Základy elektrickýc obvodů Dl] i záko remy ZÁKLADNÍ ZÁKONY A TEORÉMY (KIRCHHOFFOVY ZÁKONY, THÉVENÍNŮV A NORTONŮV TEORÉM), PŘÍKLADY POUŽITÍ (EKVIVALENCE OBVODOVÝCH PRVKŮ, DĚLIČ NAPĚTÍ A DĚLIČ PROUDU, REÁLNÉ ZDROJE). Ekvivalence obvodových prvků ... neboli sériové a paralelní řazení prvků © + Rezistor i' IRi |uF U I í R2 nI'Ur, R U '1tf Ri R. R, sériové řazení — společný proud napětí na jednotlivých rezistorech se sčítá U = RiI + R2I + --- + RJ = 7(Äi + Ä2 + • ■ • + Rn) = IR Paralelní řazení — společné napětí proudy jednotlivými rezistory se sčítají 1 = U U R\ R2 = u(— + — + R\ R2 n R R, = UG n R = n 4=1 G- n = EG* 4=1 1 Ř 4=1 1/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 + Kapacitor O T c, C n sériové řazení — společný proud Elektrický proud tekoucí sériovou kombinací je stejný náboje uložené ve všech kapacitorech jsou stejné u = ® U = U1 + U2 + --- Qi Q± Cl C2 + Q n a n =Q[k+k+ mnemotechnická pomůcka: pro deskový kapacitor platí přibližně C Pá £^ kde S je plocha elektrod a d vzdálenost elektrod; při sériovém spojení efektivní vzdálenost roste, výsledná kapacita je tedy menší výhoda — reálný kondenzátor má omezené maximální povolené pracovní napětí; sériovým spojením se rozloží celkové napětí mezi jednotlivé kondenzátory, takže pokud např. zapojím tři stejné kondenzátory se stejným jmenovitým napětím 100V do série, mohu tuto sériovou kombinaci připojit na napětí 300V paralelní řazení — společné napětí Náboj se rozlévá mezi jednotlivé kapacitory náboje uložené v jednotlivých kapacitorech se sčítají Q = Qi + Q2 + --' + Qn = CU 2/22 Q = U Ci + UC2 + • • • + UCn = U(d + C2 + --- + Cn) = UC Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 + Induktor sériové řazení — společný proud => magnetický tok jednotlivých induktorů se sčítá $ $x + $2 h-----h $n = = Li/ + L2I + • • • + L„J = J(Li + L2 + • • • + Ln) = JL paralelní řazení — společné napětí Protože platí U = a napětí w je stejné na všech induktorech, změna času At je také pro všechny induktory stejná, mají všechny induktory stejný magnetický tok O Přitékající elektrický proud se rozdělí mezi jednotlivé induktory, takže I = j = /i + /2 + + 7" = r + T" + 1 1 + — + ••• + In 3/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 Základní pojmy uzel 1 větev O (TJ W U'" -větev uzel 2 . větev uzel 0 + Uzel: vodivé spojení dvou, nebo více obvodových prvků; může, ale nemusí být vyznačen tečkou (v prípade právě dvou obvodových prvků bude nakreslen pouze propojovací vodič) + Smyčka: uzavřená cesta ve schématu elektrického obvodu, nesmí protínat sama sebe + Větev: prvek elektrického obvodu, který je zapojen mezi dvěma uzly 2. Kirchhoffův zákon (napěťový) Jeho základní definici známe již z minulé přednášky; nyní si jeho význam zopakujeme pro konkrétní obvod: součet napětí na všech obvodových prvcích v libovolné smyčce obvodu je roven 0 Konvence: • Napětí na všech pasivních prvcích obvodu považujeme vždy za kladné • Znaménko napětí u zdroje napětí je dáno jeho orientací — vstupuje-li smyčka do záporné svorky zdroje, bude i znaménko záporné, vstupuje-li do kladné svorky, bude kladné • U zdroje proudu nemůžeme přímo vyčíslit velikost napětí na jeho svorkách é-O URl + ŮR2 - Ui = 0 4/22 RJ + R2I-U1 = 0 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 u, © *1 R- Vi 5-0 Rl I Dělič napětí Z 2. Kirchhoffova zákona jsme vyjádřili proud, tekoucí smyčkou napěťového Kirchhoffova ^ákona tedy počítáme proud), z Ohmová zákona snadno vyjádříme napětí na obou rezistorech: ÜR2 O J = r/O — Rol — Rry Ui R\ + R2 u2 = uí R', R\ + Ri Zobecnění pro N rezistorů: U, = Ur Rj n i=l 1. Kirchhoffův zákon (proudový) Jeho základní definici opět známe již z minulé přednášky; součet proudů v libovolném uzlu obvodu je roven 0 Ve vyznačeném uzlu podle 1. Kirchhoffova zákona platí: -Ir, +Iz + Ir2 = 0 -> /ä! + = / + Nyní opět použijeme 2. Kirchhoffův zákon: URl + UBa-Ui = 0 -► Ä1(7 + /,) + Ä2/-[/1 = 0 A odtud pro zatížený dělič napětí: t/2 = i^/ — ^2" 5/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 Dělič proudu v Často se pro zjednodušení výpočtů používá rovněž vzorec pro dělič proudu: Uvažujme nejprve dva rezistory zapojené paralelně. • Společnou obvodovou veličinou je napětí U = RI= JM* I R\ + R2 • Z Ohmová zákona Ro R1R2 1 R\ + R2 R2 Pro 3 rezistory je již výpočet komplikovanější: -1 R- 1 + 1 + 1 R\ R2 R3 R1R2R3 R1R2 + R\Rz + R2R3 L = I- G* n Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 + Ekvivalence zdrojů napětí Sériové spojení zdrojů napětí u(ť) = ^ ^ u^iť) < > k=l O—i O—1 U = U1-U2 V případě reálných zdrojů může toto spojení přinášet problém: Jaké jsou výkonové poměry v tomto obvodu? • Podle vyznačené orientace toku proudu je Ul > U2 • Proud / vytéká z kladné svorky zdroje Ul ^ tento zdroj dodává obvodu výkon Pi = uj • Proud / vtéká do kladné svorky zdroje U2 ^ tento zdroj odebírá z obvodu výkon P2 = — U2I > je záporný a chová se proto jako spotřebič • Sekundární chemický článek (akumulátor) by byl takto dobíjen, alternátor mechanicky zatěžován, primární chemický článek by mohl být zničen (u některých typů, např. Li-SOCl2 dokonce velmi destruktivně) Ilustrační foto, zdroj: Sandia National Labs Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 n Dp uf -<>-< OA U2 ■OB Paralelní spojení ideálních zdrojů napětí není možné, s výjimkou naprosto identické velikosti napětí; zdroj s vyšším napětím by do druhého zdroje dodával nekonečný výkon Paralelní spojení neideálních (skutečných) zdrojů napětí samozřejmě možné je, (a také se často využívá), oba zdroje musí mít ale stejné napětí {jinak se ^droj s menším napětím chová jako spotřebič) K popisu obvodu můžeme použít druhý (napěťový) Kirchhoffův zákon: -l/i + Ä!/+ Ba/+ 172 = 0 / = p1 ~ p2 Uab = U2 + R2I nebo UAB = ř/i - R\I ... což je maximální napětí, jaké může být na svorkách tohoto obvodu 8/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 é-O- B Maximální proud, který můžeme z obvodu odebrat: pokud budeme postupně snižovat odpor, zapojený mezi svorky A, B, bude se odebíraný proud zvětšovat dokud nebude tento odpor roven 0 = zkrat — tento proud nazveme proudem nakrátko Ri R2 Napětí UAB nazveme napětí naprázdno a označíme č/ (U^ Voltampérová charakteristika na obrázku je VA charakteristika zdroje napětí s vnitřním odporem fí-u" *h — ~r 9/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 + Ekvivalence zdrojů proudu OA n Paralelní spojení zdrojů proudu i(ť) = ik(t) k=l I = h~h • Po omezenou dobu se jako proudový zdroj chová induktor • Pokud má proudový zdroj pracovat trvale, musí být realizován elektronicky Jaké jsou výkonové poměry v tomto obvodu? (O Podle vyznačené orientace napětí na svorkách zdrojů musí být Ix > I2, protože první zdroj vnutil obvodu svojí orientaci napětí • Na svorkách zdroje Ix je zdrojová orientace napětí => tento zdroj dodává obvodu výkon P1 = 1^ JJ • Na svorce zdroje I2, ze které vytéká proud je záporné napětí => tento zdroj odebírá z obvodu výkon p2 = —I2U, tento výkon je záporný a zdroj proudu se proto chová jako spotřebič 10/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 Sériové spojení ideálních zdrojů proudu není možné, s výjimkou naprosto identické velikosti proudu Sériové spojení neideálních (skutečných) zdrojů proudu samozřejmě možné je Napětí naprázdno: Proud Ix může protékat pouze rezistorem Rl (R2 není v uzavřené smyčce a zdroj proudu I2 si udržuje svůj vlastní proud, proto je na rezistoru Rl napětí JJ\ = R\I\ Obdobně proud I2 může protékat pouze rezistorem R2 (Ri není v uzavřené smyčce kromě zdroje proudu 71? ten si ale udržuje svůj vlastní proud; proto je na rezistoru R2 napětí V2 = R2I2 Celkově tedy jjab = R\h + R2I2 Proud nakrátko: Vyjdeme z Kirchhoffových zákonů podle prvního (proudového) platí v horním uzlu -Ix + Iz - IRl = 0 Ve spodním uzlu platí obdobně I2- Iz + IR2 = 0 A podle druhého (napěťového) platí R\IR\ + ^2^R2 = 0 Sloučením rovnic dostaneme: Ri (/*-/i) + Ä2(/jb-/2) = o HO A U [V] ^ h = 11/22 R\I\ + R2I2 + R2 Up Ri = -y- = Rl + R2 J-k Pavel Máša - Základy elektrických obvodu, 2011 Théveninův a Nortonův teorém V předchozích příkladech jsme viděli, že v obvodu, ve kterém byly zapojeny dva zdroje (napětí / proudu) a dva rezistory, bylo možné vypočítat maximální napětí, které se může mezi svorkami objevit — napětí naprázdno, a maximální proud, který je teoreticky možné z takového obvodu odebrat, proud nakrátko. Voltampérová charakteristika studovaných obvodů byla ale shodná s VA charakteristikou jediného zdroje napětí s jediným v sérii zapojeným rezistorem. Leon Charles Thévenin publikoval v roce 1883 tento princip a podle něj se tento postup zjednodušení analýzy elektrických obvodů jmenuje Théveninův teorém Podle něj se můžeme na obvod, ve kterém je zapojen libovolný počet zdrojů napětí i proudu a rezistorů (bude rozšířen i na kapacitory a induktory), dívat jako na „černou skřínku" se dvěma svorkami, u které můžeme změřit právě jen napětí na prázdno a vnitřní odpor a která se tak chová jako jediný zdroj napětí s jediným v sérii zapojeným rezistorem HD A Omezení: • Pouze lineární obvody • Celkový výkon dodaný zdroji původního obvodu a Théveninův náhradní zdroj U{ obecně nejsou stejné (resp., výkon spotřebovaný R-x není stejný jako výkon, spotřebovaný rezistory původního obvodu) • Náhrada je platná pouze z pohledu svorek A, B!!! 12/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 Pravidla o vyjmutí zdrojů Jaký je vnitřní odpor ideálního zdroje napětí? KB^ Ideálním zdrojem napětí může protékat libovolně velký proud při konstantním napětí vnitřní odpor musí být proto nulový 9 Ideální zdroj napětí při vyjmutí z obvodu nahradíme zkratem HO A - jeho Jaký je vnitřní odpor ideálního zdroje proudu? Kif5 Ideální zdroj proudu musí dodat veškerý proud do zátěže; sledujme obrázek, na kterém je zobrazen neideální zdroj proudu — část proudu teče do zátěže, část do vnitřního odporu R{, který reprezentuje ztráty ve zdroji; čím větší bude odpor R{, tím více proudu poteče do zátěže; pokud bude /?{ nekonečný, pak je zdroj proudu ideální Q Ideální zdroj proudu při vyjmutí z obvodu nahradíme rozpojenými svorkami 0< 13/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 Zpět k příkladu sériového řazení neideálních zdrojů proudu; aplikací pravidla o vyjmutí zdrojů vypočítáme vnitřní odpor mnohem snadněji: OA FL. — -Ri + R' OB ALE — obecně není možné vyjmout řízené zdroje, protože řízená veličina může ovlivňovat řídící veličinu, a tím zpětně sama sebe (zpětná vazba) é-O B Vyjmutím zdrojů bychom dostali vnitřní odpor fy = Ale — s použitím proudového Kirchhoffova zákona R±R^ R\ + R2 -Ui + RJ + R2I + RIr = 0, Ir = I I=u I -, Up = Uv + R2I = (R + R2)I = U'' (* + RÍ R\ + it2 + it ill + R2 + -R 4 = Ui V případě řízených zdrojů musíme tedy použít tento postup 14/22 Up Ri-{R + R2) R\ + R2 + R Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 Théveninův náhradní obvod - příklad použití U tohoto obvodu jsme si již demonstrovali použití Kirchhoffových zákonů Další možností je k analýze použít Théveninův teorém: ui = ul R-, Ri — R±Rr Ri + R2 Pokud zátěž odebírá z obvodu proud Iz, pak tento proud protéká náhradním Théveninovým rezistorem R{ a vyvolá na něm úbytek napětí: Ur, = RJz Uz = Ui- Um = Ui- Rih Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 Théveninův náhradní obvod - příklad použití 2 ft R, I-1 ft R-. ft i I I Vy ft ft 1 Jí ft ft 3h> UR2 I -o ft u u. R4 -o Úkolem je vypočítat napětí na diagonále Wheatstoneova můstku {používá se pro kompenzační měření kapacity, indukčnosti, ale také např. v silničních vahách pro kontrolu přetížení nákladních vo^ů) První možností, jak vyřešit tento problém, je použití Théveninova náhradního obvodu • Nejprve vyjmeme rezistor Rz — výpočet napětí Théveninova náhradního zdroje z pohledu svorek rezistoru Rz se zjednoduší na řešení dvou 1 v-l • v o v r deliču napětí t/Ä2 = í/_^_ Urí = u * i?l + i?2 R% 4- Ra A samozřejmě použití 2. Kirchhoffova zákona: U i + Ur, -Ufíň=X Ü2 Ui = U R4 Ri + R2 R3 + R4 Nyní musíme vypočítat vnitřní odpor náhradního Théveninova obvodu H ,, R1R2 R3R4 Ri = R\ R2 + R3 -T14 — —-——h 1—1 ffl ft ft £0 ft I ft i-c ft R\ + R2 R% + 16/22 Pavel Máša - Základy elektricky U" R2 I ft ZU—4—CZ Ih «KD Výpočet napětí na diagonále Wheatstoneova můstku se tak zjednodušil na výpočet děliče napětí. Parametry Thévevinova náhradního obvodu jsou tedy: Ui = U ( 2 - 4 ) , Ri = R\ || R2 + #3 II Ra A konečně, \Ki + K2 K3 + K4J Ri + Rz 17/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 Nortonův teorém Edward Lawry Norton spolu s Hans Ferdinandem Mayerem publikovali v roce 1926 nezávisle tento princip, byl ale pojmenován pouze po Nortonovi Nortonův teorém Podle něj se můžeme na obvod, ve kterém je zapojen libovolný počet zdrojů napětí i proudu a rezistorů (bude rozšířen i na kapadtory a induktory), dívat jako na „černou skřínku" se dvěma svorkami, u které můžeme změřit právě jen napětí na prázdno a vnitřní odpor a která se tak chová jako jediný zdroj proudu s jediným paralelně zapojeným rezistorem ]-f-OA ♦—OB Omezení: • Pouze lineární obvody • Celkový výkon spotřebovaný rezistory původního obvodu původního obvodu a Nortonovým náhradním rezistorem Rx obecně nejsou stejné • Náhrada je platná pouze z pohledu svorek A, B!!! Ekvivalence obou teorémů h = !% = Ri 18/22 U = U = R.I. u [V] Pavel Máša - základy elektrických obvodů, 2011 Příklad: Tyto zdroje není možné zaměnit - jsou stále ideální! u(t)(T) f R U — Uí 1-o I = 1A, Rľ = 100 Q, R2 = 200 Q, R3 = 300 Q f7ť = Jife = 200 V Ri = R2 + Rz = 500 19/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 Transfigurace hvězda - trojúhelník T 1 (t I Wheatstoneův můstek jsme již jednou řešili, s využitím Théveninova náhradního obvodu. Další možností, jak zjednodušit tento obvod, je použít ekvivalentního zapojení rezistorů do hvězdy • Pokud máme zapojení do trojúhelníka, pak ekvivalentní zapojení do hvězdy bude mít parametry: R2R3 R\ + R2 + ^3 Rb = R\R^ R\ + R2 + Rs Rr = R\ + R2 + ^3 Pomůcka: Uvedené vztahy není nutné se učit nazpaměť — nemá to ani smysl, protone v analyzovaných obvodech mají re^istory %celajisté jiné indexy. Všimněte si modře zvýrazněných rezistorů, zapojených do uzlu c -počítáme odpor rezistorů Rc; v čitateli zlomku je vždy součin odporů rezistorů, zapojených do daného uzlu (v tomto případě c) v původní konfiguraci trojúhelník, ve jmenovateli součet odporů všech 3 rezistorů 20/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011 1 ft. R-, U, R, I_T Rezistory a 7?3 —>• 7?13 Rezistory r3a.rz^> r3z Rezistory rl3.rz^ rlz Rl3 = R\RC Ri + i?3 + RA R%RZ Ri + i?3 + R2 Ri + R% + Nyní můžeme postupným zjednodušováním obvodu vypočítat napětí Uz R = Ris + {Riz + R2) II (^32 + -R4) Riz + ^2 Í7r4 = Ux R4 Rzz + ^4 Uz = Ur2 — Ur4 21/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodu, 2011 Pomůcka: Uvedené vztahy se opět není nutné se učit nazpaměť. Všimněte si hnědě zvýrazněných rezistorů, zapojených mezi uzly a, b - počítáme odpor rezistoru výsledný odpor je součtem odporů hvězdy, zapojených mezi uzly a, b plus zlomek, kde v čitateli je jejich součin, ve jmenovateli opor třetího rezistoru hvězdy 22/22 Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011