Ve školské matematice, ale i běžně v různých životních situacích se používají vyjádření  typu

všichni, ne všichni, někdo, nikdo, žádný, každý, kterýkoliv, některý, aspoň jeden apod., která
vedle číslovek také vyjadřují  počet nebo množství – jsou to tzv. kvantifikátory (v širším smyslu).

V logice vystačíme se dvěma kvantifikátory:

Obecný kvantifikátor  ( x – „pro každé x platí, že …“)

Existenční kvantifikátor  ( x – „existuje aspoň jedno x …, pro které platí, že …“)


Negace kvantifikovaných výroků.

Není pravda, že všichni jsou tady.   --  Aspoň jeden tady není.

Není pravda, že si všichni umyli ruce. – Aspoň jeden si neumyl ruce.


Není pravda, že někdo neumí zpívat. --  Každý umí zpívat.

Není pravda, že někdo tady umí hrát na kytaru. – Nikdo (každý) tady neumí hrát na kytaru.



Výrokové formy.

Sdělení, v nichž se vyskytuje jedna nebo více proměnných. V případě, že za proměnné dosadíme z tzv.
definičního oboru výrokové formy, dostaneme z ní výrok.

Obvykle nás zajímá  obor pravdivosti výrokové formy, tj. množina prvků, pro něž dostaneme
z výrokové formy  pravdivý výrok.

Příklady:

Žák  X dnes chybí.

Pan/í  ………… , nar. ………………  se zúčastnil ……………….  .

x + 10  13

(Obor pravdivosti závisí na tom, jak je určen definiční obor)


Z výrokové formy můžeme také dostat výrok, vážeme-li všechny proměnné pomocí kvantifikátorů:
obecného nebo existenčního .

Např. x  N:   x + 10  13  (Pro každé přirozené číslo x je ...)  je nepravdivý výrok

          x  N:   x + 10  13  (Existuje přirozené číslo x takové, že ...)  je pravdivý výrok.


Úroveň abstraktního myšlení dětí v předškolním i mladším školním věku je poměrně nízká. V případě
uvažování nad pravdivostí tvrzení vycházejí ze svých osobních zkušeností, uvažují o pravdivosti
konkrétní situace.

Jde o to, aby o pravdivosti jednoduchých výroků dokázaly rozhodnout – hry: je pravda, není pravda.

Jde zde o propedeutiku, kdy se učí postupně zpřesňovat svoje vyjadřování, učí se postupně
argumentovat.

Př. Je/není to pravda?

Venku teď prší.     V této místnosti je slon.       Jedna a jedna jsou dvě.         Dnes jsou tady
všichni.     Někdo ze třídy je nemocný.       Aspoň jeden z vás nosí brýle.    Nikdo si nezapomněl
umýt ruce před obědem.

Hry

1. Budíček:  Děti mají skloněné hlavy – „spí“. Učitel říká různá tvrzení. Když vysloví nepravdivé
tvrzení, zvednou hlavu – „probudí se“.

2. Letí – letí   Učitel říká různá tvrzení. Je-li pravdivé, děti zvednou ruce nad hlavu, např.
„Letí, letí, co má křídla, všechno letí. Vrabec letí.“

3. Vytvořte příklady z běžného života, ve kterých je potřeba rozhodovat o pravdivosti. (ve formě
výroků)

4. Ke zvolenému obrázku zformulujte jednoduché výroky, týkající se situace znázorněné na obrázku.
(Cílem činnosti s dětmi je rozvíjení schopnosti rozhodovat o pravdivosti vyslovených tvrzení.)

Užívání kvantifikátorů si děti osvojují také  na  úkolech :

Ukliď všechny hračky do krabice.

Postav ze všech žlutých kostek věž .

Polož na lavici aspoň jednu žlutou kostku a aspoň dvě modré kostky. atd.



Úlohy na procvičení:


Úloha 1. Ve městě Matematika platily zákony, které museli dodržovat všichni obyvatelé. Pozorně si
každý zákon přečtěte a zjistěte, ve kterých situacích je zákon dodržený a ve který je porušený. Své
tvrzení zdůvodněte.

Z1:  Maminky musejí mít oblečené bílé tričko nebo černou sukni.

            a) Pavlova maminka má oblečené bílé tričko a černou sukni.

            b) Honzova maminka má zelené tričko a černou sukni.

            c) Evina maminka má oblečené bílé tričko a hnědou sukni.

            d) Petrova maminka má modré tričko a bílou sukni.


Z2:  Všichni černí psi musejí mít náhubek.

            a) Pavlův strakatý pes má náhubek.

            b) Honzův černý pes nemá náhubek.

            c) Evin černý pes má náhubek.

            d) Petrův hnědý pes nemá náhubek.


Z3: Každý panelák musí mít schodiště a výtah.

            a) Panelák, ve kterém bydlí Pavel, má schodiště, ale nemá výtah.

            b) Honza bydlí v paneláků, který má schodiště i výtah.

            c) Eva bydlí v paneláku, který nemá schodiště ani výtah.

            d) Petr bydlí v cihlovém domě se schodištěm bez výtahu.



Úloha 2. Kamarádi Borek, David, Pavel mají trička různé barvy, každý má jinou barvu: modrou,
červenou, žlutou. Petr má červené nebo modré tričko . Borkovo tričko není ani červené ani modré.
David nemá červené tričko. Jaké triko má každý z chlapců?


Úloha 3. Tři chlapci Adam, Boris, Dan chovají každý jedno ze zvířat: psa, kočku nebo papouška.
Každý z nich bydlí v jiné ulici: Dolní, Střední nebo Horní.  Víte, že

-         Dan se bojí psů,

-         Boris má papouška,

-         nikdo z Dolní ulice nemá kočku,

-         ten, kdo bydlí v Horní ulici, chová psa.

Zjistěte, jaké zvíře chová každý z chlapců a na které ulici bydlí.


Úloha 4. Automat na nápoje má pět tlačítek. Když stlačíte tlačítka s čísly 1 a 3, vydá automat
kofolu  džus. Při stlačení tlačítek 2, 3 a 4 dostanete kakao, kofolu a minerálku. Když stlačíte 4 a
5, vydá automat mléko a kakao. Jaké nápoje vydá automat při stlačení tlačítek 2 a 5? Co vydá při
stlačení ostatních tlačítek?