49
Reálná a komplexní čísla
7. Těleso reálných čísel
7.1.  Definice. Buď (R, < ) lineárně uspořádaná množina. Dvojice a — (A, B), kde A C R, B C R, se nazývá řez v množině R, jestliže platí:
(1)  AU J3 = R, A ^0 jíB,
(2)  x e A, y e B =4- x < y.
Je zřejmé, že množiny A, B jsou disjunktní, tedy systém {A, B} tvoří rozklad na množině R.
Množina A se nazývá dolní skupina řezu a, množina B se nazýva horní skupina řezu a.
Jestliže dolní skupina řezu a má největší prvek a horní skupina řezu a má nejmenší prvek, pak řez a nazýváme skok v množině R. Jestliže dolní skupina řezu a nemá největší prvek a horní skupina řezu a nemá nejmenší prvek, pak řez a nazýváme mezera v množině R.                                         - -: -
Mezi pojmem hustě uspořádaná množina a pojmem skok platí následující
vztah.
7.2. Tvrzení. Lineárně uspořádaná množina, Jcfcerá obsahuje alespoň dva prvky, je hustě uspořádaná právě tehdy, když nemá skoky.
7.3.  Příklady.
a)  Nechť m je celé číslo, A = {x € Z \ x <m}, B — {x e Z \ x >m + l}. Pak dvojice'(A, B) je skok v množině Z celých čísel.
b)  Nechť m je libovolné racionální číslo. Mějme dánu množinu Q — {m}, na níž je definováno lineární uspořádání stejným způsobem jako na množině Q. Pak řez a = (A,B), kde A — {x € Q | x < m}, B = {x 6 Q | x > m}, je mezerou v Q-{m}.
c)  Nechť n je pevně zvolené přirozené číslo (n > 1), a G Q,a > 0 a zároveň nechť neexistuje racionálni číslo £ takové, že £n = a. Položme
A   =   {íeQK<o}u{íeQU>o,r<a},
B    =    {£6QU>0,ei>a}.
Ukážeme, že dvojice (A, B) je mezera v množině Q racionálních čísel.
Zřejmě 0 7^ A C Q, 0 ^ J9 C Q, Al) B = Q. Nechť £ e A, n e B. Pak 77 > 0, rjn > a. Jestliže £ < 0, pak £ < ry. Jestliže £ > 0, pak £n < a < r/n, odkud plyne £ < 77. Tedy (A, jB ) je řez v množině Q.
50
Reálná a, komplexní čísla
Předpokládejme, že horní skupina B má nejmenší prvek ß. Protože množina racionálních čísel je hustě uspořádaná, existuje racionální číslo £ splňující následující tři podmínky:                                                                            ,
pro každé sudé číslo // (2 < f < n). Z těchto podmínek plyne, že nßn-1£ < /3" - a, nebo-li /3" - nßn~H > a a ß)/3 - (,£)$ > 0. Pokud položíme 7 = ß — £, potom 0 < 7 < /3 a
7n = É C)(-1)"/3n-"T = ßn - nßn~^ + Y/ßn-'"1e[®0 ~ uje] +e,
kde sčítání probíhá všechna sudá v taková, že 2 < v < n, a kde e = 0 pro 7X liché a e = £n > 0 pro n sudé. Odtud, vzhledem k podmínkám kladeným na číslo £, plyne 7" > a. Tudíž 7 G -B, což je spor s předpokladem, že /3 je nejmenší prvek B. Množina B tedy nemá nejmenší prvek.                                  0
Předpokládejme, že množina A má největší prvek ß. Rozlišme nyní dva případy.
Nejprve nechť platí ß — 0. Je-li a > 1, položíme 7 = 1, je-li a < 1, položíme 7 = f • V obou případech dostáváme, že 7™ < a, a tudíž 7 G A, což je však spor s tím, že ß je největší prvek A, neboť ß — 0 < 7.
Nechť nyní platí /3 > 0. Označme
w = min  {(a - ^B)[C)/9n",'n]"*1 |  1 < 1/ < 71} .
Jistě platí w > 0. Je-li dokonce tu > 1, položíme f = 1. Je-li naopak u < 1, klademe £ = Tjr. V obou případech dostáváme £" < w pro každé 1 < u < n, tedy
r<ía=pj-(«)/^.]-i
pro všechna 1 < 1/ < n. To znamená, že pro všechna uvažovaná ľ platí nerovnost Položme nyní 7 = ß + £. Potom platí 7 > /3 a
n
7n = 0" + £ (^)/3"-T < 0» + n ■ 2=5 = a.
Odtud plyne 7 6 A, což je spor s předpokladem, že ß je největší prvek A. Množina A tedy nemá největší prvek, a (A, i?) je tudíž mezera v Q.
Nyní ukážeme, že každou lineárně uspořádanou množinu lze vnořit do lineárně uspořádané množiny, která nemá mezery. Za tím účelem si nejdříve definujme pojem vnoření lineárně uspořádaných množin.
Kap. 7. Těleso reálných čísel
51
7.4.  Definice. Buďte (.R, <), (S, ^) lineárně uspořádané množiny. Zobrazení / množiny R do S se nazývá vnoření lineárně uspořádané množiny (R, <) do lineárně uspořádané množiny (S, -< ), jestliže platí:
(1)  / je injekce,
(2)  pro libovolné x,y G R, x <y platí, že f(x) •< f{y).
Řekneme pak, že lineárně uspořádanou množinu (R, <) lze vnořit (resp. je vnořena) do lineárně uspořádané množiny {S,-<). Vnoření / se též často nazývá izomorfismus vzhledem k uspořádání nebo pořádkový izomorfismus lineárně uspořádaných množin.
Protože je (R, < ) uspořádáno lineárně, pro vnoření / také platí, že:
x,y G R, f {x) ^ f {y) =*> x < y.
Uspořádání -< na množině S se často označuje stejným symbolem jako uspořádání < na množině R. Prvek r G R se obvykle identifikuje s prvkem /(r). Při této identifikaci je pak množina R podmnožinou množiny S.
7.5.  Věta. Každou lineárně uspořádanou množinu lze vnořit do lineárně uspořádané množiny bez mezer.
Důkaz. Nechť (i?, <) je lineárně uspořádaná množina. Pro r G R označme symbolem (r ] množinu {.t € R \ x < r].
Nechť S značí systém dvojic (A,B), A C R, B Cica (A,B) je mezera v R nebo A — (r],B = R- (r ] pro nějaké r G -R. Zřejmě {A, B) je řez v R s eventuálni výjimkou případu, kdy R má největší prvek rn a A = (m] = R, B = 0.
Pro a = (A,B) G S, ß = (C,D).e S položíme a ■< ß, jestliže A C C, což je ekvivalentní s podmínkou B D D. Snadno lze ukázat, že relace A na S je lineární uspořádání.
Ukážeme sporem, že lineárně uspořádaná množina (5, ■<) nemá mezery. Předpokládejme proto, že {A,B) je mezera v S. Položme
A* =     [J     X,        B*=     U     Y.
(X,Y)eA                        {X,Y)€B
Zřejmě pak A*,B* C R a A* ^ 0- Kdyby B* == 0, pak by musela mít množina R největší prvek a muselo by platit B = {(R, 0)}, což není možné kvůli našemu předpokladu, že {A,B) je mezera v 5. Je tedy i B* neprázdná.
Ukážeme, že dvojice (A*,B*) je mezera v R.
Nechť r £ i? je libovolné. Označme q = {(r], R— [r]) € S. Pak g 6 A nebo g 6 B. Z prvního případu ihned plyne r 6 .4*. Protože B nemá nejmenší prvek, z,druhého případu dostáváme r € B*. Je tedy i* U ß* = R.
Nechť a e ./t*, 6 € ß*. Pak existuje {A,B) <= A, {C,D) £ B tak, že a 6 A, b e D. Jelikož (A,B) < (C,D), máme B D D, tudíž b G B a odtud dostáváme a < 6.
Dvojice (.4*,S*) je tedy řez v R. Kdyby (A*,B*) nebyla mezera, musel by existovat největší prvek x množiny A* nebo nejmenší prvek y množiny B*.
52
Reálna a komplexní čísla
V prvním případě by pak ovšem existovalo £ = (X,Y) 6 A tak, že x G X, a toto £ by muselo být největším prvkem množiny A, což není možné, neboť předpokládáme, že (A,B) je mezera v S. Podobně ve druhém případě by pak existovalo n = (X, Y) G B tak, že y G Y, přičemž toto n by $e stalo nejmenším prvkem množiny B, což opět není možné ze stejného důvodu.
Ukázali jsme si, že (A*,B*) je mezera v R. To ovšem znamená (A*,B*) G 5. Pak (A*,B*) G .4 nebo (A*,B*) G B. V prvním případě je (*4*,B*) největší prvek množiny A, neboť pro libovolné {C,D) e A platí C C ,4* z definice .4*, a tedy {C,D) < (A*, B*). Jenže existence největšího prvku množiny ^4 je ve sporu s naším předpokladem, že (A,B) jé mezera v S. Podobně ve druhém případě je (A*,B*) nejmenší prvek množiny B, což je spor ze stejného důvodu.
Dokázali jsme, že (S, ^) nemá mezery.
Pro r G R položme ib(r) = ((r ], R - (ľ]). Pak i/j je vnoření (i?, <) do (5, <) a věta je dokázána.
7.6.  Definice. Lineárně uspořádaná množina (S, ■< ) sestrojená v důkazu věty 7.5 se nazývá normální obal lineárně uspořádané množiny (R, <). Zobrazení ip se nazývá kanonické vnoření lineárně uspořádané množiny {R, < )' do jejího normálního obalu.
Ztotožníme-li prvky r £ R s dvojicemi ((r], R- (r]) = ip(r), můžeme říci, že normální obal lineárně uspořádané množiny (R, <) se skládá z prvků množiny R a z mezer v množině R. V dalším textu budeme uspořádání na normálním obalu označovat stejným symbolem jako uspořádání na R, tj. <.
Normální obal lineárně uspořádané množiny je v následujícím smyslu jejím „nejmenším obalem", který nemá mezery.
7.7.  Věta. Nechť (R, < ) je lineárně uspořádaná množina, (5, < ) její normální obal a ib kanonické vnoření (R, <) do ($,<). Buď (T, <) lineárně uspořádaná množina bez mezer a / vnoření (R, <) do (T, <). Pak existuje vnoření f množiny (S, <) do(T,<) takové, žefoý^f.
Můžeme pak říci, že diagram na obrázku 7 komutuje.
(S,<)
I /
I
I
!•
(T,<)
(R,<)
Obr. 7.
Kap. 7. Těleso reálných čísel
53
Důkaz. Nechť c = (A, B) G S. Jestliže A = (r], B = R - (r] pro nějaké ?■ G fZ, pak položíme f (a) — f (r).
Jestliže (A, B) je mezera v R, položme
A*    -    {ŕGT | 3aG A,ŕ</(a)}, B*    =    {t£T\3b£B,t>f(b)}.
Ukážeme, že množina A* nemá největší prvek. Skutečně, je-li a G A* největší prvek A*, pak podle definice A* musí existovat a G A tak, že a < f {a), současně však /(a) < a, neboť /(a) G A* a a je největší prvek A*. Tedy a = /(a). Protože pro libovolný prvek c £ A platí /(c) G A*, je /(c) < a = /(a), odkud c < a, a tedy a je největší prvek A. To je spor, neboť jsme předpokládali, že řez (A, B) je mezera v R.
Podobně lze ukázat, že B* nemá nejmenší prvek. Jistě pro libovolné a G A*, ß G -B* platí a < /?. Protože v T nejsou mezery, není (A*,B* ) řez, a tedy existuje s G T - (A* U B*). Položme f (a) = s.
Je zřejmé, fefoý-f. Nechť er, r G 5, er < t. Pak er =JA, S), r = ((7,1?), přičemž existuje e G B n C. Z definice zobrazení / plyne /(er) < /(e) < /(r), a tedy /je vnoření. Zobrazení /tedy splňuje podmínky věty.
7.8. Věta. Nechť (R, < ) je iineámě uspořádaná množina, (S, < ) její normální obal a i/i kanonické' vnoření (fí, < ) do {S,< ). Pak piafcí:
(a) je-li (A, B) skok v R, a největší prvek A, b nejmenší prvek B, pak (A, B) je skokem v S, přičemž A - {s G S \ s < ip(a)}, B = {s G S \ s > ý(b)},
(b)  je-li {A, B) skok v S, pak existují a,b G R takové, že ý (a) je největší prvek A a ip(b) je nejmenší prvek B; přitom platí, že (A, B ) je skokem v H, kde A = {r £ R \ r < a}, B = {r £ R \ r > b}.
Jinými slovy: skoky v fi jsou právě „obrazy" skoků v R při kanonickém vnoření.
Důkaz, (a) Množina A má největší prvek tp(a) a B má největší prvek ip(b). Pokud (A, B) je řez v 5, pak je (A, B) skok. Abychom ověřili, že (A, B) je řez v 5, ukážeme sporem, Že A U B-.— 5. Předpokládejme tedy naopak, že existuje seS.s^Uß. Odtud dostáváme, že V(«) < s < i/<(&). Pak s = (C,Z?) je řez v Ř. Z V>(a) < s Plyne, že a G C, z s < V(&) plyne, že b £ D. Protože (A,j3) je řez v R, je A U B = R, a tedy neexistuje x £ R splňující o < x < b. Je tedy s — {C,D) = (A,B) =tp{a), což je spor a (A, 0) je skutečně řezem v S.
(b) Předpokládejme, že (A,B) je skok v S. Označme a = (X,R-X) největší prvek A, ß = (Y, R - Ý) nejmenší prvek B. Protože a < ß, existuje b G Y, b £ X. Pak b je největší prvek Y, neboť v opačném prípade by existovalo c G Y, b < c, a tedy a < tp{b) < ip{c) < ß, což by byl spor s tím, že (A,B) je řez v 5. Je tedy ß = 0(6). Současně je b nejmenším prvkem množiny R - X: v opačném případě by existovalo d £ R - X, d < b, a tedy a < ip(d) < ip{b) = ß, což by byl opět spor. Pak ovšem a nemůže být mezerou v R, a proto existuje a £ R tak, že a = V'(a), tj. a je největším prvkem X. Označíme-li A = {r G R | r < a], B = {r G i? | r > b], pák a- {A, B) je skok v i?.
54
Reálná a komplexní čísla
7.9.  Důsledek. Lineárně uspořádaná množina nemá skoky právě tehdy, když její normální obal nemá skoky.
7.10.  Definice. Normální obal lineárně uspořádané množiny (Q, < ) racionálních čísel se nazývá lineárně uspořádaná množina reálných čísel a značí se (M, < ). Prvek množiny IR se nazývá reálné číslo.
Racionální číslo q se zpravidla ztotožňuje s reálným číslem ((g],Q— (q ]), tedy QC1. Můžeme říci, že reálné číslo je buď racionální číslo nebo mezera v lineárně uspořádané množině racionálních čísel Q. Reálné číslo, které není racionální, se nazývá iracionální číslo. Tudíž iracionální číslo je mezera v Q.
7.11.  Definice. Lineárně uspořádaná množina (R, < ) se nazývá spojitě uspořádaná, jestliže nemá skoky ani mezery.
7.12.  Věta.
(a)  Množina reálných čísel (K, < ) je spojitě uspořádaná.
(b)  Jestliže a,ß £ M, a < ß, pak existuje 7 G Q tak, že a < 7 < ß.
(c)  Množina reáiných čísel E je rovna množině řezů v množině racionálních čísel Q, jejichž horní skupina nemá nejmenší prvek.
Důkaz. Tvrzení (a) plyne ihned z vět 6.12, 7.2 a 7.9. Protože množina racionálních čísel nemá největší prvek, dostáváme z (a) ihned tvrzení (c).
Nechť a = (A,B) 6 B, ß = (C,D) £ R, a < ß. Pak B D D, B ^ D, tudíž existuje q £ B - D. Jelikož B nemá nejmenší prvek, existuje c £'B, c < q. Pak A C (c] C C, A ý£ (c] ^ C, tedy pro racionální číslo 7 = ((c],Q - (c]) platí: a < 7 < ß.
Věta je tím dokázána.
7.13.  Definice. Nechť a — (A, B ), ß = (C, D ) jsou reálná čísla. Pak položíme a + ß = (Q - (B + D), B + D). (Výrazem X + Y pro X C Q, F C Q rozumíme množinu {a; + y | x £ X, y £ Y}).
7.14.  Tvrzení. Pro reálná čísla ct,ß je a + ß zase reálnym číslem. Tudíž + je operací na množině R. Jestliže a,ß jsou racionální čísla, je reálné číslo a + ß rovno dříve defínovanému racionálnímu číslu a + ß.
Důkaz. Nechť a = (A, B), ß = (C, D), X = Q - (B + D), Y = B + D. Pak X C Q, Y C Q, X U Y - Q, Y j4 0. Zvolme a £ A, c £ C. Pak a < b pro každý prvek b G B, c < d pro každý prvek d £ D, tudíž a + c < b + d pro každý prvek b £ B a každý prvek d£ D. Odtud plyne, že a + c G Q - (B + D), tedy X ^ 0.
Buď a; £ X, y £ Y. Pak existují b £ B, d £ D takové, že y — b + d. Jelikož x$B + D,iex — bgD. Proto platí x — b G C, z čehož plyne nerovnost x — b < d. Tedy x < b + d = y. Dvojice (X, Y) je pak řezem na Q. Stačí ukázat, že Y nemá nejmenší prvek.
Nechť y £ Y. Pak existují b £ B, d £ D taková, že y = 6 + d. Jelikož B a D nemají nejmenší prvek, existují u £ B, v £ D, u < b, v < d. Pak tu = u +1» G Y,
Kap. 7. Těleso reálných čísel
55
w < y. Tedy Y nemá nejmenší prvek, tudíž a 4- ß = (X, Y) je reálné číslo. Druhý výrok tohoto tvrzení lze již dokázat snadno.
7.15.  Lemma. Nechť {A,B) je řez v Q, d £ Q, d > 0. Pak existují prvky a £ A, b £ B takové, že a není největší prvek množiny A a platí d = 6 — a.
Důkaz. Podle tvrzení 6.12 existuje / G Q, 0 < / < d. Zvolme nyní x £ A, y € B tak, aby x nebylo největším prvkem množiny A. Podle tvrzení 6.14 existuje přirozené číslo n takové, že ^^ < n. Tudíž y < n f 4- x, odkud plyne n f + x £ B.
Buď m nejmenší přirozené číslo s vlastností x + rnf G B. Pak x- + (m — 1)/ G A.
Jestliže x + (m - 1)/ S A je největší prvek množiny A, pak m > 2 a položíme a = x + (m — 2)/,Ď = x 4- (m — 2)/ + d = o4-d. Jestliže x + (m— 1)/ není největší prvek množiny A, položíme a = x + (m — l)f,b = x + (rh — l)f + d = a + d. Odtud plyne lemma.
7.16.   Věta. Grupoid (E, + ) je komutativní grupa. Nulovým prvkem této grupy je racionální číslo 0 == ((0],Q — (0]). Pro a = {A,B) 6 E je opačným prvkem -a = (Q - (-Ä), -A), icde
~     j A,                jestliže A nemá největší prvek,
1 A — {m},    jestliže m je největší prveir množiny A.
(Pro ICQ znač/ —X množinu {—x | i € X}.)         ..-.--•
Důkaz. Zřejmě je operace 4- na E komutativní a pro libovolné X,Y,Z C Q platí (X 4- Y) + Z - X + (Y 4- Z), tudíž (E, +) je komutativní pologrupa.
Dokažme, že ((0],Q - (0]) je nulovým prvkem uvažované pologrupy. Nechť a = (A, B) G E. Zřejmě B + (Q- (0])CJ3, Buď be B. Pak existuje c e B, c < b. Položme g = b- c. Pak 5 € Q - (0], a tudíž b = c + g€B + {Q~ (0]). Odtud plyne B 4- (Q — (U].} = B, a tedy ((O],Q - (0]) je nulovým prvkem pologrupy
Ä + k                  .<                                            .
Položme X = Q - (-A), F = -A. PaklCQ, ľCQ, ľ^f),IUľ = Q, X n y = 0, -B C X, tedy X + 0. Buď z G X, y G y. Pak existuje a e A, které není největším prvkem množiny A, takové, že y = -a. Kdyby y < x, pak x > -a, tudíž -a; < o, odkud plyne, že -x G A. Odtud dostáváme, že x € Y, což je spor. Tedy (X, Y) je řez v Q. Jelikož množina A nemá největší prvek, nemá množina Y nejmenší prvek, což znamená, že ß ~ (X, Y) je reálné číslo.
Zřejmě 5 + ľCQ- (0]. Buď d G Q - (0]. Podle lemmatu 7.15 existují a G A, b G B tak, že d = b — a. Položíme-li y = -a, je y £ Y, d = b + y, tudíž £? + y = Q—(0], z čehož plyne, že a 4- ß = 0. Věta je tím dokázána.
7.17.  Věta. Nechť a, ß, 7, ô G E. Pak platí:
(a)  a < /3 <=> a + 7 < /3 + 7,
(b)  a < /3 <=> a 4- 7 < /? 4- 7,
(c)  jestliže a < /3, 7 < 6 nebo a < ß, j < 6 nebo a < ß, 7 < ö, potom
a 4- 7 < ß 4- ô,
(d)  a < ß, '-y < ó => a + -f < ß + ô.
56
Reálná a JcompJexn/ čísia
Důkaz. Nechť a = (A, B), /? = (C, D), 7 = (25, F) jsou reálna čísla. Dokážme nejprve výrok (a).
„=$>" Nechť a< ß. Pak BDD,B^D, tudíž ß + f D D 4-f. Dokažme, že B + F^D + F.
Existují b*, b G B, 6 < 6*, i* £ D. Podle lemmatu 7.15 existují f € F, e € E taková, že č>* - b = / - e. Položme w = b + f. Pak tu 6 5 4f F. Předpokládejme nyní, že w G D + P, pak existují x € D,y £ F taková, že w = x + y. Pak x 4- y '= = 6 + / = e 4- b*, e < y, tudíž b* > x, z čehož plyne b* G D, což je spor. Tedy w & D + F & B + F-ŕ D + F, a tudíž a 4-7 < ß + 7.
„■£=" Jestliže a 4-7 < ß 4-7, pak podle předešlého platí 0 = 0 + 7+ (-7) < < 0 + 7 + (-7) = j9. Platí výrok (a).
Výroky (b), (c), (d) lze z výroku (a) snadno odvodit.
7.18.  Definice. Nechť a = (A,.B), ß = {C, D) jsou libovolná reálná čísla.
Je-li a > 0, /3 > 0, položíme
o
Q'/3 = (Q-B-D,B-D).
(Výraz X • y značí pro I C Q, ľ C Q množinu {x ■ y | x G X,y G y}). V ostatních případech definujeme součin a • ß následovně:
!-(-a) -/3      proa < 0, ß > 0, -[a •(-/,)]     proa>0, /3 < 0,      , (-0) • (-/?)    pro a < 0, 0 < 0.
7.19.  Tvrzení. Pro a, /3 G E je q • ß G E. Tudíž • je operace na E. Jestliže a, ß jsou racionální čísla, pak reálné číslo ct-ß je rovno dříve definovanému racionálnímu číslu a ■ ß.
Důkaz. Nechť a = (A,B),ß = {C,D) G E. Předpokládejme nejdříve, že a > 0, ß > 0 a položme X = Q - B • D, Y = B ■ D. Zřejmě X C Q, Y C Q, X U y = Q, y 7t 0, y C {g G Q I g > 0}. Tudíž X D (0], z čehož plyne X 7^ 0.
Nechť x G X, y G y. Potom musí existovat b £ B, d £ D taková, že y — b ■ d (b > Q,d > 0). Předpokládejme, že x > y. Pak | > 6, a tudíž f € B, odkud plyne x £ B • D, což je spor. Tedy x < y, což znamená, že a ■ ß ~ (X,Y) je řezem v Q. Jelikož B, D nemají nejmenší prvek, podle 6.10 (e) nemá nejmenší prvek ani množina Y. Takže a ■ ß £ E.
Nechť nyní a, ß £ Q. Pak B = {t 6 Q | i > a},D = {s eQ | s > ß). Abychom ukázali, že reálné číslo a • ß splyne s dříve definovaným racionálním číslem a ■ ß, je třeba dokázat, že {í ■ s \ t £ B, s £ D] = {u £ Q | u > a ■ ß], kde oba symboly • značí dříve definované násobení racionálních čísel. Jsou-li t, s G Q, t > a, s > ß, pak t- s > a- ß podle věty 6.10 (e), neboť a > 0 a ß > 0. Tím jsme ověřili inkluzi „C".
Nechť nyní u £ Q, u > a ■ ß. Ukažme, že existují t, s £ Q, t > a, s > ß tak, že u = t-s. Je-li a = 0, stačí volit s = B +1, ŕ = -g—. Předpokládejme dále, že a ^ 0.
Kap. 7. Täleso reálnych čísel                                                                                  57
Zvolme u G Q tak, aby u > v > a • ß (existence takového v je zaručena tvrzením 6.12). Položme s = %, t = *f. Podle 6.10 (e) z v > a • /3 plyne s>|3az«>» plyne í > a. Přitom jistě t ■ s = u. Dokázali jsme inkluzi „D", a tedy rovnost.
Ostatní případy, kdy a nebo /3 je záporné, odsud snadno vyplynou.
7.20. Věta. Trojice (R, + ,•) je těleso. Jednotkovým prvkem tohoto tělesa je racionální číslo 1 — ((1],Q - (1]) a pro reálné číslo a = (A,B) > 0 platí, že er1 = (X,y), Jede
Y = {a-1 | a 6 A,a> 0},
X ~ Q - K
Pro a < 0 platí: a-1 = -(—a)-1.
(Symbol A má stejný význam jalco v 7.16.)
Důkaz. Zřejmě je operace ■ komutativní. Nechť jsou nyní dána reálná čísla a = {A, B), ß — (C, D), 7 = {E, F) G R. Předpokládejme nejdříve, že jsou. nezáporná, tedy a > 0, ß > 0, 7 > 0. Pak a • /3 > 0, j9-7>0a platí
(a-/3)-7   =    (®-(B-D)-F,(B-D)-F), a-(ß-l)    =    (Q-ß-(JD-F),S-(r>-F)}.
Jelikož {B ■ D) • F ~ B ■ {D ■ F), je (a • ß) -7 = a• {ß■ 7).'
Pro ostatní případy se již tvrzení (a • ß) ■ 7 = a ■ (ß ■ 7) snadno dokáže. Tudíž (R, •) je komutativní pologrupa.
Nechť a > 0. Zřejmě (Q-(l])-ßCß. Nechť b G B. Pak existuje c e B, takové, že c < b. Potom %'~ | > 1, a tudíž x € (Q — (.1]), SS čehož dostáváme b € (Q - (1}) ■ B. Tedy 1 • a - a. Pro a < 0 je 1 • a = -(1 • (-a)) = -(-a) = a. Takže l = ((l],Q-(l])je jednotkovým prvkem pologrupy (R, •).
Dokažme nyní, že inverze ke kladnému reálnému a je opravdu reálným číslem. Buď a = (A, B) > 0, Y = {cT1 | a € A, a > 0}, X = Q - 7. Zřejmě M X C Q, 0 ^ y C Q, XU y = Q. Nechť iel,i/eľ. Pakexistuje a 6 A, a > 0, y = o"1. Jestliže x < 0, pak x < y. Je-li a; > 0, pak s-1 £ A, tudíž x-1 > a, z čehož plyne, že x < y. Dvojice {X, Y) je tedy řezem v Q. Jelikož množina A nemá největší prvek, nemá množina Y nejmenší prvek. Tedy £ = (X,Y) € R, přičemž zřejmě
£>0.
Ukažme nyní, že £ = (X, y) je skutečně inverzním prvkem k prvku a. Platí, že
a • £ = (Q- B • y, B • y). Nechť z 6 B ■ Y. Pak existují b e B, a € Ä, a > 0 tak, že
z — 6-a""1. Platí, že a < Ď, tudíž z = 6-a-1 > 1, což znamená, ie B -Y C Q— (1].
Ukažme, že platí i opačná inkluze. Buď z G Q, z > 1. Pak z = 1 + d, kde
d 6 Q, d > 0. Zvolme a G A, a > 0, b G B. Podle věty 6.14 existuje přirozené
číslo n takové, že ^ < n, tedy \ < 1 + cín < (1 + d)", a protq b < až11. Je tedy
azn G -B. Buď m nejmenší přirozené číslo s vlastností azm G B. Pak azm_1 $• B,
a proto az"1"1- € A. Jestliže azm-1 € A, pak (az"1-1)-1 G y, a tedy 2 = (czzm) ■
■ (az771-1)-1 e B -Y. Jestliže naopak azm~1 £ A, znamená to, že azm~l je největší
58                                                                                                  Reálná a komplexní čísla.
prvek A a že m > 1. Protože 1 < 1 + f ,< 1 + d = z, platí azm~2(l + f) < < azm~x <azm-l{l + f). Odtud azm-2(l + f) G Ä, azm-l{l + f) G B. Opět tedy z = (á2m-1(l + f)) ' {azm-2{\ + f))-1 e B Y. Tím jsme ukázali, že platí Q— (T] C B ■ y, což vzhledem k předchozímu znamená, že Q— {1] = B -Y. Odtud plyne a ■ £ = 1 a £ = q-1 .
Pro a < 0 existuje £ G R, £ > 0 takové, že (-a) • £ = 1, Pro toto £ G M platí a •(-£) = (-a) •[-(-£)] = (-a) •£ = 1, tudíž-£-a"1.
Zbývá dokázat platnost distributivního zákona. Pro a > 0, ß > 0, 7 > 0 dostáváme
a-(0 + 7)    =    (Q-B-(P + F),B-(D + F)), a-/? + a-7    =    (Q-(B-B + B-F),(B-B + B-F)).
Zřejmě B ■ (JD + F) C B ■ D + B ■ F. Nechť 9 G B • D + B • F. Pak existují u,v £ B, d G D, f E F taková, že q — ud + u/. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že u < v. Pak q = u(d + /) + (v - u)/ > u(cí + /) G B • (D + F), odkud q £ B ■ (D + F). Tedy B • (B + F) = B • D + B ■ F a dostáváme tak, že
Q ' (ß + 7) = 01 ■ ß + a • 7.
Pro ostatní případy lze odtud platnost distributivního zákona snadno dokázat. Např. pro a > 0, ß > 0, 7 < 0, /3 + 7 > 0 je
a • (/3 + 7) - a • 7 — a • (ß + 7) + a • (-7) = a • [ß + 7 + (—7)] = a ■ ß. Tudíž (R, + , •) je komutativní okruh a vzhledem k výše dokázanému je i tělesem.
7.21.  Definice. Těleso (R, + , •) se nazývá těleso reálných čísel a často se označuje pouze symbolem R. Tímto symbolem budeme též označovat celou čtveřici (R, + , •, < ), tudíž R = (R, + , •, < ). Operace • se v běžném zápise často nevyznačuje, tedy pro a,ß G R je aß — a • ß.
Následující tvrzení plyne z definice součinu reálných čísel a z věty 7.20.
7.22.  Tvrzení. Nechť a, ß G R. Pale piati:
(a)  a > 0 =4> a-1 > 0,
(b)  a < 0 =4- a"1 < 0,
(c)  a > 0, ß > 0 nebo a<0, ß <0=>a- ß>0, f > 0,
(d)  a > 0, 0 < 0 nebo a<0, ß > 0 =^ a ■ ß < 0, ^ < 0.
7.23.  Věta. Nechť a, ß, 7 G R.
(a)  pro 7 > 0 piati:  a < ß -$==> a • 7 < ß ■ 7, a < ß 4=5- a ■ 7 < /3 ■ 7,
(b) pro 7 < 0 piati:  a < /? <£=^> /0 • 7 < a • 7, a</3 <£=> /3 • 7 < a • 7. Důkaz. Nechť a < ß, pak podle 7.17 je /3 — a > 0, a tedy podle 7.22 platŕ
(ŕJ - a)7 > 0, tj. /?7 — aj > 0. Opět podle 7.17 dostáváme 0:7 < /ŕty.
Naopak v případě, že a:-7 < ß-j, dostaneme (jelikož podle 7.22 (a) je "f~l > 0) a = (a • 7) • 7_1 < (/3 • 7) • 7_1 = ß. Tim je platnost (a) dokázána.
Výrok (b) se dokáže analogicky.
8. Binomické rovnice a g-adický rozvoj v reálném oboru
8.1.  Lemma. Nechť ojj ,..., an jsou kladná reálná čísla. Nechť dále a je racionální číslo s vlastností 0 < a < a\ ■... ■ an. Pak existují racionální čísla ai,...,an, splňující nerovnost 0 < clí < cti pro každé i G {1,..., n), taková,, že platí:
a - Oi •... ■ an.
Důkaz. Nejprve důkaz provedeme pro případ n = 2. Podle 7.12 (b) existuje racionální číslo 02 takové, že —- < a2 < 0:2- Položíme-li ai = —-, pak čísla 0,1,0,2 vyhovují podmínkám lemmatu.
Pro obecné n dokážeme lemma indukcí: pro n = 1 je lemma zřejmé, pro n = 2 bylo dokázáno. Předpokládejme tedy, že n > 2 a že pro n — 1 lemma platí. Pak existují racionální čísla 0^03,... tafl~2,h tak, že 0 < a,\ < ai, 0 < 02 < a2,..,, U < a„_2 < an_2, 0 < b < a„_ian, a — a,i ■ ... ■ an-2 • b. Podleidokázaného případu ti = 2 však existují racionální čísla an_i, an taková, že 0 < an-i < CKn-i, 0 < an < an, b — a,i_i ■ an. Tudíž lemma platí pro libovolné přirozené n.
8.2.  Věta. Nechť n je přirozené číslo, a reálné číslo. Pak platí:
(a)  Jestliže n je sudé a a > 0, pale binomická rovnice xn = a je řešitelná v E. Jestliže £ je řešením této rovnice, pak {£, -£} je množinou všech řešení rovnice xn = a v R.
(b)  Jestliže n je sudé a a < 0, paic binomická rovnice xn = a nemá v E. řešení.
(c)  Jestliže n je liché, pak binomická rovnice xn — a má v R právě jedno řešení £. Navíc platí:
a > 0 a = 0 a <0
f >0, £<0.
Důkaz. Nechť a > 0. Položme 5 = {9 e Q \ qn > a,q > 0}, A - Q- B, a dokažme, že (A,B) je řez v Q. Ze 7.12 (b) plyne existence racionálního čísla q takového, iea + l<q<a + 2. Pak q > 1, a tedy qn > q > a. Proto B ^ %., Jelikož 0 e A, máme A jž 0. Jistě AUS = Q. Nechť a G A, 6 G 5. Je-li a < 0, pak zřejmě a < 6. Předpokládejme, že a > 0, a > ö. Pak a < bn < a", což však není možné. Tudíž a < b a (A, B) je řez v množině racionálních čísel.
Ukažme sporem, že (A, B) je reálné číslo, tj. že B nemá nejmenší prvek. Nechť b je nejmenší prvek množiny B. Pak í">aa podle 7.12 (b) existuje c £ Q takové, že cc < c < bn. Protože množina racionálních čísel je hustě uspořádaná, existuje racionální číslo / > 0 splňující následující dvě podmínky:
/<
bn
nö"-1 '
f<
si
\2i-\-l)
b     pro libovolné i G {1,..., m},
Kap. 8. Binomické rovnice a g-adický rozvoj v reálném oboru.                                      61
kde
Í1^     pro sudé n, li »jý*      pro liché n.
To znamená, že platí následující nerovnosti:
bn - c - n/b"-1 > 0    a    (£)/2i6n-2ť - (2£ Jf^V2*-1 > 0.
Položme d = 6 - /. Pak d G Q a jelikož bn - c < bn < nbn, je £=$ < b. Tedy 0<d<&. Platí, že
n                                                                                    '
dn-c = J^ßK-ij'/v-'-css
771
=   [(&n-c)-n/&"-:] + £[(2ftf)/2í6n-2ť- (^J/2*1-1*»-*-1] 4-f,
kde
í /n         pro sudé n,
I 0           pro liché n.
Jelikož výrazy v hranatých závorkách jsou z definice čísla / kladná racionální čísla, platí, že dn — c > 0. Tudíž a < c < dn, odkud plyne d G B. Ale d < b, což je spor. Množina B tedy nemá nejmenší prvek. Rez £ = (A, B ) je proto nezáporným reálným číslem.
V následujícím ukážeme, že £n == a. Podle definice je £" = (Q - C, C), kde C = {ai • ... • an I ai,..., an G B}. Zvolme oj.,..., a„ G B libovolně a označme a to nejmenší z nich. Pak ar... an > an, přičemž z a G B plyne a" > a. Ukázali jsme, že C C D, kde D = {d G Q | d > a}. Protože a = (Q - D, D ), tato inkluze znamená, že a < £n. Jestliže a < £n, existuje podle 7.12 (b) racionálni číslo a takové, že a < a < £n. Podle lemmatu 8.1 existují racionální čísla ai,...,an taková, že 0 < oí < £ pro každé i G {1,..., n} a a = a\ • ... • an.
Nechť 1 < h < n takové, že pro každé i G {l,...,n} máme a/, > oj. Pak a < a < a£ < £n, z čehož plyne, že a^ G jB, odkud a^ > £, což je spor. Tudíž
Případ a = 0 plyne z tvrzení 6.18, případ a < 0 se dokáže analogicky jako tvrzení 6.19.
8.3. Definice. Pro nezáporné a G R a přirozené n existuje podle věty 8.2 jediné řešení £ > 0 binomické rovnice xn =avR Reálné číslo £ se pak značí symbolem \/a.
Je-li uéR, a <0an přirozené liché číslo, pak binomická rovnice xn = a má podle věty 8.2 právě jedno řešení £ v IR. Pak klademe £ = tyä. V obou případech číslo ť/o7 nazýváme n-tá odmocnina z a.
62
Reálná a komplexní Čísla
Zřejmě platí následující tvrzení.
8.4.  Tvrzení. Nechť a £ R, á > O, n liché přirozené číslo. Pak
K/~cí — — ýot.
Následující věta plyne přímo z věty 6.21 a udává nutnou a dostatečnou podmínku pro to, aby y/o. byla racionálním číslem.
8.5.  Věta. Nechť je dáno reálné číslo a a. přirozené číslo n. Nechť platí a > 0 nebo platí, že a < 0 a zároveň n liché. Pak reálné číslo á/čý je racionálním číslem právě tehdy, když a je racionální číslo a n | wp(a) pro každé prvočíslo p.
V  následující části si ukážeme, jak lze vyjádřit reálné číslo nekonečným tvarem složeným z „g-adických číslic". Budeme k tomu předpokládat jisté znalosti matematické analýzy, speciálně základní pojmy a tvrzení o nekonečných řadách.
Potřebujeme také zavést následující pojem.
8.6. Definice. Nechť a je reálné číslo. Podle věty 7.12 (b) a tvrzení 6.14 existují celá čísla a, b taková, že o < a < b. Tudíž existuje největší celé číslo x takové, že x < a. Číslo x se nazývá celá část čísla a a značíme jej x — [a], číslo a — [a] se označuje symbolem (a) a nazývá se necelá část čísla a. Platí tedy
a=[a} + (a),     [a] < a < [a] + 1,     0 < (a) < 1,     [a] € Z.
V  další části tohoto odstavce bude g značit přirozené číslo větší než 1.
8.7.  Definice. Nechť pro celé nezáporné číslo n je an 6 Z a pro n > 1 je 0 < an < g. Nekonečná řada
£
n=0
ang  n = a0 + — + -± + . ..                                   U)
9    g2                                            w
se nazývá g-adický zlomek, pro n > 1 se číslo an nazývá g-adická číslice. Místo zápisu (*) se často používá zápis do + 0, aia203 ... nebo a0, axa2a3....
Z analýzy je známo, že řada (*) konverguje a její součet a (a £ M) nazýváme hodnota g-adického zlomku (*) a píšeme pak
—
n=0 a
Říkáme též, že g-adický zlomek (*) je g-adickým rozvojem reálného čísla a.
Jestliže existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna n > N je an = 0, pak se g-adický zlomek nazývá konečný, v opačném případě nekonečný.
Jestliže existuje celé nezáporné číslo N a přirozené číslo m tak, že pro libovolná celá čísla l > N, k > N, l = k(mod m) platí ai —au, nazývá se g-adický zlomek
Kap. 8. Binomické rovnice a g-adický rozvoj v reálném oboru.
63
(*) periodický. Skupina g-adických číslic ajv+i,a;v+2! • • • >ajv+m se pak neustále opakuje a nazývá se perioda. Číslo m se nazývá délka periody. Píšeme pak
a = a0 + 0,a1 ...a^a^+i... ajv+m.
8.8.  Příklad. Provedeme-li zápis racionálního čísla a = ^| v desítkové soustavě (g = 10), dostaneme vyjádření a - í, 04629629629 •••=!, 04629. Desetinný rozvoj je tedy nekonečný periodický s periodou délky 3.
Zapíšeme-li totéž číslo a = j^f jako g-adický zlomek pro g = 6, dostaneme a = l + 2 + ^r + ^r = i) 014. Zlomek je v tomto případě konečný.
8.9.  Věta. Nechť a je libovolné reálné číslo. Pak a je hodnotou g-adického zlomku a — Y^nLoan9~n' který není periodický s periodou g - 1 délky 1. Toto vyjádření čísla a. je jednoznačné.
Důkaz. Pro libovolné reálné číslo a existuje posloupnost celých čísel {a„}£L0 a reálných čísel {an}^L0 taková, že platí: ao = [a], ao = (a), a„ =s [gan-i], an — Í9an-i) Pro n > 1. Pak a = a0 + ao, gan-i = an + an, 0 < an < g pro n > 1, 0 < an < 1 pro n > 0. Tedy můžeme psát, že
,  goto           ,  [goto]  ,  (gaQ)              at      ax
g                  g            g                  g     g
Úplnou indukcí vzhledem k n se pak snadno ukáže, že pro každé celé číslo n > 0 platí;
a = a0 -)---------1---------\- —• H——j
9               gn    gn
odkud plyne a = £íľ=o ang_n.
Ukažme nyní sporem, že uvažovaný g-adický zlomek není periodický s periodou g — 1 délky 1. Předpokládejme, že existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna celá čísla n > N platí an — g — 1. Pak pro n > N je gan = g — 1 + an+ii tudíž 1 ~an =   ~""+1, odkud pro všechna n> N a každé k £ N plyne indukcí vzhledem
ke k, že
1 - an+k
1 -Oin = ---------E-------•                   f
Protože linifc^oo 1~a£+k = 0, je 1 - a„ = 0, což je spor, neboť an < 1. Platí tedy, že g-adický zlomek ]C^Lo ang~n splňuje podmínky věty.
Na závěr dokážme sporem jednoznačnost takového vyjádření reálného čísla a. Nechť pro všechna celá čísla n > 0 jsou bn celá čísla taková, že 0 < bn < g pro n > 1, a — JZrľ-o^ng~n a neexistuje přirozené číslo N takové, že pro všechna n > N je bn = g — 1. Pro n > 0 položme
ßn = E
bn+k
qk k=i   y
64
Reálná a komplexní čísla
Jelikož existuje k > 1 takové, že bn+k < 9 — 2, je 0 < ßn < YľkLi S~^" = *•• ^>xo n > 1 platí gßn-i - YľkLi gt-73 -K + /?'„, z čehož vyplývá, že bn = [gßn-i] a ßn — (gßn-i)- Jelikož máme ß0 = a - 60, je b0 = [a], 0o — (a), odkud již vyplývá, že an = bn, an = /?„ pro libovolné n > 0. Tím je věta dokázána.
8.10.   Příklad. Vezměme reálné číslo a, jehož g-adický rozvoj pro g = 10 vypadá následovně:                                                                      (
Q.-1 + A+9    +   9    +    9J___-i   20"
Tento g-adický zlomek je periodický s periodou g - 1 = 9 délky 1. Podle předchozí věty však je číslo a hodnotou g-adického zlomku, který nemá tyto vlastnosti. Skutečně, součet geometrické řady
9,9,9,
íW T To3' "*" io4 t- • ■ • s kvocientem <? = ^ je roven A. Proto číslo a lze psát ve tvaru
a~l + & + &-Í + á = l,3.
8.11.  Věta. Nechť a je reálné číslo. Následující výroky jsou ekvivalentní:
(a)  a je racionální číslo,
(b)  každý g-adický rozvoj reálného čísla a je periodický,
(c)  existuje periodický g-adický rozvoj reálného čísla a.
Důkaz, „(c) => (a)" Nechť existuje periodický g-adický rozvoj reálného čísla a. Pak a = b+c Xľ^Li ~br> kde b, c jsou racionální čísla a m délka periody nějakého periodického g-adického rozvoje a. Tudíž
a — b +
9m-r
což znamená, že a je racionální číslo.
„(a) ==ž> (b)" Nechť a je racionální číslo. Existuje posloupnost celých čísel {an}£l0 a reálných čísel {a„}£L0 tak, že platí: a0 - [a], a0 - (a), an = [ga„_i], an = (gan_i) pro libovolné n > 1. Podle důkazu věty 8.9 je pak a = a0 + ao, gan_i ■= an + an,0 < an < g pro n > 1, 0 < an < 1 pro n > 0 a platí
oo
Eßn
n=0 a
Pak an je racionální číslo pró libovolné n > 0. Položme rn = an ■ m, kde a = —, r,m 6 Z, m > 0. Odtud pro n > 0 dostáváme, že 0 < rn < m, r — ma0 + ro, grn-\ — anm + rn pro n > 1. Z toho plyne, že pro n > 0 je rn celé číslo a pro n > 1 je a„ — [gr^~' ] a ao = [^]. Podle věty 4.18 existují různá přirozená čísla v, jj, taková, že r„ = rM, odkud plyne, že g-adický zlomek S^Lo an9~n Je periodický.
Kap. 8. Binomické rovnice a g-adický rozvoj v reálném oboru.                                       65
Tudíž výrok (a) implikuje, že g-adický rozvoj reálného čísla a s vlastnostmi z věty 8.9 je periodický. Odtud a z věty 8.9 plyne dokazované tvrzení. ;j(b) ==> (c)" Platnost této implikace je zřejmá.
8.12.  Poznámka. V praxi se používá nejčastěji g = 10, dostáváme pak tzv. desetinný neboli dekadický rozvoj. Ve výpočetní technice se často užívá g — 2.
8.13.  Cvičení.
1)  Napište následující g-adické zlomky v desítkové soustavě:
a)   0,1001101(0 = 2),
b)   0,102 (g = 3),
c)   0,73(0 = 9).
2)  Napište číslo 0,4140625 ve tvaru g-adického zlomku:
a)   g = 2,
b)   g = 8.
3)  Převeďte následující čísla přímo z dvojkové do šestnáctkové soustavy, resp. naopak (přímo znamená bez toho, abyste je zapisovali v desítkové soustavě):
a)   0,0110100001 (g = 2),
b)   10001,10011110101 (g = 2),
c)   C3,4.E(g = 16).
Při zápisu čísel v šestnáctkové soustavě používáme místo číslic 10-15 velkých písmen A — F.
4)  Dokažte, že číslo
0,123456789101112131415...
není racionální.
5)  Rozhodněte, zda existuje necelé reálné číslo takové, že v desítkové i trojkové soustavě je jeho g-adický rozvoj konečný.