaďme do tohoto vztahu: > f:=(x,y)->4-x"2-y"2; / := (x,y) -> A-x2-y2 > fx(3,2) :=subs (x=3,y=2, diff(f(x,y),x)); fx(3,2) := -6 > fy(3,2) :=subs (x=3,y=2, diff(f(x,y),y)); fy(3,2) :=-4 > TRovina:=(x,y)->f(3,2)+fx(3,2)*(x-3)+fy(3,2)*(y-2); TRovina := (x, y) -+ f(3, 2) + fx(3, 2) (x - 3) + fy(3, 2) (y - 2) > TRovina (x,y); 17-6x -4y Nyní do jednoho PC-grafu umístíme společně funkci / a její tečnou rovinu: > Pl:=plot3d(f(x,y), x=-4..4, y=-4..4, style=patch): > P2:=plot3d(TRovina(x, y) , x=-2. .2,y=-2. .3) : > with(plots): > display3d({PI,P2}, axes=boxed, view=-20..30, > labels=[x,y, ' z'] ) ; 194 Aproximace funkce v Maplu 4 4 obr. 13.7 Na základě předchozího postupu je možno řešit úlohu: Najděte rovnici tečné roviny pro danou funkci a daný bod a zobrazte do jednoho PC-grafu tečnou rovinu společně s funkcí pomocí Mapleovského programovacího jazyku. > GraphTan := proč (f,xrange,yrange,pt) > > #definice lokalnich proměnných > local xmin,xmax,ymin,ymax,xO,yO,zO,dx,dy,xsour,ysour, > tanfunc,gpha,gphb,tanpt,optio,rovnice; > > #Vyvolani některých prikážu z~knihovny plots > with(plots,pointplot): > with(plots,display): > > #Ziskani různých proměnných ze vstupu > #Souradnice bodu dotyku > xO := op (2,pt) [1] : > yO := op (2,pt) [2] : > #Rozsah souřadnic pro vykresleni grafu > xmin := op(1,op(2,xrange)): > xmax := op(2,op(2,xrange)): > ymin := op(1,op(2, yrange) ) : > ymax := op(2,op(2,yrange)): > fParametry pro vykresleni grafu Tečná rovina ke grafu funkce 195 > optio:=args[5..nargs]; > > #Vypocet parcialnich derivaci podle x a y > #v bode (xO,yO) > dx := subs(x=xO,y=yO,diff(f,x)): > dy := subs(x=xO,y=yO,diff(f,y)): > > #Vypocet treti souřadnice bodu dotyku > zO := subs(x=xO,y=yO,f): > > #Dosazeni do rovnice pro tečnou rovinu > tanfunc:=zO+dx*(x-xO)+dy*(y-yO): > > #Pojmenováni grafu bodu dotyku jako tanpt, > #grafu funkce jako gpha a > #grafu tecne roviny jako gphb > tanpt:=pointplot({[xO,yO, zO] },color=red) : > gpha := plot3d(f,xrange,yrange, optio) : > xsour:=abs(xmax-xmin)/4; > ysour:=abs(ymax-ymin)/4; > gphb:=plot3d(tanfunc,x=xO-xsour..xO+xsour, > y=yO-ysour..yO+ysour,optio): > > #Vypis výsledku > rovnice:=z=tanfunc: > print('Tečna rovina ma rovnici y); > print(rovnice); > > #Zobrazeni grafu plochy, tecne roviny a bodu dotyku > display ([gpha, gphb,tanpt]); > end: Proceduru voláme příkazem: GraphTan (funkce, x=a..b, y=c..d, bod=[xO,yO] , volitelne_parametry) ; kde [xo, yo] jsou souřadnice bodu, ve kterém tečnou rovinu počítáme (funkce musí být v tomto bodě diferencovatelná). Nyní řešme předcházejí příklad pomocí této nové procedury: > with(mvcalp): > GraphTan(f(x,y),x=-4. .4,y=-4. .4, bod=[3,2],axes=boxed, > labels=[x,y,'z']); Tečna rovina ma rovnici z = 17 - 6x - 4y 196 Aproximace funkce v Maplu obr. 13.8 Jiný přístup ke konstrukci tečné roviny (s využitím normály) ilustruje následující příklad: Příklad 13.10. Uvažujte funkci f(x, y) = -(x2 + y2) a určete rovnici tečné roviny v bodě [—1, 1]. > f:=(x,y)->-(x"2+y-2); /:=(x,y)^-x2-y2 > a:=l; b:=l; a := 1 b := 1 > K:=plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2,axes=boxed, > color=blue): Sestrojme přímky LI a L2, které jsou tečnami ke grafu funkce v bodě [—1, 1] (obr. 13.9): > with(plots) : > dfdx:=subs({x=a,y=b},diff(f(x,y),x)); Tečná rovina ke grafu funkce 197 dfdx := —2 > LI:=t->[a+t,b,f(a,b)+t*dfdx] ; LI := t -> [a + t, b, f (a, b) + t dfdx] > JI:=spacecurve(LI(t),t=-3/2. . 1,axes=boxed, > color=black): > dfdy:=subs({x=a,y=b},diff(f(x,y),y)); dfdy := —2 > L2:=t->[a,b+t,f(a,b)+t*dfdy] ; L2 := t [a, b + t, f (a, b) + t dfdy] > J2:=spacecurve(L2(t),t=-3/2..1,axes=NORMAL, > color=black): > display3d({JI,J2,K},orientation=[10,80], > scaling=constrained, view=-4..0, labels=[x,y,'z']); Normálový vektor v bodě [—1, 1] určíme jako vektorový součin směrových vektorů přímek LI a L2 (obr. 13.10): > with(linalg): > N:=crossprod(Ll(1)-LI(0),L2(1)-L2 (0)); N := [221] > PL:=t->[a+t*N[1], b+t*N[2], f(a,b)+t*N[3]]; PL:=t [a + t Nub + t N2, f(a,b) + t N3] > NL:=spacecurve(PL(t),t=-3/2. .1, color=black) : > display({JI,J2,K,NL}, orientation=[10,80],axes=boxed, > scaling=constrained, view=-4..0, labels=[x,y,'z']); Skutečnost, že normálový vektor je kolmý na obě přímky, ověřme pomocí skalárního součinu: > dotprod(LI(t)-LI(0),N); dotprod(L2(t)-L2(0),N); 0 198 Aproximace funkce v Maplu O Rovnici tečné roviny dostáváme tak, že položíme skalární součin vektoru [x — a, y — b, z — f (a, b)] a normálového vektoru N roven nule (obr. 13.11). Y obr. 13.11 > tangenteqn:=dotprod([x-a,y-b,z-f(a,b)],N)=0; tangenteqn :=2x — 2 + 2y + z = 0 Užití diferenciálu k približným výpočtům 199 > Z:=solve(tangenteqn,z); Z := —2x + 2 — 2y > Piane:=plot3d(Z,x=a-l/2..a+1/2,y=b-l/2..b+1/2, > axes=boxed,color=RED,style=PATCH): > display({Plane,K},orientation=[10,80], > labels=[x,y,'z']); Poznámka 13.1. Pomocí Maplu můžeme konstruovat tečné roviny i k plochám daným parametricky a implicitně. Pro generování PC-grafů použijeme naprogramovaných procedur ParamTan a ImplicitTan. Obě procedury jsou uloženy v knihovně mvcalp: > ParamTan([(3+cos(s))*cos(t) , (3+cos(s))*sin(t) , > sin(s)], s=0..2*Pi, t=0..2*Pi, point=[1,2]); > ImplicitTan(x"2+y"2 + z"2=2, x=-2..2, y=-2..2, z=-2..2, > point=[1,1, 0] , style=patch, orientation=[-121,53], > scaling=constrained, labels=[x,y,'z']); obr. 13.12 obr. 13.13 Na obrázku 13.12 je anuloid daný parametricky rovnicemi x = (3 + coss)cosŕ, y = (3 + coss)sinŕ, z = sins a jeho tečná rovina v bodě [1,2], na obrázku 13.13 koule daná implicitně rovnicí x2 + y2 + z2 = 2 a její tečná rovina v bodě [1, 1]. 13.3. Užití diferenciálu k přibližným výpočtům Nyní použijeme počítačového systému i k procvičování přibližných výpočtů pomocí totálního diferenciálu. Rovnice tečné roviny je nej lepší lineární aproximací 200 Aproximace funkce v Maplu funkce f(x, y) v okolí bodu [xo, yo\. Uvažujme chybu této aproximace \f(x, y) — TRovina(x, y)\. Nechť f(x, y) = 4 — x2 — y2 (příklad 4.9) a nechť [x, y] nabývá postupně hodnot [4, 3], [3.8, 2.8], [3.6, 2.6], [3.4, 2.4], [3.2, 2.2] a [3, 2]. Pomocí příkazu seq pozorujeme, jak se chyba aproximace zmenšuje s hodnotami blížícími se bodu [3, 2]: > seq(evalf(abs (f (4-i/5, 3-i/5)- > TRovina(4-i/5, 3-i/5))), i=0..5); 2., 1.280000000, .7200000000, .3200000000, .08000000000, 0 Jiný způsob řešení je možný pomocí příkazu z ip: > zip ( (x,y)->abs(f(x,y)-TRovina(x, y)) , > [4,3.8,3.6,3.4,3.2,3], [3,2.8,2.6,2.4,2.2,2]); [2, 1.28, .72, .32, .08,0] K nalezení lineární aproximace funkce je možno použít i Taylorova polynomu, neboť diferenciál funkce je Taylořovým polynomem stupně 1 (Taylorův polynom viz. kapitola Derivace složené funkce, Taylorův vzorec). Následující příkazy ilustrují použití příkazu mt aylor k nalezení lineární aproximace: > readlib(mtaylor); proč () ... end > mtaylor(f(x,y) , [x=3,y=2], 2); 17-6* -4y Příklad 13.11. Pomocí totálního diferenciálu přibližně vypočtěte ln(2.12 + 0.92). Určíme bod [x0, yo], diference dx a dy a najdeme funkci f(x, y) takovou, aby ln(2.12+0.92) = f(x0+dx, y0+dy) = f(x0, yo)+fx(x0, y0)dx+fy(x0, y0)dy. K výpočtu tedy použijeme funkci fix, y) = ln(x2 + y2), bod [2, 1] a diference dx = 0.1, dy = -0.1: > f:=(x,y)->ln(x"2+y"2); f :=ix,y)^\nix2 + y2) Užití diferenciálu k približným výpočtům 201 > x0:=2:yO:=1:dx:=l/10:dy:=-l/10: Spočtěme diferenciál funkce f (x, y): > A:=D[1] (f) ; A:=(x,y)^2^— xz + yz > B:=D[2](f); B:=(x,y)^2^— xz + yz > df:=(x,y)->A(x,y)*dx+B(x,y)*dy; df := (x, y) -> A(x, y)dx + B(x, y)dy > priblizna_hodnota:=f(xO,yO)+df(xO, yO) ; 1 približná-hodnota := ln(5) H-- 25 > evalf(priblizna_hodnota); 1.649437912 Předchozí výsledek nyní ověřme přímým výpočtem (Maple umožňuje provádět výpočty v oboru reálných čísel s téměř libovolnou přesností): > funkcni_hodnota:=f(xO+dx, yO+dy) ; funkcniJiodnota := ln > evalf(funkcni_hodnota) ; 1.652497402 K výpočtu můžeme použít i procedury dif er: > with(mvcalp): > f(xO, yO)+difer(f(x,y),xO,yO,dx,dy); ln(5) + l > evalf(") ; 202 Aproximace funkce v Maplu 1.649437912 13.4. Taylorova věta K hledání Taylorova polynomu funkce dvou proměnných používáme v Maplu proceduru mt ay 1 or. Příklad 13.12. Najděte Taylorův polynom 2. stupně se středem v bodě [0, 0] pro funkci f(x,y) = sinx cos y. Proceduru mtaylor si zpřístupníme pomocí readlib: > readlib(mtaylor): Definujme funkci / a Taylorův polynom 2. stupně uložme do proměnné /2: > f:=(x,y)->sin(x)*sin(y); /:=(*,?)-► sin(x)sin(y) > f2:=mtaylor(f(x,y) , [x=0,y=0], 3) ; f2 -=xy Nyní zkonvertujme f2 na funkci pomocí příkazu unapply: > f2:=unapply(f2,x,y); f2 := (x,y) -> xy a generujme postupně PC-grafy pro funkci / (obr. 13.14), její Taylorův polynom 2. stupně (obr. 13.15), vrstevnice funkce / (obr. 13.16) a vrstevnice T2(x,y) (obr. 13.17). obr. 13.14 obr. 13.15 Taylorova věta 203 > Pl:=plot3d(f(x,y), x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi, > orientation=[45,60], style=patchcontour):"; > P2:=plot3d(f2(x,y), x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi, > orientation=[45,60], style=patchcontour):"; > plot3d(f(x,y), x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi, > orientation=[270, 0], axes=normal, style=contour) ; > plot3d(f2(x,y), x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi, > orientation=[270, 0] , axes=normal, style=contour); _ ^ N............... - zL i i ^ ^\ j i i ^ obr. 13.16 obr. 13.17 Další PC-grafy znározňují funkci a její Taylorův polynom nad čtvercem [-0.5,0.5] x [-0.5,0.5], tedy v blízkém okolí bodu [0,0] (obr. 13.18) a nad čtvercem [—jr, jr] x [— jr, jr] (obr. 13.19). > plots[display]({PI,P2}, axes=framed, > view=[-.5..0.5,-.5. .0.5,-1..1] , labels=[x, y, ' z' ] ) ; > plots[display] ({PI,P2},orientation= [71,63], > axes=framed, labels=[x,y,'z']); Všimněme si, že v blízkém okolí bodu [0, 0] se Taylorův polynom r2(x, y) téměř shoduje s funkcí / (obr. 13.18). Tuto skutečnost ilustrujme dále PC-grafy (obr. 13.20 a 13.21) znázorňujícími závislost chyby, které se dopustíme při aproximaci funkce / v okolí bodu [0, 0] Taylorovým polynomem 2. stupně, na vzdálenosti od tohoto bodu: > plot3d(f(x,y)-f2(x,y),x=-.5..0.5,y=-.5..0.5, > axes=framed,shading=zhue,labels=[x,y,'z']); > plot3d(f(x,y)-f2(x,y), x=-l..l, y=-l..l, > axes=framed, shading=zhue,labels=[x,y, ' z']); Na obrázku 13.20 je chyba znázorněna nad čtvercem [—0.5, 0.5] x [—0.5, 0.5] a na obrázku 13.21 nad čtvercem [—1, 1] x [—1, 1]. Z PC-grafů je vidět, že pokud 204 Aproximace funkce v Maplu obr. 13.20 obr. 13.21 zvětšujeme vzdálenost od bodu [0, 0], zvětšuje se i chyba aproximace. Při použití procedury mtaylor však zůstává Taylorův vzorec „skryt uvnitř procedury". Maplu proto použijeme nyní i k procvičování výpočtů Taylorova polynomu a dále k přibližným výpočtům funkčních hodnot funkcí dvou proměnných. Příklad 13.13. Určete Taylorův polynom 2. stupně se středem v bodě [xo, yo] = [1, 1] pro funkci fix, y) = x/y. Příklad řešme postupně. Maple nám nejdříve pouze asistuje při výpočtu parciálních derivací a výsledek až nakonec ověříme pomocí procedury mtaylor. Spočtěme tedy všechny potřebné parciální derivace: > f := (x, y)->x/y; Taylorova věta 205 / := (x,y) -> - y > fx:=D[l] (f) ;fy:=D[2] (f) ; 1 fx := (x, y) -> - y fy := (x,y) -> - — y2 > fxx:=D[l,l] (f);fxy:=D[l,2] (f);fyy:=D[2, 2] (f); fxx := 0 1 fxy := (x, y)--- y2 fyy := (x,y) 2 — y3 Podle Vety 5.4 platí: > T2:=f (l,l)+fx(l,l)* (x-l)+fy (1,1) * (y-l) + > (1/2)*( (fxx(1,1)*(x-1)"2 + 2*fxy(1,1)*(x-1)*(y-1) + > fyy (1,1)*(y-1)"2)); T2:= l+x-y- (y - l)(x- 1) + (y - l)2 > T2:=expand(T2); T2 := l+2x — 2y — yx + y2 Nyní ověřme výsledek pomocí procedury mtaylor: > readlib(mtaylor): > T2:=mtaylor(f(x,y), [x=l,y=l],3); T2:=í+x-y-(y-í)(x-í) + (y-í)2 > T2:=expand("); T2 := 1 +2x — 2y — yx + y2 V obou případech jsme dostali stejný výsledek, r2(x, y) = l+2x — 2y — xy + y2. 206 Aproximace funkce v Maplu Příklad 13.14. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně určete přibližně 7(2.98)2 + (4.05)2. K výpočtu využijme Taylorova polynomu 2. stupně funkce f(x,y) = y1 x2 + y2 v bodě [x0,y0] = [3,4]: > f:=(x,y)->sqrt(x"2+y"2); / := (x,y) -> sqrt(x2 + y2) > f2:=mtaylor(f(x, y) , [x=3,y=4], 3); 3 4 8 12 9 f2:=-x + -y +-(x-3)2--(y -4)(x -3) +-(y-4)2 J 5 57 125 125 J 250 J > f2:=unapply(f2,x,y); f2 := (x, y) -+ 3 4 8 12 9 -x + -y +-(x-3)2--(y -4)(x -3) +-(y-4)2 5 5y 125 125 y 250 y > aprox2:=f2(2.98,4.05); a^rox2 := 5.028211600 Funkční hodnotu můžeme v Maplu určit i přímým výpočtem: > sk:=f (2.98, 4 . 05); sk := 5.028210417 Závěrem určeme chybu aproximace: > chyba:=sk-aprox2; -.1183 10"5 K aproximaci použijme nyní Taylorova polynomu 6. stupně a opět určeme chybu aproximace: > f6:=mtaylor(f(x, y) , [x=3,y=4], 7): > f6:=unapply(f6,x,y): aprox6:=f6(2.98,4.05); aproxó := 5.02821042 > sk:=f (2.98, 4 . 05); sk := 5.02821042 Kmenová funkce 207 > chyba2:=sk-aprox6; chyba2 := 0 Standardní nastavení přesnosti aproximativní aritmetiky v Maplu je na 9 platných míst. Protože rozdíl je až v řádu 10~15, dostáváme při této přesnosti výpočtu chybu rovnu nule. Zvyšme tedy přesnost aproximativní aritmetiky a výpočet proveďme znovu. > Digits:=17; Digits := 17 > aprox6:=f6(2.98, 4.05) ; aproxó := 5.0282104172359360 > sk:=f (2.98, 4 . 05); sk := 5.0282104172359374 > chyba2:=sk-aprox6; chyba2 := .14 10"14 Z výsledků je vidět, že s rostoucím stupněm Taylorova polynomu se zmenšuje chyba aproximace. 13.5. Kmenová funkce Hledat kmenovou funkci můžeme taktéž pomocí příkazů Maplu. Uvádíme nejdříve řešení postupně po jednotlivých krocích, v závěru je pak příklad řešen pomocí Mapleovského programovacího jazyka. Příklad 13.15. Rozhodněte, zda je výraz (-1 + exyy + y cos(xy)) dx + (1 + exyx + x cos(xy)) dy diferenciálem nějaké funkce; v případě že ano, určete tuto funkci. > m:=(x,y)->-l+exp(x*y)*y+y*cos(x*y); m := (x, y) —^ —l+e^xy)y + y cos(x y) 208 Aproximace funkce v Maplu > n:=(x, y)->l+exp(x*y)*x+x*cos(x*y); n := (x, y) ^ 1 + éxy) x + x cos(x y) > m (x, y) *dx+n (x, y) *dy; (-1 + e(xy) y + ycos(xy))dx + (1 +xe(xy) + xcos(x y))dy Nejprve overme, zda je zadaný výraz opravdu diferenciálem: > testeq(diff(m(x,y),y) =dif f (n (x, y) , x) ) ; true Platí dm(x,y) dn(x,y) dy dx tj. zadaný výraz je diferenciálem jisté kmenové funkce H. Dále platí: > kl:=integrate(m(x,y),x); kl := -x + éxy) + sin(x y) Integrační konstantu označíme g (y) (její derivace podle x je nulová). Derivováním podle y: > k2:=diff(kl+g(y),y); k2 :=xe{xy)+xcos(xy) + (J-g(y^j a dosazením do vztahu Hy = n(x, y) dostáváme: > k3:=solve(k2=n(x, y) , diff(g(y) , y)) ; k3 := 1 Odtud g'(y) = 1 a g(y) = y + c. > k4:=integrate(k3,y); k4:=y > reseni:=kl+k4; reseni := — x + é-xy) + sin(x y) + y Zadaný výraz je tedy diferenciálem funkce H(x, y) = exy - x + y + sin(xy) + c, c e Kmenová funkce 209 Příklad 13.16. Napište proceduru, která určí, zda je zadaný výraz diferenciálem nějaké funkce a v případě, že ano, tuto funkci určí. > kmen:=proc(m,n) > if diff(m,y)=diff(n,x) then > simplify(integrate(m, x) + > integrate(n-diff(integrate(m,x),y),y)); > else print(xZadaný vyraz neni diferenciálem > zadně funkce^); > fi > end: Pomocí této procedury nyní určeme kmenovou funkci pro výraz (x2 — y2) dx + (5 - 2xy)dy: > n:=(x,y)->5-2*x*y; n := (x, y) -> 5 — 2x y > m:=(x,y)->x"2-y"2; m := (x, y) x2 - y2 > kmen(m(x,y),n (x,y)); ^x3 - y2x + 5y Vypočítali jsme, že zadaný výraz je diferenciálem funkce x3 H(x,y) =--y2x + 5y + c, cel. Kapitola 14 Extrémy funkce v Maplu Tato část je pro počítačem podporovanou výuku velmi vhodná. S využitím grafických i výpočetních možností Maplu hledáme nejdříve lokální extrémy funkce dvou proměnných. Volbou příkladů ukazujeme i na nebezpečí bezmyšlenkovitého použití počítače k výpočtům, tj. zaměřujeme se na příklady, při jejichž řešení pomocí Maplu dostáváme neúplné nebo nepřesné výsledky. Často se opakující postupy poté automatizujeme pomocí Mapleovského programovacího jazyka v procedurách. Obdobně postupujeme i při hledání absolutních extrémů funkce dvou proměnných. 14.1. Lokální extrémy Pomocí grafických a výpočetních možností Maplu budeme nyní ilustrovat problematiku lokálních extrémů funkce dvou proměnných. Příklad 14.1. Uvažujme funkci , x2+y2 s f(x,y)=xye( 2 }, > f := (x,y) -> x*y*exp(-(x"2+y"2)/2) ; /:= (x, y)^xye^2-^ Generujme PC-graf funkce / (obr. 14.1) a PC-graf, znázorňující vrstevnice funkce / (obr. 14.2): > plot3d(f(x,y),x=-3..3,y=-3..3,style =patch, > orientation=[70,65], axes=FRAMED, grid=[40,30], 210 Lokální extrémy 211 > labels=[x,y,z]); > with(plots): > contourplot(f(x,y),x=-3..3,y=-3..3, grid=[50,50], > axes=boxed); ľ , , , , ľ , , , , I ,,, 1 .... i .... i obr. 14.1 obr. 14.2 Z uvedených PC-grafů usuzujeme na lokální extrémy v každém ze čtyř kvadrantů, a to na lokální maxima v prvním a třetím kvadrantu a na lokální minima v druhém a čtvrtém kvadrantu. Tuto úvahu ověřme nyní výpočtem. Stacionární body najdeme řešením soustavy rovnic (viz Definice 6.2) 9/ — =0 dx 9/ — = 0. dy > cp:=solve({diff(f(x,y),x)=0, > diff (f (x,y) ,y)=0}, {x,y}); cp := {x =0,y = 0},{y = l,x = l},{y = - l,x = 1},{x = - l,y = 1), {x = -l,y = -l} Tedy, podle předchozí úvahy patrně v bodech [1, 1] a [—1, —1] nastává lokální maximum, v bodech [—1, 1], [1, —1] lokální minimum a bod [0, 0] je sedlovým bodem. Tuto domněnku podpořme nejdříve generováním PC-grafů funkce / v blízkém okolí stacionárních bodů: > plot3d(f(x,y),x=-0.1..0.1,y=-0.1..0.1, > orientation = [70, 65], style=patchcontour) ; > plot3d(f(x,y),x=0.9..l.l,y=0.9..1.1, > orientation = [70, 65], style=patchcontour) ; 212 Extrémy funkce v Maplu > plot3d(f(x,y),x=0.9..l.l,y=-l.l..-0.9, > orientation = [70, 65], style=patchcontour) ; obr. 14.3 obr. 14.4 obr. 14.5 Na obrázku 14.3 je okolí bodu [0, 0], jedná se tedy o sedlový bod, obr. 14.4 znázorňuje okolí bodu [1, 1] (lokálni maximum) a obr. 14.5 znázorňuje okolí bodu [1, —1] (lokálni minimum). Tyto úvahy podpořme opět výpočtem. Platí: > fxx := factor(diff(f(x,y),x,x)) ; fxx:=xyé-V2x2-V2y2)(-3 + x2) > fxy := factor(diff(f(x,y),x,y)) ; fxy := e("V2^-i/2^) iy_ÍHy + ínx_ínx + í) > fyy := factor(diff(f(x,y),y,y)); jyy.= xyé-^2-^y2H-3 + y2) > Delta:=factor(fxx*fyy-fxy"2); A .= _(e(-l/2*2-l/2j2))2 (-5x2y2 + y4x2 + x4 y2 + 1 - 2x2 - 2y2 + xA + yA) > eval(subs(x=0,y=0,Delta)); -1 V souladu s dobře známou postačující podmínkou existence a charakteru extrému ve stacionárním bodě (Věta 6.2) v bodě [0, 0] extrém nenastává, jde o tzv. sedlový bod (obr. 14.3). V bodě [1, 1] nastává ostré lokální maximum (obr. 14.4), neboť: > subs(x=l, y=l, [Delta,fxx]); Lokální extrémy 213 Obdobně prokážeme, že v bodě [— 1, 1] a [1, — 1] nastávají ostrá lokální minima a v bodě [—1, —1] ostré lokální maximum: > subs(x=-l,y=l, [Delta,fxx]); [4(é-l))2,2e(-l)] > subs(x=-l, y=-l, [Delta,fxx]); > subs(x=l, y=-l, [Delta,fxx]); [4(é-l>ý,-2é-l>] [4(é-^f,2é-^] Závěrem určeme funkční hodnoty v bodech extrémů: > zip(f, [1,-1,-1,1], [1,1,-1,-1]); Vbodech[l, 1] a [—1, —l]je tedy lokální maximum/(l, 1) = /(— 1, — 1) = 1/e a v bodech [1, —1] a [—1, 1] lokální minimum /(l, — 1) = /(— 1, 1) = —1/e. Předchozí příklad lze charakterizovat jako standardní. Následující příklady však poukazují na problémy, které při určování lokálních extrémů funkcí dvou proměnných pomocí Maplu mohou vzniknout. Příklad 14.2. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x4 — 3x2y + 3y — y3. > f:= (x,y) -> x"4 - 3*x"2*y + 3*y - y"3; f:=(x,y)^x4-3x2y + 3y-y3 > fx := D[l] (f) ;fy := D[2] (f) ; fx:= (x,y) Ax3 -6xy jy:=(x,y)^ -3x2 + 3-3y2 Parciální derivace položme rovny nule a pomocí Maplu řešme získanou soustavu rovnic: > cp := solve ({fx(x,y)=0, fy(x,y)=0}, {x,y}); 214 Extrémy funkce v Maplu cp ■= {y = l,x = 0}, {y = - í, x = 0}, 1 x = RootOf(4_Z2 - 3), y = ,{x = RootOf(-Z/ + 3),y = -2} První dvě řešení jsme schopni snadno interpretovat, u druhých dvou je situace obtížnější. Převeďme proto řešení na snadněji interpretovatelný tvar: cp map (allvalues, {cp}); cp :=\\x = \V3,y = \\,\x = -\V3,y = \\,{x = lV3,y = -2}, {* = -/ VŠ, y = -2} , { y = 1, * = 0}, {y = -1, * = 0} • Nyní je vidět, že uvedená soustava rovnic má 6 řešení, dvě z řešení jsou však komplexní čísla. Protože v celé práci pracujeme v reálném oboru, komplexní kořeny odfiltrujeme pomocí procedury t ake re al (procedura je uložena v knihovně mvcalp): > with(mvcalp): > cp := takereal (cp); cp :-- x 1 r- 1) í 1 r- 1 = - V3, y = - \, {x = - - V3, y = - ,{y = l,x=0}, {y = -l,X=0} Získali jsme tedy čtyři stacionární body [0, 1], [0, —1], [^, |] a [— |]. Dále rozhodneme již standardním způsobem, zda má funkce / v získaných stacionárních bodech extrémy. Spočtěme druhé parciální derivace funkce /: > f XX > fyy > f xy D[l] (fx) ; D[2] (fy) ; D[2] (fx) ; fxx := (x, y) —>• 12x —6y fyy ■= (x, y) -6y fxy := (x, y) -6x a určeme hodnotu A(x,y) = fyxfyy — [fxy]2 ve stacionárních bodech: > Delta :=fxx (x,y) *fyy(x,y)-fxy(x,y) "2; Lokální extrémy 215 A := -6(12x2 -6y)y-36x2 > for i from 1 to nops(cp) do > cp[i],simplify(subs(cp[i] , [Delta, fxx(x,y)])); > od; x 1 r 1 = ~ VŠ, y = - x 1 r 1 = - - VŠ, y = - [-45,6] ,[-45,6] {x = 0,y = l},[36,-6] {x = 0,y = -1}, [36,6] Podle získaných hodnot má funkce / lokální minimum v bodě [0, —1] a lokální maximum v bodě [0, 1], zbývající body jsou sedlové. Generujme nyní PC-graf funkce / s vyznačenými stacionárními body (obr. 14.6) a vrstevnice / (obr. 14.7). obr. 14.6 obr. 14.7 V práci používaná verze Maple V R3 neumožňuje grafické zvýraznění vybraného bodu v PC-grafu. Zvýraznění bodu o souřadnicích [x, y, f(x, y)] dosáhneme přidáním bodů [x, y, fix, y) + 0, 01] a [x, y, f(x, y) — 0, 01] do PC-grafu: > plti := plot3d (f(x,y), x=-1.5..1.5, y=-l.5..1. 5) : > pts := {seq (subs (op(i, cp), [x,y,f(x,y)]), > i=l..nops (cp)), > seq (subs (op (i, cp), [x,y,f(x,y)+0.01]), 216 Extrémy funkce v Maplu > i=l..nops (cp)), > seq (subs (op (i, cp), [x,y,f(x,y)-0.01]), > i=l..nops (cp)) }: > display3d ({plti, > pointplot (pts, symbol=circle, color=black)}, > axes=framed, labels=[x, y, ' z'] ) ; > contourplot (f (x,y), x=-1.5..1.5, y=-1.5..1.5, > axes=boxed, grid=[50,50], contours=20); Poznámka 14.1. K výpočtu A můžeme použít i příkazu hessian (f (x, y) , [ x, y ] ) ;, kterým spočteme matici d2f(x,y) d2f(x,y) dx2 dxdy d2f(x,y) d2f(x,y) dxdy 3y2 Odpovídající část výpočtu pak vypadá takto: > with(linalg): > h:=hessian(f(x,y), [x,y]);fxx:=D[1,1] (f); h := Ylx1 — 6 y —6x —6x —6y fxx := (x, y) —>• 12x2 — 6y > Delta:=det(h); A := -72x2y + 36y2-36x2 > for i from 1 to nops(cp) do > cp[i],simplify(subs(cp[i] , [Delta, fxx(x,y)])); > od; {x=0,y = l},[36,-6] {x=0, ? = -!}, [36, 6] 1 1 r = -,* = - V3 [-45,6] Lokální extrémy 217 1 1 r = -, x = — - V3 ,[-45,6] Příklad 14.3. Určete lokální extrémy funkce z = 1 — v1 x2 + y2. > z:=(x,y)->l-sqrt(x"2+y"2); z '■= (x, y) —> 1 - sqrt(x2 + y2) > plot3d(z(x,y),x=-3..3,y=-3..3,axes=boxed, > labels=[x,y,'z'] , style=patch) ; Výsledek vidíme na obr. 14.8. > cp:=solve({diff(z(x,y),x)=0, > diff (z (x,y) ,y)=0}, {x,y}) ; cp := Daná funkce nemá stacionární body, nemůžeme tedy použít dříve uvedený postup. Protože podle Poznámky 6.1 funkce / : IR2 —^ IR může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje, hledáme body, ve kterých neexistují parciální derivace: > diff(z(x, y),x);diff(z (x,y),y); 218 Extrémy funkce v Maplu x y/x2 + y2 _ y y/x2 + y2 > D[l] (z) (0,0) ; Error, (in unknown) division by zero V bodě [0, 0] neexistují parciální derivace prvního řádu, bod [0, 0] je bodem možného extrému. Přírůstek funkce z v tomto bodě z (x, y)—z (0, 0) = — y'x2 + y2 je záporný, tedy podle definice v bodě [0, 0] má funkce z maximum zmax = 1. Příklad 14.4. Určete lokální extrémy funkce z = xy ln(x2 + y2). > z:=(x,y)->x*y*ln(x"2+y"2); z := (x,y) xy\n(x2 + y2) > plot3d(z(x,y),x=-l.1..1.1, y=-l.l..l.l, axes=framed, > orientation=[-23, 52] , style=patch, labels=[x, y, ' z' ] ) ; > contourplot (z (x,y), x=-l.l..l.l, y=-l.l..l.l, > contours=25,numpoints=3000,color=black,axes=boxed); i .... °i5 .... t obr. 14.9 obr. 14.10 > rl:=diff(z(x,y),x)=0; 2 rl :=_yln(x2 + v2) + 2-^- =0 xz + yz Lokální extrémy 219 > r2:=diff(z(x,y),y)=0; r2:=xln(x2 + y2) + 2 x O Řešme získanou soustavu: > cpi:=solve({rl,r2 }, {x,y}); cpi :={x=0,y = -l},{y = hx = 0},{y=0,x = -l},{x = l,y = 0} Při presentovaných výpočtech používaná verze Maple V R3 v tomto případě není schopna symbolicky nalézt všechna řešení. Vypočítané stacionární body jsou jen [0, ±1] a [±1, 0]. Pomocí PC-grafů funkce z (obr. 14.9) a vrstevnic z (obr. 14.10) však usuzujeme, že v nalezených stacionárních bodech extrém nenastává a dokonce, že uvažovaná funkce má další čtyři stacionární body. Stejný úkol nyní řešme s použitím numerického řešení dané soustavy: > cp2:=fsolve({diff(z(x,y) ,x)=0, diff(z(x,y),y)=0}, > {x,y}, {x=0..1, y=-l. .0}) ; cP2 :={y = -.4288819425, x = .4288819425} > cp3:=fsolve({diff(z(x,y),x)=0, diff(z(x,y),y)=0}, > {x,y}, {x=0..1, y=0..1}); cP3 :={x = .4288819425, y = .4288819425} > cp4:=fsolve({diff(z(x,y),x)=0, diff(z(x,y),y)=0}, > {x, y}, {x=-l. .0, y=-l..0}); cP4 :={y = -.4288819425,x = -.4288819425} > cp5:=fsolve({diff(z(x,y),x)=0, diff(z(x,y),y)=0}, > {x,y}, {x=-l. .0, y=0. .1}) ; cP5 :={y = .4288819425, x = -.4288819425} > cp:={cpl,cp2,cp3,cp4,cp5}; cp:={{x = 0,y = -l},{y = hx=0},{y = 0,x = -l}, {x = l,y =0},{y = .4288819425, x = -.4288819425}, {y = -.4288819425, x = .4288819425}, {x = .4288819425, y = .4288819425}, {y = -.4288819425, x = -.4288819425}} 220 Extrémy funkce v Maplu > fxx := D[l,l] (z) :fyy := D[2,2] (z) : fxy := D[l,2] (z) : > Delta :=fxx (x,y) *fyy(x,y)-fxy(x,y) "2: > for i from 1 to nops(cp) do > cp[i],simplify(subs(cp[i] , [Delta, fxx(x,y)])); > od; {x = 0,y = -l},[-4,0] {_y = l,x=0},[-4,0] {y = 0,x = -l},[-4,0] {x = l,y=0},[-4,0] {y = .4288819425,x = -.4288819425}, [4., -2.] {y = -.4288819425,x = .4288819425}, [4., -2.] {x = .4288819425, y = .4288819425}, [4., 2.] {y = -.4288819425,x = -.4288819425}, [4., 2.] Numerický výpočet potvrzuje, že v bodech [0, ±1] a [±1,0] extrém nenastává a navíc, že v bodech [-?=, -4=] a [^=, -ť=] ie lokální minimum a v bodech V2e V2e V2e V2e [-}=, -^=] a [^=, -4=] lokální maximum (viz příklad 6.3-ii)). V2e V2e V2e V2e Poznámka 14.2. Verze Maple V R4 již symbolicky řeší i soustavu pro získání všech stacionárních bodů správně: > z:=(x,y)->x*y*ln(x"2+y"2); z := (x, y) xy\n(x2 + y2) > cpi:=solve({diff(z(x,y),x)=0, > diff (z (x,y) ,y)=0}, {x,y}) ; cpi := {x = 0, y = 1}, {x = 0, y = -1}, {y = 0, x = 1}, {_y = 0, x = -1}, {y = %1, x = %1}, {y = %1, x = -%1} %1 := RootOf(-e(_1) +2^Z2) Lokální extrémy 221 > cpi:=map(allvalues,{cpi}); cpi := {{y = O, x = 1}, {y = O, x = -1}, {x = O, y = 1}, {x = O, y = {y = %2, x = %2], {y = %1, x = %1}, {y = %2, x = %1}, {x = %2, y = %1}} %1 := --V2Ve("D 2 %2 := i V2Ve("D 2 Příklad 14.5. Najděte lokální extrémy funkce z = (x2 + y2)e~{x2+y2\ Řešením systému zx =(2x - 2x(x2 + y2))e-{x2+y2) = O zy =(2y-2y(x2 + y2))e-{x2+y2) =0 získáváme množinu stacionárních bodů, která se skládá z bodu [0, 0] a bodů kružnice x2 + y2 = 1: > z:=(x, y)->(x"2+y"2)*exp(-(x~2+y~2) ); z :=(*,?)-► (x2 + v2)e("^2) > cp:={solve({diff(z(x,y),x)=0, > diff (z (x,y) ,y)=0}, {x,y})}; c^ := {{x = 0, y = -1}, {y = 1, x = 0}, {y = 0, x = -1}, {x = 1, y = 0}, [y = y,x = yi-y2} , {y = y, x = -^1 - y2} , {y = 0, x = 0}} > fxx := D[l,l] (z) :fyy := D[2,2] (z) : fxy := D[l,2] (z) : > Delta :=fxx (x,y) *fyy(x,y)-fxy(x,y) "2: Protože: > for i from 1 to nops(cp) do > cp[i],simplify(subs(cp[i] , [Delta, fxx(x,y)])); > od; {y = 0,x = l},[0, {y = 0,x = -1},[0, -4e(-^] 222 Extrémy funkce v Maplu {x =x,y = y/l — x2 J , [O, -4x2e(-1}] |x = x, y = -y/l - x2} , [O, -4x2e("1} ] {y =0,x=0},[4,2] {x=0,y = l},[0,0] {x = 0,y = -l},[0,0] nastává v bodě [0, 0] lokální minimum (obr. 14.12). O existenci extrému v bodech kružnice nemůžeme tímto způsobem rozhodnout (A je v bodech kružnice x2 + y2 = 1 rovno nule). Pro ověření dostatečné podmínky v bodech ležících na kružnici x2 + y2 = 1, budeme funkci z považovat za funkci jedné proměnné t = x2 + y2: z = te~f, pro kterou je bod t = 1 stacionárním bodem. Protože z" = (t — 2)e~t je pro t = 1 záporná, má zde funkce z maximum. Tedy funkce z(x, y) má neostré maximum zmax = e~l v bodech kružnice x2 + y2 = 1 (obr. 14.11). > plot3d(z(x,y), x=-3..3, y=-3..3, axes=boxed, > grid=[50, 50], style=hidden, labels=[x,y, ' z'] , > color=black); > plot3d(z(x,y), x=-1..3, y=-1..3, axes=boxed, > grid=[40, 40], style=hidden, orientation=[-69, 47] , > labels=[x,y,'z'] , color=black); obr. 14.11 obr. 14.12 Lokální extrémy 223 Poznámka 14.3. Funkce f(x,y) = (2x2+3y2)e-(x2+y2) má ostré lokální minimum v bodě [0, 0], ostré lokální maximum v bodě [0, ±1] a sedlové body v bodech [±1,0]. Absolutní extrém této funkce na kruhu M = {[x, y] e R2 : x2 + y2 < 4} byl řešen v příkladu 6.6-ii). obr. 14.13 obr. 14.14 Často opakované postupy při hledání lokálních extrémů funkce dvou proměnných je možné opět automatizovat pomocí Mapleovského programovacího jazyka. Ukázkou možného řešení jsou procedury sing a mvext rem, jedinými parametry těchto procedur jsou funkce, jejíž stacionární body, resp. lokální extrémy, určujeme. > sing:= proč ( f) local cp; > cp:={solve( { diff(f,x)=0, diff(f,y)=0}, { x, y})}; > RETURN(cp) > end: > mvextrem:= proc ( f) local zxx,zyy,zxy,D,i,p2,pom; > zxx:= diff( f, x, x); > zyy:= diff( f, y, y); > zxy:= diff( f, x, y); > pom:=map(allvalues, sing(f) ) ; > pom:=takereal(pom); > for i from 1 to nops(pom) do > p2:=op(i, pom); > D: = > evalf(subs(p2,zxx)*subs(p2,zyy)-subs(p2,zxy)"2) ; > if D=0 then print( p2, x nelze rozhodnoutx ); > elif D<0 then print( p2, x extrém nenastáva' ); 224 Extrémy funkce v Maplu > else > if evalf(subs( p2, zxx )) > O then > print( p2, x lokálni minimumx ); > else print( p2, x lokálni maximum1); f i; > fi; > od; > end: Příklad 14.6. Určete lokální extrémy funkce z = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2. K řešení použijeme připravených procedur: > mvextrem( x"4+ y~4- x"2-2*x*y-y"2); {x = 0, y = 0}, nelze rozhodnout [y = l,x = 1}, lokálni minimum {y = — í, x = — í), lokálni minimum Ve stacionárním bodě [0, 0] je A = 0, proto o existenci extrému v tomto bodě nelze standardním způsobem rozhodnout. Řešení však můžeme získat následujícím způsobem: funkci z upravíme na tvar z(x, y) = x4 + y4 — (x + y)2. Odtud z(—x, x) = 2x4 > 0 pro x ^ 0. Na druhé straně z(x, 0) = x4 — x2 = x2(l — x2) < 0 pro x e (—1, 0) U (0, 1). Tedy v libovolně malém okolí bodu [0, 0] funkce z nabývá jak kladných, tak záporných hodnot, což spolu s faktem, že z(0, 0) = 0 znamená, že v tomto bodě lokální extrém nenastává (obr. 14.15 a 14.16). > plot3d(z(x,y), x=-2..2, y=-2..2, view=-3..5, > axes=boxed, style=patch, labels=[x, y, ' z'] , > orientation=[-64,51]); > contourplot (z (x,y), x=-2..2, y=-2..2, axes=boxed, > grid=[100, 100] , color=black, contours=20); Následující příklad ilustruje situaci, kdy je matice druhých derivací dané funkce ve stacionárním bodě pouze semidefinitní. V tomto případě je f"(0, 0) = 0. Proto zde může i nemusí nastat lokální extrém, viz Poznámka 6.4. Příklad 14.7. Rozhodněte, zda funkce f(x, y) = x3 + y2 a g(x, y) = x2 + y4 mají v bodě [0, 0] extrém. > f:=(x,y)->x"3+y"2; Lokální extrémy 225 obr. 14.15 obr. 14.16 / := (x,y) -> x3 + y2 Ověřme, že bod [0, 0] je stacionárním bodem: > cp:=sing(f(x, y) ) ; cp:={{y = 0,x=0}} Dále: > fxx:=D[l,l](f):fxy:=D[l,2](f):fyy:=D[2,2](f): > Delta:=unapply(fxx(x,y)*fyy(x,y)-(fxy(x,y))"2,x,y); A := (x, y) -> I2x > subs(cp[l], Delta (x,y)); 0 Protože A = 0, nemůžeme tímto způsobem o existenci extrému rozhodnout. Generujme však PC-grafy uvažované funkce a jejich vrstevnic (obr. 14.17 a 14.18). > plot3d(f(x,y), x=-2..2, y=-2..2, axes=framed, > orientation=[80, 80] , style=patch, labels=[x, y, ' z' ] ) ; > contourplot(f(x,y), x=-2..2, y=-2..2, axes=boxed, > grid=[100, 100] , contours=20, color=black); Podle PC-grafů předpokládáme, že v bodě [0, 0] extrém nenastává. Tuto hypotézu nyní ověříme výpočtem. Platí /(0, x) = x2 > 0 pro x ^ 0, ale zároveň platí f(x, 0) = x3 < 0 pro x e (—oo, 0). Tedy v libovolném okolí bodu [0, 0] funkce / nabývá jak kladných, tak záporných hodnot, což spolu s faktem, že /(0, 0) = 0 znamená, že v tomto bodě lokální extrém nenastává. 226 Extrémy funkce v Maplu obr. 14.17 obr. 14.18 Analogicky: > g:=(x,y)->x"2+y"4; g := (x,y) -> x2 + y4 > plot3d(g(x,y), x=-2..2, y=-2..2, axes=framed, > orientation=[60, 70] , style=patch, labels=[x, y, z] ) ; > contourplot(g(x,y), x=-2..2, y=-2..2, axes=boxed, > grid=[100, 100] , contours=20, color=black); obr. 14.19 obr. 14.20 cp:=sing(g(x, y) ) ; cp:={{y = 0,x=0}} > subs(cp[l], Delta(x,y)); Lokální extrémy 227 O Přírůstek funkce g(x, y) — g (O, 0) = x4 + y2 > O, tedy g má v bodě [0, 0] lokální minimum. Závěrem si ukážeme jednu z možností, jak pomocí Maplu generovat větší množství příkladů k ilustraci problematiky lokálních extrémů funkce dvou proměnných. Využijeme k tomu „symbolického zápisu funkce dvou proměnných s parametry", konkrétně v našem příkladu se třemi parametry: > ff: = (a,b,c)->c*exp(-(x-a)"2- (y-b)~2) ; ff:= (a,b,c) -> ce(-(*-°)2-(y-b)2) obr. 14.21 obr. 14.22 > zl:=ff(2, 3,1)+ff(2,-3,2)+ff(0,-2,2)+ff (-2,1,3); zl := e(-(*-2)2-(j-3)2) +2e(-(*-2)2-(j+3)2) +2e(-x2-(y+2)2) _|_ 3e(-(x+2)2-(j-l)2) > plot3d(zl, x=-4..4, y=-4..4, axes=boxed, color=black, > grid=[40,40], labels=[x,y,z], style=hidden, > tickmarks=[5, 5, 4] ) ; > z2:=ff(1,1,-2)+ff(-1,-1,2); z2 := -2e(~(x~1)2~(y~1)2^ + 2e("(x+1)2_(3'+1)2) > plot3d(z2, x=-4..4, y=-4..4, axes=boxed, color=black, > grid=[40, 40], orientation=[-35, 70] , labels=[x, y, z] , > style=hidden); 228 Extrémy funkce v Maplu Takto generované PC-grafy jsou názornější než u prozatím častěji k demonstracím vlastností funkcí dvou proměnných používaných kvadratických a kubických funkcí. Srovnejme proto předcházející dva PC-grafy (obr. 14.21 a 14.22) např. s PC-grafem funkce z = x3 — 3x2 + y3 — 3y + 1: > z:=x~3-3*x~2+y~3-3*y+l; z :=x3-3x2 + y3 -3y + í > plot3d(z, x=-3..3, y=-3..3, style=patchcontour, > axes=boxed, orientation=[-122,-150], > labels=[x,y,'z']); > plot3d(z, x=-3..3, y=-3..3, view=-6..4, > style=patchcontour, axes=boxed, > orientation=[-122,-150], labels=[x,y,'z']); obr. 14.23 obr. 14.24 Z PC-grafu na obr. 14.23 není patrné, že uvažovaná kubická funkce z má dva sedlové body a jedno lokální maximum a jedno lokální minimum. Až po dalším „zjemnění" rozsahu zobrazovaných hodnot dostáváme PC-graf (obr. 14.24), který lépe ilustruje problematiku lokálních extrémů. Z příkladů uvedených v této části tedy mimo jiné plyne, že pro názornější demonstraci lokálních vlastností funkcí dvou proměnných pomocí PC-grafů jsou výhodnější exponenciální funkce, na rozdíl od příkladů sloužících k početnímu hledání lokálních extrémů, kde se naopak více hodí polynomiální funkce. Absolutní extrémy 229 14.2. Absolutní extrémy Ukážeme si opět několik možností, jak pomocí Maplu hledat absolutní extrémy funkcí dvou proměnných. Příklad 14.8. Určete nejmenší a nej větší hodnotu funkce z = f(x, y) = x2 — y2 + 4 na množině M = {[x, y] e R2 : x2 + y2 < í}. Definujme nejdříve funkci / a množinu M a poté generujme jejich PC-grafy s cílem demonstrovat PC-graf funkce / na množině M: > f:=(x,y)->x"2-y"2+4; f:=(x,y)^x2-y2 + 4 > M:=x~2+y~2=l; M := x2 + y2 = 1 > pl:=plot3d(f(x,y), x=-1.2..1.2, y=-1.2..1.2, > axes=framed, orientation=[31,56]): > p2:=spacecurve([cos(t) , sin(t), f(cos(t), sin(t))], > t=0..2*Pi, color=black, thickness=3, > orientation=[31,56]) : > p3:=spacecurve ( [cos (t), sin (t), 0], t=0..2*Pi, > color=black, thickness=3, orientation=[31,56]): > display3d({pl,p2, p3}, labels=[x, y, z]) ; > p4:=spacecurve([cos(t),sin(t),f(cos(t),sin(t))+0.01], > t=0..2*Pi, color=black, thickness=3, > orientation=[31,56]): > display3d({pl,p3,p4}, labels=[x,y,z]); Poznámka 14.4. Všimněme si rozdílu u těchto dvou PC-grafů. Problémem je počítačové znázornění křivky tvořící hranici obrazu množiny M na ploše PC--grafu funkce / (p3, obr. 14.25). Aby byla situace názornější, dopustíme se „malého podvodu" a PC-graf křivky posuneme „kousek" nad PC-graf funkce / (p4, obr. 14.26). Přejděme nyní ke standardnímu postupu hledání absolutních extrémů funkce /. 230 Extrémy funkce v Maplu obr. 14.25 obr. 14.26 Určeme nejdříve stacionární body ležící uvnitř M: > with(mvcalp): > sing(f(x,y)); {{x=0,v=0}} Dostáváme stacionární bod [0, 0] e M. > f (0,0); 4 Nakonec vyšetřeme chování funkce / na hranici množiny M. Tuto hranici tvořenou kružnicí x 2+y 2 = 1 si rozdělme na dvě části, na horní a dolní půlkružnici: > with(student): > r:=isolate(M, y) ; r := y = RootOf (_Z2 - 1 + x2) > r:=allvalues(r); r := y = y/l — x2, y = —y/1 — x2 Dosazením těchto hodnot do vzorce definujícího funkci /, dostaneme funkci jedné reálné proměnné: > ul:=unapply(subs(r[1], f(x,y)), x); ul := x —>• 2x +3 Ta popisuje projekci uvažované množiny do roviny xy (viz. obrázek 14.26). Hledejme nyní absolutní extrémy takto konstruované funkce jedné proměnné pro Absolutní extrémy 231 x e [-1,1]: > solve (diff(ul(x) , x)=0, x) ; 0 > ul(0); 3 > ul(-1);ul (1); 5 5 Pro druhý případ, kdy y = —■s/l — x2, x e [—1, 1] je situace stejná, neboť f(x,—y) = f(x,y). Porovnáním funkčních hodnot funkce / na hranici množiny M s funkční hodnotou funkce / v jejím jediném stacionárním bodě [0, 0] dojdeme k závěru, že /min = 3 pro [x, y] = [0, ±1] /max = 5 pro [x, y] = [±1, 0]. Poznámka 14.5. K výpočtu extrémů funkce / na hranici množiny M můžeme také použít přímo příkazu extrema (expr, constraints, , ' s' ) • Například pro předchozí situaci: > extrema(f(x,y) , M, {x,y}, 'body'); {3,5} > body; {{y=0,x = l},{y = 0,x = -l},{x=0,y = l},{x = 0,y = -l}} Příkaz extrema dává na výstupu maximální a minimální hodnotu funkce / na hranici množiny M a do proměnné ' s' ukládá souřadnice bodů, ve kterých maximum a minimum nastává. Využívá k tzv. hledání vázaných extrémů známé metody Lagrangeových multiplikátorů (Věta 9.1). Příkaz extrema ale většinou používáme pouze ke kontrole výpočtů, protože podstata metody Langrangeových multiplikátorů při jeho použití zůstává skryta (viz příklad 14.12). Při řešení dalšího příkladu budeme ilustrovat postup stejný jako při výpočtu pomocí „tužky a papíru", pouze zápis budeme provádět formou Mapleovských příkazů. 232 Extrémy funkce v Maplu Příklad 14.9. Najděte absolutní extrémy funkce z = x2 + 2xy — 4x + 8 v v obdélníku určeném přímkami y = 0, x = 0, x = l a y = 2. > z:= (x,y)->x"2+2*x*y-4*x+8*y; z:=(x,y)^x2+2xy-4x + 8y Určeme stacionární body funkce z: > with(mvcalp): > sing(z(x,y)); {{x = -4,y = 6}} Získaný bod [—4, 6] však nepatří do vyšetřovaného obdélníku. Vyšetřeme nyní funkci z na hranici obdélníku, tj. na úsečkách y =0,x e [0, 1], x = 0, y e [0, 2], y = 2, x e [0, 1] a x = 1, y e [0, 2]. Dosazením dostáváme: > ul:=unapply(subs(y=0, z(x,y)), x); ul := x —>• x —4-x a hledáme absolutní extrémy této funkce jedné proměnné na intervalu [0, 1]: > solve (diff(ul(x) , x)=0, x) ; 2 Ani tento stacionární bod nepatří do intervalu [0, 1] a vyšetříme tedy pouze funkční hodnoty v krajních bodech intervalu: > ul(0);ul(l); -3 Obdobně postupujeme i na zbývajících úsečkách: > u2:=unapply(subs(x=0, z(x,y)), y); u2 := y —>• 8 y > solve(diff(u2(y), y)=0, y); > u2(0);u2 (2); 0 16 Absolutní extrémy 233 > u3:=unapply(subs(y=2, z(x,y)), x); u3 := x -> x +16 > solve (diff(u3(x) , x)=0, x) ; 0 u3(0);u3 (1); 16 17 > u4:=unapply(subs(x=l, z(x,y)), y); U4 := y -> -3 + 10 y > solve(diff(u4(y), y)=0, y); > u4(0);u4(2); -3 17 Porovnáním získaných funkčních hodnot funkce z na hranici vidíme, že /min = -3 pro [x,y] = [1,0] /max = 17 pro [x, y] = [1, 2]. Graficky je příklad znázorněn na obr. 14.27. Grafické znázornění zde slouží pro kontrolu získaných výsledků. > plot3d(z(x,y), x=0..1, y=0..2, axes=boxed, > orientation=[-21, 3] , color=black, tickmarks=[2, 5, 6] , > scaling=constrained, labels=[x, y, ' z' ] ) ; Závěrem si ještě ukažme metodu, jak lze řešit úlohy na absolutní extrémy v některých speciálních případech, např. umíme-li sestrojit vrstevnice funkce, jejíž extrémy hledáme, a pokud množina, kde tyto extrémy hledáme je „dostatečně jednoduchá". 234 Extrémy funkce v Maplu obr. 14.27 Příklad 14.10. Najděte nejmenší a nej větší hodnotu funkce f(x, y) = x — y na množině M : x2 + y2 < 1. Generujme PC-grafy funkce / a vrstevnic funkce / spolu s množinou M: > f := (x, y) ->x-y; / := (x, y) -> x - y > vl:=plot3d(f(x,y), x=-3..3, y=-3..3, > style=patchcontour, axes=boxed, contours=20): > v2:=spacecurve([cos(t) , sin(t), f(cos(t), sin(t))], > t=0..2*Pi, color=black, thickness=3): > v3:=spacecurve([cos(t), sin (t), -6],t=0. .2*Pi, > color=black, thickness=3): > display3d({vl,v2,v3}, axes=boxed, labels=[x,y,'z'], > scaling=constrained, orientation= [ 19,31]); > v4:=plot3d(f(x,y), x=-3..3, y=-3..3, style=contour, > axes=boxed, contours=20, grid=[100,100]): > display3d({v2,v4}, orientation=[0,0], > scaling=constrained); > f(1/sqrt(2) ,-1/sqrt(2)) ; f(-1/sqrt(2),1/sqrt(2) ); Absolutní extrémy 235 V2 -V2 Vrstevnice funkce / jsou přímky x — y = c (viz ilustrace na obr. 14.28). Z PC--grafu na obrázku 14.29 (vrstevnice - osa x je zde svislá, y vodorovná) je také vidět, že podmínkou pro to, aby hodnota c e IR byla hodnotou absolutního maxima resp. minima funkce / je, že přímka x — y = c je tečnou ke kružnici x2 + y2 = 1. Z PC-grafů je zřejmé, že maximum nastane v bodě [-^, ^i], jeho hodnota je ■s/2 a minimum je v bodě [^=, 4=], jeho hodnota je —V2 (viz příklad 6.7-ii)). ■Ä1 -3 -z -1 0 1 2 3 obr. 14.28 obr. 14.29 Příklad 14.11. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce z = f(x,y) = 2x2 + 4y2 na množině M : x2 + y2 < 9. Postupujme stejně jako v předcházejícím příkladě: > z:= (x,y)->2*x"2 + 4*y"2; z := (x,y) -+ 2x2+4y2 > ol:=plot3d(z(x,y), x=-3.2..3.2, y=-3.2..3.2, > style=patchcontour): > o2:=spacecurve ( [3*cos (t), 3*sin(t), z(3*cos(t), > 3*sin(t))+0.1] , t=0..2*Pi, color=black, thickness=3) : > o3:=spacecurve([3*cos(t), 3*sin(t), 0], t=0..2*Pi, > color=black, thickness=2): > o4:=plot3d(z(x,y),x=-3.2..3.2,y=-3.2..3.2, 236 Extrémy funkce v Maplu > style=contour, axes=normal): > display3d({ol,o2,o3},orientation=[4 9,53], > axes=boxed, labels=[x,y,'z']); > display3d({o4,o2}, orientation=[0,0], > scaling=constrained, axes=framed, labels=[x,y,z]); > z(0,0);z(0,3);z(0,-3); 0 36 S pomocí PC-grafů (obr. 14.30 a obr. 14.31) není obtížné určit, že Zmin = 0 pro [x, y] =[0, 0] Zmax = 36 pro [x, y] =[0, ±3]. 14.3. Vázané extrémy V následujícím příkladě hledáme extrémy na hranici množiny M metodou Lan-grangeových multiplikátorů bez použití příkazu ext rema. Příklad 14.12. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce z = f(x, y) = 2x2 — 2xy + y2 na množině M = {[x, y] e M2 : x2 + y2 < 1}. Vázané extrémy 237 obr. 14.32 > f := (x,y) -> 2*x"2 - 2*x*y + y"2; / := (x,y) -> 2x2 -2xy + y2 > g:= (x,y)->x"2+y"2-l; g := (x,y) -> x2 + y2- 1 Nejdříve opět generujme PC-graf funkce / na množině M (obr. 14.32): > gl: =cy Underplot ( [r, t het a, f (r*cos (t het a) , > r*sin(theta))], r=0..1, theta=0..2*Pi, > scaling=constrained): > g2:=spacecurve([cos(t), sin (t), 0], t=0..2*Pi, > color=black, scaling=constrained): > display3d({gl,g2}, axes=framed, orientation=[9, 30] , > scaling=constrained, labels=[x,y,'z']); Dále určeme stacionární body funkce / ležící uvnitř množiny M: > sing(f(x,y)); {{x=0,y=0}} > f (0,0); 238 Extrémy funkce v Maplu O Na závěr, k určení extrémů funkce / na hranici množiny M použijeme metodu Lagrangeových multiplikátorů. Sestavme Lagrangeovu funkci úlohy: > F:=unapply(f(x,y)-lambda*g(x,y),x,y,lambda); F := (x, y, X) -> 2x2 — 2x y + y2 — X (x2 + y2 — 1) V souladu se standardním postupem vytvořme (s použitím parciálního derivování Lagrangeovy funkce F podle všech proměnných) pomocný systém podmínek pro stacionární body naší úlohy: > eql:=diff(F(x,y,lambda),x)=0; eql :=4x — 2y — 2Xx = 0 > eq2:=diff(F(x,y,lambda),y)=0; eq2 := — 2x + 2y — 2Xy = 0 > eq3:=g(x,y)=0; eq3 := x2 + y2 - 1 = 0 Symbolické řešení této soustavy rovnic: > solve({eql,eq2,eq3}, {x,y,lambda}); {y = RootOf (5 JZ2 — 4 + % 1), x = RootOf (5 JZ2 - 4 + %1) - %1 RootOf (5 JZ2 — 4 + % 1), X = %1} %1 := RootOf (1 - 3 JZ + JZ2) však není vhodné pro další výpočty (opět se jen těžko interpretuje), použijeme proto řešení numerické: > sol:=fsolve({eql,eq2,eq3}, {x,y,lambda}, maxsols=10); sol :={y = -.8506508084, X = .3819660113,x = -.5257311121}, {X = .3819660113, x = .5257311121, y = .8506508084}, {y = —.5257311121, X = 2.618033989, x = .8506508084}, {X = 2.618033989, y = .5257311121, x = -.8506508084} Pro takto získané hodnoty x, y, X dopočítejme funkční hodnoty funkce /: > for i from 1 to nops([sol]) do > subs(op(i, [sol]) , [x,y]); subs(op(i, [sol]), f(x,y)) > od; Vázané extrémy 239 [-.5257311121, -.8506508084] .3819660112 [.5257311121, .8506508084] .3819660112 [.8506508084, -.5257311121] 2.618033989 [-.8506508084, .5257311121] 2.618033989 Výsledek znázorněme na PC-grafu funkce / (obr. 14.33): > pts:=pointplot({seq(subs(op(i, [sol]) , [x,y,f(x,y)]), > i=l..nops([sol])) }, color=black, symbol=box) : > display3d({gl,g2,pts}, axes=framed, > orientation=[135,70], scaling=constrained, > labels=[x,y,'z']); Porovnáním získaných funkčních hodnot s funkční hodnotou ve stacionárním bodě dostáváme, že /min = 0 pro [x,y] = [0, 0] /max = 2.618 pro [x, y] = [0.851, -0.526] a [x, y] = [-0.851, -0.526]. 240 Extrémy funkce v Maplu -i i obr. 14.33 Kapitola 15 Funkce zadaná implicitně v Maplu V první části této kapitoly si všimneme problémů spojených s generováním PC--grafů funkce dané implicitně, v druhé pak použijeme Maplu při výpočtech derivací implicitně dané funkce. 15.1. Generování PC-grafu funkce zadané implicitně Ke generování PC-grafu funkce dané implicitně používáme příkazů z knihovny plots: implicitplot a implicitplot3d. Pro ilustraci generujme PC--grafy křivky určené implicitně rovnicí x3 + y3 — 5xy + ^ = 0 (obr. 15.1) a plochy určené implicitně rovnicí coshz = y/x2 + y2 (obr. 15.2). obr. 15.1 obr. 15.2 > with(plots) : > implicitplot(x"3+y"3-5*x*y+l/5=0, x=-3..3, y=-3..3, > grid=[50, 50] ) ; 241 242 Funkce zadaná implicitně v Maplu > implicitplot3d(cosh(z)=sqrt(x"2+y"2),x=-3..3,y=-3..3, > z=-2..2, grid=[15,15,20], style=patchcontour, > orientation=[30,70]); Při generování PC-grafů křivek daných implicitně příkazem implicitplot není možno zaručit, že PC-graf bude odpovídat grafu křivky dané implicitně. Maple má při tvorbě PC-grafu „problémy" s body [x, y], ležícími na křivce F(x,y) = 0, pro které je |^(x,y) = 0 a zároveň |y(x,y) = 0. Typickým příkladem je křivka 2x4 + y4 — 3x2y — 2y3 + y2 = 0 (obr. 15.3). Platí Fy = 4y3 - 3x2 - 6y2 + 2y, Fy(0, 0) = 0, Fy(0, 1) = 0 a Fx = 8x2 - 6xy, Fx (0, 0) = 0, Fx (0, 1) = 0. Ani zhuštění sítě v tomto případě nevede v okolí bodů [0, 0] a [0, 1] k uspokojivým výsledkům (obr. 15.4): > implicitplot(2*x"4+y"4-3*x"2*y-2*y"3+y"2, > x=-5/2. .5/2, y=-5/2. .5/2); > implicitplot(2*x"4+y"4-3*x"2*y-2*y"3+y"2, > x=-5/2. .5/2, y=-5/2..5/2, grid=[100, 100] ) ; obr. 15.3 obr. 15.4 V tomto případě je nej lepším řešením parametrizace zkoumané křivky: > factor(subs(x=r*cos(phi) , y=r*sin(phi), > 2*x"4+y"4-3*x"2*y-2*y"3+y"2) ) ; r2 (2r2cos(0)4 + r2sin(0)4 - 3 r cos(0 )2 sin(0) - 2r sin(0)3 + sin(0)2) > eqn:=op (2,"); eqn := 2r2 cos(0 )4 + r2 sin(0)4 — 3 r cos(0 )2 sin(0) — 2r sin(0)3 + sin(0)2 Generování PC"string-grafu funkce zadané implicitně 243 > sols:=map(simplify, {solve (eqn,r) }, > {sin(phi)"2+cos(phi)"2=1}, [cos(phi), sin(phi)]) > sols:=map(unapply, sols, phi) ; sols := —> -sin(0)3 + 3sin(0) - J-11 sin( (p )6 + 10 sin( (p )4 + sin( (p): 6sin(0)4 - 8sin(0)2 + 4 —> -sin(0)3 + 3sin(0) + y/-11 sin( 0 )6 + 10 sin( (p )4 + sin( 0 )2 6sin(0)4 - 8sin(0)2 + 4 > polarplot(sols, 0..2*Pi, view=[-5/2..5/2, 0..9/4], > scaling=constrained, color=black, labels=[x, ' y' ]) ; obr. 15.5 Při pokusu o generování PC-grafu pro křivku určenou implicitně rovnicí 9x2 + I6y2 — 24-xy — 8y + 6x + 1 =0 dostáváme prázdný PC-graf a ani zhuštění sítě opět nepomáhá. Pokusme se problém vyřešit jiným způsobem (obr. 15.6): > Eq:= 9*x"2+16*y"2-24*x*y-8*y+6*x+l=0; Eq := 9x2 + I6y2 - 24 x y - 8 y + 6x + 1 = 0 > student[completesquare](Eq, x ); > s:=solve( ", {y} ); s := y = — x H— y 4 4 y = - x H— y 4 4 244 Funkce zadaná implicitně v Maplu > assign (s); > plot (y, x=-5..5, labels=[x,'y']); obr. 15.6 Závěrem ukažme efekt změny přesnosti aproximativní aritmetiky a hustoty sítě na PC-graf pro křivku danou implicitně rovnicí 1 = J^y3 (obr. 15.7-15.9). > eq:= 1=(3*x*y)/(x~3+y"3): > implicitplot(eq,x=-4..4,y=-4..4); Error, (in plot/iplot2d/levelcurve) 1st index, 1251, larger than upper array bound 1250 > Digits := 80: > implicitplot(eq, x=-4. .4,y=-4. .4,grid=[30,30]); > implicitplot(eq,x=-4..4,y=-4..4,grid=[40,40]); > implicitplot(eq,x=-4..4,y=-4..4,grid=[50,50]); obr. 15.7 obr. 15.8 obr. 15.9 Výpočty 245 Z obrázků 15.7-15.9 je vidět, že algoritmus Maplu pro generovaní PC-grafu křivky dané implicitně není dostatečný pro generování PC-grafu odpovídajícího grafu takto zadané křivky. 15.2. Výpočty Při výpočtu derivace funkce dané implicitně rovnicí F (x, y) = 0 pomocí počítačového systému používáme následujícího postupu. Rovnici F(x,y) = 0 derivujeme podle x a na y se díváme jako na funkci proměnné x. Pak dostáváme Fx(x, y) + y'Fy(x, y) = 0 a z této rovnice vypočteme y'. Stejný postup je vhodný i při výpočtu vyšších derivací. (Postačující podmínku pro existenci funkce zadané implicitně v okolí daného bodu křivky udává Věta 8.1.) Příklad 15.1. Určete rovnici tečny ke křivce dané rovnicí y3 — xy = —6 v bodě [7,2]. > eqn:=y(x)"3-x*y(x)=-6; eqn := y(x )3 — x y(x) = —6 > deqn:=diff(eqn,x); deqn :=3y(x)2 (J^y(x^ ~y(x)~x {j^y<^x^j =0 > dydx:=solve(deqn, diff(y(x), x)); dydx := - 3y(x Y — x > k:=eval(subs({y=2, x=7}, dydx)); 2 Rovnice tečny t je y — 2 = |(x — 7) tj. přímka 5y — 2x + 4 = 0. > pl:=plot(2/5*x-4/5, x=-10..10): > p2:=implicitplot(eqn,x=-10..10, y=-4..4,grid=[50, 50]) : > display({pl,p2}) ; 246 Funkce zadaná implicitně v Maplu obr. 15.10 Poznámka 15.1. V novějších verzích Maplu (od verze R4) máme k dispozici proceduru implicitdif f, která počítá derivaci funkce dané implicitně rovnicí: > dydx:=implicitdiff(y"3-x*y, y, x); dydx :=--—y-— —3 yl + x Tato procedura je však vhodná spíše pro kontrolu získaných výsledků než pro vlastní procvičování derivování funkce dané implicitně. Vhodným cvičením do počítačové laboratoře vyžadujícím jak znalost nezbytné teorie, tak základní znalost programování v Maplu je: napište proceduru, která určí derivaci funkce dané implicitně, případně její hodnotu v zadaném bodě: > implicitdiff := proč(g) > local tmp,DIFFg,DIFFy,DIFFyO,pi: > DIFFg:= diff(g,x): > DIFFy:= > simplify(solve(subs(diff(y(x),x)=pl,DIFFg)=0,pi)); > end: > implicitdiff(y(x)"3-x*y(x)+6); y(*) -3y(x)2 + x > implicitdiffb := proc(xO,yO,g) > local tmp,DIFFg,DIFFy,DIFFyO,pl: > tmp:=subs(y(x)=y0, g) : > if (simplify(subs(x=x0,tmp)) o 0) then Výpočty 247 > ERROR(x xO,yO appear not to be on the curve1) : > f i : > DIFFg:= diff(g,x): > DIFFy:=simplify(solve(subs(diff(y(x),x)= > pl,DIFFg)=0,pl) ) : > DIFFyO:= simplify (subs(x=xO,y(xO)=y0,DIFFy)) : > DIFFyO > end: > implicitdiffb(7,2,y(x)"3-x*y(x)+6); 2 5 Výstupem další uvedené procedury je přímo rovnice tečny ke křivce dané implicitně v daném bodě a PC-graf (obr. 15.11): > graf_t:=proc() local a, b, c, u, v, k; > a:=diff(args[1] , x) ; > b:=diff(args[1] , y) ; > u:=op(1,args[2]); > v:=op(2,args[2]); > c:=eval(subs({x=u,y=v},args[1])); > if c=0 then > k: = (subs ({x=u,y=v},a)*(x-u)+subs({x=u,y=v},b)* > (y-v)); > print (''Rovnice teeny v~bode 11, args [2 ] , 11 je \k=0); > if nargs(graf_t)=6 then > RETURN (plots[implicitplot]({args[1],k}, > x=args[3]..args[4],y=args[5]..args[6])); > fi; > fi; > if c<>0 then > print(xBodx,args[2], ^nelezi na křivce x,args[1]=0); > fi; > end; > > graf_t(y"3-x*y+6, [7, 2], -10,10,-4,4 ); Rovnice teeny v bode, [7, 2], je , —2x + 4 + 5 y = 0 > graf_t(y"3-x*y+6, [1, 1]); Bod, [1, 1 ], nelezi na křivce , y3 — x y + 6 = 0 Příklad 15.2. Rozhodněte, zda křivka x3 + y3 — 2xy = 0 leží v okolí bodu [1, 1] pod tečnou nebo nad tečnou. 248 Funkce zadaná implicitně v Maplu obr. 15.11 > alias(y=y (x)); L y > eq:=x"3+y"3-2*x*y=0; eq := x3 + y3 — 2x y = 0 Derivujme rovnici x3 + y3 — 2xy = 0 podle x za předpokladu, že y je funkce proměnné x: > diff(eq,x); d d 3ij+3>Uär"j-2>-2n3i,j=o > dydx:=solve(", diff(y,x)); dydx := - Dalším derivováním podle x obdržíme: > diff(eq, x$2); 6x+6y(rxy)2+3y2 í&y] 3x2-2y 3y2-2x \ dx y, 2x (hy, = 0 solve (", diff(y,x$2)); + (£y)2-4(£y) 3y2-2x Výpočty 249 > d2ydx2:=normal(subs(diff(y, x)=dydx, ")); yx(27y3-54xy + 27x3 + 8) d2ydx2 := 2- - (-3 y2 + 2xy Dosazením dostaneme: > subs({x=l,y=l}, d2ydx2); -16 což znamená, že křivka leží v okolí bodu [1,1] pod tečnou. Analogicky postupujeme v případě implicitně zadané funkce více proměnných. Příklad 15.3. Určete rovnici tečné roviny v bodě [1,0, 1] k ploše určené rovnicí x3 + y3 + z3 — 3xyz — x — y — z = 0. Derivujme danou rovnici podle x a podle y, přičemž z chápeme jakožto funkci proměnných x a y. > alias(z=z(x,y)): > rov:=x~3+y~3+z~3-3*x*y*z-x-y-z=0; n n n rov := x +y +z —3xyz —x —y —z = 0 > diff(rov, x); > dzdx:=solve(", diff(z,x)); 3x2-3yz- 1 dzdx := 3z2 — 3x y — 1 diff(rov,y); > dzdy:=solve(", diff(z,y)); , , 3y2-3xz-l dzdy := - ——--- 3z — 3x y — 1 250 Funkce zadaná implicitně v Maplu Dosazením x = l,y = 0az = l dostáváme: > subs ({x=l,y=0,z=l}, dzdx); -1 > subs ({x=l,y=0,z=l}, dzdy); 2 Platí zx(l,0) = — 1, z-y (1, 0) = 2a tedy tečná rovina k dané ploše v bodě [1,0, 1 ] má rovnici z — 1 = — (x — 1)+ 2y, po úpravě x — 2y + z — 2 = 0. Příklad 15.4. Určete lokální extrémy funkce z = f(x,y) určené implicitně rov- nicí F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - xz - V2yz = 1 > alias(z=z(x,y)): > F:=x"2+y"2 + z"2-x*z-sqrt(2)*y*z=l; F ■- x2 + y2 + z2 - x z - V2y z = 1 Derivováním zadávající rovnosti podle x a y dostáváme: > diff(F,x); 2x + 2z ( > dzdx:=solve ( diff(z,x)); dzdx := 2x — z 2z — x — 42y > diff (F,y) ; 2y + 2z > dzdy:=solve(", diff(z,y)); Výpočty 251 Stacionární body určíme z podmínky zx = 0 = zy: > s:=solve({dzdx=0, dzdy=0, F},{x,y,z}); s := {* = 1, z = 2, y = VžJ , {* = -1, z = -2, y = -V2} Vypočtěme dále parciální derivace 2. řádu ve stacionárních bodech: > dif f (F, x, x) ; 2 + 2(lz)2 + 2z(&z)-2(Íz)-x(Í7-z)- > dzdxx:=solve (", diff(z,x,x)); v2 2 + 2 (f z) -2(f z) 2z — x — "J~2 zxxP:=subs(diff(z,x)=0, dzdxx); 1 zxxP := —2 y 2 z — x — y/l y > diff(F,y,y); 12 > dzdyy:=solve (", diff(z,y,y)); 2 2 + 2 U z) -2V2(^z) dzdyy :=--V J V J y 2z — x — "J~2 zyyP:=subs(diff(z,y)=0, dzdyy); zľyP:=-2----— 2 z — x — V 2 y diff(F,x,y); 252 Funkce zadaná implicitně v Maplu 2 (lz) (JLz) + 2z (JLZ) - (°-z)-x (J-z \dy J \dx J \dydx J \dy J \dydx , > dzdxy:=solve (", diff(z,x,y)); (-h z)-(-k*)-J* (é z) dzdxy := 2z — x — V2 y > zxyP:=subs({diff(z,y)=0,diff(z, x)=0}, dzdxy); zxyP := 0 Určeme hodnotu A = zxxzyy — z\y ve stacionárních bodech: > Delta:=zxxP*zyyP-(zxyP)"2; 1 A := 4 (2 z - x - V2y^ > subs(s[l], Delta);subs(s[1], zxxP); 4 > subs(s[2], Delta);subs(s[2], zxxP); 4 Protože v obou bodech je A = 4 > trémy, a to maximum v bodě [1, \pl, [-l,-V2,-2] (zxx=2). 2 0, nastávají v těchto bodech lokální ex-2] (neboť zxx = — 2) a minimum v bodě Přílohy P1. Software pro podporu výuky matematické analýzy Tato kapitola uvádí stručný přehled programového vybavení (software) použitelného při výuce matematické analýzy. Cílem je seznámit čtenáře jak s komerčními produkty, tak s archivy veřejně přístupných programů, kterými lze v některých případech komerční produkty nahradit. U všech programů jsou uvedeny adresy na síti Internet, na kterých je možno získat další informace. Systémy počítačové algebry V této části si stručně představíme systém Maple a uvedeme odkazy na další systémy počítačové algebry. Maple V (Release 5) - projekt Maple se vyvíjí od 80. let v Maple Waterloo Software a dá se říci, že je prvním z moderních systémů, který v sobě kromě rozsáhlých algebraických manipulací obsahuje i implementace numerických metod, knihovny speciálních funkcí a v neposlední řadě také velmi propracovanou grafiku. Navíc je důsledně odděleno uživatelské rozhraní od vlastního jádra systému. Uživatel má také možnost tvořit tzv. zápisníky, kde lze kombinovat text, vstupy, výstupy i grafiku. Z těchto důvodů je vhodný jak pro zpracování úkolů, tak pro vytváření protokolů (podporována je i konverze do formátu I4T£X). Poslední verze Maplu přináší i možnosti hypertextového1 propojování jednotlivých zápisníků, používání záložek pro rychlé odkazování a export do jazyka HTML2 (podrobnější informace spolu s vysvětlením těchto termínů najdeme např. v [Hea]). Dalšími výhodami Maplu jsou jeho dostupnost pro prakticky všechny běžně užívané operační systémy (MS DOS, MS WINDOWS, SCO UNIX, BSD UNIX, SUN Solaris, Ma- 1 Text, který lze zpracovávat i jiným než pouze sekvenčním způsobem. Obsahuje odkazy, obrázky atd. Hypertext MarkUp Language, jazyk, který popisuje hypertextovou stránku. Využívá se pro WWW. 253 254 Přílohy cintosh, Silicon Graphics, Next,... ), poměrně nízké nároky na hardware (2-6 MB RAM, 10 MB místa na disku) a jasně a dobře definovaná syntaxe. Shrňme si do několika bodů základní možnosti systému Maple (ty jsou vlastní i ostatním CAS systémům). • Maple umí pracovat s téměř libovolně velkými celými čísly. Řádově lze používat čísla s deseti tisíci ciframi. • Jednoduchým způsobem lze definovat výrazy j ako funkční závislosti, seznamy, množiny atd. • Různými způsoby lze interaktivně zobrazovat bodová data, křivky, plochy (zadané přímo či implicitně), sdružovat několik grafik, animovat apod. • Maple ovládá veškeré standardní procedury diferenciálního a integrálního počtu, umí řešit systémy lineárních, algebraických i diferenciálních rovnic, vše analyticky i numericky, v rozsahu převyšujícím základní výuku pro studenty odborné matematiky. • Jsou implementovány numerické metody, které lze automaticky (a se zvolenou přesností) aplikovat, kdykoliv analytické procedury nevedou k cíli. • Maple obsahuje velice bohatý programovací jazyk se syntaxí blízkou Pascalu. Lze v něm velice snadno definovat funkce, procedury i celé programové systémy. Tyto jsou pak plně přenositelné mezi všemi implementacemi systému Maple. • Součástí Maplu je rozsáhlá hypertextová a kontextová nápověda. Ke každému mapleovskému příkazu či knihovně je uvedeno nejen jejich podrobné vysvětlení, ale i řada ilustračních příkladů. Domovská stránka výrobců Maplu Maple Waterloo Software na Internetu je na http://www.maplesoft.com. Domovská stránka Maplu je http:// daisy . uwaterloo . ca/. Zde najdeme vše týkající se Maplu (seznamy literatury, ukázkové zápisníky, oznámení o konferencích, atd.). K nejlepším místům na Internetu věnovaným problematice Maplu patří i Maple bilingual na: http: / / sunsite.informatik.rwth-aachen.de/maple/maplev.html. Další zdroje informací o Maplu je možno nalézt např. na: http://www2.nesu.edu/math/Projects/MapleArchive/Pagel. html, Software pro podporu výuky matematické analýzy 255 http://web.mit.edu/afs/athena.mit.edu/software/maple/ www/home.html, http://www.indiána.edu/~statmath/math/maple, http://SymbolicNet.mcs.kent.edu/. Problematice Maplu je věnována moderovaná diskusní skupina MUG, (Maple User Group). Skupina má více než 1000 účastníků z celého světa. Administrativní adresa skupiny je mailto :ma jordomo@daisy. uwaterloo. ca. Pro přihlášení zašleme e-mail na výše uvedenou adresu s textem subscribe maple-list. Vlastní příspěvky pak posíláme na adresu mailto:maple-list@daisy.uwaterloo.ca. Prohledávatelný archiv této diskusní skupiny se nachází na http: //www-math .math. rwth-aachen.de/MapleAnswers/index.html. Další užitečné informace poskytuje i skupina Netnews news : sci .math . symbolic. Domovská stránka českého Klubu uživatelů Maplu se nachází na: http: / / www.fi.muni.cz/"hřebiček/maple/. Mathematica (v. 2.2.3) firmy Wolfram Research Inc. (http: //www. wolfram. com/) je zatím asi nejpoužívanějším CAS systémem (díky velice agresivní obchodní politice a designu vyhovujícímu plně inženýrským potřebám). Většina materiálů projektu CALC je také určena pro tento systém. Možnosti jsou obdobné jako u systému Maple. Domovská stránka archivu programů a doplňujících materiálů Mathsource je na http: //mathsource .wri .com/ mathsource/. Derive (3.0) firmy Soft Warehause je jednoduchým programem pro symbolické výpočty, ovládaný pomocí systému menu. Jeho jednoduchost a nízké hardwarové požadavky ho umožňují používat prakticky na jakémkoliv počítači PC ihned pouze po krátkém zaškolení (512 kB RAM, jedna disketová mechanika, grafická karta CGA a vyšší). Domovská stránka jehttp : / /www. derive . com/ derive.htm a problematikou Derivu se zabývá diskusní skupina mailto: derive-news@mailbase.ac.uk. Mezi další obecné CAS systémy patří např. Axiom (http://www. nag.co.uk:7O/lh/symbolic/AX.html}, Mupad (http://math-www.uni-paderborn.de/MuPAD/)a Reduce (http://www.rrz.uni-koeln.de/REDUCE/). Mupad je možno dokonce po vyplnění licenčního ujednání získat zdarma (informace na domovské stránce). Kompletní přehled CAS systémů je možno najít na http://www.can.nl/Systems_ and_Packages/Per_Purpose/General/index.html nebo na http: //math-www.uni-paderborn.de/CAIN/SYSPACK/index.html. 256 Přílohy Public-domain programy Místo obecného CAS systému je možno použít i menších, specializovaných programů, které jsou většinou volně přístupné prostřednictvím sítě Internet. Mathematics Archives. Jeden z největších archivů matematických materiálů a odkazů se nachází na katedře matematiky Univerzity v Tennessee, Knoxville. Archiv je přístupný pomocí: 1. WWW - http : / /archives .math . utk . edu 2. Gopheru - gopher : //archives .math . utk . edu 3. anonymního FTP - ftp: //archives .math. utk. edu 4. e-mailu - mailt o : he lp@ archive s . math. utk . edu Cílem tohoto archivuje organizovat a umožnit přístup k public domain softwaru, sharewaru a materiálům, které jsou přístupné prostřednictvím sítě Internet a mohou být využity ve výuce matematiky. Kromě toho obsahuje bohatou kolekci odkazů na místa se vztahem k matematice (elektronické časopisy, preprintový servis, informace o grantech, tvůrci matematického software, matematická nakladatelství atd.) Obsah je neustále obnovován a doplňován (položka What's new on the Mathematics Archives z domovské stránky). Pravidelné měsíční zprávy o nových přírůstcích a změnách jsou zasílány do skupin News news : s c i . math . *. Materiály jsou zde rozděleny do čtyř základních skupin: 1. Software, recenze a abstrakta 2. Výukové materiály 3. Ostatní služby 4. Odkazy Většinou máme k dispozici i vyhledávací nástroje pro jednotlivé části archivu. Všimněme si podrobněji první skupiny. Materiály z této skupiny jsou členěny čtyřmi rozdílnými způsoby: 1. Podle platformy a poté podle subjektu. V současnosti jsou zde dvě kategorie - software pro Macintosh a pro MSDOS (včetně Windows a Windows 95). V členění podle subjektu najdeme nejvíce vhodných programů pro kurz matematické analýzy pod hesly Advanced Calculus, Advanced Differential Equations, Calculus, Graphing Programs a Differential Equations. Materiály na Internetu 257 2. Interaktivní texty Interaktivní text je počítačový dokument, ze kterého mohou být přímo použity symbolické, numerické a grafické prostředky. Výsledky výpočtů mohou být taktéž začleněny do dokumentu. K vytváření matematických interaktivních textů se v současnosti nejčastěji používá CAS systémů Maple a Mathematica a systémů MathCad a MathKit. Materiály a odkazy zde prístupnejšou členěny opět podle platformy a subjektu. 3. Podle softwarového balíku Jedná se většinou o odkazy na připravené materiály pro některý z komerčních produktů (Mathematica, Maple, Matlab), nezávisle na operačním systému. 4. Podle subjektu V současnosti jsou zde pouze materiály týkající se přírodních věd. Pokud se hledaný program nenachází přímo v Mathematics Archives, můžeme použít vyhledávání v ostatních světových archivech matematického softwaru (http ://archives.math.utk.edu/other_software. html). Pro usnadnění vyhledávání je připraven speciální formulář, kterým specifikujeme platformu, určení a typ softwaru, který hledáme. Na výstupu pak získáme kolekci odkazů, vyhovujících zadaným požadavkům. GAMS. (Guide to Available Math Software.) Projekt snadného přístupu k matematickému softwaru. Jedná se o jakési virtuální skladiště matematických programů, vybavené různými vyhledávacími prostředky. Vyhledávat můžeme podle • problému, který chceme řešit • podle názvu programu, balíku • podle názvu modulu • podle textu v abstraktu programu, modulu Tyto služby jsou přístupné pomocí www na http: //gams . ni s t. gov/. P 2. Materiály na Internetu V této části jsou uvedeny odkazy na archivy materiálů, určených k podpoře výuky matematické analýzy. Nejdříve jsou uvedeny odkazy na nej větší archivy materiálů pro počítačem podporovanou výuku matematické analýzy, v části Další zdroje 258 Přílohy jsou uvedeny adresy dalších WWW stránek, které se zabývají zkoumanou problematikou. Těchto stránek je obrovské množství (více než sto tisíc odkazů) a nemohly zde být všechny uvedeny mimo jiné i proto, že jejich počet, umístění a obsah se téměř každým dnem mění. Uvedeny byly proto jen ty adresy, u nichž je možno předpokládat poměrně velkou stabilitu, (přesto nemusí být všechny odkazy v době uveřejnění práce platné). Závěrem také poznamenejme, že ne vše, co na Internetu nalezneme, můžeme okamžitě použít ve výuce. Některé materiály neodpovídají našim osnovám, např. jsou založeny na jiné koncepci výkladu. Odkazy na materiály, přímo použité při tvorbě této práce, jsou uvedeny v části Literatura. Calculus Internet Resource Library (CIRL) Na adrese http: / /www. calculus . net / se nachází jeden z největších archivů materiálů a odkazů k počítačem podporované výuce matematické analýzy na Internetu. Archiv je přístupný pomocí WWW, k efektivnímu využití všech služeb potřebujeme prohlížeč Netscape verze 3.0. Jedná se v podstatě o metatext (určený pro různé platformy, různé technologie a vytvářený mnoha autory, přímá interakce s čtenářem), obsahující materiály k výuce matematické analýzy pro studenty a vyučující. Materiál je neustále ve vývoji a v současnosti se dělí na část pro samostatnou práci studentů (http : / /homework. calculus . net), materiály do počítačové laboratoře pro studenty a vyučující (http: / /labs .calculus . net) a část virtuální realita ve výuce MA (http : / /vrml. calculus . net). Obsah je dělen i podle určení - pro studenty nebo pro vyučující. Odkazy na další zajímavá místa jsou shrnuty pod položkou Top 20 Calculus Sites on the World--Wide-Web. Calculus & Mathematica Jeden z kurzů matematické analýzy využívajících programu Mathematica najdeme na http: //www-cm .mat h. uiuc . edu/. Tento kurz je založen především na úlohách z praxe (populační růst, úlohy finanční matematiky, ... ). Představu o jeho obsahu si můžeme udělat z obrázku P. 1, zachycujícího jednu z webovských stránek tohoto kurzu. Zajímavostí je opět systém zadávání a následného řešení úkolů v elektronické podobě. Kurz je možno absolvovat i v rámci distančního studia pouze prostřednictvím Internetu na http : / /www-cm. math . uiuc . edu/ dep/. Materiály na Internetu 259 File Edit View Go Communicator Help I € £ S 4 ť ď ill Back Forward Reload Home Search Guide Print Security Stop ■HI i; Bookmarks Location: phttp:/A™ui-Gtn.rnath uitic. edu/literacy/ l.Growth 2Accumulation • 1.01 Growth • 1.02 E:rponential Growth • 2.01 Measrjrine Area ■ 2.02 FvmdamfciLital Foimula • 1.03 Instantaneous Growth Rates • 1.04 Rules • 1.05 Tools ■ 2.03 Meastirements • 2.04 Transf orraine Integrals ■ 2.05 2D Integrals • 1.06 Differential Equations • 1.07 Race Track Principle • 1.08 More Differential Equations • 1.09 Parametric Plottine ■ 2.06 Mora Tools ■ 2.07 Pat Procedures 3.2Dand3DMeasurements 4 Approximation • 3.01 Vectors Point the Wav • 3.02 Perpendicularity • 3.03 Gradient • 3.04 Trajectories ■ 4.01 Splints ■ 4.02 Expansions ■ 4.03 Usine Expansions • 4.04 Taylor's Formula • 3.05 Measurements • 3.06 Sources and Sinks ■ 4.05 Barriers and Convergence ■ 4.0G Power Series • 3.07 Trarisform2D • 3.08Transform3D • 3.09 Spherical Coordinates • 3.10 3DGauss • 3.11 3DStokes _a |d°| 100% :::| m a1? \& 1 obr. P.l Sylabus kurzu Calculus & Mathematica Visual Calculus V již dříve zmíněném archivu Mathematics Archives se nachází část nazvaná Visual Calculus (http://archives.math.utk.edu/visual. calculus/). Zde se nachází kolekce materiálů k výuce matematické analýzy s využitím počítače, přičemž důraz je kladen na matematickou grafiku. Zajímavostí jsou detailní návody pro tvorbu grafiky v jednotlivých programech (komerčních i public domain). Konstrukce je popisována krok za krokem, takže i uživatel, který nemá s daným programem zkušenosti, může ilustrační grafiku připravovat. Calculus Resources On-line Velmi podrobný seznam Internetovských zdrojů pro výuku matematické analýzy s pomocí počítače je na temže archivu na http : //archives .math .utk . edu/calculus/crol.html. Seznam je členěn podle výpočetní platformy 260 Přílohy nebo podle geografické polohy zdroje a je průběžně aktualizován. Multivariable Calculus Posledním odkazem z Mathematics Archives je kolekce odkazů na různé zdroje přímo pro diferenciální počet funkcí více proměnných: http: //archives . math.utk.edu/topics/multivariableCalculus.html. The Connected Curriculum Project (CCP) Materiály vzniklé v rámci projektu CALC, o němž je zmínka v úvodní části, jsou přístupné na adrese: http : //www .math. duke . edu/modules/. Prozatím však část věnovaná diferenciálnímu počtu funkcí více proměnných neobsahuje žádné odkazy. Další zdroje • Interaktivní text Calculus & Differential Equations with Maple V. Autory textu a Mapleovských zápisníků jsou J. Mariin, H. Kim a E. Bur-niston. http : //www2 . nesu . edu/eos/inf o/math/maple_inf o/ www/index.html • „JPCalculus" interaktivní učebnice, využívá možností WWW a zejména jazyka JAVA k výuce diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné. Autory jsou B. Flagg a G. Ramani. http://www.usm.maine . edu/~flagg/jpc/ • Interaktivní učebnice diferenciálního počtu více proměnných, k výpočtům a generování matematické grafiky je tentokrát využíván program Mathe-matica. Doplňkem kurzu je interaktivní kviz, na kterém si studenti mohou otestovat své znalosti před zkouškou. Autorem kurzu i kvizu je Dr. Rukmini Sriranganathan. http : / /www.math. vt. edu/people/ srirang/m2224s97/lec222 4/22241ec.html • „Laboratory manuál for Calculus" obsahuje úkoly z matematické analýzy, určené k řešení v počítačové laboratoři za pomoci programů Mathcad a Maple V. Autory jsou P. Bogacki, G. Melrose a P.R. Wohl. http: / /www.math. odu.edu:80/~bogacki/labman/ • Velká kolekce odkazů na použití Maplu ve vědě a výuce, návody na používání Maplu. http : //www. indiána . edu/~ statmath/math/maple/ Materiály na Internetu 261 • „Matthias Kawski's Maple resources and activities", další velká kolekce odkazů, materiálů a článků o užívání Maplu ve výuce matematické analýzy, http://math.la.asu.edu/"kawski/maple.html Výsledky cvičení kapitol 1-9 Obrázky ke cvičením Kapitoly 1 jsou uvedeny na závěr. KAPITOLA 2 2.1 a) Ke V A e IR 3 8 > 0 takové, že pro V[x, y], pro něž 0 < \x + 1| < 8, 0 < \y - 2| < 8 platí f (x, y) > A. b) Ke VA e M 35 > 0, B e R taková, že pro Vx > B, \y - 1| < 5 je f (x,y) < A. 2.2 a) V2 b) 2 c)ln2 d) 0 e) 0. 2.3 a) neexistuje b) neexistuje c) 0 d) 1 e) 0 f) 2 g) 0 h) 2. 2.4 a) 0 b) e c) neexistuje d) 0 e) 0 f) 1. 2.6 a) / je spojitá v M2\[0, 0] b) {[x, y] : x = -y} c) {[x, y] : x = -y} d) {[x, y] : x = 0 nebo y = 0} e) {[x, y] : x = kn, y = kn, k e N} f) {[x, y] : x2 + y2 = 1}. 2.7 a) {[x, y] : x = -y nebo x = 0} b) {[x, y] : y = y} c) {[x, y] : x = 0, y = 0} d) {[x, y]: y = 0} e) {[x, y, z]: x = 0 nebo y = 0 nebo z = 0} f) {[x, y, z] = [a, b, c]}. 2.8 a) je spojitá b) není spojitá. KAPITOLA 3 3.1 a) zx = 3x2 + 4xy + 3y2 + 4, Zy = 2x2 + 6xy - 5 b) zx = zy = x c) Zx = sin(x + 2y) + xcos(x + 2y), zy = 2xcos(x + 2y) d) zx = - cos - cos - + -4 sin - sin-, zv = — 4- cos - cos - — - sin - sin - ' A j j jz j x x y x 262 Výsledky cvičení kapitol 1-9 263 "z = -y/l-x2-y2 f) Zx = -le~\Zy = fe~y g) Zx = zy = h) 7 — 1 7 —__L_ \\ 7 — _2xsinx2 _ _cosx2 -x _ -i±=, Zy = -y , k) ux = 2xex2^-y-z\ uy = uz = -e^1"^ V Zx - x2+y2, Zy - x2+y2 "Ij ~ ^^J-T-j, Zy - ^^^—^ n) f = ^ = f = -ľp2-rykder = j x2 + y2 + z2. 3.2 a) zx = yxxy(í + lny), Zy = x^+1 lnx b) zx = - , "-—, zy = xy-xLyL{\+Jxy) - , * , c) zx = ln3, zy = é(|)>ln3 d) Zx = y[ln(x + yxy-xlyl(\+^/xy) ? * y) + ^-yl Zy = x[ln(x + y) + ^] e) zx = 2(2x + y)^[ln(2x + y) + 1], ^ = (2* + y)^iM2x + y) + l] f) zx = -jr^^, zy = -3^/^ g) zx = _yesm7tx:v(l + iixy cos jtxy), zy = xesm7tx:v(l + jtxy cos jtxy) h) ux = \x^~l), uy = V In.v. //.- = é.v-ln.v i) zx = f1^- zy = j) u-f = Hz = u-f = 2cos(.v2 + y2 + z2) k) //, = v-".vv' «v = xv zy" 1 In.v. wz = xyZyzlnxlny. 3.3 a) zx = 2^5, z-y = 10 + VŠ b) zx = 0, zy = \ c)Zx = l,Zy = -l. 3.4 a) ^ b)|. 3.6 a) zxx = 12x2 - 8y2, zxy = -16xy, zyy = 12y2 - 8x2 b) zxx = 0, zxy = 1 - ^, Zyy = c) zxx = 0, zX3, = 7 — 6£ HW — 3^j2 _ _ y(2x2-y2) _ x(x2-2y2) n _ <.yy — 4 u/ *~xx — 5 •> <-xy — 5 > <-yy — 5 c/ <-xx — y _ (x2+y2)2 (x2+y2)2 _ (x2+y2)2 2cos(x + y) — x sin(x + y), zXJ = cos(x + y) — x sin(x + y), zj:v = —x sin(x + y) f\ _ 2sinx2+4x2 cos x2 _ 2x sin x2 _ 2 cos x2 \ _ y-(x+y)rnn v . ^ — -y 5 ZXy — ^2 ■> Zyy — ^3 g) ZXX — Ji L\nl x I X-^Ý + \ ~ jil zxy = x^ [ln2 x + í±* lnx + i], zyy = x^ ln2 x h) zxx = 2x _ 2y _ 2x(x2+2y2) _ 1 _ _ 2y 3 j ^xy — 35 <-yy — 3 -1/ ^xx — (y4-v2\2 ' — (r+v2\2' (x2+y2)2 (x2+y2)2 3,2^2+3,2)2 í^+y ) ^ l^+j ) _ 2(x-y2) ■ \ _ y2-x2 _ 2xy _ x2-y2 .n _ Zyy — (x+y2)2 }) ZXX — (x2+3,2)2, Zxy — (x2+3,2)2, Zyy — (^2+^2)2 K) Zxx — 2x\y\ 7 — (x2-y2)sgny _ 2x|y| ^ _ 2 (, , 2^-2/2 , (x2+3,2)2. Zxy — (x2+3,2)2 5 Zyy — (x2+y2)2 l> Zxx ~ A"^L ^ x > K X ~t 2x2y + l),zXy = 2x(1 + x2y-1[l + y ln(l + x2)], zyy = (1 + x2)Mn2(l + x2). KAPITOLA 4 4.1 a) 2dx b) \dx — \dy c) \dx — \dy d) dx + 2\n2dy — 2\n2dz e) |Jx + jdy f) df = ^dx — | *s/x2+y2 .y/x2+y2 c) [x, y, z] i—> x*s/x2+y2+z2 y+s/x2+y2+z-*s/x2+y2 ■y/x2+y2 7.3 r|f (r, JĹX ~ x2-y2,JĹy ~ x2_y2, <-xx — {x2_y2-)2, ZXy — (x2_y2-)2 ,<-yy — (x2-y2)2, 8.8 ymin = O, 5 v x = O, ymax = -2 v x = O, 5. 8.9 a) zmin = -2 v [1, -1], Zmax = 6 V [1, -1] b) Zmin = 1 V [-2, 0], Zmax = -f V [f, 0]. xyz KAPITOLA 9 9.1 a) /max = |g b) /max = | v [|, |, |] c) /min = v [-^, --jg], LV6' Vó'vV'1 V6' V6' V6J' /max ~ 3v6 V L V6' Vó'V6J'L Vó'Vó' VóJ' [7ó' ~76' ~7ó] d) /max = 2 v [1, 1, 1] e) fmia = (Y^=1 % 2)~ pro xt = a7l (ELi %"2)-1 f) /min = (ELi VôfeÄ)2 pro = y| (ELi VôIä)-1 g) /max nastává pro = ^ ^. 9.2 a) Délky hran hranolu: ^, ^, ^, Vmax = ^a&c b) Rozměry kvádru a, |, Vmax = ^ c) Výška hranolu u^. = hrana základny a = ^R, Vmax = §jR2h d) a = b = c = JŽ, Vmax = ^ e) [x, y] = j^iay/^^" ± b^Jj, f) Normála k elipsoidu v hledaném bodě musí být kolmá na přímku spojující zadané dva body. 9.3 a) fmin = b) Nechť B = (u\,..., un-{), je matice sestavená z vektoru u\,. (ai,..., a„_i), /min = {(BTB)-1a, a) pro x = B(BTB)~1a. \\av—fiu\ 2{\\u\\2\\v\\2-{u,v)2) Un — l-i & ..Im. R2: obr. P.3: obr. P.4: Výsledky cvičení kapitol 1-9 267 obr. P.9: obr. RIO: 268 Výsledky cvičení kapitol 1-9 obr. P. 13: Výsledky cvičení kapitol 1-9 269 obr. P. 16: obr. P17: Použitá literatura [Be] Berman G. N.: Sborník zadačpo kursu matematiceskogo analiza, Nauka, Moskva, 1971. [B-F] Budak B. M. - Fomin S. V.: Multiple Integrals, Field Theory and Series, Mir, Moskva, 1973. [De] Děmidovič B. P.: Sborník zadač i upražněnijpo matematičeskomu ana-lizu, Nauka, Moskva, 1964. [D-D] Došlá Z. - Došlý O.: Metrické prostory, teorie a příklady, skriptum Masarykovy univerzity, Brno, 1991. [D] Došlá Z. - Došlý O.: Diferenciální počet funkcí více proměnných, skriptum Masarykovy univerzity, Brno, 1999. [DKV] Došlá Z., Kuběn J., Vosmanský J.: Equadiff 9 CDROM, Masarykova univerzita, Brno, 1998. [F] Fuchsová L.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, skriptum Masarykovy univerzity, Brno, 1993. [Hea] Heal KM., Hansen M.L., Rickard KM.: Maple V Learning Guide, Springer-Verlag, New York, 1998. [Hec] Heck A.: Introduction to Maple, Springer-Verlag, New York, 1993. [H-K-Š] Herman J. - Kučera R. - Šimša J.: Metody řešení matematických úloh I, SPN Praha, 1990. [Her] Herod J.: Vector calculus home page, http : / /www. math. gat ech . edu/~harrell/calc/, 1998. 270 Použitá literatura 111 [C-Gi] Char B.W., Geddes K. O., Gönnet G. H., Leong B. L., Monagan M. B., Watt S. M.: Maple V Language Reference Manual, Springer-Verlag, Berlin, 1991. [C-G2] Char B.W., Geddes K. O., Gönnet G. H., Leong B. L., Monagan M. B., Watt S. M.: First Leaves: A Tutorial Introduction to Maple V, Springer- - Verlag, Berlin, 1991. [C-G3] Char B.W., Geddes K. O., Gönnet G. H., Leong B. L., Monagan M. B., Watt S. M.: First Leaves: Maple V Library Reference Manual, Springer- - Verlag, Berlin, 1991. [J-S] Janyška J., Sekaninová A.: Analytická teorie kuželoseček a kvadrik, skriptum MU, Brno, 1996. [J] Jarník V.: Diferenciální počet I a II, Academia, Praha, 1974. [Jo] Jobáková D.: Praktikum z počítačů ve výuce matematiky, diplomová práce MU, Brno, 1997. [Kad] Kadlčíková S.: Vyšetřování průběhu funkcí dvou proměnných, diplomová práce MU, Brno, 1994. [Kai] Kawski M.: An introduction to practical Maple 3D-graphics, http : / /math . la. asu. edu/ "kawski/maple . html, 1995. [Ka2] Kawski M.: ASU Calculus Home Page, http://calculus.la. asu.edu/, 1998. [Kli] Klotz E., Magness E.: Limits, http : / /forum. swarthmore . edu/ ~ethan/klotz/Limits/Limits .html, 1995. [Kl2] Klotz E., Magness E.: Tangent planes, http://forum, swarthmore.edu/~ethan/klotz/TangentPl.html, 1995. [Ma] Marlin J.A.: Calculus III with Maple V, http: / /www2 . ncsu. edu/ eos/info/maple_info/www/MA242Contents.html, 1997. [Ni] Novák V.: Diferenciální počet v IR, skriptum Univerzity J. E. Purkyně, SPN Praha, 1985. [N2] Novák V.: Diferenciální počet funkcí více proměnných, skriptum Univerzity J.E. Purkyně, Brno, 1983. 272 Použitá literatura [Pi] Plch R.: O jednom využití počítače ve výuce matematické analýzy, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 42, č. 1, 1997. [P2] Pich R.: Internet pro učitele matematiky, Prometheus, Praha, 1997. [p3] Plch R.: Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple V, disertační práce, Brno, 1998. [Pu] Putz J.F.: The CAS in Multivariable Calculus, http: //archives . math.utk.edu/ICTCM/EP-8/Cl 6/html/paper.html, 1998. [Ri] Ráb M.: Komplexní čísla a jejich užití v elementární matematice, skriptum Univerzity J. E. Purkyně, Brno, 1990. [R2] Ráb M.: Riemannův integrál v E", skriptum Univerzity J. E. Purkyně, Brno, 1985. [Ro] Rodriguez C.: Multivariate Calculus With Maple, http://omega.albany.edu:80 08/calculus3,1997. [S] Sikorski R.: Diferenciální a integrální počet. Funkce více proměnných, Praha 1973 (překlad z polštiny). [So] Sojka P. a kol.: CDROM k 5. výročí založení Fakulty informatiky MU, Masarykova univerzita, Brno, 1999. [T-S] Tichonov A. N. - Samarskij A. A.: Rovnice matematické fyziky, Nakladatelství ČSAV, Praha, 1955 (překlad z ruštiny). [V] Vogel T.: Gallery of Calculus Pathologies, http://www.math. tamu.edu/"torn.vogel/gallery/gallery.html, 1997. Rejstřík bod limitní, 18 stacionární, 73, 119 Bolzano Bernard, 26 Cauchy Augustin Louis, 95 Cauchyova nerovnost, 124 Coolidge Calvin, 115 definiční obor funkce, 7 derivace implicitní funkce, 102 parciální, 31 2. řádu, 34 geometrický význam, 33 smíšené, 34 složených funkcí, 56 směrová, 37 derivace zobrazení, 94 determinant matice, 80 diferenciál, 44 2. řádu, 49 Fréchetův, 48 Gateauxův, 48 777-tého řádu, 49 totální, 43, 45 divergence vektorového pole, 96 Einstein Albert, 15, 29, 42, 55, 88, 99 extrém absolutní (globální), 81 lokální, 72 lokální vázaný podmínkami, 117 vázaný, 116 vázaný lokální, 117 Fermat Pierre, 73 funkce, 7 diferencovatelná, 44 implicitně zadaná, 100 kmenová, 50 Lagrangeova, 118 souřadnicové, 89 spojitá na množině, 26 v bodě, 24 Galileo, 113 gradient funkce, 48, 96 graf funkce, 10 Hamilton William Rowan, 97 Heine Heinrich, 24 Hessova matice, 39 hodnost matice, 113 Huxley Aldous Leonard, 71 Huyghens Christian, 88 implicitně 273 274 zadaná funkce, 101, 108 zadané zobrazení, 111 Jacobi Carl, 91 Jacobiho matice, 91, 92, 93, 94, 112 inverzního zobrazení, 94 složeného zobrazení, 94 jacobián, 91 zobrazení, 94 koeficient stejnolehlosti, 89 kruhová inverze, 89 kvadratická forma definitní, 79 indefinitní, 79 semidefinitní, 79 Lagrange Joseph Louis, 40 Lagrangeova funkce, 120 Lagrangeův multiplikátor, 118 Lapiace Pierre Simon, 62 limita funkce nevlastní, 18, 19 vlastní, 18 matice definitní, 79 Hessova, 39 indefinitní, 79 Jacobiho, 91, 92, 94 jednotková, 92 lineárního zobrazení, 94 regulárni, 92 metrika Euklidovská, 16 maximová, 17 v W1, 16 minor matice, 80 multiplikátor Lagrangeův, 118 Rejstřík normálový prostor, 113 obrázek, 4, 10, 74, 86, 101, 104, 119, 130, 131, 133, 134, 135, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 149, 150, 151, 152, 157, 158, 160, 161, 165, 167, 170, 171, 183, 185, 186, 188, 191, 194, 196, 198, 199, 202, 203, 204, 211,212,215,217,218, 222, 223, 225, 226, 227, 228, 230, 234, 235, 236, 237, 240, 241, 242, 243, 244, 246, 248, 259 okolí bodu, 17 operátor Hamiltonův, 97 nabla, 97 Pascal Blaise, 128 pole vektorové, 96 průměr aritmetický, 124 geometrický, 124 harmonický, 124 Riemann Bernhard, 95 rotace vektorového pole, 96 rovnice diferenciální exaktní, 51 parciální, 56 Laplaceova, 62, 64 vlnová, 60 Schwarz Karl, 35 sedlo, 74 složky zobrazení, 89 součin Rejstřík 275 skalární, 39 vektorový, 98 souřadnice polární, 21, 62 sférické, 24, 64 souřadnicové funkce, 89 stacionární bod, 119 Taylor Brook, 66 Taylorův vzorec, 67 tečná nadrovina, 43 tečná rovina, 45 tečný prostor, 113 vektorový součin, 98 Viviani Vincenzo, 113 Vivianiho křivka, 113 vrstevnice funkce, 11 věta Bolzanova, 27 Lagrangeova, 36, 40, 41 první Bolzanova, 28 Schwarzova, 35 Taylorova, 66 Weier straš sova, 26 Weierstrass Karl, 26, 35 zobrazení, 89, 93 diferencovatelné, 90