UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství RNDr. Jiří Klaška, Dr. w w CVIČENI Z MATEMATICKÉ ANALÝZY I PC-DIR Real, s.r.o., Brno ÚVOD Tento učební text je určen především posluchačům prvního ročníku oboru matematické inženýrství na Fakultě strojního inženýrství VUT v Brně. Skriptum obsahuje sbírku řešených a neřešených příkladů z předmětu Matematická analýza I. Látku tohoto předmětu tvoří elementy matematické logiky, množinová algebra a zejména pak následující klasické partie z matematické analýzy: reálná čísla, elementární funkce, limita a spojitost funkcí, derivace funkce, vyšetřování průběhu funkce, diferenciál funkce, Taylorova věta, křivky a funkce dané parametricky, primitivní funkce, Riemannův určitý integrál a nevlastní integrály. Vzhledem k tomu, že se tato tematika Částečně shoduje s látkou probíranou v inženýrském a bakalářském studiu na Fakultě strojního inženýrství VUT, lze učební text doporučit i těmto oborům. Správné použití skripta předpokládá, že se čtenář pokusí o samostatné řešení příkladů a své výsledky pak srovná s uvedeným řešením. Samostatné řešení příkladů má studentům pomoci zlepšit jejich početní zručnost a ulehčit aktivní zvládnutí studované problematiky. S přihlédnutím k početnímu charakteru těchto skript lze dále doporučit následující literaturu: 1. G. N Barman, Sborník zadač po kursu matematičeskogo analýza, Nauka, Moskva, 1971. 2. B. P. Děmidovič, Sborník zadač i upražněnij po matematičeskomu analysu, Nauka Moskva 1964. 3. J. Eliáš, J. Horváth, J. Kajan, Zbierka úloh z vyššej matematiky 1-S, Alfa Bratislava, 1986. 4- G. M. Fichtengolc, Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom T a II. Gostechizdat. Moskva, 1951. 5. F. Jirásek, E. Kriegelstein, Z. Tichý, Sbírka řešených příkladů z matematiky, SNTL, Praha, Při sestavování nové sbírky úloh mohlo dojít k různým nepřesnostem a chybám. Autor bude proto čtenářům vděčen za upozornění na jakékoliv nedostatky ve výběru příkladů i v jejich řešení a uvítá náměty ke zlepšení textu. Závěrem chci poděkovat Doc. RNDr. Ondřeji Došlému, DrSc. za pečlivé pročtení rukopisu a řadu cenných připomínek, které zlepšily celkovou úroveň textu. Brno, březen 2000 Jiří Klaška OBSAH I. ÚVOD DO STUDIA MATEMATIKY I. Logika, množiny, důkazy...................................... c II. DIFERENCIÁLNÍ POCET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 1. Základní vlastnosti funkcí............___....................... jn 2. Posloupností..................„...........„................. 29 3. Limita a spojitost.................................. oc 4. Derivace funkcí.......,..................................... 4g 5. Diferenciál a Taylorův polynom.......................... cg 6. ĽHospitalovo pravidlo...................... m 7. Průběh funkce.............................................. 7g 8. Křivky a funkce dané parametricky...................................... _ g2 III. INTEGRÁLNÍ POCET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 1. Neurčitý integrál.....................................i........ gg 2. Riemannův určitý integrál..................................... j^4 3. Nevlastní integrál............................................ 122 IV VÝSLEDKY NEŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ................................... l27 4 I. ÚVOD DO STUDIA MATEMATIKY 1. LOGIKA, MNOŽINY, DŮKAZY První kapitola skript obsahuje úlohy z úvodu do studia matematiky, tedy ze základů matematiky. Základními pilíři, na kterých celá matematika stojí, je logika a teorie množin. Tyto disciplíny umožňují jiným matematickým oborům přesné vyjadřování a poskytují pravidla a metody pro konstrukce důkazů. Rozhodné nelze očekávat, že v této kapitole čtenář nalezne úplný přehled typových úloh z dané problematiky. V mnoha ohledech je dán výběr úloh tradicí a zejména je přihlédnuto k návaznosti na další tématické celky z matematické analýzy. ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 1. K následujícím výrokům utvořte negaci a spočtěte její pravdivostní hodnotu (A) 3>5a4<7, (B) 32 = 9 nebo 2|6, (C) 1 + 1 = 3 pak ir e R. Řešení: (Ä) 3<5nebo4>7, P(A') = F(l V 0) = 1; (B') 32^9a2f6, P{B') = P(0 A 0) = 0; (C) l + l^aTrČ/ř, F(C') = P(0A1) = 0. 2. K následujícím výrokům utvořte negaci a spočtěte její pravdivostní hodnotu (A) 3x e R : (0 > |x| + 1) V ((a: + 2)(x -f 1) < -0.25), (B) Vz € C : (z e Q) * {{z = f) A (x, y e Z) A (y ± 0)), (C) 3x£R,0 -0.25), P(A') = 1; (B') 3*ee:(*6 z2), P(C) = 1. 3. Pomoci logické symboliky zapište následující matematická tvrzení: (A) Ke každému kladnému reálnému číslu e existuje přirozené Číslo n0 tak, že pro všechna přirozená čísla n větší než n0 platí \an - L\ < e. (B) Ke každému reálnému kladnému číslu e existuje číslo S reálné kladné tak, že pro každé reálné x splňující nerovnost 0 < \x - xQ\ < S platí \f(x) - L j < e. Dále utvořte negace uvedených tvrzení. Řešení: (A) Ve > 0,3n0 € N, Vn e N : n > n0 => \an - L\ < e. Právě uvedené tvrzení má význam: posloupnost {an} má limitu i, což zapisujeme L = lim an. (A') 3e > 0,Vno G N,3n £ /V" : n > n0 A \an - I| > g. (B) V£ > 0,3í > 0,Vx € Ü : 0 < |x - x0| < 5 => [/(x) - L 5 Právě uvedené tvrzení B má význam: funkce f(x) má vlastní limitu L, ve vlastním bodě xo, což zapisujeme L = lim f{x). (B1) 3e>0,Vá>0,3z £. 4. Když si dám aperitiv, dám si i předkrm. Nedám-li si hlavní jídlo, nedám si předkrm. Vyplývá z uvedeného, že dám-li si aperitiv, dám si i hlavní jídlo? Vyplývá z uvedeného, že dámdi si hlavní jídlo, pak si dám aperitiv? Řešení: Nejprve provedeme vhodné označení jednotlivých atomárních výroků. Symbolem A označme výrok „Dám si aperitiv", symbolem B označme výrok „Dám si předkrm" a dále C označme výrok „Dám si hlavní jídlo". V provedeném označení mají výpovědi ze zadání úlohy tvar A =>■ B a C => B'. Ptáme se, zda jsou úsudky A =5> C a C => A pravdivé. Pro jednoduchost dále označme V = (A => B) A (C =» W), A » {{A =* B) A (C => B')) ^(A^- C), B = ({A^ B)A (C => B')) => (C # A). Nyní sestavíme tabulku pravdivostních hodnot všech možných kombinací. A B c A => B C =ř- B' A =ŕ- c c =** A 'P A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 Q 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 (.) 1 1 0 Q 0 l 0 1 Ü 1 0 1 1 1 1 1 Q 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 i) 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Z tabulky je ihned zřejmé, že první úsudek je správný a druhý nesprávný. 5. Šárka a Iva čekají před školou na svoje kamarády Petra, Honzu a Jirku. Šárka tvrdí: Přijde-li Petr a Honza, přijde i Jirka. Iva říká: Já si myslím, že když přijde Petr a nepřijde Jirka, nepřijde ani Honza. Na to povídá Šárka: To ale říkáš totéž co já. Rozhodněte, zda obě skutečně říkají totéž. Řešení: Nejprve opět provedeme vhodné označení atomárních výroků. Symbolem A označme výrok „Petr přijde", symbolem B označme výrok „Honza přijde" a dále C označme výrok „Jirka přijde". V provedeném označení mají výpovědi Šárky a Ivy tvar .4 = (A A B) => C a tf = (A A C) =* B'. Aby Šárka a Iva říkaly totéž, musí být A «* B tautologie. Sestavíme tabulku pravdivostních hodnot. A B c AAB A A C A B A^B 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 ] 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Z tabulky pravdivostních hodnot vyplývá, že A «* B je tautologie, což znamená, že Šárka a Iva říkají skutečně totéž. 6. O podezřelých A,B,C z trestného činu jsou prověřeny tyto informace. Jestliže spáchal trestný čin podezřelý fí, pak je vinen i podezřelý C. Spáchal-li trestný čin podezřelý C, pak mu pomáhal A. Nespáchal-li trestný čin podezřelý B, podílel se na činu podezřelý C. Je-li vinen podezřelý A, není vinen podezřelý B. Jaký závěr musí učinit z těchto informací vyšetřující soudce? Řešení:Dále zavedme označení A = B =ť C, B = C => A,C ~ B' ^> C, T> = A=> B'. Prověříme, za jakých okolností dojde k současnému splnění všech čtyř podmínek A,B, C,T>. Sestavíme tabulku pravdivostních hodnot. B 1 1 0 A 1 1 1 1 0 0 1 o o o o C B^C C=>A B' ^C A^B' AaBaCaV 11110 o 0 0 110 o 11111 1 0 0 1 1 o 1 o 1110 1 1 o 0 0 111 o 110 11 o oiioi o Současné splnění všech čtyř podmínek je možné pouze v jediném případě, kterému odpovídá třetí řádek. Závěr vyšetřovatele; Trestný čin spáchali podezřelí A, C. 7. Buď dána dvouprvková množina A = {1,2} a tříprvková množina B = {x, y, z}. Kolik prvků má množina 2A x B? Vypište všechny její prvky. Řešení: Zřejmě množina 2A má 4 prvky a platí 2A = {0, {i}, {2}, {1,2}}. Protože množina B je tříprvková, má kartézský součin 2^x5 právě 4-3 = 12 prvků. Platí 2^xF={[0,x],[0?y],[0^];[{l}^])[{l},í/],[{i}]^ [{2}^M{2},ä,],[{2}I4[{l,2})x]1[{l,2},í/],[{l,2}1z]}. 8. Jsou dány množiny A = {x 0)V(x-l >0Ax-3 < 0) O (x < 1 A x > 3) V (x > 1 A x < 3) o x G 0 V x € (1,3) O x € 0 U (1,3) = (1,3). Odtud plyne # = (1,3). Pro množinu B U (A - B) tedy platí: 5 U (A - S) = (1,3)U((2,4)-(1,3)) = {1,3)U(3,4) = (1,4). Konečně množina {AHB) x (B-A) = ((2,4) n (1,3)) x ((1,3) - (2,4)) = (2,3) x (1,2). Grafické znázornení zadaných množin je na následujícím obrázku. 2 i y r^ i i . . *- 0 2 3 9. Rozhodněte, zda množiny A = 20 x {0} B = {1,0.9} mají stejný počet prvků a zda mezi nimi platí vztah inkluze. ReŠení: Zřejmě platí A = 2V>X^ — 2e = {0}. Množina A má tedy jediný prvek, kterým je prázdná množina. Označme ň = 0, 9 a 6 = 1. Jestliže a ^ b, má množina B dva prvky. Platí ale a = 0.9 = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + _9_ 9 " 10 + 1ÖÖ 1000 10000 + ■•• = —a — — — = KT + 10 + 100 + 1000 + 10000 + Posledně uvedený součet je součtem geometrické řady s kvocientem q = 0.1. Pro součet geometrické řady platí obecný vztah n=0 1 Platí tedy a = 10 i-* _9_ 10 J_ _9_ 10 _ A - 10 ■ 9 - Proto 0,9 = 1 a množina B — {1} je jednoprvková. Odhalili jsme zajímavou a překvapující skutečnost, že reálné číslo obecně nemá jednoznačně určený dekadický zápis. Dva různé dekadické zápisy tedy mohou představovat stejné reálné číslo. Závěr našeho šetření je tedy následující. Obě množiny A, B jsou jednoprvkové, i^5a neplatí mezi nimi žádný vztah inkluze. 8 10. Ve výrobním podniku dodává dílna A své výrobky k dalšímu zpracování dílně B, a ta je po provedení svého úkolu předává dílně C. Dílna D vyrábí výrobky samostatně. Pomocí uspořádaných dvojic zapište relaci, která vyjadřuje výrobní závislost jednotlivých dílen. Řešení: Hledaná relace R se dá zřejmě zapsat v následujícím tvaru R = {[A,BllB,CHAtCl[D,D]}. Při nedodání výrobků dílnou A je postižena také dílna C, zatímco dílna D závisí výrobně jen sama na sobě. 11. Buďte A,B,C libovolné množiny. Dokažte, že platí následující množinová inkluze {Ar\B)uCC(A\jC)n(B\J C). Řešení: Postupujeme následovně. Zvolíme libovolný prvek z množiny (A n B) U C na levé straně a dokážeme, že leží v množině (AuC)ľl(SuC) na pravé straně. Při důkazu rozepíšeme formální množinový zápis podle definice na úroveň výrokové logiky, použijeme známých zákonů pro logické spojky a získaný výraz znovu množinově interpretujeme. Zápis důkazu má tvar: Buď x E (A n B) U C libovolný prvek. Pak podle definice sjednocení platí x E [AHB), nebo r e C. To však podle definice průniku znamená, že x E A a současně x £ B, nebo x e C. Nyní použijeme platnosti distributivního zákona pro logické spojky a a nebo. Na základě tohoto zákona platí x E A, nebo x E C a současně dále platí x E B, nebo x e C. Tuto novou logickou formulaci interpretujeme množinově. První část posledního zápisu znamená, že i G A U C a druhá říká, že x E B U C. Odtud však plyne x E (A U C) H (B U C). Tím je důkaz inkluze dokončen. Uveďme nyní formální tvar zápisu tohoto důkazu. xE(Af]B)uC => xE(Ar\B)V x EC ^(x E AAx eB)Vx EC ^ s* ({x E A) V (x E C)) A ({x E B) V (x E C)) ^ =► (x E A U C) A {x E B U C) =» x E {A U C) n (B U C). Při zápisu důkazu obvykle používame místo slovních komentářů stručnějšího symbolického vyjadřování pomocí logických spojek. 12. Buďte A,B,C libovolné množiny. Dokažte, že platí následující množinová rovnost A x (B ~ C) = {A x B) - (A x C). Řešení: Připomeňme úvodem, že důkaz množinové rovnosti X = Y se skládá ze dvou důkazů množinových inkluzí. Nejprve je zapotřebí dokázat, žeX CY a dále, že Y C X. Dokažme tedy nejprve inkluzi A x (B - C) C (A x B) - (A x C). Platí: xEAx(B-C)^x = [a,b], kde a E A, 6 E B - C,tj. a (E A,fc £ C => [a, b] E A x B A [a, b] £ A x C =}> [a, b] m x E {A x B) - {A x C). 9 Dále je třeba dokázat množinovou inkluzi (A x B) — (A x C) C (A — B) x C. Platí: x = [a,b] e {A x B) - (A x C) ^ [a,b] £ A x B A\a,b\ <£ A x C ^> a e A,b e B,b $ C => a e 4 A 6 e B - C => [a, b] = x e A x (S - C). Tím je tvrzení dokázáno. Uvedené řešení ukazuje typický důkaz množinové rovnosti. Často můžeme postupovat tak, že rovnost dokazujeme najednou pomocí řetězce ekvivalentních výroků. V tomto případě je však zapotřebí kontrolovat, zda platí obě implikace. 13. Buď A libovolná množina, bud Bi množina pro každé i e I, kde I je neprázdná, tzv. indexová množina. Dokažte, že platí Řešení: x £ A - [J Bi & x e A A x <£ [J B{ <$ x € A AVi e I: x <£ B{ & Vi€l :x ^ je rovněž injektivní. Řešení: Buďte x,yeX,x^V- Podle předpokladu je zobrazení / injektivní, a tedy platí f (x) ŕ ff(ff)- Analogicky zobrazení g je injektivní, a tedy pro f (x) f (y) 6 Y platí 5(/(x)) ŕ g(f(y)) 4» (s o /)(x) # (5 o /)(y). 18. Buď f : N x N ^ N zobrazení definované vztahem f ([x,y]) = (2x - DSP*"1. Dokážte, že / je bijekce. Řešení: Důkaz tvrzení má dvě části. Nejprve dokážeme, že zobrazení / je injektivní. K tomu je zapotřebí ukázat, že každé dva různé prvky z množiny N x N se zobrazí na různé prvky v množině N. Buďte tedy [a, 6], [c, d] E N x N, [a, b] ŕ [c, d]. Pak \a, b] ŕ \c, d] =► (o j* c) V (6 / d) => (2a - 1) jé (2c - 1) v (2&-1 # 2^) * (2a- 1)26-1 ?É (2c- 1)2^' =* /([a, í»]) ^ /(M). Zbývá dokázat, že / je surjektivní. K tomu je zapotřebí dokázat, že ke každému prvku x z množiny N existuje aspoň jeden prvek z množiny N x N, který se na prvek x zobrazí. To však znamená H f = N. Hledaný prvek zkonstruujeme. Zřejmě /(^{x-l),l])^(2^(x-l)^l)21-1=x. Odtud plyne, že na libovolné x e N se zobrazí prvek [J(* - 1), 1], Tím je tvrzení dokázáno. 19. Proveďte přímý důkaz výroku \/l3 + \/Í2 < 1 + \/l3 - \/V2,.. Řešení: Přímý důkaz tvrzení X provedeme tak, že zvolíme, respektive vyhledáme, pravdivý výrok Y. Pak pomocí řetězce implikací dokážeme, platnost implikace Y => X. Tím je dokázáno, že tvrzení X platí. Označme nyní danou nerovnost symbolem X. Nerovnost X upravíme na tvar XY: \/l3~+~\7l2 - \/l3 - \/l2 < 1. Umocněním na druhou obou nezáporných stran nerovnosti dostaneme nerovnost X2 : 13 + Vn- 2^(13+ v/Í2)(13-v/ľÍ) + 13 - >/Í2 < 1. Nerovnost X2 zjednodušíme na tvar X3 : 26 - 2^169- 12 < 1 a odtud dále na tvar Xt : 25 < 2V/157. Opět obě nezáporné strany umocníme na druhou a získáme 11 Xh ■ 625 < 4 • 157, odkud máme pravdivý výrok Y : 625 < 628. Tím však ještě není důkaz proveden. Zatím pouze víme, že platí x => Xy => x2 => x3 => x4 => xs => y, přičemž Y platí. Přímý důkaz získáme obrácením postupu úprav. Tyto úpravy jsou však důsledkové, a proto dostáváme, že Y => Xs => X4 => X3 => X2 =*■ Xi => Jf platí. Protože víme, že F platí, plyne odtud závěr, že X platí. 20. Proveďte nepřímý důkaz následujícího tvrzení. Pro každé celé číslo x platí: Je-11 xs sudé číslo, pak x je sudé číslo. Řešení: Nepřímý důkaz implikace A => B se provádí tak, že místo této implikace dokazujeme její obměnu B' =ř> A'. Lze snadno ukázat, že implikace A => B a její obměna B' => A' mají vždy stejné pravdivostní hodnoty. Budeme tedy dokazovat následující implikaci: Je-li x liché číslo, pak x3 je liché číslo. Jestliže x je liché číslo, pak existuje takové celé číslo m, že x = 2m + 1 a dále platí x = 2m + l=>i3 = (2m + l)3 => x3 = 8m3 + 12m2 + 6m + 1 =^ x3 = 2(4m3 -I- 6m2 + 3m) + 1. Jestliže x3 = 2(4m3 + 6m2 + 3m) + 1, pak x3 je liché Číslo. Tím je proveden důkaz obrácené implikace, a tím i původního tvrzení. 21. Dokažte sporem, že jsou-li x,y libovolná komplexní čísla, pak platí \x + y\< M + |jf|. Řešení: Symbolem A označme výrok „x a y jsou komplexní čísla" a symbolem B výrok \x+y\ < \x\ + \y\. Předpokládejme, zeje pravdivý výrok AAB', což znamená, že x a y jsou komplexní čísla a |x + yl > |a;| + jy|. Nechť tedy x = a + ib a y = c + id, kde a, b, c, d jsou reálná čísla. Pak podle předpokladu y/a2 + b2 + Ve2 + (i3 < v/(a + c)2 + (6 + d)2. Po snadné úpravě dojdeme k nerovnosti {ad - bc)2 < 0, což je spor s vlastnostmi druhých mocnin reálných čísel. Musí tedy platit věta A => B, kterou jsme chtěli dokázat. 22. Dokažte, že množina všech prvočísel je nekonečná. Řešení: Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že q je největší prvočíslo. Sestrojme číslo p — q\ + 1. Je zřejmé, že toto číslo je větší nž q. Číslo p je ale dělitelné pouze čísly lap, neboť při dělení libovolným prvočíslem ležícím mezi čísly 2 a g dává zbytek 1. Nalezli jsme tedy prvočíslo p > q, což je spor s předpokladem. 12 23. Russeluv paradox (1903). Následující úvaha je typickým příkladem, který se objevil na počátku 20. století v souvislosti s třetí krizí matematiky. Buď A libovolná množina. Pak nastane právě jedna z možností: Buď A g A nebo A é A. Všechny množiny rozdělíme do dvou skupin si = {A; A e A}, SB = {B; B $ B}. Je zřejmé, že žádná množina nemůže patřit do si i & současně a že si, 38 '^bou také množiny. Uvažme nyní St. Protože 3B je množina, musí sama ležet v s$ nebo 38. Připusťme nejprve 38 6 si. Pak ale podle definice si platí 38 6 SB, což je spor, neboť & nemůže ležet v si i 38. Připusťme tedy, že @ 1 platí A" = 0 1 n \o 0 1 Tuto hypotézu dokážeme pomocí matematické indukce. Zřejmě pro n = 1 tvrzení platí. Předpokládejme tedy, že tvrzení platí pro libovolné n > 1 a dokažme, že platí rovněž pro n + 1. Spočtěme nyní n + 1 mocninu matice A. Z indukčního předpokladu plyne 1 n + 1 &)+n\ (l n+1 (T) 0 1 n+1 ] = I 0 1 n+1 0 0 1 / \0 0 1 Podle vety matematická indukce tvrzení platí pro libovolné n. ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY 26. Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků A a, B. A: [(2-3 = 6) V (3-4 = 16)]=* (2 < 1), B: [(K2)A(2?i2)]«*(3-5=14}. 27. Buď A nepravdivý výrok a B výrok, o jehož pravdivosti není nic známo. Co lze říci o pravdivosti výroku A => B? 28. Znegujte následující tvrzení: (1) (2+l = 4)=>(l>2V3<4); (2) ((3 + 7 = 11) A (5 > 1 + 7)) «■ ((100 < oo) V (1 + 1 ^ 3)); (3) Víc € R : x > 1 =>■ x € (0, oo); (4) 3x e R : {x ^9)\ř {x > 7 Ax < 11); (5) Vx e N3y £N :x + y = 100^z-y> 100. 29. Rozhodnete, které z výrokových forem jsou tautologie a které kontradikce: (1) {(A => B) A A) => B; (2) (AV£)'A(A'=>S); (3) ((A V B) A A') =► B; (4) A ==> (B => C) «* (A A B) =* C; (5) (A => (B *> C)) «■ ((A => B) ý* (A =*- C)). 14 30. K formulím A',A A B,AV B,A => B,A <& B najděte formule logicky ekvivalentní, v nichž se vyskytuje pouze logická spojka j (Shefferúv symbol). 31. Detektiv vyšetřuje prípad vraždy. Vyšetřováním se okruh podezřelých zúžil na tri osoby A, B, C. O přítomnosti podezřelých na místě činu bylo zjištěno: Jestliže byl v kritické době na místě činu podezřelý C, pak tam nebyl podezřelý A, ale byl tam podezřelý B. Není pravda, že na místě činu nebyl A a přitom tam nebyl C. Pokud byl na místě činu podezřelý A, nebyl tam C, a když tam nebyl C, byl tam A. Detektiv promyslel všechny možnosti a zjistil, že mu informace k usvědčení vraha nestačí. Při dalším vyšetřování se však zjistilo, že pachatel byl na místě činu sám. Který z podezřelých je vrah? 32. Ve výstavní síni byl odcizen obraz. Z výslechů svědků lze fakta o přítomnosti podezřelých A, B, C ve výstavní síni shrnout do tří závěrů. 1. Ve výstavní síni v té době nebyl B, ale byl tam aspoň jeden z dvojice A, C. 2. Jestliže není pravda, že tam byl A současně s B, pak tam nebyl také C. 3. Podezřelý C tam byl právě tehdy, když tam nebyl žádný z dvojice A, B. Zjistěte, který z podezřelých zcizil obraz. 33. Vystoupení hudebních skupin v televizním pořadu je vázáno těmito podmínkami. Vystoupí A nebo nevystoupí B. Když nevystoupí C, pak nevystoupí A a vystoupí B. Jestliže není pravda, že vystoupí A nebo C, pak určitě vystoupí B. Rozhodněte, zda jsou za těchto podmínek správné úsudky: (1) Vystoupí-li B, pak vystoupí A i C. (2) Jestliže vystoupí C a nevystoupí B, pak vystoupí A. (3) Když nevystoupí ani A, ani B, vystoupí C. (4) Vystoupí A i C a přitom B nevystoupí. 34. Režisér si stěžuje řediteli divadla: Ani jeden z herců tohoto divadla neumí dobře zpívat a přitom dobře tančit. Ředitel: Nemohu s vámi souhlasit, že by skutečně každý z nich neuměl dobře zpívat a dobře tančit. Režisér: To já také netvrdím. Říkám jenom, že každý herec tohoto divadla není dobrý tanečník nebo není dobrý zpěvák. Rozhodněte, zda ředitel režisérovi rozuměl a zda režisér říkal v obou případech totéž. 35. Buď A" libovolná množina. Rozhodněte, kdy platí vztah {X} = X. 36. Jsou dány prvky o, b. Dokažte, že {{a, b}} = {{a}, {b}} &a = b. 37. Rozhodněte, kolik prvků má množina {2v/5, y/ÍÄ + 6\/5- \/l4 - 6y/E, |2+4t|}. 38. Jaký vztah je mezi množinami A = [3f, |^|, §f|}, ß = {y/2, 2.142857} ? 39. Převeďte na zlomek v základním tvaru následující racionální čísla 1.732, 1.915. 40. Následující komplexní Čísla (1,1), (1,-2) zapište v algebraickém, goniometrickém a exponenciálním tvaru. Dále určete jejich sedmou mocninu a pátou odmocninu a zakreslete je v Gaussově rovině. 41. Kolik prvků má množina {eiT, v'-T}? 42. Zjednodušte množinové výrazy Af\(A-(A~B)) =?, (AnB)x((A-B)-A) =? 15 43. Buďte A, B libovolné množiny. Určete pravdivostní hodnotu výroku (20 C 0 V ({A C A x B) A 0 e 20)) ^^ICß. 44. Jsou dány množiny A = {l, |T f,.,.}, J5 = {0, ^, £,... } . Určete sjednocení, průnik a rozdíl těchto množin. 45. Určete supM a infM, kde M = {2 - {-,2- §,2 - J,...}. 46. Určete supAf a infM, kde M = < — ^ pro n = 1,2,3,... 47.Kolik existuje podmnožin 100-prvkové množiny? 48. Jsou dány množiny A = (-1,1), B = (2,3), C = {1}. V souřadnicovém systému nakreslete množiny AxB,BxA,AxC. 49. Jsou dány množiny A = (1,2), B = (3,4), C = (-1,2). V souřadnicovém systému nakreslete množinu (A U I?) x C 50. Uveďte příklad množin A, B tak, aby množina A x 2B měla 18 prvků. 51. Nechť A, B jsou množiny. Dokažte, zda platí 2A U 2s = 24uB. 52. Dokažte, zda pro libovolné množiny A,B, C platí: (1) {A- B)U(A-C) = A- {BnC); (2) An{B-C) = {AnB)-C; (3) A - B = A -=- (A n B); (4) A x (B U C) - (A x B) U (A x (7); (5) A n (5 -ť- c) = (A n B) + (A n C). 53. Dokážte, že pro symetrickou diferenci množin platí asociativní zákon A±(B + 0 = (A + B)±a 54. Dokážte, že pro intervaly na reálne ose platí ň(l-I,2+I) = {1,2), ň(1--5_2 + ;^T>=(|,§), U(i-i,2+i) = (o,3), Qd---íT.a+--TT> = «W n=l n=l 55. Nechť / je neprázdná indexová množina a nechť A, Bi jsou množiny pro každé i e I. Dokazte, že platí 16 56. Určete definiční obor a obor hodnot relace S = {[x, y] e R x R; \x\ + \y\ < 5}. 57. BudS = {[x,y] 3 A x + 2y-6<0}. Určete relaci S výčtem prvků. Dále určete definiční obor a obor hodnot relace S. Rozhodněte, zda S je injektivní zobrazení v N. Spočtěte S'1. Je relace S'1 zobrazení? 61. Symbolem BA - {/;/ : A -» B} označme množinu všech zobrazení A do B. Nechť A má 2 prvky a B má 3 prvky. Kolik prvků má kartézský součin AB x BA7 62. Dokažte, že složení dvou zobrazení je zobrazení. 63. Rozhodněte, zda dané zobrazení / je injektivní, resp. surjektivní: (1) f:NxN^N, f([x,y]) = x + y- (2) / : N -> JV x N, f(x) = [2i, 2x+ 1]; {3) f:NxN^2N, f([x,y]) = {x + y}. 64. Pro následující zobrazení f : R^ R takové, že / - {[x,y\; y = f (x)} určete, zda jsou injektivní, surjektivní, nebo bijektivní: (1) f(x) = 5x - 3; (2) f(x) = x2 + 7x + 12; (3) f{x) = x3- 3x2 - x. 65. Určete, kolik existuje injektivních zobrazení tříprvkové množiny do pětiprvkové. A pětiprvkové do tříprvkové? 66. Rozhodněte, zda mezi množinami N m {1,2,3,...} a. S = {2,4,6,...} existuje bijektivní zobrazení. 67. Rozhodněte, zda mezi množinou všech přirozených Čísel a množinou všech racionálních čísel existuje bijektivní zobrazení. 68. Dokažte, že složení dvou surjektivních zobrazení je surjektivní zobrazení. 69. Je složením dvou bijektivních zobrazení opět bijektivní zobrazení? Dokažte. 17 70. Nechť A, B, C jsou množiny a nechť g : A —► B je bijektivní zobrazení. Dokazte, že bijektivním zobrazením je pak také zobrazení F : Ac -* Bc, kde V/éAc; F(/) =50/. 71. Proveďte přímý důkaz a důkaz sporem výroku v 10 - \/ÍT < v 10 + vTl - 1. 72. Dokažte, že platí 2(sm540-sinl80) = l. 73. Dokažte, že ^/2 není racionální číslo. 74. Pomocí matematické indukce dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n je číslo n3 + bn dělitelné šesti. 75. Je dán výraz V(n) = 22n - 7, kde n e N. Dokažte, že výraz V(n) je dělitelný třemi pro každé n ť= N. 76. Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo 71 platí l + 2 + --- + n= -n(n+l). Proveďte přímý důkaz a důkaz matematickou indukcí. 77. Dokažte, že pro libovolná nezáporná čísla aj,az,... ,an E R platí Ol + a.2 H--------1- a« tya^a,2 .. .an = n 78. Dokažte, že pro libovolné n € N existuje n po sobě jdoucích přirozených čísel, která jsou složenými Čísly. Tzn. v posloupnosti prvočísel jsou libovolně velké mezery. 79. Nalezněte vztah pro délku strany o„ pravidelného 2"-úhelníku vepsaného do kruhu o poloměru 1. Využijte matematické indukce. 80. Špatně provedená indukce může vést k nesprávným závěrům. Určete, kde je chyba v následujícím „důkazu". Věta: Všechny květiny na planetě Zemi mají stejnou barvu. Důkaz: Stačí zřejmě dokázat, že libovolných n květin má stejnou barvu. Pro každé n € N buď V(n) tento výrok: Libovolných n květin má stejnou barvu. Výrok V(l) zřejmě platí. Nechť n > 1 a předpokládejme, že V(n) platí. Buď K množina 8n + l prvky. Zvolme a, b e K, a ^ b libovolně. Pak množiny K - {a} i K — {b} mají n prvků, takže všechny květiny v každé z těchto množin mají stejnou barvu. Tedy zejména b e K — {a} má stejnou barvu jako všechny květiny v K — {a,b} a, podobně a e K — {b} má stejnou barvu jako všechny květiny v K - {a, b}. Odtud plyne, že květiny a, b mají stejnou barvu. Tedy V{n +1) platí. Z věty matematická indukce plyne, že V{n) platí pro každé n € N. 18 II. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 1. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI FUNKCÍ ČÁST A: ŘEŠENÉ PRÍKLADY Následující kapitola obsahuje úlohy týkající se základních vlastností funkcí. K nejdůležitějším charakteristikám funkce patří bezesporu definiční obor, obor hodnot a graf. Každá funkce může mít dále celou radu speciálních vlastností. Například sudost a lichost zajišťují symetrii grafu funkce, periodičnost zaručuje pravidelné opakování funkčních hodnot, ohraničenost zajistí, že se všechny funkční hodnoty budou pohybovat v pásu omezeném dvěma konstantami. Mezi další významné vlastnosti funkce patří například prostota, monotónnost a existence inverzní funkce. Vyšetřováním těchto základních charakteristik se budeme nyní zabývat. 81. Určete definiční obor funkce Řešení: x e Df ^ \^>0M-x^Q. Odtud plyne x OAl-z > 0)V(l + x < 0 A l-x < 0) O (x > -1 Ax > l)v(» < -1 Ax > 1) &xe (-i,i)viG0^ie(-i,i)u0^ie(-i,i). Celkem tedy platí D f - (-1,1). 82. Určete obor hodnot funkce m = S- Fl Řešení: Předně je zřejmé, že D f = R - {0}. Dále platí { -x x < 0. Odtud plyne, že funkce / nabývá pouze hodnot -5 a 5. Platí tedy H f = {-5,5}. 83. Buďte dány funkce f,g. Rozhodněte, zda platí / = g. x+1 x-1 fix) - ~4 ŽT . . 3(s + 9) H*>-*+i «-P 9{x) = ^xTTy 6 10 19 Řešení: Je zapotřebí ukázat dvě věci. Aby se dvě funkce rovnaly, musí mít předně stejný definiční obor. V našem případě platí Df = {xtR;xrX-^~ ^} = {x e R;x + -4}. Protože Dg = R — {—4} platí Df = Dg. Dále je zapotřebí ukázat, že funkční předpisy /, g stejně zobrazují, tj. Vx E D f : f (x) = g(x). Provedeme algebraickou úpravu x + 9 ~W „ 3(x + 9) x + 1 x — 1 /(*) = x + 1 x — 1 ~6 1Ô~ 2x + 8 4(x + 4) 30 = j(s). Odtud plyne, že se funkce f,g rovnají. 84. Nakreslete graf funkce f (x) = \x + lj — \x — 1|. Eešeru: Provedeme podrobnější analýzu zadaného funkčního předpisu. Zrejme platí /(*) = "2 x E (-oo,-l), 2x x E (-1,1), 2 i E (1, oo). Nyní již lze graf snadno nakreslit. Na každém z uvedených intervalů nakreslíme graf příslušné konstantní, resp. lineární funkce. 85. Nakreslete graf funkce f{x) = \x2 + 4x+.3|. Řešení: Postupujeme následujícím způsobem. Funkční předpis přepíšeme pomocí úpravy na úplný čtverec na ekvivalentní tvar f{x) = \x2 + 4x + 3j = |(* + 2)2 - 1|. Dále úlohu rozdělíme na několik dílčích částí. Postupně nakreslíme pomocí posunutí a překlopení grafy následujících funkcí /i(x) =x2, f2(x) = (x + 2)2, A(z) = (x + 2)2 - 1, /4(*) =/(*) = \(x + 2)2 - 1|. 20 Graf funkce f2 získáme posunutím základního grafu /: po ose x do bodu -2. Dále graf f2 posuneme o hodnotu -1 ve směru osy y. Konečně graf f4 = / získáme překlopením záporné části kolem osy x. Postup je zřejmý z následujících obrázků. 86. Nakreslete graf funkce f(x) =3 + sin{x-l). Řešení: Nejprve podrobně vysvětleme, jaký význam mají jednotlivé konstanty na celkový tvar grafu funkce F(x) = A + B sm(Cx + D). Předně konstanta A posouvá graf základní funkce o hodnotu A ve směru osy y. Přímka y = A je tedy novou osou grafu. Konstanta B je tzv. amplituda, která „natahuje", nebo „zkracuje" graf ve směru osy y tak, že celková výška grafu funkce F(x) je 2B. Konstanta C určuje délku periody funkce F(x) a konstanta D způsobuje posun grafu ve směru osy x. Úlohu opět rozdělíme na několik částí. Postupně nakreslíme grafy funkcí /i(ar) = sinx, f2{x) = sin(x - 1), f3(x) = }{x) = 3 + sin(x - 1). Graf funkce f2 získáme posunutím základního grafu funkce fy po ose x do bodu 1. Dále graf f2 posuneme o hodnotu 3 ve směru osy y. Tím získáme graf zadané funkce /3 = /. Grafy jednotlivých funkcí jsou uvedeny na následujícím obrázku. 21 iy y = sin x y = s'm(x — 1) 87. Nakreslete graf funkce f (x) ss 3 sin 2a:. Řešení: Funkce sin x je periodická a její základní perioda je 2ir. Nejprve určíme periodu funkce }\{x) = sin 2i. Pro periodu této funkce platí 0 < 2x < 2tt, z čehož plyne 0 < x < n. Perioda funkce fi je tedy -k. Graf dané funkce / získáme tak, že graf funkce f\ natáhneme ve směru osy y na trojnásobnou délku. 'X/X/X/X/ j/ = sin 2a; y = 3 sin 2a: 88. Nakreslete graf funkce f(x) = |2sin(3a; - 1) - 1|. Řešení: Řešení úlohy rozdělíme do pěti kroků. Postupně budeme kreslit následující funkce: sin3:r, sin(3a: - 1), 2sin(3ar - 1), 2sin(3a; - 1) - 1, |2sm(3x - 1) - 1|. Výsledný graf je na následujícím obrázku. 3 V^N^ZW 89. Dokážte, že daná funkce / je ohraničená. x f(x) = x2 + 1' fteäení: Musíme dokázat, že funkce / je ohraničená shora i zdola, Nejprve ukážeme, že funkce / je ohraničená shora. Zřejmě pro libovolné reálné číslo x platí nerovnost {x - 1) > 0. Z této nerovnosti však plyne x2 + 1 > 2x a dále 1 0 z čehož plyne x2 + 1 > -2x a dále > 1 x2 + 1 - 2' Tím je dokázáno, že funkce / je zdola ohraničená. Daná funkce je tedy ohraničená. 90. Dokažte, že funkce f(x) - J je neohraničená na intervalu (0, oo). Řešení: Použijeme důkazu sporem. Předpokládejme, že funkce / je na intervalu (0, oo) ohraničená. Pak je pro všechna x > 0 funkce / ohraničená shora. To znamená, že existuje takové číslo h, že pro všechna z > 0 platí nerovnost 0 < - < h. x Zvolme libovolné číslo » € (0, £), tj. 0 < x < jfc. Odtud plyne, že J > h. Tím jsme dosh ke sporu. Proto funkce / nemůže být na intervalu (0, oo) ohraničená. 91. Dokažte, že funkce f(x) = x2 je ryze monotónní v intervalu (0,oo), kdežto v intervalu (-oo, oo) není ani monotónní. Řešení: 1. Zvolme libovolná dvě čísla xi < x2 z intervalu (0, oo), takže je 0 < žj < x2. Odtud dostáváme 0 < x\ < x2 neboli f(xy) < f(x2). Tedy funkce /(x) = x2 je v intervalu <0,oo) ryze monotónní. 2. V intervalu (-00,00) však není monotónní nebot pro Xl = -5 < x2 = 1 je f(Xl) = 25,/(x2) = 1, takže f(Xl) > f(x2). Naproti tomu pro x\ = -1 < x*2= 5 dostáváme f{x\) = 1 < /(x*) = 25. 92. Zjistěte, zda je zadaná funkce / sudá, případně lichá. f{x) = xln|x|. flešení: Spočteme funkční hodnotu f(-x). Platí f(-x) = (-x)ln] -x\ = -xln|x| = -f(x). Odtud plyne, že daná funkce je lichá. 23 93. Zjistěte, zda je zadaná funkce / sudá, případně lichá. /(*) smí x Řešení: Spočteme funkční hodnotu f(—x). Platí „, . sin(—x) -sinx sinx ,, x /(-i) = —i---L =-------------= f(x). —x —XX Odtud plyne, že daná funkce je sudá. 94. Uveďte příklad funkce /, která je současně sudá i lichá. Řešení: Aby byla funkce / sudá, musí platit vztah /(—x) = /(x). Současně má být funkce / lichá, tzn. musí platit f(—x) = —f(x). Odtud plyne f(x) = —f(x), tj. 2/(x) = 0. Má-li být funkce sudá a současně lichá, musí platit f(x) = 0. Těchto funkcí je nekonečně mnoho. Například f(x) = 0, D f = (—5, —2) U (2,5). 95. Dokažte, že funkce / je periodická a nalezněte její nejmenší periodu. J(x) ~ tg 3x -f 2sin6x. Řešení: Aby byla funkce / periodická s periodou p, musí platit f(x + p) = /(x),tj. tg(3(x + p)) + 2sin(6(a: + p)) = tg 3x + 2sin6x, což znamená, že tg (3x + 3p) - tg 3x + 2sin(6x + 6p) - 2 sin6x = 0. Po úpravě levé strany dostáváme sin(3x + 3p) sin 3x cos(3x + 3p) cos 3x sin(3x + 3p) cos3x - sin3x cos(3x + dp) cos(3x + 3p) cos 3x sin(3p) cos[3x -f- 3p) cos 3x 4- 2 sin(6x + 6p) — 2 sin6x = + 2 sin(6x + 6p) — 2 sin 6x = + 2 sin(3p) cos(6x -i- 3p). Levá strana se však rovná nule pro všechna x £ | + ™1 právě tehdy, když sin 3p = 0, tj. právě když p ~ \kir, kde k E Z. Nejmenší periodou dané funkce je tedy Číslo 96. Proveďte složení daných funkcí / a g, kde /(x) = -—-, g(x) m yß, X — L 24 Řešení: Provést složení daných funkcí znamená zkonstruovat funkce F(x) = (/ o g)(x) = f(g(x)) a G(x) = (g o /)(*) = S(/(x)). Platí: *"(*) = fíffi*)) = /(VS) = 3^±|f v/x - 1 Z uvedeného příkladu je ihned zřejmé, že skládání funkcí není obecně komutativní. 97. Spočtěte složenou funkci F(x) = f{f(f(x))), kde /w-i 1 x Řešení: Provedeme postupné dosazení do složené funkce a následující algebraickou úpravu m = /(/(/wn - W(JL» - /(-ij.) = _L^ . i _,, 1 — x 98. Dokažte, že daná funkce / je prostá. f{x) = VŽx^2. Řešení: Dokázat, že funkce / je prostá znamená dokázat, že / je injektivní zobrazení. Tzn. Vx:, x2 6 D f : x, ? x2 => f(Xl) fk /(x2). Nejprve určíme definiční obor funkce /. Snadno zjistíme, Že D f = (f, «,). Buďte nyní Xl,x2 € 5/ xx ^ x2 libovolné. Odtud plyne 3^ ^ 3x2 a 3xj - 2 # 3x2 - 2. Protože xux2 G £>/, platí 3 ^ *i Ml^, a tedy 0 < 3xi - 2 a 0 < 3x2 - 2. Odtud plyne, že V3^i - 2 # V3^2 - 2. 99. K dané funkci / nalezněte funkci inverzní, pokud existuje. f{x) = -x-l. Řešení: Nejprve dokážeme, že k funkci /(x) existuje funkce inverzní. K tomu stačí dokázat, že je /(x) prostá na svém definičním oboru D f = R. Důkaz provedeme sporem. Nechť existují reálná čísla xux2 taková, že x, £ x2 a současně platí f M = f(x2). Pak ale \xx-\= \x2 -1. Odtud plyne \Xl = \x2. Tedy r, = x2 coz je spor. Funkce / je tedy prostá a k prosté funkci existuje funkce inverzní Nyní provedeme výpočet inverzní funkce f~\ Nejprve ve funkčním předpisu }{x) = 5x --1 nahradíme symbol f(x) ekvivalentním označením závisle proměnné y a získáme y = §x - 1. Nyní předpis chápeme jako rovnici, ze které spočteme nezávisle proměnnou x. Platí y + 1 = Ix a odtud získáme hledané vyjádření x = 2y + 2. V dalším kroku provedeme vzájemnou záměnu symbolů z a y. Dostáváme y — 2x + 2. Funkční předpis hledané inverzní funkce je tedy f~l (x) = 2x + 2. Dokažme nyní podle definice, že funkce /, f~l jsou skutečně inverzní. K tomu je zapotřebí prověřit definiční vztah /o/-1 = id ~ f^1 o f Platí (/o/-1)(x)-/-1(^-l) = 2(lx-l) + 2-x-2 + 2 = x = ld(x), (f~lof)(x)=f(2x + 2) = ±(2x + 2}-i=x + l-l^x = id(x). ' 25 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Nalezněte definiční obory následujících funkcí: 100. f{x 102. f(x 104. /(ar 106. f(x 108. f{x 110. f(x 112. f{x 114. /(x 116. f(x 118. /(x 120. /(x 122. /(x 124. /(x 126. f(x 128. /(x 130. /(x 132. /{x 134. /(x 136. f(x 138. /(x 140. f(x 142. /(x = v3x - x3. = ln(x2-9). — cotg(4x - 3). 1 " log5(x-4)' = arcsin(sinx). — yxyxy/x. x x3 - 2x2 — 5x + 6 cos(x + 1) 5^+1 -3.51 _ 50" X - COS X 2 sin2 x + 3 cos x \A-I4 sin x v/31 -5 x + sinx V3X3 - x2 + 3x - 1 * ln(x2 + 4x - 5). " ln(x + 5)" = arccos(2sinx). = \/l — x + \/x — 3. = ln(x3-3x2-x + 3). 101. f{x) 103. /(x) 105. /(x) 107. /(x) 109. /(x) 111. /(x) 113. /(x) 115. /(x) 117. /(x) 119. /(x) 121. /(x) 123. f(x) 125. /(x) 127. /(x) 129. /(x) 131. /(i) 133. f{x) 135. /(x) \/2 + x -x2. ln(lnx). — */ta 9. -/ logi X. - X ln 1 — x arccos(2x - 5). arcsin(2 — 3x). 5x-l 2* -4 sinx 4T - 6 ■ 2X + 8' 3Z+1 sin x + cos x sinx y/\Z-x\- |2x- 1|' y|a: + l|-|3r|. 1 V^x- |x- 1|" ln\/3- 2x-x2. ln(x + 5) \/x2 - 5x 4- 6 arctgln(x2 - 5x + 6). %/—x + vx + 4-ln(cos(Inx)). Rozhodněte, zda se dané funkce / a g rovnají: x y/š?, g(x) = |x|. logx2, ff(x) = 21ogx. = 21nx3, 3{x) = 61nx. 141. f(x) = lnex, g(x)=elr,x. x\- 1|» 9{x)= |1- |a;| = 1, g{x) = - 1 , z X x^ 137. /(x) 139. /(x) 7T, = sin(x + -),g(x) = cosx. 143. /(x) Pomocí grafu základní funkce nakreslete následující grafy funkcí: 144. f(x) = 146. f{x) = 148. /(#) = 150. f(x) = 152. f(x) = 154. f{x) = 156. f(x) = 158 160 162. f{x) = 164. /(x) = /(x) = /<*) = /(*) = /(«) = 166 168 170 172 174 \x\ +x. \\x~5\-l\. (x - l)2 - 3. x2 -4|x| +3. 1 1-x' 1 - 3"*, log2(-x). log, 3. -3sin(2x + 8). 1-y/x. logi|x-l|. arccosx-H 1. arcsin(sinx). arctg(tgx). 5x 7—: + sinx. |x| 145. /(x) 147. /(x) 149. 151. 153. /(x) = 3- |x + 2|. |||s-l|-l|-l| |x2-f 4 ]x2-4|x|+3|. x-ll x -2| 3—1 + 4. 155. f(x) 157. /(x) = |Log|a:|| 159. /(x) = 161. /{x) = 163. f(x) = 165. /($) = 167. /(*) = 169. /(x) = 171. /{$) = 173. f(x) = 175 /(x) = --(cos2x + 1). |2sin(3x-l)-l| Iv^-l). |logi(x-l)|. arccos(x + 1). sin(arcsinx). tg(arctgx). \ex-2\ + l. 3 - j sinx|. Rozhodněte, které z funkcí jsou sudé a liché: 176. /(x)=2~* + 2*. 178. /(x) = ^x~ + x3. 180. /(x)=7xa+sinx< 182. f(x) = x 177. /(x) = f- ae"1 m 179. /(x) = log^-Í. 7 + x 181. /(x) = X^X + ^ 183. /(x) = sin3 x ■ sinx2. 1 + Vx2 Dokažte, že dané funkce jsou periodické a určete jejich nejmenší periodu: 184. /(x) = |sinx| + |cosx|. 186. f(x) ~ sin x + sin - + sin -, 188. /(x) = sin^. o 190. /(x) = arcsin(sinx). 185. /(x) =log(cosx+ sinx). 187. /(x) — cos 7x + cos 5x. 189. /(x) = sm4x + cos4x. 191. /(x)=sm2x + tg-. 27 Zjistěte na kterých intervalech je daná funkce rostoucí resp. klesající: 192. /{x) = |x|+x. 193. f(x) = \x + 3\ + \x-2\. 194. /(x) = x2-3x + 4. 195. /(z) = H±_. 196. f(x) = l-Väß. 197. f(x) = ^/\x\ + l. Utvořte složené funkce F(x) = (/ o g)(x) = /[p(x)] a G{x) = (50 /)(x) = 5[/(x)]: 198. f(x) = x3 + lax, g(x) = sinx. 199. f(x) = 10, g(x) = logx. 200. /0) = |x + l|, g[x) = \x-3\. 201. /{x) - ^—-, 5(2;) = ^. 202. /(x) = 3x + 2, a(x)=x2-3. 203. f{x) =------- g(x) = x-1 3V ' x + 3 K daným funkcím určete inverzní funkce pokud existují: 204. /(x) = 2~e*+3. 205. /(ar) = 3 • S*"1. 206- /(a;) = ř^x~- 207 ^x> = 4Sini- 208. /(*)=3*-*. 209. /(x) - 3 + 4arccos(2x - 1). 210. f{x) = ln(2 - 3x). 211. /(i) = 21+lni/í^. 212. /(x) = 23+arctg:c. 213. /(i) = 1 + y^ + e2*. 214. /(x) = log2(x + y/x2 + 1). 215. /(x) 4-21 216- /(a) = 1 f?3r. 217. /(x) = logT2. 1 + 2yx 218. Buď / libovolná funkce definovaná na intervalu / = {-a, a), a > 0. Dokažte, že funkce F(x) = f(x) + /(—x) je sudá a funkce G(x) = /(x) — /(—a;) je Uchá. 219. Nechť funkce /, t/ jsou periodické funkce s periodou p. Dokažte, že funkce F(x) = f(x) + g(x), G(x) = f(x)g(x) a H(x) ~~ g£řj ^sou rovn^ periodické. 220. Nechť funkce / je periodická s periodou p. Buď a ^ 0- Určete periodu funkce F(x) = f{ax). 221. Dokažte následující tvrzení. Nechť funkce / je rostoucí. Pak platí: (a) Funkce 2/ je rostoucí, (b) Funkce —/ je klesající, (c) Funkce 7, / 7^ 0 je klesající. 222. Nechť funkce f,g jsou definovány na stejném intervalu /. Jsou-li funkce / i g rostoucí, je funkce / + g také rostoucí? 223. Najděte rostoucí funkci / a klesající funkci g tak, aby f + g byla rostoucí. 224. Nalezněte monotónní funkce /, g tak, aby funkce f + g nebyla monotónní. 28 2. POSLOUPNOSTI Mezi významné speciální typy funkcí patří tzv. posloupnosti. Jedná se o funkce / : N -» iž, jejichž definiční obor je roven množině přirozených čísel, nebo nějaké její části. Pro libovolné n € N položme f (n) = an. Hodnoty an se nazývají členy posloupnosti a pro posloupnost pak používáme označení {a«}^. Následující kapitola obsahuje základní tematické úlohy o posloupnostech. Mezi nejdůležitější z těchto úloh patří úlohy vyšetřující chování členů posloupnosti pro n -f co, tj. limity posloupnosti. ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 225. Je dána posloupnost {;} «'*=! (a) Dokažte, že daná posloupnost je klesající. (b) Rozhodněte, zda je uvedená posloupnost ohraničená. (c) Vyjádřete tuto posloupnost rekurentně. Řešení: (a) Posloupnost {an} je klesající, když pro všechna n 6 N platí an+1 < an. V tomto případě má platit 1 1 < n + 1 n' Z uvedené nerovnosti plyne n + 1 > n a dále 1 > 0, což zřejmě platí. Obrácením postupu dojdeme od nerovnosti 1 > 0 k nerovnosti ^ < i, a tím jsme dokázali, že daná posloupnost je klesající. (b) Pro každé n e N platí 1 > 0, tzn. že daná posloupnost je zdola ohraničená. Zároveň pro všechna n 6 N platí J < 1, neboť tato nerovnost je ekvivalentní s nerovností n > 1. Proto posloupnost je i zhora ohraničená, a tedy i ohraničená. (c) Pro n = 1 dostaneme ox = 1. Protože an = ^ a. an+1 = ^-, platí 1 a_ fln+l — ± + 1 " a„ + 1" Danou posloupnost můžeme tedy rekurentně vyjádřit vztahem ťli = 1, Ofv+i —----------. an + 1 226. Posloupnost {a„}™=1 je dána rekurentním vztahem 1 (n 4-1)2 2 n(n + 2) Nalezněte exaktní vzorec pro n-tý člen. 29 Řešení: Pro počáteční Členy dané posloupnosti platí 12 3 4 5 01 - r G2 = š'as = V a4 = š' as = ě- Můžeme vyslovit hypotézu: Pro každé přirozené číslo n lze n-tý člen posloupnosti vyjádřit ve tvaru n (in = ——. n + 1 Tuto hypotézu ověříme pomocí matematické indukce. Nejprve se přesvědčíme, zda hypotéza platí pro n = 1: 1 1 což je v souladu s rekurentním vyjádřením posloupnosti. Dále zjistíme, zda pro každé n & N platí n n+l n + 1 n + 2 Po dosazení do rekurentní formule dostaneme (n+l)3 n n + l n(n + 2) n + l n + 2 +i Tím je uvedená hypotéza dokázána. Pro n-tý člen posloupnosti platí o„ = ^ 227. Dokažte, že limita posloupnosti 1^}°^, je rovna 0. Řešeni: Podle definice limity máme určit takové Číslo n0, že pro všechna přirozená Čísla n > nQ a libovolné kladné číslo e platí \~ - 0| < e, tj. n > ±. Položíme-li nQ — \i Pak Pro všechna přirozená čísla n > n0 skutečně platí | £ - 0| < e. To však znamená, že lim - = 0. n—>oo n 228. Dokažte, že posloupnost {an}™=1, jejíž členy jsou 2,7,2,7,2,7,2,7,..., tj. Členy s lichými indexy jsou rovny číslu 2 a se sudými číslu 7, nemá limitu. Řešení: Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že daná posloupnost má limitu rovnu číslu a a zvolme s = \, Podle definice limity má od jistého členu a0 platit pro všechny liché indexy [2 - a\ < \ a pro sudé indexy |7 - a| < \. Z uvedených nerovností plyne f < a < § pro liché indexy a f < a < f pro sudé indexy. Takové číslo o, které splňuje obě nerovnosti současně, však neexistuje. Předpoklad, že daná posloupnost má limitu a, je tedy nesprávný. 229. Spočtěte limitu u n3 + 12n2 + 12n + 12 hm----------------------------- n-roo ji4 _ i 30 Řešení: Čitatele i jmenovatele zlomku podělíme výrazem n3. Touto úpravou se celková hodnota výrazu nezmění a platí: Hm »3 + 12ir> + 12n + 12 = lim ! + % + £ + % = 1+0 + 0 + Q _ j_ »^oo n4 - 1 ,woo n-^- oo-O ~ oo 230. Nechť q je libovolné reálné číslo takové, že \q\ < 1. Určete limitu posloupnosti {l+g + .-. + g»}^. Řešení: Označme sn = 1 + q + • • • + q". Matematickou indukcí dokážeme, že 1 - qn+1 1-9 Odtud plyne, že 1 — nn+l i n lim {l+? + ... + g«}= lim i__?----= LzH n-*:» 1 — q 1 - q l -q Vztah tS^o 9" = ° pro '9' < *' Je známou větou o limitě geometrické posloupnosti. 231. Spočtěte limitu 2"+ 3 um n-+oo 1 — 4-2" ReŠení: Podelíme čitatele i jmenovatele zlomku výrazem 2". Pak 2" + 3 1 + JL um 1 + 3 lim ± «.-too 1-4-2» n^l^4 lim i - lim 4 ' n—+00 i n-too Protože posloupnost {^}gLj je geometrická posloupnost a \q\ = | < 1, platí 1 hm — = 0. n->oo 2™ Celkem tedy platí r 2n + 3 1 + 3-0 1 hm -----------=----------=__ «-►c» 1-4-2" 0-4 4' 232. Spočtěte následující limitu lim —. n-x» 2" Řešení: Daná posloupnost je nerostoucí a zdola ohraničená, protože platí _ n + 1 n n+1 31 a On > 0 pro každé přirozené Číslo n. Odtud plyne, že daná posloupnost je konvergentní. Její limitu označme L. Dále uvažujme vybranou posloupnost {02«} 1 dané posloupnosti. Pro tuto vybranou posloupnost platí In n 1 lim — = 2 lim — ■ lim — = 2 ■ L • 0 = 0. n->oo 22" n-K» 2n n->oo 2™ Nyní využijeme následující známé věty. Je-li posloupnost konvergentní, pak libovolná vybraná posloupnost z této posloupnosti je opět konvergentní a má stejnou limitu. Aplikací právě uvedené věty dostáváme, že TI lim — = 0. n-Hx> 2n Dále určeme limitu podle věty o třech posloupnostech. Platí následující odhad 2" 2-2"-1 2 (n-1)! 2 0 < —7 =------;----------r- < - Protože zřejmě platí plyne odtud 233. Spočtěte limitu n! n-(n— 1)! n (n —1)! n 2 lim 0 == lim - — 0, n-KX) n—>oo n lim ~ - 0. n-too 2" ,. 2n + sinn lim n-*oo 3n — 1 Řešení: Předně pro každé přirozené číslo n platí —1 < sinn < 1. Odtud plyne odhad 2n — 1 2n 4- sin n 2n + 1 On = ----------- <. ----------------- < ----------- = o„. 3n - 1 - 3n - 1 " 3n - 1 Posloupnosti {o„} a {&„} jsou však konvergentní a mají stejné limity. » 2ft-l ,. 2-i 2-0 2 hm-------- = hm -----7- = -—- = -, n^oo 3ra - 1 ft-K» 3 - i 3-0 3 „ 2n + l „ 2 + I 2 + 0 2 lim-------- = hm -----~ = -—- = - r*-H*> 3n - 1 n-voo 3-1 3-0 3 n Podle vety o třech posloupnostech je daná posloupnost konvergentní a platí ,. 2n + sinn 2 hm ------------= -. n-»oo 3n — 1 3 32 234. Spočtěte hodnotu výrazu \J2+^J2 + V2 + .... Řešení: Zadaný výraz označuje limitu posloupnosti {a„}, kde an je dán rekurentně vztahem Si = \/2, an+1 = V2 + a„. Předně pomocí principu matematické indukce dokážeme, že daná posloupnost je rostoucí, tj. pro všechna přirozená čísla n platí an+i > an. Skutečně, pro n = 1 máme g2 = \/2 + y^ > V^ - ai, Jestliže afc+1 > afc, potom platí afc+2 = V/2~+~öfc+i > \/2 + Ofc = Ojt+i. Matematickou indukcí rovněž dokážeme, že posloupnost dn je zhora ohraničená. Budeme dokazovat, že pro libovolné přirozené číslo n platí a„ < 2. Skutečně pro k = 1 platí «! = y/2 < 2. Dále pokud ak < 2, pak Ofc+i = \/2 + öfc < \/2 + 2 = 2. Platí, že rostoucí a zhora ohraničená posloupnost je konvergentní. Nechť tedy L označuje limitu posloupnosti an. Pro n > 1 platí än+i ~ 2 + an. Odtud dále plyne n-km n-K» tj. L ~ 2 + L. Řešením kvadratické rovnice L2 - L - 2 = 0 získáme kořeny Li = 2, L2 ~ -1. Druhá možnost I = -1 nevyhovuje, neboť an > 0 pro každé přirozené číslo n. Hledaná limita je tedy rovna 2. 235. Dokažte, že daná posloupnost je konvergentní {HÝL- Řešení: n-tý Člen posloupnosti rozepíšeme podle binomické věty a upravíme. V nJ ^\k)n* £- ft! -Éit.-iW-i)...(.-^ Ti* fc=Q Pak n+l •^-r^-síixi-^-d-^i). Odtud je zřejmé, že an < On+ia tedy posloupnost je rostoucí. Dále fl" n3 + 1 2tí2 + 1 lim n->oo n2 — 3n + 2 n5 + 1 lim , n->oo ^ 2ti5 + 3n V 5tí. log3Ti lim v 5tí n-+oo lim n—i-oo n 7-3" lim ------------. iní» 2 • 3™ + 3 Vn2 + 1 lim -----------. n-t-oo n + 1 lim (1 - - r»->oo \^ Ti „ ^3n-2 lim ------— «-»■oo V 1 + 3n 5ti-3 lim n—>oo + 2 l2 + 22 + --- + n2 (n + 1)3 265. lim Ti—»-DO 1-2+3- 2n V«2 + 1 267. l\m^ [y/(n + a)(n + b) - n) 268. Spočtěte hodnotu výrazu 1 + V^wr + 269. Je dán rovnostranný trojúhelník se stranou délky a. Z jeho tří výšek je sestrojen nový rovnostranný trojúhelník, z výšek tohoto trojúhelníka další atd. Vypočítejte limitu součtu obsahů těchto trojúhelníků, pokud jejich počet n roste do nekonečna. 270. Do kruhu s poloměrem r je vepsán čtverec. Do tohoto čtverce je vepsán kruh, do něho čtverec atd. Určete limitu součtu obsahů všech kruhů a limitu součtu obsahů všech Čtverců. 35 3. LIMITA A SPOJITOST V následující kapitole se budeme zabývat základními úlohami o výpočtu limit a spojitostí funkcí jedné reálné proměnné. Při výpočtu limit budeme používat především základních výpočetních postupů a různých algebraických úprav. Po zvládnutí teorie derivací se k tématu výpočtu limit vrátíme ještě v páté kapitole věnované ĽHospitalovu pravidlu. ČÁST A: ŘEŠENÉ PRÍKLADY 271. Podle definice limity (viz př. 3) dokažte, že lim x3 = 125. 3!-f5 Řešení: Má-li funkce f(x) v bodě x0 limitu o, tj. lim f(x) = a, pak ke každému e > 0 existuje takové okolí bodu xQ, že pro všechna x ^ x0 z tohoto okolí platí \f(x) -a\ 0 libovolné. Máme ukázat, že existuje číslo 6 tak, že pokud x 6 (5 - <5,5 + Ä), x ŕ 5, pak |x3 - 125| < e. Zřejmě platí |x3 - 125) = |i-5| ■ \x2 + 5x + 25\. Pro x 6 (4,6) je x2 + 5x + 25 > 0 a největší hodnoty nabývá pro x = 6. Platí tedy |x2+5x+25| < 91. Pak |x3-125| < 91|x-5|. Zvolme nyní číslo 5 < ~e. V tomto případě pak platí \x3 - 125| < 91|x - 5| < 91 • 5 < 91 * ^e — s. Stačí volit číslo ö menší než ^e. 272. Spočtěte limitu lim log(3a;2 - 5x + 1). ftešení: Jedná se o nejjednodušší případ, který při výpočtu limity může nastat. V našem případě lze totiž přímo dosadit a funkční hodnota je rovna hledané limitě. Um log(3x2 - 5x + 1) = log(3(-l)2 - 5(-l) + 1) = log 9. X—> — 1 273. Vyšetřete limitu lim sin -. x->o x riešení: Definiční obor funkce f{x) = ^^ je roven množině R - {0}. Není tedy možné dosadit za x a spočítat limitu postupem, jako v předchozím příkladu. Podle definice má funkce f(x) v bodě x0 limitu a, když platí: Ve > 0 36 > 0 : 0 < \x - xq\ < S => \f(x) - a\ < e. Vyšetřeme nyní, zda je předchozí podmínka splněna pro £ — \- Tj. zda platí: 1 1 3S>Q : x e (S,6),x^0=^ |sin-----a\< -. x 2, 3G V každém okolí bodu x0 = 0, tj. v každém intervalu (_*,*) však zadaná funkce nabyva hodnot -1 a 1. Odtud plyne, že hledaná limita neexistuje. 274. Spočtěte limitu ■. & 37 — 2i hm —---------------- x-f2 xJ - 3x2 + 2x' Řešení: Po dosazení hodnoty x = 2 zjistíme, že jmenovatel zlomku je roven nule Provedeme proto algebraickou úpravu. Čitatele i jmenovatele rozložíme na součin lineárních členu a provedeme pokrácení. Do takto upraveného výrazu lze již dosadit. Hn. -g^*- - lim (" - 2>(* ± ll v « + 1 2 + 1 3 —a ** - 3:c2 + 2* ^2 s(* - 2)(a -1) ~ Ä2 x(s - 1) - 2(2^iy = 2 ■ 275. Spočtěte limitu .. 3x4 - 4x3 + 1 lim —;------------- *-»•» (a; — l)2 " Řešení: Provedeme rozklad čitatele a jmenovatele zlomku naopak roznásobíme V takto upraveném výrazu lze již provést pokrácení. Platí lim to4-^+J = lim (*2-2x+l)(3s2 + 2x+l) 2 «-H (ar-1)2 ÜS x2-2x+l-----------= hm(3x2+ 2x+1) = 6. 276. Spočtěte limitu x3 + 2x2 - 4x - 8 lim x^2a:3-6x2 + ll3:-6' a esem: hm ^ + 2^-4x-8 (x - 2)^ + 4x + 4) *-2 x3 - 6x3 + llx - 6 řS (x-2)^-42;+ 3) = = lim í!±4fjM = 1+1 + i - _16 ^2 x2 - 4x + 3 4-8 + 3 277. Spočtěte limitu x2 + 4x - 5 Řešení: lim *-*-s Vx2 - 16 + X + 2' lim / + 4x~5 = hm (* + 5)(x - 1) -^-6 Vx2 -16 + X + 2 *->-5 Vx2 - 16 + x + 2 ~ a iim (g + 5)(j - 1)ŕVx2-16~ f x +_2))__ ■*■+-* (v'x2 - 16 + x + 2)(Vx^rjě _ (x + 2jj - 37 (x + 5)(x - l){y/x2 - 16 - (x + 2)) _ - im5 (X2 _ 16) _ (x + 2)2 = läm (^5)(x-l)(y^3l6-(x + 2))^6 »-+-S -4(x + 5} i 278. Spočtěte limitu lim f y/x (x + 5) - x ) . I—»CO V / Řešení: Postupujeme tak, že danou funkci rozšíříme vhodným výrazem. Hm (v^T5)-x)= Um ẖS^M^̱̱fl = x-too \ / x-+oe y^X + Sj+X x(x + 5)-x2 5x ,. 5 5 5 = lim ~; :------= hm ------= hm — — = . -----= -. s->°° Vx2 + 5x + x x^°° Vx2 + 5x + x x-y°° A _|_ s _j_ j VI + 04-1 2 279. Spočtěte limitu lim 3->l \ 1 — x 1 — X' Řešení: Je zřejmé, že do výrazu nelze hodnotu x = 1 přímo dosadit. Postupujeme tedy tak, že zlomky sečteme a provedeme pokrácení. + x + x2-3 v (x + 2)(x-l) íl 3 \ _. l+x + x2-3 hm-----------------r = hm —------77;-------■—^r = hm i-+i\l-x \-x3J s-)-l (1 - x)(l +X + X2) x-*l x)(l+X + X2) í-H (1 -x)(l + X+X2) (x+2) _ ^+2^ _ r-Hl3+I+l 1 + 1 + 1 280. Spočtěte limitu lim^. Řešení: Využijeme definičního vztahu tg x = §^§ a limitu rozdělíme na součin několika limit. Dále použijeme známé skutečnosti, že lim —^ = 1. tg x , sinx . sin x 1 ,. 1 ,1,1 lim —— = hm------------= hm------■ hm - ■ lim------= 1 - ■ 1 = -. x->0 2x i-í0 2x-COSX »-+0 X S-+Q l a-KJcOSX L l 281. Spočtěte limitu hm S™{X-1] . x-n 3x2 - 2x - 1 38 Řešení: Postupujeme podobně jako v předchozím příkladu. lim sin(ľ - r) _ litn si"fo - 1) ,. sin(x -1) i ii 282. Spočtěte limitu „ sin 4a: lim *-+a VxTT - i' Řešení: sin 4a: sin 4a; x limn r~T^—7 = lim —i------4 • »m , -----= _n;„ x y/x + l + \ x{y/x+ 1 + 1) _ 283. Spočtěte limitu m V3x + 1 - y^Tl *-+0 tg 3a: Řešení: *->o tg Zx x^o tg 3a; z^o 3X = 1 • hm ^3x + 1 ~ ^ + 1 . v^ + * + V^ + 1 = (3x + l)-(j + l) '~*° 3x \/3a: + 1 + VaTTI *™ 3x{y/te + l + V^TT) = lim 2_________= 2 _ 1 —0 3(v^iT+T+v^TT) 3(vT+\/í) 3" 284. Spočtěte limitu lim sin2 3x *->° \/x2 + 4 - 2" Řešení: lim jgj* - = Um^í • lim ^' ^o^/x^+1-2 x^o (3x)2 *-*ov^ž-+4_ 285. Spočtěte limitu 3- Vsin3x + 9 lim »-►o tg 2a: 39 Řešení: .. 3 - v'sin 3x + 9 ,. 2x ,. 3- \/sin3x + 9 lim--------------------- = lim —-----■ lim--------------------- x->o tg 2x i-*o tg 2a; a-s-o 2x ,, 3- s/sin3x + 9 3 + v/sIň3xT9 , 9-sin3x-9 = lim--------------------------------------------- = lim *->o 2x 3 + v/sm3x"+9 2->° 2x(3 + i/sin3x + 9) _i ^m sin3x g j 2 a^o 3x - j ■ 1 • 3 1 lim (3 + x/siňŠäľ+g) 3 + \ß 4' 286. Spočtěte limitu 2a:+6 lim a»f£±|V :-*oo \x + 2/ Řešení: Využijeme již známé skutečnosti, že lim X—f 00 a pomocí algebraické úpravy převedeme vyšetřovanou limitu na tento případ. Platí v /x + 3\2*+6 ,. {fz + 2 + ť^* lim I ------- 1 = lim Z-K50 \X + 2/ -Kxj y V x + 2 x+2 lim (A+-J—^ fi + _L^ ««U x+ 2/ \ X + 2J = e'2r=e2. 287. Spočtěte limitu x100 - 2x + 1 lim ——-------------. S-+1 x50 - 2x + 1 Řešení: Lze snadno ověřit, že číslo 1 je kořenem čitatele i jmenovatele. Provedeme proto jejich rozklad. Platí: lim -ít;—^------r = lim---------,, Jt,------—-------------------ŕ = *_*! x50 _ 2x + 1 x-M (x - l)(x49 + X48 + • • ■ + X - 1) ,. x" + x98 + ■ ■ ■ + x - 1 99-1 49 = hm —-------—-------------------=---------= —. *-nx49+x48 + ---+x- 1 49-1 24 288. Spočtěte limitu .. v/xr+7-v/xT3 lim-----------------------. x-n x — 1 40 Řešeni: K vyřešení úlohy je zapotřebí složitější algebraické úpravy. První krok vyžaduje aplikaci známého vzorce o3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b% Čitatele i jmenovatele zlomku rozšíříme výrazem a2 +ab + b2, kde a = V^TŤ a b = VxTŠ. Zadanou limitu tím upravíme na tvar (*-!)< tf(? + 7)2 + ^TVÍ+3 + v'T^W) -fin, ^ + 7-y^+3F_____________ V dalším kroku provedeme rozšíření právě získané limity výrazem x3+7+J(x + 3)3 a aplikujeme vzorec pro rozdíl druhých mocnin. Limitu tedy upravíme na tvar lim—____ (x3 + 7? - (x + 3)3 = um________ x6 + 13x3 ~ 9x2 - 27x + 22___________ — (x - l}(^/(x3 + 7)2 + ^if+7v^Tl + ^(x + 3)ä)(*3 + 7 + v^TlF)" Polynom x6 + 13x3 - 9x2 - 27x + 22, stojící v čitateli, má kořen x = 1. Provedeme tedy dělení polynomu x* + 13x3 - 9x2 - 27x + 22 polynomem x - 1 a obdržíme x +13** - 9x2 - 27x + 22 = (x - l)(x6 + x4 + x3 + 14x2 + 5x - 22). Nyní lze provést pokracení členů x - 1 a dosadit. (x - l)(x5 + x4 + x3 + 14x3 + 5x - 22) lim--------------------------------1Z____-,\~J^~ . ~ 1 ItJ; T UJ; - 66) c-+M^-l)(^^ + 7V + ^ + 7yx + 3T7(xT3F)^^ + 7+y(x + 3)3) = ]im x5 + x4 + x3 + 14x2 + 5x - 22 o;—> 1 (V(*» + n*+ v^+7VS + 3+ v^+3^)(z» + ?+ VF+ŠF) 1 + 1 + 1 + 14 + 5-22 289. Spočtěte limitu (4 + 4 + 4){8 + 8) X-+00 ln(3 + e2;E)' = 0. Řešení: Výraz je zapotřebí upravit na tvar, který umožní aplikovat základní zákony vylo'ľou'n3 ^ V aXeaaenteál ^^ Povedeme vytknutí, které ■u m(2 + e3a) \n{e3x(l+2e-3x)) lne3* + ln(l + 2e~3x) x^o ln(3 + e2x) ~ x^Žo ln(e2:r(l + 3e~2x)) ~ *^° lne21 + ln(l + Ze~2x) 31nea:+ln(l + 2e-3a:) 3x + ln(l + 2e~3x) ~ x^o 2lne1 +ln(l + 3e"2:r) ~~ x^o 2x + ln(l + 3e"2:i:) " 3x ,.. ln{l + 2e^3a:) lim-------T—r-------—=-r + hm x-hx> 2x + ln(l + 3e-2a;} s-k» 2x + ln(l + 3e"2a:) ________3________ _0_ 3 ~ *¥L „ t ln(l + 3e-21) + oo + 0~2' 290. Rozhodněte, zda existuje limita x2 + 2x + 1 lim —-------------. *~fi x"1 — 4x + 3 Řešení: Nejprve provedeme algebraickou úpravu vedoucí ke zjednodušení výpočtu: x2 + 2x + 1 x2 + 2x + 1 lim -=------------- = lim j-n i2 - 4a; + 3 *-*i (x - l)(x - 3) x2 + 2x + 1 1 1 lim -----------— • lim..... = — 2 lim x->i x —3 ss-ťl x — 1 se—*i x — 1 Nyní spočteme obě jednostranné limity. x2 + 2x + 1 1 hm -s------------- = -2 hm -------= —2 ■ 00 = -00. T-S-1+ x^ — 4x + 3 x-)-i+ x — 1 x2 + 2x + 1 1 = lim —z------------- = -2 lim ------- = -2 ■ (-00) = 00. X-+1- xÁ — 4x + 3 3-S-1- x — 1 Protože jsou obě jednostranné limity různé, limita dané funkce neexistuje. 291. Rozhodněte, zda je daná funkce /(x) spojitá. /(x) = N"37 x x > 0. Řešení: Spočteme jednostranné limity funkce /(x) v bodě xo = 0. Platí: lim /(x) = lim j—------as lim ----------= lim ------=----, x->o- x-rO- x -x x-*o~ —x — x i;-+o- —2x 2 42 lim f (x) = Km x = 0. Protože jsou jednostranné limity různé, funkce f (x) nemá v bodě x0 = 0 limitu a tedy funkce f (x) není v tomto bodě spojitá. 292. Dodefinujte funkci f (x) v bodě x0 = 1 tak, aby byla spojitá. 2-VxTŠ /(*} = x3-l Řešení: Funkce bude v bodě x0 = 1 spojitá, pokud funkční hodnota v tomto bodě bude rovna limitě pro x -* 1. Je tedy zapotřebí určit limitu hm /(x) = x~>1 x3 — 1 Platí: lim 2-y^T3 = Iim 2-VST3 .2_+y^T3 fe-« xJ-l *-*i (x-l)(x2+X + l) 2 + v/xT3 ,. 4-X-3 1 = lim--------------------------------------_ s-____ x~* (x - l)(x2 + x + 1)(2 + y/x~+~5) 12" Stačí nyní položit /{!) = -i. Funkce /*(x) definovaná předpisem 2-Vx~+3 - x3-l I9fcl» /'(x) = . "Ti x = 1 je spojitá na ií. 293, Určete číslo a tak, aby byla funkce f(x) spojitá. f(X) = S ax x<1> m l2-| *>1. Řešení: Spočteme jednostranné limity funkce f(x) v bodě x0 = 1. Platí: lim f(x) = lim ax = a, lim /(x) = Hm (2 - -) = 2 - - z-n+ x-*i+ a a Aby funkce /(z) byla v bodě xQ = 1 spojitá, musí v tomto bodě existovat limita. Ta však bude existovat, pokud se budou rovnat obě jednostranné limity. Dostáváme tedy rovnici o = 2- -, tj. a2-2a + l = 0. a Vyřešením této rovnice obdržíme, že o = 1. 43 CAST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Spočtěte následující limity funkcí: 294. lim 9-x2 296. lim x2 - x - 2 i->-1 X3 + 1 298. lim (3s - \/9x2 - lOx + 1). o™ ,- ^ÍTŤÍ - 1 300. lim ---------------- x->0 X 302. lim sfx - 6x ar-řoo 3x + 1 295, lim X—¥- 297. lim 3x4-6 «-»-ä a;3 + 8' x3 - 5x 4- 4 -»i x3 — 1 299. lim X—rOO 301. lim \/:e2 - 1 + Ví2 + 1 x x x->o ^1 + 2x - 1' 303. lim r------. *-»o y/l + X - y/l-X Spočtěte následující limity funkcí: 304. siní lim --------------, z->0 ^1 _ cos X 306. 1 - cos2x + tg2 x »-»e x-sin ar 308. tgx - sin x lim-------=------. x->0 Xs 310. 1 - cos2x lim-------------. x-to x ■ smx 312 sin4x lim --------------- ->o vxTT - i' 305. lim sin3:r 307. lim s->o y/x + 2- V^ 1 - cosx 309. lim x- 311. lim tgx s-ítt sin2x sin x - cos x cos2x 313. lim^H^. x-*o sm3x Spočtěte následující limity funkcí: ,. , x2 + x + 3 314. lim log----3— 316. lim x — 2 lnx - 1 x—fe x — e 318. lim (14-sin x) * . 2* — 8 320. lim--------. x-v3 X - 3 322. Um (*±±) x-kx> \2x 4-5/ 1+3 315. lim x(ln(x4- 1) - lnx). x—>oo 7* -1 317. lim---------. Z-+0 x 319. lim ~-------Í-. x^o 32x - 1 321. lim i+l X—>oo V x — 1 323. lim \4^4-3 44 Spočtěte limity zprava a limity zleva daných funkcí v bodě x0: 324. f (z) = — x0 = 0. 325. f(x) = sin —, x0 = 0. 326. m = ~ + ^xQ = 0. 327. f(x) = f-2,x0=3. 328 '«-s^Tir*-* 329 /w^.*-* 33a /(:E) = (j^- X° = "2- 331 /(*) = ^T, *o = 0. 1 + e» i i 332. /(s) = 2^7, x0 = 7. 333. /(ar) = ^-±^, x0 = 0. 3a; +2 Rozhodněte, zda existují následující limity: h2 334. lim 336. lim x^ + 2x + 1 z + i ________________t is__ s-*2 x2 - 4x + 4' X ^-^o sin2 x 338. lim ': i->2 X — 2 340. lim f —. x-*i 2xz - x — 1 342. lim x->l X^ — 1 337 .. sin x hm —=-. I-rO XJ 339. x2-4 hm —r-------------. at-»l x2 - 3x + 2 341. lim 2_a:sin27rx. i—► — oo 343 hm--------------- £-+0 sin2 x i^"Ö z2 Dodefinujte následující funkce /(ar) v bodě x0 tak, aby byly spojité: 344. f(x) = í-=|, xo = -3. 345. /(x) = JL+ 1 -, Xo = _i. x "•" ö Vx+3 + 2x 346. /(x)=xsinl xo = 0. 347. /(*-) = ÍI + íl^ + M Xq = 0. x x^ + x& 348. /(x) = ^,x0 = l. 349. /<*) == -i- - -JL^, ^ . L 350. /(x) = ^=L, x0 = 1. 351. f(x)= a____j~* , Jp = l. Vs-l v/3x + 22 - VxT24' ° 352. /(*)«Jťj> »ft 353. /(x) = y + O 0 cosx- 1 'W ln(x4 + e2*)' ° 45 4. DERIVACE FUNKCI Derivace funkce / : R -> R v bodě x0 € D f je definována jedním z ekvivalentních vztahů f{XQ) = iim ;t*) - fw. = lim /(»°+ft)-/M ^-^o X — Xq h-rf> h kde x = x0 + h. Praktické příklady na výpočet derivace se však ve většině případů neřeší podle uvedeného definičního vztahu, ale pomocí vzorců, které je nutno chápat jako samostatné matematické věty. K výpočtu derivace je tedy zapotřebí znalosti základních vzorců, které pak při výpočtu častokrát kombinujeme. Aplikace těchto vzorců uvedeme i s jejich obecným tvarem v následujících příkladech. ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 354. Spočtěte na základě definice derivaci funkce /(x) = 100 v bodě x0 = 5. Řešení: / (5) = hm-----------i-i = hm-------------= lim 0 = 0. r->5 x — 5 r-*5 X — 5 *-+5 Obecně pro libovolnou konstantu c E R platí věta (c)' = 0. 355. Spočtěte na základě definice derivaci funkce f(x) = x3 v libovolném bodě xQ. Řešení: f{t*) = lim /(*°+*)-/(*>) = lim (*o + W - *Ž = = laa------------------r—■-------------- = lim Zx20 + 3x0h + h2 = 3x^. 71-1 Obecně pro libovolnou mocninnou funkci xn platí (a?")' = nx 356. Na základě definice spočtěte derivaci funkce f(x) = tfx v bodě x0 = 0. Řešení: /'(0) = lim *Iz° Um * = «,. i-t-0 X — 0 *-M) ^2 357. Dokažte, že funkce f(x) = \x\ nemá derivaci v bodě x0 = 0. Řešení: K důkazu tvrzení použijeme větu o jednostranných derivacích. Podle této věty existuje derivace v daném bodě právě tehdy, když existují obě tzv. jednostranné derivace f_M = a. /W-/(»), ř w . llm /W-/(«.) *-+*" X - X0 r-^x+ X - X0 a tyto derivace se rovnají. V tomto případě pak platí /'(x0) = f'_{x0) = /+(x0). Aplikací uvedené věty dostáváme /L(0)= fa&lzM«. lim - = _! í-K)- X - 0 jr-fO- X 46 Analogicky spočteme X-Í-0+ X — 0 x->0+ X Protože /1(0) ŕ /+(0), derivace /'(O) neexistuje. 358. Spočtěte derivaci funkce f (x) = x100 + 100*. Búšení: K výpočtu uvedeného příkladu je zapotřebí hned několika základních vět. Především je zapotřebí znalosti již zmíněné vety o derivaci mocninné funkce (ar*)'« nxn~l. Podle tohoto vzorce nyní platí (x100)' = lOOx". Dále je zapotřebí vědět, jak se derivuje exponenciální funkce. Platí (axY = ax lna, nebo speciálně (e*)' = ex. Z uvedeného vztahu plyne, že (100*)' = 100* ln 100. Dále platí následující celkem snadno zapamatovatelný vztah pro derivaci součtu a rozdílu funkcí íf±9)' = f±gt. Na základě těchto poznatků můžeme nyní zkompletovat řešení celého příkladu. f'(x) = (x™ + 100*)' = (x100)' + (100*)' - lOOx" + 100* ln 100. 359. Spočtěte derivaci funkce f(x) = 3 + 51og7x. Řešení: Při řešení úlohy použijeme věty o derivaci logaritmické funkce (kg« x)' = —-----, nebo speciálně (lux)' = -. x log a x Dále použijeme vzorce Posledně uvedený vztah je speciálním případem derivace součinu funkcí. Z uvedených vět nyní plyne f'{x) = (3 + 5 log7 x)' = $ + (5 log7 x)1 = 0 + 5{Iog7 x)' = x log 7 360. Spočtěte derivaci funkce /(x) = x4cosx. 4? Řešení: Použijeme větu o derivaci součinu funkcí. Postupujeme podle vzorce (f-gY = ťg + f-g'. Dále využijeme vět o derivaci goniometrických funkcí vztahy {sin x)f = cos x, (cos x)' = - sin ar. Z uvedených vztahů nyní plyne /'(x) = (x4)'cosx + x4{cosx)' = 4x3 cosx + x4(-sinx) = x3(4cosx - xsinx). 361. Spočtěte derivaci funkce f(x) = x(sinx + lnx). Řešení: Podle vět o derivaci součtu a součinu funkcí platí /'(x) = (x(sinx + lnx))' = x'(sinx + lnx) + x(sinx +lnx)' = = l(sinx + lnx) + x(cosx + -) = sin x + x cos x + lnx + 1. x 362. Spočtěte derivaci funkce /(x)=x72xtgx. Řešení: Z věty o derivaci součinu funkcí plyne vztah (fghy^f'gh + fg'h + fgti. Dále připomeňme, že platí (tga:)/ = ^k' (cotgx)' = ^L COb x Sln x Na základě uvedených vztahů nyní platí (x72*tg x)' = (x7)'2*tg x + x7(2*)'tg x + x72*(tg x)' = = 7i62*tg x + x72x log 2 tg x + x72x—^—. cos2 X 363. Spočtěte derivaci funkce ■ , lnx /W = -----;—• arcsm x 48 Řešení: Především je zapotřebí použít velmi důležitou větu o derivaci podílu funkcí 'f\'_f'g-fsr ,9) g2 Dále připomeňme, že platí následující vztahy pro derivace cyklometrických funkcí (arcsinx)' = , (arccosx)' = (arctg x)1 = ——j, (arccotg x)' = ~ 1 + 3C3 ' 1+x2 Na základě uvedených vztahů nyní platí / Ins V (In x) 'aresin x -In x (aresin x)1 ^arcsinx - In x ^^ Varcsimcy (arcsina;)2 (aresin x)2 " 364. Spočtěte derivaci funkce f (x) = y/x2 ~2x + 12. Řešení: Funkce, kterou máme zderivovat je složená funkce. Pro derivaci složené funkce platí vztah (/ ° 9)' = (/' o 9) ■ 9\ nebo jinak zapsáno f(g{x))' = f'(g(x)} ■ g'{x). Z právě uvedeného vztahu plyne, že (Vx2-2x + ny = \ ■ (x2 -2x + 12)' = , X~1 . 2yV - 2x + 12 J Vx2-2x + 12 365. Spočtěte derivaci funkce /(ar) = 4 arctg3(3x - 7). Řešení: Funkce, kterou máme zderivovat je vícenásobně složená funkce. Platí (4 arctg3(3x - 7)}' = 3-4 arctg2(3x - 7) ■ (arctg(3x - 7))' = - 12 (arctg2(3x - 7)) •-------i-------(3x - 7)' = 36arctg^3x^7^ V B y n l + (3x-7)^ ,; 9x2-42x + 50 " 366. Spočtěte derivaci funkce /(x) = (cosz)cotgI. 49 Řešení: Funkce, kterou máme zderivovat je typu „funkce na funkci". V tomto případě lze postupovat dvěma možnými způsoby. Nejprve využijeme možnost zderivovat funkci přímo podle vzorce Pak platí ((cosx)cotß *)' = (cosx)cotBa: f-Í- ln(cosx) + cotg x^^ . ^ y V sin2 x cosx / Druhá možnost spočívá ve využití tzv. logaritmické derivace. Postupujeme tak, že nejprve obě strany zlogaritmujeme, tj. ]nf(x) = \n(cosx)cotsx, a pak využijeme následující základní vlastnosti logaritmické funkce ln/(x) = cotg x ■ ln(cosx). V následujícím kroku provedeme derivaci levé i pravé strany fix) , w , v ^ /, • w ~~ 1 i , -. — sinx v ' — (cotgx) -mícosxj+cotg x-(ln(cosx)) = —5—-ln(cosx)-t-cotg x----------. f (x) sin x cos x V závěrečném kroku výpočtu vynásobíme posledně uvedenou rovnost funkcí /(x). Pak dostáváme f(x)' = (cosi)cotgx ( 2 ln(cosx) + cotg x-\sin x sinx cosx Následující řešené úlohy již uvedeme bez podrobnějšího vysvětlujícího komentáře. Pokud lze derivaci úpravou zjednodušit, uvedeme i výsledek této úpravy. Algebraickou úpravu derivací je nutné dobře procvičit, protože ji budeme potřebovat zejména u vyšetřování průběhu funkce, kde je nutné s upraveným tvarem derivace dále pracovat. 367. Spočtěte derivaci funkce 1 + x - x2 1 — X + X2 Řešení: ' 1 +1 - x2 V (1 - 2x)(l - x + x2) - (2x - 1)(1 + x - x1) «■»-(&£ (1-x + x2)2 2(1 - 2x) (1-x+x2)2 50 368. Spočtěte derivaci funkce 1 - i3 1 + xJ flešení: /'(x) = f1-**)' = ~3x2(l+x3)-3xa(l-x3) -6x2 U + *V (1 + a:3)2 '- (l + a?3)2 369. Spočtěte derivaci funkce f( , l + ex /{X) = 1^ Řešení: -e*)-(-eg)(l + e*) 26* \l-eV 1-, (l-e-)2 "(l+e^)2' 370. Spočtěte derivaci funkce 1 -x2 f{x) " (x* + 1)3 • Řešení: fto-f *-** V _ -2x(x2 + l)3 - (1 - x2) - 3(x2 + l)2 ■ 2x 43:(x2-2) } V(*2 + i)3J PTTŤ------------^ = 7^7^- 371. Spočtěte derivaci funkce Řešení: /'(a:) = (vt^J . 1(5 + x) £ ■l(5-x)i -(5 5-; 5 (5- x)V25 - x2 372. Spočtěte derivaci funkce /«- sins sin x + cos x 5] Řešení: sin x \ _ cosx(sinx + cosx) — sinx(cosx - sinx) 1 f(x) = (; sin x + cosx/ (sinx + cosx)2 l+sin2x 373. Spočtěte derivaci funkce f (z) = ln(sinx + cosx). Řešení: ,,.,,,. ,, cosx —sinx l-sin2x / (xj = lnísmx + cosx) =----------------= -------——. sin x + cos x cos 2x 374. Spočtěte derivaci funkce f(x) = ln(e2* + v^41 + 1). Řešení: 2e2x + 5(e4a: + l)-2 -4e4a; f'(x) = (ln(e22 + Ve^ + l))' = e2* + Ve** +1 2e2x v/ě4THhl* 375. Spočtěte derivaci funkce (x + 1)2 /(x) = In. x/(2x + l)3 Řešení: v/(2x+l)3 2{x + 1)^x + l)3 - (x + l)2 • §(2x + l)i ■ 2 /'<*) = (x+1)2 (v^x+l)3)2 x- 1 2x2 + 3x + 1' 376. Spočtěte derivaci funkce 2x f{x)— arcsin 1 +x2' Řešení: 2(1 + x2) - 2x • 2x 2 /'(*)= (arcsin^) fA^)'' (1+x2)2 l+xJ 52 377. Spočtěte derivaci funkce /{z} = eVl - ea* + ; Řešení: f>{x) Ä e*%/l^^ + e* - i(l - e2*)"* ■ (-2e2*) + —£L_ = 2e*vT^ z Vl - e2lľ 378. Spočtěte derivaci funkce /(a?) = arctg (x - \/l + ar2). Řešení; 379. Spočtěte derivaci funkce Řešení: rte) = 1 x !&+i)!^2 -*+i)-(&+ i)2(2x- n x2 - X + 1 , 1 1 J_ I v/31+/2^-l\2 Vs^^^ + l 380. Spočtěte derivaci funkce Řešení: Postupujeme analogicky jako v příkladu 366. /'(») = ((x-)*)' = x*V(l +lnx) ■ Inx + x* . I) = ^ . x* . L^ + In;c + ľ) . 381. Spočtěte derivaci funkce f{x) = v^TT. Řešení: Použyeme metodu logaritmické derivace. Danou funkci přepíšeme na tvar f\x) - f/x + 1 - (x + 1) x a tento tvar zlogaritmujeme. Pak platí 53 ln/(x) = -ln(x + 1), x Nyní provedeme derivaci obou stran rovnosti. 1 = —í}n(x+l)+---- f(x) X2 X X + 1 Odtud plyne /'(x) = (x+l)í(-^lnCx + l) + ^^T) = ^(x + l)i?(x-ln(x + ir1) 382. Spočtěte třetí derivaci funkce /(x) = tg x. Řešení: /'"(*) = 2 COS^ X COS15 x cos x cos3 x — 3 cos2 x( - sin x) sin x 2 + 4 sin2 x cos6 x cos4 x 383. Spočtěte třetí derivaci funkce /(x) = arctg x. Řešení: -2(1 + x2)2 + 2x ■ 2(1 + x2) - 2x _ 6x2-2 f ÍX) " (l + x2)4 " " (1+x3)3' 384. Užitím Leibnizova vzorce určete třetí derivaci funkce /(x) = x2 lnx. Řešení: Leibnizův vzorec má obecně tvar k=0 Podle tohoto vzorce nyní platí * f"{x) = (x2)'"lnx + 3(x2)"(lnx)' + 3(x2)'{lnx)" + x2(lnx)'" = -. x 54 385. Spočtěte třetí derivaci funkce Řešení: ; Vx-2Ť 2 Vx-2^ {^-2)2 _ 1 2x2 - 7x + 4 Výpočet druhé derivace je již obtížnější. Platí Po úpravě předchozího výrazu dostáváme /"(.) = !-------------7^8 4 (» - *X* - 2)3vf?í Nyní podobně spočteme, že ,„„ , 3 14x2 - 33x + 20 / W = - ö 8 f-r _ 1\2(~. _ n\4. IX_- 1 386. Spočtěte n-tou derivaci funkce f(x) — \n{ax + b), kde ax + b > 0. ftešení: Postupně vypočteme derivace /*(*) = a ax + o' f"(x) = -a2 (ax + ó)2' r c«) = 2a3 (ax + 6)3' /""{x) - -2 ■ 3a4 {ax + ř>)4 Na základě těchto výsledků lze usoudit, že 1 K} (ox + fc)» 55 Správnost této hypotézy ověříme matematickou indukcí. Pro n = 1, 2,3,4 jsme již hypotézu ověřili. Zbývá dokázat, že z platnosti vztahu pro n = k plyne platnost pro n = k + 1. Skutečně (-l)fc-i . (fc _ i)!o*(-fc)g _ (-i)fc ■ fc!ofc+1 (ax + b)k^ ~ (ax + fc)fc+1 ' Nalezený vztah tedy platí pro všechna přirozená čísla n. 387. Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce f(x) = ^v bodě A— [§,?]. Řešení: Jedná se o základní úlohu na geometrickou aplikaci pojmu derivace. K vyřešení úlohy je především zapotřebí znalosti obecně rovnice tečny f ke grafu funkce f(x) v bodě xq. Tato rovnice má tvar: * : V - f(xo) = f'(xo){x - x0). Ze zadání úlohy plyne, že xq = \. Dopočítáme y-ovou souřadnici bodu dotyku, která je v zadání označena otazníkem. Platí ? — J{xq) = f(~) = 2. Dále určíme derivaci f'(xo). Zřejmě f\x) = -\ a f'(l)=----K = -4- Nyní již dosadíme získané hodnoty do obecné rovnice tečny. Dostáváme y — 2 = —4(x - -), což po úpravě dává í : Ax + y — 4 = 0. Analogicky postupujeme při nalezení rovnice normály. Obecná rovnice normály ke grafu funkce f(x) v bodě xQ je n: y"/(Xo)=fR{X"Xo)- Protože všechny pomocné výpočty máme již provedeny, můžeme provést dosazení y — 2 =------(x — --) a po úpravě obdržíme n ; 2x - 8y + 15 = 0. 56 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY 388. Rozhodněte, zda existuje derivace funkce f(x) = Vx2 v bodě xa = 0. 389. Dokažte, že funkce definovaná předpisem í x arctg- x / 0, f(x) = \ /w l 0 x = 0 je v bode Xq = 0 spojitá, ale nemá v tomto bodě derivaci. 390. Dokažte, že funkce definovaná předpisem siní x < 0, 1 x cos - x>0 x je v bodě xq = 0 spojitá, ale nemá v tomto bodě derivaci. Spočtěte derivace následujících funkcí: 391. /(*) = (2x3 +■ 3)2. 392. f{x) = (x4 - 6x2 + 7); 393. /{x) = (l-r-2x)(3-4x2). 394. /(x) = (x - \A - x2): 395. /(x) = \/4x + 1. 396. f(x) = x + ^x + ^ř. 397. /(x) = ^1 + >/x. 398. /(x)=xVl + x2. 399. /(x) = x5 ■ \/x6 - 8. 400. /(x) = y 1 + \/l + y/x. 403- /w - íttítp- 404 /w-vrfy 405. /(i) = sin2 x3. 406. /(x) = tg x - x. 407. /(x) = tg x + -tg3 x. 408. /(x) = -^ + In cos x. 409. f {x) - Vsiňxcošx. 410. /{x) = „ , 1 - cosx , . tg x +1 411. /(x) =------------. 412. /(x) =-----------. J K ' 1 + cos x tg x - 1 413. f (x) = ln{x + i/l + x2). 414. f (x) = ln(sinx + cosx). 415. /(x) = m(ln(lnx)). 416. /(x) = ^lncosx. 417. /(x) = ln4(tgx), 418. f (x) = lncosx/e1 + 1. 419. /(x) = arccoslnx. 420. /(x) = arccos 1 -x2 1 + x 2 ' 421. f(x) = )nJl±^. 422. /(x) = In 7 - x x2 + 1 57 Spočtěte derivace následujících funkcí a proveďte úpravu: r/ x arccotgx .„. ,, . /l-arcsinx 423. /(*)«==JS_ 424. /W = Vl+arcSin, (-i 1 \ Q ___ fyt ~~ j 426. f (x) = arccos —-= x 2 -x 427. /(x) = arctg-^== 428. /(x) = arctgy ^ _ & 429. f{x) = l03x 430. /(x)=23* 431. /(x)=*5^ 432. /(x)=3tg:c 433. /(x) = vV™* 434. /(x) = x^ 435. /(x)=tgx* 436. /(x) = (lna;)1 437. /(*) = (arctg xf 438. /(*) = x6' U následujících funkcí odvoďte vztah pro n-tou derivaci: 439. f{x) = yfa 440. /(x) = e2*+3 441. f(x)=xex 442. /(x) = xlnx 443 'W-yrs+i *" m = TŤl 445. /(x)=log0x 446. /{x) = xcos2x 2r — 1 1 447- ^)-T+» 448- S{X) = ^^ 449. /(x)= , g 450. /(x)-xn-Mnx v2x — 5 Pomocí Leibnizovy formule vypočtěte fc-tou derivaci funkce f(x): 451. /(x) = x4e2*, k = 6 452. /(x) = x3 lnx, h =4 453. /(x) = e4lsin3x, Ä = 5 454. /(x) = e1 cosx, fe = S 455. Nalezněte tečny k hyperbole 7x2 - 2y2 = 14 kolmé na přímku 2x + 4y = 3. 456. Ke křivce /(x) = x In x spočtěte rovnici normály, která je rovnoběžná s přímkou danou rovnici 2x - 2y + 3 = 0. 457. Zjistěte, ve kterém bodě je tečna k parabole y — x2 + 4x rovnobežná s osou x. 458. Zjistěte, ve kterém bodě má křivka f(x) = ^ směrnici k = \. 459. Určete vzdálenost počátku od normály grafu /(x) = x2 + e°2x v bodě x = 0. 460. Dokažte, že platí následující tvrzení: (1) Derivace sudé funkce je funkce lichá. (2) Derivace liché funkce je funkce sudá. (3) Derivace periodické funkce s periodou l je periodická funkce s periodou /. 58 5. DIFERENCIÁL A TAYLORUV POLYNOM V úvodu této kapitoly připomeňme některé skutečnosti, které jsou důležité pro řešení úloh. Předpokládejme, že je dána funkce f(x), která je definovaná v okolí bodu xq. Z bodu xq se posuneme v tomto okolí o hodnotu h do bodu x — xq + h. Diferenciálem funkce f(x) v bode xo při přírůstku h nazýváme číslo (x - x0y. li Z! 71! Pro x0 = 0 se tento polynom nazývá Maclaurinův. Funkci f(x) lze vyjádřit jako součet Taylorova polynomu a funkce iín(x), která se nazývá chyba. Platí tedy f(x)^Tn(x) + R^(x). Uvedený vztah se nazývá Taylorova formule. Taylorova věta tvrdí, že mezi čísly x a xo existuje číslo c tak, že Hlavní význam teorie spočívá v tom, že funkci, jejíž funkční hodnoty lze obtížně vyČíslovat lze převést na výpočet funkční hodnoty polynomu, tj.- na základní aritmetické operace sčítání a násobení. Chybu Rn(x) nedokážeme explicitně spočítat, ale v řadě případů ji dokážeme rozumně odhadnout. Uvedený tvar chyby se nazývá Lagrangeův. Tento tvar je pouze jedním z nekonečně mnoha existujících tvarů, je však nejpoužívanější. Souvislost Taylorova polynomu s teorií diferenciálů je zřejmá, protože Taylorův polynom lze vyjádřit ve tvaru Tn(x) = /(x0) + ^dhf(x0) + idt/íx0) + • * • + ^dg/fo) = E h*kf{*o)' k=0 Poznamenejme ještě, že užitím Taylorovy formule lze určit i limity některých funkcí. Nyní se již věnujme řešení konkrétních příkladů. ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 461. Spočtěte diferenciál funkce /(x) v bodě x0 = 3 při přírůstku h = 0,09, kde f(x) = x2 - ~. v x Řešení: Víme, že diferenciál funkce f(x) v bodě x0 při přírůstku h má tvar dhf{xo) = f'(xo)h. Je tedy zapotřebí určit derivaci funkce /(x) a její funkční hodnotu v bodě x0 = 2. Platí 1 «S Celkem tedy platí 55 dfc/(ao) = ft%)ft = — - 0, 09 = 0, 55. 462. Pomocí diferenciálu určete přibližnou hodnotu y/16,06. Řešení: K přibližnému vyjádření hledané hodnoty použijeme vztahu /(x0 + /i) « /(x0) + dhf{xo), přičemž f(x) = -fič a za bod x0 volíme bod x0 = 16. Z této volby ihned plyne, že h — 0,06. Dále určíme derivaci ''<*>=kí = 27F rw=1=0,125. Odtud plyne v/16, 06 k \/l6 + - ■ 0, 06 = 4 + 0,0075 - 4,0075. 8 Pro srovnám, kalkulačka dává hodnotu 4, 007492982... 463. Pomocí diferenciálu určete přibližnou hodnotu arctg 0,97. Řešení: K přibližnému vyjádření hledané hodnoty použijeme vztahu /(xo + h) as f(x0) + dhf(xQ), přičemž f(x) = arctg x a za bod x0 volíme xo = 1. Z této volby ihned plyne, že h = -0, 03. Dále pro diferenciál platí dhf(xo) = /'(^o) ■ h. Určíme derivaci /•W = pH* /'(-o) = |. 60 Odtud plyne arctg 0, 97 « arctg 1 + ^ ■ (-0,03) = ~ - ^^ = 0,785 - 0,015 = 0, 770. Pro srovnání, kalkulačka dává hodnotu 0,770170... 464. Spočtěte druhý diferenciál funkce f(x) = lnx v bodě x0 — 2 pro Ŕ = 0,1. Řešení: Druhý diferenciál funkce f(x) v bodě xq při přírůstku /i má tvar dlf(x0) = /" {xQ)h2. Je tedy zapotřebí určit druhou derivaci funkce f(x) a spočítat její funkční hodnotu v bodě xq — 2. Platí /'(*}=-, /»<*)«-i, /"(2) = -7' x x11 4 Celkem tedy platí 4/N) = /"(z0)/i2 = ^ • 0, l2 = 0,0025. 465. Spočtěte Taylorův polynom Tz(x) funkce /(*) = y& v bodě xq = 0 a s jeho pomocí určete y/e. Výsledek srovnejte s hodnotou na kalkulačce. Řešení: Funkci f(x)= v^ upravíme na tvar f(x) = v^ = ef, Zřejmě platí /(0) = v^ = ^í = 1. Dále určíme derivace funkce f(x) až do třetího řádu. Platí m 4 /"(o)=i no)4- Po dosazení do obecného tvaru Taylorova polynomu a krátké úpravě dostáváme hledaný tvar Taylorova polynomu r.W-i + i.+^ + ^g-r». 61 Nyní platí i 1 1 2S74 Jfe » r3(l) = 1 + - + — + — = ~£ = 1,1535471331... v 3V J 7 98 2058 2058 Pro srovnání, hodnota na kalkulačce je ýě = 1,1535649948... 466. Spočtěte Maclaurinův polynom T3(x) funkce f(x) = tg x a s jeho pomocí určete tg 0, 3. Výsledek srovnejte s hodnotou na kalkulačce. Řešení: Určíme derivace funkce /(x) až do třetího řádu. Platí ,,, x 1 .»/ x 2 sinx em. , 2 + 4sin2x ^^Ä /W = c^? ' W=^o^< /(o) = o, /'{o) = i, r(o)=o, r'(o) = 2. Po dosazení do obecného tvaru Taylorova polynomu dostáváme Odtud plyne T3(x)=x + ^x3. tg 0,3 w r3(0,3) = 0,3 + \- =0,3 + 0,009 = 0,309. o Pro srovnání, hodnota na kalkulačce je tg 0, 3 = 0.309336249... 467. Spočtěte Maclaurinův polynom T3(x) funkce f(x) = sinx. Pomocí T3(x) určete hodnotu sin 1 a odhadněte, jaké chyby jste se dopustili. Řešení: Napíšeme obecný tvar polynomu. T3(x) = /(x0) + ^(^,o) + ^(--xo)2 + ^(x-xo)3, U Maclaurinova polynomu platí, že x0 = 0. Určíme potřebné derivace. Čtvrtou derivaci potřebujeme pro odhad chyby. Platí f'{x) = cosx, f"(x) = -sinx, f'"{x) = -cosx, f""{x) = sinx, /(0) = 0, f(0) = l, /"{0) = 0, /"'(0} = -l. 62 Dosazením nalezených hodnot do obecného vztahu nyní dostáváme, že Tz{x) = x-~x3. o Odtud plyne sinl^T3(l) = l- J = ^ = 0,833... o o Lagrangeova chyba má tvar R3(x) = -f""{c)(x - xQ)4 = -sine ■ x\ kde c G (0,1). Odtud plyne odhad #3(l) = ^siiic-l4< ^=0,0416... Celkem tedy dostáváme sin 1 sa 0,833±0, 041. Pro srovnání, hodnota na kalkulačce je sin 1 = 0.841470... 468. Spočtěte Taylorův polynom T2(x) funkce f(x) = y/x v bodě xQ = 4. Pomocí T2(x) určete přibližně y/h a, odhadněte chybu R2(x). ítešení: Napíšeme obecný tvar polynomu T2(x) = f (i) + öfi(« _ 4) + £^jfi(« - 4}2. Spočteme potřebné derivace. Třetí derivaci potřebujeme pro odhad chyby. Platí: /'(*) = £x-i =-1=, f"(x)=\(-hx-5 2 2y/x' ' J 2X T ' 4v^3' 2 2M 2' 8v^š" Příslušné funkční hodnoty jsou /(4) = 2, /'(4) = J, rC4) = -^. Dosazením nalezených hodnot do obecného vztahu nyní dostáváme, že IiW = 2+I(,-4)-l(j!-4)'-2 + §.-±x». Odtud plyne yp -, „i* 3 15 25 143 „ ví«.7i(5)-i + T---_._a.as«»TB. 63 Lagrangeova chyba má tvar 3 R2{X) = ĽM(X _ 4)3 = S£(s - 4)3, kde c E (4,5). Odtud plyne odhad Celkem tedy dostáváme y/B f» 2, 2343 ± 0,0019. Počítali jsme tedy správně aspoň na dvě desetinná místa. Pro srovnání, hodnota získaná na kalkulačce je \/5 = 2,236067... 469. Pomocí Taylorova polynomu vyjádřete polynom /(x) = x4 - 5x3 + x2 - 3x + 4 v mocninách dvojelenu x — 4. Řešení: Rozvést daný polynom v mocninách dvojčlenu x-4 znamená najít Taylorův polynom v bodě x0 = 4. Je zřejmé, že hledaný Taylorův polynom bude čtvrtého stupně, protože pátá derivace zadaného polynomu a všechny derivace vyšší jsou rovny nule. Pro derivace a jejich funkční hodnoty v bodě xq = 4 platí f{x) = x4- 5x3 + x2 - 3x + 4, /(4) = -56, /'(x) = 4x3-15x2 + 2x-3, /'(4)«21, /"(x) = 12x2-30x + 2, /"(4) = 74, /'"(x) = 24x-30, f'(4)=66, f"(x) = 24, /""(4) = 24. Nyní již můžeme napsat hledaný Taylorův polynom /(I)=TlW=/(4)+m(I_4)+m(I_4)2+m(I-4)3+rtí>(I.4)4. Po dosazení obdržíme vyjádření polynomu f(x) v mocninách dvojčlenu x-4. Platí f(x) = -56 + 21(x - 4) + 37(x - 4)2 + ll(x - 4)3 + (x - 4)4. 470. Pomocí Taylorovy formule spočtěte následující limitu. x2 — 2 + 2 cos x lim-----------.--------. a;-+0 x4 Řešení: Funkci f(x) = cos x vyjádříme pomocí Taylorovy formule /(x)=T5(x) + fi5(x). Pl^1 •> í 2 4 6 cosx=l-y + -+ií5(x) = l-Y + --—cosex. Odtud plyne x2-2 + 2cosx ,. s2- 2 + 2(1- ^-+ ^) + R5(x) lim----------z---------= hm-----------------—-.—■----------------— i->0 x4 x-tf) x4 f^--~coscx / 1 x2 \ 1 _ 1 = lim ^----^--------- lim { —- - —- cosex = —- - 0 = —. x^o x4 s->o^l2 360 / 12 12 64 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Spočtěte diferenciál funkce f[x) pro přírůstek dx v obecném bodě: Oj-3 471. f (x) = ------■ 472- f(x) = BICtS 3x- sin a; h + x 473. /(x) = x2 ■ 7*. 474. /(x) = ^1^' 475. /(x) = arctgV4x - 1. 476. /(x) = ln(x + \A + z2)- 477. /(x)=ln/j^*. 478. /(x) = 5tat". v V 1 - sinx 479. Spočtěte diferenciál funkce /(x) = arccotg x v x0 = 1 pri h = 0,3. 480. Spočtěte diferenciál funkce /(x) = In \/x2 - 2x v x0 = 3 při h = -0,02. Pomoci diferenciálu určete přibližně následující funkční hodnoty: 481. yí7Ô2. 482. In 11. 483. arcsin0,2. 484. tg 46°. 485. arctgl, 1. V následujících příkladech spočtěte vyšší diferenciály d£/(x) funkce /(x): 486. /(x) = ex ■ In x, n = 4. 487. /(x) = sin2 x, n = 3. 488. /(x) = xsinx, n = 10. 489. /(x) = xcos2x, n = 10. Spočtěte Maclaurinův polynom Tn(x) následujících funkcí: 490. /(x) = X , n = 4. 491. /(x) = vWx3, n = 13. 492. f (x) s sin{sinx), n = 3. 493. /(x) = In cos x, n = 6. sin x 494. /(x) = tg x, n = 3. 495. /(x) = ln( —), n = 6. Spočtěte Taylorův polynom T„(x) funkce /(x) v bodě xa: __ 1 496. /(*) = íť, n = 3, Sö-1. 497. /(x) = -, n = 4, x0 = 2. 498. /(x) »** - 1, n = 3, x0 = 1. 499. /(x) = v^, n = 2, x0 = 1. 500. Proveďte rozvoj polynomu /(x) = x3 - 2x -f 5 do mocnin dvojčlenu x - 100. 501. Polynom /(x) = 1 + 3x + 5x2 - 2x3 rozveďte do mocnin dvojčlenu x + 1. Pomoci Taylorovy formule určete následující limity funkcí: cosx-e 2 exsinx-x(l + x) 502. Um----------.-------. 503. hm-----------—-----------. i-*o x4 *->° a: 504. lim sin(sinx)-x^T^ 5{)5_ ^ ^ _ ^ ^ + 1} T->0 x 5 x—► oo 65 6. ĽHOSPITALOVO PRAVIDLO Následující kapitola obsahuje další příklady na výpočet limity funkce. Pri řešení těchto úloh však budeme využívat pojmu derivace. Teoretickým základem pro výpočet limit je věta nazývaná ĽHospitalovo pravidlo. Před řešením úloh této kapitoly si především zopakujte podmínky, za kterých lze pravidlo použít. ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Pomocí ĽHospitalova pravidla spočtěte limitu funkce typu | j]|. Základní metodický postup je následující. Funkce, jejíž limitu v daném bodě máme počítat, má tvar zlomku. Určíme nejprve limitu čitatele a limitu jmenovatele. Tyto limity často zjistíme pouhým dosazením. Je-li limita čitatele i jmenovatele rovna nule, lze aplikovat ĽHospitalovo pravidlo. Při výpočtu je pak mnohdy nutné provést aplikaci pravidla vícekrát po sobě. Připomeňme ještě, že ĽHospitalovo pravidlo lze použít i pro výpočet jednostranných limit. 506. lim ln cos x = iim cosx x-*Q 1 (—sinx) — lim smi 1-fO COSI 507. lim 35~>0 1 — cosx = lim smi i-»o 2x lim x->0 cosx 508. lim z-j-o smx = lim x-*0 e1 - (-l)e- COS X lim x-*Q cos X = 2. 509. lim x — smx C-+0 X" 1 - cos x lim ——=— s-tO 3x2 smx , cosx 1 = hm —— = lim —— = -. X-+0 6x x->o 6 o ^2 X 510. lim 2x- 1 ± ö o sin 3x = lim 2e 2x 2{ez* - 1) x-^Q 2 ■ sin 3x ■ cos 3x ■ 3 x Aö 3 ■ sin 6x lim = lim 4 - e; 2x 4-1 x->a 18 ■ cos 6x 18-1 66 Pomocí L'Hospitalova pravidla spočtěte limitu funkce typu |^|. Postup při výpočtu je analogický jako v případě limit typu |||. Funkce, jejíž limitu v daném bodě máme počítat, je ve tvaru zlomku. Určíme limitu absolutní hodnoty jmenovatele. Je-li tato limita rovna oo, lze aplikovat L'Hospitalovo pravidlo. Při výpočtu je v řadě případů opět nutné provést aplikaci pravidla vícekrát po sobě. Zdůrazněme skutečnost, že limita čitatele ani jmenovatele nemusí sama o sobě existovat. Dále připomeňme, že výraz * = 0 pro libovolné reálné číslo a. 511. lim 2J-+0O x3 + 5x - 2 x 2-1 oo i ,. 3x2 + 5 — = hm —------- OO I x-*oo ÍX OO OO 6x = lim -— = oo. X—»oo 2 512. lim -s = OO OO = lim —j OO oo = lim — x—>oo OX OO OO e oo = lim — = — = oo. x—k» 6 6 513. lim — = 3-» DO ŮX OO oo 2x = lim -—-j—-z-yoo 3X • Ino oo OO lim--------5— =--------5— = 0. *-+<*> 3* • ln2 3 00 • ln2 3 514. lim kasin x a;->0+ lntg X OO OO lim 35-+0+ COS J siní tg x COS'' x lim -SS2— = Hm cos"' x sini-cos* a; z->0+ 515. lim lnx a;_>0+ COtg X 00 00 lim 1 1 -1 s= lim sin2 x - srn 2x Um-----------= 0. 3I-+0+ 1 516. lim cotg 2x 3T-V7T/2 tg X OO OO . A ■ 2 . cos2 x = lim 5^^— = -2 lim a;~+jr/2 s-Hľ/2 sin 2x = -2 lim cos2x = — lim 1 1 2' a;4?r/2 4 COS2 X SÍn2 X 2 a-4TT/2 sin X Pomocí vhodné úpravy převeďte výpočet na L'Hospitalovo pravidlo. Nejprve zjistíme, jakého je limita typu. Typ určíme většinou snadno dosazením, nebo krátkým výpočtem. Potom volbou vhodné úpravy podle typu převedeme výpočet zadané limity na výpočet limity, při němž lze L'Hospitalovo pravidlo použít. Na L'Hospitalovo pravidlo jsou převeditelné následující typy limit: 0 • 00, 00 - 00, 0°, oo°, I00. Pro typ 0 ■ co používáme nejčastěji jednu z úprav m lim f(x)g(x) = lim X—IXq 1 1-Wo lim —5— x—*xa 1 9(x) /(*) 67 která výpočet převede na typ § nebo g. Pro limitu typu oo - oo lze použít úpravy 1 1 Bm /<*)-*(*)= i™ g0r) . f{x). I—*Xq f{x)g(x) V řadě případů lze u typu oo - oo postupovat jinou cestou. V případě, že funkce /(x) a 0(x) mají tvar zlomků, stojí za pokus provést jejich rozdíl převedením na společného jmenovatele. V jiných případech lze realizovat vytknutí některé části a převést limitu rozdílu na limitu součinu funkcí. U limit typu 0°, oo°, 1°° lze použít následující úpravy lim /(x)ff(x) - lim e^W ' ln/(x) = e™> x—MEq X—Ho lnx 517. lim xlnx = |0-oc| = lim -y x-»0+ I-J-0+ - oo oo = lim —V = lim (-x) — 0. _ .ni___L _ v/14.1 ' x-»0+-----^ ae-KI+ 518. lim O - 2arctg x) -lni = |0 - co| = lim X-K30 I-KX 7T - 2arctg x lnx -2 lim x2 + l -1 = lim 2 35-+00 xln x x2 + l xln x co oc In2 x + 2x In x • — = lim 2-----------------------£ i—>oo ZX ln2x + 21nx t. „,, 1 , 2, lnx 1 lim -----------------= lim 2(lnx .- + -) = hm 2-------= hm 2 • - = 0. s-t-oo X i->oo X X S-M30 X i-nx> x 1 519. lim ln(x + 1) ln(x+l) ___1 *-+o \x(x + 1) X1 = loo — ool — lim 1 ' x-í-0 %* x(x + 1) ln(x + 1) x(x + 1) x; x. lim x-t-0 ln(x + 1) x (x + 1) x3(x + 1) ln(x + 1) um x2 - x(x + 1) • ln(x + 1) X + X 68 3-+0 x 4- xó *->o 2x - 3x -ln(x + l) x->o 2x — Zx' x + 1 ._ -1 lim s-40 2 - 6a; 2 520. lim e* — x = loo — ool = lim x ■ (------1) = lim x - lim (------1) a;-km x—km x x-+oo x—K» x = lim a; ■ lim ex = oo ■ oo = oo. x—K» x—kx> lim — 521, lim tfx = lim x* == |oo°| = Hm e* "lnx = 10 ■ ool = e*-*°° x X—HX> X—>0O X—KX> - lnx lim -f lim i j 522. lim x~»0+ (L) f r^|oo°|^ lim e^"1"* = lim e-tgs-lnx = \xy x->o+ X-M+ - lim tg x ■ In x - lim g x—^+ — g :e-+G+ láx oo oo - lim X-K)+ = e x 1 cotg x _ sin2 x „ sin x ., ,, siná: hm -------- hm srn x ■ hm = ex->-o+ x — e*->o+ X-+0+ x = gO -1 _ gO _ j 523. lim i —>oo K)' |1°°| = lim eJ I—KX> x2-ln(l + i)=J™ca;2-ln(1+i) = lim ln(l + i) i -i lim x -ln(l + -) qx—h» x = e =1 lim i + i *" = e * lim „ bm -f _ e=->oo 2x(x + 1) _ x —K50 e xJ = e 00 00 lim 3x2 6x lim — _ ex-řoo 4x + 2 — ei-»oo 4 = e00 = 00 524. lim (e* + x)* = |l°°l = lime* x-»4) s-»0 i ■ ln(e- + x) = J™ \ ■in^ + «) lim ln(e* + x) = j00 • 0| = e*->° x ex + 1 _ ex-+o e1 + x — e2. 0 ^m Ö , lim t e x ■ In arcsin x 525. lim (arcsinx)^ x = |0°|= lim etg x ■ lnarcsmx ^ e^0+ x->0 + z-H>+ , ln axcsin x lim ------=------- x-»0+ -1- lim -tg2 x ■ cos2 x = 10 - cel = e tgi = ~ = ex~*0+ arcsinx • VÍ x* - — sin2 x ... 1 lim----------■ lim lim 2 sin x cos x 3 — lim ---------h--------- sin X r-+0+ 1 0+ arcsin x x-m)+ v^l - x2 = ex->o+ arcsin x = e \/l - x2 = e° = 1 , f . ■, lim x ■ ln(sinx) 526. lim (sinxf = |0°| = lim ex " lntsmx) = e*-+o+ = |0 ■ oo| LE—>0 + x—>0+ lim ln(sinx) X-+0+ ± e * 00 i 00 cos z lim smx - lim X cosx *-°+ — ít _ e k-*8+ sinx — q0 — 1 70 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY V následující skupině úloh řešte příklady na výpočet limit typu §: 527. Iimtg*-l+cos3* 528 fařfr+D-rfo»» x-*o e^ - e~x X-+0 1 - e~x 529. lin, „^!?~6-5,. 530. to 2* I -»■3 a;3 - 2x2 - x - 6' as-+o X\/l - x2 „„„ ,. x - arctg x 531. hm--------=-=—. 532. lim i-^o a;3 i^il- x + lnx too .■ ex-e-x-2x „, ,. e^-l 533. Um----------;--------. 534. lim-----------. X-+0 X — 81I1I !C-H COSX — 1 -«.- t. tgx-sinx „„„ ,. sinx-x 535. hm-5-----5------• 536. hm x-*a x3 i-*fl arcsin x — x x3sinx __„ ,. x2cosx 537. lim ------------x. 538. hm x-»-0 (1 - COSX)*1 s-K) 1 — COSX 1 -„« i. e š5" „„„ ,. 2cosx — 2 + x2 539. hm —r^. 540. hm--------------=------- ro-rO X1™ at-í-0 x2 ■ sin X V následující skupině úloh řešte příklady na výpočet limit typu —: x100 e2x 541. lim ——. 542. lim —z~. a-^oo lU35 ac-K» xó 543. lim ~. 544. lim e-kx> x2 as->0+ COtg X ln|sin7x| lntgx 545. hm , , , „ . 546. lim z-t-o ln | sin 9x|' x^o+ ln tg 3x **» v tg 5x „_„ ,. lnx 547. hm „ , . 548. hm 2tg 3x I-J-0+lnsinx' V následující skupině úloh řešte limity typu 0 ■ oo: %x 549. lim lnxln(l-x). 550. lim(l-x)tg—. x-i-l- X->1 2 551. lim (1 - sinx) • tg x. 552. hm x • cotg x. 553. lim (tí — 2arctg x) lnx. 554. lim(eT - 1) ■ cotg x. X —KOO x—^0 V následující skupině úloh řešte limity typu |oo — oo|: 555. Um (-?— - -L) . 556. lim (-L- - \] . cc-n\x-l mx/ i-nt\sin i x2) 557. Um [ -i-------- J . 558. lim (—------X) . i^oysmsf x) i-t0\ismj; x2/ 71 1 5 559. lim , 9 £-►3 V x - 3 x2 — x — o 561. lim 2-*o \sinx ln( 563. lim I - - x + l)J ). 560. lim (-=-----------------J J «-»-I \x2 - 1 X - 1/ 562. lim cotg x----- x-řO V X -*o \ x e1 — 1 564. lim (x- 1 1 1 I---------1---------------- O V 2x2 x(e2x - 1) V následující skupině úloh řešte příklady na výpočet limit typu 1°°,0°, oo°: 565. lim x !-*. x-*l 567. lim im í ->oV sin x \ ^ x 569. lim X—HX> 571. Hm \x + l) x+1 3x-4\ 3 /3x-4\ \3x + 2j i—voo \ 3x + 2 Ag x 573. lim ~^- x^0+ V 2ľ ■Jx 575. lim (1 + 3tg2x) cotg2X 566. lim {/-j. X-K» V X"' in x 568. lim x' x-*co (In x)3 570. lim x—►<*> \ a; x+_l\ 2y 2x- 1 572. lim x2 - 2x + 1 s-»oo U2 — 4x + 2 574. lim tgxtg2a. x—»tt/4 X 576. lim x—foo (-«"• Zjistěte, zda je možno použít ĽHospitalova pravidla v těchto případech: 577. lim 579. lim x — sin x x-voo a; + sin x 1 + x + sin 2x 578. lim 2 ■ zr sin A z-ťO SinX 580. lim X-+00 a; + e5'"1 sm2x 3-+00 e- (cos x + 2 sin x) 4- e x sin x e-a:(cosx + sin x) Spočtěte následující limity: 581. lim arctg x — arcsin x i-o tg x - srn x 582. lim arcsm x — sm x x-*o arctg x - tg x 583. Nalezněte limitu smtg x — tg smx hm----------------------—-----------:----. I-+0 arcsin arctg x — arctg arcsm x 72 7. PRŮBĚH FUNKCE Problematika vyšetřování průběhu funkce je v jistém smyslu vyvrcholením diferenciálního počtu funkcí jedné reálné proměnné. Při řešení úloh se totiž využívají téměř veškeré znalosti, které jsme doposud o funkcích získali. Vyšetřování průběhu funkce je založeno na teorii, která využívá derivací a výpočtu limit. Nyní alespoň stručně připomeňme základní postup. Vyšetřování průběhu funkce je možno rozdělit do pěti následujících částí: (1) Určíme definiční obor funkce. Je-Ii to možné, vytvoříme si alespoň hrubou představu o oboru hodnot. Dále zjistíme, zda funkce nemá nějakou významnou speciální vlastnost, např. zda není periodická, nebo nemá nějaký druh symetrie grafu, tj. zda není sudá nebo lichá. Dále nalezneme nulové body funkce, tj. body, kde graf funkce protíná osu x. Nalezení nulových bodů umožní zjistit signum dané funkce, tj. intervaly, na nichž se funkce nachází pod osou, resp. nad osou x, (2) Přikročíme k výpočtu první derivace. Nalezneme nulové body první derivace a vyšetříme její signum. Na intervalech, kde je první derivace kladná, je vyšetřovaná funkce rostoucí, kde je derivace záporná, je funkce klesající. V bodech, v nichž střídá první derivace znaménko nastává lokální extrém. Kombinace H— odpovídá maximu, kombinace —(- minimu. O existenci a kvalitě lokálních extrémů lze rozhodnout rovněž pomocí vyšších derivací. (3) Spočítáme druhou derivaci. Zjistíme její nulové body a signum. Na intervalech, kde je druhá derivace kladná, je vyšetřovaná funkce konvexní, kde je druhá derivace záporná, je funkce konkávni. V bodě, v němž druhá derivace střídá znaménko, má funkce inflexní bod. O existenci inflexních bodů lze rovněž někdy rozhodnout pomocí vyšších derivací. (4) Vyšetříme asymptoty funkce. Připomeňme, že existují dva typy asymptot: bez směrnice a se směrnicí. K nalezení asymptot je zapotřebí výpočtu limit. Přímka x = xQ je asymptotou bez směrnice, když existuje aspoň jedna nevlastní jednostranná limita funkce f(x) v bodě x0. Funkce /(x) může mít i nekonečně mnoho asymptot bez směrnice. Přímka y = ax + b je asymptotou se směrnicí funkce f(x), pokud f(x\ a— lim ------, b = lim (f(x) - ax). X-K30 X X-KX Analogicky je zapotřebí určit uvedené limity pro x -> -oo. Asymptoty se směrnicí mohou existovat nejvýše dvě. Funkce však obecně nemusí mít žádné asymptoty. Příkladem funkcí, které nemají žádné asymptoty jsou polynomy stupně většího než 1. (5) V závěrečném kroku provedeme kompletaci všech získaných informací a na jejich základě nakreslíme graf vyšetřované funkce. Pro vylepšení obrázku můžeme dopočítat ještě několik vhodných funkčních hodnot. Před řešením konkrétních úloh si pozorně zopakujte celou teorii. Právě uvedený postup, vzhledem ke své volnější formulaci, nemůže studovanou teorii nahradit. Každá úloha má většinou své obtížnější místo. V některých příkladech může být náročný výpočet a úprava druhé derivace, v jiné úloze může být například problém již s nalezením nulových bodů dané funkce. V případě, že Vám některá úloha, nebo její část, bude vzdorovat, použijte k ověření svých výpočtů počítače. V následujících příkladech se budeme nejprve zabývat dílčími úlohami z vyšetřování průběhu funkce. 73 ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 584. Vyšetřete lokální extrémy a inflexní body funkce /(ar) = xi - 6x2 + 8x - 3. Řešení: Spočítáme první derivaci funkce /(x) a položíme ji rovnu nule. Tím vznikne rovnice. Její řešení jsou stacionární body. Lokální extrém může nastat buď ve stacionárním bodě, nebo v bodě, kde neexistuje derivace. Protože Df'(x) = iž, stačí vyšetřit pouze stacionární body. Platí f'(x) = 4x3 - 12x + 8 = 4(x3 - 3x + 2) = 0. Jediní kandidáti na celočíselné kořeny jsou čísla ±1, ±2. Snadno se ověří, že vyhovuje x = 1 a x = —2. Odtud plyne /'(x) = 4(x-l)2(x + 2) = 0. Nalezli jsme dva stacionární body x = l,x = -2. Zbývá rozhodnout, zda má v těchto bodech funkce /(x) lokální extrém. Obecně lze postupovat dvěma způsoby. První způsob rozhodování je založen na využití první derivace. Na číselnou osu vyneseme všechny stacionární body a body v nichž neexistuje první derivace. Určíme signum (tj. znaménko) první derivace v okolí těchto bodů. To lze provést tak, že v každém z intervalů, na které se rozpadne číselná osa zvolíme vhodného reprezentanta, tj. bod, v němž se snadno počítá funkční hodnota. Spočteme funkční hodnotu derivace v tomto zvoleném bodě a její znaménko zapíšeme pod příslušný interval. Platí interval (-oo,-2) (-2,1) (1,00) sgn /'(x) — + + Protože první derivace střídá v bodě x = — 2 znaménko v kombinaci —h, je v bodě x = — 2 lokální minimum. Ve stacionárním bodě x = 1 nestřídá první derivace znaménko, a proto funkce f(x) nemá v bodě x = 1 lokální extrém. Další způsob rozhodování o existenci lokálních extrémů je založen na využití druhé derivace. Platí /"(x) = 12x2 - 12 = 12(x2 - 1) = 12(x - l)(x + 1). Spočteme funkční hodnotu druhé derivace ve stacionárním bodě. Je-li tato funkční hodnota kladná, má funkce ve stacionárním bodě lokální minimum, je-li záporná, má v tomto bodě maximum. Je-li funkční hodnota rovna nule, nelze na základě druhé derivace rozhodnout o existenci a kvalitě extrému. V našem případě platí /"(-2) = 12(-2)2 - 12 = 36 > O, /"(l) = 12 • l2 - 12 = 0. Odtud plyne, že v bodě x = —2 je lokální minimum. 0 bodu x — 1 však nedokážeme na základě výpočtu druhé derivace rozhodnout. V takovém případě lze 74 použít vyšších derivací. Počítáme postupně funkční hodnoty vyšších derivací ve vyšetřovaném bode až do okamžiku, kdy je funkční hodnota derivace nenulová. V případě, že je řád derivace lichý, není ve stacionárním bodě lokální extrém. Je-li rád sudý a funkční hodnota kladná, má funkce ve stacionárním bodě lokální minimum. Je-li řád sudý a funkční hodnota záporná, má funkce ve stacionárním bodě lokální maximum. V našem případě platí: f"(m) = 24z, /'"(l) = 24. Protože je hledaný řád derivace lichý, nemá funkce f(x) v bodě x = 1 lokální extrém. Nyní přejděme k vyšetřování inflexních bodů. Určíme druhou derivaci, nalezneme její nulové body a určíme signum. Z předchozích výpočtů plyne interval (-00,-1) (-U) (l,oo) sgn /"(*} + — + Rozhodovací kritérium je jednoduché. Střídá-li druhá derivace na okolí vyšetřovaného nulového bodu znaménko, má funkce f(x) v tomto bodě inflexní bod. Odtud plyne, že funkce f(x) má dva inflexní body, a to i = -1 a i = 1. Rovněž o existenci inflexních bodů lze rozhodnout na základě výpočtu vyšších derivací. Opět počítáme postupně funkční hodnoty vyšších derivací ve vyšetřovaném bodě až do okamžiku, kdy je funkční hodnota derivace nenulová. V případě, že je řád této derivace lichý, má funkce f(x) ve vyšetřovaném bodě inflexní bod. 585. Zjistěte, zda má funkce f{x) = Xs - 5x4 + 5a;3 - 5 lokální extrém v bodě 0. Řešení: Spočteme první derivaci funkce f(x). Platí f{x) = 5a;4 - 20a;3 + 15s2 = 5x2(x2 -4x + 3) - 5x2{x - l)(x - 3). První derivaci položíme rovnu nule a určíme stacionární body. Je zřejmé, že bod x = 0 je stacionárním bodem. Musíme tedy vyšetřit signum funkce f'(x) v okolí bodu nula. Platí interval (-00,0) (0,1) sgnf'{x) + + Odtud plyne, že funkce f(x) nemá v bodě x = 0 lokální extrém. Rozhodněme o lokálním extrému ještě pomocí vyšších derivací. f"{x) = 20a;3 - 60a;2 + 30x, /"(O) = 0. Ani na základě druhé derivace nelze rozhodnout o existenci extrému. Určíme třetí derivaci. f'"{x) = 60a;2 - 120a; + 30, /"(0) = 30. Protože řád první vyšší nenulové derivace je lichý, není v bodě x = 0 lokální extrém. Bod x = 0 je infiexním bodem funkce f{x). 75 586. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x) = ln a/x2 + 1 - arctg x. Řešení: Spočteme první derivaci funkce f(x). Platí 111 1 x-1 /'<*) = •2a:- ^fx^+l ' 2 y/x^Tl x2 + 1 " x2 + 1' První derivaci položíme rovnu nule a určíme stacionární body. f'(x) =0 <í=> x - 1 - 0 **• x= 1. Protože derivace existuje pro všechna reálná čísla, je bod x = 1 jediným kandidátem na lokální extrém. Určíme signum první derivace. Platí: interval (-oo,l) (l,0o) sgn /'(ar) — + Odtud plyne, že funkce f(x) má v bodě x = 1 lokální minimum. Pro ilustraci rozhodneme o lokálním extrému ještě pomocí druhé derivace. _ (x2 + l)-(x-l)-2x = -*2 + 2* + l r (1) = 1 > 0 / W - (X2 + !)2 (x2 + l)2 ' J V ' 2 Protože je druhá derivace ve stacionárním bodě kladná, plyne odtud, že funkce f(x) má v bodě x = 1 lokální minimum. 587, Nalezněte inflexní body funkce Řešení: Spočteme druhou derivaci funkce /(x). Platí /'(x) = (-2x).e^2, /»(*) = (-2x)-{-2x)-e-l2+(-2)-e-ia - i-e^(x2-~) = 4* 0. v ; 5000 79 Odtud plyne, že v bodě i^3má funkce t(x) lokální minimum. Dále určíme čas, který posel potřebuje k tomu, aby dorazil do tábora v co nejkratším čase. ť(3> =----------4----------+ 5 " 1ÖÖ " '35' Posel musí přistát 3 km od tábora a cesta mu bude trvat 4,35 h. 592. Náklady na palivo pro provoz parmku jsou přímo úměrné třetí mocnině jeho rychlosti. Při rychlosti 10 km/h jsou výdaje za palivo 30 Kč/h. Ostatní výdaje na provoz, které nejsou závislé na rychlosti, jsou 480 KČ/h. Při jaké rychlosti parníku bude celková výše nákladů na 1 km cesty nejmenší? Jaká bude přitom tato celková výše nákladů za 1 hodinu? Řešení; Nechť x označuje rychlost parníku. Sestavme funkci f(x) závislosti nákladů na rychlosti parníku najeden kilometr cesty. Za 1 hodinu ujede parník x kilometrů. Na těchto x kilometrů činí náklady za palivo kxz Kč, kde k je konstanta úměrnosti a 480 Kč na ostatní výdaje. Platí tedy , , kx3 480 f(x) =-----+----■ X X Dále spočteme konstantu úměrnosti k. Protože při x = 10 km/h jsou náklady na palivo 30 Kč/h platí 30 = k ■ 103. Odtud plyne, že k = 0,03. Tedy 3 2 48° ><*> = is* + -■ Nyní nalezneme minimum funkce f(x) na (0,oo). Určíme první derivaci: _6_ _ 480 _ 6{x3 - 800Q) fW~WQX~ x2 ~ lOOx2 Položíme f'{x) = 0 a spočteme stacionární body. Nalezneme x — 20. Snadno ověříme, že v tomto bodě nastává lokální minimum. Konečně /(20) = 36. Za 1 hodinu však parník urazí 20 km, a tedy náklady na jednu hodinu jsou 36 ■ 20 = 720 Kč. Celková výše nákladů na 1 km bude nejmenší při rychlosti 20 km/h a bude činit 720 Kč/h. 593. Nalezněte asymptoty funkce 3 f{x) = 3x + x-2' Řešení: Nejprve vyšetříme asymptoty bez směrnice. Definiční obor funkce f(x) je roven R- {2}, Odtud plyne, že jediný bod x0, ve kterém funkce může mít nevlastní limitu, je bod xq = 2. Platí (-^) lim (32 H-----— )= lim 3x + lim ——- = 6 + 3 ■ oo = oo. >2+\ X — 2J B-+3+ ac-t-a+x-2 80 Podobně zjistíme, že lim f 3x H---------] = lim 3x + lim------- = 6 + 3 • (-00) = -00. í-»2- V x — 2/ 1-+2- x-t-2- x — 2 Protože existuje aspoň jedna nevlastní jednostranná limita v bodě x0 = 2 je přímka x = 2 asymptotou bez směrnice. Nyní vyšetříme asymptoty se směrnicí y ~ ax + b. a = lim Í&= lim f 3 + . 3 \ =3+ lim 3 =3 + 0 = 3. s-voo a: *-*oo \ x(x — 2) J íb-km x(X — 2) ô 5= lim ŕ/(x) - ax) = lim í 3x H--------- - 3x ) = lim------- = 0. x-n» v ' i-*ooy x — 2 / um 1-2 Přímka g/ = 3x je asymptotou se směrnicí pro x ->■ 00. Analogicky spočteme limity pro x -* -00. Opět vychází y = 3x. Přímka 1/ = 3x je dvojnásobnou asymptotou se směrnicí. 594. Nalezněte asymptoty funkce (x - l)3 /(«)« (x + 1)5 Řešení: Nejprve vyšetříme asymptoty bez směrnice. Definiční obor funkce /(x) je roven R — {—1}. Odtud plyne, že jediný bod xo, ve kterém funkce může mít nevlastní limitu, je bod Xo = — 1. Platí lim i-—-4 = lim (x - l)3 ■ lim -——- = -8 ■ 00 = -00. ^-1+ (x + l)2 i-»-l+V ' x->-i+(x + l)2 Podobně zjistíme, že (x - l)3 -, 1 lim )-------~ = lim (x - l)3 • lim --------r^ = -8 ■ 00 = -oc. X-+-1- (x + l)2 x-K-l- *-»■-1- (x + l)-4 Protože existuje aspoň jedna nevlastní jednostranná limita v bode xQ = —1, je přímka x = — 1 asymptotou bez směrnice. Nyní vyšetříme asymptoty se směrnicí y = ax + b. L ^M = Um *f ^ = 1, 6 = Hm (/(x)-ox) = lim f|X ^„ - aA 2;—Kxj x—>oo y (^X + 1) / 11 1-+00 x ac-ioQ x(x + l)2 x3 - 3x2 + 3x - 1 - x3 - 2x2 - x -5x2 + 2x - 1 = lim "-----------------7—7TŠ3------------------ ~ lim -----7—n^2-----= ~5- a:-* 00 (x + I)2 z->oo (x + 1)^ Přímka y = x — 5 je asymptotou se směrnicí pro x —» 00. Snadno je vidět, že tytéž limity vychází pro x -*■ —00. Jediná asymptota se směrnicí je y — x - 5. 81 595. Vyšetřete prubeh funkce f {x) = x4 - 2x2 + 2. Řešení: L Pro definiční obor platí D f = R. Dále f {-x) = (-x)4 - 2(-x)2 + 2 = x4 - 2x2 + 2 = f (x). Odtud plyne, že zadaná funkce je sudá. Dále platí, že f (x) je spojitá na R. Úpravou funkčního předpisu x4 - 2x2 + 2 = (x2 - l)2 + 1 > 0 zjistíme, že rovnice f (x) = 0 nemá řešení v R. Funkce f (x) je tedy stále kladná a nemá nulové body. II. Spočteme první derivaci funkce f (x). Platí f (x) = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1) = 4x(x - l)(x + 1). Určíme nulové body první derivace. Rovnice f (x) = 0 má tři řešení x = —1, x — 0 a x — 1. Můžeme určit signum první derivace. interval (-oo,-l) (-1,0) (0,1) (l,oo) sgn f'(x) - + — + Zjistili jsme, že funkce f(x) je na intervalech (—co, — 1), (0,1) klesající a na intervalech ( —1,0), (1, oo) rostoucí. V bodě x = 0 má funkce lokální extrém, a to lokální maximum. Platí /(O) — 2. V bodech i = -lai=l nabývá funkce lokálních minim a platí /(-l) = /(l) = 1. II. Spočteme druhou derivaci. Platí f"{x) = 12x2 - 4 = 12(x2 -\) = 12(x - ~){x VŽ' V3 Nalezneme nulové body druhé derivace. Řešením rovnice f"(x) = 0 získáváme x = — "7j ~ —0,58 ax= -4= ss 0,58. Určíme signum druhé derivace. interval (-00,-1/^3) {-1/yfcl/VZ) (l/VŠ,oo) sgn /"(x) + — + Odtud plyne, že funkce je na intervalech (-oo, —js), (-75, co) konvexní a na intervalu { — -Tg, -75) konkávni. Funkce má dva infiexní body, a to — -L a -4=. Dále platí /(-*> = /(*)*!.«. IV. Asymptoty bez směrnice neexistují, neboť pro každé xq € R platí lim /(x) = /(x0). Dále vyšetřeme asymptoty se směrnicí pro x -► 00 a x -> -00. Snadno zjistíme, že a = lim /(*) = lim x4 - 2x2 + 2 X—KX) X X-¥O0 , lim 4x(x2 — 1) = 4 • 00 ■ (co - 1) — OO, p a = lim z-* — oo X hm ----= lim 4x(:c2-l) = -4oo-(oo-l) = X-»-00 X -oo. Odtud plyne, že funkce j(x) asymptoty se směrnicí nemá. V. Provedeme kompletaci všech informací a nakreslíme obrázek. 596. Vyšetřete průběh funkce f(x) = x4 - 2x3. Řešení: I. Pro deHnicní obor platí Df = R. Protože /(-*) = (-x)4 - 2(-x)3 = x4 + 2x3, plyne odtud, že f(x) není ani sudá, ani lichá. Řešením rovnice f(x) = x3(x- 2) = O dostáváme, že existují dva nulové body s = 0ai = 2. Určíme signum funkce f(x). interval sgn f(x) (-00,0) + (0,2) (2,00) + II. Spočteme první derivaci funkce f(x). Platí f'{x) = 4x3 - 6x2 = 2x2(2x - 3). Určíme nulové body první derivace. Rovnice f'(x) = O má dvě řešení x = O a x = j ■ Můžeme určit signum první derivace. interval gg"/'Oc)' (-oo,Q) (0,3/2) (3/2,oo) + 83 Zjistili jsme, že funkce f(x) je na intervalech (—00, 0), (0, §) klesající a na intervalu (§,00) rostoucí. V bodě x = | má funkce lokální extrém, a to lokální minimum. Platí /(§) = -f| « -1,68. V bodě x = 0 lokální extrém není a /(O) = 0. II. Spočteme druhou derivaci. Platí /"(*) = 12a;2 - 12x = 12x(x - 1). Nalezneme nulové body druhé derivace. Řešením rovnice f"(x) — 0 získáváme x = 0 a x = 1. Určíme signum druhé derivace. interval (-oo,0) (0,1) (l,oo) sgn /"(z) + - + Odtud plyne, že funkce je na intervalech (-00,0), (l,oo) konvexní a na intervalu (0,1) konkávni. Funkce má dva inflexní body, atox = 0ax=l. Dále platí /(0)=0a/(l) = -l. IV. Podobně, jako v předchozím příkladě, polynom f(x) nemá asymptoty bez směrnice ani se směrnicí. Vyšetřeme chování funkce f(x) pro nooai-} -00. Platí lim x4 - 2x3 = lim x3(x - 2) = 00(00 - 2) = 00. X—^OO X —K» lim x4 — 2x3 = lim x3(x - 2) = -oo(-oo - 2) = 00. X—¥ — OO X—►— OO V. Nyní provedeme kompletaci všech informací a nakreslíme obrázek. 597. Vyšetřete průběh funkce f(x) = x2 + -. X Řešení: I. Pro definiční obor platí D f = R- {0}. Protože /(-x) = (-x)2 + — = x2-^, plyne odtud, že f (x) není ani sudá, ani lichá. Funkce může střídat znaménko 84 buď v nulových bodech, nebo v bodech, kde není definována. Řešením rovnice f(x) - 0 dostáváme, že jediný nulový bod je bod x — v7-^ = -\/2. Nyní již můžeme určit signum funkce /(x). interval (-00,-^J (-^2,0) (0,oo) sgn f(x) + — + II. Spočteme první derivaci funkce f(x). Platí /'(x) = 2,-A = 2l(1 i) = ^-D X' x- Určíme nulové body první derivace a body, v nichž není první derivace definována. Rovnice /'(i) = 0 má jediné řešení x = 1. Můžeme určit signum první derivace. interval (-co, 0) (0,1) U, oo) sgn f'(x) — + Zjistili jsme, že funkce f(x) je na intervalech (-co, 0), (0,1) klesající a na intervalu (l,oo) rostoucí. V bodě x0 = 1 má funkce lokální extrém, a to lokální minimum. Platí /(l) = 3. III. Spočteme druhou derivaci. Platí Nalezneme nulové body druhé derivace a body, v nichž není druhá derivace definována. Řešením rovnice /"(ar) = 0 získáváme x = -^2. Určíme signum druhé derivace. interval (-co,-$5) (-^2,0) (0,«>) sgn f"(x) + - + Odtud plyne, že funkce je na intervalech (-oo, - v^), (0, oo) konvexní a na intervalu (-v^,0) konkávni. Funkce má jediný inflexní bod, a to -^. Rovněž v bodě 0 střídá druhá derivace znaménko. Bod 0 vsak není inflexní m bodem funkce f(x) neboť 0 g Df. Dále platí f(-$2) = 0 a /(l) = 3. IV. Nejprve vyšetříme asymptoty bez směrnice. Jediným kandidátem na asymptotu bez směrnice je přímka x = 0. Vyšetříme příslušné limity. 2 2 2 lim x + - = 0 - oo = -oo, lim x2 + -=0 + oo = oo x->0- X z->Q+ x Odtud plyne, že přímka x = 0 je asymptota bez směrnice. Dále vyšetřeme asymptoty se směrnicí prox->ooa:c->-oo. Snadno zjistíme, že fix) 2 a = lim------= lim x + — = oo, x—>■ — oo x Odtud plyne, že funkce f{x) asymptoty se směrnicí nemá. v f (z) ,. ■ 2 lim — = hm x + -=■ = -oo. x-í — ac 85 V. Provedeme kompletaci všech informací a nakreslíme obrázek. V=2] x 598. Vyšetřete průběh funkce Reš ení: I. Definiční obor je roven množině D f = R - {0}. Protože f (—x) = e *, plyne odtud, že f (x) není ani sudá, ani lichá. Funkce je stále kladná a nemá nulové body. interval (-oo,0) (0íOo) sgn f (x) + -í- II, Spočteme první derivaci funkce f (x). Platí II 11 / (x) = ex (-1)-^ =----„ex x' x' Nulové body první derivace neexistují. První derivace je stálé záporná a není definována v bodě x = 0 a platí lim f'(x) = 0. interval (-co,0) (0,co) sgn f'(x) — - Odtud plyne, že funkce /(x) je klesající na celém definičním oboru. Lokální extrémy funkce f(x) nemá. III. Spočteme druhou derivaci. Platí r (x) = c-i)(-2)i^ - ^(-i)-L = i_a-(2x+1}. X* X4 Nalezneme nulové body druhé derivace a body, v nichž není druhá derivace definována. Řešením rovnice f"(x) = 0 získáváme x = -|. Určíme signum druhé derivace. interval (-00,-1/2) (-1/2,0) (0,oo) sgn f"(x) — + + Odtud plyne, že funkce je na intervalech (—|, 0), (0, oo) konvexní a na intervalu (-co, -|) konkávni. Funkce má jediný inflexní bod, a to -i. Dále platí /(-*) » 0,13 a/(-l) «0,36. IV. Nejprve vyšetříme asymptoty bez směrnice. Jediným kandidátem na asymptotu bez směrnice je přímka x = 0. Vyšetříme příslušné limity. lim ex = z-řO- —oo = 0, lim 6 3=6°°= oo. X-V0+ Odtud plyne, že přímka x = 0 je asymptota bez směrnice. Dále vyšetřeme asymptotu se směrnicí y = ax + b pro x —► oo. a fix) „ ei 1 i —— = hm — = lim - ■ lim ex = 0 • 1 X—řoo X x—>oo x x—too rc z—Kso lim 6 = lim (f (x) — ax) — lim es = e° = L X—KX> i—too Přímka y = 1 je asymptotou se směrnicí pro x -* oo. Analogicky vyšetříme případ asymptoty pro z -» -oo. Opět vyjde přímka y = 1. Přímka y = 1 je tedy dvojnásobnou asymptotou se směrnicí. V. Provedeme kompletaci všech informací a nakreslíme obrázek. 8? 599. Vyšetřete průběh funkce f{x)=x2-2~*. Řešení: I. D f = R. Protože x2 > 0 a 2~x > 0 platí H f C (0, oo). Funkce f (x) je tedy nezáporná a spojitá na R. Dále f {-x) = (-x)22~(~x) = x22x. Odtud plyne, že funkce f {x) není ani sudá, ani lichá. Určíme nulové body funkce f (x). Je zřejmé, že existuje jediný nulový bod f [x), a to Xq = 0. Platí interval (-oo,0) (O^oo) sgn f (x) + + II. Spočteme první derivaci. Platí f{x) = 2x - 2~x + x2 ■ In 2 • 2_:e(-l) = - In 2 - x ■ 2~x(x - —). ftešením rovnice f (x) = 0 získáme dva stacionárni body xi = 0 a x2 — ^ ~ 2, 88. Určíme signum první derivace. interval (-oo,0) (0,2/In 2) (2/ln2,oo) sgn f{x) - + - Odtud plyne, že funkce f (x) je na intervalech (-oo,0) a (j~,oo) klesající a na intervalu {0, Ar) rostoucí. V bodě 0 je lokální minimum a /(O) = 0. V bodě ^ je lokální maximum a /(t~) ~ 1,13. III. Určíme druhou derivaci. Platí /"{x) = (-l)ln2-2-I{2z:-ln2-x2) + 2-a!(2-21n2-x) = 2-x(ln22x2-41n2x' + 2). Nalezneme řešení rovnice f"(x) = 0. To znamená vyřešit kvadratickou rovnicí ln2 2 - x1 — 4 in 2 ■ x + 2 = 0. Snadno se vidí, že tato rovnice má dvě řešení 41n2±\/l61n22-4-ln22-2 2 ± V2 Xl'2 ~ ' 2 1n22 == la2 • Platí ^íp as 0,84 a ^±^ sa 4,92. Nyní můžeme určit signum druhé derivace. interval ( oo 2~^) <• In2 ' In 2 ^ f2+v/f oo) sgn }"{x) + + Odtud plyne, že funkce je na intervalech (~oo, ^^), (^^,oo) konvexní a na intervalu {^fi-, 2^-) konkávni. Funkce má dva inflexní body, a to ^^, žfcfi. Dále platí fpgf) « 0,4 a /(Ž£^)*0,8. 88 IV. Asymptoty bez směrnice funkce f(x) nemá. Vyšetřeme asymptotu se směrnicí y = ax + b pro x —» oo. a = lim —— = lim x • 2"""* = lim — = lim :---------= — = 0. x—>oo x I-+00 ke» 2X 3-+00 In 2 ■ 2X oo 2x 2 b = lim (f (x) - ax) = Um x2 ■ 2~x = lim = lim —s— c-foo x-hx> a;-+oo in 2 ■ 2X x-k» in 2 ■ 2X oo = —=0. Přímka y = 0 je asymptotou se směrnicí pro x —t oo. Dále vyšetříme prípad asymptoty y = äx + b pro x —f -oo. Platí a = lim ^-t = lim x ■ 2 a = Hm x • lim 2 ^ = (-oo) ■ (-oo) = oo. x—*■—oo x x-» —oo x—* —oo x—>—oo Odtud plyne, že funkce /(x) pro x —> -oo asymptotu se směrnicí nemá. V, Provedeme kompletaci všech informací a nakreslíme obrázek. y In 2 In 2 89 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Nalezněte lokální extrémy následujících funkcí: 600. f(x) = 4x3 - 3x2 - 36x - 5. 601. /(x) = 4x3 - 18x2 + 27x - 7. 10 „m *, \ z2 - 3x + 2 603- /w = ^ + 2, + r 605. /(x) = 602. *™ 4x3 - 9x2 + 6x 604. ti ^ x2 8 606. f (x) — e x sin x. In x 607. /(x)=4x + tgx. 608. /(x) = v^6x - x2. 609. f (x) = y/2x3 + 3x2 - 36x. 1 2 610. /(x)=ln(l + x-4x2). 611. /(x) = arctg x - - ln(x2 + 1). Určete intervaly, na nichž je daná funkce rostoucí, případně klesající: x 2 2x 612. /(a0 = —. 613. f(x) = 2X' x2 +1 614. /(x) = x + sinx. 615. f(x) =\n\/l+x2. x — 3 616. fix) - 2x2 - Inx. 617. /(x) = ------- . vi + ^ 618. /(x) = - + -------. 619. /(x)=z + ^—r- v ' x 1 — SE x^-1 Určete nejmenší a největší hodnotu funkce /(x) na daném intervalu: 620. /(x) = ^(x2-x)2, (-3,2). 621. f(x) = x - 21nx, <1, e). 622. f(x) = xx, (0,oo). 623. /(i) = x5 - 5x4 + 5x3 + 1, (-2,1). 624. /(x) = x3 - 12x + 1, (-1,3). 625. f(x) = 4 - 2x - e1"1, (0,1). 1 7 7 626. /(x) = arctg——, (0,1). 627. f(x) = x + ln(8 - 2x), (-,,x). 1 + x ^ ^ Určete inflexní body funkce /(x) a intervaly na nichž je funkce konvexní, příp. konkávni: 628. f (x) = m(x2 + 1). 629. f (x) = 3x5 - 5x4 -f 3x - 2. 630. /(x)=- + lnx2. 631. /(x) = x " ' JW x2+ 12 632. f {x) = 1 - Vx~=7. 633. /(x) = earctS x. V následujících příkladech nalezněte všechny inflexní body dané funkce f(x): 634. f(x)=e~x2 +2x. 635. /(x) x3 + 27' v/x + 2 636. /{ř)„^+^. 637. /<*)=(£f)' 90 V následující skupině úloh nalezněte všechny asymptoty dané funkce: 638. /(x) = x + 2 ■ arccotg x. 639. f(x) = x +----. 1 x 640. /(x) = x-ln(e+ -). 641. f (x) = 5x + arctg - 642. /(x) = 3x+^. 643. f (x) = p±|. „ , „ cosx _.„ ,, . xsinx 644. /{x)=2x-—. 645. f {x) = ——j. 37 -L "T" *t xvx2 + 1 2x2-l ' 646. /(x) = \/x3 + 4x2. 647. /(x) V následující skupině úloh proveďte kompletní vyšetření průběhu dané funkce: 648. /(x) = 3x-x3. 649. /(x) = 16x(x - l)3. 1 2x 650. /(*)»—_, 651. /(x) x2-ť JV ' xa + ť 652. /{,)»-£—. 653. /(x)=x + -. x1 + 1 x 1 2x 654. /(x) = ^r-x. 655. /(x) = ——- + x. x/ x^ — 1 656. /{x) = 0 pro každou hodnotu parametru ť € R, plyne odtud, že funkce x(t) je rostoucí na R. Každá rostoucí funkce je prostá a k prosté funkci existuje funkce inverzní. Parametrickými rovnicemi je tedy zadána funkce. 670. Nalezněte první, druhou a třetí derivaci funkce dané parametricky x{t) = eť, y{i) = arcsinŕ, t 6 ( — 1,1). Řešení: První derivaci určíme podle vzorce Je zřejmé, že pro derivace x'(t) a y'(t) platí: x'(t) = ef a y'(t) = f-- i). Odtud 1 vT-x2 /'(*(*)) Druhou derivaci určíme podle vzorce y"(t)x'(t) - y'{t)x"{t) /"(*(«)) (x'(t)Y Protože pro druhé derivace platí x"(t) — e* a y"(t) = . t dostáváme, že yj{\ - X2)3 r + t-i e2V(l-*a)3 Třetí derivaci určíme podle vzorce y'"(t)(x'(t))2 - Zy"{t)x"{t)x'[t) + 3y'(t)(x"(t))2 - y'\t)x'(t)x"1(t) f'"(x(t)) (x'(t)y Protože pro třetí derivace platí x"'{ť) = er a y"'(t) - f- ^~\~, plyne odtud, že V(l - x2)5 f'"(x(t)) m 2ŕ4+3ŕ3-2ŕ2-3ŕ + 3 V ' e^Víl-í2)5 671. Určete rovnici tečny k elipse zadané parametrickými rovnicemi x(t) = 3cosx, y(t) = 5sins, í ě {0, 2tt) v bodě odpovídajícím hodnotě parametru ťo = \. Řešení: Připomeňme, že rovnice tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě Xq je y-VO= f'(xQ){x - Xq). Hodnotě parametru to odpovídá bod A = [x(to),y(to)} = [scoil/o]- Platí . v 3\/2 . , z,71"-, „ . ,n\ 3v2 xQ = x(t0) = —-, x(ť) = -3sinŕ, x (-) = -3sm(-) =-----—-. yo = Iř(to) = -g-, y(ř) = 5cosí, y (-) = 5oos(-) = —. Nyní již můžeme určit hodnotu derivace }'{xq). Platí 2 Rovnice tečny k zadané elipse v bodě A = [^t ^p] tedy je bVŽ 5, 3V2, t: I0x + 6y - 30^ = 0. 672. Určete rovnici tečny ke křivce zadané parametrickými rovnicemi 9ŕ ť •»«i+T. "W = 2(ľ3Ty «e*-{-1,1} v bodě odpovídajícím hodnotě parametru í o = 2. 93 Řešení: Budeme postupovat jinak, než v předchozím příkladu. Připomeňme, že rovnice tečny ke křivce dané parametrickými rovnicemi x — x(t), y — y(t) v bodě odpovídající hodnotě parametru i0, tj. v bodě A = [x(t0),y(to)] je í : y'(t0){x - x(t0)) - x'{t0){y - y(t0)) = 0. Analogicky pro rovnici normály platí n : x'(tQ)(x - x(t0)) + y'(t0){y - y(t0)) = 0. Spočteme tedy potřebné derivace a funkční hodnoty. Platí *(2) = 6, *'(!) = j^JLjj, x'(2) = l, Dosazením do uvedených rovnic a po krátké úpravě získáváme ř: x + 2y-8 = 0, n : 2x - y ~ U = 0. 673. Zjistěte, zda je parametrickými rovnicemi x(í) = i - siní, y(t) = 1 - cosi, t G R. zadána nějaká funkce y = f (x). V kladném případě určete její první a druhou derivaci. Dále určete rovnici tečny k příslušné křivce v bodě odpovídajícím hodnotě parametru Íq = -k. Řešení: Protože x'(r) = 1 - cosi > 0 pro každou hodnotu parametru t e R, plyne odtud, že funkce x(t) je rostoucí na R. K funkci x{t) tedy existuje funkce inverzní, tu však v našem případě nelze najít ve tvaru elementární funkce. Nyní určíme první a druhou derivaci. Platí ,,, , ..„ y'[ť) siní ,«,.„»_ y"(t)x'{t)-y'{t)x"(t) (l-cosŕ)cosŕ-sin2ŕ /("(í))^ WW----------=--------(1-cosí)3 -***»*■ Hodnotě parametru to = ir odpovídá bod [ir,2]. Protože /'(tt) = 0, plyne odtud, že rovnice tečny je tvaru y - 2 = 0. 674. Určete asymptoty funkce dané parametrickými rovnicemi 94 Řešení: Pro ŕ —> ±| je lim x (t) = lim(l/cosŕ) = oo. Dále je lim —TT — um smí = üi t-»±f x(t) t->-±f zatímco lim (y(ŕ) - x(ŕ)) = lim (tg x---------) = lim - í-f í-H cost í-+f COS ť Podobně je lim (y(t) + x(t)) = lim (tg x +------) = lim í—i— z- '-*-! COS ť t-»™f COS í Daná krivka (hyperbola) má dvě asymptoty y = — x a y ~ x. 675. Vyšetřete průběh funkce dané parametrickými rovnicemi t2 t *(*) = jrt' ^ŕ) = ^3T' * e ä-{-1,1}- Řešení: Parametrické rovnice definují y jako spojitou funkci proměnné x na těch intervalech, na nichž je funkce x(ŕ) ryze monotónní. Funkce x(t) je spojitá na intervalech (—oo, 1), (l,oo). Derivace x'(t) = t(t - 2} (t^lj* existuje na celém definičním oboru funkce x(t). Nulové body derivace jsou í = 0 a ŕ = 2. Vyšetřeme signum derivace x'(t). Platí interval (-oo,0) (0,1) (1,2) (2,cc) sgn x'{t) 4- — - + Na intervalech uvedených v tabulce je funkce x(t) ryze monotónní, V bodě ť = 0 má funkce x[t) lokální maximum a v bodě t = 2 má lokální minimum. Funkce y(t) je spojitá na intervalech (—co, —1), (—1, 1), (1, oo). Parametrické rovnice tedy definují celkem pět funkcí fi{x), f2(x), fs(x), f^x), f^(x) proměnné x, které jsou dány na těchto intervalech: fi(x) na (—co, -1), /2(x) na (-1,0), /3(x) na (0,1), Ía{x) na (1, 2) a /s(x) na (2,oo). Pro každou z těchto funkcí na příslušném intervalu platí /Í<*W) = í2 + l í(ŕ + l)2(ŕ-2)' Funkce x(t) zobrazuje interval (—oo, -1) na interval (—oo, —|), Funkce /i(x) klesá od 0 do —oo, neboť /í(x(ť)) < 0 a platí lim -=—- t-*-oo V — \ = 0, lim -^ t-^-i- í2 - 1 = —oo. 95 Analogicky x (ť) zobrazuje interval (-1,0) na interval (-|,0). Punkce fo{x) klesá od oo k 0, neboť na tomto intervalu platí f2(3:[t)) < G a lim -=—- * 00, lim -z—- = 0. Í-+-1+ t2 — 1 ť-ŕO- t£ — 1 Dále x(í) zobrazuje interval (0,1) na interval {-00,0). Punkce /3{x) roste od -00 do 0, neboť na tomto intervalu platí f^(x(t)) > 0 a lim -s—- = -00, lim „ = 0. t-n- t2 - 1 Í-40+ ŕ2 - 1 Interval (1,2) se funkcí x (t) zobrazuje na interval (4, oo), přičemž Ji(x(t)) > 0. Punkce .A (x) roste od | do 00, neboť ., í í 2 hm -r—- = 00, hm -=—- = -. é-*i+ ŕ2 - 1 t->2- ť4 - 1 3 Konečně interval (2, 00) se funkcí x(t) zobrazí na (4,00), přičemž f${x{t)) < 0. Funkce /s(x) klesá od | do 0, neboť Hm —------ = -, lim —------ = 0. t_>2+ t2 - 1 3 t^oot2 - 1 Nyní určíme druhou derivaci. Pro každou z funkcí fi{x(ť)) na příslušném intervalu platí _ 2(ŕ-l)3(ŕ3-r3ŕ+l) «^VJ ŕ3(ŕ + 1)3(ŕ_2)3 ' Podrobným vyšetrením druhé derivace zjistíme, že polynom ŕ3 + 3í + 1 střídá na intervalu ( — 1,0) znaménko, a tedy má na intervalu nulový bod. V tomto bodě má funkce /3 inflexní bod. Zbývá určit asymptoty. Funkce /i a f2 mají v bodě a? = -5 asymptotu x — —\- Vyšetřeme dále asymptoty pro x -k -00 a x —> 00. Platí a = lim =^^ - hm -^ = hm -—- • —5- = hm , = 0, í —1 b = lim /i(x) - ax = lim -=—- = 0. x-ř-oo t-ŕ-oo E — I Osa t/ = 0 je asymptotou se směrnicí funkce /i(x) pro x -* -oc. Analogicky vypočteme , A(*) , 1 1 a = Lim ------- = lim —.-------r = -, i-í-oo x ť-yl~í(ť+l) 2 t / v 3 t- í t t2 \ -ŕ3 - í2 + 2ŕ 3 o = hm /3IX) — — = hm I -=------ — —,-----tt = hm —. „ -■—r— = ——. X^^00J^ ' 2 t^-i- V*2 — 1 2{t-l)J *-»»- 2(í2 - 1) 4 Přímka ?/ = |x - | je asymptotou se směrnicí funkce fz(x) pro x —í- —00. Dále 96 ,. AC«) a4 = hm - hm 1 x-»oo x t->i+i(ŕ+l) 2' ...... x ŕ2 + 2ŕ 3 o = hm /dfx)-----= - hm —-------r = —. x^ooJ4V ' 2 í-*i+ 2(í + l) 4 Přímka y = \x — | je asymptotou se směrnicí funkce faix) pro x —» co. Konečně 1 05. n» Äsa = lim x—>oo X í->oo ř(ť + 1) o, ř ř>5 = lim /5(x) = lim ~ = 0. X-KDO í-»0O ť1 — 1 Osa y = 0 je asymptotou se směrnicí funkce /s(x) pro x —I» oo. Další asymptoty neexistují. Zbývá zkompletovat získané informace a nakreslit obrázek. r^n oo *-»■ -: A Íi /I *-> -r » 97 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY 676. Rada křivek získala svůj vlastní název, který často vystihuje její tvar nebo charakter- Mezi tyto křivky patří například cykloida, kardioida, asteroida, lemni-skata, Archimedova spirála, logaritmická spirála a hyperbolická spirála. Napište parametrické rovnice těchto známých křivek a nakreslete jejich grafy. V následující skupině úíoh spočtěte derivaci funkce dané parametricky: 677.x(ť) = ^, j,(r) = J^. 678. x(ř) = 4r + í2, y(t) = t3 +1. 679. x{t) = a cos3t, y(t) = asin3í. 680. x{t) = e2ťcos2í, y(t) = e2f sin2 i. Spočtěte první, druhou a třetí derivaci funkce dané parametricky: 681. x{t) = lnť, j/(t) = sin2í. 682. x{t) = e_í cosi, y(t) = e~r siní, 683. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce dané parametrickými rovnicemi x(ť) = í2 - 4í + 4, y (t) = t2 - 3í + 2 v bodě A = [1,0]. 684. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce dané parametrickými rovnicemi x(t) = a(t - sin ŕ), y (t) = a(l - cosi) pro ŕ = 3f. Nalezněte inflexní body funkce dané parametricky: 685. x(t) =sinť, y(í) = eř. 686. x{t) = 3i + ŕ3, y(t) = t2. 687. Zjistěte, pro jaká a, 6 je bod A = [1,4] inflexním bodem funkce dané parametrickými rovnicemi x(t) = bt2, y(t) = at + t3 pro í > 0. Nalezněte asymptoty křivky dané parametrickými rovnicemi: 688. *(<) =-^-, y(t) = ^-. 689.^) = -^- j,<ž} = í-1 'W ť-1 ' W l+í3! yw l+í3- Vyšetřete průběh křivky zadané parametrickými rovnicemi: 692. £(t) = —, y(í) = ŕlnŕ. 693. i{ť) = íe(, y(t) = ftT*. 694. as(r) = cos4 t, y(t) = sin4 ŕ. 695. «{*) = 2ť - í2, y(t) = 3ŕ - ŕ3. 98 III. INTEGRÁLNI POČET FUNKCI JEDNÉ PROMĚNNÉ 1. NEURČITÝ INTEGRÁL Následující kapitola obsahuje příklady na výpočet neurčitých integrálů. V úvodní části se budeme zabývat přímou integrací, při které používáme znalosti základních integračních vzorců a různých algebraických úprav. V další části kapitoly uvedeme úlohy na substituční metodu a metodu per partes. Dále budou následovat úlohy na integraci racionálně lomených funkcí. Konečně ukážeme, že na výpočet integrálu z racionálně lomené funkce lze převést celou řadu speciálních typů integrálů. ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 696, Pomocí přímé integrace řešte integrál Řešení: K výpočtu tohoto integrálu je zapotřebí znalosti hned několika základních integračních vzorců. Především je nutno vědět, že platí J {f (x) ± g(x))dx = j f(x) dx ±Jg(x) dx. V našem případě je tedy nutné rozdělit výpočet zadaného integrálu na výpočet tří integrálů. Platí Hx3 -2x + -^)dx = í x3 dx- j~2x dx+ í - dx. K vyřešení těchto tří dílčích integrálů je zapotřebí znalosti následujících integračních vzorců xn dx —------- + c, pro n ^ -1, / x-1 dx = ln \x\ + c, /ax dx = :------h c, speciálně pak / ex dx = ex + c. lna J Odtud plyne 99 697. Pomocí přímé integrace řešte integrál / (lOsinx — 5cosx)dx. Řešení: K výpočtu tohoto integrálu je zapotřebí znalosti následujících vzorců. / c ■ f (x) dx = c f (x) dx, / sinx dx = - cosx + c, / cosx dx = sinx + c. Z uvedených integračních vzorcu ihned plyne / (lOsinx - 5cosx)dx = / lOsinx dx - Scosx dx = = 10 / sinx dx - 5 / cosx dx == -lOcosx - 5 sinx + c. 698. Pomocí přímé integrace řešte integrál / í—r~ + —r~ + 7)dx- J V cos2x snrx / Řešení: K výpočtu tohoto integrálu je zapotřebí znalosti následujících integračních vzorců. /dx = x + c, / —— = tg x + c, / —g—dx = -cotg x + c, J cos2 x j srn2 x Z uvedených vzorcu ihned plyne / L»P2 +~2~+7)dx^ / —Ť~dx+ —^—dx-f /7dx = tgx-cotgx+7x+c. J Vcos^x mrx f J cos2 x J gin2 x J & 699. Pomocí přímé integrace řešte integrál Řešení: K výpočtu tohoto integrálu je zapotřebí znalosti integračních vzorců f dx / , ■■— — arcsinx + c\ = - arccosx + C2, / dx / 1 + x2 = arctS x + ci = -arccotg x + c2. 100 Odtud ihned plyne / (vf^g*+ TT^)^ = arcsinx + arctg x + c- 700. Pomocí přímé integrace řešte integrál 2x — sin x I cos 2 + X2 dx. Řešení: K výpočtu tohoto integrálu je zapotřebí znalosti integračního vzorce / /(*) dx = m|/(z)| + c. Protože (cosx +x )' = - sins -f 2x plyne odtud, že / 2x — sin x cos x + x2 dx = In | cos x + x21 + c. 701. Substituční metodou řešte integrál J vT^ dx. fteži em: / 3* vT^ô* dx = ( = 3^ dí = In3-3* -dx InZj dt VT^ŕ dt = 1 ■ * 3 -—- arcsin t = -— arcsin 3 + c. ln 3 ln 3 702. Substituční metodou řešte integrál sin x h + 3 cos x dx. R .esem: /i sin x + 3 cos x dx = ŕ = 1 + 3 cos x dí = — 3 sin x dx -/!(-!)- 1 fát 1 , 1 = -3 y y = ~3 •ln|í| = --ln|l + 3cosa;| + 703. Substituční metodou řešte integrál íxV5x2 + 3dx. c. 101 Řešení: / xV5x2 + 3dx = ř = 5x2 + 3 ^ x3 = ^x dť = 10a; ■ dx => dx -*. \= S* ŕ-3dť 5 IÖ i lva, - a) at -1 • 2v^ - 4 • |vg-(5*2+3)(5lľ -2)^^^+c. 50 J v 50 5 50 3 125 704. Substituční metodou řešte integrál / e^arctg ea l+e; 2x dx. Řešení: H i/arctg e2 + é 2a: dx = ř = e* dr = e1 • dx -M v'arctg ř dt = i y/ü d« = -u? = -\/arctg3eI + u = arctg ť | dii = jlp ■ d Daný integrál bylo možno vyřešit i kratší cestou pomocí jediné substituce. ÍH exy/&rctg e3 + e 2x dx — t — arctg e1 dí = _____e* 1 + e' dx •J* dt = - \/arctg3ea! + c. tJ 705. Substituční metodou řešte integrál / i/l — x2 dx. Řešení: /' 1 — x2 dx = x = sin í dx = cos ř dt -/* 1 — sin21 ■ cos t dt — I cos2 i dí /' f l+cos2ť , ir n . , 1, 1 . n . 1. . . = / -------------dí = - / (1 + cos2ť) dr = -(í + -sin2r) = -(ť + sin í cos ť) = -(ŕ -h siní v 1 — sin2 ŕ) = -(arcsinx + x\f 1 — x2) + c-706. Metodou per partes řešte integrál / x3e* dx. 102 Řešení: / x3ex dx 3 f i _ o„2 f = x* /' = 3x ' — n% 9 =e g = ex = iV ■!■ 3 / xV dx f = x2 f' = 2x g' = ex g = ex a+eíí = xV-3xV+6/xei:dx = / = x /' = 1 g> = eE ff = e* = xV-SxV+oxe^-G / ex dx /• = xV - 3xV + 6xe* - 6ea + c. 707. Metodou per partes řešte integrál / x- 1 , arctg------- dx. x + 1 Řešení: /x — 1 arctg——- dx = x+ 1 ,x — 1 f t _ _ 5' = 1 g = x x - 1 f x = x ■ arctg------- - / -=—- dx = Ďx + 1 Jx2 + 1 x -1 1 /" 2x x-1 1 . a n • arctg------- - - / -5—-r dx = x ■ arctg—— - - ln(x + 1) +. x-f 1 2 J x2 + 1 x+1 2 708. Metodou per partes řešte integrál / xln x dx. Řešení: / x In x dx = / = ln2x f 1 _ 1 / = lnx f' = g' = x 5 = T 5' =X -2 21nx x x2 3=T a: — In2 x 2 / x In x dx = X t X /* x = — In2x- — lnx+ / -2 2 J2 dx x x In x - — In x + — + c 709. Metodou per partes řešte integrál /cosdnxjdx. Řešení: /«(inx)d«. /=* /, = :sinfl)- j 0=1 0 = ^ = x cos (In x) + / sin(lnx) dx 103 / = sin(lnx) /' = cos(mx)^ g' — l g = % a; cos (Inx) + xsin(lnx) — / cos(lnx) dx. Nyní došlo k zajímavé situaci. Po druhé aplikaci pravidla per partes jsme získali stejný integrál jako na začátku výpočtu. Dále budeme postupovat tak, že sestavíme rovnici, jejíž levá strana je rovna danému integrálu a pravá strana posledně získanému výrazu. Neznámou v rovnici je hledaný integrál. Platí tedy / cos(lnx) dx = xcos(lnx) + xsin(lnx) - / cos(lnx) dx. Odtud plyne / cos (In x) dx = - (xcos(ktx) -f xsin(lnx)) + c. 710. Metodou per partes řešte integrál xexsinx dx. /' Řešení: / xex sin x dx = / = x /' = 1 g' — ex sinx g — j ex sinx dx Integrál g — j ex sinx dx spočteme metodou per partes jako v předchozím příkladu. / ex sin x dx = f = sinx f = cosx g' = ex g=ex 1 / = cosx }' = — sinxl ~ . = , _ ~ = e sin x -\ 9 = e1 g = ex Odtud plyne = exsinx — / ex cos x dx / e1 siní dx = —(sinx — cosx). Tedy /ex f ex xex sin x dx — — (sin x - cos x)x — i — (sin x - cos x) dx — ex 1 f l ľ — —(sinx — cosx)x — — / exsinx dx + - / e^cosx dx. Integrál f ex sinx dx již známe a integrál J ex cosx dx určíme analogicky. Platí ■ f ex / ex cosx dx = — (sinx + cos x). 104 Celkem dostáváme / xe^sinx da; = —-(sinx - cosx)x + —■ cosx + c. * 2 711. Kombinací substituční metody a metody per partes řešte integrál ln(lnx) / dx. x lnť dí = / = lní /' = } s' = i g = t Řešení: pn(lnx) J_ | ŕ = lnx I f J x ÜX-\dt=±dx\~J = t\at- J - dŕ = ŕlní-ŕ = lnx-ln(lnx) - lnx + c. 712. Kombinací substituční metody a metody per partes řešte integrál / arctg \/x dx. Řešení: /arct6víd,= x = t2 dx = 2tdt / = arctg t f-^- 9 = ? ±2 = / arctg í ■ 2í dí = 2 / ŕ • arctg rdí = 2'(^rctgťV2FTT)dť)^ = ŕ2arctg ŕ - J -L- dí = ŕ2arctg t~ J {l~ ~^j dí = = ŕ2arctg í - í + arctg í = xarctg v/x + arctg y/x-sfž + c. 713. Řešte integrál z racionální ryze lomené funkce ľ 2x + 7 y x2 + x - -da:. Řešení: Předně nalezneme reálné kořeny jmenovatele. Pro rozklad jmenovatele platí x +X-2 ~ (z - l)(x+2). Dále provedeme rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky. Z teorie vyplývá počet a tvar těchto zlomků. Sestavíme rovnici 2x + 7 A B + x2 + x-2 x-1 x + 2 105 a určíme koeficienty A, B. Koeficienty lze určit dvěma způsoby. V obou případech však rovnici vynásobíme členem (x — l)(x + 2). Pak dostáváme 2x + 7 = A{x + 2) + £(* - 1). První možnost jak určit koeficienty A, B spočívá v tom, že pravou stranu roznásobíme a provedeme porovnání koeficientů u stejných mocnin x na levé a na pravé straně. Získáme tím systém lineárních rovnic s neznámými A, B, který je nutno vyřešit. Tento postup se nazývá metoda neurčitých koeficientů. Platí A + B = 2 2A-B = 7. Řešením systému získáme A — 3, B — — 1. Druhý postup spočívá v tom, že v rovnici 2x + 7 = A(x + 2) + B{x — 1) provedeme vhodné dosazení za x. Vhodné dosazení je přitom takové dosazení, které vynuluje některé členy a umožní stanovit hodnotu nějakého koeficientu. V našem případě je například vhodné dosadit x = —2 a x = 1. Získáme opět A = 3, B — — 1. Odtud dále plyne J x2+x-2 J \x-l X + 2J J x-1 J = 31n]x- l[-ln|x + 2| = ln---------f- \+c. x -+- 2 714. Řešte integrál z racionální ryze lomené funkce dx x + 2 / x-1 . :dx. x2 + 2x + 5 Řešení: Provedeme rozklad jmenovatele nad R. Protože jmenovatel x2 + 2x + 5 nemá reálné kořeny je daná funkce parciálním zlomkem. Provedeme následující algebraickou úpravu ľ *-l , 1 í 2x + 2 , ň f I ___________dx — - i ______ dx — 2 / J x2 + 2x + 5 2 j x2 + 2x + 5 J dx x2 + 2x + 5' Úloha se rozpadla na výpočet dvou integrálů. Cílem úpravy bylo získat v čitateli prvního integrálu derivaci jmenovatele. Pro první integrál tedy platí / 2t> 4- 2 V případě druhého integrálu postupujeme následovně dí ľ dx ľ dx í = x + ll ľ J x2 + 2x + 5 ~ J (x + l)2 + 4 ~ dí = dx " J í2+4 106 t f dt u = { 1 f 2du 1 1 x +1 -4/ (íjíTi" d« = idŕ| = 4Í í^n = 2arctgu = a***—- Z předchozích výpočtů plyne / X - 1 , 1 , , 2 . „ . „, .-«+■! dx = -In |x^ + 2a; -f 5j - arctg—------h c. x2+2x + 5 2 ' ' -""' ""* 2 715. Reste integrál z racionální ryze lomené funkce x + 2 / x3 - 2x2 + 2x dx. Řešení: Provedeme rozklad jmenovatele nad R. Platí x3-2x2+2x = x{x2-2x+2). Druhý Člen na pravé straně nemá reálné kořeny. Funkci rozložíme na parciální zlomky. Platí x + 2 _ A Bx + C x(x2 - 2x + 2) _ x x2 - 2x + 2' Nyní spočítáme koeficienty A, B, C. Sestavíme rovnici x + 2 = A(z2 - 2x + 2) + x(Bx + C) = {A + B)x2 - {2A - C)x + 2A, ze které získame soustavu tří rovnic o třech neznámych A + B = 0, -2A + C = 1, 2A = 2. Jejím vyřešením získame hledané koeficienty A = \,B = —1,0 = 3. Výsledkem tohoto výpočtu je úprava ľ x + 2 fáz ľ x-3 J x3 -2x2 + 2x X ~ J ~x~~ J x2 - 2x + 2 %' Úloha se rozpadla na výpočet dvou integrálů. Zřejmě j ^ = ln|x|. Zbývá určit druhý integrál. Platí J x^-2x + 2ÚX~2j x2-2x + 2dX~2J dx x2 - 2x + 2 = - In \x2 - 2x + 2] + 2arctg (x - 1). Z předchozích výpočtů plyne / x2X+~2xl+ŕX = ln |jľ| " \ ln ^ " 2X + 2| + 2arCtg (x - !) + c- 107 n - 716. Reste integral z racionální neryze lomené funkce / x2 x2 - 4x + 3 dx. Řešení: Protože stupeň čitatele je roven stupni jmenovatele, provedeme dělení čitatele jmenovatelem. Tak dostáváme, že / x2 -í + ZdX = I(1 + x2 - 4x + ^)dX = IláX + Ix2 -4, + 3 d" U posledního integrálu nalezneme kořeny jmenovatele a dále provedeme rozklad na parciální zlomky. Platí 4c-3 4x-3 A B x2-4x + 3 (x-l)(x-3) x-1 x-Z' Odtud plyne 4x-3 = A{x~Z) + B(z- 1). Nyní se snadno zjistí, ze A = —\,B=\. Tím je integrál převeden na tvar /", , 1 f dx 9 f dx 1, ,. k 9. . ol 717. Reste integrál 2 racionální neryze lomené funkce 2x3 + 5x2 + 8 / 2x2 + 7x - 15 dx. Řešení: Protože stupeň čitatele je větší než stupeň jmenovatele provedeme dělení čitatele jmenovatelem. Tak dostáváme f 2xó + har + 8 . /" / , 22x - 7 \ , J 2xi + 7x-15dX = j \X-1+2x2 + 7x-J&X f / f 22x^7 = /xdx-/ldx+/ —------—---------r dx. J J j (2x-3)(x + 5) Dále provedeme rozklad na parciální zlomky. Platí 22x - 7 A B + (2x - 3)(x + 5) 2x - 3 x + 5' Odtud plyne 22x - 7 = A{x + 5) + S(2x - 3). 108 Nyní se snadno zjistí, že A = 4, B = 9. Tím je integrál převeden na tvar /xdx-|lda;-4|^+9|-^ = ^-, + 2In[2x_3| + 91n|, + 5| + C. 718. Reste integrál / dx fá+^x' Řešení: Nejprve vhodnou substitucí převedeme integrál z iracionální funkce integrál z racionální lomené funkce. Platí na ľ dx J S/^+v^" - *3 x = ŕ6 =* jß = ŕ2, v^ = f áx = 6ŕ5dŕ y í2+í3 y ť + i í2+t3 Dále provedeme dělení čitatele jmenovatelem. Pak dostáváme, že 1 '/('- 1 + 1-rŤrJdí=6li-¥+í-lnii+lii = = 2 " 3 +6*S-6!nlv^+l|+=- 719. Řešte integrál / cotg X sin x + cos x — 1 dx. Řešení: Zavedeme tzv. univerzální substituci, pomocí níž převedeme daný integrál na integrál z racionální lomené funkce, Platí / cotg X sin x + cos x — 1 ■dx = ť = tgf =*■ % = 2arctg t jt_ 2dr •„ „ 2ť i — t2 f____=3Lľ____._**- f ^+^1 -dí / i-ta i /-í + i i rat i /"dí ii In 1*1 1 1, + -ln 2tg* x i tg-| + c. 109 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Reste přímou integrací následující integrály: #i-2j& + *>-»^ 72r r^ + i + x-< áx |^-v«^+*'-»d,. 721. y f'^-^d,. 723. / ^_ 722_ «(^-^ys) 723^ fvr+?4vri? 724. f =^ dx. I 3-ftyr» ^ / ^J da,. 725. /* 7 ^ 7 i. / ---------— dx. 727. / - J 1 + cos 2x Ji COS2 £ e2x 726. /---------— dx. 727. /-----—^ dx, J l+cos2x J l-3e21 728. f *■* a,. 729. [V-3'?dx. J 1 + 3COSX 7 ô1 730. / —-------ö— dx. 731. / ---------- dx. J cos2 x sin x 7 i/l — x2 arcsinx Substituční metodou řešte následující integrály: 732. í{Zx-l\fdx. 733. í 2x{x2 + 2f 734. / 7^7^ dx. 735. / -------— do: dx. 736, x)25 ~~' J (2xT3)4 f dx mM f dx /str 7S7' i X + X2 738 Í *d~n 2- 739' 2 , tT J 4 - 9x2 7 x2 + 5x + 740. / —„-----------— dx. 741. /--------------- J x5 -4x + 12 7 (x+l)(x 742- /2^+L+2ofa- 743 /iŕi /řwk 745 / 2) dx. 744. —^ dx. 745. X , dx. 6 + 5x4 746. / ——g dx. 747. / f1 X ,,, dx. i lli6 J (1 + x3)3 748. / i/7-3x dx. 749. / v^x + 5 dx. 750. f x$x + 2dx. 751. j x\/l ~ x2 dx. 752. / * dx. 753. f . 1 „ dx. J ^{2x + 3)5 7 V9 - 4x2 110 Substituční metodou řešte následující integrály: f x J V4 - 5x2 I l 754 756 758. 760. 762. 764. 766. 768. 770. 772. 774. 776. 778. 780. 782. 784. 786. 788. 790. 792. da:. V8 - 6x - 9a;2 r2 dx. V: 4 dx. I J 3" + l /cos(ln x) / sin (8a; - 3) /" cotg v/ä; Jm / / dx. V^ cos2x 2 + 3sin2x sin x A+ dx. dx. cosx / x sin(x2 + 4) dx. I-I sin xcosxdx cosx 'srn x /sin I sin2x / /- J cos a: /• x2 J sinx /ä + 3 cos2 x dx. dx. dx. dx. + x2)arctg x dx. M arccos x dx. x' 755. 757. 759. 761. 763. 765. 767. 769. 771. 773. 775. 777. 779. 781. 783. 785. 787. 789. 791. 793. 1 + x \/l-x2 1 Vx2 + 4x + 5 \/8 - x6 / / / / / / / / / / / / / / f J I + cos x / sin2 x dx. J srní / / / dx. dx. dx. eV2 - 3^ dx. x ln(x2 + 2) dx. lna;-2 —.—— dx. xvlnx cotg (2x + 1) dx. excotg exdx. tg x —5— dx. cos x cosx ----2— dx. sin x dx. cos3 (x3 + 1 xtg(l - x2) dx. sinx /— dx. v cos5 X dx cos2 x-^tg X - 1 1 dx. tg x ■ ln2sinx x - arctg x 1+x2 arccos a; - x vT dx. dx. m Řešte metodou per partes: / xsinx dx. 795. / xlnx dx. fxkťxdx. 797. /xln(x2 + 3) 798. / xarctg x dx. 799. / x(arccotg x)2 dx. 800. / x2sin2x dx. 801. / x2arctg x dx. 802. /V + te+Slcotód*. 803. /„*>,*. 804. í ln{x + y/x2 + 1) dx. 805. / arcsin d~^~r dx- 806. /e^dx. 807. / earcsin;c dx. íe^dx. 807. /"■ íln3x , onn /"lnx /^ds. 811. / vT r 2 812. / sinx ■ ln(tg x) dx. 813. / xtg2x dx. /"arctge* to_. /* earctS x 814. / -----^— dx. 815. / Určete integrály z racionálně lomené funkce: /" dx f llx-12 816. / „ B . .------—< 817. / ^-------—— dx. 2x2 + 5x- 12' J 3x2- llx + 6 f 5x3 - 15x2 + 15x - 3 , n ľ J x3 , 8X2 + 17x _ 10 á*. 819. j , 5x3 - 15x2 + 15x - 3 , n ľ 5x3 + 9x2 - 22x - 8 , 818. / —s—=-s----—-----TTT dx. 819. / ---------;------------- dx. 4x f 9x4 + 3x-* - 23xJ + x . /" 9X-14 82°- J 9x3-6x^5x + 2 d" 821- / 9x^24xTTě dX" /dx r x4 (x-l)x^ J x^ + 3 824. / —=------------ dx. 825. / ——=----— dx. J x2+x + 2 J x(x2 + l) 826. / —------dx. 827. / —------ dx. y x3 +1 j x4 +1 /3x + 2 ľ x T-a---------7TÖ dx. 829. / —=—------— dx. (x2 + x + l)2 j (x2 + 3x + 3)2 112 Řešte následující iracionální, trigonometrické a transcendentní integrály: 830 832 834 836 838. 846 848 850 852 854. j 1+15' 831- íwTi I —,------j dx. 835. / J ivi - 4 7 ľ dx ľ J V3-2x~5x2' 837' j ~jx 856. 858. 860. 862. 864. dx. — dx. x da; \ZZx'z - 5x + 8 3x- 3 2x + 2 dx. / V^ + 4x + x2 dx. 839. ľ ^3 - 2x - x2 dx. 840. / xV2x - 8 dx. 841. f {/3x - x3 dx. /dx r z----------- 843. / ----- 1 - sin x J 4 — dx 842. 5 sin a: 844. f , áX . 845. (IZ*1. J sin x - cos x J \ dx. + tg x dx. :osx dx /t-jV. 847. /*!£_ J 4-Staff's y 2 + cosx /sin x ŕ" (i+cosx)3dj:- 849- y ľ cosx i r « / -7-7- dx. 851. / tg*x J sin x J / j« 853 /e^- y COtg8X ' j e2x _j_ COSX dx -2 „ dx. 4 /Vrr?d"- 855 /vs= Reste následující integrály: 2x + 4e-a; _ ! dx_ J xz(l + lnx) dx. 859. / x2 In x/T^ d: /tÄp^ 861" /2e*vTT^dx arcsm x -^— dx. /I + sin x _ n /• t-i--------ex dx. 863. / 1 + cos x j f ln(x + Vx2 - 1) r j ~4---------- áx- 865. / x(x2 + ljarctg x dx. 113 2. RIEMANNUV URCITY INTEGRAL Následující kapitola obsahuje příklady na výpočet Riemannova určitého integrálu a jeho aplikací. Nejdůležitějším a nejčastěji využívaným vzorcem při výpočtech je tzv. Newton-Leibnizova formule, která převádí výpočet Riemannova určitého integrálu na výpočet primitivní funkce a její funkční hodnoty v krajních bodech intervalu. Uveďme nyní tvar této důležité formule. Nechť F(x) je primitivní funkce k funkci f(x). Pak platí ■b [ f(x)dx=[F(x)\ba = F(b)-F(a). Ja ČÁST A: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY 866. Pomocí Newton-Leibnizovy formule řešte integrál 5x + 2) áx. Ly- riešení: Nejprve nalezneme primitivní funkci k funkci f(x) — x2 — 5x + 2. Nalezenou primitivní funkci zapíšeme do tzv. Newton-Leibnizovy závorky a závorku spočteme. .'2 ,3 r„2 y_^-5x + 2)d*=[T-_+2*j i = (--_+4)-(1----2) = -. 867. Pomocí Newton-Leibnizovy formule řešte integrál dx. Ĺw Řešení: Zadaný interval (—1,1) rozdělíme na dva intervaly a využijeme věty, že í f (x) dx = f f (x) dx + í f (x) dx, Ja Ja Jb pro a < b < c. Pak nalezneme primitivní funkci k funkci f (x) = \x\ na obou intervalech a postupujeme podobně jako v předchozím příkladu. /i /-O /-l ^o /-I \x\ dx — / |x| dx + / \x\ dx = / (—x) dx + / x dx = -1 J-l JO J-l JO 114 868. Pomocí Newton-Lei bnizovy formule řešte integrál ľ3 dx Ji x2 + x' Řešení: Provedeme rozklad na parciální zlomky. Platí y, x2+x=/j x(x+i) =y, U~^tiJ dx' Koeficienty v posledním integrálu jsme získali obvyklým výpočtem z rovnice 1 A B = - + x(x+l) x x + ť l = A(x + l) + Bx, odkud již plyne A — 1>B = —1. Nyní poslední integrál rozdělíme. Platí /3 dx ľ3 dx "í "/ x~+l = l^i-M2-*-1)]? - (»n3-lnl)-(ln4-ln2) = te| «0, 869. Substituční metodou řešte Riemannův integrál 405. L 1 e2x o e* + l dx. Řešení: Při zavádění substituce postupujeme analogicky jako u výpočtu primitivní funkce. V případě Riemannova určitého integrálu je však ještě zapotřebí přepočítat meze integrálu. Změna mezí se provede dosazením do substituční rovnice. ľ1 e2x Jo e* + l dx í = ez dí = ex • dx Ó-> 1 l->e r j_ * r -j— d = 1 (1_rn") dŕ = [ŕ-ln|ŕ+H]| = (e-ln(e+l)> - (l-ln2)^l, 098. 870. Substituční metodou řešte Riemannův integrál /. dx 4 (ar+ljv'x2 -2 Řešení: C dx 4 {x + l)Vx2 -2 í x + l dx = -^dí ■4 3->- 115 -4-+ —i * 3 _I 2 "7"*T77 j-* i n i É5 dí = řy 1 1-40 = arcsm ■ i /" —ídť TV ľ1 TT , 7T 570. 2 874. Určete velikost obsahu části roviny íl omezené křivkami y= — ay=X+2. Řešeni: Postup je následující. Jsou-li f(x) a g(x) funkce definované na intervalu {a, b) takové, že f{x) < g(x), pak velikost obsahu plochy P(ft) omezené křivkami f(x) a g(x) je rovna Riemannovu integrálu ^(íí) = í (-<^> 117 875. Vypočtěte objem tělesa Q vytvořeného rotací grafu funkce y = sin x kolem osy x na intervalu (0, -k). Řešení: Objem tělesa V(Q) vzniklého rotací grafu funkce f(x) na intervalu (a.b) kolem osy x je roven Riemannovu integrálu V[Ú) ŕ W /2( Ja x) dx. V našem případe jsou meze integrálu rovny a = 0 a ž> = tt. Z uvedeného vzorce plyne V(n) = jr/ sin2xdx = -/ ( l-cos2x)da; = - x----sin 2x 2 * TT2 = —k 4,934. 2 0 z 12 876. Určete délku oblouku křivky y = lna: na intervalu | < x < ReŠení: Délku křivky fž, která je grafem funkce /(x) definované na intervalu {a, b) lze určit pomocí Riemannovu integrálu i(ü) * / y/i + (f'{x))3 da;- Jo Protože /(x) = lnx, platí f'{x) = i a /'2(x) = jjr- Odtud plyne 4 4 * i(fí) = * Vx^TT dx ŕ2 = x2 + 1 .2 -+2 ť4-! dx ťdí t2 f* í2 - 1 J t 4 ŕ2 1 + 1 tili --- XUX —ľ --- ""r, , x f — 1 3 __. 5 4^4 12 . 13 5 5 ť2-l 2-l ff 1 A* \ i At - 1 f* át , -i— / ---------- d i r* dí dí ť+Im(ť_l)-Iln(ŕ + l) 12 í + -In 1, t-l 2 ŕ + 1 =f+H-(í+HH+in2s32'043- 118 v t CAST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Spočtěte následující Riemannovy určité integrály: 877. 879. 881. x — 3 dx. ŕ____x_ Jo W+i J4 *Jx + 5 - y/x— 4 )2 dx dx. [X 883. filÜifc Ji X 885. / sin3xdx. Jo X 887. / -5—ľ dx. '3 x2-4 -/3 Jo 889. / Vl+xdx. 'o 891. [ ^_ dx. 895. /4 V^ A 3E + 1 r 893. / -£=- dx. x + 1 dx x\Jx2 + 5x + 1 /x2 + 9 dx. 899. /'* ^ . 3 + 2sinx xe~x dx. / x^sfx* Jo s: r 903. je2xsmxdx. Jo 905. / arctg x dx. Jo 9or. ^-^-. Jo v 4 — x2 909. r fe y0 i + \/2x +1 •1 r5 / -=— dx. + 2 880. J-1X + i: X dx. x2 + 3x + 2 l)3e21 dx 884. Jo r Vi Ji x\/r dx. 886. / v sin x — sin3 x dx Jo 888. 890. 892. Jo x2 + i: 4x + 5 dx V3 + 2x - x2 dx. r x-i J2 \/4x- fV^________ / >/4-x Jo dx. - x2 dx. 896. / t** .. (x2 + l)2 —------i dar. e* +3 900. /f----------íí*_______dx. Jo 6-5 cos x + cos2 x 902. í Jo xV* dx. i / arccosx dx. •i 906. 908. / ln(x + 1) dx. Jo ľ Jo v4 - x2 rx/Š 910. / _ dx v'fl+x2)3 119 Spočtěte následující Riemannovy určité integrály !' / ./o 911. y_3 (u+fa)»- 913. f (e1 - 1)V dx. ./o 915. / sin x dx. Jo 917 f< 7 / cos 2x dx. Jo ŕ 919. I y/{l - X2)3 dx. Jo 921. ŕ x" & /o x2-3x + 2 dx f16 dx 912 y/x + 9 - x/x 914. / x ■ log2 x dx. í Jo t: 916. / v dx. ve1 4- e-1 dx 918. x5\/x2 — 1 5 »20. / <^H3!dx. '5 X4 2 922. / V2x + x2dx. 923. / arcfcgy y/x - 1 dx. 924. / x2\/l - x2 dx. 925. / x5\Jx2 + 1 dx. 926. / arcsin«/—— dx. Jo jQ y x+i ľ2* dx ľ* 927. / -^-7----------—. 928. / (x-sinx)2dx. Jo sin x + cos4 x Jo 929. / e* cos2 a; dar. 930. / x15 • \/l + 3x8 dx. Jo Jo fln5 e^e1 - 1 f1 931. / —----------dx. 932. / (arcsin x)4 dx. Jo ex + 3 y0 2 933. Určete střední hodnotu funkce f(x) — — na intervalu (4,13). x 934. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného dvěma parabolami určenými rovnicemi y = x2 — 4x + 2aj/ = —x2 + 6x — 6. 935. Určete obsah obrazce ohraničeného parabolou y = -x2 -\- 4x ~ 3 a jejími tečnami v bodech T2 = [0, -3],r2 = [3,0]. 936. Určete obsah obrazce ohraničeného křivkami y = -x,y = x4-2,x = 0,x = 3 a objem tělesa vzniklého rotací obrazce kolem osy x. 937. Spočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y(l + x2) = l,2y = x2. 938. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného uzavřenou křivkou y2 = x2 — x4. 939. Určete obsah obrazce ohraničeného kružnicí x2 +y2 = 8 a parabolou 2y — x2, 940. Spočtěte obsah smyčky křivky x(ř) = i2 - 1, y(t) = t3 - ŕ. 941. Určete obsah rovinného obrazce omezeného smyčkou křivky y2 = x3 + x2. 942. Určete obsah obrazce ohraničeného asteroidou x(i) = a cos3 t,y(t) — a sin3 ť. 120 943. Spočtěte délku grafu funkce f(x) = -^— na intervalu (1, 2). 944. Spočtěte délku oblouku paraboly y = x2 pro 0 < x < 3. 945. Vypočtěte délku grafu funkce f{x) = 1 - lncosx na intervalu <0 -) 946. Stanovte délku oblouku křivky y2 = (x + l)3 ležící v levé polorovině vyťaté přímkou o rovnici x = 4. 947. Spočtěte objem tělesa vytvořeného rotací obrazce omezeného křivkami y - T a 3a; - Ay + 5 = 0 kolem osy x. 948. Spočtěte objem tělesa vzniklého rotací obrazce určeného parabolami y = x2 aj/2 = i kolem osy x. 949. Spočtěte objem tělesa vytvořeného rotací obrazce omezeného křivkami y = 2, y = -2, x2 - y2 = 4 kolem osy y. 950. Vypočtěte objem tělesa vytvořeného rotací obrazce omezeného čarami y = x3, x — 0 a y = S kolem osy y. 951. Pravidelný šestiúhelník o straně a se otáčí kolem své jedné strany. Najděte pomocí Guldinovy věty objem tělesa tak vzniklého. 952. Odvoďte vzorec pro výpočet povrchu a objemu kužele. 953. Spočtěte obsah rotační plochy, která vznikne rotací obrazce omezeného parabolou y2 = 2x a přímkou 2x = 3 okolo osy x. 954= Spočtěte obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky y = x3 kolem osy x na {—, -). 955. Spočtěte obsah rotační plochy vzniklé rotací krivky dané parametrickými rovnicemi x(t) = (cos í + \f, y(t) = sin t + \ sin 2ť pro t e (0, tt) kolem osy *. 956. Určete obsah pláště tělesa vzniklého rotací křivky y = e~x okolo osy x > 0. 957. Spočtěte obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací jednoho oblouku sinusoidy y = sin x okolo osy x pro 0 < x < -n. 958. Určete povrch tělesa vytvořeného rotací kardioidy p = 2a(l - cos^) okolo polární osy. 959. Určete těžiště T homogenní oblasti s jednotkovou plošnou hmotností, která je ohraničena parabolou y = 2x - x2 a osou x. 960. Určete těžiště T homogenní oblasti s jednotkovou plošnou hmotností, která je ohraničena křivkou x{ť) = t2 - i, y(t) = ř3 + t2 a osou x. 121 3. NEVLASTNÍ INTEGRAL Závěrečná kapitola je věnována úlohám s tematikou nevlastních integrálů. Nevlastní integrál je přirozeným zobecněním Riemannova určitého integrálu. Zobecnění se týká odstranění základního předpokladu, že integrujeme přes interval konečné délky, tzv. nevlastní integrál vlivem meze, nebo předpokladu ohraničenosti funkce, kterou integrujeme, tzv. nevlastní integrál vlivem funkce. Při výpočtu postupujeme tak, že funkci nejprve zintegrujeme a pak provedeme limitní přechod. V dalším typu úloh stačí pouze zjistit, zda daný integrál konverguje. To provádíme pomocí některého z konvergenčních kritérií. ČÁST A: RESENE PRÍKLADY 961. Spočtěte nevlastní integrál / —s dx. Řešení: Jedná se o nevlastní integrál vlivem meze. Nevlastní integrál rozepíšeme podle definice, určíme primitivní funkci, dosadíme do Newton-Leibnizovy závorky a provedeme limitní přechod. r00 1 ŕ 1 / —^ dx = lim / —r dx = Ji x? t-K»7i xl lim 1" X. J1 = lim t—>oo B-<->) lim 1-- = 1. í—voo t 962. Spočtěte nevlastní integrál s; arctg x áx. xÁ Řešení: Jedná se opět o nevlastní integrál vlivem meze. Postupujeme podobně jako v předchozím příkladu. i arctg x dx ŕ = lim / (-►oo J1 arctg x j / = arctg x f = ^j— -Mm —arctg x - / (—)-=—- dx = í->oo yi X Ja Ji X'X2 + 1 J = lim ( —arctg t + arctgl I + lim ( / —— / -=------ dx ) = í-foo y í J t-voo \j1 X Jx X2 + 1 J 122 = \ + Ä (M ~ \W + m) = £ + tlim (ln* - 1 (\n(r + 1) - ln2)) 4 2 t-K» Vř2 + 1 4 2 *->«> V f2 + 1 W L ln2 _L ľ 1 R W ln2 = — + —----h lim ln V1 =----1-------. 4 2 (-K» 4 2 963. Spočtěte nevlastní integrál J-i s/x2 ReŠení: Jedná se o nevlastní integrál vlivem funkce. Daná funkce není na intervalu (-1,1} ohraničená. Singularita se nachází v bodě x = 0. Proto integrál rozdělíme na dvě části. Platí ŕ dx ŕ dx ŕ dx , r É_. ^ / Iři = / V=f + / 17=5 = lim 3^-i + lim [3^] = /-i ví2 J-i ťs2 Jo s/x2 *->o- t_>o+l J£ = lim (3^-3^1)+ lim (3^-3^) = 3 +3 = 6. 964. Vypočtěte nevlastní integrál i:^ X dx. x Řešení: Jedná se o nevlastní integrál vlivem funkce. Singularita je v bodě x - 1. Podle definice platí J0 V 1-3 í-ti-Jn V 1 -x Nejprve nalezneme primitivní funkci. Vhodnou substitucí provedeme racionalizaci integrálu. m X dx u 2 _ 1+E - « -1 ^ * — ürfi At — ^u h'wrw^-j Au2 (u2 + 1)2 Nyní provedeme rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky. Platí du. 4u2 Au + B Cu + D + (u2 + 1)2 U2 + 1 („2 + JJ2 ' 123 Odtud plyne Au2 = (Au + B)(u2 + 1) + Cu + D, Au2 = Au3 4- Au 4- B«3 + B 4 Cu 4 D. Sestavíme systém rovnic a nalezneme neznámé koeficienty. Platí A = 0,B = 4,C = 0,D = -4. Rozkladem na parciální zlomky upravíme poslední integrál na tvar y v^+i i«3+i)2 j j u2 + i y (ti2+i)3 -4 y du . y (u2+i)2^ = 4 ■ arctg u Pro výpočet posledního integrálu použijeme následujícího obratu f du arctg U = J u^TÍ = f — .i f — -- ^ ■> ~ ^+T J — («s + i ff' = l (u2+l)2 " u2+1 y (u: 2lx2 + D; dw u „ / u2 +1 -1 j u r u2 + l 1 «2+i+ y (u2+i)2 du~u=+i+ y (u2+i)2 (u2+i)2 /■ du U J (u2 + l)2' ti2 + l 4 2 • arctg Odtud plyne f du 1 / u \ Tedy rvu re , 1 / u dx = 4 • arctg u - 4 ■ - [ arctg u 4 u2 + 1 Po dosazení ze substituční rovnice a úprave celkem dostáváme im , 1 + x , ,. /I + x dx = 2 ■ aretg^/------- + (x - l)i l-x l-x Odtud plyne i;m —dx — lim x t-n- /l +1 , ,s /l + x = Km í 2 ■ arctg J ^ + (í - W^ " (2arctgl + HO' 1) 124 = 2 lim arctg/í±^+ lim (t - 1)<[\±Í + 1 - 1 = 2 ■ * + O + 1 ~ * = 1±± fr-H- Vl-í l-H- Vl-ť 2 2 2 2' 965. Zjistěte, zda konverguje integrál / 00 e~x dx. i Řešená: Použijeme srovnávací kritérium. Nejprve dokážeme, že na intervalu O na intervalu (1, oo). Zřejmě /(l) = e - 2 > 0. Dále platí, že /'(ar) = e1 - 2 > O, neboť funkce e* je rostoucí. Tedy f(x) - e3 - 2x > O na (l,oo). Odtud dále plyne, že funkce s(x) = ex - x2 je rostoucí na {l,co). Tato skutečnost spolu s faktem £ř{l) = e-l>0 dává, že g{x) > O na (1, oo). To však znamená, že na intervalu (1, oo) platí ex - x2 > O, tj. x2 ooL t->oo e e 966. Zjistěte, zda konverguje integrál dx. f°° cosez Ji xVx2 + 1 Řešení: Použijeme srovnávací kritérium. Na intervalu (l,oo) platí x2 + l>x2 =* y/x2 + 1 > x =* xv/x2 + l>x2 =* - * ť — xVx^FT x2 Dále zřejmě platí |cosex| < 1. Na intervalu (1, oo) lze tedy provést následující odhad cos ex |cos ex\ 1 Xy/x2 + 1 xVx2 + 1 - X2" Protože integrál J™ 4f dx konverguje, konverguje podle srovnávacího kritéria také zadaný integrál. 125 ČÁST B: NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Vypočtěte následující nevlastní integrály: 967. jTSfd,. 968. £fa. ľ00 í 'í 2 \2 Z"00 dx 969. j£ (§+*) d,. 970. ^^ 971. x2 + x 4- 1 r°° dx Z" ^ dx / - ^ . 972. / r_*L_ 974. r A z3 + l /o x4 + l a-. dx 975 -oo wi2 + 2x + 2 f^dx. 976. / Z"00 dx Z"6 dx /___ax 978. / , A xx/äF^T A V(4-x) ľ00 dx o«n f * 979 / —- 980. / , 981 / -^ dx. 982. / xlnxdx. Ji xz Jo dx. 983 985 r°° 2 Z"50 xlnx , I — dx. 984. yo .^^dx f2 , dx 986. /% A xv/3x2-2x-l /| VI x2 arcsin x Rozhodněte, zda konvergují nevlastní integrály: 2 ex /-00 dx 987. / -p dx. 988. . i0 >/i Ja v/x(x- l)(x-2) 989 'o 991 993 995 Z"1 px - 2 f dx / ^^ dx. 990. / z—. A ^ Jo lna; osa \/x 7o 1 - z2 Jo /*z Insinx ŕ00 sin2x , / msinj dx. 994. / -------- dx. j0 x Jo x •i dx ___ r x^x ľ * . 996. r &*■ Jo Vsmx Ju J- -r i f°°x-sm2x aaa [* Insinx 997. / -Ts-----— dx. 998. / ----=— dx J0 x2 + 4 Jo \ft r-A- looo. r J j xlnlnx Jo dx ____ ľ00 esm* -sin2x 999. / r-uľí—■ / "X" -da:' IV. VÝSLEDKY NEŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ i. úvod do studia matematiky 1. Logika, množiny, důkazy 26. 0, 1. 27. Pravdivý. 29. Tautologie, kontradikce, tautologie, tautologie, tautologie. 30. A! = A\A, A A B = (A\B)\(A\B), A V B = (A\A)\(B\B), A => B = A\(A\B) = A\{B\B),A& B = (A\A)\(B\B)\(A\B). 31. A. 32. A. 33. Správný, nesprávný, správný, nesprávný. 34. Ředitel režisérovi nerozuměl a režisér řekl v obou případech totéž. 35. Nikdy. 37. 1. 38. B Q A. 39. ff§,|§|. 41. 3. 42. A n B,0. 43. 1. 44. AD B = A, A U B = {0,1, §,§,-..}, A- B = g2,an+1 = a„ + log2. 239. an - 1 + 2(-l)n+1. 240. a„ = S±i. 241. a„ = J. Od 32. členu. 244. f. 245. -|. 246. oo. 247. 0. 248. oo. 249. 2. 250. |. 251. i 252. 1. 253. 1. 254. 0. 255. 0. 256. 0. 257. -|. 258. 0. 259. 1. 260. y/ě. 261. J. 262. e"6. 263. e"5. 264. -J. 265. -1. 266. |. 267. Sp. 268. &±. 269. a2\/3. 270. 27T7-2, 4r2. 3. Limita funkce a spojitost 294. -12. 295. |. 296. -1. 297. -§. 298. |. 299. 2. 300. j. 301. 2. 302. -2. 303. 1. 304. y/2. 305. 6^2- 306. 3. 307. §, 308. |. 309. |. 310. 2. 311. -^. 312. 8. 313. ^. 314. 0. 315. 1. 316. J. 317. In 7. 318. e5. 319. y^g. 320. 81n2. 321. e2. 322. -j*. 323. 0. 324. 1,-1. 325. Neexistuje. Neexistuje. 326. oo,-oo. 327. oo,-oo. 328. oo,-oc. 329. 1,-1. 330. -2,2. 231. 0,1. 332. oo,0. 333. 0, |. 334. oo. 335. Neexistuje. 336. Neexistuje. 337. oc. 338. Neexistuje. 339. Neexistuje. 340. §. 341. Neexistuje. 342. Neexistuje. 343. Neexistuje. 344. /(-3) = -6. 345. /(-I) = 2. 346. /(O) = 0. 347. /{O) = 10. 348. /(I) = 71n7. 349. /(I) = -1. 348. /(I) = 0. 349. /(I) = -1. 350. /(I) = 0. 351. /(I) = -5. 352. /(O) = -2. 353. /(O) - |. 4. Derivace funkce 388. Ne. 391. 12x2(2x3 + 3). 392. 12x(x2 -Z){x4-6x2 + 7)2. 393. 2(3-4z-12x2). 394. ^#.395. ^.396. 1 + ^ + ^.397. ^y^,388- ^l. 399. *y*'-<°> 4M. _—1—-.401. "(x6+4x^4;2V^'8a)-402- „2 ---------*, 403, t-----. 2 , .. 404. -r,—~a* 405. 3x2sin2x3. 2)2' a±'Ä- (sin x-cos z)*' *l°' ^1+XS ' ~_^_ cos 2z ___ -tux 417 Sln3(tg a) 41g -e-tKVgg+1 41q 421. 25^. 422. ífřjf. 423. -''^'^lĚh"**'■ 424, ■~w (««+«-» }a" JI ť 1 x lni Ín(ln2:) . 416 T^i-----,. 420. x-\/l —ln2 a: 2 1+a;2 ->/! 1/ 128 425. í^-sin(2^-in^) . 426. . 2 „. 427. -O--. 428. , ~l 429. 103a: ■ 31nl0. 430. 23" • 3* ■ ln2 ■ 1n3. 431. 5^*55. 432. ť*W. 433. 2v*x cos-* r iv^i^(cosx - lnx + **a). 434. x^ . ÜH£+=2y1. 435. -C-Ons + 1). 436. (lnx):K(lnlnx+I^:).437. (arctg x)*(lnarctgx 4- g^i^ i). 438. e***»(lnx+A). 439. (-l)"-i135-2<,2"-3^^-". 440. 2"e2:c+3. 441. (n 4- x)ez, 442. (-l)n(n-2)!^, n > 2. 443, (-l)"n!((x - 2)"("+1> + (x - l)-<»+D). 444. g=j££. 445. (-l)"-1(n-l)!í;^r.446. 2"x cos(2x + ^ )+n2rt"1 sin(2x+^f). 447. ^gy^ 448. fe^-449. £g$3B. 450. ^.451. 32^(^+24^+00^4-120x 4-45). 452. |. 453. -e4a=(3116sin3x 4-237cos3x). 454. 4es(sinx - cosx). 455. y = 2x ± 1. 456. y = x- 3e~2. 457. [-2, -4]. 458. [1, §], [-3, §]. 459. X. 5. Diferenciál a Taylorův polynom 47l ^^'"»«(žt,472. ^j,. 473. 7*(2x4-x2ln7)dx.474. (1_:e)^1_j2 475. . £ .. 476. -Jís-j. 477. -^-. 478. '".^^'ds. 479. -0,15. 480 ůXy/Ax— 1 /l-fiJ COSI Slili COS Z 0,013. 481. 1,007. 482. 1,043. 483. 0,2. 484. 1,035906. 485. 0,835398. 486 eI(lnx4- 4 - 4 + 4 - £)/i4- 487. -4sin2x • h3. 488. (IOcosj - isini)/í10 489. -1024(xcos2x4- 5sin2x)ft10. 490. 1- f + f£ - É», 491. x - fj - 2 ' 12 720' ^"■'^ * 18 3240 492. x-^.493. -^-f^-fj.494. x+^ + ^.495. ^-^-^L.496 l + §(x-l)-l(x-l)24-£(x-l)3.497. I-|(x-2)4-§(x-2)2-i(x-2)34-±(x - 2)4. 498. (x - 1) + (x - l)2 4- |(x - l)3. 499. 1 + §(* - 1) - |(ar - 1 " 500, 999805 + 29998(x - 100) 4- 300(x - 100)2 + (x - 100)3. 501. 5 - 13(s + 1) 4 ll(x+l)2-2(x + l)3. 502. =i. 503. |. 504. ±§. 505. \. 6. Ľ H OSP ITALOVO PRAVIDLO 527. |. 528. 0. 529. ^. 530. Inf 531. |. 532. -2. 533. 2. 534. -2. 535. |. 536. -1. 537. 4. 538. 2. 539. 0. 540. i. 541. 0. 542. 00. 543. 0. 544. 0. 545. 1. 546. 1. 547. §. 548. 1. 549. 0. 550. \. 551. 0. 552. 1. 553. 0. 554. 1. 555. |. 556. }. 557. 0. 558. |. 559. |. 560. -\. 561. -\. 562. 0. 563. \. 564. \. 565. 1. 566. 1. 567. e~Í. 568. 0. 569. \. 570. e6. 571. ť*l. 572. e2. 573. 1. 574. \. 575. e3. 576. 1. 577. Ne. 1, 578. Ne. 0. 579. Ne. 1. 580. Ne Neexistuje. 581. -1. 582. -\. 583. 1. 7. Průběh funkce 600. Minimum v bode x = 2, maximum v bodě x = — |. 601. Neexistují. 602. Maximum v bodě x = 1. 603. Minimum v bodě x = |. 604. Minimum v bodě x = \/24. 605. Minimum v bodě x = e. 606. Minimum v bodech x = § 4- 2fc7r, maximum v bodech x = ^ 4-2fc7r. 607. Minimum v bodech x = ^f 4-Ŕtt, maximum v bodech x = | 4-fcTr. 608. Maximum v bodě x = 3. 609. Minimum v bodě x = 2, maximum v bodě x b -3. 610. Maximum v bodě ss — i. 611. Maximum v bodě x = 1. 612. Funkce klesá na intervalech (—oo,0), (^,00) a roste na intervalu 129 (O, y—)- 613, Funkce klesá na intervalech (-co,-1), (l,oo) a roste na intervalu (-1,1). 614. Funkce je neklesající na R. 615. Funkce klesá na intervalu (-oo, 0) a roste na intervalu (0, co). 616. Funkce klesá na intervalu (0, ^) a roste na intervalu (1 oo). 617, Funkce klesá na intervalu (-co, —|) a roste na intervalu (-|,oo). 618. Funkce klesá na intervalech (-oo,0), (0, |), (2,oo) a roste na intervalech (§, 1), (1,2). 619. Funkce klesá na intervalech (-y/3,-1), (-1,1), (1, \/3) & roste na intervalech (-oo, -\/3), (v^oo). 620. Absolutní minimum /(O) = /(l) = 0. Absolutní maximum neexistuje. 621. Absolutní minimum /(2) = 2-2 ln2. Absolutní maximum /(l) = 1. 622. Absolutní minimum /(e_1) rí 0,7. Absolutní maximum neexistuje. 623. Absolutní minimum /(-2) = -151. Absolutní maximum /(l) = 2. 624. Absolutní minimum /(2) = -15. Absolutní maximum /(-l) = 12. 625. Absolutní minimum /(0) = 4 - e. Absolutní maximum /(l - m2) = ln4. 626. Absolutní minimum /(l) = 0. Absolutní maximum /(O) = |. 627. Absolutní minimum f{-\) = -| 4- ln 15. Absolutní maximum /(3) = 3 + ln2. 628. Funkce je konvexní na (-oo, -1), (l,oo), konkávni na (-1,1) a má inflexní body X = -l,x = 1. 629. Funkce je konvexní na (1, co), konkávni na (-co, 0), (0,1) a má inflexní bod x = 1. 630. Funkce je konvexní na (0,1), konkávni na (-co, 0), (1, co) a má inflexní bod x = l. 631. Funkce je konvexní na (-co, -6), (0,6), konkávni na (-6,0), (6, co) a má inflexní body x = -6, x — Q, x = 6. 632. Funkce je konvexní na (7, co), konkávni na (-co, 7) a má inflexní bod x — 7. 633. Funkce je konvexní na (-co, |), konkávni na (|, oo) a má inflexní bod x = |. 634. Funkce má inflexní body x = -4=,x = -4?. 635. Funkce má inflexní body x = -9,x =0,ä? = 9. 636. Funkce má inflexní bod x = -2 + et. 637. Funkce má inflexní bod x = -4. 638. Asymptoty bez směrnice nemá, asymptoty se směrnicí jsou y = xvoo3.y = x + 27t v -co. 639. Asymptota bez směrnice x = 0, asymptota se směrnicí y — x v oo. 640. Asymptota bez směrnice x = — i, asymptota se směrnicí y = x + i v oo, 641. Asymptoty bez směrnice nemá, asymptoty se směrnicí jsou y — 5x + \ v oo ay = 5x-|v-co. 642. Asymptota bez směrnice x = 2, asymptoty se směrnicí jsou y = 3x v oo i -oo. 643. Asymptoty bez směrnice jsou x = -2, x = 2, asymptoty se směrnicí jsou y = x v oo i -oo. 644. Asymptota bez směrnice x = 0. asymptoty se směrnicí y — 2x v oo \ -co. 645. Asymptoty bez směrnice nemá, asymptoty se směrnicí y = 0 v oo i -co. 646. Asymptoty bez směrnice nemá, asymptoty se směrnicí jsou y = x + | v co i -oo. 647. Asymptoty bez směrnice x — —-jz,x = -75) asymptoty se směrnicí jsou y = \ v co i -oo. 648. Funkce je lichá, nulové body -y/Ž,0,\/3, minimum v bodě x = -1, maximum v bodě x = 1, klesající na (-co,-1), (1, co), rostoucí na (—1,1), vr-0 inflexní bod, konvexní na (-co, 0), konkávni na (0, oo). Asymptoty nemá. 649. Funkce má nulové body 0,1, maximum v bodě x — |, klesající na (—oo, |), rostoucí na (^, co), v x = l,x — — \ inflexní body, konvexní na (—co, —|), (l,oo), konkávni na (— j, 1). Asymptoty nemá. 650. Funkce je sudá, nemá nulové body, maximum v bodě x = 0, klesající na (0,1), (l,oo), rostoucí na (-co, -1), (-1,0), inflexní body nemá, konvexní na (—co, -1), (1, oo), konkávni na ( — 1,1). Asymptoty x = —1,2 = l,y = 0. 651. Funkce je lichá, nulový bod x — 0, maximum v bodě x — 1, minimum v bodě 130 x = 1, klesající na (-oo,-l),(l,oo), rostoucí na (-1,1), inftexní body x = -\/%,x = 0,x = y/Š, konvexní na (-\/3,0), (v^,oo), konkávni na (-00, -y/Ž), (0, VŠ). Asymptota y = 0. 652. Funkce je sudá, nezáporná, nulový bod x = 0, minimum v bodě x = 0, klesající na (-00,0), rostoucí na (0, 00), inflexní body x = =&, x = 0,x = &, konvexní na (-^, ^), konkávni na (-oo, -^), (^,00). Asymptota y = 1. 653. Funkce má definiční obor (-00,0) U (0,oo), je lichá, v nule nespojitá, nulové body nemá, minimum v bodě x = 1, maximum v bodě x = -1, klesající na (-1,0), (0,1), rostoucí na (-00, -1), (l,oo), inflexní body nemá, konvexní na (0,co), konkávni na (-00,0). Asymptoty x = 0,y = x. 654. Funkce má definiční obor {-00,0) U (0,oo), není ani sudá, ani lichá, v nule nespojitá, nulový bod x = 1, minimum v bodě x = -\¥%, klesající na (-00,-^2), (0,co), rostoucí na (-^,0), inflexní body nemá, konvexní na Df. Asymptoty x = 0,y = -x, 655. Punkce má definiční obor R - {-1,1}, je lichá, v bodech x = ~\,x = 1 nespojitá, nulový bod x = 0, rninimum v bodě x = y/2 + y/b, maximum v bodě x = -VUTS, klesající na intervalech (-\/2 +VŠ,-1), (-1,1), (l.v^+75), rostoucí na (-00, -y/2 + y/E), {y/2 + y/l,00), inflexní bod x = 0, konvexní na (-1,0), (l,co), konkávni na (-00,-1), (0,1). Asymptoty x m ~ltx = 1,$ = x. 656. Funkce má definiční obor R, není ani sudá, ani lichá, nulový bod x - I, extrémy nemá, klesající na R, inflexní bod x = 0, Asymptota y = -x. 657. Funkce má definiční obor R, není ani sudá, ani lichá, nulové body x = -l,x = 0, minimum v bodě x = 0, maximum v bodě x = -§, klesající na (-§,0), rostoucí na (-00, -|),(0,oo), inflexní bod x = -1, konvexní na (-00,-1), konkávni na (-1, 0), (0, 00). Asymptota y = x + §. 658. Funkce má definiční obor (0,00), není ani sudá, ani lichá, nulový bod x = 1, maximum v bodě x = e2, klesající na (e2,00), rostoucí na (0,e2), inflexní bod x = e§, konvexní na (et,00), konkávni na (0,ef). Asymptoty x = 0,y = 0. 659. Funkce má definiční obor (-1,1), je lichá, nulový bod x - 0, extrémy nemá, rostoucí na (-1,1), inflexní bod x = 0, konvexní na (0,1), konkávni na (-1,0). Asymptoty x = -l,x = 1. 660. Funkce má definiční obor R, je lichá, nulový bod x = 0, maximum v bodě x = 1, minimum v x = -1, v bodech x = -l,x = 1 neexistuje derivace, klesající na (-00,-1), (-l,oo)', rostoucí na (-1,1), inflexní bod x = 0, konvexní na (0,l),(l,oo), konkávni na (-00, -1), (-1,0). Asymptota y = 0. 661. Funkce má definiční obor R, není ani sudá, ani lichá, nulové body x = -l,x= *§, maximum v bodě x = -1, minimum v x = 0, klesající na (-1,0), rostoucí na (-00,-l),(0,oo), inflexní bod x - 0, konvexní na Ä. Asymptoty nemá. 662. Funkce má definiční obor R, je sudá a nezáporná, nulový bod x = 0, minimum v bodě x = 0, klesající na (-00,0), rostoucí na (0,oo), konvexní na fí. Asymptoty 1/ = -Íjhe - l,y = ±nx - 1. 663. Funkce má definiční obor (-00,1) U (2,00), není ani sudá, ani lichá, nulový bod x = 0, maximum v bode x = ^^, minimum v bodě x = li^S, klesající na (I=j(S£ l)f(2,*^E), rostoucí na (-00, t^E), (1±*5Z, 00), konvexní na (2, 00), konkávni na (-00,1). Asymptota y - se + j.. 664. M = [§, 0]. 665. 4 x 4 x 2 m. 666. (4l +6Í)Í. 667. 12 x 15. 668. 10,29 km, 57,77 km/h. 131 8. KŘIVKY A FUNKCE DANÉ PARAMETRICKY 677. y' = -l,ť # 1- 678. y> = gg. 679. y' = -tg ř,í ^ §. 680. y' - íiSS?1í 7^ f- 681. y' = 2tcoS2t,y" = 2ť(cos2r - 2íSin2í),y'" = 2í((l-4ť2)cos2í-6ťsin2ť),ř> 0.682. ý = $£?&, V» = (sin TiL t)» ■ »"' = ^(lintľc^o»0» í # X + fc7r- 683- ^ - 2y - 1 = 0, 2x + y - 2 = 0. 684. x + y -|(37r + 4) = 0,a; + j/- §f« = 0. 685. A = [^,e^r]. 686. A = [-4,1], 5= [4,1]. 687. a = 3,6 = 1. 688. y = 2x - 2e. 689. x + y + a = 0. 690. Funkce je definovaná a spojitá na (—oo, -1) U (0, oo). Graf je symetrický podle bodu A=[—^, |], Funkce je všude klesající, na (-oo, —1) je konkávni a na (0, co) konvexní. Asymptota y — \. 691. Pro í G (—1, -i) je funkce definovaná a spojitá na (—co, v^i). Nulový bod [0,0]. Funkce klesá na (-oo, 0) a roste na (0, \/í), minimum y = 0 pro x = 0. Funkce je konvexní. Asymptota x + y -j- 1 = 0. Pro ŕ G (^i00) je funkce definovaná a spojitá na (0, \íi). Funkce klesá na {\ŕ2, \ŕÄ) a roste na {0, \/2), maximum y = \f& pro x = \/2. Funkce je konkávni. Pro t G (—oo, —1) je funkce definovaná a spojitá na (0,oo). Funkce je klesající a konvexní. Asymptota x + y + 1 = 0. Křivka je symetrická podle přímky y = x. (Descartův list.) 692. Pro ť G (0,e) je funkce definovaná a spojitá na (—oo, -). Nulový bod [0,0]. Funkce klesá na (—oo, — e) a roste na (—e,-). Funkce je konvexní na (-\/2e^,i), konkávni na (-oo,-v^e^), inflexní bod [-v^e^-v^e"^]. Asymptota y — 0. Pro t G (e,oo) je funkce definovaná na (0, ^). Je spojitá a klesající. Na (0, \/2e-v/5) je konvexní, na (\/2e~^^) konkávni. Inflexní bod \y/2e~v*, x/Še^]. Asymptota x — 0. Krivka je symetrická podle přímky y = —x. 693. Pro í G (—oo, —1) je funkce definovaná a spojitá na (—-,0). Je spojitá a klesající. Konvexní na (-^,-V^e"^), konkávni na (-v/2e~v'2, 0), inflexní bod [-V^e-^, -y/2e^]. Asymptota x = 0. Pro t G (-l,co) je funkce definovaná a spojitá na {—^,oo). Na (—|,e) rostoucí, na (e, oo) klesající. Maximum y = -pro x — e. Na (j,\/2e ) je konkávni, na (\/2e ,oo) konvexní. Inflexní bod (\/2e , \f2e~v2]. Asymptota y = 0. Křivka je symetrická podle přímky y = — x. 694. Křivka je grafem jediné funkce definované na (0,1). Graf je symetrický podle y = x. Je spojitá a klesající a konvexní. Nulový bod [1,0]. 695. Pro t € (-oo, 1) je funkce definovaná a spojitá na (-co, 1). Nulové body A — [-3 - 2v/3,0], B = [0,0]. Je klesající na (-co, —3), rostoucí na {—3,1), minimum y — -2 pro x — —3. Je konvexní. Pro ŕ G (l,oo) je funkce definovaná a spojitá na (-oo, 1). Nulový bod C? = [-3 + 3\/3,0]. Je rostoucí a konvexní. V bodě [1,2] nemá teénu. III. Integrální počet funkcí jedné proměnné 1. Neurčitý integrál 72°- -llh + -k+X+*+C- 721' ^Ixl-^+c. 722. § W- ±