Rozvoj matematických představ 1. - Příklady
Helena Durnová prosinec 2010
Přehled okruhů - RMP 1
(Převzato z materiálů pro dálkové studium)
1. Výrok. Negace vároku. Složené vároky (logické spojky: konjunkce, disjunkce, ostrá disjunkce, implikace, ekvivalence)
2. Výrokova forma. Vároková formule, pravdivostní ohodnocení várokovách formulí
3. Kvantifikovane vároky: obecná a existencní kvantifikator, negace kvantifikovaných výroku.
4. Množina. Podmnožina. Doplnek množiny.
5. Sjednocená dvou množin. Prunik, rozdál, symetricky rozdál dvou množin. VyůZití množinovych diagramu k rešem uloh.
6. Kartezsky soucin dvou množin.
7. Binární relace z množiny do množiny. Binarní relace na množine, Usporadaní množiny. Ekvivalence na množine a rozklad množiny.
8. Zobrazená z množiny do množiny. Typy zobrazená proste, vzajemne jednoznacne.
9. Prirozená císla: zavedení a zakladní vlastnosti. Operace s prirozenámi císly. Vytvárení pojmu prirozeneho císla. Prirozena císla a predskolaci.
Literatura (základní)
1 Ružena Blažkova: Rozvoj matematických pojmů a predstav u dětí předškolního věku.
http://is.muni.cz/elportal/?id=893208
1
Výroky
Definice 1 Výrok je tvrzeni, o nemz má smysl prohlásit, ze je pravdivé nebo ze pravdivé není.
Negace vyrokuA: —A Konjunkce (A a zároven B): A A B Disjunkce (A nebo B): A V B Implikace (kdyz A, pak B): A == B Ekvivalence (A práve tehdy kdyz B): A B Tautologie: vyrok, ktery je vzdy pravdivý Kontradikce: vyrok, ktery není nikdy pravidvý Příklad 2 Napište negace následujících výroků:
1. Neexistují neomylní učitele.
2. Existují omýlní učitele.
3. Každí učitel je omýlný.
4. Zádní učitel není neomylný.
5. Jen omýlní lide jsou učitele.
6. Zádní učitel není omýlní.
7. Jen ti lide, kterí jsou učiteli, mohou bít omýlní.
8. Nejen omýlní lide jsou učiteli.
Příklad 3 Sestavte tabulku pravdivostníčh hodnot následujíčíčh složeníčh výroku:
1. —(A == —B) == —(—B V —A)
2. —(A V—B) == —(A A B)
3. —(A V B) A (—A == B)
2
4. (A V B) A C
5. (A A C V B)
6. [(A V B) A C]     [(A A C V B)]
7. A     (B    -C)
8. -(B A C)
9. [A     (B    -C)] <=> [-(B A C)]
10. [(A    B) A B] A
11. -(A V B)     (-A A-B)
12. A     (-A    B)
Příklad 4 Napište negace následujících výroků (s kvantifikátory):
1. Všechna zvířata mají čtyri nohy.
2. Existuje ryba, ktera mluví.
3. Existuje nejmene 5 druhů sladkovodních ryb.
4. Aspon jeden jehličnatý strom na zimu opadava.
5. V Evrope rostou alespoň dva druhy borovic.
6. Duha obsahuje vsechny zíkladní barvy.
7. Kazdou barvu lze namíchat ze zakladních barev.
3
Množiny a operace s nimi
Definice 5 Soubor prvků nazýváme množinou. Množiny označujeme zpravidla velkými písmeny latinské abecedy.
x je prvkem A: x E A;
A je podmnoZinou B: A C B;
A je podmnoZinou nebo je rovno B: A C B;
Sjednocení dvou množin: A U B;
Prunik dvou mnoZin: A n B;
Rozdíl dvou mnoZin: A \ B;
Doplněk mnoziny A vzhledem k množine M (platí A C M: A = M\ A);
Kartézský součin dvou množin A, B: AxB (kartezský součin je mnozina usporadanych dvojic, v nichž první prvek je z mnoziny A a druhy prvek z mnoZziny B).
Příklad 6 Ukažte, že platí následující tvrzení (pomocí Vennových diagramů)
1. A u (B n C) = (A u B) n (A u C)
2. A n (B u C) = (A n B) u (A n C)
3. A u B = A n B
4. A U B = A U B
5. A \ (B n C) = (A \ B) U (A \ C)
6. A n (B \ C) = (A \ C) n (B \ C)
Príklad 7 Rožhodnete,kterí ž nísledujících množinovích inkluží platí:
1. A \ (B \ C) = A \ (B U C)
2. A \ (B U C) C A \ (B \ C)
Príklad 8 Ukažte, že platí nasledující tvržení:
* (A n B) U C = A n (B U C), pokud C C A
* A \ (B \ C) = (A \ B) \ C
4
Relace a zobrazení
Definice 9 Relací na množině A nazýváme podmnožinu kartézského součinu A x A; tj. prvky relace jsou některé uspořádané dvojice prvků množiny A: R C A x A
Vlastnosti relace
Relace symetricka: pro Va, b G A platé: (a, b) G R ^ (b, a) G R
Relace reflexivné: pro Va G A platé: (a, a) G R
Relace antisymetricka: pokud (a, b) G A A (b, a) G A), pak: a = b
Relace tranzitivné: pro Va, b, c G A platé: (a, b) G R A (b, c) G R ^ (a, c) G R
Relaci, ktemje reflexivné, antisymetricka a tranzitivné nazývame uspořádání. Tuto relaci lze zakreslit hasseovskím diagramem.
Relaci, ktera je reflexivné, symetricka a tranzitivné nazývame ekvivalence. Ke kazde ekvivalenci pnslušé rozklad.
Příklad 10 Relaci na množine A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} zadanou výčtem zapište do tabulky a uřčete, zda je
(a) reflexivní,
(b) šýmetřicka,
(c) antišýmetřicka,
(d) třanzitivní,
(e) uspořádaní,
(f) ekvivalence.
V případe, ze se jedna o uspořadaní, nakřeslete hasseovskí diagřam zadane řelace; v případe, ze se jedna o ekvivalenci, najdete příslusní řozklad.
R = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5, 5), (6, 6)};
S = R U {(1,4), (2, 5), (3, 6), (4,1), (5, 2), (6, 3)};
T = R U{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2,6), (3, 6)}
5
P = R U{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1,6), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)} Q = R U{(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4,6), (5, 6)}
Definice 11 Relace f C A x B se nazývá zobrazením, pokud je každému prvku množiny A přiřazen nejvýše jeden prvek množiny B (tj. zadný prvek množiny A nelze zobrazit na dva rUzne prvky). Zobrazení se nazýva
proste, pokud ma kazdý prvek mnoziny B prave jeden vzor;
"na", pokud ma kazdy prvek mnoziny B alespon jeden vzor;
vzájemně jednoznačné, pokud ma kazdy prvek mnoziny A prave jeden obraz a kazdýy prvek mnoziny B prýave jeden vzor.
Příklad 12 Určete, která z následujících zobrazení jsou vzájemně jednoznačná; která jsou prostá; a která jsou 'na'. Nakreslete názorný obrázek.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, f = {(1,1), (2, 3), (3, 5), (4, 2)}
A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3,4}, f = {(1,1), (2, 3), (3,4)}
A = {1, 2, 3, 4},B = {a, b, c, d}, f = {(1,d), (2,a), (3,c), (4, b)}
6
Přirozená čísla a operace s nimi
Definice 13 Binární operace + a • na množině přirozených čísel N jsou
komutativní, tj. platí a + b = b + a, a • b = b • a;
asociativní, tj. platí a • (b • c) = (a • b) • c; Dale platí, distributivní, zákon: a • (b + c) = a • b + a • c.
Příklad 14 Sečtete nasledující čísla ve dvojkove soustavě
1. 10101 + 1011
2. 10111 + 10101
3. 11001 + 10001
4. 11111 + 11111
Příklad 15 Zapište následující čísla vyjádředná římskými číslicemi v poziční desítkové soustave:
1. XLIII
2. MCM
3. MDCCCLIV
4. MXMIX
5. MDCXVIII
7