162
VIL   LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ VEKTOROVÝCH PROSTORU
§ 1.   Záklľiní vlastnosti lineárního zobrazení
;   V našich předchozích iívahách o vektorových prostorech jsme vždy vyšetřovali vlastnosti jednoho vektorového prostoru (pro úplnost připomeňme, Že vektorovým prostorem rozumíme vždy pouze konečnědimenzionálnť vektorový prostor). V této kapitole se naopak budeme zabývat vzájemnými vztahy mezi dvěma (případně i více) vektorovými prostory. Tyto "vzájemné vztahy" budeme studovat pomocí zobrazení jednoho vektorového prostoru do druhého. Aby naše úvahy měly praktický smysl bude zřejmě nutné pracovat s takovými zobrazeními, která nějakým způsobem "zachovávají" operace, s nimiž se ve vektorových prostorech setkáváme, tj. zachovávají jednak součet vektorů a jednak násobek čísla s vektorem. Při tom zřejmě druhý požadavek bude moci být splněn jen tehdy, když uvažované vektorové prostory- budou nad stejným číselným tělesem.
Definice:   Nechť   V, V jsou vektorové prostory nad týmž číseľhým tělesem   T.   Zobra-
\                                                                            ■)
zení  ir :  V-*■ V  splňující
(i)      <p(ú + v) = <p(u) + <r(v)
pro   u,v £ V;   (G T libovolné
(n)      y5(r.u) = í.y>(u)                                       .        '                                                             ;
se riazývá lineární zobrazení vektorového prostoru   V ůo   V ■   '                                               i
Je-li navíc   <p  bijektivní, pak se nazývá izomorfizmus vektorového prostoru   V na V.
Poznámka:   1. je nutné si uvědomit, Že vektorové prostory   V a   V jsou obecně různé, j
a tedy i operace sčítání vektorů (resp. násoben! čísla s vektorem) ve   V  á ve   V jsou pak           '^vsí
samozřejmě také rfizné. Přesto však, je budeme pro jednoduchost označovat stejným symbole---                                                                                                                     cpi,
lem   + (resp.  ■).   Nebude moci dojít k nedorozumění, poněvadž ze souvislosti a z ostatní symboliky bude vždy zřejmé, o kterou operaci se jedná. Pro ulehčení orientace budeme vektory z   V  obvykle označovat Čárkovaně, kdežto vektory z   V  nečárkovaně. Specielně tedy   o'
■sBHb
bude značit nulový vektor z   V,   kdežto   o   bude značit nulový vektor z   V.                              iliví
2,   lehce se ukáže, že podmínky (i) a (ii) z předchozí definice jsou ekvivalentní jediné podmínce:                                                                                          ...
(iii)     ¥>(/.u + s.v) = t.<p(u) + s.<p(v)    pro   u, v € V;   t, s 6 T libovolné. Óvěřujeme-li tedy, že zobrazení  <p : V -* V je lineární zobrazení, pak ověřujeme buď pod-
'M
- 163 -
minky (i) a (ii) nebo jedinou podmiriku (iii).
i Dale, matematickou indukcí lze (iii) rozšířit na libovolný konečný počet sčítanců, tzn.
pro lineární zobrazení  <p  platí:
rt/,.u-,+ ... + /fc.u/fc) = řrV(u1) +-,-,. + tk.vtfky.-
Příklad 1.1.:   Nechť   V, V jsou vektorové prostory nad   T,   nechť  t G T.   Pak:
1.   zobrazení  ip : V-* V,   definované      í
<p(u) = í.u,   pro každé   u G K je lineární zobrazení. Je-li   t 4> 0,  pak  <p je dokonce izomorfizmus (ověřte si obojí rozepsáním!) Specielně, pro  t=\   dostáváme identické zobrazení  idK,  které je tedy izomorfizmem vektorového prostoru   V  na   V.
2.   zobrazení   w : V-* V,   definované:
cj(u) = o' ,   pro každé   u S K ie lineární zobrazení, které budeme nazývat nulové lineární zobrazení.
Příklad 1.2,:   Zobrazení  <p : R3 ->-R2,  definované: ■ <£((*,, x2, x3)) = (2x, + x3, #,- X2- x3)   pro ¥  (Jf,, xt, x3) e R3
je lineární zobrazení, které není izomorfizmem.
Dále, např. zobrazení   ii : R3 -» R2,  definované:
W$Xt; x2,x3)) <• (2x[ + \,x{- x2-x3)  proY (x{, x2, x3) 6 R3
není lineární zobrazení (zřejmě neplatí (i) ani (ii))
Příklad 1.3.:   Zobrazen!   8 : R„[x] ~* Rn[x] ,   definované:
5(/(*)) = /'(*),   pro y f(x) £R„W, tj. zobrazení přiřazující polynomu f(x) jeho derivaci f(x), je lineární zobrazen! (při ověřování podmínek (i) a (ii) še využije některých vět o derivování funkcí, známých z analýzy). Zřejmě   6   není bijektivní zobrazení, a tedy není izomorfizmem.
VSta 1.1.:   Nechť <p : V-* V je lineární zobrazení. Pak platí:
1.        <r(o) = o' ,   tj. nulový vektor se musí zobrazit na nulový vektor
2.         ir(-ii) » ^yj(u) ,   pro T u e V
3.        u.....u   e V jsou lineární závislé vektory   •*  <ŕ(u,)> • • • » v(ut) ísou lineárně
závislé vektory   (ve   V).
	3!
ŕ    " ■'■	B-
	
	
ÚJSúÉalBM	
'v&wĚĚM	
	
	
EHBBWmwBB^M	
	
	
	
^^if^^jraS	
	
ISHpí	
U:::í7
164 -
[Důkaz:   1.   zřejmě je   o = O.o,   tzn. pák   ^(o) = ^(O.o) = O.y5(o) = o'
2.   ■ŕ(-ii) = v((-l).u) = (-l).^(u) =-^(u),  podle V. 1.1.4., kap. III.
3.   u,, . . . , uk   jsou lineárně závislé   »»  existují  f,, ',' ■. , , (   e T,   ž nichS: alespoň jedno je různé od nuly tak, že   ŕ, u,* . . . + t^ « o.   Pak ale   ^,11, + ...+ t^)*
.- •fi(o),   tzn.   /..iŕCu,) + . . . + VV(V ■ o',   a tedy   ^(u,), . . . , tfu,) jsou lineární závislé. ]
Ďalší věta si všímá toho, jak se lineárni zobrazení chová vůči podprostorflm. Pripomeňme, že je-li yj : hr zobrazení a W je podmnožina ve V, pak symbolem tflV) označujeme množinu obrazů všech prvků z   W,   tj.:
$»0 = {x' e ŕ 1 3 w G W  tak, že  <p(w) = x'}
Věta.1.2.:  Nechť  f : V -+ V! je lineárni zobrazení;   W je podprostor ve   V.  Pak: 1.       yj(lV) je podprostor ve   V
2-        "1 .■■-■' uk   jsou generátory podprostoru   W ■» pfu,).....tfuk) jsou generátory podprostoru   ip(W)
3. ';.  dim W > dim <p(W)
[D ů k^a z:   1. provede se přímým ověřením definice podprostoru
V       2.   nechť   x' e<p(W) libovolný, tzn. existuje  w £ W   tak, že   ip(w) * X.'. Ale podle předpokladu   w = ř, U,+. . . . + tkuk,  a tedy   x' = ^u^ . . . + tkuk) = = ^.^(Uj) + • -: . V*..^«,.),   odkud plyne, že  ^(u,), . . . , ip(uk)  jsou generátory <p(W). 3.  je-li   W =  {0} ,   pak tvrzen! zřejmí platí; nechť tedy   W j= [o]   a
nechť   u,.....uj   je báze   IV.   Pak podle 2. jsou vektory  <p(u,), . . . , <p(um)   generátory
f{W),   a tedy   dim <p(iy) < m = dim IV ]
Věta 1,3.:   Slolenlm lineárních zobrazeni dostaneme opět lineami zobrazeni, tj. jsou-li  y : V '•* V , - \p : V -* V"  lineami zobrazeni, pak   \j> o <p : V -*■ V" je lineárni zobrazeni.
mmSm
[Důkaz:   ověříme podmínku (iii); pro   ii,y6F;I,i6r je 0> oY>)(řu.+ ív) = llpf/M + ív)Í = ý[t.<p(u) + s.<p(y)] = r.[(ir o y>)(u)] + S.[(\l/ o ¥>)(V)] a tedy   {ip o <p) je lineární zobrazení. ]
- 165 -
Následující důležitá veta ukáže, že k úplnému zadání lineárního zobrazení   V -* V  staíí zadat pouze obrazy vektorů pevné báze prostoru   V  a obrazy zbývajících vektorů z   V jsou pak již jednoznaCné vynuceny. Na druhé straně, takovýto výsledek se dá celkem očekávat, uve-domíme-li si, Že každý vektor z   K je jistou lineární kombinací vektorů báze a Že lineární zobrazení "zachovává lineární kombinace vektorů".
Veta 1.4.: (Základní věta o lineárních zobrazeních)
Nechť   V, V jsou vektorové prostory nad   T;  nechť u,.....un   je báze prostoru   V a
nechť v',.....v't   jsou libovolné vektory z   V.
Pak existuje jediné lineární zobrazeni  ^ : V -> V* takové, íe  <p(Uj) = vj.....V(un) = v!r
[Důkaz:   I.   existence:   nechť   xSV  libovolný, přičemž   x = x, u,+ . . . + x„un . Položme:   <p(x) = xt .v\ + . . . + xn.\'n.   Potom  <p je zobrazení   V  do   V,  které je lineární zobrazení (obojí si podrobně rozmyslete, resp. dokažte!). Dále, zřejmě  <p(u() = v,',  pro i = 1, . . • , n.
II.  jednoznačnost:   nechť  <p je výše zkonstruované' lineární zobrazení a
nechť dále   1// : V'-+ V je lineární zobrazení takové, že    <//(U[) " v',.....\KU„) = vn-
Pak pro libovolný vektor  x e K (pro nějž  x = ^11,+ . . . + x„un) je:
iKx)= Hx.m^ .. . +^U„)»Jf1«u£) + . . .+*„</*("„)=*,v', +- . .+Jf„v;-^x),
což však znamená, že   \jj = <p. ]
Definice:   Nechť   ip : V -* V je lineární zobrazení. Pak
(i)      množina Ker <p =  {u e V \ >p(u) = o' ]   se nazývá jádro lineárního zobrazení  y3
(ii)      množina   Im y? = <p(V)   se nazývá obraz lineárního zobrazení  1/3
Poznámka:   Označení Ker <p,  resp.  Im <p jsou v literatuře běžně používané zkratky pro anglické názvy "kernel" = jádro, resp. "image" = obraz.
Následující tvrzení ukáží, že obě podmnožiny jsou podprostory a popiš! jejich základní vlastnosti.
Věta 1.5.:   Nechť ip : V •* V je lineární zobrazeni. Pak
1.        jádro   Ker ip je podprostorem ve   V
2.        obraz  Im <fi je podprostorem ve   V
(D fife'a z:   1.   zřejmě  o e Ker ^  a tedy- Ker <p ¥> <t>.   Dále, nechť  u.v SKer <p,  tzn.
166 -
1
_' • -5" ÜÜi
ílmi
je <ŕ(u) - o', ip(v) = o'. Pak <p(\i + v) = >p(u) + v>(v) = o' + o' = o\ a tedy u + v£Ker <p. PodobnS pro u e Ker >p a t £ T je f.u e Ker <p. Dohromady tedy Ker V je podprostor ve   V.         ' •
2.  jde o specielní případ V. 1.2.1. ]                  ■>
Věta 1.6.:   Lineární zobrazení if je injektívtií  « Ker i/j =  {o}                       ,
(Důkaz: "=*"   nechť  x e Ker ^  libovolný; pak   $x) = o' = y{o),  užitím V.l.1.1. Z injektivnosti zobrazení  <p  pak dostáváme  x = o,   tzn. Ker \p =  {o} .
"<="' nechť   i/7(u) = <p(y);  potom   <p{u - v) = o',   neboli  u - v £ Ker <p = = {o} .   Tedy   u - v = o,   neboli  u = v,   což znamená, že ■<(> je injektivní zobrazení. ].
r                                                            •                                                                                                                                                                                                  "
Definice:   Nechť   tp : V -+ ť" je lineární zobrazení. Pak dimenze, jádra Ker 55  se nazývá defekt lineárnílio zobrazení <p a dimenze obrazu   Imip  se nazývá hodnost lineárního zobrazení  \p,                                                          '..,■"■'"                                                   •    •
Věta 1,7.:   Nechť  <p : V -* V je lineární zobrazení. Pak Součet defektu a hodnosti lineárního zobrazení ip je roven dimenzi prostoru   V,   tj.
dim (Ker 1/)) + dim (Im <p) = dim V
[Důkaz:  je-li  lni <p = {o'],  pak Ker y = V a věta zřejmě platí. Nechť je tedy
Im <p ft (o'}  a nechť  w',.....v/'  je báze  Im <p.  Pak existují vektory  u,.....ur £ K
tak, že  ip(u1) = wj.....y>(u,.) = wp.  Z vety 1.1.3. plyne, že  ut, . . . , ur jsou lineárne
nezávislé, tzn. je pak:
(                  .   '        ';.
(1)             dim L(ul.....u.) = r = dim (Im <p)
Dále:                                   : •
I.   ukážeme, Že Ker f + L(ul.....ur) = V.
Ale inkluse "£"  je zřejmá a naopak, je-li   x 6 V libovolný, pak V(x) (= Im <p,   tzn.
y?(x) = Cj w'j +.... + crvt\,  kde  c, £ 71.   Uvažme nyní vektor, u = c, ut+ . . . + crvr. Zřejmé
je   u £ L(ul, . . . , ur)  a dále:
^u) = <p(c1 u, + . . . + ^u,.) = c, píu, ) + ...+■ cp^>(ur) = c,w'| + . . . + c,w; = (r(x)
odkud   v?(x - u) = o',   neboli  x — u e Ker y?.   Potom však:
i
■ 167 -
x = (x - u.) + u 6 Ker <p + L(uí.....uj,   což jsme potřebovali dokázat.
II.   ukážeme, že Ker tp n Z,(u,.....u ) =  (oj .
Nechť   x £ Ker <p n /,(u,.....u,).   Pak   \p(x) = o'   a současně   x * Í.U. +'. . . + írur,
odkud:
o' = <p(x) = f,.!P(u,) + . . . + fr.^(ur) = /rw; + . . . + rr.wr
Ale i lineám! nezávislosti vektorů   w',, . . . , wr   plyne, že   f   = . . . = t   = O,   a tedy po dosazení dostáváme   x = o. Nyní, z I. a 11., užitím věty o souětu a průniku podprostorů a vztahu (1) dostáváme:
dim V = dim [Ker <p + í,(u,, . . . , ur)] = dimKer <p + dim Z,(u,.....ty) -
-"- dim [Ker <p n L(ul.....url] = dimKer <p + dim Im <p - 0 = dim Ker <p + dim Im <p. ]
Definice:   Nechť   V, V jsou vektorové' prostory nad   T\  nechť existuje izomorfizmus vektorového prostoru   V  na   V.   Pak říkáme, že   V a   V jsou izomorfní vektorové prostory a píšeme   V s V.
Věta I.8.:  Relace  s je relací ekvivalence na množině všech ( koneěnědimenzionálních) vektorových prostorů nad tělesem   T,
[Důkaz:   reflexivita:  je zřejmá (neboť  idK  je izomorfizmus   K  na   V)
symetrie:     nechť   V s V',  tzn. existuje izomorfizmus  ip : V -* V.   Pak zobrazení  i;)""1 : V -*■ V je bijektivní a ukážeme, že je lineárním zobrazením. Nechť  u', v'6 V; (,i6ľ  libovolné a označme  \p~ '(u') = u;  ip~l(y') - v.   Potom je  y>(u) = u';  >p{v) = v'. Nyní:
\f' (f u' + sv') = v_I C-vKu) + <>••&*}) = y_I (fC« + ív)) = ru + ív = ř. v-' (u'J. + s.f1 (V)
Je tedy    F* Si K
tranzitivita:   plyne z vlastností bijekce a z V. 1.3. ]
Věta  1.9.:   Nechť   <p : V-* V je izomorfizmus.   Pak platí:
1.        u,.....uk  E V jsou lineárně závislé   «■  ¥>(",). • • • . '/'(Un)  /í0" lineárne závislá"
2.        u.....u.   £ l7 /íOM lineárně nezávislá *>  vf11.)! • • • > v(ut) /í0" lineárně
nezávislé
3.        u,.....un   /e báze   V  «■  1^(11,),..., ip(un)  /e tóze   ř"
- 168 -
4.       dim V = dim V
[Důkaz:   podle předpokladu je  <p : V -> V*  bijektivní lineární zobrazení a podle důkazu předchozí věty je   <p~i  i V*-+ V  taká bijektivní lineární zobrazení. Potom:
ad 1:   plyne z V. 1.1.3.   aplikované na   tp,   resp. na  y~l
ad 2:   je logickým důsledkem 1.
ad 3;   plyne z 2. a z V. 1.2.2., uvědoiníme-li si, že  f {V) = V a  ip~.lOh. - V
ad 4:   je-li   V nulovým prostorem, pak je tvrzení zřejmé; v ostatních případech plyne ze 3. ]              .                     „V
Poznámka:   utvoříme-li na množině všech (konečnědimenzionálních) rektorových prostorů nad   T  rozklad příslušný ekvivalenci  s,   pak v každé třídě tohoto rozkladu budou vždy všechny navzájem izomorfní vektorové prostory. Z věty 1.9. pak plyne. Ze tyto izomorfní vektorové prostory mají z algebraického hlediska naprosto stejné vlastnosti (jedná se tedy o pouze formálně různé exempláře shodných vlastností). V matematice se obvykle o takovýchto objektech říká, že jsou "stejné, až na izomorfizmus" a Často se dokonce ztotožňují.
Následující veta pak podá velmi jednoduchou charakterizaci izomorfních vektorových prostorů, tj. vektorových prostorů patřících do jedné třídy zmíněného rozkladu.
Věta 1.10.   (Věta o izomorfizmu vektorových prostorů) Nechť   V, V' jsou vektorové prostory nad   T.   Pak:
Vsí r    «    dim V = dim V                                •»
[Důkaz:   "=»"   plyne přímo z V. 1.9.4.
"<-" je-li  dim V = dim V = 0,  pak zřejmě   V s V.   Nechť tedy  dim V -
= dim V = n   {> 1)   a nechť   u,, . . . , un   je báze   V,   resp   u',.....u^   je báze   V.
Nechť dále  x e K libovolný, přičemž  x = X-ü. + . . . + xnun   (víme, že toto vyjádření existu je, a to jediné). Položme:
■r(x) =xiu\ + . . . +x„u'n
Pak zřejmě \p : V -»■ V je zobrazení a rozepsáním se ukáže, že <p je bijektivní (proveďte si podrobně sami!) Dokažme, že <p je lineární zobrazení: nechť x, y e V; t, s e T, přičemž x = x u,+ . . . + xnun ;   y = yt u, + . . . + y„u„.   Potom:
v--(f,x t .s. y) = tfí/x, f jj!,) . a, + . . . + (txn +syn) . un ] = (tx, + syi) . u\ +...
•  ■   ■   + ítXn* S?J  ■   K   = * ■   (x,a\ + ■  ■  ■ +XnUľ> +S ■   CV,u; + .   .  . +ynU'„) = í.yj(x) * S.ifä).
Dohromady pak   if je. izomorfizmus prostoru   V  na   V,  a tedy   V m V\ j
Poznámka: z pi'edehozí věty plyne, že při zadaném číselném tělese T je každý vektorový prostor jednoznačne (až na izomorfizmus) určen svojí dimenzí. Při tom napr", zřejmě každý nenulový/(-dimenzionální vektorový prostor nad   T je izomorfní s prostorem   T".   Vidíme tedy, Ze
vektorové prostory   T",  pro  n ~ 1, 2, 3, ..... ,    vyčerpávají (až na izomorfizmus) všechny
nenulové vektorové prostory nad   T.   Mohlo by se tedy na první pohled zdát, že pH budování obecné teórie vektorových prostoro by vlastně stačilo omezit se pouze na prostory   T".  Je však ihned vidět, že bychom tímto nedosáhli žádného zjednodušení, neboť z důkazu předchozí věty plyne, Ze použitý izomorfizmus závisí na volbé báze. Pokud, bychom tedy chtěli nějaké tvrzení o prostoru   T"   přenést na libovolný n-dimenzionální vektorový prostor, znamenalo by to vždý~;dokázat jeho nezávislost na volbě baze.
§2.   Lineární transformace a její matice
Definice:   Nechť   V je vektorový prostor nad  T.   Lineární zobrazení <p : V -*■ V se nazývá lineární transformace vektorového prostoru   V.
Je-li navíc  >p  bijektivní, pak se nazývá automorfizmus vektorového prostoru   V..
Poznámka:   vidíme, že lineární transformace je pouze specielním případem lineárního zobrazení, a sice pro   V = V.   Znamená to tedy, že všechny úvahy a tvrzení z předchozího paragrafu zůstávají v platnosti i pro lineární transformace, přičemž bude zřejmě platit ještě něco navíc.
Specielně zdůrazněme, Že podle základní věty o lineárních zobrazeních je lineární transformace nenulového prostoru   V jednoznačně určena zadáním obrazů pevné báze prostoru V.
Dále si všimněme toho, že je-li V = (o), pak existuje pouze jediná, a to identická lineární transformace prostoru V a všechny úvahy o ní jsou více méně triviální. Proto se v dalším budeme zabývat pouze lineárními transformacemi nenulových vektorových prostorů.
Nejprve uvedeme větu, která nám podá řadu ekvivalentních podmínek pro to, aby lineární transformace byla automorfizmem, tj. aby byla bijektivní.
ý.
170 -
lÄF
11
■
Věta 2.1.:   Nechť  <p je lineám! transformace prostoru   V. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:
(i)       ý je automorfizmus                                         ■       'f
■(H)     <fi je in/ektivní zobrazení
(Hi)    <p je surjektivní zobrazení
(iv)    f> zobrazuje libovolnou bázi prostoru'' V na bázi prostoru   V
'"'      *  zobrazuje libovolné lineární nezávislé vektory opět na lineárně nezávislé vektory.
[D ů k a z:   "(i)   •»  (ii)"  zřejmé
"(Ü)   -*  (iii)"   nechť   tp je injektivní zobrazení; pak podle V. 1.6. je Kerv>=  {<'},   a tedy podle V. 1.7.   musí být   dim lni f = dim V,   neboli  <p{V) = V.   To však znamená, že   <p je surjektivní zobrazení.
"(iii)   =*  (iv)"  je-li   y>  surjektivní, pak  <p(V) = V.   Nechť nyní  u,.....u
je báze prostoru V. Podle V.l.2.2. ^(u,.), . . . , rfan) jsou generátory <p(V) = V. Ale z generátorů prostoru V lze vybrat bázi V, která však v našem případe musí sestávat z n vektoru, což znamená, že   ip(ul), . . . , ^(u,,)  je báze   V.
"(iv)  =*  (v)"  nechť  Uj.....uk E V jsou lineárně nezávislé vektory. Ale
lineárne nezávislé vektory z   V lze doplnit na bázi   V,   odkud užitím (iv) dostaneme, že 1^(11,),..., <p(uk) jsou lineární nezávislé vektory.
"(v)   "*  (i)"   z (v) plyne, že Ker p =  {o}   (neboť, je-li   x =£ o   libovolný, pak   x  je lineárne nezávislý, a tedy podle (v) je  <p{\)   také lineárně nezávislý, neboli >r(x) i= o).   Ale, je-li  Ker \p =  (o),  pak 7. V.l.6. plyne, Že  tp je injektivní a užitím V.l.7. dostaneme, Že   <p je surjektivní. Dohromady tedy   \p je automorfizmus. ]
Definice:   Nechť   ip je lineární transformace prostoru   V;  nechť
(1)
u,.....u„
je pevná báze prostoru   V  a plat!:
v,(u1)=í211u1 +a2[u7 + ... .+fl„,u„
V(U    )
Pak matice			
	/""	ai2 .	..,.\
A  =	«li	a22   ■	•a2n
	U	a„2   •	Mři /
se nazývá matice lineární transformace  i? v bázi (1).
Poznámka:   1.   vidíme, že matice  A  je čtvercová, řádu  n   (kde  n = dim PO,   a je utvořena tak, že souřadnice vektoru   ip(u.)   v bázi, (1) jsou napsány do /- tého sloupce matice  A   (J = 1, . . . , '!)• Tyto souřadnice jsou určeny jednoznačné, a tedy i matice. A   je jednoznačne určena.
Uvědomme si dále, že pojem matice lineární transformace je vázán podstatným způsobem na pevnou bázi prostoru   V.   Zřejmě matice téže lineární transformace  <p v různých bázích prostoru   V budou obecně různé.
2.  všimněme si ještě Vzájemného vztahu mezi pojmem "matice přechodu" (definovaným v §5, kapitoly IV) a pojmem "matice lineární transformace". Jsou-li
u , . . . , u    a  v,.....v    dvě báze prostoru   V a označíme-li symbolem  <p lineární
transformaci prostoru   V zadanou určením obrazů báze tak, že vektory první báze se postupně zobrazují na vektory druhé báze, tzn.:
¥>(".)
- V(u„) = v„
pak ihned vidíme, že matice přechodu od báze  u1? . matici lineární transformace  >p  v bázi   u......U .
Označení:   množinu všech lineárních transformací prostoru   V budeme označovat symbolem  í {V).
Prvky množiny   Z{V) jsou tedy lineární transformácie vektorového prostoru   V,   tj. jistá zobrazení   V ■* V.   Zřejmě je   X(K) =£ <p,neboť například identické zobrazení  idKS£(K). Na množině   £{V)   nyní určitým přirozeným způsobem definujeme souEet a součin, resp. násobek Číslem a popíšeme základní vlastnosti takto vzniklých algebraických struktur.
Definice:   Nechť   a, é e JE(f0i   t & T  libovolné. Pak zobrazení:
(i)       j» + .ty :.V-+ V,   definované:   (<p + ty)(u) •> ip(u) + #(ti),   pro Y u e K se nazývá součet lineárních transformací  <p  a   é
(ii)     <p o ý :  K-> f,   definované:   (po ^)(u). = <p(ty{\l)),   pro  Y u G V se nazývá součin lineárních transformací  ip  a   i//
(iii)     f._ip :  V-> V,   definované:   (f.tp)(u) = t . (ip(u)),    pro Y u E( f se nazývá součin čísla   ř   s lineární transformací  <p.
Věta    2.2,:  Nechť <p, ty jsou lineární transformace prostoru   V;  r. G T libovolné'. Pak:
1.        <p+'ty,   <P o ty, t.f jsou lineární transformace prostoru   V
2.         (£(¥),+)  je komutativní grupa
3.        (£(V),+,°) je okruh s jedničkou
.  4.        £(V) je vektorový prostor nad tělesem   T (vzhledem, k  +,   resp.   ■ >.
[Důkaz:   1.   zřejmě   f'<■■¥ ty, <poty,   t.\p jsou zobrazen!   V '-* V.   Rozepsáním se. bezprostředně ověří, že jsou to lineární zobrazení. ■
2.     dokáže se rozepsáním; při tom roli nulového prvku hraje nulová lineární transformace   cj : V -* V (definovaná': cj(u) = o,   pro Y u e V)>  resP  opačným prvkem
k   ifi & £(V) je lineární transformace   p : V-* V,   definovaná:   p(u) =* - ip(u),   pro ~Y o G K
3.     dokáže se opět rozepsáním, s využitím 2. Jedničkou okruhu je zřejmé identická lineární transformace   id
4.     dokáže se užitím 2. a bezprostředním ověřením axiomů vektorového prostoru. ]                               •
Věta 2.3.:   Nechť tp, ty jsou lineární transformace prostoru   V,   dim V = n > I   a nechť  maticí tp (resp.   ty)   v bázi (J) je matice  A   (resp.   B).   Potom:
1.        maticí lineární transformace   <p+'ty   v bázi (1) je matice  A -v B
2.        maticí lineární transformace   <p o ty   v bázi (1) je matice  A.B
3.         maticí lineární transformace   t.<p  v bázi (1) je matice   t.A
[D ů k a z:   nechť  A = (a ),  B = (f>„),   i, j = 1, . . . , ».   Při tomto označení pak platí: Wytf) =  S ar/ur ;   ty(P/) x 2 brja.    pro    / = 1, . . . , «
Pak,  1:   (0 + Mu,) = V5(U/) + i//(U/) = J «,,U, + § Ž>r/U, - JjK/* V'"'
-.173 -
pro  / = 1, . . . ,'7»í a tedy maticí lineární transformace  <p + ty  v'bázi (1) je matice
n
2:   označme  A.B K (c.,),   tzn.   c.. -   2 a...b.,,   pro   f, / = 1, . . . . n.   Ale;
Op o .//.Ku,) = ¥>( ť'b ,..u,) = Ž irľv(u,.) = S &    f a u  = S ( I a  b J . u. = S e.n.,    ■
odkud plyne, že matic! lineární transformace   ip o ty  v bázi (1) je matice  ^4.jS.
n                        M
3:   (f.<p)(u,) = /.ip(u ) = t. X a .u   =  T,(t.a  ) . u     , a tedy maticí lineární transformace
'                  '             r=\    '           r=\        '
t.ip  v bázi (1) je matice   {t.a..) = t.A .]
Věta 2.4.?) Nechť   V je vektorový prostor nad   T,   dim f=H>l, Pa/c vektorový
prostor   £{V) je izomorfní   vektorovému prostoru   Mat    (!T). i
[D fi k a z:   nechť (1) je pevná báze   V.   Definujme zobrazení  F : £(V) -* Mat    (T)
takto:   pro libovolné   <p G £(V)   položme
F(\p) = A,   kde /l  je matice lineární transforrhace  tp  v bázi (1).
Nyní dokážeme, že
I.    F je bijektivní zobrazení:
nechť  A G Mat   (T)   libovolná; označme  w,.....w    vektory z   V,  jejichž souřadnicemi
v bázi (1) (tj. v bázi  u,, . . . , u^) jsou po řadS sloupce matice A.   Podle základní vety o lineárních zobrazeních existuje jediná lineární transformace   ip  prostoru   V  s vlastností: ^(u,) = w,.....W"„) = w„-   Ale maticí   <p  v bázi (1) je pak pravé matice  A.   Tedy existuje právě jedno   ip é £( V)   tak, že  F(\p) = A,   neboli matice  A   má při zobrazení  F  práve jeden vzor, což znamená, že  F je bijektivní zobrazení.    ,
U.  F je lineární zobrazení: nechť  p,ty€£(V),  tST libovolné, přičemž F(<p) - A,   F(ty)=B.   Pak: podle V.2.3.1. je  Hp+ ty) = A + B = F(y>) + F{ty) ,  . podle V.2.3.3. je F(t.<p) = t.A = t.F(y), a tedy   F je lineární zobrazení. Dohromady dostáváme, že   F je izomorfizmus, neboli  L(V) s Matn(|(J). ]
Poznamenejme, že z předchozí věty a z věty b izomorfizmu vektorových prostoru plyne, že   ú\m £(V) = nr   (poněvadž, jak víme,   dim Matmi(7*) = n1).
'•"t

- 174
m
Prd
'■:■: -j
il
Na závěr paragrafu si ještě stručně všimneme toho, jak vypadaj! matice téže lineární transformace v různých bázích prostoru   V a jaké jsou některé jejich základní vlastnosti.
Věta 2.5.:   Nechť A,B G MttBH(J),  nechť dint V = n   {> 1).  Pak platí: 4-, B  jsou maticemi tele lineární transformace prostoru   V (ve vhodných bázích)  «■ existuje regulární matice  S  tak, le;  B = S~..A.S
[D fi k a z:   W   nechť  A = (a^),   resp.  B = (Ď )  je matice lineární transformace   yj
v bázi (1), resp. v bázi (ľ) (kde (I) je báze  u,.....u„ ,  resp. (ľ) je báze  uj, . , . , u').
Dále, nech ce a platí:
Dále, nechť  S = (j(/)  je matice.přechodu od báze (1) k bázi (ľ), tzn.   S je regulární máti
U/ * íSirt '    Pro  /= !> • • ■ ,» • Potom však:
»Kup = i b u; = z ŕ .'. i^u, = sc i"*tt*„). u,
'           k=l   "I   *       fc=l   "I    í=l '*   '       /=1   Jt = l'S    *'             '
a také:
«up - *( J^u,) = j4V^) = j/*, ff >*, - J( | a,^} . u,       .
odkud porovnáním pravých stran (na základě jednoznaCnosti vyjádření vektoru   ^(u>)   pomocí báze (1)) dostáváme, že
J/^V^JfíÁy   Pro ''./='.•■•.»
což však znamená, že  S.B = A.S,   neboli B = S~l.A.S
}                    "<="  nechť  B = S~l .A.S  a nechť (1) je pevná báze prostoru   F.   Pak
(podle důkazu V.2.4.) existuje jediná lineární transformace  y?  prostoru   K  taková, že  A je maticí   ip  v bázi (1). Dále,   S je regulární matice, tzn. existuje (Jediná) báze (ľ) prostoru   V  taková, že S je maticí přechodu od báze (1) k (ľ). Konečně, podle předpokladů je
S.B = A.S,   neboli    Ši    ft    = tas..,   pro   i, j
th-'kľ
(==1'"    "'     fc=i mi jako v první části dôkazu dostáváme
, n.   Potom stejnými úprava-
yj(u') = 2 ( 2 a.i   )u  =2(2 s. kb   ) u  =  2 ď   u'  ,    pro  / = 1, . . .., n 1        /= i   í=l   K *'     '      (=i   kfl'K   K<     '      k=l "'   "
což však znamená, že  B  je maticí lineární transformace   <p  v bázi (ľ). Tedy matice A,B
- 17 5
■
■■> -y.
--:
■r: ■ ?í
:
jsou maticemi téže lineární transformace prostoru   V. ]
Definice:   Nechť  A, B e Matn (T)  á nechť existuje regulární matice  S  taková, že B ~ S"'1 .A.S.   Pak říkáme, že matice  A, B jsou podobné matice a píšeme  A ~ B.
Věta 2.6.   Relace   ~  podobnosti matic je relací ekvivalence na množině   Matml(7").
i.
[D ů kaz:   a) reflexivita:   pro libovolnou matici  A £ Matnn{T)  je zřejmě  A = = E~l.A.E   ,  kde   E    je jednotková matice řádu  n.   Je tedy  A -A.
b)   symetrie: nechť A ~ B, tzn. existuje regulární matice S ,tak, ze B = S~l.A.S. Pak ale A = S.B.S~' = (S-^ys.A.iS'1), kde S~' je zřejmě regulární. Tedy je   B ~ A.                               ■        '
c)  transitivita:   nechť  A ~ B   a  S ~ C,   tzn. existují regulární matice
S, Q   tak, Že  B"'S~'.A.S  a   C = (?~~'.i?.ß. !Po dosazení dostáváme:   C = Q~1.S~l.A.S.Q° = (SQr'-A.{SQ),   přičemž matice  S.Q  je zřejmě regulární. Tedy je  A ~ C. }
Definice:   Nechť  A = («,.)  je čtvercová matice řádu  n   (nad   D   a nechť  X je proměnná. Pak determinant
\A - \K |
a.
.\.a    -X

:
se nazývá charakteristický polynom matice  A.
Poznámka:   provedeme-li výpočet předchozího determinantu (např. užitím V.2.2., kap. IV), dostaneme:
\A - lEn\ -(-iy.X" +(-ir-l-(ail+a21-t- ...+ann).\"-'+. . . + |X |
Je tedy okamžitě vidět, že se skutečně jedná o polynom proměnně   X,   který je stupně  n   a jeho koeficienty jsou z číselného tělesa   T.
Konkrétne, například pro  n = 3 dostaneme rozepsáním:
í
im mi i ,i, iiMiiiuüi'i •  ' '             "r,1-- "■"■

176-
X£,
au~~K    fln
a32      «j»-*
-X3+(fln+S2+a33^2
!2.   "Jí |      |fl3.   fl33 I
Ifl32a33|/
\+ \A\
■    Věta 2.7,:   Nechť A, B  jsou podobné matice: Pak matice  A, B  mají
1.        stejné determinanty, tj.    \A\ = \B\
2.        stejnou hodnost, tf.   h(A) = h(B)
3.        stejné charakteristice polynomy, tj.    \A — XJľ   | = \B ~ \E  |
[Důkaz;   nechť  A, B S Mat^r) jsou podobné matice, teil, existuje regulární matice  S   tak, že  B = S~l.A.S.   Potom:
1.   užitím Cauchyovy věty a V.3.9.3., kap. IV, dostáváme:
\B\
\S-KA.Si^,lA\
2.   užitím V.4.5.2., kap. IV. je:  h(B) = h^KA.S) = /lU.S) = h(A)
3.   užitím Cauchyovy věty a zřejmého faktu, Že  A.Zs   = S~l.{\.E ) . 5,  dostáváme:
\B-\En\ *\S~lA8-S-*(KEa)S\ = |J-»tf - M„)S\ -X.. ]A - \E„ | . \S\ '   '      = \A-\E\   ]
\S\
1
Poznámka;   připomeňme, Ze předchozí větu nelze obrátit, tzn. rovnost determinantů, rovnost hodností a rovnost charakteristických polynomů dvou matic jsou pouze nutné, nikoliv však dostateCné podmínky pro podobnost těchto matic.   Vezmeme-li např. matice
1  . 0
B =
1     1 0    1
pak zřejmě \E2\ = \B\, h(E2) ±<h(B) a |E2- \E2 | = |B - IE2 |, ale matice E2 a B nejsou podobné (neboť pro každou regulární matici S fádu 2 je S~1.E2.S = E2, což znamená, že matice  E2   je podobná pouze sama sobě).
Jak již bylo řečeno,   všechny matice dané lineární transformace  <p jsou navzájem podobné. Z předchozí věty potom plyne, Že determinant (resp. hodnost, resp. charakteristický
- 177 -
polynom) všech matic dané lineární transformace  ip Je vždy stejný. Vidíme tedy, že tyto pojmy závisí pouze, na lineární transformaci samotné, nikoliv na její konkrétní matici v jisté bázi. Z tohoto zjištění pak plyne korektnost   následujícího.pojmu a věty.
Definice:   Nechť   <p je lineární transformace vektorového prostoru   V;  nechť. A  je matice lineární transformace  v?  (v jisté bázi prostoru   V). Pak charakteristický polynom matice  A,   tj.    \A — 'rM\,   se nazývá charakteristický polynom lineární transformace  y>. ■
Věta 2.8.:  Nechť  \p je lineami transformace vektorového prostoru   V a nechť A  je matice lineární transformace   <p (v jisté bázi prostoru   V).   Pak: '           '
dim Im v? = MA)                                                                                                  ŕ
neboli:   hodnost lineární transformace   y je rovna hodnosti její matice A.
.[Důkaz:   nechť  A  je matice lineární transformace  <p v bázi  \i{, . ; . , un,  kterou oznaěme (1). Podle V.l.2.2. vektory   ^(u^ , . . . , <r(un)  jsou generátory podprostoru   if{V) = = Im f,  přiíemž souřadnice těchto vektorů v bázi (1) tvoří po řadě řádky matice A',  tj. transponované matice k matici  A.
Přiřadíme-li nyní každému vektoru z . V uspořádanou rc-tici jeho souřadnic v bázi (1), dostaneme.izomorfizmus prostoru   V na prostor   T",  pomocí něhož již lehce ukážeme, Že h(A') = dim Im <p (rozmyslete si podrobně sami!). Ale h(A') = h{A),  a tedy  dirn Im y » = MA). }
§3.   Vlastní vektory a vlastní hodnoty lineární transformace
Definice:   Nechť  ip je lineární transformace vektorového prostoru   V.   Podprostor   W vektorového prostoru   V se nazývá invariantní podprostor vzhledem k   </> ,  je-li: ip{W) £ w,  tzn. pro libovolný vektor  xSW  platí  $» e W.
Příklad 3.1.:   Nechť   K je libovolný pevný vektorový prostor nad   T.   Uvažme
1:   identickou lineární transformaci  iáv : V -> V;  pak zřejmě každý podprostor  W ve   V je invariantní vzhledem k   idK .
2:   nulovou lineární transformaci   cj : V -*■ V (definovanou: co(x) = o,   pro Y x SK); pak opět každý podprostor   W  ve   K je invariantní vzhledem k   co .
3:   libovolnou'lineární transformaci   y : V -* V;  pak triviální podprostory ve   V  (tzn. podprostory    {o}   a   V) jsou invariantní vzhledem k  ip . ■
	
SCT ffifffigSSgyffi	t&iixi
'* r^r^»" ■	{i&K/ä
^^'Iř^fepfíísElj	\i?$<
	m WĚ šili

S -j
1
- 178
Příklad 3.2.:Ve   vektorovém prostoru   R2   uvažme podprostor   11/ =  {(x, o)| x€R) a dále uvažme dvä lineární transformace   ifi  a   ý   prostoru   R2,   definované:
£((*,, X2.)) = (*,+ x2, 0) ir((x1, x2)) = (x2, xt)
pro každé   (x(, x2) E R2
Lehce se ověři, že   W je invariantní podprostor vzhledem k  <p,  zatímco tentýž podprostor W  není invariantním podprostorem vzhledem k   ip   (neboť například   (1,0) S IV,   ale ý((l,0)) = (0,1) p W).
Poznámka:   v příkladu 3.1. jsou uvedeny speciální, triviální případy; uvědomrrie si, Že obecně podprostor   W.   muže, ale nemusí být invariantní vzhledem k  <p a dále, že podprostor, který je invariantní vzhledem k jedné'.lineární transformaci, nemusí být invariantní vzhledem k jiné lineární transformaci (viz příklad 3.2.). Vidíme tedy, že pojem invariantního podprostoru je vždy vázán na pevnou lineární transformaci.
Další příklady obecných konstrukci invariantních podprostoru (vzhledem k   <p)  nám ukáží následující dvě věty.
Věta 3.1.:   Nechť  <p je lineami transformace prostoru   V.   Pak jádro   Ker \p a obraz Im <p jsou invariantními podprostory vzhledem k  ip.
[Důkaz:   podle V. 1.5. jsou   Ker p  i  Imip  podprostory ve   V.   Ukážeme jejich invariantnost vzhledem k  p:   nechť  u £ Ker <p libovolný; pak  ip(u) = oE Ker <p  a tedy Ker  ifi je invariantní vzhledem k  p.   Dále, nechť  u £ Im <p libovolný, tzn, zřejmí u SK. Pak ale  p(u) eyj(K) = Im \p a  Imif je tedy invariantní vzhledem k  <p, )
Věta 3.2.:   Nechť  ip je lineární transformace prostoru   V;  nechť  Wl.....Wk  jsou
podprostory ve   V,   které jsou invariantní vzhledem k  <p.
Pak průnik  (IV,  n ... n W't)  a součet  (II/,+ . . . + Wk) jsou invariantní podprostory
vzhledem k  <p.
[D ů kaz:   víme, Že   (IV, n ... n Wk),   resp.   («/,+ ve    V;   Dále:
+ W )  jsou podprostory
a)   nechť   u S IV;  O . . . n W    libovolný; pak  u S Wf   a podle předpokladu (<u)£llj,
pro i = i,.... k. Teay ip(u) e w, n
invariantní podprostor vzhledem k   <^>.
. n W. ,   tož zuamcmi, Ke   Fť, ň , . . A «^   j*
- 179 -
b)  oznafime   W - W, + ....+ W     Nechť  u € W,  tin.   u = u,+ . . . + u, ,  kde a, e Wr   Pak ale  <p(u) » ^(u,+ , . . + ufc) = ipfu,) + . . . -i- p(\xk) e W,   neboť podle předpokladu   ŕ(ttj} _S W(.   Tedy   IV je invariantní podprostor vzhledem k   </j. ]
i      Důležitou roli při studiu lineárních transformací hrají jednodimenzionální invariantní podprostory. Z kapitoly o vektorových prostorech víme, Že jednodimensukmální podprostor W ve vektorovém prostoru   V  (nad   T) je generován jedním nenulovým vektorem   u e V, . tzn.je pak:
w. = /„(u) a {if.ii | r e d                             '          ,
Máme-li navíc dánu lineární transformaci  <p  prostoru   K,   pak zřejmé podprostor   W = Z,(u) je invariantní vzhledem k   f  pravé když existuje Číslo  X 6 7'  tak, že  p{\\) -■ X.u,   tzn. pravé když se generátor  u   podprostoru   W  zobrazí na jistý svftj násobek (rozepište si podrobné sami!). A právě vektory tohoto typu se budeme v dalším zabývat. •
Definice:   Nechť  <p je lineární transformace vektorového prostoru   V (nad   T). Nechť u 6 V,   XET  splňují;
u ť£ o    A     <p(u) ~ X.u
Pak clslu   X  se. nazývá vlastní hodnota lineární transformace  p  a vektor   u   so nazývá vlastní vektor lineární transformace   p,  příslušný vlastní hodnotě   X.
Poznámka:   z předchozí definice ihned plyne, Že je-li  u   vlastním vektorem  f,  příslušným vlastní hodnotě   X,  pak také každý nenulový vektor   w£I(u),   tj. každý nenulový násobek vektoru  u,  je rovněž vlastním vektorem  <p,  příslušným téže vlastní hodnotě   X.
Příklad 3.3.:   Nechť   V je vektorový prostor nad   T.   Dále:
1.   nechť  iáv : V -* V je identická lineární transformace prostoru   V.   Pak zřejmě každý nenulový vektor z   K je vlastním vektorem  \dv,  příslušným vlastní hodnotě   X=l   (což je jediná vlastní hodnota  idK).
2.   nechť   w : V -+Y je nulová lineární transformace prostoru   V.   Pak podobně každý nenulový vektor z   K je vlastním vektorem transformace   u>,   příslušným vlastní hodnotě
X = 0   (což. je opět jediná vlastní hodnota   co).
3.   nechť   ip : V ■+ V je libovolná lineární transformace. Pak všechny nenulové vektory l Ker ip (pokud e?s.Í5tuj() jsou vlastními vektory  v3,  příslušnými vlastní hodnotě  X = 0,  Přitom
180

II

samozrejmé   ip  múze obecné mít další vlastní hodnoty a jim odpovídající vlastní vektory. Príklad 3.4.:   Nechť   5 : R„[x] '-*■ R„[x] je lineární transformace derivování (viz píU kiad 1.3.).   Bezprostredne je vidět, Ze polynomy stupně nula (tj. nenulové' reálné konstantní polynomy) jsou vlastními vektory transformace   5 ,  příslušnými vlastní hodnote   X = 0   a ze Žádné jiné vlastní hodnoty'« vlastní vektory   5   neexistují.
Předchozí příklady vlastních hodnot a vektorů byly víceméně triviální. Úplný popis vlastních radnot a vlastních vektoru lineární transformace v obecném případ? podává následující veta.
VSta 3.3.:  Necht], \p je lineární transformace vektorového prostoru   V nad  T. Pak:
1.    vlastními hodnotami  <p jsou pravé všechny kořeny< f patřící do   T)  charakteristické-ho polynomu transformace  \p
2.   je-li  X 6 71 vlastní hodnota  <p,   pak vlastní vektory  <p,  příslušné  X,  jsou pravé všechny nenulové vektory z podprostoru   Ker (ip - X.id,,).
[D ô kaz:   ad 2:   nechť  X£ T je vlastní hodnota  \p.   Pak  u £ V je vlastní vektor <p,  příslušný vlastní hodnote  X,   právě když
(1)               u ¥= o    A    ^(u) = X.u                                                                     sj
Ale  X.u = X.idK(u),  a tedy po dosazení a úpravě (1) dostáváme ekvivalentní podmínku:
(2)           .   »ŕo    A    (y- X.idF)(u) = o
Ale množina vektorů splňujících (2) je rovna množine všech nenulových vektoru z podprostoru   Ker (^ - X.id  )  vektorového, prostoru   V.
ad 1  : z právě dokázaného, z V.2.8. a z V. 1.7. plyne: X je vlastní hodno-ta  <p   <* X 6 T a  Kst(ip - X-idy).^ {o}  # \£ľ a matice lineární transformace <p - X.id,, (v pevné bázi prostoru   V)  je singulární. Ale, je-li A   maticí lineární transformace  <p  (v pevné bázi   V),  pak  (A - \.En)  je maticí lineární transformace  <p - \.idy   (v téže bázi). Tedy pak: X je vlastní hodnota  yj   -*•  X e 7 a   \A - \.En | = O,   neboli   X e T je kořenem charakteristického polynomu lineární transformace  <p. ]
Důsledek:   Nechť <p je lineární transformace prostoru   V,   nechť  A = (al/),l<i,j<n, je matice   <p (v dané bázi prostoru   V) a nechť  X je vlastní hodnota  ý,   Pak:   vlastní vektory transformace  <p,   příslušné  X  (vyjádfené v dané bázi) jsou pravé všechna nenulová
- 181 -
feŠení. soustavy lineárních rovnic:
(a,,- Xpc, +al3x2   +...+  alnxn   =0
ai, *,      . + («„-X)i,+...+ a2nxn   = 0 (3)
[Důkaz:   nechť   Uj.....un   je daná báze   V  a nechť vektor  u   má v této bázi
souřadnice   (x^.....xn),   tj.   u.s ^,u,+ • • • + *„«„■   Pak po dosazení a úpráve dostáváme:
((P - XJd^Xu) = tfa) - X.u = ((a,,- \)xt + anx2+ . . . * «,„*„) . u,+
+ KiXl+Kl~  ^X2+ ■   •   ■ + ■»„*»)  •  U2+  •   •   • + K.-ri+ S„2^2+  •   ■   •  +  K,," ^V'U, ■
Podle předchozí věty je však  u  vlastním vektorem transformace  <p,  příslušným vlastní hodnotě   X   právě když   iío   a   u 6 Ker (<p - X.idj,).   Aie to, vzhledem k předchozímu vyjádření, nastane právě když  u je nenulový a jeho souřadnice splňují (3). ]
. Poznámka:. I.   s problémem nalezení vlastních hodnot a vlastních vektorů se velmi Často setkáváme při řešení praktických úloh, a to nejen v matematice, ale í v různých technických aplikacích. Uvědomme si však/že předchozí věta nám dává odpoveď pouze na teoretické úrovni, neboť hledání vlastních hodnot převádí na hledání kořenu polynomu 'i-tého stupnČj což je úloha, která obecne není algoritmicky řešitelná. Samozřejmé  existuje pro hledání vlastních hodnot a vlastních vektorů řada numerických metod, které však zde nebudeme uvádět, neboť přesahují rámec tohoto, kurzu.                                ' /■
2.   Poznamenejme ještě, že z hlediska aplikací bývá výhodné sestavit z vlastních vektorů bázi prostoru   V (pokud samozřejmě taková báze vůbec existuje), neboť potom se celá situace početné velmi zjednoduší. Důvodem je, že daná lineární transformace má pak. v takové bázi diagonální matici. (Diagonální matice je Čtvercová matice, v níž všude mimo hlavní diagonálu stojí samé nuly; při tom v hlavní diagonále nuly být mohou, ale nemusí.)
Skutečně, je-li   Uj.....un   báze prostoru   V,   sestávající z vlastních vektorů lineární
transformace   ip,  příslušných vlastním hodnotám   Xt.....Xn,   pak je   </>(u,) = \,.u,, . . .
. . . , <r(u  ) = X .u , a tedy matice lineární transformace <p v bázi u,,... , u    má tvar ' rK   n      n    n         J                                                 in
182 -

i
I
m
•m
si
I
I
I
Naopak, má-li lineární transformace   <p  v nejaké bázi   Uj, . . . , un   diagonálni matici
tvaru (4), pak  u,.....un   jsou zřejmě vlastními vektory lineární transformace  <p,
příslušnými vlastním hodnotám   A,, . . . , X    (jak plyne ihned z definice matice lineární transformace).
Následující úvahy nás přivedou k jedné dostatečné podmínce pro existenci výše popsané' báze, tj. báze sestávající z vlastních "ektoru dané lineární transformace.
V6ta 3.4.:   Nechť  ip je lineární transformace prostoru   V.   Pak vlastní, vektory lineární
transformace   tp,   prlsluíné navzájem různým vlastním hodnotám, jsou lineárne nezávislé.
[D ů k a z:   nechť  u,.....ut   jsou vlastní vektory lineární transformace  ip,  přísluš-
1                                K
ne" navzájem rfizným vlastním hodnotám  Xj;, . . . , \.   Z posloupnosti vektorů u,,. .. , u^,. vybereme libovolnou maximální lineárně nezávislou posloupnost. Bez újmy na obecnosti lze
předpokládat, že ji tvoří například prvých  r  vektorů, tj.   u,.....ur.   Zřejmé je  1 </■<&.
Dále pokračujeme sporem; předpokládejme, Že   r < k.  Pak lze ale psát;
(5)      &^*.-£fft"s'i*f
r
odkud po vynásobení číslem   X   .    dostáváme:   X.+ ,u+1 = 2Xr+ ltlal
Současní však je:   \+ , ur+ ( = <p(ur+,) = <p( 2 í(u,) = 2 f^ú. Porovnáním pravých stran pak dostáváme:
X Ar+ j f,u, = 2 f,X(u, ,    odkud:     Ž f,(Xr+, - X,)u, = o
I                    Z předpokládané lineární nezávislosti vektoru   u,, . . . , uf   však plyne, že   tf . (Xr+1- X() ;
= 0,   pro   ;' = l, . . . , r.  Podle   pfedpokladu věty je však   Xr+1 - X,^ 0,   a tedy musí být
t. - 0,   pro   i => 1, . . . , /■.   Po dosazení do (5) pak dostáváme, Že   u       = o,   což je ale
1            '
|                    spor s definicí vlastního vektoru. Je tedy  r = k,   tzn. vektory   u,.....ufc   jsou lineárně
';                   nezávislé. 1
DíiskíSek:   Nechť   *p je lineární transformace n-dimenzionálního vektorového prostoru i',   která má   n   navzájem různých vlastních hodnot. Pak matice lineární transformace   <p i» bázi sestávající z vlastních vektorti, příslušných těmto vlastním hodnotám, je diagonální.
[D úkaz:   nechť  u,.....un jsou vlastní vektory,, přísluíné navzájem různým vlastním hodnotám   Xt.....Xfl   lineární transformace  tp.   Pak podle předchozí věty vektory
Oj,;..    . , ua   tvoří bázi prostoru   V  á tvrzení, důsledku ihned plyne z 2. Části poslední poznámky. 1
§4.   Ortogonální zobrazení, ortogonální matice
V tomto paragrafu se vrátíme k euklidovským vektorovým prostorům (tj. k vektorovým prostorům nad   R,  v nichž je definován skalární součin) a budeme studovat vzájemné vztahy mezi nutrii. Použijeme k tomu lineárních zobrazení (podobně jako u vektorových prostorů v §1 a §2), která však navíc budou "zachovávat skalární součin".
Definice:   Nechť   V, V  jsou euklidovské vektorové prostory; nechť  y? : V •* V Je 'lineární zobrazení, pro níž platí:
u.v - ip(\\) . ip(v),   pro každé   u, y 6 V
Pak tp se nazývá ortogonální zobrazení euklidovského prostoru   V  do   V.
.fe-li navíc zobrazení   <p  bijektivní, pak se nazývá izomorfizmus euklidovského prostoru V   na   V   a euklidovské prostory   Vl V  se nazývají izomorfní.
Je-li specielně   V = V,   pak Se ortogonální zobrazení  ip  nazývá ortogonální transformace euklidovského prostoru   V.
Podmínku "zachování skalárního součinu" z předchozí definice je možné vyjádřit několika ekvivalentními způsoby, jak ukazuje následující vSta.
V&ta 4.1,:  Nechť   V, V jsou euklidovské prostory a \p: V -* V je lineární zobrazení. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:
(ti      u.v = ip(u.) . tp(v)              pro kaídé u, v & V
(ii)      llu II = ll<r(u) II                    pro každé  u £ V
(íii)    jsou-li  u,, . . '. , «.  ortonormální vektory ve   V,   pak  ^(«J, - ■ ■ , V(«s)  is0u ortonormální vektory ve   V.
spi
■mimm
: '"\:'{\
Ü
- 184
[D ů k a z:   "(i)   =*   (ii)":   nechť platí (i) a nechť   u e V.   Pak (užitím (i)) dostáváme: ílulP = u.u = vatu) . ,0(11) = lly5(u)B2,   odkud pak   llull = ll^u)«.
"(Ü)   ■*   (iii)":   nechť platí (ii) a nechť   u,.....U)c   jsou ortonormální-
vektory ve   V.   Nechť  i, j = 1, . . . , k.   Pak (užitím (ii)):
-   pro   i =/   platí:   ^(u,) . ^(u,) = llip(u,)l3 = fa, IP = 1
-   pro   i 5*/   platí:   2.y>(u,) . rfuj = #ttj + u;) . ^(u, + uy) - v>(u,) . $«,)-'
- ¥>("/) • tfu,) = llf(u, + upIF-ll^u,)»2- Houpli2 = llu( + U/IP- liti, IP- llu IP = = 2.uriiy = Ü ,   odkud tedy   <r(u() . <r(u;) = 0.
Dohromady dostáváme, že vektory   ^(u,),..., <f(uk)   jsou ortonormální.
"(iii)   "»  (i)":   nechť platí (iii) a  u, v e V.   Je-Ii   u = o,   pak zřejmě platí (i). Nechť tedy   u ¥= o.   Mohou nastat dva případy:                                         ,
a)  vektory  u, v jsou lineárně nezávislé; pak podle poznámky za V.2.3., kap. VI. existuj! ortonormální vektory   e,, e2   tak, Že.   u-BV.i.*n +t'je2.   v = ,;iei +v2e2-   Podle (iii) však  ^(e,),   y?(e2)  jsou ortonormální vektory a platí:                                                                       "
•P(u) . y?(v) = ríUje, + tíae2) . iK.vlel + v2e,X- w,^t + ui»3 = u.v
(3)   vektory   u, v  jsou lineárně závislé; pak opSt podle poznámky za V.2.3., kap. VI.   existuje normovaný vektor  e   tak, že   u = - t. e;  v = s.e.   Podle (iii) je vektor  <p(e)  normovaný a platí:
¥>(u) , \p(v) - ifi{t.e) . v>(s.e) = t.s - (ŕ. e) . (j. e) = u.v
Dohromady tak dostávame, že platí (i). ]
Věta 4.2.:   (Věta o izomorfizmu euklidovských prostorů) Dva euklidovské prostory jsou izomorfní právě kdyí maj( stejnou dimenzi.
SP
I
[Důkaz:   nechť   V, V jsou euklidovské prostory. Potom:
"->":   nechť   V, V jsou izomorfní (ve smyslu izomorfizmu euklidovských prostorů). Pak jsou   V, V   izomorfní jako vektorové prostory a podle věty o izomorfizmu vektorových prostorů je   dim V = dim V.
"<=":   nechť   dim V = dim V = n,   Je-li  n = 0,   pak zFejmě   V a • V jsou izomorfní. Nechť tedy   n > 1   a nechť dále

- 185 -
(I)    et, . , i , e(l   je ortonormální báze   V,   resp. (ľ)   e].....e'n   je ortonormální báze   V.
n
Nechť   u 6 V je libovolný vektor, přičemž   u = 2 u,e,.   Položme:
i=i
H                           .
V?(u) *  Z u,e'
i- 1
Pak   y? je zřejmě zobrazení prostom   V  do   V,   o němž se rozepsáním lehce ověří, Že je bijektivní a že je lineárním zobrazením. Navíc je:
Mu)IP = ip(u) . rtu) = ( S H.e!) . ( 2 u,eľ) = u,u+... + uu   = u.u = IlulP
»      ■                                       (sa 1      *     *      .         ís* 1     /     '                 11                                Fl       rt
tzn.    Iyj(ii)ll = llu II,   a   tedy >p je podle V.4.1. ortogonálním zobrazením. Dohromady pak ifi je izomorfizmem euklidovského prostoru   V  na   V. ]
Věta 4.3.:   Nechť   V,  V jsou euklidovské prostory,   y : V -» V je ortogonální zobrazení. Pak   ip je injekiivní zobrazení.
[Důkaz: nechť x e Ker <p, tzn.. f(x) " o\ Pak podle V.4,1. je: llx II = ll<r(x)ll = = Ho'11=0', a tedy (podle V.l.4.1., kap. VI.) je x = o. Dostávárne, že Ker ip = {o), odkud podle V. 1.6. plyne, že  v5   ie injektivní zobrazení. ]
Ve zbývající části tohoto paragrafu se budeme zabývat ortogonálními transformacemi daného euklidovského prostoru   V.   Je-li specielně   V =  {,o}   nulový euklidovský prostor, pak zřejmě jedinou možnou ortogonální transformací prostoru   V je identické zobrazení. Tento triviální případ nebudeme v dalším uvažovat a budeme se zabývat pouze ortogonálními transformacemi nenulového euklidovského prostoru   V.   Některé základní vlastnosti  ■ ortogonální transformace nenulového euklidovského prostoru popisuje následující věta.
Věta 4.4.:   Nechť  y : V -» V je ortogonální transformace euklidovského prostoru   V. Pak platí:
1.    if je bijektivní zobrazeni
2.    inverzní zobrazení <p~l   je ortogonální transformací prostoru   V
3.   je-li   \   vlastní hodnota ortogonální transformace   <p,   pak   X = ± 1
[Důkaz:    1:   plyne přímo z V.4.3. a z V.2.1.
2:   zřejmě  <p~l  : V-+ V  a podle důkazu V. 1.8. je   <p~l   lineárním zobrazením. Dále, nechť   u, v e V  libovolné;   označme  <p~l{u) " X,  y>"'(v) = y-   Potom
Ül                       ■■'■■■
m                                                                          -186 -
ip(X) = u,   tpty) = v   a platí:   u.v = <p(x) . <p(y) = x.y = v»_I(tj)<f'(v),   ten. dostáváme, že ^"'   je ortogonální transformace euklidovského prostoru   V.                     /
S                                           3:   nechť   X  je vlastní hodnota  yj  (tj. musí být   X G R)   a nechť  u  je
vlastníívektor  %  příslušný vlastní hodnotě.  X.   Pak je  ip(u) = X.u.a  u =ŕ o,   odkud: u.u = yj(u) . </?(u) = (Xu) . (Xu) = X2, (u.u).   Ale   u.u ý* 0  (poněvadž  u # o),   a tedy musí být   X2 = 1    neboli   X = ± 1. ]
m
Každá ortogonální transformace (euklidovského) prostoru   V je zřejmí lineární transformací tohoto (vektorového) prostom   V,   a tedy môžeme sestrojit její matici v nějaké dané bázi prostoru   V,   specielně např. v dané ortonormální bázi prostoru   V.   Ukážeme, Že v tako ve'm případě bude pak mít tato matice jistý specielní tvar.
S
Definice: Nechť A je Čtvercová matice nad R taková, že A je regulární a platí: A"1 = A' (tj. inverzní matice je rovna matici transponované). Pak matice A se nazývá ortogonální matice.
Věta 4.5.:   Nechť A  je čtvercová matice řádu  n   nad  R.  Pak následující výroky
S          ■ /sou ekvivalentní:
(i)      A   je ortogonální matice |                     iii)     A.A' = En
8                     (iii)    A'.A = En
.[D ů k a z:   věta plyne bezprostředně z definice ortogonální matice, definice inverzní
Ü
matice a poznámky za V.3.10, kapitoly IV. ]
I
ff                     Věta 4.6.:   Nechť  A, B jsou ortogonální matice řádu  n.   Pak platí:
8             /,   A.B je ortogonální matice
2.   A~l   je ortogonální matice
I .i.   \A\ = ± 1
[Důkaz:    1.   (A.B) . (A.B)' = A . (B.B') . A' = A.En.A' = A.A' »B'n,   a tedy podle
V.4.5. je   A.B   ortogonální maticí
Ü
$                                         2.   plyne z V.4.5., uvážíme-li, Že   (A')' = A,
3.   víme, že    \A | = \A'\,   tzn. pak z V.4.5. a z Cauchyovy věty dostává-3              me:    1 =  \En \ =  | A.A' | =  |4 I • \Á I = M 12 -   odkud    M I = ± 1. ]
- 187 -
Důsledek:  Množina všech ortogonálních matic řádu  n,   s operací násobení matic, je
grupou.
(
[Důkaz:   tvrzen! plyne z předchozí věty, uvědomlme-li si, že násobení matic je asociativní a že jednotková matice  En   je^ ortogonální. ]
Věta.4.1.:   Nechť   V je euklidovský prostor a   \p : V-* V je lineární transformace. Pak:   ífi je ortogonální transformace   «•  matice transformace    </?      v ortonormální bázi prostoru    V   je ortogonální.
[D ů k a z:   nechť
U)             e,......e„
je ortonormální báze prostom   V a nechť A = (af.) je matice lineární transformace  y. r bázi (1). Pále:
"=*":   nechť   <p je ortogonální transformace prostoru   V.   Pak podle V.4.1. vektory </tfe, ).■■-, <r(e„)   tvoří ortonormální bázi prostoru   V.   Označme  A.A'= B = (btj).   Potom:
b,t " fjm-% = (fliie.+ ■ ■ • + «*•«> ■ tyV • • •+<V»> " Vty ■ V(e/)'  odkud Plyne' že btj = 1   pro  !.= /,   resp.   Ď   = 0   pro   /=£/.   Tedy  A.A'= En   a podle V.4.5. je matice  4 ortogonální.                                                                                                                 '
*+=":   nechť matice  A   je ortogonální, tzn. platí (dle V.4.5., část (iii)):
;i                    i    1     pro   i = j
(2)         íf*>'a«r    \0    pro   t*l
n
Nechť dále   u £ K libovolný, přičemž   u = 2 u,e,.   Potom:
/=i
llull2 = u.u = Xuf.
Dále:   ^u) =2 u,.&?,) « 2 «,   íí,^ = 2 ( | «*,«,) . efc , odkud rozepsáním a úpravou dostávame:
lí<p(u)[l2 = v»(u) . rtu) -  Ž    I (  Ž a   a   )utu   ,   tzn. po dosazení (2) je pak
/= 1  /= 1     k= 1            '       . '

ll<ŕ(u)P =  S«2.   Dohromady tedy   Hol* = Uv)P,   neboli   Hull = llp(u)ll,   což znamená,
i» i                                                                                                                                                                                                      '
&   i/? je ortogonální transformace. ]                                         t
Na záver ještč ukážeme, že maticemi přechodu od ortonormální báze k ortonormální bázi euklidovského prostoru jsou pravé ortogonální matice.
Věta 4.8.;   Nechť
i3)             ll......»„
<4>                  v......J»
jsou báze eukliduvského prpstoru   V a nechť báze (3) je ortonormální. Pak platí: matice přechodu od báze (3j k bázi (4) je ortogonální •»  báze (4) je ortonormální.
[D ů k a z:   nechť A = (a ) je matice přechodu od báze (3) k bázi (4), tzn, platí: v. =  X a, u, ,   pro  i = 1.....n.   Potom však:
Vi-vi = (
J/^V • fefjVP = °wV ■■■ + "nrnf
odkud již (užitím V.4.5.) bezprostředné plyne celé tvrzení věty.

■