: 6 FUNKCE __6,1 Základní vlastnosti funkcí ~" Definice funkce Funkcí na množině A se nazývá předpis, kterým je každému prvku z množiny A přiřazeno právě jedno reálné číslo. i, Definice pomocí zobrazení Funkcí se nazývá každé zobrazení / množiny M do množiny R. Množinu M nazýváme definiční obor funkce / a značíme ji D(/). Zobrazení množiny A do množiny B Zobrazení množiny A do množiny B je předpis, kterým je každému prvku z 6 A přiřazen právě jeden prvek b € B. Graf funkce M Qožina všech bodů X[x, f(x)] ve zvolené soustavě souřadnic Oxy v rovině, kde x 6 D(/). Obor hodnot Množina všech y € R, ke kterým existuje aspoň jedno x e D(/) tak, že y = f (x), se nazývá obor hodnot funkce /. Označujeme jej H(/). Hodnota funkce Je-li číslu c e D(/) přiřazeno číslo d, zapisujeme tento fakt }{c) = d. Číslo f(c) se nazývá hodnota funkce / v bodě c (také hodnota funkce / přiřazená c). Sudá funkce Funkce / je sudá funkce, právě když zároveň platí: 1. Pro každé iéd(/) je také -x e D(/). 2. Pro každé x £ D(f) je f(-x) = f(x). - graf: Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. 33 Lichá funkce Funkce / je Uchá funkce, právě když zároveň platí: 1. Pro každé x € D(/) je také -x 6 D(/). 2. Pro každé x £ D(/) je f(-x) = -f(x). - graf: Graf liché funkce je souměrný podle počátku kartézské soustavy souřadnic. Rostoucí funkce Funkce / je rostoucí v množině M, právě když pro každé dva prvky ii, x2 e M platí: Je-li xx < x2, pak /(ii) < f(x2)- Klesající funkce Funkce / je klesající v množině M, právě když pro každé dva prvky x1: i2£M platí: Je-li xi < x2, pak /(xi) > /(x2). Neklesající funkce Funkce / je neklesající v množině M, právě když pro každé dva prvky x:, x2 e M platí: Je-li x1 < x2, pak /(xx) ú /(x2). Nerostoucí funkce Funkce / je nerostoucí v množině M, právě když pro každé dva prvky xi, x2 e M platí: Je-li Xi < x2, pak /(xi) ^ f(x2). Monotónní funkce Funkce rostoucí, neklesající, klesající, nerostoucí se nazývají souhrnně monotónní funkce. Ryze monotónní funkce Funkce rostoucí a klesající se nazývají souhrnně ryze monotónní funkce. Prostá funkce Funkce / je prostá, právě když pro všechna xi, x2 € D(/) platí: Je-li xi # x2, pak /(xx) ^ /(x2). 34 ■r- Inverzní funkce Je-li / funkce prostá, pak k ní existuje právě jedna funkce která —je dána takto: ----- 1. Její definiční obor je H(/), tj. Dif'1) = H(/). 2. Každému y € D(/-1) je přiřazeno právě to z £ D(/), pro které je /(*) = y- Funkce / 1 se nazývá funkce inverzní k funkci /. r Vztah grafů funkce / a / 1 Grafy funkce / a funkce f~l k ní inverzní jsou souměrně sdruženy podle osy prvního a třetího kvadrantu, tj. podle přímky určené rovnicí I y = x- Zdola omezená funkce Funkce / je zdola omezená v množině M, právě když existuje číslo d takové, že pro všechna z £ M je /(z) ^ d. Shora omezená funkce Funkce / je shora omezená v množině M, právě když existuje číslo h takové, že pro všechna i € M je /(z) ^ h. j- Omezená funkce Funkce / je omezená v množině M, právě když je zdola omezená v M Z' a zároveň shora omezená v M. Maximum Funkce / má v bodě a maximum na množině M, a € M, právě když pro všechna x e M je /(z) _ /(a). Minimum Funkce / má v bodě 6 minimum na množině M, 6 € M, právě když pro všechna z e M je /(z) _ /(6). Ostré maximum Funkce / má v bodě a ostré maximum na množině M, o 6 M, právě když pro všechna z € M, z ^ a, je /(z) < /(a). 35 Ostré minimum Funkce / má v bodě 6 ostré minimum na množině M, b e M, právě když pro všechna z € M, z ^ 6, je /(z) > f(b). Periodická funkce Funkce / je periodická funkce, právě když existuje takové číslo p > 0, že pro každé k £ Z zároveň platí: 1. Je-li z € D(/), pak z + kp € D(/). 2. f(x + kp) = f(x). Číslo p se nazývá perioda funkce. 6.2 Lineární funkce Definice Lineární funkcí se nazývá každá funkce y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Graf Grafem lineární funkce je přímka. Speciální případy lineární funkce - konstantní funkce je speciální případ lineární funkce pro a = 0, 6 € R, tj. funkce y = b. Graf konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou z. - přímá úměrnost je speciální případ lineární funkce pro a € R — {0}, 6 = 0, tj. funkce y = ax. Graf přímé úměrnosti je přímka procházející počátkem. Koeficient a Je-li / lineární funkce y = ax + b, pak pro každá dvě navzájem různá f(x2)-f(Xl) Z2 - Zi Koeficient 6 Je-li / lineární funkce y = ax + b, pak číslo 6 je hodnota funkce / v bodě 0. 36 čísla xi, Z2 platí o = Vlastnosti lineární funkce y = ax + 6, kde o, 6 € R Definiční obor je R. o = 0 Obor hodnot je {b}. - Není prostá, a tedy není ani rostoucí, . ani klesající. Je omezená. V každém x € R má maximum a minimum. a = 0 y 1- X 0 i a > 0 Obor hodnot je R. Je rostoucí v R. Není ani shora, ani zdola omezená. Nemá ani maximum, ani minimum. a > 0 a < 0 Obor hodnot je R. Je klesající v R. Není ani shora, ani zdola omezená. Nemá ani maximum, ani minimum. a< 0 6.3 Kvadratická funkce Definice Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce y = ax2 + bx + c, kde a € R - {0}, ô, c £ R. Graf Grafem kvadratické funkce je parabola. 37 Vlastnosti kvadratické funkce y = ax2, a G R — {0} Definiční obor je R. Je sudá. a > 0 Obor hodnot je interval (0, +oo). Je klesající v intervalu (—oo,0), rostoucí v intervalu (0, +00). Je zdola omezená, není shora omezená. V bodě 0 má ostré minimum. a < 0 Obor hodnot je interval (—00,0). Je rostoucí v intervalu (—00,0), klesající v intervalu (0,+co). Je shora omezená, není zdola omezená. V bodě 0 má ostré maximum. \ \ \ y y=2x2 2 /// 111/ -3 -2 -\/f) Ví 2 3 - U "2 \\ "3 V V=-x2 Vlastnosti kvadratické funkce y = ax2 + bx + c, kde a,í),c6R,a/0 Definiční obor je R. o > 0 Obor hodnot je \ c — —, 00 J. Je rostoucí v ^ — ~, +ooj. Je klesající v ^ — 00, — Je zdola omezená, není shora omezená. V bodě x —--má ostré minimum. 2a o > 0 y \ b V2? 0 b7 \ i j \ 1 / 38 a < O Obor hodnot je ^ — co, c • b_ 2a i -)■ 4a/ Je rostoucí v ( — co, —— \ v 2a/ Je klesající v ^ - —, -fcoj. Je shora omezená, není zdola omezená. V bodě x = má ostré maximum. Za a < 0 6.4 Mocninné funkce Definice Mocninnou funkcí se nazývá každá funkce y = xk, kde A: je celé číslo. Vlastnosti funkce y = xk, pro k > 0 Definiční obor je R. fc-liché Obor hodnot je R. Je rostoucí v R. Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Nemá ani minimum, ani maximum. Ar-sudé Obor hodnot je {0, +oo). Je rostoucí v (0, +oo), je klesající v (—oo,0). Je sudá. Je zdola omezená, není shora omezená. V bodě 0 má ostré minimum, nemá maximum. &-liché /.•-sudé 1 VI J \ 0 1 39 Vlastnosti funkce y = xk, pro k = 0 Jde o funkci y = 1, x G (-oo,0) U (0, +oo). Pro x = 0 není x° definováno, tzn., že definiční obor je R - {0}. y=xu Vlastnosti funkce y = xk, pro k < 0 Definiční obor je R — {0}. Nemá maximum ani minimum. fc-liché Obor hodnot je R-{0}. Je klesající v (—co, 0) a v (0, +oo). Není ani zdola, ani shora omezená. Je lichá. 1+ A-liché fc-sudé Obor hodnot je R+. Je rostoucí v (-co, 0), je klesající v (0, +co) Je zdola omezená, není shora omezená. Je sudá. /.•-sudé 6.5 Nepraná úměrnost Definice k Nepřímou úměrností se nazývá každá funkce y = —, kde fc je reálné číslo různé od nuly. 40 Graf Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola. k Vlastnosti funkce y = -, kde k £ R - {0} Definiční obor je R - {0}. Obor hodnot je R - {0}. Není ani shora, ani zdola omezená. Nemá ani maximum, ani minimum. Je lichá. k > 0 Je klesající v (—00,0) a v (0, +00). fc < 0 Je rostoucí v (—00,0) a v (0, +00). k > 0 -1 0 k<0 --1 - 6.6 Lineární lomená funkce Definice Lineární lomenou funkcí se nazývá každá funkce y = ax + ^) ^e ^ cx + d b, c, d e R, c ž 0 a ad - be ^ 0. Graf Grafem každé lineárni lomené funkce je hyperbola, kterou získame k posunutím grafu některé funkce y = kde k e R - {0}. 41 6.7 Exponenciální funkce Definice Exponenciální funkcí o základu a se nazývá každá funkce daná rovnicí y = ax, kdeae R+- {1}. Vlastnosti exponenciální funkce y — ax Definiční obor je R. Obor hodnot je (0, +00). Je zdola omezená, není shora omezená. Nemá ani maximum, ani minimum. Hodnota funkce v bodě 0 je rovna 1. a > 1 Je rostoucí, a tedy je prostá. 0 < a < 1 Je klesající, a tedy je prostá. a > 1 y 1 X -í 0 1 l) < a < 1 y 1 -í 0 í x 6.8 Logaritmická funkce Definice Logaritmickou funkcí o základu a se nazývá každá funkce y = loga x, kde o € R+ - {1}. Vlastnosti logaritmické funkce y = loga x . « > 1 Definiční obor je (0, +00). Obor hodnot je R. Není ani shora, ani zdola omezená. Nemá ani maximum, ani minimum. Hodnota funkce v bodě 1 je rovna 0. 42 a > 1 Je rostoucí, a tedy je prostá. 0 < a < 1 Je klesající, a tedy je prostá. 0 < a < 1 6.9 Vztah mezi exponenciální a logaritmickou funkcí Logaritmická funkce y = loga x a exponenciální funkce y = ax jsou navzájem inverzní. y = log0 x ay = x a > 1 82 Elementární funkce 4.3 Funkce goniometrické a cyklometrické Funkce goniometrické Goniometrickými funkcemi nazýváme funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Stejně jako u funkce exponenciální, tak i u funkcí goniometrických existuje několik možností jejich zavedení. Jedním z nejčastějších způsobů je definovat funkce sinus a kosinus pomocí součtu nekonečné řady. Jinou možností je využití funkcionálních rovnic. Bohužel, vzhledem k našim znalostem, nemůžeme žádnou z těchto možností využít. Vyjdeme proto ze středoškolských poznatků a pouze připomeneme zavedení těchto funkcí pomocí jednotkové kružnice. Budeme přitom předpokládat znalost pojmu orientovaný úhel. Podrobně je tento přístup uveden například v [15]. Uhly budeme nadále měřit v míře obloukové, nikoliv stupňové. Připomeňme, že úhel 1° v míre stupňové je roven úhlu n/180 v míře obloukové. Obecně úhel n stupňů má obloukovou míru n [fj. Sinus a kosinus A = (m, n) Nechť A = (to, n) je průsečík jednotkové kružnice s koncovým ramenem orientovaného úhlu o velikosti x v soustavě pravoúhlých souřadnic u, v. (Vrchol úhlu je v počátku soustavy souřadnic O a počáteční rameno orientovaného úhlu splývá s kladnou částí osy u.) Funkce /, jejíž hodnota je v každém bodě x e R rovna souřadnici n bodu A, se nazývá sinus a funkce / Jejíž hodnota je v každém bodě x 6 K rovna souřadnici m bodu A, se nazývá kosinus. Sinus Označení: /: y = sin x, x e K. Vlastnosti: • Definiční obor: (—oo, oo). • Obor hodnot: (—1, 1). • Funkce je lichá, tj. sin (—x) — — sin x. • Funkce je periodická se základní periodou 2ti, tj. sin (x + 2kn) = sin x, k £ Z. • Funkce je rostoucí na intervalech (—| + 2kn, | + 2kn), k e Z a klesající na intervalech (f + 2/br, ^ + 2kit), k e Z. 43 4.3 Funkce goniometrické a cyklometrické 83 84 Elementární funkce Graf: Tabulka hodnot funkce sinus ve význačných bodech: X 0 TT 6 IT 4 TT 3 TT 2 it 3W sin* 0 1 2 •n 2 Vš 2 1 0 -1 Kosinus Označení: /: y = cos x, x e R. Vlastnosti: • Definiční obor: (—oo, oo). • Obor hodnot: (—1, 1). • Funkce je sudá, tj. cos (—x) = cos x. • Funkce je periodická se základní periodou 2ťt, tj. cos (x + 2kií) = cos x, k e Z. • Funkce je rostoucí na intervalech <-jt + 2ktt, 0 4- Tktx.), k e Z ä klesající na intervalech (0 + 2feit, it + 2kií). k e Z. Graf: Tabulka hodnot funkce kosinus ve význačných bodech: X 0 n 6 TT 4 TI 3 TT 2 ji h cos X 1 2 2 1 2 0 -1 0 üf Základní vztahy a vzorce Uveďme si nyní přehledně základní vztahy a vzorce pro počítání s funkcemi sínus a kosinus. Poznamenejme ještě, že všechny dále uvedené rovnosti platí všude, kde je současně definována levá i pravá strana rovnosti. (1) sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, (2) cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin y, (3) sin (x — v) = sin a- cos y — cos x sin y, (4) cos (x — y) = cos jc cos y + sin x sin y. Těmto vztahům říkáme součtové vzorce pro funkce sinus a kosinus. Přitom součtové vzorce (1) a (2) je užitečné si zapamatovat, neboť se často používají a jak si ukážeme dále, lze z nich odvodit řadu dalších vzorců. Vzorce (3) a (4) dostaneme tak, že ve vzorcích (1) a (2) nahradíme symbol y symbolem —y: sin (x — y) — siní cos (—y) + cos x sin (—y) = sin x cos y — cos x siny, cos (x — y) = cos x cos (—y) — sin x sin (—y) = cos x cos y + sin x sin y. (5) sin2 x + cos2 x = 1, (6) ín \ sinx = cos — xJ, (7) ■ ŕ71 \ cosx = sin y— — x J. Vzorec (5) dostaneme tak, že ve vzorci (2) položíme y = —x: cos (x + (—x)) = cosx cos (—x) — sin x sin (—x), cosO = cos2x + sin2x, 1 = cos2 x + sin2 x. Vzorec (6) dostaneme ihned pomocí součtového vzorce (4): cos (--x ] = cos — cos x + sin — sin x = 0 • cos x + 1 ■ sin x = sin x. V2 / 2 2 Obdobně vzorec (7). (8) sin 2x = 2 sin x cos x. (9) cos 2x = cos2 x — sin2 x, i x \ 11 — cos x U0) |sin2l = V-2-' I x i /1 + cos x (11) cos-| = J---. Sf 4.3 Funkce goniometrické a cyklometrické 85 86 Elementární funkce Vzorce (8) a (9) dostaneme tak, že v součtových vzorcích (1) a (2) položíme y = x: sin 2x = sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x, cos2x = cos(x + x) = cos x cos x — sinx sinx = cos2 x — sin2 x. Vzorec (10) odvodíme pomocí vzorců (9) a (5) takto: x nX , 7 x cos x = cos 2 — = cos--srn - = 1 — 2 sin — . 2 2 2 2 Z toho plyne > x 1 — cos x 1 — cos x Analogicky vzorec (11). (12) (13) (14) (15) sin x + sin y = 2 sin sin x — sin y = 2 cos cos x + cos >' = 2 cos x + y x — >■ -cos — 2 2 x + y . x — >• -sin — 2 2 x + y x v x + y . x - y cos x — cos y = —2 sin-sin —-—. Vzorec (12) v proměnných a a/? dostaneme, sečteme-li rovnice (1) a (3) a položíme-li x + y = a, x — y = ß, tj. x sin(x 4- y) + sin(x — y) = 2sinxcosx, sin a + sin ß = 2 sin-cos-. Analogicky odvodíme vzorce (13), (14) a (15). Tangens sinx , „, Funkci /: y =-nazývame tangens a značíme / : cosx : tgx. Platí tedy tgx = Vlastnosti: » Definiční obor: E \ {f +ínt, t e Z}. • Obor hodnot: (—oo, co). • Funkce je lichá, tj. tg (—x) = — tg x. • Funkce je periodická se základní periodou n, tj. tg (x + fcíc) = tgx, k s Z. • Funkce je rostoucí na intervalech (—| + äti, f + kil), kel*. Graf: >• = tg x Tabulka hodnot funkce tangens ve význačných bodech: x 0 tt 6 ti 4 ■ 11 3 tt 2 3tt 2 tgx 0 V3 3 1 V3 — 0 — üf 4.3 Funkce goniometrické a cyklometrické 87 88 Elementární funkce Kotangens cos x Funkci / : v = -nazýváme kotangens a značíme /: v = cotg x. Platí tedy sin x cosx cotg x =-. sin x Vlastnosti: • Definiční obor: R \ {/rit, k e Z). • Obor hodnot: (—oo, oo). • Funkce je lichá, tj. cotg (—x) = — cotg*. • Funkce je periodická se základní periodou it, tj. cotg (x + kn) = cotgx, k € Z. • Funkce je klesající na intervalech (0 + kn, Tt + ku), k e Z. Graf: y — cotg x Tabulka hodnot funkce kotangens ve význačných bodech: X 0 6 tt 4 ti 3 Tt 2 n 3ti 2 cotgx — v/3 1 3 0 — 0 Funkce cyklometrické Cyklometrickými funkcemi nazýváme funkce arkussinus, arkuskosinus, arkustangens a arkuskotangens. Budeme je definovat jako inverzní funkce k odpovídajícím funkcím goniometrickým. To je však velmi nepřesně řečeno, neboť ani jedna z funkcí sinus, kosinus, tangens a kotangens není prostá. Nelze tedy mluvit o funkcích inverzních k těmto funkcím. Podívejme se nejprve na funkci sinus. Funkce /: y = sin x, x e B, není prostá. Ale funkce f\: y = sinx, x e {—n/2, n/2), f2: y — sinx, x e (ti/2, 3it/2), fo: y = = sinx, x e (n, 3it/2) už prosté jsou. Lze tedy mluvit o funkcích inverzních k těmto funkcím. Přitom jedna z těchto funkcí, konkrétně funkce f\, je standardně považována za „základní" a funkce k ní inverzní se nazývá arkussinus. Obdobnou úvahu lze provést i pro ostatní goniometrické funkce. Arkussinus Uvažujme funkci /: y = sinx, x s (—n/2, n/2). Tato funkce je rostoucí, a tedy prostá. Inverzní funkce/-1 kfunkci / se nazýváarkussinus. Přitom D(f~l) = H(f) = (—1, 1). Označení: /-1: y = arcsinx, x e (—1, 1). Vlastnosti: • Definiční obor: (—1, 1). < Obor hodnot: (-f, f). • Funkce je lichá, tj. arcsin (—x) = — arcsinx. • Funkce není periodická. • Funkce je rostoucí. Graf: y it/2 y = arcsin x .............i / j y/ y — sin x 1 & N \ / \ \ -n/2 -1 /■■'■■ ^ ' i i N x > \ ! ! \ : : 0 Í ti/2 \ \ : \ V A \ • ■ .___ — 1 / í / f -n/2 SSf 4.3 Funkce goniometrické a cyklometrické 89 90 Elementární funkce Arkuskosinus Uvažujme funkci f: y = cos*, x e (0, ti). Tato funkce je klesající, a tedy prostá. Inverzní funkce k funkci / se nazývá arkuskosinus. Přitom £>(/-') = H(f) = = <-l,l>. Označení: /_1: y = arccosj:, x e (-1, 1). Vlastnosti: • Definiční obor: (—1, 1). • Obor hodnot: (0, ti). • Funkce není ani lichá, ani sudá. • Funkce není periodická. • Funkce je klesající. Graf: v = arccos* Při vyčíslení některých hodnot funkcí arkussinus a arkuskosinus využijeme znalosti odpovídajících hodnot funkcí sinus a kosinus, případně lichosti funkce arkussinus. Například '2 - 6 • protože sm £ 3 , protože sin I = ^ a arkussinus je lichá funkce, arccos ^ = arccos (—1) = it, protože cos f = V, protože cos it = — 1. Arkustangens Uvažujme funkci /: y = tgx, x e (—ti/2, ti/2). Tato funkce je rostoucí, a tedy prostá. Inverzní funkce /~' k funkci / se nazývá arkustangens. Přitom D(/_1) = //(/) = = (—oo, +co). : arctg.*, x e (—oo, +oo). Označení: Vlastnosti: • Definiční obor: (—co, +oo). • Obor hodnot: (-f, f). • Funkce je lichá, tj. arctg (—x) = — arctg x. • Funkce není periodická. • Funkce je rostoucí. Graf: Při vyčíslení hodnot funkce arkustangens využijeme znalosti hodnot funkce tangens a lichosti funkce arkustangens. Například arctg \/3 = f . protože tg j — V3, arctg (-]) = - arctg 1 = -f . protože tg J = 1 a arkustangens je lichá funkce. üf 4.3 Funkce goniometrické a cyklometrické 91 92 Elementární funkce Arkuskotangens Uvažujme funkci /: y = cotgx, x e (0, ti). Tato funkce je klesající, a tedy prostá. Inverzní funkce /_1 k funkci / se nazývá arkuskotangens. Přitom D(/_1) = H(f) = = (—oo, +oo). Označení: /_1: y = arccotgx, x e (—oo, +oo). Vlastnosti: • Definiční obor: (—oo, +oo). • Obor hodnot: (0, tc). • Funkce není ani lichá, ani sudá. • Funkce není periodická. • Funkce je klesající. Graf: Při vyčíslení hodnot funkce arkuskotangens využijeme znalosti hodnot funkce kotan-gens. Například arccotg •v/3 = |, arccotg (-1) = 5s protože cotg ? = -v/3, protože cotg ^ = — 1; arkuskotangens není ani sudá ani lichá funkce a není tedy možné postupovat jako u funkce arkustangens. ISf Příklad 4.13. Nakreslete graf funkce /: y = 2 — sin(| + ji) a určete její periodu. Řešení. Nejprve určíme periodu funkce /. Víme, že funkce sinus je periodická se základní periodou 2tt . Obecně funkce g: y = sin kx má periodu ^f-. Tedy naše funkce / má periodu p = T =47t. 2 V kapitole 3.3 na str. 57 jsme si připomenuli transformace grafu funkce. Nakreslíme postupně následující funkce: /,: y = sin - h- >' = sin(- + 7tj h- y ■sin [ - + ti a nakonec funkci /: y = 2 — sin (| + ti). Výsledná funkce / je znázorněna na obrázku. v y = 2 - sin(| + n) 3 2 i J i i ■* ) 271 — Tt O 71 271 Poznámka 4.14. ]. Dle definice 3.24 platí: y = arcsinx <3> x = siny, kde x e <- 1,1), y 6 (-n/2,7X/2) y = arccos x O x = cos y, kde x e (- 1, 1), y e (0, ti), y = arctgx x - tg>-. kde x £ M, v e (-Ti/2, ti/2). y = arccotg x x = cotg v, kde x e K, y e Í0, jt). 2. Protože pro vzájemně inverzní funkce platí (/"'o /)(*) = /-'(/(*)): (/° /"')(*) = /(/"'(*)): dostáváme ihned vztahy: arcsin (sin x) = x sin(arcsin x) = x arctg(tgx) = x tg(arctgx) = x pro x e D(f). pro x e £>(/"'), pro x € (-Ti/2, tt/2), pro x e (—1, 1), pro x e (—ti/2, Tt/2), pro x e (—oo, +00). Sf 15 DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET o-r -fcr- a a+r -t-z*- O(O) 15.1 Diferenciální počet Okolí 0(a) bodu a Libovolný interval {a — r, a+r), kde r je kladné reálné číslo (poloměr okolí bodu a). Definice limity funkce v bodě a Nechť / je funkce definovaná v nějakém okolí bodu a, popřípadě kromě bodu a. Funkce / má v bodě a limitu rovnu číslu L, jestliže k libovolnému okolí U(L) bodu L existuje takové okolí V(a) bodu a, že pro všechna x € V (a), x ^ a, platí f(x) e S U{L). Existence nejvýše jedné limity Funkce / má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Funkce spojitá - v bodě a: Funkce / je spojitá v bodě a, jestliže má v bodě a limitu /(a), tj. lim f(x) = f (a). x—ta - v intervalu (a, b): Funkce / je spojitá v intervalu (a, 6), jestliže je spojitá v každém bodě intervalu (a, b), tj. platí-li pro každé c e (a, b) /(c) = lim f (x). x—Vc Limita součtu funkcí Um [f (x) + g (x)] - lim f (x) + Um g (x) x—ta x—ta x—ta Limita rozdílu funkcí Ľm[/(z) - g(x)} = Um f (x) - lim g (x) 113 Limita součinu reálneho čísla a funkce Um c • f (x) = c • Um f (x), kde c je reálné číslo. i-4a x—ta Limita součinu funkcí Um [f (x) ■ g(x)] = lim f (x) ■ Um g (x) Limita podílu funkcí lim /(*) Um /(ar) , lim g(x) ž 0 i-i-n g(x) Um g{x)' x-*a x—ta Limita mocniny Um xn = an, kde n je celé nezáporné číslo. x—ta Dôležité limity sin a; Um tzx , ex — 1 1, lim -2- = 1, Um-= 1 x-í-o x ' z-+o o: ' x-to x Derivace funkce v bodě xo Funkce / má derivaci v bodě xo, f[x\-jestUže existuje /(x)-/(x0) Um i-tio x — Xo Zapisujeme y' = /'(x0) = /(*)-/(*<>) = lim i-mo x — Xo Směrnice fc tečny ke grafu funkce / v bodě A[xo, f(xo)] x-tx0 X — Xo Derivace jako funkce f(x + h)-f(x) y' = f'{x) = lim h—tO h 114 Základní pravidla pro derivování Derivace - součinu konstanty a funkce: (c/)'(x) = c/'(i) - součtu funkcí: (/ + g)'{x) = f'(x) + ^(x) - rozdílu funkcí: (/ - g)'(x) = /'(*) - ^(x) - součinu funkcí: (/ • g)'(x) = f'(x) ■ 5(1) + /(«) ■ (x) - složené funkce: [f(g{x))]' = f {g(x))g'(x) Derivace elementárních funkcí - podílu funkcí: (x) = , g(x) * 0 Funkce y = c, c je konstanta y = in, n € N y = i*, fc e Z y = xr, r € R y = smi y = cosi y = tgi y = cotgi y = e* y = o", a > 0, a 5í 1 y = ln x y = loga x, a > 0, a ^ 1 Její derivace v bodě x y' = 0 y' = nx' 7' = fcx*-1 y' = rx'-1 y' = cos x y = — sin x y = v = —— sm x y' = e* y' = a1 In a y' = y = ilna Interval (-00,+00) (-00, +00) (-OO.0) U (0,+00) (0,+oo) (-00,+00) (-00, +00) (-| + fat,| + fac),*€Z (fat,(ifc + i)it)t *e z (-00,+cc) (-00, +00) (0,+oc) (0,+oo) 115 Rovnice tečny ke grafu funkce / v bodě A[x0, f(x0)] y ~ }{x0) = /'(x0)(x - xo) Přibližné řešení rovnice f (x) =0 /(*») Xn+1 = In - /'(*n) , n = l, 2, ... Lagrangeova věta o střední hodnotě Jestliže funkce / má derivaci v každém bodě intervalu (a, 6) a x\, 12 € € (a, 6), xj < i2, pak existuje takové c€ (ii,i2), že /(i2)-/(i1) = /'(c)(i2-i1). Spojitost polynomické funkce y \ ; ! \ 1 -f 1 1 1 ■ * 0 O X, c x2 Je-li / polynomická funkce a i0 libovolné reálné číslo, pak / je spojitá v bodě io- Vztah derivace a spojitosti Jestliže funkce / má v bodě i0 derivaci, pak je v bodě io spojitá. Monotónnost a derivace (Ví e (a, b): }'{x) > 0) => / je rostoucí v intervalu (o, 6) (Vx € (a,b): f'(x) < 0) => / je klesající v intervalu (o, 6) Lokální minimum Funkce / má v bodě xo lokální minimum, jestliže existuje takové okolí O(x0) bodu x0, že /(x) = /(x0) pro všechna 1 e O(x0). r2ť Určování lokálního minima Má-li funkce / v intervalu (a, 6) spojitou druhou derivaci, x0 € (a, 6), a jestliže /'(x0) = 0 a zároveň /"(x0) > 0, pak / má v bodě x0 lokální 116 minimum. Lokálni maximum Funkce / má v bodě xq lokálni maximum, jestliže existuje takové okolí U(xo) bodu xo, že f (x) ^ f{xo) pro všechna x 6 U(xq). Určovaní lokálního maxima Má-li funkce / v intervalu (a, 6) spojitou druhou derivaci, xq € (a, 6), a jestliže f'(x0) = 0 a zároveň f"(xo) < 0, pak / má v bodě x0 lokálni maximum. Globální (absolutní) minimum Funkce / má v bodě xq € D(/) globální núnimum, jestliže pro všechna x € D(/) je f (x) _ /(xo)- GlobáLní (absolutní) maximum Funkce / má v bodě xo & D(/) globálni maximum, jestliže pro všechna x £ D(/)-je f (x) ^ f(xo)- Určovaní globálních extrémů Nechť funkce / má v intervalu (a, b) spojitou první derivaci ai0 £ e (a, b) je jediný bod, ve kterém f'(xo) = 0. Má-li / v bodě xo lokální minimum (lokální maximum), pak má v bodě xq globální minimum (globální maximum). Weierstrassova věta Je-li funkce f(x) v každém bodě intervalu (a, 6) spojitá, pak v tomto intervalu nabývá globálního maxima a globálního minima. ĽHospitalovo pravidlo Je-li lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 a jestliže existují f'(xo) a g'(xo) X—řXQ X—*XQ a navíc g'(xo) ^ 0, pak Um m f(x0) x^xq g(x) g'(x0)' 117 Konvexní funkce Je-li funkce / spojitá v intervalu (a, b) a má-li v každém bodě tohoto intervalu druhou derivaci nezápornou {f"{x) ^ 0), potom je / v intervalu (a, b) konvexní. Konkávni funkce Je-li funkce g spojitá v intervalu (a, b) a má-li v každém bodě tohoto intervalu druhou derivaci nekladnou (g"(x) ^ 0), potom je o v intervalu (a, b) konkávni. 15.2 Integrální počet Definice primitivní funkce Nechť / je funkce, jejíž definiční obor obsahuje interval (a, b). Funkci F nazveme primitivní funkce k funkci / v intervalu (a, 6), jestliže pro všechna x € (a, 6) platí F'(x) = f(x). Zapisujeme J f (x) dx = F (x) +c, kde c je konstanta. Primitivní funkce - k součinu konstanty a funkce: j a ■ f(x) dx = a ■ Jf(x)áx - k součtu funkcí: J[f(x) + g(x)] áx = J f (x) dx + j g(x) dx - k rozdílu funkcí: J [f (x) - g (x)] dx = j f (x) dx - J g (x) dx 118 Primitivní funkce k některým funkcím Funkce / y = c, c je konstanta y = xn, x e R, ne N y = xT, x > 0, r € R, r -1 y = -,x^0 x y = smi y = cos i y = y = sin2 x y =tgX y = cotg i y = e* y = a1, a > 0, a # 1 y = In x y = 1 +x2 y = Funkce F k ní primitivní y = cx y = n + l y = r + l y = ln |x| y = — cos x y = smx y = tgx y = -cotgx y = — In cos x y = lnsinx y = e* y = lna y = x(lnx- 1) y = arctgx y = arcsinx Interval (-oo,+oo) (-oo,+oo) (0,+co) (-oo,0)U(0,+oo) (-0o.+0o) (-co.+00) kel (*B,(* + l)n),JbeZ (~l + 2kll'l + 2kK)' kel (2tat, (2k + l)*),keZ (-oo, +oc) (-co,+oo) (0,+oo) (-co.+oo) (-1.1) Určitý integrál Jestliže funkce / je spojitá v každém bodě intervalu (a, b), pak existuje právě jedno číslo /, které nazýváme určitý integrál (od a do b) 119 '.v.. z funkce /; zapisujeme J /(x)dx. Číslo o je dolní mez, číslo b je horní mez tohoto integrálu, funkce / se nazývá integrovaná funkce (též integrand). Newtonova-Leibnizova věta Jestliže funkce / je spojitá v každém bodě intervalu (a, b) a je-li F funkce k ní primitivní a spojitá v každém bodě intervalu (a, 6), pak " f(x)dx = [F(x)]ba = F(b)-F(a). I Záměna mezí £ f(x)dx = - J° f(x)dx Rozdělení intervalu a < c