Tématické okruhy k bakalářské státní závěrečné zkoušce z matematiky
• Státní bakalářská zkouška je pouze ústní. Student si vylosuje z každého níže uvedeného oddílu jednu otázku (na přípravu každé otázky bude cca 15 minut):
- Matematická analýza
- Algebra
- Geometrie, kombinatorika, pravděpodobnost
• Důraz se klade na souvislosti mezi tématy, přičemž zde nemáme na mysli jen témata v rámci jednoho oboru.
• Je žádoucí ilustrovat teorii vhodnými příklady.
• Velmi vítány jsou motivační úvahy pro diskutované pojmy.
• Pokuste se i o intuitivní pohled na některá témata; dále o využití či interpretaci pojmů optikou žáka ZS či SS.
1
/
/
/
Matematická analýza
1. Reálné funkce reálné proměnné
Definice, způsoby vyjádření funkcí, rovnost funkcí. Vlastnosti funkcí a jejich vyšetřování. Grafy funkcí. Složené a inverzní funkce. Elementární funkce.
2. Limita posloupnosti a funkce, spojitost funkce
Limita posloupnosti, hromadný bod. Limita funkce jedné reálné proměnné, jednostranné limity, vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě. Způsoby výpočtu, věty o limitách funkcí. Spojitost funkcí, vlastnosti funkcí spojitých v bodě a na intervalech.
3. Derivace funkce a její aplikace
Derivace funkce jedné proměnné — definice, geometrická interpretace. Věta o střední hodnotě. Aplikace derivací. Diferenciál, Taylorova věta. Extremální úlohy.
4. Primitivní funkce, základní integrační metody
Primitivní funkce a neurčitý integrál. Základní integrační metody. Integrování elementárních, zejména racionálních funkcí a některých iracionálních a transcendentních funkcí.
5. Riemannův integrál a jeho aplikace
Určitý (Riemannův) integrál funkce jedné proměnné — definice (konstrukce), vlastnosti, výpočet. Integrál jako funkce horní meze, Newtonova-Leibnizova věta. Nevlastní integrály. Užití integrálu — obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka rovinné křivky, povrch plochy vzniklé rotací oblouku křivky. Jordánova míra.
6. Funkce více proměnných
Základy diferenciálního počtu funkcí více proměnných. Limita, spojitost, parciální derivace, geometrická interpretace parciální derivace funkce v bodě. Extremální úlohy.
7. Posloupnosti a řady čísel a funkcí, mocninné řady
Číselné posloupnosti a řady (základní pojmy a vlastnosti, konvergence a divergence, kritéria konvergence řad, řady s kladnými členy, řady alternující, součet řad). Funkční posloupnosti a řady (základní pojmy, bodová a stejnoměrná konvergence, mocninné řady, vlastnosti, řada Taylorova a Maclaurinova, užití mocninných řad).
8. Diferenciální rovnice
Základní pojmy, metody řešení, vybrané rovnice 1. řádu (zejména rovnice se separovanými proměnnými, rovnice homogenní a lineární), lineární diferenciální rovnice 2. řádu nejen s konstantními koeficienty, s pravou stranou i bez. Metody řešení. Aplikace.
2
Algebra
1. Množinové operace a jejich vlastnosti, vztahy mezi množinami
Definice množinových operací. Vlastnosti. Ověřování množinových vztahů. Vennovy diagramy a jejich užití.
2. Binární relace, uspořádání, ekvivalence. Zobrazení množin
Definice, vlastnosti relací, grafy binárních relací. Relace zobrazení, uspořádání, ekvivalence, příklady těchto relací.
3. Algebraické struktury s jednou a dvěma operacemi
Pojem binární algebraické operace, vlastnosti. Algebraické struktury s jednou operací a dvěma operacemi a jejich homomorfismy.
4 Vektorové prostory, lineární zobrazení
Definice, příklady. Podprostory vektorového prostoru. Lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů. Báze a dimenze vektorového prostoru. Souřadnice vektorů v dané bázi. Věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů. Lineární zobrazení a jejich matice. Konjugované (podobné) matice. Vlastní vektory a vlastní hodnoty lineární transformace.
5. Matice a determinanty, soustavy lineárních rovnic
Typ matice, algebra matic, okruh matic nad tělesem reálných čísel, hodnost matice, inverzní matice. Determinanty, rozvoj determinantu podle řádku či sloupce. Homogenní a nehomogenní soustavy lineárních rovnic a jejich řešitelnost, Frobeni-ova věta. Metody řešení.
6. Polynomy
Definice polynomu, operace s polynomy. Kořeny polynomů, rozklad polynomů, nej-větší společný dělitel a nejmenší společný násobek polynomů. Kořeny polynomu, řešení algebraických rovnic. Základní věta algebry. Binomické a reciproké rovnice.
7. Konstrukce číselných oborů
Peanova aritmetika přirozených čísel. Konstrukce celých a racionálních čísel. Pojem řezu, druhy řezů, konstrukce reálných čísel. Konstrukce komplexních čísel. Algebraické struktury jednotlivých číselných oborů. Vnoření, uspořádání.
3
I
I
I
/
Geometrie, kombinatorika, pravděpodobnost
1. Klasická konstrukční geometrie
Axiómy eukleidovské geometrie. Eukleidovské konstrukce a sestrojitelné veličiny. Kvadratura obecného mnohoúhelníku. Pravidelné mnohoúhelníky a mnohostěny. Geometrie kružnic a úlohy Apollóniovy.
2. Zobrazovací metody
Středová a rovnoběžná promítání, vlastnosti a přehled. Zobrazení hranatých a některých oblých těles. Základní polohové a metrické úlohy.
3. Afinní a projektivní geometrie
Obecný afinní a projektivní prostor. Pojmy incidence, uspořádání a rovnobežnosti. Vzájemné polohy podprostorů a základní polohové úlohy. Afinní, barycentrické a homogenní souřadnice. Analytická vyjádření podprostorů a zobrazení.
4. Eukleidovská geometrie
Obecný eukleidovský prostor. Pojem shodnosti. Kolmost, vzdálenost a odchylka podprostorů. Objemy rovnoběžnostěnů. Kartézské souřadnice a analytická vyjádření.
5. Geometrická zobrazení
Shodná, podobná, afinní, projektivní a konformní zobrazení. Příklady definice a vlastnosti. Základní zobrazení a jejich skládám. Samodružné prvky transformací a klasifikace.
6. Kombinatorika
Základní kombinatorická pravidla. Kombinatorické kategorie (variace, permutace a kombinace s opakováním i bez opakování). Faktoriály a kombinační čísla. Kombinatorické identity Binomická věta.
7. Pravděpodobnost
Klasická pravděpodobnost včetně geometrické pravděpodobnosti. Věta o sčítání pravděpodobností. Věta o násobení pravděpodobnosti. Úplná pravděpodobnost. Podmíněná pravděpodobnost. Bayesova věta.
4
/