I I 66 9. Těleso komplexních čísel V 8. kapitole (věta 8.2 (b)) jsme viděli, že v tělese reálnych čísel nemá binomická rovnice xn = a řešení pro záporné reálne a a sudé přirozené číslo n (n > 2). Speciálně nejjednodušší taková rovnice x2 + 1 = 0 nemá řešení = / a /(») = f • Můžeme říci, že diagram na obrázku 8 komutuje: \ P Obr. 8. Důkaz. Nechť % E P je řešením rovnice x2 + 1 = 0 v tělese P, tedy tt2 = -1. Definujme zobrazení / ; C -» P tak, že pro a = [ a, b } = a + bi e C (a, fa 6 E) položíme _ /(a) =/(a)+ «•■/(&). Dokažme nyní, že / je injektivní zobrazení. Nechť a — [ a, b ], = [ c,d ] € C, f (a) = /(/?). Pak/(a)+7r-/(&) = f(c)+ir-f(d), odkud plyne ir-f(b-d) = /(c-o). Jestliže 6 Ý d, je také f(b - d) # 0, a pak tt.= /(§5§)- Tudíž reálné číslo fřf je řešením rovnice x2 + 1 = 0. To však není možné, neboť rovnice x2 + 1 = 0 žádné řešení v E nemá. Musí tedy být b = d, a pak 0 = f(c - a), z čehož plyne c - a, tudíž a = a / je tedy injekce. Nyní ukažme, že / je homomorfismus. To, že / zachovává operaci + , se úkaze snadno. Podobně lze ukázat, že / zachovává i operaci • , neboť pro a = [ a, b ], 68 Reálná a komplexní čísla P = [c,d] platí, že/(a) • j{fi) = {}(a> + n •./'(&))(/(c) + tt • /Jd)) = /(ac - 6d) + + tt ■ f(bc+ ad) = f (a ■ fi). Dohromady tedy dostáváme, že / je vnořením tělesa C do tělesa P a pro r e E máme f(ip(r)) = f([r,0 ]) = /(r). Ukážeme ještě jednoznačnost vnoření /. Buď g vnoření tělesa C do tělesa P takové, že g(i) = 7r a g ô ip = /, Pro libovolně zvolené komplexní číslo a = [ a, b ] je pak g (a) - g([a, 0 ] + [6,0 ] -i) — g(a) + g(b) = f (a). Věta je tím dokázána. 9.4. Tvrzení. Rovnice x2 + 1 = 0 má v tělese komplexních čísel právě dvě řešení {i, —i}. Důkaz. Zřejmě oba prvky ±i jsou řešením rovnice x2 + 1 = 0 v tělese C. Ukažme, že žádná další řešení tato rovnice v množině C nemá. Nechť £ = [u, v } = = u + vi e C (u, v 6 E) vyhovuje rovnici x2 + 1 = 0. Pak £2 = [ u2 — v2, 2uv j = = [-1,0 ], tudíž u2 - v2 — —1 a luv — 0. Z druhé rovnice dostáváme u — 0 nebo u = 0. Jestliže n = 0, pak v2 = 1, a tedy v = ±1 a £ = ±t. Je-li u = 0, pak musí být u2 = —1, což však není v tělese reálnych čísel možné. ô 9.5. Poznámka. Na tělese komplexních čísel C neexistuje lineární uspořádání < takové, aby platila základní početní pravidla, na která jsme zvyklí z množiny reálných čísel. Tím máme na mysli, aby pro každé a, /?, 7 G C platilo: (a) a < /3 => a + 7 < /J+ 7, - . .: - . (b) 7 > 0, a < /3 => a -7 < ^ • 7. Muselo by totiž potom platit, že i > 0 nebo —i > 0, což by znamenalo, že i2 > 0 a také i4 > 0. Dostali bychom pak —1 > 0 a současně 1 > 0, což není možné. Vlastnosti množiny reálných čísel vzhledem k uspořádání nám dovolují představit si množinu reálných čísel jako přímku, přičemž uspořádání reálných čísel odpovídá přirozenému uspořádání bodů na této přímce. Množinu komplexních čísel si můžeme představit jako rovinu a to následujícím způsobem. 9.6. Definice.'Nechť jsou v rovině zvoleny dvě navzájem kolmé přímky (číselné osy) iay. Pak každý bod této roviny je jednoznačně určen dvojící reálných čísel, která značí souřadnice tohoto bodu. Komplexní číslo a — [ o, b ] — a + bi znázorňujeme bodem o souřadnicích a, b (viz obr. 9). Uvažovaná rovina se nazývá Gaussova rovina. Osa x se nazývá reálná osa, osa y se nazývá imaginární osa (popř. mluvíme o ose reálných čísel a ose imaginárních čísel). Pro komplexní číslo a = [ a, b } — a + bi definujeme absolutní hodnotu \a\ jako reálné číslo \a\ = Va2 + b2 (> 0). Číslo a komplexně sdružené s číslem a je komplexní číslo a — bi. Kap. 9. Těleso komplexních čísel Obr. 9. Reálná část Re a komplexního čísla a je Re a = a, imaginární část Im a komplexního čísla a je Ima = i. Argument arga komplexního čísla a ^ 0 je definován jako reálné číslo tp, pro které platí: cosy3 a sm^^. Píšeme arg a — (p. Zřejmě argument není definován jednoznačně. Jestliže arg a = tp, pak tp + 2/ctt, kde A; G Z, je též argument čísla a. Omezíme-li se např. na interval 0 < tp < 2n, pak je ovšem argument určen jednoznačně. Snadno se dokáže platnost následující věty. 9.7. Věta. Nechť a, P jsou komplexní čísla. Pak platí: (a) |a| = 0 4=» a = 0, (b) |-a| = K (c) |a + /3|<|a| + |/3|, (d) \a-0\~\a\-\0\, (e) |a-/3|>||a|-|0ll, (f) pro d ^ Oje |^| = (g) |a|2 = a ■ ä, (h) cT+P = ä + P, (k)o7~p = ä-p, (i) Rea = \{a + a),Ima = — ^(a — a), (j) pro a 7^ 0 je a — \a\(cos tp + i sin tp), kde tp == arg a. 70 Reálná a komplexní čísla 9.8. Definice. Tvar uvedený v bodu (j) předcházející věty pro nenulová komplexní čísla se nazývá goniometrický tvar komplexního čísla a. Komplexní číslo a = a + bi se nazývá komplexní jednotka, jestliže |a| = 1. 9.9. Poznámka. Zřejmě množina všech komplexních jednotek v Gaussově rovině je rovna množině všech bodů jednotkové kružnice (kružnice o poloměru 1 se středem v počátku souřadného systému). Každé komplexní číslo a lze tedy psát ve tvaru a — \a\ • e, kde e je komplexní jednotka (pro a^O určená jednoznačně). Z poznatků analytické geometrie lze snadno odvodit následující tvrzení. 9.10. Tvrzení. Nechť a, (3, j jsou komplexní čísla, kterým odpovídají body A, B, G v Gaussově rovině a nechť O A + OB = OC (O značí počátek). Pak a + /J = 7, \ C definované předpisem F(£) = e • £ pro £ G C. Pak F je bijekcí množiny C na sebe a pro libovolná ct,0 G C platí: \F(a - (3)\ -\a- Odpovídá-li číslu £ bod X v Gaussově rovině a číslu F(£) bod Y, položíme S(X) = Y. Pak S je bijekcí Gaussovy roviny na sebe, pro body Xi,X2 navíc platí \S(Xi)S(X2)\ = l-XiA^I a 5(0) = 0 pro počátek O. Odtud plyne, že S je otočením Gaussovy roviny o úhel arge kolem počátku. Odtud snadno dostaneme tvrzení věty. Z předchozího vzorce ihned dostáváme. 9.12. Moivreova věta. Nechť n je přirozené číslo &tp reálné číslo. Pak platí: (cos (p + i sin )" = cos nip + i sin mp. 9.13. Příklad. Vyjádřeme komplexní číslo (5i + 5%/3)12 v algebraickém tvaru. Rozvoj podle binomické věty či postupné umocňování jsou v tomto případě pracnými metodami, jak dospět k výsledku. Elegantnější postup využívá Moivreovy věty: (5^ + 5V3)12 - 512(v/3 + *)12 = 1012(^ + í)12 = = 1012 (cos f + i sin f)12 = 1012 (cos2tt+ isin27r) = 1012. Provedeme nyní úplnou diskusi řešení binomické rovnice v tělese komplexních 1 čísel Kap. 9. Těleso komplexních čísel 71 9.14. Věta. Nechť n je přirozené číslo, a nenulové komplexní číslo, jehož goniometrický tvar je dán vztahem a = |a|(cos + i sini/>) komplexní číslo v goniometrickém tvaru, pro které platí xn = a. Pak je a;n = \x\n(cosnip + i sinnip) = \a\(costp + isinip), tudíž \x\ = \/H) ntf) = tp + 2/7t, pro vhodné / G Z, odkud dostáváme ip = £±21jl. Jestliže k € Ž, 0 < A; < n — T, k s l (mod n), pak ij> => y+2fc7r + 2/i7r, pro nějaké celé číslo h. Tedy x = Xk a věta je dokázána. 9.15. Důsledek. Pro přirozené číslo n má rovnice xn — 1 v tělese komplexních čísel právě n různých řešení Xq, ..., a;n-i daných vztahem Xh = cos + i gin las. kde k = 0,1,..., n — 1. 9.16. Poznámka. Komplexním číslům xk = cos 2Ä£ + -jsin^ z předchozí věty, kde 0 < k < ň — 1, odpovídají v Gaussově rovině vrcholy pravidelného n-úhelníka vepsaného jednotkové kružnici tak, že jeden z jeho vrcholů je roven bodu o souřadnicích [ 1,0 ]. Každé z čísel xQ,..., a;n_i se nazývá n-tá odmocnina z jedné. Z vět 9.14 a 9.15 ihned dostáváme následující tvrzení. 9.17. Tvrzení. Množina řešení binomické rovnice xn — a v tělese komplexních čísel, kde n je přirozené číslo a a nenulové komplexní číslo, je rovna množině čísel x0 • e, kde e probíhá všechny n-té odmocniny z 1 a Xq je libovolné pevně zvolené komplexní číslo, které splňuje rovnost xft = a. 9.18. Poznámka. Každé číslo x0 ■ e z předchozího tvrzení se nazývá n-tá odmocnina z čísla a (pro a = 0 rozumíme n-tou odmocninou z 0 číslo 0) a často se značí iýa(\/Q = 0). Je však nutné zdůraznit, že se vždy jedná o nějakou 72 Reálná a komplexní čísla n-tou odmocninu z a, aby nedošlo k záměně s jednoznačně definovanou n-tou odmocninou z reálného čísla a, totiž s číslem í/a pro a G K definovaným v 8.3! Ukažme si, jak se dá řešit rovnice x2 — a v případě, že a není v goniometrickém tvaru. 9.19. Tvrzení. Nechť o. — a + bi je komplexní číslo (o, b e M). Pak množina řešen/ rovnice z2 = a je dána čísly kde e, 77 6 {1, —1} a e -n = 1, je-li b>0, -1, je-ii č> < 0. Zde symboly \f značí jednoznačně defínované druhé odmocniny nezáporných reálných čísel. Důkaz. Z tvrzení 9.17 plyne, že rovnice x2 = a má dvě řešení x x ai2 = —Xi. Položme xi — u + vi. Dosazením do rovnice se zjistí platnost rovností v? - v2 — a a 2uv = b. Umocníme-li obě tyto rovnosti na druhou a sečteme je, dostaneme (tí2 - v2)2 + A.u2v2 = {u2 + v2)2 = a2 + b2, tedy, vzhledem ktomu, že a2 + b2 > 0, platí rovnost v? + v2 = y/a2 + b2. Odtud a ze vztahu u2 — v2 = a dostaneme i(o + Va2 + b2), v2 = §(-a + Va2 + b2). Tudíž u = ±^|(a + VaJ~+¥), v = ±^/i(-a + Va2 + b2). Znaménka + nebo - v těchto vztazích určíme z rovnosti 2uv — b. Odtud již plyne dokazované tvrzení. 9.20. Definice. Nechť a, b, c jsou komplexní čísla, o ^ 0. Rovnice ax2 + bx + c = 0 se nazývá kvadratická rovnice (nad tělesem komplexních čísel) a číslo D = b2 — 4ac se nazývá diskriminant kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0. 9.21. Věta. Nechť a, b, c jsou komplexní čísla, o ^ 0. Pak množina všech řešení kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 v množině komplexních čísel je rovna množině {xi,x2}, kde 1 *i - 2^(-6+\/b2-4ac), x2 = ^(-6 - \/č>2 - 4ac). Přitom odmocninou yf se rozumí nějaká pevně zvolená druhá odmocnina z komplexního čísla b2 — 4ac. Pro čísla xi,x2 platí xx - x2, právě když diskriminant uvedené kvadratické rovnice je roven 0. I ~'.r Kap. 9. Těleso komplexních čísel 73 Důkaz. Nejprve ukažme, že čísla x\,x2 jsou kořeny dané kvadratické rovnice. Evidentně platí, že ax'\ + tei + c = -U&2 - 2bsjb2 - 4ac + b2 - 4ac) + ~(—b + \Jb2 - 4ac) + c = 0 4a 2o a analogicky ax2; + bx2 + c = 0. Nechť je nyní xq komplexní číslo, pro které platí ax2, + bxo + c = 0. Pak po úpravě dostaneme x0 + — = ± —\A2 - 4ac, la la odkud plyne, že .To = X\ nebo Xo — x2. Každý kořen kvadratické rovnice tedy lze napsat ve tvaru x\ nebo x2. Zbylá část věty je zřejmá. Z předchozí věty přímo plyne následující tvrzení o kvadratické rovnici s reálnými koeficienty. 9.22. Tvrzení. Nechť D je diskriminant kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 s reálnými koefícienty a {xi,x2} je množina všech řešení této rovnice v tělese C. Pak piatí: (a) xi ^ x2, ii,i2el <ř=^ D > 0, (b) xi ŕ x2, xi,x2 6 C - E D < 0, (c) xi - x2, xi e R D - 0. V případě D < 0 je x2 = 5J. Z věty 9.21 také ihned dostáváme další tvrzení. 9.23. Tvrzení. Množina všech řešení kvadratické rovnice x2 + px + q = 0 (p, q £ C) v tělese C je rovna množině {xi,x2}, kde P x (i) - X2 Í-V V27 Dáie piat/: a?i + x2 = —p, X\ • x2 = q. Druhá odmocnina z (|)2 — g zde značí nějakou pevně zvolenou druhou odmocninu z tohoto komplexního čísla. 9.24. Definice. Nechť a, 6, c, d jsou komplexní čísla, a / 0. Rovnice ax3 + te2 + cx + d = 0 se nazývá kubická rovnice (nad tělesem komplexních čísel). Vynásobíme-li tuto rovnici číslem £ a pak položíme x = — převedeme ji na tzv. kanonický tvar ' X3+pX + q = 0. Budeme tedy dále uvažovat kubickou rovnici ve tvaru x3 +px + q = 0, kde p, q jsou komplexní čísla. íl 74 Reálná a komplexní čísla Číslo D = -4p3 - 27g2 = -108 4 27 se nazývá diskriminant kubické rovnice x3 + px + q =j 0. 9.25. Věta. Nechť p, q jsou komplexní čísla.. Pak množina všech řešení kubické rovnice x3 + px + q = 0 v tělese komplexních čísel je rovna množině {x1,x2,x3\ kde »i = Ot + /?, a;2 = ea + £2/?, a;3 = e2 a + e/3. Pritom y V + 27 značí některou pevně zvolenou druhou odmocninu z komplexního čísla Y + §p dáie a značí některou pevně zvolenou třetí odmocninu z čísla V + §f, tecřy -1- 4 27 a /3 značí tu tretí odmocninu z čísla — f ■ tudíž V ^ + §7' Pro kterou platí, že a-p = -|, 7 + 27' a,/3 = -3; Úísio e znaci některou pevně zvolenou třetí odmocninu z 1 různou od 1. 9.26. Poznámka, číslo e je rovno buď číslu e = cos 2f + i sin 2f = -1 + nebo číslu e = cos ^ + isin ^ = -§ -í^f. V obou případech je množina {1, e, e2} rovna množině všech třetích odmocnin z 1. Je-li Po některá třetí odmocnina z čísla -§ - + |Í, pak podle 9.17 je množina {/?0,^o,£'2/?o} rovna množině všech třetích odmocnin z čísla -2- 3_ 4- El 4 Ť 27' Platí, že (a ■ p0)3 = —§7 a množina {-f, - f £, - §e2} je množina všech třetích odmocnin z čísla -f^. Tudíž existuje j e {0,1,2} takové, že a • Po • ej - -§. Odtud plyne v případě j;^ 0 existence i jednoznačnost třetí odmocniny P z čísla ~ § ~~ + §7 takové, že platí a- P — -1. Poznamenejme ještě, že vzorce pro řešení kubické rovnice uvedené ve větě 9.25 se nazývají Cardanovy vzorce. Důkaz věty 9.25. Dosazením čísel 0:1,3:2, «3 do rovnice x-3 + pa; + q = 0 se snadno zjistí, že čísla 2:1,x2,x3 jsou řešením kubické rovnice x3 + px + q - 0. Nechť x0 je komplexní číslo, pro které platí: x% +px0 +q = 0. Buďte 7, <5 řešení kvadratické rovnice x2 - x0x - | = 0 v tělese C, takže podle tvrzení 9.23 platí: 7 + 6 = x0 a 7 • í = -f - Pak tedy (7 + J)3 + p(7 4- ó) + q = 0, odkud dostáváme Kap. 9. Těleso komplexních čísel po úpravě a dosazení za 7 • 5 — - § 73 + ,53 = -g a 1*'F = -W Tudíž 73, J3 jsou řešeními kvadratické rovnice x2 + qx - £ - 0, odkud plyne 75 g2 p3 4 + 27' <53 = - r , pí 4 27 (druhá odmocnina z ^ + značí stejnou druhou odmocninu z tohoto čísla jako u čísla a), a tedy 7 e {a,ea,e2a}, 5 = 0, Xo - $1 (b) 7 =: eol = £2/3, zo = 22 (c) 7 = e2a =» í = eA Xo = x3 Věta je tím dokázána. 9.27. Tvrzení. Nechť M je množina všech řešení kubické rovnice x3 + px + q — 0 2 3 s komplexními koeňcientyp, q nad tělesem komplexních čísel a D = -108(^- + f^) je diskriminant této kubické rovnice. Pak platí: (a) M je tříprvková množina D ^ 0, (b) M je dvouprvková množina D = 0, q Ý 0> (c) M je jednoprvková množina <í=» D = 0, q = 0. V případě (c) je pak jediné řešení rovno 0. Důkaz. Užijeme označení z věty 9.25. Pak M = {zi,^,^}. Nechť M má méně než tři prvky. Ukážeme, že pak nutně D = 0. Jelikož (e2 - l)3 = (e2(l-e))3 = (1 - e)3 ^ 0, dostáváme z libovolné z rovností xi = x2, xi = x3, x2 — x3 umocněním na třetí vztah a3 — p3. (Např. xx = x2 =$>a+/? = ea+£:2/9=í> a(l-£) =/3(e2-l) a3 = /?3.) Odtud však vzhledem k definici čísel a a. p přímo plyne, že \ + = 0, což znamená, že D = 0. Nechť nyní naopak D = 0. Pak a = y=| a /3 = a • e', kde j G {0,1,2}. Tudíž a-i — a(l + eJ), a:2 = eaíl+e^1), a;3 = eQ(e + e■,). 76 Reálna a komplexní čísla Uvědomíme-li si, že 1 + e + e2 = 0, dostáváme pro různé hodnoty j následující výsledky: j = 9 j = 1 j = 2 xi = 2a, x2 = x3 = -a, xi = x2 = -£2a, x3 = 2e2a, xi = x3 -ea. x2 — 2ea. Množina M má tedy méně než tři prvky. Navíc je zřejmé, že M má jeden prvek právě tehdy, když a = 0, což nastane, právě když q = 0. V tomto případě pak také p:-0a.M, = {0}. Tvrzení je tím dokázáno. Na závěr provedeme úplnou diskusi řešení kubické rovnice s reálnými koeficienty. 9.28. Věta. Nechť x3 + px + q = 0 je kubická rovnice s reálnými koeficienty p, q nad tělesem komplexních čísel. Nechť dále D značí diskriminant této kubické rovnice. Pale platí: (a) D > 0 =¥ rovnice má 3 různé' reálné kořeny, (b) D < 0 =4> rovnice má 1 reálný a 2 komplexně sdružené kořeny, (c) D = 0, q ^ 0 rovnice má 2 různé reálné kořeny, (d) D — 0, q = 0 =í> rovnice má jediný kořen rovný 0. Důkaz. Užijeme opět označení z věty 9.25. Pak množina kořenů kubické rovnice x-3 + px + q = 0 je M = {xi, x2, x3}. Nechť D > 0. Podle 9.27 (a) je M tříprvková množina. Stačí tedy ukázat, že xi,x2,x3 € R Platí, že (a3) = /33, tedy (ä)3 = 03, odkud plyne, že /3 = äV, kde i e {0,1,2}. Jelikož a/3 je reálné číslo a a/3 = |a|2eJ', dostáváme, že j = 0. Tudíž /3 = čř. Odtud glyne, že xľ = a + 0 = ä + /3 = /3 + a xj = ěo7 + ě20 = e20 + ea xj = e2ä + £/3 = e0 + e2a = x2, ~ x3, tudíž xi,x2,x3 € K. Nechť Ľ < 0. Podle 9.27 (a) je množina M tříprvková. Ukažme tedy, že jeden z kořenů je reálný a zbývající dva komplexně sdružené. Číslo V + fž Je kladné /2 3* reálné, a tudíž i yV + ff Je reálné číslo. Číslo a můžeme zvolit tak, že je rovno jednoznačně definované reálné třetí odmocnině z reálného čísla — § + JfT^, Jelikož a • 0 = -§, je také číslo 0 reálné, a je tedy rovno jednoznačně definované reálné třetí odmocnině z reálného čísla —i reálné číslo. j~2 ~3 y Y + f?" Pak číslo x x = a + 0 je Kap. 9. Těleso komplexních čísel 77 1 * \/3 Jelikož L> ^ 0, je a ^ /?. Pro čísla x2, x3 dostáváme při £ = -5 + i — ; x2 = ea + e20 = (-§ + + (-§ - i^)/9 * .-.fa + 0) +i#(a - 0), x3 =e2a + e(3 = (-í- if)a + (-1 + )/3 = -i(a + /3) + (/3 - a). Tudíž Imx2 = - Im x3 = &(a - 0) # 0,Rex2 - Rex3. To znamená, že čísla x2 a x 3 jsou komplexně sdružená a výrok (b) tedy platí. Je-li D - 0, položíme a rovno jednoznačně definované reálné třetí odmocnině z čísla -§. Pak /3 je reálné číslo, tudíž a = /3. Odtud plyne, že xi = 2a, x2 = x3 = = -a, z čehož přímo plynou výroky (c) a (d). Tím je věta dokázána. 9.29. Příklad. Řešme kubickou rovnici a;3 4- x - 2 =0. Pro diskriminant této rovnice platí D = -108(1 + 57) = -112. Rovnice má tudíž podle věty 9.28 jeden reálný a dva komplexní kořeny. Budeme-li při řešení vždy volit reálné odmocniny, dostaneme, že pro reálný kořen xL rovnice x3 + x - 2 = 0 platí xi - \ 1 + 27 Snadno se však vidí, že kořenem rovnice je číslo 1. Dostáváme tedy, že platí + 1 = 1. 27 ' V " V 27 Podobně pro komplexní kořeny rovnice x-3 + x - 2 = 0 dostáváme 1 x2 1 + e+\ 1- .V7 2+í 2 /28 ^3 = \/-l + \/27 e + ,28 1 .V7 kde £ = -| + í^y~ Je třet^ odmocnina z 1. Z příkladu je vidět, že význam Cardanových vzorců je spíše teoretický, neboť zpravidla bývá obtížné získané vyjádření kořenů dále upravit. 9.30. Cvičení. 1) Najděte všechna řešení následujících binomických rovnic „6 _ a) b) x4 = -V9+3Í. 2) Dokažte, že JJ(cos^-l-isiníf) = 1. n=l