Úkoly domácí
podzim 2010, MA2BP_CGE
V eukleidovském prostoru máme dánu krychli ABCDEFGH s hranou délky 1 m. Body P a Q na hranách krychle jsou dány dělícími poměry (PGC) = (QEH) = 5. Rovinu, vzhledem k níž jsou body P & Q navzájem souměrné, označíme a. Zvolte vhodně souřadnou soustavu a vhodně řešte následující úlohy.
1. Určete rovnici roviny a a řez této roviny s krychlí, tj. průsečíky roviny a s hranami krychle.
2. V závislosti na parametru j G M rozhodněte o vzájemné poloze roviny a a přímky p = H J, kde J = jG + (1 - j)C.
3. Určete kolmou projekci přímky p = CG do roviny a a odchylku Z(p, a).
4. Určete obsah mnohoúhelníku řezu roviny a s krychlí a objem části krychle vymezené rovinou a a vrcholem G.
5. Určete transformační rovnice kolmé projekce do roviny a a kolmý průmět bodu G.
Bonus. Vyjádřete posunutí ve směru vektoru DF jako složení dvou (a) rotací, (b) symetrií podle rovin, (c) stejnolehlostí, (d) elací.
Další bonus. V eukleidovském prostoru E4 jsou dány roviny par, jejichž zaměření jsou
Z(p) = ((1,1,1,1), (1, -1,1, -1)), Z(t) = ((1,0,0,0), (1,1,0,0)). Dokažte, že Z(p) a Z[r) mají nulový průnik a určete
• matici kolmé projekce / : Z(p) —> Z{r) vzhledem k vhodným bázím,
• matici kolmé projekce g : Z (t) —> Z (p) vzhledem k vhodným bázím,
• charakteristická čísla složeného zobrazení / o g : Z (t) —> Z (t),
• odchylku rovin Z(p,r).
Poznámky.
Děliči poměr (ABC) tří kolineárních bodů je reálné číslo d jednoznačně určené rovností AC = d- BC, neboli A = C + d • Č~Ě, tj. A = (1 - d)C + dB, ...
Všechny příklady jsou hodnoceny 6 body, celkem lze tedy řešením úloh získat 30 (+6 bonusových) bodů a stejně tak za písemky během semestru; k zápočtu je požadováno alespoň §(30 + 30) = 40 bodů.
Řešení domácích úloh může být diskutováno ve skupině nebo s cvičícím, nicméně zpracování musí být originální se zřejmým pochopením problému a srozumitelným postupem řešení. Úlohy vykazující přílišnou podobnost s některou dříve odevzdanou prací nebudou hodnoceny!