DIDAKTIKA MATEMATIKY 4.r. VVP – ARITMETIKA Růžena Blažková Téma: Poměr, úměra, přímá a nepřímá úměrnost. Trojčlenka. 1. Jak vnímají děti poměr velikostí - např. při kreslení postav, zvířat apod. – nejprve kreslí tzv. „hlavonožce“, teprve později vnímají proporce jednotlivých částí. 2. Mezipředmětové vztahy – kde se setkáme s poměrem – (např. fyzika, astronomie, chemie, zeměpis, biologie, hudební výchova aj.). Příklady užití poměru z běžného života – např. složení potravin, poměr různých měn, ředění laků, postřiků apod, také architektura, andropometrika aj. Kepler: Poměry vzdálenosti planet od Slunce odpovídají hudebním poměrům. Např. hudební poměry jsou: oktáva 2 : 1, kvinta 3 : 2, kvarta 4 : 3, poměr vzdáleností Venuše a Merkuru od Slunce je přibližně 2 : 1, Země a Venuše 3 : 2, atd. 3. Jak můžeme porovnávat čísla: a) pomocí rozdílu – a – b – „o kolik více“ b) pomocí podílu - a : b - „kolikrát více“ Např. V jedné skupině je 24 žáků, ve druhé skupině je 8 žáků. a) O kolik žáků je v první skupině více než ve druhé? 24 – 8 = 16 b) O kolik žáků je ve druhé skupině méně než v první? c) Kolikrát více žáků je v první skupině než ve druhé? 24 : 8 = 3 d) Kolikrát méně žáků je ve druhé skupině než v první? e) V jakém poměru jsou počty žáků v obou skupinách? 24 : 8 = 3 : 1 4. Základní pojmy: Podíl a : b, kde a>0, b>0, nazýváme poměr čísel a a b. Číslo a nazýváme první člen poměru, číslo b je jeho druhý člen. Poměr můžeme krátit a rozšiřovat (oba členy poměru dělit nebo násobit nenulovým číslem). Pokud jsou oba členy poměru vyjádřeny nesoudělnými přirozenými čísly, říkáme, že poměr je v základním tvaru. Převrácený poměr k poměru a : b je poměr b : a (poměry jsou navzájem převrácené). Užití: zmenšení – zvětšení čísla v daném poměru změna v daném poměru dělení v daném poměru poměr „zlatého řezu“ měřítko plánu a mapy Postupný poměr a : b : c ( nahrazuje poměry a : b, b : c) Např. Chromová ocel na výrobu příborů: Fe : Cr : Ni = 37 : 9 : 4 Bronz je slitina cínu, olova a mědi – v poměru 1 : 1 : 8 Úměra je zápis dvou sobě rovných poměrů. a : b = c : d Členy a, d se nazývají vnější členy, členy b, c se nazývají vnitřní členy úměry. Platí: součin vnějších členů úměry je roven součinu vnitřních členů úměry: a . d = b . c (Počátek nauky o úměrách byl položen v Babylóně, babylónské poznatky převzali a dále rozvedli Řekové. Pythagorejská matematická škola rozeznávala úměry aritmetické (vztahy tvaru a – b = c – d), úměry geometrické (a : b = c : d) a úměry harmonické ( a : = = ). Nauku o úměrách podává Euklides v páté knize „Základů“. Ve středověku tvořila nauka o úměrách jednu z nejdůležitějších kapitol matematiky. Symboliku a : b = = c : d zavedl v r. 1693 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)). Přímá úměrnost Přímou úměrnost začínají žáci vnímat v souvislosti s výukou násobení, např. Jeden jogurt stojí 8 Kč, kolik Kč zaplatíme za 2, 3, 4, 5, 6 jogurtů? +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Počet jogurtů | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |----------------------+-----------+------------+-----------+----------+----------+----------| |Cena v Kč | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Sledují, jak se mění čísla ve druhém řádku tabulky: a) kolikrát se zvětší číslo v prvním řádku, tolikrát se zvětší číslo ve druhém řádku tabulky (příprava na pochopení přímé úměrnosti) b) číslo ve druhém řádku dostaneme tak, že číslo v prvním řádku násobíme stále stejným číslem (příprava na pochopení vztahu y = k . x ). V 7. ročníku se přímá úměrnost zavádí jako závislost mezi hodnotami proměnných x a y , označíme-li v uvedeném příkladu počet jogurtů x a cenu y. Pak platí: kolikrát se zvětší (zmenší) hodnota x, tolikrát se zvětší (zmenší) hodnota y. Nepoužíváme vyjádření „čím – tím“. Je-li závislost mezi hodnotami proměnných x a y je vyjádřena poměrem, můžeme říci, že v jakém poměru se změní hodnota proměnné x, v takovém poměru se změní hodnota proměnné y. Pracuje se zde pouze s hodnotami proměnné x> 0 . Uvede se rovnice přímé úměrnosti y = k . x pro x> 0, k> 0 , uvede se význam konstanty přímé úměrnosti a znázornění přímé úměrnosti graficky v soustavě souřadnic. Je třeba uvést pojmy: soustava souřadnic počátek soustavy souřadnic souřadnice bodu (x-ová souřadnice, y-ová souřadnice). Grafem přímé úměrnosti je obecně přímka procházející počátkem soustavy souřadnic (pokud je definičním oborem množina reálných čísel). Avšak vzhledem k definičnímu oboru pracujeme v 7. ročníku pouze s podmnožinami přímky, tj. buď s polopřímkou nebo s úsečkou, pokud je však definičním oborem množina přirozených čísel, pak grafem závislosti je množina izolovaných bodů ležících na přímce (event. na polopřímce). Přímá úměrnost jako zvláštní případ lineární funkce se probírá v 9. ročníku v tématu Funkce. Nepřímá úměrnost Motivačními příklady mohou být např. - Sledování závislosti šířky obdélníku na jeho délce při konstantním obsahu obdélníku. - Sledování délky doby potřebné k projetí určité dráhy v závislosti na rychlosti. - Doba potřebná k vykonání určité práce v závislosti na výkonu. Př. Obsah obdélníku je 24 cm^2. Sledujte, jak se mění jeho šířka v závislosti na změně jeho délky. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Délka (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 12 | 24 | |-------------+--------+--------+---------+---------+---------+---------+----------+---------| |Šířka (cm) | 24 | 12 | 8 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Sledují: - Kolikrát se zvětší (zmenší) hodnota proměnné x, tolikrát se zmenší (zvětší) hodnota proměnné y. - Součin čísel v prvním a ve druhém řádku je stále stejný. - Hodnoty x a y se mění v převrácených poměrech. Tato závislost mezi hodnotami proměnných x a y se nazývá nepřímá úměrnost. Lze ji zapsat rovnicí y = , kde x>0, k>0. Grafem nepřímé úměrnosti je rovnoosá hyperbola. Vzhledem k definičnímu oboru se v 7. ročníku rýsuje pouze v 1. kvadrantu souřadné soustavy. Podobně jako u přímé úměrnosti, pokud je definičním oborem množina přirozených čísel, je grafem množina izolovaných bodů, které leží na hyperbole. Nepřímá úměrnost jako funkce se probírá v 9. ročníku. Trojčlenka Trojčlenkou nazýváme úlohu, která obsahuje dvojice na sobě závislých veličin (přímo nebo nepřímo), z nichž tři údaje jsou známé a čtvrtý je třeba vypočítat. Veličiny se zapíší do určitého schématu, šipkami se vyjádří příslušné závislosti (souhlasně orientovanými šipkami přímá úměrnost, nesouhlasně orientovanými šipkami nepřímá úměrnost). Z praktických důvodů pro snadnější výpočet je vhodné začínat psát šipky vždy u proměnné x. Trojčlenku můžeme řešit různými způsoby, nejčastější je pomocí úměry nebo „přes jednotku“. Např. 15 m látky …………… 450 Kč 40 m látky ………….. x Kč 15 dělníků ……………… 20 hodin 10 dělníků …………….. x hodin Protože v běžném životě se vyskytuje mnoho úloh, ve kterých se vyskytuje přímá nebo nepřímá úměrnost a tyto úlohy se dají řešit pomocí trojčlenky, bylo toto téma jedním z hlavních témat středověké matematiky, zejména tzv. kupeckých počtů. Pro obecné počítání obchodníků, řemeslníků a ostatních lidí s veličinami přímo či nepřímo úměrnými vznikaly různé mechanické předpisy (regule), pomocí nichž byly úlohy řešeny. Základem většiny těchto předpisů se stala trojčlenka – regula de tri. Autory prvních předpisů byli Indové. Jejich vědomosti poznal Leonardo Pisánský a ten napsal počátkem 13. století spis „Kniha o abaku“, ve kterém věnuje významné místo úlohám řešeným pomocí úměry a trojčlenky. Složená trojčlenka 5 dělníků ……………. 5 dní ………………… 20 000 Kč 8 dělníků ……………. 8 dní ………………………..x Kč Složená trojčlenka se řešila postupem, který Leonardo Pisánský nazýval jako „regula kata“ – počet řetězový. 5. Příklady Proveďte metodický a didaktický rozbor každé úlohy. Posuďte problémové části úlohy z hlediska žáka a uveďte návodné úlohy, které usnadní řešení úlohy zadané. 1. Zvětšete číslo 144 v poměru 5 : 4, zmenšete číslo 105 v poměru 2 : 5. 2. Petr přemýšlí: Když jsem se narodil, bylo mamince 24 roků a tatínkovi 28 roků. Když mi byl 1 rok, byl poměr věků 25 : 1 a 29 : 1. Jak se měnil poměr věků v dalších letech ? 3. V jakém poměru je třeba zmenšit úsečku délky 1,25 m, abychom dostali úsečku délky 1 m? 4. Je dána úsečka délky 2,8 m. Rozdělte ji na tři části tak, aby jednotlivé části byly v poměru 3 : 4 : 7. Jakou délku v centimetrech budou mít jednotlivé části úsečky? 5. Zapište dvě trojciferná čísla, která jsou v poměru 3 : 5 a určete jejich rozdíl. 6. Zapište dvě různá dvojciferná čísla, jejich poměry desítek a jednotek se sobě rovnají. Najděte tyto poměry tak, aby čísla byla dělitelná třemi (najděte všechna možná řešení úlohy). 7. Rozdělte 12 000 Kč mezi dvě osoby v poměru 3 : 5. 8. Rozdělte 96 000 Kč mezi osoby A, B, C tak, aby poměr A : B byl 2 : 3 a poměr B : C byl 5 : 7. 9. Vnitřní úhly v trojúhelníku jsou v poměru 1 : 2 : 3. V jakém poměru jsou vnější úhly tohoto trojúhelníku? 10. Zjistěte, zda mohou být strany trojúhelníku v poměru 1 : 2 : 3. 11. V jakém poměru jsou obsahy dvou čtverců, jejichž obvody jsou v poměru 1 : 2 ? 12. Zjistěte, v jakém měřítku jsou znázorněny mapy v atlase: mapy polokoulí, mapy světadílů, mapy států. 13. Zjistěte, v jakém měřítku se rýsují strojní výkresy a stavební výkresy. 14. Určitou práci mělo vykonat 21 pracovníků při osmihodinové pracovní době za 12 dní. Po pěti dnech práce jim přišli na pomoc brigádníci. Všichni pak pracovali 7 hodin denně a dokončili práci za dalších 6 dní. Kolik bylo brigádníků? 15. Tři kamarádi šli na výlet a zajistili si jídlo. První přinesl 3 konzervy, druhý 5 konzerv a třetí 80 Kč. Všichni jedli stejně a snědli všechny konzervy. Jak se rozdělí první dva o 80 Kč, které přinesl třetí jako náhradu za jídlo? (pozor, není to v poměru 5 : 3) 16. Mezi tři osoby má být rozděleno 100 000 Kč tak, aby osoba A dostala dvakrát tolik jako B a osoba B třikrát tolik jako C. Kolik Kč dostane každý? 17. Jablečným moštem se plnily pet lahve o objemu 1,5 litru. Kolik lahví se naplnilo 120 litry moštu? Dalších 120 litrů se dávalo do sklenic o objemu 0,75 litru. Kolik sklenic se naplnilo? 18. Šest pracovníků má splnit určitou práci za 18 pracovních dnů. Pracovali 4 dny a potom dva pracovníci onemocněli a zbývající 4 práci dokončili. Za kolik dnů byla práce splněna, jestliže pracovali stále stejným výkonem? 19. Cena zájezdu pro jednoho účastníka je 6 500 Kč, jestliže je autobus obsazen 40 osobami. O kolik Kč se zvýšila cena zájezdu, jestliže se zúčastnilo pouze 35 osob a náklady nebylo možné snížit? 20. Vzdálenost Brno – Plzeň je 296 km. Vypočítejte, za jak dlouho urazí tuto dráhu automobil, jestliže jede průměrnou rychlostí 90 . O kolik se prodlouží doba, jestliže se průměrná rychlost zmenší o 15? 21. Poměr ceny pozinkovaného plechu k ceně měděného plechu je 2 : 7. Střechu pokrytou pozinkovaným plechem je třeba jedenkrát za dva roky natírat barvou, jejíž cena je k ceně pozinkovaného plechu 1 : 5. Měděnou střechu není třeba natírat. Za jak dlouho by se vrátila investice do střechy z měděného plechu? 22. Formulujte a vypočítejte tři úlohy, ve kterých využijete měřítko mapy nebo plánu (z daného měřítka a skutečné velikosti vypočítejte velikost na mapě, ve druhé úloze skutečnou velikost, ve třetí úloze měřítko ze známé skutečné velikosti a velikosti na mapě. 23. Vypočítejte poměr „zlatého řezu“ – řešte úlohu: Rozdělte danou úsečku na dvě části tak, aby poměr delší části úsečky ke kratší části byl roven poměru celé úsečky k její delší části. Literatura BALADA, F.: Z dějin elementární matematiky. Praha: SPN, 1959. KRUPKA, P.: Sbírka úloh z matematiky pro druhý stupeň základní školy a nižší ročníky víceletých gymnázií. Praha: Global, 1995, Prometheus, 2002. Učebnice matematiky pro 7. ročník ZŠ. Slovník školské matematiky