Základní množinové pojmy, vztahy mezi množinami, množinové operace


Množina je takový souhrn objektů, že o každém objektu můžeme rozhodnout, zda do uvažovaného souhrnu
objektů patří nebo nepatří.

Pro každou množinu A a pro každý objekt a nastane právě jedna ze dvou možností:

buď  a  A, nebo   a  A .

Množina může být určena výčtem prvků nebo pomocí charakteristické vlastnosti, tj. jako obor
pravdivosti výrokové formy.

Např.   A = {2, 3, 5, 7} = {x  N; x je prvočíslo   x < 10}


Množina A je podmnožinou (částí) množiny B, právě tehdy, když každý prvek množiny A je též prvkem
množiny B.  Zapisujeme  A  B .


Množina A se rovná množině B (značíme A = B) právě tehdy, když každý prvek množiny A je prvkem
množiny B a současně každý prvek množiny B je prvkem množiny A.

(Platí tedy: A = B, právě když A  B a B  A.)


Doplněk množiny A vzhledem k základní množině Z je množina všech prvků množiny Z, které nepatří do
množiny A.

 A´ =  {x  Z; x  A}


Sjednocení množin A, B je množina prvků, které patří alespoň do jedné z množin A, B.

A  B =  {x  Z; x  A  x  B}


Průnik množin A, B je množina prvků, které patří do množiny A a současně do množiny B.

A  B =  {x  Z; x  A  x  B}


Rozdíl množin A, B je množina, která obsahuje právě ty prvky množiny A, které nepatří do množiny B

A – B =  {x  Z; x  A  x    B}


Symetrický rozdíl množin A, B je množina, která obsahuje ty prvky, které patří právě do jedné
z množin.

A  B = {x  Z; (x  A   x  B }


Množinové situace lze přehledně  graficky znázornit pomocí množinových (tzv. Vennových) diagramů.
Množiny jsou v nich znázorněny pomocí oblastí roviny ohraničených jednoduchými uzavřenými křivkami.
V případě dvou (tří, čtyř, n) množin je základní množina rozdělena na 4 (8, 16, 2^n) elementárních
polí.  Pomocí množinových diagramů lze snadno ověřit vlastnosti množinových operací a řešit některé
úlohy.

Např.

Úloha 1.  Po maturitách se ukázalo, že 14 studentů dostalo výbornou známku z aspoň jednoho předmětu
z dvojice český jazyk, cizí jazyk. Osm z nich mělo výbornou z českého jazyka a tři z obou předmětů.
Kolik žáků mělo výbornou z cizího jazyka?


Úloha 2.  Studenti měli skládat tři obtížné zkoušky. Ze 124 studentů složilo jen první zkoušku 22,
první a druhou zkoušku složilo 28 studentů, druhou a třetí složilo 52 studentů, jen druhou zkoušku
složilo 12 studentů, první nebo třetí (tj. aspoň jednu z nich) složilo 96 studentů, všechny tři
zkoušky složilo 20 studentů. 30 studentů nesložilo ani první ani druhou zkoušku. Kolik studentů
nesložilo žádnou zkoušku a kolik jich bude ještě skládat jednotlivé zkoušky?