Racionální čísla

   R.Blažková

   

   

   Racionální čísla jsou taková čísla, která lze zapsat ve tvaru zlomku , kde čísla a a b jsou
   celá a b 0.

   

   (Poznámka: V učebnicích se uvádí, že  a  je celé a b je  přirozené,  tím se však vyloučí
   zlomky typu  ).

   Jsou to např. čísla:  ,   7,    0,4,   ,   0,  -19,  , atd.

   

   Platí tedy, že:

   Každé přirozené číslo je číslo racionální.

   Každé celé číslo je číslo racionální.

   Každý zlomek je číslo racionální.

   

   Poznámka: Název racionální je odvozen z latinského slova ratio (racio), které má více významů,
   ale také znamená rozum.

   

   Zopakujme si, jaký význam má zlomek: -    část celku

   -         reprezentant racionálního čísla

   -         naznačené dělení.

   

   Jestliže dělíme čitatele zlomku jeho jmenovatelem, mohou nastat tři případy:

   

   a) dělení vychází beze zbytku, zápis čísla má ukončený desetinný rozvoj, např.

                                                               

   Dostaneme tedy buď číslo přirozené (nebo celé), nebo číslo desetinné.

   

   b) dělení je se zbytkem, zápis čísla má neukončený desetinný rozvoj a jedna číslice nebo
   skupina číslic za desetinnou čárkou se opakuje, např.

                                              

   

   Dostáváme číslo, u kterého se za desetinnou čárkou opakuje táž číslice nebo skupina číslic.

   Čísla se nazývají ryze periodická čísla, opakující číslice nebo skupina opakujících se číslic
   se nazývá perioda. Zapisují se tak, že se nad opakující se skupinou napíše pruh:

   Např.    0,333 … = 0,,           0,121212 … = 0,

   

   c) dělení je neukončené, avšak za desetinnou čárkou je číslice nebo několik číslic, které se
   neopakují a další číslice nebo skupina číslic se opakuje, např.

                                  

   Skupin opakujících se čísel se nazývá také perioda, číslice nebo skupina číslic zapsaných za
   desetinnou čárkou, které se neopakují se nazývají předperioda. Čísla se nazývají neryze
   periodická čísla.

   Tato čísla zapisujeme:   0,1666… = 0,1,    13,8333… = 13,8.

   

   

                         Jak můžeme zapsat periodické číslo pomocí zlomku?

   

   

   Např.    Zapište ryze periodické číslo 0,777… pomocí zlomku.

   

   a) Označíme  si číslo jako neznámé číslo:                   0,777 …       =       x

   b) Vynásobíme obě strany číslem 10:                          7,777 …      =    10x

   c) Odečteme číslo na prvním řádku od druhého:                      7     =      9x

   d) Vypočítáme x:                                                                       x    
   =   

   

   Pokud je perioda dvojciferná, násobíme číslem 100,  pokud je trojciferná,  násobíme číslem

   1 000, atd.

   

   Můžete si tímto způsobem ukázat, že   0, = 1.

   

   Číslo s předperiodou můžeme zapsat takto:

   Např. zapište číslo  0,38333… pomocí zlomku.

   

   a) Označíme  si číslo jako neznámé číslo:                   0,38333 …       =           x

   b) Vynásobíme obě strany číslem 100:                      38,333 …           =     100x

   c) Dále vynásobíme číslem 10:                                 383,333…           =   1 000x

   d) Odečteme číslo na druhém řádku od třetího:                 345            =       900x

   e) Vypočítáme x:                                                                      
   x          =     

                                                                 
                                       x         =