66
9. Těleso komplexních čísel
V 8. kapitole (věta 8.2 (b)) jsme viděli, že v tělese reálných čísel nemá binomická rovnice xn — a řešení pro záporné reálné a a sudé přirozené číslo n (n > 2). Speciálně nejjednodušší taková rovnice x2 + 1 = 0 nemá řešení' v reálných číslech. Proto se konstruuje nadtěleso tělesa reálných čísel - těleso komplexních čísel, ve kterém rovnice x2 + l = 0 řešení má. Ukazuje se pak, že v tomto tělese komplexních Čísel má každá binomická rovnice n-tého stupně právě n řešení.
Hlavní důvod pro konstrukci komplexních čísel však spočívá v tom, že pomocí nich je možné řešit některé úlohy, jejichž formulace i řešení jsou z oboru reálných čísel. Příkladem jsou Cardanovy vzorce (9.23), pomocí nichž je možné spočítat reálné kořeny kubického polynomu s reálnými koeficienty.
9.1. Věta. Těleso reálných čísel R lze vnořit do tělesa, ve kterém má rovnice
x2 + 1 = 0 řešení.
Důkaz. Položme C = R x R = {[ a, b ] | a € R, b £ R}. Pro acta [ a, b ] £ C, ß = [ c, d ] £ C, kde a, 6, c, d £ M, položíme
ot + ß a* [a + c,b + d], et ■ ß =s [ac— bd,ad+ be ].
Pak + a • jsou zajisté operacemi na množině C Zřejmě (C, +) je komutativní grupa, neboť [0,0 ] je její nulový prvek a pro libovolné a — [a, b ] £ C je opačným prvkem -a = [ -a, —b ].
Dále je vidět, že (C, •) je komutativní grupoid s jednotkovým prvkem [1,0] a lze ukázat, že tento grupoid je asociativní. Operace + a ■ jsou svázány distributivním zákonem, a tudíž (C, + , ■) je komutativním okruhem s jednotkovým prvkem [1,0].
Ukažme, že okruh (C, +, •) je tělesem. Nechť a — [ o, b ] £ C, a ^ 0. Pak a2 + 62V 0, a tudíž můžeme položit £ = [grfp-, - aa^.ta ]• Paka-£ = £-a — [1,0 ], tudíž £ = a~1 pro libovolné nenulové a, takže (C, + , ■) je tělesem.
Položme nyní i = [ 0,1 ]. Pak i2 = [ -1,0 ], a tedy i2 + [ 1, 0 ] = 0. Rovnice x2 + 1 5= 0 má proto v C řešení.
Pro r € R položíme ip(r) = [r, 0 ]. Promyslete si, že i[i je opravdu vnořením tělesa R do tělesa C. Věta je tím dokázána.
9.2. Definice. Těleso C = (C,+ ,•) zkonstruované v důkazu předchozí věty se nazývá těleso komplexních čísel, označuje se písmenem C a prvek z množiny C se nazývá komplexní číslo. Vnoření ip nazveme kanonické vnoření tělesa R do C. Reálné číslo r se ztotožňuje se svým obrazem při kanonickém vnoření ip. Tudíž r = [ r, 0 ] a těleso reálných čísel je proto podtělesem tělesa komplexních čísel (R C C). Prvek [0,1 ] se označuje symbolem i a nazývá se imaginární jednotka.
Za této úmluvy pak pro komplexní číslo a = [a, b ] platí:
a = [a,0 } + [b,0]-[0,1 ] = a + bi.
Kap. 9. Těleso komplexních čísel
67
Dostáváme tak tzv. algebraický tvar komplexního čísla.
Je-li a = a + bi, ß = c + di, kde a, b,c,d € M, pak pro operace s komplexními čísly platí následující vztahy:
a + ß = (a + c) + (b + d)i,
a ■ ß — (ac — bd) + (ad + bc)i,
pro a ^ 0 je
_i a b
a = aT+o2 " aT+¥'1'
Těleso komplexních čísel je v následujícím smyslu nejmenší těleso, do kterého lze vnořit těleso R a ve kterém rovnice x2 + 1 = 0 má řešení.
9.3. Věta. Nechť f je vnoření tělesa R do nějakého tělesa P, ve kterém existuje prvek TT, který je řešením rovnice x2 + 1 = 0. Pak existuje jediné vnoření f tělesa komplexních čísel C do tělesa P tak, že f o -0 — f a f (i) = ix.
Můžeme říci, že diagram na obrázku 8 komutuje:
C
I / I I \
P
Obr. 8.
Důkaz. Nechť ir 6JP je řešením rovnice x2 + 1 = 0 v. tělese P, tedy n2 = —1, Definujme zobrazení / ; C -4 P tak, že pro a = [ a, b } = a + bi 6 C (a, b £ R) položíme
/(a) = f (a) + TT ■/(&).
Dokažme nyní, že / je injektivní zobrazení. Nechť a — [a,b ], ß' = [c,d ] £ C, f (a) = /(/?). Pak f(a)+7T-f(b) = /(c)+tt-/(d), odkud plyne Tv-f{b-d) = /(c-a). Jestliže 6 ^ d, je také /(ô - d) ^ 0, a pak 7r.= /{frf )• Tudíž reálné číslo |^§ je řešením rovnice x2 + 1 = 0. To však není možné, neboť rovnice x2 + 1 = 0 žádné řešení v R nemá. Musí tedy být b = d, a pak 0 = f (c — a), z čehož plyne c = o, tudíž a = /? a / je tedy injekce.
Nyní ukažme, že / je homomorfisraus. To, že / zachovává operaci + , se ukáže snadno. Podobně lze ukázat, že / zachovává i operaci • , neboť pro a — [a, b ],
63
Reálná a komplexní čísla
ß = [c,d] platí, že/(a) ■ /(/?) - (/(a>+ n -.f(b))(f(c) + n ■ f (d)) = f(ac - M) + + it ■ f (be + ad) = f (a ■ ß). Dohromady tedy dostáváme, že / je vnořením tělesa C do tělesa P a pro r 6 E máme f(ip(r)) = /([r,0 ]) = /(r).
Ukážeme ještě jednoznačnost vnoření /. Buď g vnoření tělesa C do tělesa P takové, že g(i) = tt agoip ~ f. Pro libovolně zvolené komplexní číslo a = [a,b ] je pak g(a) ~ g([a, 0 ] + [ b, 0 ] • i) = g(á) + n ■ g(b) = f (a). Věta je tím dokázána.
9.4. Tvrzení. Rovnice x2 + 1 = 0 má v tělese komplexních čísel právě dvě řešení {i, —i}.
Důkaz. Zřejmě oba prvky ±i jsou řešením rovnice x2 + 1 = 0 v tělese C. Ukažme, že žádná další řešení tato rovnice v množině C nemá. Nechť £ = [u, v ] = — u + vi € C (u, v 6 1) vyhovuje rovnici x2 + 1 = 0. Pak £2 = [ u2 - v2, 2uv j = = [ -1, 0 ], tudíž u2 — v2 = —1 a luv — 0. Z druhé rovnice dostáváme u = 0 nebo v — 0. Jestliže u == 0, pak v2 = 1, a tedy v = ±1 a £ = ±i. Je-li v — 0, pak musí
být u2 = -1, což však není v tělese reálných čísel možné.
o
9.5. Poznámka. Na tělese komplexních čísel C neexistuje lineární uspořádání < takové, aby platila základní početní pravidla, na která jsme zvyklí z množiny reálných čísel. Tím máme na mysli, aby pro každé a, ß, 7 e C platilo:
(a) q < ß =$> a + 7 < ß + 7, .-,:*, (i
. (b) 7 > 0, a <ß => a--y 0 nebo —í > 0, což by znamenalo, že i2 > 0 a také i4 > 0. Dostali bychom pak -1 > 0 a současně 1 > 0, což není možné.
Vlastnosti množiny reálných čísel vzhledem k uspořádání nám dovolují představit si množinu reálných čísel jako přímku, přičemž uspořádání reálných čísel odpovídá přirozenému uspořádání bodů na této přímce.
Množinu komplexních čísel si můžeme představit jako rovinu a to následujícím způsobem.
9.6. Definice.'Nechť jsou v rovině zvoleny dvě navzájem kolmé přímky (číselné osy) x ay. Pak každý bod této roviny je jednoznačně určen dvojící reálných čísel, která značí souřadnice tohoto bodu. Komplexní číslo a = [a,b ] = a + bi znázorňujeme bodem o souřadnicích a, b (viz obr. 9). Uvažovaná rovina se nazývá Gaussova rovina. Osa x se nazývá reálná osa, osa y se nazývá imaginární osa (popř. mluvíme o ose reálných čísel a ose imaginárních čísel).
Pro komplexní číslo a — [a,b } = a + bi definujeme absolutní hodnotu \a\ jako reálné číslo
\a\ - y/a2 + b2 (> 0). Číslo ä komplexně sdružené s číslem a je komplexní číslo
a — a — bi.
Kap. 9. Těleso komplexních čísel
Obr. 9.
Reálná část Re a komplexního čísla a je
Re a — a,
imaginární část Im a komplexního čísla a je
lva a — b.
Argument arg a komplexního čísla a ^ 0 je definován jako reálné číslo ip, pro
které platí:
a . b
cosy =7—r a srny = 7-7. \a\ \a\
Píšeme arg a = (p.
Zrejme argument není definován jednoznačně. Jestliže arg a = (p, pak ||a|-!/3||,
(f) pro ß ŕ 0 je |jH*=|jS|,
(g) |a|2 = a ■ ä, {h)~c7+ß = ä + ß~, (k)o7^ß~ä-ß,
(i) Rea = |(a + a),Ima = — |(a — a),
(j) pro a 7^ 0 je a — |a|(cos ip + i sin ip), kde
= arg a.
70 Reálna a komplexní čísla
9.8. Definice. Tvar uvedený v bodu (j) předcházející věty pro nenulová komplexní čísla se nazývá goniometrický tvar komplexního čísla a.
Komplexní číslo a — a + bi se nazývá komplexní jednotka, jestliže \a\ = 1.
9.9. Poznámka. Zrejme množina všech komplexních jednotek v Gaussově rovině je rovna množině všech bodů jednotkové kružnice (kružnice o poloměru 1 se středem v počátku souřadného systému).
Každé komplexní číslo a lze tedy psát ve tvaru a = \a\ • e, kde e je komplexní jednotka (pro a ■£ 0 určená jednoznačně).
Z poznatků analytické geometrie lze snadno odvodit následující tvrzení.
9.10. Tvrzení. Nechť a, ß, j jsou komplexní čísla, kterým odpovídají body A, B, G v Gaussově rovině a nechť O A + OB — OC (O značí počátek). Pak
a + ß = -y, \a-ß\ = \A~B\.
9.11. Moivreův vzorec. Nechť e , n jsou komplexní jednotky. Pak
arg(e •. 77) = arg g + arg r;.
Důkaz. Pro danou komplexní jednotku e uvažme zobrazení F : C —> C definované předpisem F (g) =.e • £ pro f € C Pak F je bijekcí množiny C na sebe a pro libovolná a,0 e C platí: \F(a - ß)\ = \a - ß\. Odpovídá-li číslu £ bod X v Gaussově rovině a číslu F(£) bod F, položíme S(X) = Y. Pak S je bijekcí Gaussovy roviny na sebe, pro body XirX1.
čísel
Kap. 9. Těleso komplexních čísel
71
9.14. Věta. Nechť n je přirozené číslo, a nenulové komplexní číslo, jehož goniometrický tvar je dán vztahem a — |a|(cosy + i siny). Pak binomická rovnice xn = a má v tělese komplexních čísel právě n různých řešení xo,..., xn-\ daných vztahem
,^.VĚl(cM*ate+iata*ate);
kde k = 0,1,... ,n - 1.
Důkaz. Z 9.12 plyne, že x% = \a\(cos
+ isini/>) komplexní číslo v goniometrickém tvaru, pro které platí xn = a. Pak je
xn = \x\n(cosntp + ismnip) = |o:|(cosy + i siny),
tudíž
|a;| == \/|a|, ntp — ip 4- 2/7T,
pro vhodné l e Z, odkud dostáváme V = i2±2Í£. Jestliže k e Z, 0 < k < n - 1, k = I (mod n), pak i/> => f+2fe7r 4. 2/i7r, pro nějaké celé číslo h. Tedy a; = xt, a věta je dokázána.
9.15. Důsledek. Pro přirozené číslo n má rovnice xn = 1 v těiese komplexních čísel právě n různých řešení xo, ■ ■ ■, £n-i daných vztahem
xk = cos2^ -Hsin2^-,
kde A; = 0,1,... , n — 1.
9.16. Poznámka. Komplexním číslům Xk = cos '—■ + i sin2— z předchozí věty, kde 0 < k < ú — 1, odpovídají v Gaussově rovině vrcholy pravidelného n-úhelníka vepsaného jednotkové kružnici tak, že jeden z jeho vrcholů je roven bodu o souřadnicích [1,0 ].
Každé z čísel xo,..., a;n_i se nazývá n-tá odmocnina z jedné.
Z vět 9.14 a 9.15 ihned dostáváme následující tvrzení.
9.17. Tvrzení. Množina řešení binomické rovnice xn — a v tělese komplexních čísel, kde n je přirozené číslo a a nenulové komplexní číslo, je rovna množině čísel xo ■ £, kde e probíhá všechny n-té odmocniny z 1 a xq je libovolné pevně zvolené komplexní číslo, které splňuje rovnost xß — a.
9.18. Poznámka. Každé číslo Xq ■ e z předchozího tvrzení se nazývá n-tá odmocnina z čísla a (pro a == 0 rozumíme 7j-tou odmocninou z 0 číslo 0) a často se značí iýa(y/Q = 0). Je však nutné zdůraznit, že se vždy jedná o nějakou
72
Reálná a komplexní čísla
n-tou odmocninu z a, aby nedošlo k záměně s jednoznačně definovanou n-tou odmocninou z reálného čísla a, totiž s číslem ýa pro a € E definovaným v 8.3!
Ukažme si, jak se dá řešit rovnice x2 = a v případě, že a není v goniometrickém tvaru.
9.19. Tvrzení. Nechť a — a-\-bi je komplexní číslo (a, b £ M). Pak množina
řešení rovnice x2 = a je dána čísiy
e^í(a + tfFŤ¥) + iri\J\{~a + Vo2 + Ď2),
kde £,77 e {1, —1} a
í 1, je-lib>0, £•77 = <
[ -1, je-lib < 0.
Zde symboly yf značí jednoznačně deßnovane druhé odmocniny nezáporných reálných čísel.
Důkaz. Z tvrzení 9.17 plyne, že rovnice a;2 = a má dvě řešení x% a £2 = —a?i. Položme aJi = ti + vi. Dosazením do rovnice se zjistí platnost rovností v? -v2 — a a 2uv = b. Umocníme-li obě tyto rovnosti na druhou a sečteme je, dostaneme (■u2 - v2)2 + 4u2v2 á= (u2 + u2)2 = q2 + b2, tedy, vzhledem k tomu, že a2 + 63 >,0, platí rovnost u2 + v2 ~ y/a2 4- b2. Odtud a ze vztahu ti2 - v2 = a dostaneme u2 = \[a + Va2 + b2), v2 = \{-a + Va2 + b2). Tudíž u = ±^\{a +y/oTTP), v = ±^(-a + Va2 + b2).
Znaménka + nebo — v těchto vztazích určíme z rovnosti 2tiu = b. Odtud již plyne dokazované tvrzení.
9.20. Definice. Nechť a, b, c jsou komplexní čísla, a^O. Rovnice
* ax2 + bx + c = 0
se nazývá kvadratická rovnice (nad tělesem komplexních čísel) a číslo D = b2 — Aac se nazývá diskriminant kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0.
9.21. Věta. Nechť a, b, c jsou komplexní čísla, a^O. Pak množina všech řešení kvadratické rovníce ax2 + bx + c = 0 v množině komplexních čísel je rovna množině {xi,x2}, kde
xi = —{-b+ \fb2 - 4ac), x2 = —(-6 - \A2 - 4ac). 2a 2a
Přitom odmocninou yf se rozumí nějaká pevně zvolená druhá odmocnina z komplexního čísla b2 — 4ac.
Pro čísla xi,X2 platí xi = x2, právě když diskriminant uvedené kvadratické rovnice je roven 0.
Kap. 9. Těleso komplexních čísel
7.3
Důkaz. Nejprve ukažme, že čísla X\,x2 jsou kořeny dané kvadratické rovnice. Evidentně platí, že
ax'i + bxx + c = -i-(č)2 - 2b\/b2 - 4ac + b2 - 4ac) + ~(-b + \/b2 - iac) + c = 0 4a Za
a analogicky ax\ 4- foc2 + c = 0.
Nechť je nyní xo komplexní číslo, pro které platí ax\ + bxo + c = 0. Pak po
úpravě dostaneme
xo + tr = ± — Vb2-4ac, 2a 2a
odkud plyne, že xq ~ X\ nebo x0 = x2. Každý kořen kvadratické rovnice tedy lze
napsat ve tvaru x\ nebo x2. Zbylá část věty je zřejmá.
Z předchozí věty přímo plyne následující tvrzení o kvadratické rovnici s reálnými koeficienty.
9.22. Tvrzení. Nechť D je diskriminant kvadratické rovnice ax2 + bx 4- c = 0 s reálnými koeficienty a {xi,x2} je množina všech řešení této rovnice v tělese C.
Paic platí:
(a) xi ^ x2, xx,x2 £R <=3> D > 0,
(b) $1 ^x2,xi,x2 eC-l^D <0,
(c) xx = x2, % € Í <=$ D = 0. V případě D < 0 je 12 = Sf •
Z věty 9.21 také ihned dostáváme další tvrzení.
9.23. Tvrzení. Množina všech řešení kvadratické rovnice x2 + px + q = 0 (p, g £ C) v těiese C je rovna množině {xi,x2}, kde
Dáie piatí: »1 -{■ x2 — -p, x\, • x2 = g. Druhá odmocnina z (|)2 - g zde značí nějakou pevně zvoienou druhou odmocninu z tohoto komplexního čísla.
9.24. Definice. Nechť a,b,c,d jsou komplexní čísla, a^0. Rovnice
ax3 + ke2 + cx + d — 0
se nazývá kubická rovnice (nad tělesem komplexních čísel).
Vynásobíme-li tuto rovnici číslem - a pak položíme x — X — ~, převedeme ji na tzv. kanonický tvar
X3 +pX + q = Q.
Budeme tedy dále uvažovat kubickou rovnici ve tvaru x3 +px + q = 0, kde p, q jsou komplexní čísla.
74 Reálna a komplexní čísla
Číslo
(g 3
5+27 se nazývá diskriminant kubické rovnice x3 -f pa: + g =j 0.
9.25. Věta. Nechť p, q jsou komplexní čísla. Pak množina všech řešení kubické rovnice x3 + px + q = 0 v těiese komplexních čísel je rovna množině {xi, x2, X3}, kde
Wi == (x + /?, !C2 = ea + e2ß, x3 — s2 a + eß.
Přitom \f ^ + 27 značí některou pevně zvolenou druhou odmocninu z komplexního čísla ^- + §7) dáie a značí některou pevně zvolenou třetí odmocninu z čísla
■*iv/í + §J;.W.
2 ' V 4 '27'
1 3I Q Iq2 P3
l a=V-2 + VT+27
I a/3 značí tu třetí odmocninu z čísla — f — y3^ + §7, pro kterou platí, zect-ß — — |,
I tudíž
Q'sJo í znač/ některou pevně zvolenou třetí odmocninu z 1 různou od 1.
9.26. Poznámka. Číslo e je rovno buď číslu e = cos y- -H sin — = -\ +i^f
nebo číslu e = cos 4f + isin ^p = -1 — i^p. V obou případech je množina {1, e, e2} rovna množině všech třetích odmocnin z 1. _______
/ 2~ 3
Je-li ßo některá třetí odmocnina z čísla -| — y \ + %~, pak podle 9.17 je mno-
žina {ßo,eßo, e2ßo} rovna množině všech třetích odmocnin z čísla — | — y ^- + |^.
;í'i 3
Platí, že (a ■ ßo)3 = — fsp a množina {—§, — §£, — fe2} je množina všech třetích
!:' 3
odmocnin z čísla — f^. Tudíž existuje j € {0,1,2} takové, že a ■ ß0 ■ eJ = —|. Odtud plyne v případě p^O existence i jednoznačnost třetí odmocniny /3 z čísla
I -§ - y \ + §7 takové, že platí a ■ ß = -|.
Poznamenejme ještě, že vzorce pro řešení kubické rovnice uvedené ve větě 9.25 se nazývají Cardanovy vzorce.
Důkaz věty 9.25. Dosazením čísel Xi,x2,x3 do rovnice x3 + px + q = 0 se snadno zjistí, že čísla x:, x2, 2:3 jsou řešením kubické rovnice x3 + px + q — 0.
Nechť a;0 je komplexní číslo, pro které platí: x\ +px0 + q = 0. Buďte 7, á řešení kvadratické rovnice x2 — xqx — | = 0 v tělese C, takže podle tvrzení 9.23 platí: 7 + ô = Xo a 7 • ô == — §. Pak tedy (7 + J)3 + p(7 + D ~ 0, gr 7^ 0, (ej M je jednoprvková množina <£=>• £> = 0, q = 0.
V případě (c) je pak jediné řešení rovno 0.
Důkaz. Užijeme označení z věty 9.25. Pak M — {£1,0:2,2:3}.
Nechť M má méně než tři prvky. Ukážeme, že pak nutně D = 0.
Jelikož (e2 - l)3 = (e2(l —e))3 = (1 -e)3 ^ 0, dostáváme z libovolné z rovností #i = ®2) xi — X3, x2 — X3 umocněním na třetí vztah a3 == ß3. (Např. x\ — x2 ==> =ť a+ß = ea + e2ß ==> a(l-e) =/3(e2-l) => a3 ^/ö3.) Odtud však vzhledem
2 3
k definici čísel a a /9 přímo plyne, že *f + |y = 0, což znamená, že D = 0.
Nechť nyní naopak £> = 0. Pak a = ^| a /3 = a • eJ', kde j E {0,1,2}. Tudíž
xi = a(l + £;'')) X2 = eaíl + e^1), X3 = ea(e+ £■').
76 Reálná a komplexní čísla
Uvědomíme-li si, že 1 + e + e2 = 0, dostáváme pro různé hodnoty j následující
výsledky:
j = 0 => xi = 2a, x2 = a,'3 = —a, j = 1 => aíj = ^2 = -e2a, a;3 = 2e2a, j = 2 =>- a,'i = £3 = —ea, £2 — 2ea.
Množina M má tedy méně než tři prvky. Navíc je zřejmé, že M má jeden prvek právě tehdy, když a = 0, což nastane, právě když q = 0. V tomto případě pak také p = 0 a M — {0}. Tvrzení je tím dokázáno.
Na závěr provedeme úplnou diskusi řešení kubické rovnice s reálnými koeficienty.
9.28. Věta. Nechť x3 + px + q = 0 je kubická rovnice s reálnými koeficienty p, q nad tělesem komplexních čísel. Nechť dále D značí diskriminant této kubické rovnice. Pale platí:
(a) D > 0 =£> rovnice má 3 různé reálné kořeny,
(b) D < 0 =4» rovnice má 1 reálný a 2 komplexně sdružené kořeny,
(c) D = 0, q 7^ 0 => rovnice má 2 různé' reálné kořeny,
(d) £> = 0, g = 0 =$• rovnice má jediný kořen rovný 0.
Důkaz. Užijeme opět označení z věty 9.25. Pak množina kořenů kubické rovnice x3+px + q = Q je M = {xi,X2,x3}. •■
Nechť D > 0. Podle 9.27 (a) je M tříprvková množina. Stačí tedy ukázat, že x\,xi,x3 € it Platí, že (a3) = /33, tedy (ä)3 = ß3, odkud plyne, že /? = öTe-7, kde i €{0,1,2}.
Jelikož a/3 je reálné číslo &aß = |a|2£J, dostáváme, že j = 0. Tudíž ß = a. Odtud jjlyne, že . '
xľ = a + /3 = ä+/3 = /? + a = «i,
'£2 = šeř + š2/3 = £2/3 + ea = a; 2,
xg = š2čř + š/3 = sß + e2a =s x3,
tudíž .x'i,a-'2,a-'3 G K.
Nechť Z) < 0. Podle 9.27 (a) je množina M tříprvková. Ukažme tedy, že jeden
- 2 3
z kořenů je reálný a zbývající dva komplexně sdružené. Číslo V + ^ Je kladné reálné, a tudíž i V4 + §7 je reálné číslo. Číslo a můžeme zvolit tak, že je rovno
j 23
jednoznačně definované reálné třetí odmocnině z reálného čísla — § + y \ + fy. Jelikož a ■ ß = — |, je také číslo /3 reálné, a je tedy rovno jednoznačně definované
reálné třetí odmocnině z reálného čísla ~§ ~~ V4 "*~ 27- ^a^ číslo xi = a + /3 je
reálné číslo.
,
i-.
Kap. 9. Těleso komplexních čísel 77
Jelikož D j* 0, je a -f- ß. Pro čísla #2, £3 dostávame při e = — | + i^: X2 = ea + e2/3 = (-f + i^)a + (-§ - i$)0 = ~|(a + 0) + i^(a - ß), x3 = e2a + Eß = (-i - í^)a + (-| + i^)/3 = -§(a + /3) + P^G3 - a).
Tudíž Inn'2 = -Im£3 = -^(a - /3) 7^ 0,Rex-2 = Re0:3. To znamená, že čísla x% a xz jsou komplexně sdružená a výrok (b) tedy platí.
Je-li D = 0, položíme a rovno jednoznačně definované reálné třetí odmocnině z čísla -|. Pak $ je reálné číslo, tudíž a = /?. Odtud plyne, že x\ = 2a, a;2 = .13 = = -a, z čehož přímo plynou výroky (c) a (d). Tím je věta dokázána.
9.29. Příklad. Řešme kubickou rovnici x3 -f a: - 2 — 0. Pro diskriminant této rovnice platí D = -108(1 4- ér) — -112. Rovnice má tudíž podle věty 9.28 jeden reálný a dva komplexní kořeny. Budeme-li při řešení vždy volit reálné odmocniny, dostaneme, že pro reálný kořen x\_ rovnice x3 + x - 2 — 0 platí
xx = \/l +
• +
Snadno se však vidí, že kořenem rovnice je číslo 1. Dostáváme tedy, že platí
,, /28 s/., /28-. '■„ ^/l + %.+ f-V27 = L
Podobně pro komplexní kořeny rovnice x3 + x - 2 = 0 dostáváme
= "2+'ř^'
12 = 11 +
í-+\/.l-
13
1 +
e2 +
e =
.V7
kde e — — 5+1-^ je třetí odmocnina z 1.
Z příkladu je vidět, že význam Cardanových vzorců je spíše teoretický, neboť zpravidla bývá obtížné získané vyjádření kořenů dále upravit.
9.30. Cvičení.
1) Najděte všechna řešení následujících binomických rovnic a) xe = -2,
b) x4 = -v/3 + 3i. 2) Dokažte, že
1