K1


ZÁKLADNÍ  POJMY  VÝROKOVÉ  LOGIKY


Výrok  je každé sdělení, o němž má smysl říci, že je buď pravdivé nebo nepravdivé.


Pozn. Není důležité, zda o pravdivosti či nepravdivosti výroku umíme rozhodnout. Podstatné je, zda
má smysl o pravdivosti uvažovat, zda má smysl položit si otázku: „Je pravda, že...?“


Úkol:

Rozhodněte, které z následujících vět jsou výroky:
 1. Právě začalo pršet.
 2. Na Marsu existují živé organismy.
 3. Karel IV.  byl  v Praze r. 1348.
 4. Rozvoj matematických představ.
 5. Pojď k tabuli.
 6. Číslo 4 je dělitelem čísla 134.
 7. 100 : 5 = 20
 8. 4 + x = 9


Ve výrokové logice nás nezajímá konkrétní obsah výroků, ale jejich pravdivost (pravdivostní
hodnota).

Každému výroku je možné přiřadit pravdivostní hodnotu:

            Je-li výrok pravdivý, je jeho pravdivostní hodnota 1.

Je-li výrok nepravdivý, jeho pravdivostní hodnota je 0.

Výroky budeme dále označovat velkými písmeny (A, B, C, P, Q, ...)



Negace výroku A je výrok ù A, který je pravdivý v případě, že výrok A je nepravdivý.

Př.          A: Dnes je úterý.

 ù B: Dnes není úterý.  (Není pravda, že je dnes úterý.)


Úkol:

Vyslovte několik výroků a vytvořte jejich negace:


Složené výroky

Z jednoduchých výroků můžeme tvořit složené výroky pomocí tzv. výrokotvorných spojek:

-         „a“, „a současně“, „a zároveň“        ( )

-         „nebo“                                           ( )

-         „buď, nebo“                                   ( )

-         „jestliže, pak“;  „A implikuje B“      ( )

-         „právě tehdy, když“                       ( )


Konjunkce výroků a, b je  výrok  a  b,  který je pravdivý v případě, že jsou oba výroky pravdivé.


Disjunkce (alternativa) výroků a, b je  výrok a  b,  který je pravdivý v případě, že je alespoň
jeden z výroků a, b pravdivý.



Ostrá disjunkce výroků a, b je  výrok a b,  který je pravdivý v případě, že je právě jeden z výroků
a, b pravdivý.


Implikace výroků a, b je  výrok a  b,  který je nepravdivý jen v případě, že první výrok je
pravdivý a druhý výrok je nepravdivý. Ve všech ostatních případech je implikace pravdivá.


Ekvivalence výroků a, b je  výrok a b,  který je pravdivý v případě, že oba výroky mají stejnou
pravdivostní hodnotu.


Někdy se v běžném jazyce nevyjadřujeme přesně -  je potřeba logické spojky odhalit:


Úkol:

1. Zapište symbolicky, nebo vyslovte pomocí logických spojek:


a)      Petr přijde s Evou.


b)     Pokud přijde Petr, přijde i Eva.


c)      Přijde Petr, ale Eva ne.


d)     Ze dvojice Petr a Eva přijde nejvýš jeden.


e)      Buď přijde Eva,  nebo Petr.


f)       Eva přijde jen tehdy, když přijde Petr.


2. Tatínek řekl Ondrovi: Budeš-li mít samé jedničky, dostaneš nové kolo. Co se týká

    vysvědčení (Ondra bude/nebude  mít samé jedničky) a kola (Ondra dostane/nedostane

    kolo), mohly by nastat 4 různé situace. Rozhodněte, která z nich by neměla nastat, má-li být

    pravda, co tatínek řekl.


3. Maminka říká: Když si nenapíšeš úlohu, nebudeš se dívat na televizi. Rozhodněte, která

    z možností nemůže nastat, má-li být pravda, co maminka říká.


4. Předpověď počasí na dnešek se nevyplnila. Jak můžete charakterizovat dnešní počasí,

    zněla-li předpověď takto:

a) Bude jasno, teploty kolem nuly, klidno.

b) Bude-li v místě jasno, poklesnou teploty pod – 10^0C. ^


Pomocí výrokotvorných spojek můžeme výroky různě skládat a uvažovat pak o jejich pravdivosti (obsah
jednotlivých výroků nás nezajímá):

Mluvíme pak o výrokových formulích.  Jsou to zápisy, ve kterých se objevují výrokové proměnné a,b,
p, q,  .. log. spojky, závorky  a to tak, že když  dosadíme za výrokové proměnné konkrétní výroky,
dostaneme výrok:  Např.  ù(a  b)  (ù a ù b).

Pak nás zajímá, jaké pravdivostní hodnoty nabývá výsledný výrok v závislosti na pravdivosti výroků
 A, B.