Kapitola II
POLYNOMY JEDNÉ PROMENNls § 1 : OKRUH POLYNOMŮ
Definice : Nechr R je okruh; pak polynome m ( j e.d n e p r o r menné) nad okruhem R budeme nazývat kaídou' nekonečnou posloupnost
(D í " (a0,a,,aJ( . . . . . )
kde a, 6/i i / = 0, 1, 2, . ... , pri cenu od jistého indexu n poítnajě jsou všechny prvky dk rovny nule okruhu R, t.j. ak -Or pro k> n .
Prvky- aj,", a,, flj, ..... posloupnosti (1) nazývame koeficienty polynomu f ; koeficient a^ nazývame a b s o l u t n í m členem polynomu f. Polynom, jehož všechny koeficienty jsou rovny 0R nazýváme nulovým po ■ l y n o m e m a označujeme jej symbolem o .  Tedy ;
o = (0, 0,0, .'...... )
Polynom, jehož absolutní Člen je roven  \R a ostatní koeficienty jsou rovny 0R nazýváme jednotkovým polynomem a označujeme jej symbolem j. Tedy; ...
•/■ * (1,0,0,,........)
Množinu viech polynomů jedné proměnné nad okruhem R označujeme R[x].
Poznámka : zrejmé'je vždy R[x] =ŕ <t> (nebor* napr. o 6 R[x]). Je-li R nftriviá|ní okruh, pak R[x] obsahuje zťejmŕ hekoneřne'mnoho prvků, bez ohledu na to, je-li okruh R konečný iiebo nikoliv. Je-li R triviálni okruh, pak zrejmí R[x] =  { ó ). Tento případ budeme v dalším vylučovat.
Definice :, Nechrl J) je nenulový polynom nad R , nechť n 'je celé nezáporné Číslo s vlastností:: an =ŕ 0 ; ak = 0 pro k> n , t.j.
f = ( a0,a,.....a„,0,0, . . . )
Pak říkáme, ze polynom f í e stupne n a píšeme : st(f) = n .
í
- 16
Koeficient an pak nazýváme vedoucím koeficientem polynomu f. Je-li vedoucí koeficient polynomu f roven \R. pak ŕ(kárne, že polynom f je normovaný.
Poznámka : v předchozí definici byl stupeň přirazen každému polynomu, s výjimkou nulového polynomu o    Abychom tuto neúplnost odstranili, položíme :
47 (o)  =  ■- oo
kde - o» chápeme formálně jakožto jistý symbol, přidaný k množine všech celých čísel, pro nějž definujeme :
-;»o < n ; (-°°) + (—= (—°°) + n - H + (-08) = ~°° pro každé celé číslo n . Tímto způsobem máme nyní definován pojem stupné polynomu pro libovolní fS R[x].
Poznámka : polynomy stupne meníího neí 1 (t.j. polynomy stupni nula a nulový polyncm) obvykle nazýváme konstantní polynomy nebo téz. konstanty. Píi tom je třeba si dobre uvédomit rozdíl mezi nulovým polynomem a polynomem stupne nula ! Dále, polynomy stupne 1 (resp. stupnis 2, resp. stupne 3) nazýváme lineární (resp: kvadratické, resp. kubické) polynomy. :
Na množina; R[x) definujeme nyní dvé"operace, sčítaní a násobeny které?budeme označovat symboly +a. , t.j. stejnými symboly jako sčítaní a násobenfv okruhu R . Z dalšího bude vsak patrné, že v této souvislosti nemůže dojít k ňé^bŕ'ÓŽúmení.
) , g =(£>„,&,,...) eR[x]. fak :
Definice : Nečili' f ~ ( a0, a, součet f + g   definujeme : 12) f+g = (á0 *b0,.a,+ b
součin f . g definujeme
(3)    : f. g   = ( ct,c,,cJt. ......)'
kde c„ = atb0;  c, = a,b0 + yb,  ; c, = a,, fr, + «,.*, +
+ a„.b,.
Poznámka: f+g je zřejmě polynomem, neboťpro rři> max [st(f),sl(g) } dostáváme a + 6B = 0 a tedy v posloupnosti (2) je pouze konečné řriMoho nenulových prvkfi. Podobně pro součin f.g ; je-li m >«(/) + Jí(#),pak pro každý součin a,.6. , kde / + ; = m musí být i>st(f)  nebo / >sř(g) a tedy «( _ g nebo   b, - 0 . V důsledku toho je pak e   =0  a tedy v posloupnosti (3) je opět
5.
.1' ..
17 -
-ze konečné mnoho nenulových prvk. Vidhn, tedy, zc +
na množme' r\xj
yéta 1.1. ; Množ
J.'nu operace
zim, R[x\ s operacemi sčítám a násobeni polynoniů.jeókruh (t.j. komutativní okruh s Jedničkou). Stručné budeme hovořil o okruhu polynomů Jedné proměnné nad R.
(D ů k a z : nechř /-( ^, *,,...) i * ■ l *,i"*,í • .. ) • >' " ( S> ,c,, . . . . ) € . Z definice je ihned vidist, že operace sčítání polynomu Je asociativ-
ní a komutativní. Nulový polynom o je nulovým prvkem a polynom (-a ,-a ,....) je opačným prvkem k / .. Je tedy + ) abelovskou grupou.
Dokažme nyní asociativitu operace násobení. Označme :
/. f - (,Pa< P.....) í **•(%.•»■,.•••)
Potom je :
Z "t
-   í   C JE
„ W'«/-   «     (ak.b,).c =
=  Z    a   (6 c) = 2    a..( £ b,.c.) = Z    a... r   = j' čími jsme dokázali rovnost : { f.g )■ h - f. ( g./i)
Z definice násobení polynomu bezprostredne vyplývá, že jde o operaci komutativní a že jednotkový polynom / " ( 1,0,0, . . . ) je jedničkou. Je tedy (R[x], . ) komutativní pologrupa s jedničkou.
Zbývá ovérit platnost distributivního zákona ; označme : /. (g + h) ■ (/0,f, ,•••) . Pak *
í ■ Z  a (b + c) =   £ a 4   +   Z a c , odkud plyne, íe fig + /))   = f.g + //i
Dohromady jsme tedy dokázali, že R[x\ = (/?[*], +, . ) je okruh   J .
Poznámka : polynomy stupni meníího než 1 jsme výše nazvali konstantními polynomy. Pro sčítáni a násobení těchto polynomu platí: (a0,0, ...) t (ůQ,0, ...) = (a0+/;o,0, ...)
)
0,
i ak ovsem zobrazeni1 ií ■ R -t iiiy.\ j.r;
f     "      «|.>:J, definovane vztahem •
18
</> (r) = ( r. 0. 0, . . . )   ,   pro lib. r G R Je bomomorfizmem okmhu R do okruhu R[x] . Navíc je zrejmé zobrazení <p injektivní, nebot pro r,j 6 R , r i= s je <p{r) + <p(,s) . Tedy ip je vnořením okruhu R do okmhu R[x] a můžeme ztotožnit prvky okruhu R s jim odpovídajícími konstantními polynomy (při zobrazení \p ), resp. můžeme okruh R povazovat za unitární podokruh okruiiu R[x\. Pokud jde o. oznamovaní konstantních polynomů, muzeme tedy místo 0,0,0, . . . ) psát stručně pouze symbol r a hovořit o "prvku r " .
Nyní zavedeme zjednodušeny bézhé" zna'me' označování polynomů a operací s nimi. Uvažme nejprve, že z definice součinu polynomů vyplývá následující pravidlo pro násobeni polynomu /' = ( o , a,, . ■ ■ ) prvkem ř e R, t.j. konstantním polynomem <■ = (,;■, 0, 0, ...) :
r. f = (r, 0, Ó, ... )• (a0, «,.«,. -..) = ( r.a0.r.arr.a2, ...)•. Dále označme polynom (0, 1, 0, 0, ... ) nejakým pevným symbolem, napr. symbolem x .   Z definice násobení polynomů plyne, ze :
x1 »x.x = (0,0, 1,0, . . .) ,   x' - (0,0,0, 1,0,
atd.
Nechr nyní / - ( a„, «,, ■   • ■ • )   Jc P01*"0"1 s,upnž men&"h0 neb° r°Vneh°
d . Vynásobíme-li polynomy /, x, x", . . . dostaneme:    ( ^ Q Q ^     ) = ^ ,
( 0, a,, 0, ... ) ( 0, 0, a ,0,...)
, x"  postupne prvky «0, «,, «„
v
«.x'
. + n. x" ,
( 0.....0, <in, 0, . . )   = aH x"
odkud sečtením dostávame :
( V .....a„. 0, . .) =■ a0+ a,.-x + arx1
t. zn.. polynom / muzeme tedy vyjádřit ve tvaru : , (4) / = afí + a, x + a2x* + . . . + anx"
Je vidét, že vyjadrení polynomu f ve tvaru (4) je jednoznačné, nebof dva zápisy tohoto typu se mohou lišit jedine forinálné'o sčítance tvaru 0.x*. Poznamenejme ještí ze součet a součin polynomů, definovaný dříve, splývá při zápisu polynomů
Bil 1
ve tvaru (4) s obvyklým součtem a součinem, známým ze střední Školy p.ro polynomy nad R   . Vzhledem ke komutativite operace + není zřejmí poradí sčítanců vc (4) pevne dano. Obvykle budeme sčítance uspořádávat podle mocnin x buď vzestupné nebo sestupné. Dále, pro polynom / budeme podle potřeby používat tez označeni f{x).
V dalším si blíř.c všimneme některých vlastnosti stupni polynomu. Především, z poznámky za definicí součtu a součinu polynomů vyplývá, ze pro f.g £ R[x] je:
(5) st(f + g) « max [sí(f),sUg) ]
(6) itif.g)   < Jřfjř) + sl(g)
při ízmí v řádné z nerovností (5) a (6) obecní nenastane rovnost, jak ukazuje následující příklad.
Příklad 1.1: Nechť' R = Z^, nechť /= g = (0, 1, 2, 0, 0, . . . )eZ4fx), t.zn. ■}«/) = st(g) = 2.
Potom : /+ g = (0, 2, 0, . . . ), t. zn. st(f+g) ■ 1 < max {.U(f), sl(g)) , resp. f.g   = (0, 0, 1,0,. .), t. zn. stif.g) i.2< iKfíf it{g) ■     ■ -Abychom dostali silnéjíí výsledky, bude tedy třeba klást jisté'dodatečné podmínky buď na polynomy f.g nebo na okruh R , jak ukáží následující vrty.
Veta 1.2: Necht" R je okruh ; f, g. e R[x]. Jestliže vedoucí koeficient polynomu f nebo polynomu g nem dělitelem nuly v R , pak st if.g) = st CO + st (g) .
|D ů k a z : nechť platí předpoklady vety; je-li g = o nebo /= o  , pak f.g "a   a tvrzení vety platí. Nechí tedy f.g i= o , pri čemž sl(f)= m , st(g) = n   a nechť f.g = (c0, c.....) . Pak jé :
c ji ( a'   . b: + . . . + a'; . b   .)*«_. 6. + ( a    . &   + . .+<t..ii J.
in-lil ni Iři       0 m+l       »—I m      n in-i     n* 1 o m-t/t
Všechny součiny v prvŕ i druhé závorce jsou nulové, nebof ak= 0 pro k> m , resp. .6  = 0 pro k > n . Tedy cmln   - a|f & ^ 0' podle předpokladu vrty. Tedy je   st (f.g) > m + n = sí (jí + íí (s) , odkud vsak vzhledem k (6) dosta'-váme žádanou rovnost. |
Důsledek:
Poznámka : Obrácení předchozí vety obetní neplatí. Vezmeme-Ii např. vZ([i] polynomy / = g = 2x, pak f.g = 4xJ , t. zn. st (f.g) = st (J) + st (g) , ale při tom vedoucí koeficient polynomu / i g je dělitelem nuly v   Z6.
Nechť R je obor integrity. Pak pro libovolné' f.g S R\x\ platí St (f.g)  -  St (f) + JI (g) .
[D ů k a z : je-li /= g = o , pak tvrzení zřejmé platí. Je-li alespoň jeden z polynomu f,g nenulový, pak jde o píiiný důsledek předchozí věty. ]
V^ta 1.3: Nechť R je okruh ; nechť f £ R{x] je nenulový polynom. Potom f je dělitelem nuly v R[x] o existuje c £ R , c    0 lak. ze c.j = O:
(D ú k a. z : " *■ " zrejme, neboť" c G R, c O lze chápat jako nenulový polynom z R[x].
"■* "    označme f\x) = a„ + atx + . . . + <inx". Podle predpokladu existuje polynom g £/?[*], g ^ o takový, ze f.g = o . Nechí g (x) = = 60 + 6,* + ...+ b xm . Je-li j/(g) = O, pak je tvrzení dokázáno. Nechť . tedy st(g)> 1. Nyní stačí dokázat, že existuje polynom /( 67?[xJ, /1    Q... ií (/l) < J( (g) tak, že /. h = o , neboť pak po konečném počtu kroků stejnou úvahou dojdeme k zadanému tvrzení.
Uvážíme-li polynomy
(7) aB.g(x) , a,.g(x) ,......, an.g(x) ,
pak mohou nastat dvé možnosti :
1) všechny polynomy v (7) jsou nulové a tedy mimo jine platí:
odkud pak dostávame, ze bm . fix) = o . Stačí tedy v tomto prípadé položit :
h (x) ~bm:
2) existuje index r (0 < r < ;i) lakový, že
(8) o. . g (x) o
a dále pak :     ar+) . g Ú) = flrtJ . g (x) = . . . . = a„. g 00 = o Pak ale je :
(9) o =-(a0 + a,x + .....+ a„Ar") . g U) = (a0 + . . . + axr) . g (x) .
Polozme : h (x) = ar. g {x) . Pak z (9) plyne, že jf (ň) < jf (g), neboť jinak by totiž polynom na pravé strane (9) nebyl nulový. Podle (8) je h 1* Q . Při tom f. h - ar . f. g - o , t. zn. h je hledaný polynom.  ] ..
Poznámka: z předchozí vety je vidět, žé je-li / polynom, jehoŕ alespoň jeden koeficient není dělitelem nuly v R  , pak / není dělitelem nuly v R[x].
Dfisledek:   R je oborem integrity   # R[x) ie oborem integrity.
[D u k a z :  "•»*" je přímým důsledkem předchozí vety^. "<=" : plyne z toho, že prvky z R lze chápat jako (konstantní) polynomy z R[x]. Je-li tedy r.s G R  ; O; pak musí být r.s     0 , poněvadž podle předpokladu
R[x] je oborem integrity. ]
Poznámka:  okruh poiynomS R[x] nemůže být v zadném případe tělesem, nebot napr. polynom f{x) - x je nenulový a v R[x] k nemu: neexistuje inverzní prvek. Zabyvame-li se otázkou existence jednotek v R[x] (t.j. polynomů, k nimž existují v R[x] inverzní), vidíme, že každa'jednotka okruhu R (chápana'jakožto konstáhthf polynom) bude jednotkou okruhu AJ*].! Obécne ovsem i k nekonstant-nírn polynomům může v R[x] existovat inverzní, 'napr. y Zi,[x) je ;
(1 + 2x) . (1 + 2x) = 1 t. zn.. lineární polynom / = 1 + 1x je jednotkou v Z^[x].
Omezíme-li se vsak na obory integrity, pak se situace zjednoďusT, jak ukazuje následující veta.
Veta 1.4. : Nechť R je obor integrity. Pak jednotkami okruhu R[x] jsou práve'jednotky okruhu R . . "
•    [Důkaz : jednotky okruhu R jsou zřejmě jednotkami' R[x). Naopak, nečhř polynom f je jednotkou R[x], t. za. existuje g e R [x] ták, že f.g = j-Podle důsledku V. 1.2. je :
jí (f.g) = st (/> + st (g) - 0 odkud vsak plyne, že st (J) = st (g) = 0 , t. zn. / i g jsou konstanty z R. Tedy   /  je pak jednotkou R ).
Poznámka:   je-li R  oborem integrity, pak i R[x] je oborem integrity a
/
- 22
tedy v R[x] platí zákony o krácen! (podle V.l.l. kapitoly 1), t.j. je-li j\g,h £• R[x], pak f&o , f.g= f.h ■*       g = h
Předpoklady tohotu tvrzení lze vsak jesté poněkud zeslabit, jak ukazuje následující
v. veta,
Vita 1.5;: Tiichf- R jeokruh; f, g, h 6 R[x\. Jestliže alespoň jeden koeficient polynomu f není dělitelem n\dy v R , pak lze polynomem f krátit, t.zn. platí implikace :
[D u k ii     rovnost f.g = f.h, lze přepsat dp tvaru :, f.[g?-h) = o . Jestliže alespoň jeden koeficient polynomu / není dělitelem nuly v R , pak f i= o a podle V. 1.3.   f není dělitelem nuly v R[x). Pak tedy g-/i = o , neboli 'g - h  ] .
Pojetí dělitelnosti, zavedeny v kapitole 1 pro okruhy si nyní preformulujeme specielně pro okruli polynomu R[x].
Definice ;, flecfiť R je okruh; necht" f, ge R[x].. Existuje-lf polynom h 6 R[x] s vlastnosti :
f t, '<
pak říkáme, ze p o I y n o m g d e l í po l y n o m f a píšeme :. g\f. V o-pacnem případe říkáme, ze g nedelí f a píšeme: gtf(._   ., :
Poznámka: stejné jako v obecném prípade, je-li / = o ■; pak zrtymŕ glo , prp kaz'dy'polynom g S R[x]. Naopak, je-li g - o ,p,ak, p\f jedine v pn-pade, ze   / = o .
Vzhledem k tomu, ze ÄLy] je okruh, který'nemurf^byt;.oborení integrity, a íe veisina vlastnostrdelitelnosti byla odvozena pro obory integrity, nelze obecní všechny výsledky § 2, kap. I přenést ná polynomy.
mm
1»
iWĚm
«...
■
- 23 -
§ 2 : dělení se zbytkem DVOU POLYNOMU
Definice : Nechť R je okruh; f, g e R[x\ Říkáme, íc v R[x] lze pro vest d e I e n í s e zbytkem polynomu f polynomem g , jestliže existují polynomy   q, r G R[x] , splňující: i: / - 'g. q + r 2. si (r) < si (g)
Polynom q , resp. r, se potom nazýva podíl , resp. z h y t e k tohoto dělení
Poznámka : je vidít, íe pro g - o nelze (pro íídný polynom f) dílenŕse zbytkem provést, neboť* nemůže být splnená podmínka 2. V dalším se budeme zajímat o to, zda pro g    o dělení se zbytkem provést lze, resp. zda podíl q a zbytek r   jsou určeny jednoznačné'. Nasledujťcrjednoduché příklady ukazují, že odpověď je v obou případech obecní negativní.
Příklad 2.1.: V okruhu polynomů ZLx] uvalme polynomy fa 3x , g = 2v. Pak zřejmé'nelze najít.polynomy q, r.: €Z[.v] tak, aby platilo ■, 3x = {2x), q + ;■   ; st (r) < A = st (g), ,
Príklad 2.2.: V okruhu polynomů Zt[x] vezmime polynomy :
/=2x3+3x + 2; g = 2x* + 1 . "'' '
Pak zrejme platí :
Tx1 + 3* + 2 = (2jc2 + \).(x + 2),+ 7x = .(2*? + 1). 3x + 2 = (2xJ + 1). A2x2 + x + I) + (2* + 1) ,. atd., t. zn. délení se zbytkeni zde provést lze* ale podíl a zbytek, nejsou určeny jednoznační,
Víta 2.1.: Necht" R je okruh, nechť j',g £ R[x]. Je-li vedoucí koeficient polynomu g jednotkou okruhu R, pak v R[x\ lze provést delení se zbytkem polynomu J polynomem g.
id ů kaz:  označme   /= i'0   + a,x + . ■ ■ + a,,*" ,
g «■ b9 + b\X + . . . + bmxm ; Podle předpokladu je bm jednotkou R .   t. zn. v R  existuje prvek ír| .
71
- 24
Tedy je st (g) > O . Větu dokážeme indukcí vzhledem k st (J) ■
Je-li   st (/) < st (g), pak víta platf, neboť staóY poloíĚit q - o ,r = / . Neclil" tedy je st (/) > »<(»)■ t. zn. st (/) = jí (g) + a , kde i > 0 je celé' cYslo. Při k = 0 (t. zn/jf (/) = jr (g) ) položTme flOc) = an ./rj ; r (.x) -/(*) -■ an.lr> . g (.r). Pak zřejmí / - g. q + r , st (r) < jŕ (?) , jak plyne z konstrukce polynomu r (x).
Nyní předpokládejme, Xe víta plstí pro st (j) <     (í) + * (*> 0 celé'Salo) a dokaíme její platnost pro st (f) = st <g) + k + 1 . Položme (D f, (X) = /U) - «„• ŕ"1 g (x)
Pak zrejme j< (/,) < st ( /) , t. zn. podle indukčního predpokladu existují polynomy qi(x), f| {x) s vlastností :
(2)      /, U) = g(x) .q,{x) + r, (x)      ;    st (r,) < s/ (g) Z (1) a (2) vsak plyne :
f (x) = f t M + a,,*;,1 ■ ***' .g (X) = g (*). (<7,U) + fl„. Ď"1. X*") + r,(*j . Položíme-li q(x) =     (x) + on.&jjj.xw ; resp. r(x) = ľ|(x) , dostavíme tak hledané polynomy, c. b. d.  ] .
Poznámka : důkaz víty 2.1. je konstruktivní, t. žn. je z neuvidět postup pro získaní podáu a zbytku pri delení polynomu / polynomem g (za predpokladu, uvedeného ve ve"t6). Tento postup je v podstatě shodn/ s algoritmem delení reálnych polynomů, známym ze střední skply. Formální způsob zápisu, ktery budeme používat, si ukaťme na následujícím príkladu.
Príklad 2.3.:  V okruhu Zt[x\ proyedte deíeníse zbytkem polynomu / = 2.r3  + ix1 + 2x + 3 polynomem g = 3*J + 3x l2. Kesení: 3 je jednotkou v okruhu ZA, t. zn. deíem'lze prove'st.
( 2x} + 3x2 + 2x + 3.) : ( 3xJ + 3* + 2 ) | 2X + 3
-Zx3± 2*2__,_
x1 + 2x + 3 -x1 t   x +.2
x + I
Tedy / = g <l + ř , kde   í; = 2x + 3
+ I
25 -
Vfta 2>Z: * * * S Älx] je Po,ynom, jehoí ved0uď
koeficient není dčlitetem nuly v Pak pŕo tib. fBR[x\ existuje nejvýš jedna dvojice polynomů q , r lak, íe
f
st (r) < st (g)
[D 5 k l t ;  necht" platí předpoklady věty a nechť q. r resp. q', /■' jsou dvéf dvojice polynomů požadovaných vlastností t. zn. platí:
(3) / = g . q . + r    - .-«.«,'+ r'
kde j-r (r) < st (g) ,   ji (;') < st (g) . Odtud vsak plyne, £e :
(4) st {r-r) < ,v((g)
Přepsáním vztahu (3) dostaneme : g (q-q') = r' - c , t. zn. podle V. 1.2. je :
(5) -   st(r'-r) = Jf(g)  + st(q-q') .
Ze (4) a (5) pak dostávame : st (g) + if (q-q) < st (g) , pfí ceimťíí(#).> 0 . Tedy imisí byt ; sť (q-q) - - °° , t. zn. q = q . Odsud pak vzhledem k (3) dostávame, ŕe r = r , c. b. d. ]•,       . ...
vŕta 2.3. : Necht''R je okruh; nec/iŕ g & R[x] je polynom, jehož, vedoucí koeficient je jednotkou okruhu R. Pak pro lib. f€ R[x\ lze prove'st dělení se zbytkem polynomu f polynomem g , pri .'cemŽ podíl a zbytek tohoto delení jsou určeny jednoznačne
(Důkaz :  tvrzení víty plyne ihned z předchozích dvou vet vzhledem k tomu, it jednotka okruhu R není/nikdy dělitelem nuly v R ].
Důsledek: Nechť R je teleso.. Pak deleníse zbytkem polynomu /..polyno-mení   g   lze provést pro libovolné polynomy   f, g 6 R\x] , kde g =ŕ o , pri cemŕpodíl a zbytek jsou určený jednoznačnej
[Důkaz : tvrzení plyne ihned z předchozí vety vzhledem k tomu, ŽevtS-lese je kaz'dý nenulový prvek jednotkou   | .
Poznámka : Je-li R   těleso a jsou-li f, g & R[x\ . g    o , pak při dělení polynomu /  polynomem g   jsou podíl q,  a zbytek /■   opít polynomy z R\x\, jak plyne ž algoritmu dělení. Tedy, je-li 5 libovolné' nadtěleso tělesa R  a děiíme-li
26 -
v S[x\ dva polynomy, jejichž koeficienty jsou z R , dostávame podii a zbytek, jejichž koeficienty jsou opét z R.
§ 3 : HODNOTA POLYNOMU, K.O&EN POLYNOMU
Definice : Nechl" R /e okruh: f = a0 + at x +'... + anx" je polynom z R[x] ; c S R je pevný prvek. Polom prvek :
n0 + a\ c + • ■ označujeme symbolem fic) a nazývánu v b o d e c .
Je-li f (c) = On , pak prvek c nazývame k o r e n e m p o l y n o m u f
4 anc"   & R     '■' ■ hodnotou poly n o m u f
Poznámka :      z definice je bezprostredné vidčt, ře kazily ptyek.c, & R je kořenem nulového polynomu o  , resp. polynom stupne nula naopak nemí nikdy žádný kořen.
Lineární'polynom  / e\R\x)., t. j. polynom tvaru : w, ..     .,..;...„u;, ■
/=a04 «,x ,,   l-...    .   (i| ¥• 0 ...
v případe, že   a,   je jednotkou okruhu R , má jediný kořen, í to, ;. c s a, a,,. Je-li tedy specielně R   télesem, pak každý lineární polynom z R\x] .mí.prave jeden kořen. Polynomy .vyšších stupňu pak obecne koŕény mít mohou, ale'take' nemusí, při cemž'podstatne^álezína okruhu R . Problém nalezení kořenu polynomu je jedníín ze základních problémů celé algebry. Obecne'viak neexistuje algoritmus, který by umožňoval kořeny daného polynomu určit.. ,hnhíhí Věta 3.1.: Necit ŕ R je okruh; nechť f, g e R[x).ľakplatť:
1. je-li f = g , pak je   f Ír) - g (r)    pro kazdc r d R
2. (/4 g) (r) = /(r) + g (r)
(f - g) ('o = / (')    g ('') kaideý t G R „í
(/'ä ) lr) -= f {') ■ g (r)
[D u k a z :  ad 1 : plyne ihned z předchozí definice,..
ad 2 . dokáže se přímým rozepsáním.; provedme.,ši toto napr
T 1 I! i i
pro součin f. g ■
Nechftedy f m («„, a......«m, 0, . . . ) ; c = (Ď„, by, . . . , b  , 0, . . . ) . Potom
f. g " («(,&(>, u0ři,4a,/;0..... £ ah,...)
odkud :
( f.g ) d) • a0bv t WQft|■+ a, &<,)•'' + :' ■ ■ + :-<8B '■'■«,(0'•>*■+. •. =
= (a„ +n,r+.. .4 anŕ).ba a,ľ4. . .4 a/'). bxr +• . + «,r + ,-. =
= (% +a,r 4. .. 4 a i* ). «>„ + V+. • • + bjT) = /(r). g (/) 1
Víta 3.2. : Nechl' R je okruh. Pak prvek c S R je kofenem polynomu f£R[x] pravé'kily ípolynom (x-e"\ 'dílť f .
.(D úkaz : 1. nechť' c je kofenem polynomu /. Polynom (x -c) je normovaný, stupne' 1, t. zn. podle V.2.3. existuje pravě jedna, dvojice polynomů q, r e R[x\ :
/ v= C*-c)  <l + r ; . si (r) < 1
protoKe víak f (c) - 0 , musíbýt   r.f a , a.tedy   (x-c) I /
II. nechť (x-c) I / , i. zn. f = (,x-:c) . /i , kde /i.e Pak ale f {c) = 0 . /|(c) .= 0
t. zn. c je kořenem polynomu /. .)
Definice : Nechť R je okruh, tiecltťyk .je přirozené ítslo.. ľr.vek c6Ä ste nazývá k - n á s o b n y k o ŕ e n-   . í nebo téz k o ľ e n násobnosti   k S polynomu j &R[x] , jeslliíe platí: (i) (x-c)*   I /
(li) (x-cf'tf
Poznáínka ; pri * = 1 budeme rrilllíó "1-násobný koren"ŕíkat xíz "jednoduchý koícn". Dále, z definice dělitelnosti polynonni ihned píyne platnost následující
implikace: . s       ň. , i ,:.
{x-cY I / pro pevne pfir. cislo i => (.v-t)  I / pro lib. !<s ,
I pfir. číslo. Specielní'tedy (podle V.3:2.) : kaťdý   k - násobný kořen polynomu
/ je kořenem / Ve smyslu puVotiril definice. • .....
Dále, jestliíe platí: tx—cf 1/ pro nejaké přirozené' číslo s , pak můžeme, říci, že
c je alespoň ,t - násobným kořenem polynomu /'(t. zn. kořenem násobnosti s
28
- 29 -
nebo vyšíí). Při tom vsak zřejmé' násobnost libovolného kořene nenulového polynomu j nemůže být vétsí neř stupen" tohoto polynomu.
Víta 3.3 : Nechť R /e okruh. Pak prvek c G R je k - násobný/u .kořenem polynomu f £ R\x] pravé když existuje polynom h SR[x] takový, ze :
f » U-<;)*. h        a       h (o * 0.;. . ..
louka! :  I. necht" c- je k - násobným korenení f . Pak (X—c)* I / , t. zn, existuje h e. R [x\ tak, ía   f = (x-c)k . h . Kdyby /i.(t) " 0, pak podle V.3.2. (x-c) I h , t. zn.   A = (x-c)   A,, a po dosazení:
/ - [x-cf . (x-e) . A,  = U-i-r. A, t. zn. prvek ľ by byl álespbŕt - násobným kořenem polynomu / , colfje
spor s prédpôkladerh. Tedy ft(c) í* 0.
II. necht* /= (x-c)*. /i , kde ň (r) 1* 0 ..Je tedy (x-c)M/. Dale, kdyby U-r)"*1 I /", pak f=(x-c)"".g = (x--c)* .(x-e) . g , t. zn. dostá-vame : (x-cf . h = (x-c)", (x-c) ■ g
odkud podle V.1.5., po zkrácení polynomem (x-c)1' dostáváme : // = (x-c).g , t. zn.   h (c) = 0, coií je spor. Tedy musí být (x-c)""Jíf a dohiomady dostávame, že c je k - násobným korenení polynomu /.) .
Veta 3.4. :   Necht" R /e obor Integrity ; iiechť f e R[x] , f i= o . Jsou-li t,, c,, .   . , c • navzájem různé koťeny polynomu f O násobnostech k,, /c,, ... , kn, pak polynom f je dělitelný polynomem ;
■(x-c„f»
[D ň k a z  ■ provedeme matematickou indukcí vzhledem k číslu   n . Jeli
tvrzení vety platí pro  1, 2,,, 1 ■ Pak tedy :
(x-c,)*,.....(-v ''„ ,»*" '   1 t
t.zn.
(|) /= (x-c,)
. (Y <m ,)» ' . A .      . kde A 6 81*1, .-■
Prvek   c   pak musí být kořenem polynomu A , neboť
*. ,     ,.    {.-i  ,, (í- ), odkud, vzhledem k tomu, ?.c
,        /,«-!) Nechť tedy q je r - násobným kořenem A K je obor integrity plyne : A U;,) - 0- Nedit leoy c„ j
Pak podle V. 3.3. lze psát :
(2) h » (*--cB)' . /i, ;        /,,(cn) * 0 Podle předpokladu vrty a V.3.3. lze psát :
(3) f - (x~c r . A, ;        /»,(c,) * 0 Tedy dosazením (2) do (I) a porovnaním s (3) dostáváme :
(4) (x-c,)'- . . .. U-c^ ,)*""'. (x-t^y. h, = (.v~c„)*» . A, . Jestliže   kn  > £ , pak po zkráceni polynomem (x—c )' dostávame :
(x-c,)' .". . (x-cn , )*"-'. A, = (x-cj'-1 . A, • '
cořvšak vzhledem k V.3.1. vede ke sporu (neboť hodnota polynomu ria leve' strení' v bodé c Je nenulová, kdežto na pravé strane'je nulová). Analogicky dojdeme ke sporu pří k  < t. Tedy musí být kn - /. Pak ovsem ze (4) dostávame :
(x-c, f'. ... (x-v,     1. <x~c )" I f ). .
Důsledek: Necht R je obor integrity. Pak každý polynom /S R[x\, stupni m > 0 , má nanejvýš m kořenů.
Přesněji řečeno, Jsou-li c,....., c  navzájem různé kořeny polynomu f o násobnostech k,, ... ,k , pak platí :
*,+...+ ^ < m
[D ů k a z : nechť c,, . . . , cn jsou navzájom různé kořeny polynomu /
o násobnostech k,.....kn . Podle předchozí vety lze polynom '/ vyjádřit
ve tvaru '■ „ k
f ■ (j:-t|)1 . . . (x~cH)" . A , A &/?[jc], kde zřejmé" A =r o.
Tedy :
0 < m • St (/)*! + . . . + *„+ .?/ (A), kde ale st (A) > 0 . Pak je ale m > A, + . . . . + A , což"je zadaná nerovnost. ]
Předchozívetí a její důsledek neplatí obecne pro libovolný okruh R , t. zn. předpoklad o neexistenci dělitelů   nuly v R   nelze vynechat, Jak ukazují'na-
příklad 3.1. : V okruhu g4[x\ uvařme polynom /« x> + 2x = x(x'* 2) resp. polynom g = 2x. Pak :
1) polynom /'má dva jednoduché'kořeny 0 a 2, avíak součin x(.v- 2) nedělí / 2.) polynom «je stupně I, ale má dva různé'kořeny 0 a 2.
Příklad 3.2.: V okruhu (ZXZ) |.v] uvažme polynom f" (1,0)*. Vidíme, že polynom /je stupni 1 , ale mí nekonečíié*'mnoho různých koření, neboťzrejme' každý prvek tvaru (0, a), kde a S Z , je kořenem /.
Víta 3.5 .: Nechť R je nekonečný obor tntegHty ; nechť f e R[x), f'i4, o . Pak existuje prvek r € R takový. íe f {r) ť* 0 .
[Důkaz : je-li / # o, pak podle předchozího důsledku mí polynom / nejvýše m různých kořenů, kde m = st (f) je pevné' cele nezíporní číslo. R mí však podle předpokladu nekoneční mnoho,prvků, t.,zn. musí existovat prvek re R , který není kořeném,/, a pro nějíje tedy /(f)^0.) .
Definice : Nechť R je okruh, f B R[x] polynom. Pak zobrazení': *y : R-+ R
definované'vztahem   <|> (r) » / (r), pro libovolné' r S R, se nazýva polynomiální funkce polynomu f.
Je-li   * ,: R,-» R nejaké zobrazení, pak Ý se nazývá polynomiální funkce, je-li polynomiálnífunkcí nejakého polynomu z R[x\. l.j. jestliže existuje f 6 R[x] tak, ze   * = <Iy
Označení: nechť R je okruh ; symbolem R" označujeme okruh funkcí (viz příklad 1.2, kap. I.), Dále nechť" $' znaří zobrazení okruhu R[x\ do okruhu
RR , definované'vztahem :
.    tco - *r   .    P'0 lib. fZRlx)
t. j. zobrazeny které" kařdému polynomu přiřazuje jeho polynomiální funkci.
Vela 3.6.: Nechť platí výse zavedené označeni Potom : l: zobrazení$~ : R[x] -*. RR je okruhový'homomorfizinus 2. mnoíina-9" lR{x]h sestávající z polynomiálních,funkcí, je unitárnťm podokruhem okruhu R" . [D ů.k a z :  ad 1. : nechť /, g 6 R[x) , pak pro libovolné' r G R je : iSRfitn (') = +;■,,(') = (/+ 8) W -Ar) + g(r) •
= +<!>//) = f?(/)) Ir) + (JF(*>)W
Tedy platí :ÍT(; "•») * S5"*/)
Stejným způsobem se ukáže, zcfifg) -~hf) -9^{g) , t. zn5"je homomor-fizmus okruhu R[x\ do okruhu R" . ad 2 ;„ z h a z V.1.3 kapitoly I. plyne, ze 3"(R[x]) je podokruhem R*. Zbyva tedy ukázat, ze je unitárním podokruhem ■ To vsak plyne ze vztahu :
gV) - l e$ffttxj)
kde  j S R[x] značí jednotkový'polynom ) .    ■ "■ *
Poznámka : zobrazení^obecné nemusí být injektivnía tedy nemusí být vnořením. Ovsem v řadé důležitých případů (na př pro R ="Z, resp. Q, resp. K) vnořením je, jak dále ukážeme. V těchto případech pak můžeme polynom ztotožnit s jeho polynomiální funkcí.
Definice: Nechť'R je okruh. Říkáme, zc dva polynomy f, g 6 R[x] jsou f u n k c n é rov n e' , je-li = «1^, /./'. jinými slovy, je-li ]\r) = g (r) , pru libovolné r (ž R.
Poznámka : dva rovne' polynomy f - g jsou podle V.3.1. (ca'st 1) vždycky funkčné" rovné", opak vsak obecné platit nemusí. Vezmeme-li na prv Z}[x] polynomy   /=*3+x+l    ;    f=2x+l   , pak zřejmé' / =ŕ g, ale f[0) = g(0)= 1, /(l)=í(') = 0, /" (2) = £ (2) = 2 , t. zn. polynomy f a g jsou funkčné rovne'. Následující věta udáva dostatečnou podmínku pro to, kdy oba tyto pojmy splývají.
Vé'ta 3.7. : Je-li R nekonečný obor integrity, pak dva polynomy z R[x] jsou rovnépráve kúyi'jsou funkčné'rovne'.
[D S k a z : předpokládejme, ze R je nekonečný obor integrity. Nechť polynomy fg G R[x] jsou funkční'rovne', t.j. /(r) = g(r) pro lib. r €K. Uvažme polynom h = f - g. Zřéjméfje ;
h (r) = U'-g) (r) ■ / (f) - g (r) - 0 pro každé' r e R, odkud podle V.3.5. je h = o , t. zn. f — g = o a polynomy f g  jsou rovne! Naopak, dva rovné'polynomy jsou vidy funkčné"'rovné'podle í. časti V.3.I. ] .
Důsledek : Necht'   R je nekonečný"obor integrity. Pak zobrazení9"z V.3.6. je vnorením okruhu   R [x] do okruhu RR .
i  - •
8454
32
(Důkaz
-   • . .1.1. v i «  V 37 a definice zobrazeni J1 I jde o přímý důsledek V.3.6., V.á./. a
Vidíme tedy, ^ nad nekonečným oborem in^rity můžeme zbožnit dan/ Vidíme tedy, ^ y matematic^
PO—Sje,opo,nom ,,n, ^ analýze, kde se s polynomy nad tělesem
j. J- « - ******It.neoo celným tělesem,
prov/s, iwpK nad každým (netriviálním) áselnym okruhem coíobo/jsounekoneclie-obory integrity.
33
§ 4 : DĚLITELNOST POLYNOMU, NEJVĚTsTSPOLEČNÝ DČL1TEL.
ÚMLUVA : všude v tomto paragrafu pŕedpokla'da'íne, že R značľtélefo.
Pojem dělitelnosti polynomfi byl definován nad libovolným okruhem na konci § 1. Je-li vsak R teleso, pak R [x] je obor integrity a můžeme tedy použít všech výsledků, kterejsme obecnef o dělitelnosti odvodili v § 2 kapitoly I.
Poznámka : Je-li S libovolnéf nadtfleso télesa R , pak můžeme polynomy /I g e R[x] zfejmťuvažovat téTjako polynomy v S[x] a vyšetřovat jejich dělitelnost v S[x]. Nedostaneme však nic nového, neboť' při dělení polynomu s koeficienty z tělesa R dostaneme podíl i zbytek opít s koeficienty z R t.j. vlastnost polynomu g být dělitelem / nezávisí'na tom, vyšétřujeme-li ji nad tělesem R nebo nad libovolným jeho nadtňesem S .
Veta 4.1. : necht" f, g e R [x] jsou polynomy takový íe /¥= o a g\f. Pak platí: st (g) <, st (J)
Ji
(Důkaz : je-li g\f , pak existuje h & R[x] tak, že / = g.h . Poněvadž'/ ^ o , musí být g, li =ŕ o , t. zn. stupně'všech třípolynomu jsou celá'nezáporna' čísla, při cémz podle důsledku V.l .2. je : st (/) = st (g) + st (A). Je tedy st (/) > st (g)   J. -
Vťta 4.2.: Nechť f, g e R [x] ; pak následující výroky jsou ekvivalentní'
(a) f^g
(b) f\g, g\f
(c) existuje prvek c E R,  c ^ 0 tak, íe . / = c.g
[D ů k a z : věta bezprostředně'vyplýva z definice asociovaných prvku, z V. 2. 3. kapitoly 1. a z V. 1.4., uvážíme-li, Že v telese je jednotkou každý nenulový'prvek. ]
27
71
8Sea«äSssra=«
34
Vělii 4.J.: Nechťpro polýiinmy z R [x] platí: g \ f,g f fk (kde k
je pernépřirozenéčíslo) a nechť h,.....hk jsou libovolné polynomy z R[x\.
ľak:     '   : j ,.„:...; ,
íl (/,./!, +
[ D B-káz*: tvrzení je specielním případem v .2.1. (část 2) kapitoly.!. ]
Také" pojmy společný dělitel a nejvítší společný dělitel mnoíiny M , studované v kapitole l.,lze opět přirozeným způsobem přenést na polynomy nad tělesem R . Omezfme.se tentokráte na případ, že M je konečná množina.
. , Definice: Nechť *,/f,... ,fk ŠR[x]j ie-li h |/( (/'= 1k), pak polynom li, se nazývá   společný dělitel polynomu
Definice: Nechť ft,fSR[x] . Pak   n e / v ÍI iI m společným dělitelem   (zkráceně: n. s. d. ) polynomů ft,:. • . i JJ nazýváme polynom
d £R[x\, pro ně/1 plat!:
(i) d /e společným dělitelem polynomu j\, . ■ . ,fk
(ii) je-li h e R [x] společným dělitelem /,,. . . ,fu, pak je h\d .
Věta 4.4.: K libovolným polytioinům j\,. . . ,/t€ R [x] (k přirozené číslo) existuje ne/větší společný dělíte!
[Důkaz:  je-li /, = f. - . . ." / * o , pak zřejmě o jj jejich největJÍ společný dělitel. Nechralespoň jeden z polynomu J\, ■ . ■ ,fk je nenulový. Označme:
M = (/,//, + .. +yt A 1*1-----hkGR[x)lib. }
Množina M má zřejmě tyto vlastnosti:
.(«) /; e M . /- l.....k
(í)) je-li gi.ftSM , pak též g, ±J,GM
(7) je-li i' S M , c/ e R |.v| lib. . pak g. q E M Vzhledem k (a) obsahuje množina M nenulové polynomy; mezi nimi existuje alespoň jeden nejmeníího stupne. Označme jej iHx) .
* i
/ J: *
3 5
Nechť r e.m  lib., pak podle důsledku v,2.3. existují q. r e ftl.vl tak, Že :
K " <Lq + r        ;   »f (/) < íí (<fl 7. (P)-a (,7) v.íak plynem ře r.S.M, a vzhledem k.tpmu, jak byl vybrán polynom
</, musí být (-o. Pak t/ \g, t. zn. specielně' d.-j/j , /= 1.....>*ti'JfÄ.Í? r*
společný dělitel /,......f
Je-li /itE/?[.r| společným dělitelem /.......f , pak podle v.4.3. /ilgpro
libovolný polynom g 63 M, Specielně' tedy h\d. l.
Dohromady dostáváme, že - </(*) jenVs.d. polynomu     ,...../ |.
Větu 4.5.: Množinu víecli ncjvŽtštch společných děUteiu polynomů-/)>■•• >Jt 6 "1*1 obdríťme jako mnoíinu v/ech nenulových konstantních násobků jednoho (libovolného) největUího společného dělitele polynomu í\.....4.
[Dľúi-k'-a-z i.ľ.Veta.jeiSpe.cielnín) případem :v..,2,(). |^ap;iloly(l,.uyedon)íme-li si, zevle tpólynomu :d\B Af^^js^OjAWI^Q^^yMQS^^^iyn^yK^'^ f~í!Pp\ '■ r'!e.
c e r, ť# o |. -,„.,.,1,
Důsledek : K libovolným fc polynomům /,', V".". if^'é'Rlx], z nichž" alespoň jeden je nenulový', existuje praví Jeden normovaný tíejVeW'sj&lo'filk^*^''' dělitel, Tento normovaný nejvítsí společný'delíťél budeme vdáiíím^ózháčóvať -1 •
symbolem (/'.,
,/J.
[D ů k a z : jde o přírný důsledek pfedchózťvéty  j. •  •■' '       ''' **6**&t>
PiižnnHika': Vidírnc, Ä n. s. d. konečnéhp,póptu, ppljjnpnip, vždy exjsjujc, ale že neníurcen jednoznačne (s výjimkou případu, že R je dvouprvkové'teleso, sestávajíc!'z Oa 1 ), resp. je určen jednoznačne^až'jiq asociovanost. Navíc, důkaz V:4.'4. nebyl konstruktivní, t. zri: nepodal-návod!k výpočtu.íi,,is.,d. ;Tento si,nyní' dvédemé'prb! dva polynomy. ■)'■ g é «(,v.],,,z.:nicliží.al.esp,9^jeďen je nenulový. PčiďŽitíf metbdá, kteráže založena na opakovaném,dějem polynomů, se nazýya' Liikleidův algoritmus.       ••>«'••• •!.t.<-<it
36 -
Výpočet n. s. d. polynomů f, g€/?[ji] Eukleidovým algoritmem:
Necht" f, g e R [x] a necht" napr. g^o. Pak podle důsledku V.2.3. můžeme provést následující delení polynomů:
' '/ -g • </> + • sld,)<stXg) g = r, • q, + r, , s/(>i) <íŕ(r,) r,   = rr .//, *-.rs , J/(>,)<i/<r,)
při čemž" zbytek v posledním delení je nulový. Po konečném počtu kroku: musime skuiéčné"k nulovému zbytku ďójít^ebdf porovnaním nerovností na pravé, strane', vztahů (1) dostávame : t '  , >\ ■■
,    . j/(r,)>ií(rj)>   . . . . . > M (r .) > st (rk1 .
Dokázeme;nyní, že polynom rk ,t. zn. poslední nenulový zbytek v posloupnosti delenr(l) je hledany'n. s.d. polynomů f a g ■ .
(ť) : z poslední rovnosti v (1) plyne, že r  llj^,-- llvázírne-li, řfe triviálnŕplali 'k ''*« pak z předposlední rovnosti,'podle V.4.3. plyne, že rt I rk_0. Analogický dostávame, že rk I rk_ , . . . atd, až" rk I j? a r^l/.Tedy rfc je společny'de'litel
polynomů /aj. .....■-
(íí) -'necht" h e.Ŕ[x], pričeníz /il/',-/il g .Pak první rovnost z (I) můzenje, přepsat ve tvaru :   : '' r!'--.,v.':~"iiyx,... ,„■.■.., ,-.
'; "'     ": ' ;    r, =/+ ř t-<7t>  :   -V     '•• •    , •
a užitím V.4.3. dostáváme, ie hl r,. Podobne' z druhé" rovnosti, vzhledem, k tom li, že li\g a li IV,', užitím V:4.3. dostáváme, ze /i Ir,.,Takt o postupujeme dále, až" nakonec ž pfcdposledni" rovnosti v (1) dostáváme, Že 6,1 ri(ř. TedyukáV-ah^srne, že polynom r, je nejvitslňi společným délitelem polynomu . / a y-    ...... :
Poznáínka : vzhledem k tomu, že Eukleidův algoritmus užíva pouze dělení"
- 37
polynomů, nejvčtsí společný" délitel dvou polynomů f. g £ R\x \ nezávisí na tom, vysetnijcme-li jej v R[x\ nebo v S\x], kde S je libovolné' nadlKleso tílesa R. Přésnéji řečeno, je-li d, nejvé"tsTm společným dělitelem polynomů f a g v S{x], pak existuje nejvétží společný dělitel d polynomů /a g, který" je asociován s d, a je deR\x].
Poznámka : v Eukleidove" algoritmu (1) používáme pouze dělenídvou polynomů. V konkrétních případech se pomerne často stává, ze v průběhu takového delení dojdeme k "nepříjemným" zlomkům. Na př. máme-!i nad poiem R reálných čísel dělit polynom /= x* + ** — X+ I polynomem g = i5x2 + 5x + 10, pak :
(x*
~ x +1 ) : ( I5.rj + 5x + 10.
-1* 45
4 135
x + 1
3    S ._	9	
9	9	1
	4-x ± 27 .	__8 27
	27	19 27
Z V.4.5. a ze vztahu (I) je vidět, že v Eukleidovďalgoritmu je jednoTždí k'výpoctu užTvánie zbytek r( anebo jakýkoli jeho nenulový"konstantní násobek. Tedy, v kterémkoliv kroku kteréhokoliv déleni'v Eukleidové'algoritmu lze násobit kterýkoliv z polynomů libovolným nenulovým prvkem i tělesa R. Na' přédchozíni příkladu ukážeme, jak se tím urychlívypo&t, zejména při rudním počítaní Z uvedeného buče patrný i způsob zápisu.
- 30
39
Li4.____t--y.'.~S..±..ll: (IŽ,x.I.±ii+_!0) | jf1. .y. 4
3.x4      -K3a2-3a + 3       3x2 + a + 2
4£&ŽáÍj£........... "  ' 1 ..... ■■'<■■>
-x3 + a2--3a + 3 ' ''!
3a3~3.x2 + 9.x   - 9
-Xxl±lxL±2x-:___>*•'«,,..')
•;,    12a7 I 21x   27 . . ,,, j TI 2a-2 T  4aT 8
, ' 2Sxr J» "V '
ph tom   ;■' ■ 25a - 19 je polynom asociomny k zbytku po dělenrpplynpniu / polynomem g. Dále Je ovsem vidět, že uvedenými úpravami se''znehodnotr" podíl daného delení, fxX vsak výpočet n. s. d. neovlivní, neboť v Euklěidpvé^algofitmu pracujeme pouze se zbytky.
Piíklad 4.1. : Vfl[x] naleznete n.s.d. polynomu" / a g , kde : /» x" + 3x3 -x2 - 4x - 3 ,   « = 3a3 + 10a-1 + 2x - 3 .
Řešení:
( t« + 3a-3 -   a-3 -4x - 3) : ( 3a3 + 10a2 + 2x- 3 ) | a. 1
3a" + 9a3 - 3a ! - 12a- 9 3a4 t 10a-'  i  2a 2 T 3a
i xl - 5.xJ - 9*
'3x3' + 15a2 + 27*+ 27
„3x3 ±, 10a2 * ,2.vT 3
(5a2 -H 25* ■•■30) - r,
( 3a3 + 10a2 + 2a - 3 ) : ( 5a2. + 25*jt-_30J | 3a,-5
-3a3 ± 15a2 ± 18a a2 + 5a + 6
- 5a2 -16a- 3 t  5a2 t 25a T30
• ( 9a +27) - r2
( a2 + 5a + 6 ) : ( 9.x + 27)    | x, 2
a + 3
2a +6 2a ± 6
Tedy, r3 = 9a + 27 je nejvétsím společným dělitelem polynomů / a g, resp. normovaným n. s. d. těchto polynomů je pak (f,g) = x + 3
Veta 4.6.: Nechť f,g£R[x], z nichž alespoň jeden je nenulový. Polom: \. existuji polynomy u,vSR[x] takovéSe pláli: (2) /. u + g. v = (f.g) ■ ' '
2;/<?-// ntíWír íř(/J, st(g) > I , pak lze polynomy u, v ve. výrazu (2) ej$«*/ W*. ře."
Jí(/».5<(i>), ír(í) >'*<(«)
|D ů k a z : ad I : nechf na př. gi= o ; pak z rovnic (I) Eukleldova algoritmu dostáváme :
•'•   í>       fj     / — g</>, = /'/i + r,ľ| , označTme-li u, = I , i>, = —<7, ;     = S -</"j +?-Kl)'ři **^A-W|frj)+«0-ľi?i)=/«l i pznačííne-li », = -»,05, v\'- 1 —. , Tímto postupny'm dosazováním pokračujeme dále, ní nakonec dostáváme (po patřičném označení) : =/•'"* f *-ľ. •
Podle předchozího je väak r   n. s. d. polynomu / a g. Nečliŕ r je vedoucí koeficient polynomu ŕ . Pak :
40 -
41
oznacmie-li [/ = ť"1 M,,    ľ - C 1 vk . ad 2 : nechť' sl <J), st <g) ř= I   a ne(chť u. v jsou polynomy splňující (2> Nechť sl (u) > sl (g). Podle důsledku V.2.3. lze psát :
u = g.q + r , kde sl (r) < jf (g) Dosazením do (2) dostávame :
if.g)" f (g.q + r) + gv = f.r + g (/ŕ/ + ľ) kde polynom /■ má již požadovanou vlastnost. Tedy mfiíeme předpokládal, že k,v jsou polynomy splňující (2), při Čem)! jř (g) > j/(u). Dále sporem ; nechť sl ď) > st (/). Pak Je :
jí (g) + .v/ (y) > st (m) + 17 (/), neboli st (g.v) > st (f.u) , odkud plyne, že musí být : st (f.u + g.v) » íf (g. ť).
Pak ale ; sř ({/;»)) ■ i/ {/li + (g.ľ) » iř (g) + ar (v) > l+st(J)
> st (/) , coJí je spor, neboř podle V.4.1. je sl ((/g)) < sl ( /). tedy sl (f) > st (v), c.b.d.-]>.-. ' i
Poznámka : z důkazu 1. éástl předchozí vety je vidět, ít při konstrukci polynomů u,v splňujících (2) používáme krom!! zbytků i podíly dělení z Euklei-dova algoritmu. Při konkrétním výpočtu nelze tedy v průběhu dílehí násobit libovolné nenulovým prvkem i R , jak tomu bylo pri hledání n.s.ď.
PÍÔclad 4.2. : V Q\x\ nalezněte polynomy u.v, splňující (2)i je-li dano : /•- x3 - .x3 + 3x - 10    ;    g - x3 + bxl - 9x - 14
nesení : pomocí Eukleidova algoritmu hledáme n. s. d. polynomu /a g , píl čemž si průběžně' označujeme nalezene'podíly a zbytky. Zde dostaneme (po výpočtu) ; i :
f"K<l, + i|  . Kde if, = 1, r, =-7*1 + 12*+4
Tedy . (/;«) » f» =* jf-a . pľ! ísiriK *p|tnýni výpaítpm twi<l«me polynomy u,v
235
235
235
_4Í 235
= /•(-        1*> + g{ 235 235
Pak
49 235
49 235
235 49
_14_ 235
235
235
235
Definice: Polynomy f,g G R[x] nazývame nesoudělná, je-li <J,g) = l
Věta 4.7. : Nechť' f,g 6 R[x] ; pak polynomy f,g I sou nesoudělní, práv p ■ kdy i existujípolynomy u,v B R[x], splňující: •    . u.. •
(3) f.U + g.t>   =  1 ■ ,    ■ vV;
[Důkaz: jsou-li f,g nesoudělné' pak z předchozí definice a z V.4.6. plyne (3). Naopak, nechť existují polynomy i#,» € R[x], splňující (3). Pak zřejmé' ales-potfjeden z polynomu fg je nenulový a tedy existuje normovaný n. s. d. (f,g). Z definice n. s. d. a z V.4.3. plyne, ze (f,g) l/u + g.i> = 1, a tedy (/,g)= 1  ) .
Vfta 4.8. : Nechť f,g,h e R [x]. Pak platí:
1. (f.g) « 1      .  (/'O =1       -       (/. g./O - 1
2. ň I /g        ,   (A,/) =1        «• /ilg
3. g I/, /i I/,    (g,/i) = 1        •»        g./i 1/
(D ú k a z : ad 1 : je-li (/g) = 1, pak podle V.4.7. existují u,v e /?[*], splňující(3). Po vynásobení(3) polynomem h dostáváme : (4) f.u.h + g-v.h = h
Nechť* <f e R[x] je polynom, pro nějž q 1/ ; «7 I g./i. Pak ze (4), podle V. 4.3. je q I h. Tedy take' <jr I (fji) = 1, odkud vsak dostáva'me, že (/, g./i) = 1.
ad 2 : Z předpokladu (h,f) = 1 podle V.4.7. plyne, že existují u,veR[x] tak, že
ft . u + /. v   = I odkud po vynásobení polynomem g dostávame : (5) h.g.u + /g.i'   - g •
Ale   ň I /i , /i I /;g,  t. zn. z (5) podle V.4.3. plyne, žé hl g
ad 3 : podle predpokladu je g I /, t. zn. existuje polynom q, e R[x] tak, že /= g'ri
50
06
. dá.e pod.e předponu je Hig.*, . P* «-B *» W> " »• ™ P°d'e dokázané' íáati i J. * I     neboli „ = M, , P«° nejakí" „ 6 W . Po dosazení dostáváme :
/»» (».</,) = (»'0-<Ia
t. zn.   g.h I / 1 •
Naz^jeMPoznamenejme,řeJ8ou-n/,ř^W po.ynomy nesoudí v pak ft jsou nesoudíme rovnňív Sl„, kde S je Ubovo.ne nadtfieso tělesa «, (jak plyne z Eukleidova algoritmu a z definice nespudelných poiynomu).
V
§ 5 : IREDUCIB1LN1 POLYNOMY, ROZKLAD POLYNOMU.
ÚMLUVA : Všude v tomto paragrafu předpokládáme, ze R značí téleso.
Pojem reducibilního, resp. ireducibilníhb prvku, definovaný v kapitole I., lze opít přirozeným způsobem přenést na polynomy. UvSdormne si jen, ít je-li R teleso, pak jednotky oboru integrity R[x] jsou práve'všechny polynomy stupnío, resp. navzájem asociovane polynomy musí mít stejný stupeií (plyne z V.1.4., V.4.2. a z důsledku V. 1.2).
Definice: Nechť fGR[x]',st{f)> 1 . Řekneme, le polynom f je redu-c I bil ní v R [x] (nebo te'í nad tílesem R), jestliže existují polynomy g.h &R [x]; Ksi(g), st(h)<st(f) takové1, le platí: ♦ / = g.h
V opac"i\ém pflpadí fikáme, fa polynom f je i r e d u c■ í b I In i v R.[x\'( nebo též nad tílesem R).
Poznámka : Vidíme, že předchozí definice je specielním případem definice reducibilního (řésp. Iraducibilního) prvku z §2, kapitoly I/Pak tedy ni pí nazákladí V.2.5. kap. I můžeme říci, ít polynom / Je ireducíbilní(respi reducibilní) nad R , práve když c.f je ireducibllní(resp. ŕeducibtlnf) nad 7? , pro lib. c S R, c =ŕ 0 .
Příklad 5.1.: kafdý lineární polynom f£R[x) je ireducibilnínad tílesem R, jak vyplývá'pŕímo z definice. . : -í-
OpäČria'implikace obecnéfneplatí, Jak ukazuje následujíc/příklad.
•   PříklBd S.2.: y fi\x] uvainie kvadratický polynom / = x1 + 1. Pak /je zrejme ireducibilnínad tílesem R.
Uvažujeme-li tentýž'polynom / = xJ + 1 jako polynom z K[x], pak /je reducibilní nad K, neboť/ = (x + i)(x-i)
Poznámka ; l předchozího příkladu je vidít, i* při zjišťování reducibility Či ire-ducibillty podstatní záteíí na títese, nad nímŕpracujeme a je tedy nutnej zejména v případech, kdy by mohlo dojít k nedorozumení, výslovnruvést, nad kterým tělesem je daný polynom reducibilní, resp. lreducibilní'
1054
7718
- 44
Obecné pak platí nasleduj ící vet a.
Véla 5.1.: Nechť'/e R\x] a nechť R, je libovolné nadtéleso tělesa R. Pak platí.
1. je-li f reducibibďv R[x], pak je reducibilnív R,[x],
2. je-li f ireducibllnív R, [x], pak je ireducibilní' v R[x) .
[D ů k az : 1. část víty plyne ihned z definice á' 2. Část je pouze logickým důsledkem 1. částí']. ' ■ ■>!&vi»)n'* v.iň:n
Véla 5.2.: Nechť f,g eR[x] ; nechťf je ireducibilnínad R. Pakjé buď(f,g)'= 1 neboje f\g. '
[Důkaz: necJif plat/předpoklad víty a nuchf {f.a r i • W« mueíhyt í'        > 1. Zfejméílze psal;/ - {f,s)q : protože víák / je iroduvibllni' polynom, musí byt 3i.(.q)- 0. 07načíme-li q(x) = c eR, pal; tí*0i můžeme p«<Ct i (f,g) = c~l.f, t. *n. Zřejméfje (/;«)! g a z transitivity relace dělitelnosti pak
plyne : /lg ].
Vžta 5.3. : Nechť f£R[x];pak následující v/roky jsou ekvivalentní,}
(a) / je ireducibilní v .R{x] .
(b) )e-li.f\g.h, kde. g.h, <=R[x], pak f\g nebo f\h .. ,
! [ D,ů k az,: "(a)i>»,(b)r.,; nechť /je ireducibilní a necht* f\g. h,Jkg . Pak podle V.5.2. je (/,£) = 1 , t. zn. podle V.4.8. (část 2) je /1/i, '.
; Ni j"(b).-»(a).V : (sporem; necht*platí (b) a nechf./j, je reduc.il(ilní. Pak existují polynomy g, h BR[x\ , 1 <.st(g), st(h) <sl{f) takové', že platí: f = g.h . Tedy triviálně je /1 g. h a podlé V.4;Í'.fkg. f k K , t.žh. dostávame spor s platností (b). Polynom / musí tedy být Ireducibilní'. ]
Důsledek: Nechť / je ireducibilní v R\x\ a nechť g......jj'C R \x] ták, že:
■'■'!'•■■■■•'        a • •:. . /líi f v.-*,        ...... ' ■
Pak existuje přirozené číslo A:: 1^5A<j tak,"e/|gt.
[ D ú k a ž : důsledek plyne bezprostředné z V.5.3. užitím matematické Indukce.
Věta 5.4.: (" Veta o existenci a jednoznačnosti rozkladu na ireducibilní polynomy") NechťfeR{x),st(f)>l.Pak: .,
1. polynom f lze vyjádřit jako součin konečného počtu ireducibilních polynomů nad R, t. zn
(D /=P,....P, .in^:;„.
kde p.je Ireducibilní polynom v R[x], t « 1.....r ' ui .
2. rozklad (1) /e jednoznačný ať na poradí činitelů a asoclovanost, l. zn. je-li (2)             " /- íi-.-.-í,
kde q, je Ireducibilní polynom v R[x], i= 1,.....s, pak je a po vhodném
pfečíslovánCčinitelů v (2) Je p,**q'.'!'l = l,..':,/\ '-'--v :'>V
'■    '   :      ■       •   ' ''   "- ■■     ■        ■ . jol)
[DŮkaz : ad 1 : existenci rozkladu (1) dokážeme matematickou indukci
vzhledem k stupni polynomu /. Je-li st (f) = 1, pak podle přikladu S.í.je / iredu-
eihilní. t..xn. ja ve tvaru (1). Před polí Indsjmivie tvriapřplatípro polynomy stupní" 1.2.
3,...; ři-1. Nocli/j/(/) - h. Je-li /ireducibilní', pak je }\í v tíůaném tvaru: Nechť
tedy / je redutibilnť. Pak existujřpolynomy g,h SR[x\i l < st (g), st{h) < sl(J)=n
tak, ti f- g.li Podle indukčního .předpokladu existují ireducibilní polynomy
P......P/. P/,.....P, e Rix) tak. fs: v..■ •.,Sw.
odkud po dosazení dostáváme : f~P\
■P,-l\
. p , t. zn. /je. ve tvaru (1).
ad 2 : jednoznačnost rozkladu dokážeme opít matematickou indukcí vzhledem k stupni /. Je-li jr(/)=l, pak jednoznačnost rozkladu (1) je zřejmá. Předpokládejme, že tvrzenío jednoznačnosti platřpro polynomy stupni" 1, 2,.. ,;i—1, Nechť' st (/) = n a nechť (I) a (2) jsou dva rozklady polynomu / na ireducibilní polynomy, t. zn. pak :
(3) p,.pj ... -pr = <?,.</!----qs
odkud plyne, Že pilql . . . q . Podle důsledku V. 5.3. vsak existuje přirozené číslo 'o CM»i'i-^-*) tak, žep,lř;( . Přečíslujme polynomy qt tak, Že bude px\qx. Z definice ireducibilnílio polynomu vsak potom plyne, ze p, 'v qx, t. zn. existuje C| ě.fi, d # 0 tak, ře </, = C\.p{. Po dosazenído (3) a vykracenípoiynomem px pak dostáváme ;
PiPa • ■ Pr = C|.<j,.ř?3 . . . qt Podle indukčního předpokladu vsak odtud dostávame, z"e r-1 = s- \ , neboli r = s
9378
'I I,''1 .':'-.!
!
a po vhodném přečíslováni': p} -v c, q,, t. zn. rovněž p, "v q3 a dále pak p, % qs, ..... ,pr^ í". Tím je víta dokázána. ]
Poznámka : z dosavadních výsledků tohoto paragrafuje vidít značná" podobnost mezi úvahami o rozkladu polynomů na iréducibilní polynomy v oboru integrity R[x] a známými uvahamip.rozklad^.celelio čísla naprvočísla. Skuteční",obecnélze ukázat, že okruhy R[x] a Z jsou specielními případy t. zv. okruhu s jednoznačným rozkladem. Na rozdá od rozkladu přirozených nebo celých jiísel na.prvočísla je víak prakticky vypočet rozkladu (1) pro dany'polynom fSR[x] obvyklé pííliíjiomplikovaný. Je dokonce mnohdy velmi obtížnévůbec rozhodnout o polynomu f GR[x] zdaje nad tžíéšém '7?' réducibilřiíČi Iréducibilnř, t. zn. podat pro dane'tčleso Ŕ vyčerpávající charakterizaci iředucibilňích polynomů z R[x]. V dalším se nám tó v hékterých konkrétních případech pódaří(např. pro R =K, R = R) a v některých nikoliv (napr" pro R = Q). ■'
Dále se nyni budeme zabývat takovými tělesy, nad nimiřje charakterizace iředucibilňích polynomů jistým způsobem nejjednodussí
Definice : TČIeso R nazýváme   algebraicky uzavřené, les lilie kord/ polynom f G R[x], st (/) > í , má v R alespoiľleden kůříil
Veta 5.5 : Necht" R je tíleso; pak následující'vy roky /sou ekvivalentní:
y ■   ' 1 f ŕ*- . 1 * . '     .f,1>vV*
(a) t teleso R je algebraicky uzavřené
(b) kaídýpolynom f <= R[x], st (f)> 1, lze vyjádřit ve tvaru součinu lineárních polynomů z R{x] .
(c) iréducibilní polynomy v R[x\ jsou pravé'všechny lineární polynomy.
....... -m>i. .aij        . .   . 4 tWWknH.
[Důkaz: "(a) ■» (b)": dokazujeme matematickou indukcí"vzhledem k st {/). Je-li st (J) = I, pak / je lineární" polynom á výrok (b) platí Předpokládejme, že (b) platí pro polynomy stupne" 1, 2, . . . , Necht'j/(/)=/i. Podle (a) existuje kořen cG R polynomu / , t. zn. lze psat : f = (x-c) . q< kde q G R[x], st (q) = n-\. Podle indukčního předpokladu lze víak polynom q napsat jako součin lineárních polynomů z R[x\ , t. zn. po dosa-
1
47
žení dostáváme íádané vyjádření,
"(b) "* (c)" : každý lineární polynom je v R[x] iréducibilní (viz příklad 5.1.) Naopak, z (b) ihned vyplýva', že každý iréducibilní polynom z R[x] je lineární.
"(c)   ■» (a)" : nechť f e R[x], st <J) > 1. Provedeme-li podle V,5.4.rozklad polynomu / na iréducibilní polynomy
/- p, ...... pr ■ ,■ o;::.,
pak podle (c) jsou polynomy pt lineární. Vezmeme-li libovolný z nich, např. , pak p, mav R kořen (á to jediný, podle poznámky za V.3*.l.), který"je zřejmé" takí kořenem polynomu f] .
Víta 5.6.; Necht" R je algebraicky uzavřené tčleso. Pak kaíd/polynom f 6 R{x\ St (f) "••/i S»-1 má v R pravé n kočenu, poČítame-ll kaídy kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost.
[Důkaz: podle časti (b) předchozí víty lze polynom / näpsaťjako souíin lineárních polynomů, kterých víák tnus      pravé n ( vzhledem k důsledků V. 1.2.) a kaidy z nich mafv R právefjeden kofen.'kiery'je laroveíí käíín6n\"'/.'"'Ô'dtud ' pak užitím definice násobného kořene plyne tvrzení, j.       " "••
Vidíme, ze z nejběžněji používaných těles napr telesa R ,a Q   nejsou alger braicky uzavretia^(neboťnapr. polynom /» xJ;+ 1 ozrejmí nemá iá'dný-Jcpren vř? ani v Q). Rovnéíř telesa zbytkových tříd Zp  (p prvočíslo) nejsou algebraicky uzavŕžna, jak plyne z následující vély.
Vítá 5.7.: Necht" R je konečné teleso (t. zn. R ma'konečné'mnoho prvku). Pak teleso R není algebraicky uzavřené'. ......
[Dôkaz: necht* 7? Je teleso o n prvcích (n. >2), kd.e. R .?..{«, ,:..An). Pák polynom :
/•-(*-«!)v*-"j) . . . (x-an),* 1 . ..,   . /
zrejmé'patrí do R[x), platí st [f) > 1 a pfi tom /nemá" v R zadný korén, neboť /(a() =1 * 0 , pro každé" a( 6 R .].
74
í ;"■
!;!;:-:
:'!|
40
§ 6 : DERIVACE POLYNOMU, TAYLORÚV ROZVOJ, HORNEROVO SCHÉMA
ÚMLUVA:   všude y tomto .paragrafu předpokládáme, Že R . značítíleso, charakteristiky 0.
Definice: Necht" f € R[x\. kde (1) / = a„ + «,A-+a,.v3 + ...+ a„x'\-- »1:    , •:
Pak   derivaci   polynomu   f  rozumíme polynom   /' 6 R[x j, definován/vztahem .
l a, + 2a7x +.... + n.a .x"f'    /e-// j
Poznámka : pojem derivace polynomu známe z matematické analýzy, kde je definován jako jista funkční" limita. V algebře zřejmí tímto způsobem postupovat nemůžeme, neboť"pojem limity je vázán na tíleso R reálnych čišel, resp. pó jistých rozšířeních jeŠtí na tíleso K komplexních čřsel. Zavádíme tedy pojem derivace ryze formálním způsobem a Čistí algebraickými prostředky. Nicmení je vidň, ze pro   R = R   oba j)ojmy splývajřa lze tedy očekávat, ít i níktere základní vlastnosti derivace budou zde stejní] jak  nakonec v dalším ukážeme.
Víta 6.1. : Nechť f e R[x\ ; st (/) »«>"í". Pak derivace f' le polynom stupně n- 1.
[D ů k a z ■:.-.. je-li /   tvaru (1), kde a^fl, pak vzhledem k tomu, ze R je charakteristiky nula, je na ŕ 0 a tedy st (f')-n -I J . .
Poznámka : Samotnou definici derivace by zřejmí bylo moŽné stejným způsobem jako výse vyslovit i pro polynomy nad tílesem libovolní charakteristiky. V takovém připadí by vsak nebyly splníny základní vlastnosti, které'na derivaci obvykle požadujeme, např. neplatila by předchozí víta (nad tílesem /{charakteristiky p, kde p je prvočíslo, by pak derivací polynomu f-xf + I byl nulový polynom, i kdyť st (/) = p > I ). Vidíme tedy, že podstatnou roli v naíich úvahách bude hrát předpoklad, ze teleso R je charakteristiky 0.
49
Víta 6.2. : Pro polynomy z R[x) a jejich derivace platť:
■3-        y*}'   ■'  - f.g + f.g'-
^■■■■■rty   - /í./x-..4^-^./i...,.4,.^,;
[Důkaz : část I. a 3. se dokáže bezprosfředním rozeps^ljn z,definice derivace ; Část 2, resp. 4. plyne z I. re*p. 3. ufitfm matematické'indukce a Část 5. je přímým důsledkem 4. Pro ilustraci si dokažme 3. Část víty f ■• ad 3 i nechť/=„„ + a,x i .... + ^i- =   £ a..^ tíj. /f=J,.„.^-. .
g = b„ + b,x+ .... + bxm= f. i „ť , tj. «' = £ ,b x<-
Potom
- Y" es tfl,.ft.).y-'
Dále : ..     ,. .,    ' . ,
/í = V (2  a.ĎJ.x'  , t. zn. lf.g)'f%" iíS    a .b), x';1
odkud je vidít, íe platí dokazovaná rovnost ].
-.1.-*  Mal t      i.l.-(íiuji.. ■ i       .   . ■.*:■.
vji  Poznámka: obvyklým induktivním způsobem definujeme derivace vyííťch rádu daného polynomu   f B R[x\, tvaru (1).
Je-li k pfirození Číslo, pak definujeme (/c+l)-ní derivaci polynomu / jako polynom :
při Čemž' pro k - I   platí (2).
Pak zřejmí pro k < n  má fc-ta derivace polynomu (1) tvar :
/*> = ')'• ■ • 2.l.uk + (*+!).* .... 2. fl|k<|.Jt + .... + /i.(íi-I). ... (M -k-il).un.x"
. :
: ,1 !;■ !
50 -
resp. pro k > n je: /<*) = o.
(3)
Definice: Nechť J\x) 6 Äjjt] i c6/i, /e-//
/(x) = a„ + o,(Jt-c) + a,(x-c)3 +,,..;+ a„(x-c)"    ;.:a, e V? pak pravou stranu (3) nazývame T a y t o ŕ ú v rozvoj o s t r'e d u c polynomu   f .       'p ■
íl:
Veitt       ''Ňečitffé st(f) = ii>\ j nechť"ce R..
Pak existuje pravé jeden Taylorův rozvoj o stredu "c polý)ióinu f , a slče
(4)       /(x)' = /(c)+.^(*-.c)+ Qjp-te-cÝ- +. ... + ^^(x.-cr.
[D ú kaz : I. existence j Proveďme opakovane'dílenf lineárním polynomem (x-c) takto r f ~ te-chqi + a0 ( -r
q,= (x-c).q, + a,
(5) <
'+ v'" t
kde zřejmí a0>a,, . . . , a      jsou konstanty,'resp; tfít^^Vfc^^^í*
polynomy stupní n-1.....1,0.   Tedy q Je kortstänthí polynom, ktery označme
symbolem an. Dále, v (5) vynásobme druhou tWKtoť.^lýnóinélT?''^^ tfetfpolynomem (x—c)2,tíd., a£ poslední rovnost polynomem (x-c)"' 1 a takto upravene' je pak seřtíme. "' '   1 '"''t ',
Po úprave'dostávame : . ľ!.',"'
/ = a0 + 'a, (x-c) (x-c)" " 1 +an-(x-c)",
coř je Taylorův rozvoj (3).
II. jednoznačnost :
Nechť polynom   / ma Taylorův rozvoj (3). Pak postupným tvorením deriváď
- 51
dostávame :
f (x)     = a, + 2a3(x-f) + . . . + n.ajx-c)" ' 1 /"(x)     - 2u, + 3.2.a3(x-c) + ..., + )i.(íi-l).an(x-c)"
/'"'(x)   - ;i !.an
Potom tedy : /(c) = a0 ; / '(c) - a, ; /"(c) = 2.a, .... ,/<">(c) = n!í„, odkud pak :
a0 - jTc) , a, být tvaru (4). j
Poznámka :   zavedeme-li novou proměnnou y vztahem : i .*     y - x-c neboli x - y + c
pak lze vztah (4) přepsat do tvaru :. ...
Tohoto obratu se často uzYvá" při praktických výpočtech.
Pří výpočtu koeficientu Taylorova rozvoje a i jinak je v praxí Často potřeba provádět dílenídaneho polynomu   f  lineárním polynomem tvaru" (x-c), kde c fř. R.  Je tedy potřeba urát koeficienty podílu a zbytek tohoto dílcní( který je zřejmí roven  / (c) ). Obí úlohy ;ízé resUjednoduse početním; postupem nazvaným Hornerovo schéma.  Nechť je tedy c e R libôvolňe'a / (x) £ fl[x), stíf),!?n> 1, je tvaru :
(7)       y (x) = un,x.!'..+ a„.. 1.v" • '.+ ,,..;.„+ a,x.-: a0 . .v,fc , ,lu :
kde   a( E R , an # 0. Pak je :' ,„■      .. ,„• .;,-..,.„•. ...
(H) .-yíM /(.v) •' (X   c)    <í(XJ • />        í.;     ;.. í ívi.:,!ll
kde 6 e « a platí:  h = / (c). Navíc M (o) = /i-l, t. zn. nechť' q (x) - 6M_ ,x"' .'+... + M + /»„
	1H': ■
	Si yj
.............*	
	;
	
	JUH
'ľ'"
lilii:;-i
52
Po dosazení za </ do (8) a porovnaní koeficientů v (7) a (8) dostávame
b
i
c. b
neboli
= b„ ■- ah, =    b — c. 60
e.é    ,+ a
■ c. ft, + a, 1 c.fc0 + a„
odkud jsou koeficienty podílu q I zbytek b - f (t) jednoduše určeny. pFi prtk-i.. kem výpořtu budeme póuíívat přehledne'tabulky tvaru :
			«0
c		. . c.bt + a,=60	c.fc0+8j,=ft=/(c)
kde do horního řádku vypisujeme všechny koeficienty a, (n> i > 0) polynomu f; tedy.i připadne nulové koeficienty a ve spodním řádku postupní vypočítáváme koeficienty í>. podílu a zbytek b.
Příklad 6.1.: V R[x] dělte polynom f (x) = 2x'-18.v3 + 5* + 7 polynomem 1**3) a najdete f (-3).
Řešení:  užijeme Homérova schématu pro c = -3
	■ 2 0	-l»ll	p ■■■	. 5 ,.7
^-'3	2   • ^6.(	. 0	.0.	5 | «
tedy: </ (xj = 2x1 - 6x3 + 5 ; ; i resp. ,/(--3) ť -8
Homérova schématu s výhodou využíváme v cele'radě dalších úloh, na př. při lile-da'm'Taylorova ro?.voje nebo hodnot derivací daného polynomu v daném bodií, jak ukazuje následující příklad. >
Příklad 6.2 : V K[x\ naleznete Taylorův rozvoj o středu i • =-/ polynomu / . kde f(x) ■ x" + ()+/)*' - 2* + (7+0
ne
53 -
Řešení: opakovaným užitím Homérova schématu, vzhledem k důkazu V.6.3. dostáváme :
	1 0	l*<      -2 7+i
-1	1 -i	í      -1 'h+lĚUo
—/	I -21	-2+1       ) 2/=o,
—i	I -3/	-5+řa3
-i	1 tr±aJ	
-i ,	|l=a„	
Tedy je.; /(*) = (7+2/) + 21 (x+i) + (-5+/)(x+/)2 - 4/(jr+/)3. + (*+/)«.
Navíc, ponéVadŽ ak = , můžeme .ihned urÄt hodnoty všech derivací
polynomu f   v bodé' c =-/.
Je pak: /(-/) = 7+2/; / '(-/)=2/ ;/"(-/) = -10+2/. /"'(_/}—24/., ^)(-/)»24.
Na závěr paragrafu uvedme nyní některé výsledky, týkající se vzájemné'souvislosti mezi kořenem, resp. jeho násobností a derivací daného polynomu. '; ' '■'
Věta 6.4. : Nech? f €. R\x] a nechť c £ Ř je k-násobným koľéhém polynomu f.
Je-li k= 1  , pak c není kořenem /'
je-li k > I  , pak c je (k-l)-násobnym korinem f.
[D ú k a z : podle předpokladu a podle V.3.3. existuje polynom h (x) S R{x] takový, ze : i:
f (x) = (x-cf .h (x)   ,    při iemŽ h (c) ť* 0 Pak je : f (x) = A. (x-c)*" 1 h (x) + (.r--c)*./i'(x) , t. zn. po upraví : (9) f'(x) = (jt-c)*'-'. [*.//(*) + (*-i.')./l'(x)]
Necht* 7í=l; pak (9) nabývá tvaru : / '(.v) = /i(jr) + (x-c)M'(x), t. zn. f'(c) = A(c) # 0 , a tedy c není kořenem /'.'
Necht       1 , pak oznaíme /(x) = t./i(.x)' + (x-c).h'{x).Pri tomto označení dostávame podle (9) : / '(.v) = (x-cť " '. í(.r), pri cenu /(c) = k.h(cf=ŕ 0 a tedy podle V.3.3. je c (k—!) - násobným kořenem polynomu /' ].
lil
- 54
Poznámka : obrácení předchozí vety zrejme neplatí; je-li nnpř. f\x) = x3 + 1 6 € K[x\, pak / \x) = 3.x1. Tedy 0 je dvojnásobným kořenem f, ale není vůbec kořenem /'.
Věta 6.5 : Nechť f[x) e K[x] ; c 6 R ; nechť k> 1 je přirozené'číslu. Pak: c je k-nasobným kořenem fix) «► c /c (k- \)-na'sobným kořenem polynomu (/,/').
[Důkaz: "-»" : nechť c je A-násobným kořenem*/, kde £> 1. Pak podle předchozí věty je prvek c (k— l)-nasobným kořenem f. Tedy platí : (x~c)* I/,  (JC-e)*41^/, (x-c)*- 1 I / ', (x-cf1* /', odkud dostáváme, Že (.x--r)*- 1 I (//'). Dále sporem; nechť(x-c)* | (/, /    Ale (fj ')l f' S ž tran-šltivity réläce dělitelnosti jják plyhé, žé U-c)*'l/ 1 , což je spoř. Tedy řňUší být (.X-c.)* 1 (/ /') a dohromady dostáváme, že c je (/c-l)-nasobným kořeném polynomu (/ /").
nechť c je (A--l)-násobným kořenem (//"), t. zn. (x-<)*"! | (/,/'); fZ-cřHfC}. Kdyby (x-c)*^/, pak by tedy c bylo (t-lj-násobrtým kořeném • polynomu /, t. zn. podle V.6.4. (.v -c)*1^/"', což je spor. Tedy platí: (x-c)*|/. Dále,je-li (x: c)**'IjTi Pak c je alespoň (£+l)-násobným kořenem polynomu /, t. zn. podle V.6.4. je c alespoň fc-násobným kořenem polynomu /' ,t.žn. (x- r)*|/' . Výše jsme však dokázali, že (x -c)* \f , t. zn. dohromady pak dostáváme,že (x-cf | (/,/') , což je spor s předpokladem. Je tedy (x-c)**'-t7' adohroma-dy tedy dostáváme, že c je A-násobný kořen /'].
Věta 6.6. : Nechť f & R [x] ; e 6 R : nechť k je přirozené'Číslo: Pak platí: c je k-nasobným kořenem polynomu f *» f (c) = f'(c) " ... »/<*a,"(«)*0 ; /*>(<;) í*0: •  ..■:
[Důkaz : "•»".; je-li prvek c fc-násobným kořenem /, pák je /(c)=0. Opakovaným užitím V.6.4. pak dostaneme žádané'tvrzení, neboť podle V.6.4. je c, (/c-l)-násobným kořenem /", t. zn.  f'(c) = 0 , atd. , až c je jednoduchým kořenem,/f", t. zn. /<*■"(<) = 0 a c neníkořenem /<*>, t.zn. /(*'(c)#0.
55
: necht /(c) =/'(c) -s ... =/<*- "(c) = 0 ; /<*>(c) * 0'. Nechť / Je ve tvaru (I). Pak TaylorBv rozvoj o středu c polynomu / má tvar : ft*)f
f(x) = 0 + . . . + 0 +
t. zn.
/ (x) = (x-c)* . [
A! íi!
pri cemz zrejme c   není kořenem polynomu v hranaté závorce. Podle V.3.3. je pak prvek c   fc-násobnym kořenem polynomu   /. ]
Poznámka : poslední vetu spolu s Homérovým schématem používamei k, praktickému zjišťování násobnosti dane'ho kořene c polynomu / .   Z příkladu 6.2 je vidět, že při opakovaném dělení lineárním polynomem tvaru (x-c) dostáváme jakožto zbytky hodnoty a„ = _rí*-!í£l     podle předchozí věty je pak násobnost kořene c   rovna počtu nulových zbytků těchto dělení. ...    ,.,..< ..... .,;
Příklad 6.3. : Zjistěte, zda c = 1-/ je kořenem polynomu fě K[x] a pokud ano, určete jeho násobnost. Při tom : f (x) - x* *— íx' '+ x* '+ 4x3 — 4xJ + 4' Řešení : podle předchozí poznámky opakované užijeme Hbrnerbva schématu :
	1 -2	1       4-4          0 4
1-/	1 -1-/	-1     3+/     -21 -2-2/|o_
1-/	1 -2/	-3-2/ -2+2/    21 [_0_
1-/	1 1-3/	-5-6/ -13+/ |-12+16/ =r0
Tedy	Číslo c - 1-	-/ je dvojnásobným kořenem polynomu /'.
56
§ 7 : POLYNOMY NAD TĚLESEM KOMPLEXNÍCH CISEL, ZAKLADNl'VĚTA ALGEBRY. •
V tomto paragrafu budeme studovat základní vlastnosti polynomů s komplexními, resp. reálnymi koeficienty. Připomeňme, že každé číselne' těleso (specielně tedy K a R) je charakteristiky 0, t. zn. můžeme použít všech výsledků, dokázaných dříve v této kapitole.
Věta 7.1. ("Základní věta algebry ") Každý polynom <f(x) £ K[x], stupně alespoň jedna, má v K ulespoh-jeden kořen.
[Důkaz: neuvádíme. ]
Poznámka: t: zvť základní věta algebry říká, že teleso K komplexních Čísel je algebraicky uzavřené. Věta měla opravdu základní význam pro algebru v dobách, kdy se tato omezovala na algebru komplexních čísel. Její důkaz nelze provést cistě algebraickými prostředky a je vždy nutné v menší či větší míre využít topologických vlastností reálných a komplexních čísel (t.j. vlastností, souvisejících se spojitostí). Důvodem je to, že v samotné definici reálného čísla se vyskytují pojmy, které nejsou algebraické' (pojem spojitého uspořádání). Poměrně jednoduchý důkaz V.7.1. bude uveden v základní přednášce o analytických funkcích.
Důsledek: Ireducibilními polynomy jsou v K[x] právě lineární polynomy. (Důkaz : tvrzení je přímým důsledkem základní věty algebry ;a V.5.5. )
Věta 7.2.: Neclif f € K[x], st (/) = n > 1   je polynom traru :
(1) / = a0 + u,x + :... + anx"    ', an * O"'"*'- "'" Puk platí :
1. polynom f lze vyjádřil jako součin n lineárních normovaných polynomů a nenulové konstanty ve tvaru
(2) ' / - «„ . Cř-Fi) • •'• • Cx-c„) i e, 6 Ä, / = 1.....n
2. vyjádření (2) je jednoznačné, az na pořadí faktorů
57
3. polynom f má přesné n kořenů, pocltáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost.
[Důkaz :  ad 1 : plyne ihned ze základní vety algebry a z V. 5.5.
ad 2 : plyne z V.5.4. vzhledem k tomu, že ireducibilními polynomy v K [.v) jsou pravé lineami polynomy a že na pravé straně (1) vystupují normovane polynomy.
ad 3 : plyne ze základní vety algebry a z V..5.6. ]'
Poznámka : ze vztahu (2) je vidět, že polynom / lze, po vhodném přečíslování hodnot c(, přepsat do tvaru :
(3) / = an.(*-c,)'' .(x-c2 j2 . . . .(X~Crr
kde C|, . . . , c   jsou navzájem různá komplexní cisla a platí : ... +í = n .
Je-li polynom   /   vyjádřen ve tvaru (3), pak z V.3.3. plyne, že c. je í - násobným kořenem f , pro k - 1, . . . , r.
Definice:    Vyjádření polynomu f e K[x) ve tvaru (3) je nazýva kanonický rozklad polynomu   f.
Věta 7.3.: Necht" f, g € K[x) jsou polynomy, mající kanonický rozklad : f = a. (x-c,)'1 . . . (*-cf)'' g = b (x-rf,)'1 . ... (x-dj' Nechť c, = </, ,...,<:, = «/,. resp. c,t cr, d,,</, jsou navzájem
různá čísla. Pak pro ncjvétsí společný dělitel polynomů f a   g platí:
U.g) - (x-c,)"1 . .  . (.x-c,)' kde   k, = min U,j,).....k, = min (i, jt).
[Důkaz •:     nechť platí označení předpokládané v6 větě, Označme dále :
h = (x-c, )■'... ÍX—ct) Zřejmě je : h I / ; h I g , t. zn. h je společným dělitelem polynomů / a g. Dokážeme, že h je nejvétším společným dělitelem f a g. Necht tedy q B K\x) je polynom, pro néjž je q\f, q\g a nechť kanonický rozklad polynomu q je tvaru :
I
lilii'!--;
Íl
11
58
q - p . (x-e,)' . . . (x-em,"m . Pak ale {x~et) 'I/, (x-e,) 1 I g, t. zn. e, musí' být rovno některému společnému kořenu polynomů f a g , řekněme, že   e,=c,. Pritom však »,<(,, U|<7,, t. zn. u,< min d\Ji)~ k,. Analogicky pro e},...,em , což vlak znamená, Že q \ h. Dohromady pak dostávame, že h = (f,g) . ]
Poznámka : zname-li všechny kořeny i s násobnostmi dvoii polynomů z K[x], pak největsí společný dělitel těchto polynomu zjistíme podle V.7.3. prakticky okamžitě a nemusíme používat pracne'ho vypočtu Eukleidovým algoritmem. V praxi však obvykle kořeny daného polynomu neznáme a jejich nalezení bývá většinou velmi pracne' a obtížné a v obecném případě algoritmicky neřešitelné. Následující víty pomohou tyto probletny řešit alespoň částečné, využitím vlastností násobných kořenů, resp. vztahů mezi kořeny a koeficienty daného polynomu.
Věta 7.4.: Nechť1 T je číselne' teleso, f f T[x], st(f)> \. N ech f dále q e T[x] je polynom splňující: (4) /=(//')?•
Puk polynom q má stejné kořeny jako polynom f, ale každý pouze jednoduchý.
[Důkaz: z Eukleidova algoritmu a z konstrukce dělení polynomů se zbytkem plyne, že polynom q splňující (4) existuje, pri čemž (/,/'), q E T[xJ. Polynom / můžeme zřejmě uvažovat jako polynom nad K. Necht"pak kanonický rozklad polynomu f ma tvar (3), t. zn.
i, i f" an.(x-cty . . . <x-cr)' .
Pak z V.6.4. plyne, že :
-je-li ik = 1 , pak ck není kořenem derivace /' , resp. • je-li ík > 1 , pak ck je (/t-l)-násobným kořenem /' , odkud podle předchozí věty dostávame :
(f.f') = (x-c,)' ----lx-cr)'
kde faktorem s nulovým exponentem rozumíme číslo 1. Potom tedy zrejme
(5) '/   =   «„• <*-c|)   ■ ■ ■ '*"«,)■
t. zn. polynom q ma' požadovanou vlastnost. |
s'
Důsledek :. NechtT. T- je. Číselné těleso, nechť polynom fC 7[xJ je ireducibil-
mjn polynomem nad /'. ... , r....... •    . •,
Pak polynom / má pouze jednoduché kořeny (v K).
■ľ
[Důkaz: je-li st (f) - I, pak polynom / má jediný kořen a tvrzení platí. Nechť tedy jí if) = n > 2 a nechť / uvažovaný jako polynom nad K ma'kanonický rozklad tvaru (3). Nechť q je polynom z předchozí věty, splňující :
/ = <//'). 1     -kde [f,f'),qe T[x\. Poněvadž je však   st (f.f ') < n , pak z ireducibility / plyne, že musí být sl (f.f) ■ 0, t. zn. (/;/') » I. Pak ale / = q, t. zn. f je tvaru (5), odkud plyne tvrzení. ]
Příklad 7.1. : Využitím vlastností násobných kořenů nalezněte kořeny (i s jejich násobnostmi) polynomu /£ R[x], kde : / = xs + x4 — 5x3 — x2 + 8x - 4 .
Řešení : k výpočtu užijeme tvrzení V.7.4. Uvažme derivaci f = 5x4 + 4x3 - 15x2 — 2x + 8 a pomocí Eukleidova algoritmu vypočítáme nejvétsí společný dělitel polynomů / a /'. Po výpočtu (ve dvou krocích) vyjde : C/;/') = x3 - 3x + 2 .
Nyní vydělením polynomu / polynomem (/,/') obdržíme polynom q z V.7.4. (zajímá nás podíl tohoto dělem' a; proto'během výpočtu nelze násobit nenulovými prvky z R jako u Eukleidova algoritmu !). - : fti;-,:^, : ( x5 ,+ x4 - 5.x3— x1 + 8x - 4 ) : ( x3 - 3x + 2 ) | x3, + x - 2
-x5     '   i 3x3 ± 2x'
x4- 2x3
3x' + 8x T 3x2 ± Zx
- 2xf t 2x?
+ 6x - 4 ±, 6x t 4
0
Tedy q = x2 + x - '2 - (x- l)(xl-2), t. zn. polynom   /. má dva kořeny :
C| = J, t) 4 -2. Jejich násobností zjistíme Homérovým schématem, při čemž zde
vyjde, ze c, = I je trojnásobný, resp. c2 = -2 je dvojna'sobný kořen polynomu f.
'I,
60
Poznámka :■ Víta 7.4 zřejmě neposkytuje universální algoritmus pro výpočet kořenu daného polynomu f. M a-li napr. polynom / pouze Jednoduché kořeny (pak </=■/'), nebo je-li polynom   q   příliš vysokého stupně, pak je V.7.4. pro vypočet kořenů polynomu / neúčinná.
Víta 7.5.: Nechť f 6 Kli],' 'si (f) = n > I , kde
/= </„ + a,x + .   . + + Vv"
a nechť C,.....c, jsou kořeny polynomu f
Pak platí :
í
(6) <
i-nv-r
(-1V
V
[D fl k a z : polynom /■ vyjádříme podle V:7.2. .ve. tvaru.(2),. t.j, jako součin lineárních polynomů. Pak :    , .., -!ť r; . • .„
/= «n.(jt-c,)(x-cj) J . :(x.-cn) = a0 + «,* + • • • + «„_,*""'t «„*" Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostáváme pak přímo vztahy (6)J.
Příklad 7.2. :  V K\x\ nalezněte normovaný polynom / , který má za kořeny trojnásobky kořenů polynomu h = x3 + 5.x + 2 .,
Řešení: polynom h má v K právě 3 kořeny, které označme c,, c}, c3 : Pak zřejmě / bude tvaru / - x3 + Ax1 + Bx + C , kde A.B.C 6 K. Při tom, podle zadání, / má kořeny : 3c,, 3c,, 3c3. Ze (6) pak plyne : 0 = c, + t'i + c3 -A = 3<:,+3c,+3c3 = 3.(f,+c,+c,)=3.0 = 0
5 = c|ť2+c|c3+í'3cj  resp.     B = 3C| .3Cj+3cj .3t3+3t3.3cj =
= 9.(cl(.1+c1c3+f3c3)=-- 9.5 ' 45 -2 = c, c,c3 -C-.3c,.3c,.3cs = 27 . (c, c,c, )= 27.1-2) - -54
Tedy hledaný polynom je tvaru : /'= x3 + 45.x + 54
Nyní si všimneme některých specifických vlastností těch polynomů z Klx], jejichž koeficienty jsou reálná Čísla. Je-li j\x) = «„ + u,x * . . . + anx" takový polynom, pak jej můžeme chápat jako komplexní ľunkci, jak plyne ze závěru §3. l)údcme-li dále komplexně sdružené číslo k číslu  z € K označovat symbolem ľ    pak užitím známych vlastností komplexně sdružených čísel dostáváme : fix) = a„ + a,x + .   . + unxl = «0 + n,x + . . . + ánx" -■ f (x) ', protože   a( jsou reálna čísla, t. zn. je u(= u( .
Věta 7.6. : Nechť j\x) £ K[x) je polynom s reálnými koeficienty a nechť c je k-násolmým kořenem polynomu j .
Pak tuke'ťíslo č je k-násolmým kořenem polynomu f.
[Důkaz: nechť f (x) = un .(.r-c,)''... {x-cr)í je kanonický rozklad polynomu f. Přechodem ke komplexně sdruženým číslům dostáváme :
I (x)=f(x) =an.(x-F,)' ■ ■ ■ (x-ľŕ Ale tento vztah platí pro každé komplexní číslo x ; můžeme tedy x zaměnit za x   a dostáváme :
/ (x) = an . (x-F,)'' ... (x-čjr odkud jiz plyne tvrzení vety. |
Poznámka : z předchozí vety m.j. plyne, že polynom z řv|x], s reálnými Koeficienty, musí mít vždy sudý počet imaginárních kořenů. Je-li navíc lichého stupně, pak musí mít lichý počet reálných kořenů.
Dále se zabývejme otázkami ireducibility v R{x\. Ji? dříve jsme uvedli, že těleso li není algebraicky uzavřené, t. zn. , že v K[x) existují iréducibilní polynomy stupně vyššího než  I. Na'sledující věta podává vyčerpávající charakterizaci ireduci-Bilmch polynomů v /<[x|.
Věta 7.7. : Ireducibilními polynomy v li[x] jsou právě všechny lineární polynomy a všechny kvadratické'polynomy se záporným diskriminantem.
|D ú kaz: je-li / U) £ H[x\ lineární polynom nebo kvadraticKy polynom se záporným diskriminantem, pak f je zřejmé iréducibilní v R{x\. Naopak, nechť J £ R[x] je iréducibilní polynom nad R. Pak st (/) > '•
517801
3033
63
Předpokládejme, že polynpm / není lineární. Polynom / pak nemá žádný reálný kořen, ale musí mít imaginární kořen, který označme c * a + bi (b¥=0). Podle V.7.6. je však kořenem /' rovněž číslo c = a-bi. Protože je c i> č, je polynom /   v K[x\ dělitelný polynomem : .■ .,.>„.
fio =,(*--<.•). (x-č) = x1 + 2ux + (a2 + b2) Zřejmě je však /„ 6K[.x| a tedy JB\f v /{(*), jak plyne z algoritmu dělení se zbytkem. Podle předpokladu je však polynom / ireducibilní v R[x], t. zn. je /„ "v / v /?[*]•  Existuje tedy reálné číslo r^ 0 tak, že : /=r./0
Tedy / je kvadratický polynom, jehož diskriminant D - Aa7^ — 4.r./-.(a1+ĎJ)= = — 4r2 b2 je záporný, c.b.d. ]
Důsledek : 1. Každý reálny polynom, t.j. polynom z Rlx], stupně alespoň 3, je nad tělesem R reducibilní.
2. Každý reálný polynom / lze vyjádřit jako součin reálného čísla a konečného počtu reálných normovaných lineárních polynomů a reálných normovaných kvadratických polynomů se zápornými diskriminanty, je-li f i= o, . pak je toto vyjádření jednoznačné, až na pořadí činitelů.
[Důkaz: tvrzeni plyne ihned z předchozí věty, resp. 2. část ještě z V.5.4.]
V experimentálních oborech a v praxi vůbec se často setkáváme s Úlohou najit (alespoň přibližné) funkci, napr. y "F (x), charakterizující nejaký děj, který pozorujeme nebo měříme. Znamená to, že pro konečný počet hodnot x Jsou stanoveny (naměřeny) odpovídající hodnoty y. Funkci F (x) přesně iiezha'hie,' a proto ji nahrazujeme funkcí jednodušší, obvykle polynomem / (x), po němž požadujeme, aby se v daných hodnotách x shodoval s hledanou funkcí přesně, v ostatních' hodnotách pak přibližně (viz obrázek). Říkáme, že provádíme interpolaci nebo tézt že funkci F {x) aproximujeme polynomem fi(x). Polynom /' (.x 1 se pak nazývá interpolační polynom.
3m.
F{x)J >>			t---^ s	
	fix)			
X, X,
V dalším se na problém interpolace podíváme čistě algebraicky jako na úlohu nad libovolným číselným tělesem T (jehož .specielním-případem jetisamozřejmě i těleso reálných čísel). Zcela stranou ponecháváme otázky, související-, s. přesnosti takovéto aproximace,
Věta 7.8. : Nechť' T je číselné tileso, nechť fi.g 6 T [x] ; a (/),sr (g) < n , kde ň je pevné přirozené'číslo.
Jestliže fig nabývají stejných hodnot v alespoň (íi+1) různých bodech, pak je f=g-
[Důkaz  :  nechť c,.....c    £ T jsou navzájem různá čísla, při čemž
/ (c,) = g(c(), (=l,----n+i.
Uvažme polynom h »/-g. Zřejmě je st (/i) <.», přičemž /i má alespoň (n+1) různých kořenů. Podle V.7:2. (část 3) však nemůže být jí (h)-> 1. Zřejmě také št (h) =č O.Tédymusí být st (/!) = - ~ , t. zn. h = o , odkud dostáváme /'=* ]'•
Věta 7.9. : Nechť T je číselné těleso, nechť c,.....T jsou navzájem
různá čísla, reap. >•,,... ,.v„tl £ T jsou libovolná'čísla.
Pak existuje právě jeden polynom fe.T[x] lakový, že st U) < na platí:
f(c,)-=y,, i" l....." + 1 ■
[D úkaz:  1. existence :
zvolnie f(x) takto :
I
08221175
:ľľ'
■p:
(7)   f (x) = y,
(x-c, )(x-c}). .....(*-<.• )
+  ,     +. . C-T-C1J.(jt-f,>....U-C.)_
""' (cn«-c.X^,-Ca)---(c„tl-^)
ľak zřejmě /u) e 7|a|, sf (/) < n (nebořkaždý sčítanec je buď o nebo polynom stupně n ) a dosazením dostávame f (c,) = v,, i = 1, . .   , n + 1
II. jednoznačnost ;
plyne přímo z V. 1.8. J.
Poznámka :  vyjadrení polynomu / ve tvaru (7) se nazýva' LagrahgcDv tvar interpolačního polynomu.
I když V.7.9. dokazuje jednoznačnost interpolačnílio polynomu / , můžeme zrejmé tento polynom formálně rozepsat různými způsoby, např. podle toho, jak je to pro naše konkrétní u'Čely výhodné. Na základě následující věty ukážeme ještě jednu možnost zápisu interpolačního polynomu.
Věta 7.10. : Necht" T je číselné těleso, necht" c......c e 7'. Pak polynom
f- a0 + a,x + . . . + an.x" 6 7' |x) lze vyjádřit ve tvaru :
(«)           / (x) = ft„ + b,{x-c,) + ti,(x-c, Kx-cj) ■¥...+ ť>„ (*--«:, Kv-c,).. .....U c„).
(Důkaz: postupným dělením polynomu / , resp. částečných podílu,
lineárními polynomy tvaru (x-■<•), / = I.....n dostáváme :
! = />„ + (x- r, Iq, = />0 + (x-c, )• |/>, + (.v-cj) qt | = 6, + i>,(*-c,) +
+ (a-f, )•(*-(,)•</, =.....= />„ + b, (x- c,)+... + bJx-Ci)-... .
. . . :(x-cn) ,    coz jc žádaný tvar. ]
Mějme nyní zadána navzájem různá čísla c....., c t:6 T a jim odpovídající hodnoty /(<•, )...../' (>•   ). Těmito hodnotami jednoznačně určený polynom
I i. věty 7.9. lze na základě předchozí vety vyjádřit ve tvaru (8). Koeficienty h0, /),,.., I>n při tom získame postupným dosazováním hodnot í; (í=I, /i+l) za X  clo vztahu (8).   Takto získané vyjádření polynomu /  ve tvaru (8) se pak na-
I
v;-. ■■
65
zývá Newtonův tvar interpolačního polynomu.
Připomeňme ještě, že každý z obou zmiňovaných tvarů interpolačního polynomu nia'v praxi svoje výhody i nevýhody. LagrangeBv tvar je možné okamžitě napsat, ovšem při zvýšení u (t.j. např. při zvětšení počtu měření) je nutne jej celý znovu sestavit. Na druhé' straně, u Newtonova tvaru je nutno počítat koeficienty ů , ovšem při zvětšení ři se pouze prida jeden Člen, při zachovaní všech členů předchozích.
m
§ 8 -.POLYNOMY NAl   1   '     l!M RACIONÁLNÍCH C1SEL A NAD OKRUHEM CELÝCH ČÍS EL.
V tomto paragrafu budeme nejprve studovat ireducibilitu polynomů nad Q a nad Z. Předem je ovšem nutné opět připomenout, že Z není tělesem, ale pouze oborem integrity (který má dvě jednotky, a to čísla +1,-1, t. zn. k polynomu
/ 6 Z [x] jsou asociovány právě polynomy / a -/), a tedy v Z[x) nemůžeme obecně použít ty definice a věty, v nichž se předpokládalo, že R je teleso. Specielně tedy pro Z[x) nelze použít definici reducibilního polynomu, uvedenou v § 5, nýbrž je třeba vzít obecnou definici z § 2 kapitoly 1, podle níž polynom feZ[x\ je reducibiln! (resp. ireducibilní) nad Z, jestliže f+0,fi*'± 1, přičemž f má (resp. nemá) vlastní dělitele, t.j. dělitele různé od ± 1 a od ± /.
V dalším pak ukážeme, že ireducibilita nad Z a nad Q spolu velmi úzce souvisí, i když oba pojmy samozřejmě obecně nesplývají; na při-polynom
/ (x) = 3a + 6 = 3. (x + 2) je zřejmě ireducibilní nad Q (viz příklad 5.1), ale nad Z je reducibilní.
Definice : Polynom /= a„ + a,a + . . . + j celočíselnými koeficienty,
se nazývá  p r i m i l Iv n í, jestliže jeho koeficienty jsou nesoudělné, t. zn. ( «0. ".....■■ %> = ' ■
Věta 8.1. : Necht" f= a„ + á,x + . • . + «*" e 1 fx ' 'e povolný nenulový polynom.  Polom :
I.   polynom f lze vyjádřil ve tvaru : li) /-*•/"*
r, ď
67 -
kile i € Z u /' * /e primitivní'fHilyiumi
2. vyjádření (|) /«jednoznačnéaž na asociovanost, r. zn. je-li (2) /»!./« -í, ../,*
/ct/f z,z, e Z u /mti prl mitivnípolynomy, pak z,z t jsou asociovaný
v Z a f *.' /| * jsou asociovány v Z\\\ .
(P 9 k a?: ad I : syrnbolem 2 označme nejvčtaí společný dělitel (v Z) vítech koeficiep(ú polyjjprnli /; t. zn. z = (a„. «,,...,«n). Koeficienty pplynoniu./* pak obdržíme z př(slušnýcli koeficientů polynomu f vydělením čísjem z. Zřejmé pak je /» prirrutivní a platí (1[).
ad, 2: necht" platí (2\, kde z,z, e Z a /*, J\* jsou primitivní polynomy.
Pak ale tt la, prp, ( = 0„ 1.....«, t.zn. také z, l(a,,, a, ,,..,«) = i . Nechť tedy
z=z,f,kde c € Z. Pp dosazení: z, c/* = z,/, *, t. zn. c/*=a tedy jjslo. c dělí všechny koeficienty pplynorriu     , který je však primitivní. Pak ale p= li, t. zn. z.= ± z 1 , resp. Z,* = ±jf*, což je žádané tvrzen/].
Věta 8.2. : (Xíaussovo lemma')
Nech ľ f. g GJplx ] /íoi< primitivnípolynomy. Pak jejich součin f. g je iake'primi-tiynfin polynomem,
l P 5 k a.z pro.yederne sporem, t. zn. nechť'/,g jsou primitivní a předpokládejme, že / g n^enjíp^i^y^ppljrrt^ŕn.,.?^ aje eaisjuje. pročíslo, p., kter^ dělí xí^clmy koeficienty součinu jf.ŕ.
Označme,- /: = a, + a,* + ....+.<i ,
g = ŕ0 + <>.|X+ .„ + ***
Vzhledem k předpokladu,/; nedelí všechny koeficienty polynomu / resp. polynomu í. Necht tedy ap,resp. b je koeficient polynomu / , resp. g s nejmenŠím indexem, který není dělitelný čísjem p.
Dále ozna,čme koeficient u mocniny x'*" polynomu, f.g sym.bpleih c . Pak:
i
;;;;
\
1
I
(3)
C = a„ a .6 ■ ť "dn . ft
t. zn.
Zřejmě /; dělí každý člen na pravé straně rovnosti (3), t. zn. pak také' /; |ar. b . Podle předpokladu však pta ,pJfb a p je prvočíslo, t. zn. pXa\b ,cóÍ je spor.Tedy polynom f g i? primitivní).
Důsledek: součin libovolného konečného poctu primitivních polynomů je primitivní polynom.
[Důkaz: tvrzení plyne z Gaussoya lenimatu užitím matematické' indukce ].
Poznámka: je-li gSQ [x] libovolný polynom s racionálními koeficienty.
a„    a, a ..... ■        ■'       • < '■ '
g = — + — x + ...+ ~ x" ,    kde a, ,ů, £Z
pak po vynásobení společným jmenovatelem c = b0.b, ...b můžeme psát: g = c'.h, kde h£Z[x). Podle V.8.1. však existuje d£Z a primitivní polynom /i*eZ [x ] tak, ze /i = t/./i*. Dohromady tedylze polynom g&Q [x ] psát ve tvaru:
(4) g = c',d.h* ,    kde,c,rfSZ,./i*eZ[x j^e.p.^imitiyní.
Vyjádřeňí(4) užijeme v na'šlediijící větě,která chařakténzújeiřěďucibilnípolynomy-
nad Z. ,; '       '" - •■■■'■■>íl'>r^   ~ ■ ■ .•••<■«■■ -'•••' •■ •••'■«
Veta 8.3.: Ireducibilními prvky v Z [x \ jsou právl tyto polynomy:
- všechny ireducibilníprvky v Z
- všechny primitivní polynomy slupne alespoň I , které jsou ireducibilní nad polem (? racionálních čísel.
[Důkaz: je-li /EZ [x], st(f) > 1 a / není primitivní, pak podle V.8.1. lze psát: '/ = z ./* , kde /* je primitivní a tedy z # ± I, Zřejmě ani z ani /* není jednotkou v Z [jt], t. zn. polynom / je reducibilnív Z. [x ). Ireducibilními polynomy nad Z mohou tedy být jen konstantní polynomy anebo primitivní polynomy stupně alespoň I.
. Nenulová'konstanta. cěZ však.y Z \ x\ může být součinem pouze.celých čísel, a tedy.c je írediicibilním;prvkem v Z\x\ právě.kd.yž | p | je,p,ryocíslo,.t. zn. pravé když c je ireducibilním prvkem v Z . ,:|jvlw..,
Dále, nechť /'eZ |.v ] je primilivnípolynom slupne alespoň 1. Je-li / reducíbil-ním prvkem v Zf.vJ.pak (vzhledem k tomu,že je primitivní) je reducibilníi v Qf.V], Naopak, nechť / je reducibilnív Q [.v]. Pak platí: /' = g\kde g, ,gxěQ [x],
637892
68 -
1 < */(«i),íí(,gj) < */(/'). Polynomy g,.g, lze však podle poznámky před vělou psa'l ve tvaru (4), t.j.:
«i = Cf.d, Jt* ,   g, - c,1. </, ./;*
kde t,,(/(6Z, ft*6Z(je) je primitivní (( = 1,2). Po dosazenídostáváme: / = í',1 .ej1 .</, .í/a ./(| ./i* , t.zn.:
C| .c, ./=(/, d1 Ji* Ji* Ale / je primitivní a podlé Gaušsova lemmatu je i li* .li* primitivní, t. zn. podle v.8.1. musí být polynomy /a li* Ji* asociovaný v Z [.v |, t. zn. jf» e.h* .h* , kde e = ± 1. Poněvadž zřejňVě jé "Mg,) = *i'(tt,Ý, 'w 1,2, znamená to,žé / jé rltjUcibilní v Z[x\. Tím je dokázána i 2. část tvrzení. ]
Poznámka: pro polynomy s celočíselnými koeficienty stupně > I předchozí víta ukazuje úzkou souvislosi mezi ireduciííílitou nad Z a nad (jipřesněji řečeno, je-li takový 'polýriäm ireducibilnínad: Z , pak je ireducibilnínad Q , résp: je-li navíc ještě primitivní, pak je ireducibilnínad Z .pravé když je ireducibilnínad ifj.
''Zp'pé'dň'ích dvbu poznámek vyplývá, že vyšetřování Ireducibllity polynomu v O(.v). lze v podstate převést na vyšetřování iredticibility polynomu,v,Z(xji Následující věta udává dostatečnou podmínku pro to, aby polynom s celočíselnými koeficienty byl ireducibilnínad tělesem racionálních čísel.
Veta 8.4.: (Eisenstelnovo kriterium iredůcibilíty) N ech ľ
(5)"''"'''" "'/=a0 + a,.v + ... + anx" ■;'     a,ěZ ,  /»Ô,1.....n ':"í;
je polynom, »((/)■/j "f» 1 . Nechľ existuje prvočíslo p, pro nil platí:
p | a.   ,     /-0,l.....,i 1 .,«!(..
'      P K ! '■
Pak polynom j jé iredmibíliuhad tělesem Q racionálních cíšel.     '  1 ř'*
[ D ú k á i : provedeme sporem; necht*polynom / splňuje predpoklady vety a nechť/'je reducibilní nad těleseih (J .'Pak / je reducibilní nad ZCpodle V.8.3.) a tedy existují polynomy g,h&Z\x\, I <st(g), silit) < šUf), tvaru:
g = />„ + />,.* + ...+• /) a';   /i = <0 + c|.v + ... + ř,-ť* takové, ?é / = g. h. 1'ak ale <i„ =/),,.(■„ a z (6) plyne, ze p\b„ .('„ , t.zn. p\b„ nebo
69 -
p ke- Nechť tedy např. /; | /;„ . Pak ale p ľe0 , protože podle předpokladu /;!^a0 . Dále nechť 6 je koeficient s nejnižŠím indexem polynomu g , který není dělitelný prvočíslem p (takový koeficient jist? existuje, neboťpodle (6): píra = b.c ,t.zn. ptl>r). Navíc je zřejmé I < k < ní . Platí však:
(7) a, * bh.Có*bt_xc, + ,..+V» v .
Ale 4*16,, / = 0, ..,,.*-) a dále p^pk, p^c„ a tedy ze (7) plyne, že pfuk ,.př*i čemž
je 1 < A: < ii: 1 , cožje ajespor. | ■j.,.t!
Důsledek: Existuje polynom libovolného stupně n (n > l) , s celočíselnými koeficienty,kteŕy je irédučibilnf riad tělěšém Q.
| D 8 k a z : vezměme například polynom f(x) ■ x" + 1; ít > I lib. ; pak podle Eisensteinova kriteria (pro p = 2) dostáváme, že / je ireducíbilní nad Q. J
Poznámka: Eisensteinovo kriterium je pouze dostatečnou, nikoliv však nutnou podmínkou iredudbilitypolynomu f. Např, polynom f=x' + 1 s .celými koeficienty zřejmí nesplňuje předpoklady Eisensteinpya kriteria a přesto.je ireducibilnínad Q.
Kromě Eisensteinova kriteria existuje jestí řada dalších, méně významných dostatečných podmínek pro ireducibilitu polynomu nad Q . Existuje dokonce metoda (vypracovaná již Kroneckerem) pomoct riřiflZě ó lib.;polynomui š celými koeficienty rozhodnout, zda jé ireducibilnínad tělesem Q' nebo-nikoliv. Je vsak příliš komplikovaná a těžkopádná, takže jeprakticky nepoužitelná/tw
Někdy nelze Eisensteinova kritéria použít přímona polynom /(s Celými koeficienty), ále>lze jej použít na polynom /(x + a)4kde -a SZ. Poněvadž však ireducibi-lita polynomu f(x) je ekvivalentníireducibilitě polynomu f(x + a) .můžeme tímto způsobem dokázat ireducibilitu ještě dalších polynomů, jak ukazuje následujícípn-fclad: ■ ''
Příklad 8.1.: Nechť p je pevne prvočíslo. Ukažte,ze polynom
f{X) = X"'1 + X"'2 + ;.. + *+]
je ireducibilnínad tělesem Q.
Řešení: je vidět, že na polynom fix) nelze aplikovat Eisensteinovo kriterium. Zřejmě však /(.x) lze napsat ve tvaru: f(x) -• ~~~T a položíme-li x » y+ I , došlá*-
1098
A$B
70 -
,(,, - /(,+ „ = LLtJZ-1. i ,{yP+ ,P , yr, + {p b,p, + ...+ (^i).;,+ 1..1) =
odkud vidíme, že prvočíslo p délívšechny koeficienty polynomu g , kromě vedoucího 'a p1 nedělí absolutní člen; Tedy podle Eisensteinova kriteria je polynom g ireducibilní nad Q, t.zn. i / je ireducibilní nad Q, nebbfje-li: fix) ■ //, U) ./ij(jc), pak je g(;>) =
V závěru tohoto paragrafu se budeme zabývat hledáním racionálních kořeno polynomů s racionálními koeficienty. Na rozdíl od předchozí části tentokrát podáme úplne' a ,,pri tom poměrně jednoduché řešení.
Poznámka: nechť /(*) g Q [x ] je polynom tvaru:
f(x) = a<,+ <(,*+ ... + anx" ■" kde tedy a„,a,....."„^í*- Óznačíme-li součiil jmenovatelů vsecti koeficientu polynomu f(x) symbolem   ,pak polynom:        '    ' "
■     "tf'.'flx) -•<£<», + d.a,x* !..V5'.<£*«''     ' " i^l^i^l^chny^ltďenty celočíselné'.
.   Z V,3,2. pak bezprostředně vyplývá, že číslo ej£Q je kořenem polynomu f(x) právě když c je kořenem polynomu .d.fix) . Tedy polynomy / t,d:f mají v Q istejňe'kořeny ^problém nalezení racionálních kořenu polynomu.s racionálními koeficienty jsme tímto obratem převedli na problém nalezení racionálních kořenů polynomů S celými koeficienty. : : .      ., tton m,.
Veta 8.5.: Necht"
(8) fix) = a„ + a,.v +  ■ + anxn ;  a,éZ, «n+0
je polynom s celými koeficienty a necht"racionální'číslo — (kde ř,s jsou nesoudělná) je kořenem f.
. Pak platí: r\a0; s\a . ' :■'■>>*
[D úkaz : je-li — = 0 (t.zn. r = 0,.v= 1) kořenem polynomu /,pak musí být = O a tvrzení věty platí.
Předpokládejme tedy, že — #Q, Pak po dosazení do / dostáváme:
71 -
(9)
+ ■•• + « ,-T.Tr + a
' O
Vynásobením (9) číslem .v"'1 a převedením posledního členu na pravou stranu dostáváme: '
(10) u„.j"'l + a,.ř-.j"2+ .. . + «„.,. r"-' = -~—
Ale na levé straně výrazu (10) je celéčíslo.t. zn. musí být: s \an .r" . Podle předpokladu jsou s,r nesoudělná, t. zn. s,r" jsou také nesoudělná a tedy musí platit s\an. Zbývající část tvrzení dostaneme analogicky vynásobením (9) Číslem — . Pak je:
. "o.-7"..t.ai>í'1"1 + a,..s"'2.r + ... + anl ..?./•" 2 + an       = 0 ..
t.zn. a, .i"1 + a, .j"'2.ř + ... + an .r"'' .=.-——., tedy —^— musibyťcéle cislo, t. zn. r | a0     , odkud stejně jako výše plyne, že r\a0.]
Důsledek: I. Je-li celé číslo c kořenem polynomu (8) s.celými.kpeficienty, pak.,.:
2.. Je-li p|olynom (8) normovaný,pak(každý racionální kořen / je cele - ,! ...     číslo. . .
[Důkaz: 1. i 2. jsou bezprostředními důsledky předchozí včiy.)
Poznámka: Pomocí V.8,5..,.lze najít všechny racionální kořeny. Uboy nomu /SC[i] . Nejprve vhodným vynásobením převedeme polynom / na polynom S ;elými koeficienty, tvaru (8). Pak žjiStíttie Vsěcliriý' dělitele ŕ absolutnílio členu o0 a všechny dělitele s vedoucího koeficientu an a vytvoříme všechny možné" zlomky tvaru -\ kferyéii je zřejmě konečne Miiôho S Všechny r'ácioná'lHÍ kořeny poIyiiOrnu / je nutne'hledat mezi nimi (výpočtem hodnoty /(|>'í W'i'P^oérHcMťróVá'iifclíé1-matu), Vzhledem k tomu, že koeficienty a6resp. an mohou mít velký počet děli^ 'tetu, mfižě^Uato-me^ možných rg- .
cionálňích ktřenů polynomu / slouží následující věta.
Věta 8.6.: Necht racionální číslo - (r, s nesoudělná) je kořenem polynomu (8) s celýini koeficienty;nechí m je celéMslo. Pak: .   ., „,i, ; ., ■:.íi,--í:s
t. zn. specielně platí:
(rms)\ /Cnt)
ir-.v) |/(l); (r+i)|/(-D
Kapitola III
POLYNOMY VÍCE PROMĚNNÝCH
I
§ I i OKRUH POLYNOMŮ n PROMĚNNÝCH
V S 1 kapitoly II jsme ukázali konstrukci pomocí"n/ž lze nad libovolným okruhem R konstruovat okruh R[x] polynomů jedné' proměnné. Tuto "konstrukci lze zřejmě opakovat (yezmemerli,/; fx] za výchozí okruh) ä to libovolně konečně mnôK'ókÔt, coí vede k následující definici. '!: "■ :'
Definice: Necht" R je okruh aneríiř n je pevnépřirozené' číslo. Okruh, který získáme z R, pouzijeme-ll ii-krát konstrukci okruhu polynorml jednéproměnné, nazýváme okruh polynomu n prorn 1 n n ý ch nad R a Označujeme jej Ŕ[X, , ...,X J, 5$ !!
Prvky okruhu Ŕ [xt,xH ] nazývame  polynomy   n  pro m ennýth nad   R   (neho téz polynomy n proměnných s koeficienty z R j. Nulový pŕvék•
okruhu R [x......xn] nazývame   nulový polynom   a označujeme jej o
nebo lei o (x,, ...,x ).
Poznámka: rozeberme nyní podrobněji předchozí definici pro některá konkrétní n.
Necht" it = I ; pak dostáváme známý okruh polynomů jedné proměnné, studovaný v kapitole II.
Necht" n = 2 ; uvážíme-li že polynomy jedné proměnné'jsou nekonečné posloupnosti tYaru (a„ ,«,,....), kde a( ER , a, * 0 pouze pro konečný počet indexů / , rak polynomy dvou proměnných jsou nekonečné posloupnosti
<(a00,a,0.....) ,    (a,„,u„.....) , ................)
jejichž členy jsou rovněž posloupnosti (tj. polynomy jedné proměnné), při čemž pouze konečný počet těchto posloupností je různý od nulové posloupnosti, tj. (0,0,....). Vidíme tedy, že polynom dvou proměnných si můžeme vyjádřit jako jis.ou nekonečnou matici (a^) , kde /,/ probíhají nezávisle množinu všech celých nezáporných čísel, v níž pouze konečný počet prvků je různý od nulového prvku 0R . Do řádků této 'matice' vypisujeme postupně polynomy jedné proměnné, které jsou členy posloup-
li
79 -
"í
nosti určující daný polynom. Operace + nebo . pak můžeme zapsat následujícím způsobem: ,./ r... . . .>■,-.
kde d,
'■ YL H a..l.
Při tom zřejmě nulovým polynomem jé polynom, v jehož zápisu se vyskytují pouze 0R a jednotkovým polynomem je polynom (ty, kde e^, = lR , resp'.:^ = Ojj "jinak.
Necht n = 3 ; pak polynomy tří proměnných jsou posloupnosti, jejichž členy jsou vyse popsané polynomy dvou proměnných. Je vidět, Že takovéto posloupnosti lze vyjádřit indexováním prvků z R třemi indexy, t.j; ve tvaru (a,^), kde i,/,k'':'' nezávisle probíhají množinu všech celých nezáporných Čísel, při čemž allk&R"'í>A pouze konečný počet prvků al/k je různý od QR .
Výíe uvedené úvahy lze nyní zobecnit na případ n proměnných, t. zň; polynom n proměnný ;h lze uvažovat jako posloupnost tvaru (a(](j (|j), kde řn nezávisle probíhají množinu všech celých nezáporných Čísel, pri čemž a()(j i&R á pouze konečný počet prvků a^   , ^ 0R .
Věta 1.1.: Je-li okruh R oborem integrity, pak okruh R[xx.....xj
oborem integrity.
' také
[Důkaz: provedeme matematickou indukcí vzhledemÍc n . Pro (.7i .= j tvrzení plyne z důsledku V. 1.3, kapitoly II. Nechť tedy tvrzení platí pro 1,2, ...,n-1. Pak je R{x,, -,xj = {R[Xi,x,,.; ])[xj,při čemž podlé indukčního předpokladu je R[x,, .;.,*•] oborem iritegrity.Tedy opět podle dúsledku;y,l ,3., kapitoly.Il^je pak R[x| ,...,*] oborem integrity.]
Definice: Nechř />(<»,     , )e/?[x....., xj je polynom n proměnných nad
okruhem R , S t u p nem poly n o m u f nazýváme ne/větst^čísel^i^^j^ + (V y kde a,, j ¥-0i resp.--™ v prípade, že f jenulový polynom, Smpekpoly.n^-mu f budeme označoval symbolem st (f). . vň+v
Polynomy slupne nula a nulový polynom nazýváme konstantní polynomy; polynomy stupně jedna nazýváme   line á r ní poly n omy.
Poznámka: symbol   oo je definován stejným způsobem jäko'téntýž symbol, zavedený v § I, kapitoly II. pro polynomy jedné'proměnné'. Róvriéž vlastnosti siťf) pro polynomy n proměnných budou analogické vlastnostem stupně polynomu jedné proměnné.
1
72
[Dfikaz: delíme polynom f lineárním polynomem (.v- m), t. zn. pak (11) /(x) = (x M»).(ř(x)+/(m)
pri cemz </(jt) = ft„ + i,x + ...+ bH musí být polynomem s celočíselnými koeficienty, jak plyne z Homérova schématu. Dosaďme hodnotu x = - do (11). Dostává-
.   (--»i)(f>o + ft,-+ ..+ /)„., ,^-i)+/(m) odkud pak
(12) .'.   finů.   ~    SK • (ft. + 6, :f + ..,+ I^SS.'
Vidíme, že pro r- fň.í je /t mm »0 , t. zn. (/••- m.i) |/(m) a věta platí, Neehf tedy r   ms . Vynásobíme-li (12) výrazem —
, dostáváme:
r-ms
(f>0.i"J + b,.r.snl + ...+ o(i _,/•"•')
kde na pravé stráně je celé číslo, ti zn. musí být {r-ms) \s".f{m) ■        ■■-.:<4 ■■■■
Ale r-ms,s" jsou nesoudělná čísla, neboťjinak existuje prvočíslo p s vlastností: /> | r - ms f '"p íař* f odkud -V&k plyne, ie p I s (poněvadž p je prvočíslo). Pak ale také p | (r- mí) + mi = r . Máme tedy: p | r , p | i , což je spor s předpokladem vety. Jsou tedy rms , s" nesoudělná, t. zn. ze vztahu (r-ms) I s".f(m) dostáváme,Že ir-ms)]f(m).]
Příklad 8.2.: Nalezněte racionální kořený pólyribniu:
, /(x) =~ x< +ix,--i--^,&x-^
Řešení: po vynásobení číslem .5 dostáyam.e polynom g (x) s celým j koeficienty, s nímž budeme dále pracovat.Tedy: i .|
•'   '      g(x) f 3x*+.5.xs + x*+.5x.-2 . . ;.w
Jě-li - racionálním kořenem polynomu g (a tedy i polynomu /), pálá dlé;Vi8.5.:
c|   2   =»   r= l.: 1,2. 2 * 13     =>  i = 1,3
(zřejmé u jednoho z čísel ř,,v stačí uvažovat pouze kladné dělitele). Dále vypíšeme všechny možné hodnoty - a pod ně pak hodnoty r + s, resp. r-s:
73
r - ,v
2 , 0 ,
3 , I ,
5 , 1 ,
•I ,
'■3 ,
i ;    s(-D= 8
-5 ;     sil) = 12
Užitím V.8:6. Vidíme, že z původních osmi hodnot ■»' zbývají k overení potize'tri: 5 -4,-2. Toto ovéroní provedeme např. Homérovým schématem: —'
1
2 není kořenem g ■» -2 je kořenem g
/ 1, t    t 1
Tedy polynom /(x) ma dva racionálni kořeny: *, -2,
86
80
Vŕta. 1.2.: Nechf R jeokriili. n je pevné přirozené'číslo, ľah: I. Mi.'izina vsedl konstantních polynomň tvořípodokruh okruhu R\x,. ...,> ], /,/<•-rý lze itotolnií s okruhem R .
2 • /<ľ-" [*i.....*„,) lib. neprázdná podmnožina (1,2.....n), pak polynomy
í = {ui-h-./„)e/?l'T>' ■••'vnl Pro oS 8(l  , -0 , ItstUle 1,^0 pro nějaké íjíl*......*&}. tvoří podokruh okruhu R[xt, -.xj. Tento podokruh lze ztotožnit s okruhem polynomň m proměnných nad R.
111
1 D fl k a z : obě tvrzení plynou.z V.l .3., kapitoly I a jí následujícípozna'mky, neboť!
1. zobrazení
«(-*......*J
definované pro lib. a6« vztahem: v><«) »(a      , ) , kde a„...t -a , resp. aři   ( ■ 0 , je-li alespoň jeden 7. Indexů různý od nuly, je vnořením.
2. zobrazení
* :R[**,•■••»>„.) - .....*„j
definované pro lib. (a.    ,  )ert[x ,.:.,.v, J vztahem u/((a,    ,   )) = (a, ),
kde
\..,„ je vnořením, j
0
jestliže /(í&0 pro nějaké JjH'fti.....i )
jinak
Stejně jako u polynomu jedné proměnné, můžeme i zde zavést zjednodušený způsob zápisu polynomů z R    ,..:,*]. Je-li 1 < Jt<n , pak polynom (b, ,   .),. kde I   je-li ik = 1 a í; = 0 pro jl^jř' "-
0 jinak
označíme pevným symbolem, např. xk (při tom žádáme pouze, aby symboly odpovídající řflzhým indexům k byly různé). Pak libovolný polynom /=(a(l  ( ) lze napsat ve tvaru
(1)
při čemž sumace se prova'dí přes libovolnou konečnou množinu (Hic indexů (|,.s.,L takovou, že obsahuje .všechny /htice pro něž a( (,#0.. Dvě vyjádření polynomu / ve tvaru (I) se tedy mohou Ijšit nanejvýš fprmálnč o sčítance tvaru 0.x[' ■ ■■>x'". Da'le vidíme, že posloupnost indexů koeficientu a(   f v (I) a odpovídající posloupnost
- 81
exponentů u Jednotlivých xK jsou shodné á není tedy nutné koeficienty indexoval, liu-deme tedy polynom /' častěji psát ve tvaru:
ď)
f = Xa.xl
Definice: Nechť R je okruh; pak výraz
(2)
'i 'j
nazýváme   členem o n proměnných   nebo stručně členem. Je-li f-m 22 a. x\[ ...x" e/i(*i, ••■>*.). pak (2) nazýváme   členem polynomu f; prvek aBR puk nazýváme   koeficientem členu (2). Stupněm clenu   x} ...Je" nazýváme číslo i,+ ... + /n. Polynom, jehož všechny členy mají.tentýžstupeň, s nazýváme   h o m o g en ní p q ly nom,. (slupne s).
Poznámka: z předchozí definice a z definice st{f) plyne, že stupeň nenulového polynomu / Je roven maximálnímu ze stupňů jeho členů s nenulovými koeficienty.
Příklad 1.1.: YaM*
a) v K[x,,Xi,x,,xt) je /= (2-/).*f *i-*i*j - 3.*J*j*,3 + (1 + 2í) polynomem stupně 6, který je nehomogenní.
b) v Z„[*|     ,*3] je tm 2*řjf, + 3*?jtj + xtxjx3 .homogenním polpomem stupně 3.
.Poznámka: přivyjádření polynomu;z.Ä U, ,.-.,*„] ve tvaru (l) a1:přj, operacích s nimi se mohou ve yyjádření( 1) objevit, dva stejné členy s nenulovými koeficienty (při tom předpokládáme, Že nezáleží na pořadí proměnných, t. zn. např. *L*a.=*j.v,, atd.),které'vlíak mňíeme sečíst, nebofzřejměje: .
• b.x'f:.;x'; + ex'}.J;-(*+o•.x't..J; ;.
• Na základě tétn Jvahy budeme nyní všude v dalším předpokládat, že při vyjádření polynomu z R,[xx.....*„] »twm(I) wnmry>4Ey«t||tpt<9<'dMi^,.^^^!^^Jt^r|^^ea-
tem rovným O . Uude-li třeba tuto úmluvu zvlášť zdůraznit, řekneme, že daný ppjy-nomjeveslandartním tvaru. ,;-,/,
Věta I.3.: Kaídý polynom feR[x......xj lze napsat ve tvaru součtu homogenních polynomů navzájem různých slup/íň, pil černí toto vyjádření je jednoznačné (až na pořadí).
E
SÉÉŠI
■L
82 -
( D S k a z : hledané vyjadrení obdržíme tak, že sdružíme dohrpmady vždy cleny polynomu / , mající stejný stupeň. Jednoznačnost daného vyjádření plyne z toho, Že všechny polynomy předpokládáme zapsané ve standartním tvaru. |
Definice: Nechť /=£«.. v','...    P.R \x......x„\ a nechť (b,, ....;/>„) Je prvek
kartézského součinu !<" ftj. uspořádaná n-lice prvku i R J. Pak i a.b, ... b
je prvek okruhu R, který nazýváme   hodnota polynomu   f  v bodě
ď......V a uznučujeme f{b,. .... bj. Je-li /(/>,.....bH) = 0K . fikáme, íe
(*i.....bn) fe   kořenem polynomu   f. ••   "—•
Poznámka: z definice bezprostředné vyplývá, že pro libovolné polynomy f.gBRlx,.....tj platí:
(3) {f±g){b......bn) ■/(*, i..:,bj ig(b, , ...,bn)
W (/•«)('■>,.-.*„)=/(»,. ••■■*„) • «(*>',.....V
Nechť « je okruh; symbolem /?" značíme kartézský součin /? X ... X/?,(»i-krát). Prólib. /e/?[jt,.....jr J definujeme zobiazení:
*,: R" - « takto: pro lib. (/>......bn)€R" položíme
(5) */(*,...., *„)■) ~fib,,...,bn)
Zobrazení '!>. budeme nazýval polynomiální funkce polynomu f. Jestliže k nejakému zobrazení \b : R" -» R existuje polynom fe.R\x,,.i.,xh] tak,že i// = */,pak ^ budeme nazývat polynomiální funkce. •••
Analogicky jako u polynomů jedné proměnné lze ukázat, že polynomiální funkce tvoří unitární podokruh okruhu (/<'""',+, •) z příkladu 1.2. kap. I. a že zobrazení
ľ : R\x{....,xn\ -*Rig'J ,.| ;
definované vztahem /•'(/) = <!>., pro lib. /£#(*,......xn \ , je okruhovým homomor-
fizmem. Tento homomorflzmus vsak obecné nemusí být injektivní, t j. nemusí být vnořením. V dalším pak ukážeme dostatečnou podmínku pro to, aby vnořením.byl.
Véla 1.4.: Nwhť R„ je nekonečný obor Integrity, nechť J(x,.....xJGH[x.....x ]
je nenulový polynom Puk existuje i>rvek (/i,, ..,/> )e/?J| tuk, "e f [b,,.... /»,) s4 0.
- 83 -
[ D 8k a z,: provedeme matematickou indukcí vzhledem k n v ľ'iO .W^l'-l'tvrze-ní věty platí (viz V.3 S., kap. II.). Předpokládejme, že tvrzen! věty plití pro vscch.iy nekonečné obory integrity R a okruhy polynomů n  I proměnných Ŕ[x......x „ .],
.......        ' .(..    '■(■   'i'-      • •"  '    -   í'.;- . l.VlíVUiOl |.. 7fl(«V<fÍl l!ľi'.
kde n>2. Poněvadž R„\\......x J = (V?„[.v,.....,r„ ,])[x ), při čemz RJx......x J
je nekonečný obor integrity, pak z I. časti dukazu plyne, ze existuje prvek g *g(x, ■ !..,JT(I.|)éS,ô{*',', -...Vi í tak, že /(j:, , ...,'x   ,f) f o\x......Jrn_,)! Označme f\x......JcnI) = yt.v,.....x„,,.g)  Pak / €Ru[xi.....x   ] a z indukčního předpokladu plyne, že existují prvky A,.....biil<~Ru tak, že f*Ujy, .„, bn .) #0 , t. zn.
/(^,. v;/i,;,')>y o, c.i,.d.i '      ''  /'.
Vžla 1.5.: Nechť R je nekonečný obor integrity. Pak zobrazení FlŔ.ix,, ...,xn'\    '/?"<"> ,
popsané výše, je vnořením.
wm
[ D ú k až í vžKlédérrt'k jJŕrä^
tivní zobrazení. Nechť tedy f. g SR [x.....,x ] jsou polynomy takové, í£'F{fý= F(g),
t.zn. *l=* . Podle (5) tedy pro lib. (b,,    bJGR" platí f(b,b) =?(*,,.., b), t. žn. podle (3) je pák;: (f-g)(j^;,..;b^Ó . Odtůtí vSak' pódie V.l .4."plyne, že polynom f-g musí byt roven mílovému polynomu, t. žň. f<= g ■ Zobřázé!řiífiř jěíédy injektivní.] • t *>■..,. .
Daslédek: NecHf R je nekonečný obor'íntegrity)"ně<:ht'^€7f [w,'i'>:>\x^[. Pak f=g právě když f(b......bn)"g{b,.....bH), pro každé (/>, ,,'...'S'6ll),eR»r
| D ů k a ž : jé-li '/(C,6p =«(ů,,.., ft„) pro kařaé"(6r^..i>%)eR"vi)ak ''(ly = civ', neboli 7r(/)'=/''(#) a podlé V.l .5. je / = í . OpäČHá iitiplikace'je .triviální. ]
Poznámka: V okruhu R[x,,..., x-A můžeme rovněž studovat otázky dělitelnosti a ireducibility. Např. z V.l .4. kapitoly. II. užitím matematické indukcéply.rife, že je-li R oborem integrity, pak jednotkami okruhu R [xt., ...,:.vn] jsou práve-jednotky okruhu R . Tedy k polynomu feR\x.......vÄ| jsou;v tomto případěfásociovány právě
víechny polynomy tvatuii;i/.; kde / .S./?. je jednotka o k ru 11 u • ■ i/?.; i jN a Id rvi h 4 í? t rá r\S ale např. otázka charakterizace ireducibilních polynomů ..n iproměrtných já značné'komplikovaná a lo i ve speciálních případech, např, pro R:±K., k.dy,1ireducibi|hí,polyno-my jedné proinénné umíme jednoduše popsat. Obecně lze totiž ukázat, že pro libovolné těleso R apro n>2 existují v okruhu R \.\, .xj ireducibilní polynomy libo-
,_fc
0 4
volného stupně m 3> I (např. polynom x(" + .v, je v R |.v,, :....* | ireducibilní].
Při studiu polynomu n proměnných je óasto potřeba mít členy daného polynomu lineárně uspořádány. U polynomu jedné' proměnné jsme, unií, to bylo nějak zy|ášť zdůrazňováno, uspořádávali jednotlivé mocniny proměnné x biiďto vzestupně nebo sestupně. Tuto metodu vsak pró polynomy « proměnných        2) zřejmě nelze aplikovat1 á musíme tedy užit jiného postupu. "
Definice! 'Ňec,ht*/i »>*' ••• >ť > B = x','...xJ /sou dva' čjeny q n promčnnýcli. Řekneme, že   člen   A   je pře.d cleném   B <'nebo lít, re člen B /e za členem A), existuje-H index t, l</<n, splňující:
Jestliže člen A je před členem I) nebo A = II, píšeme pak: A> B .
,n Vft» 1.6..: > Je, relací lineárního (ápbtčltp) uspořádánín.t mu.,činč všech ,(|ľem* o
/! proměnných. a , '    t     ^ • .
'i •     . ••••»  ^-f'H «■;'■-•' />•• • j\ '-k';; ■■......■■'■ * .ti* >
[ í) ok a z :. > je zřejmé relací na (nekonečné) množině všech Sienu o n proměnných. Necht* A^x,' .....x*" , B " x*1 .....v*" , Č ■ .r'/ ... x* značí Ub. cleny o n proměnných. Relace > je pak:
(i) reflexivní, neboť A = A , t.zn.je A>A • (ii) antisymetrická, neboť platí-li A > B. B> A nemohou pak. A, B, být různé
cleny, t.zn. je . .    , •.      ,,,\ v-u^,
(iil) tranzitivní, neboťje-li A > B , B P C. pak pokud jsou některé dva z těchto ; 'členů jpvne', musí být zřejmě /l >C ■ Předpokládejme Jedy, že členy A,B,C .; j.... jsou jMvzájenťrúzné.To ale znamená, že, A. je před B,t B jepísd Q.Tedy existují indexy /. / splňující:
. :       '.ciíi..-.vv*,.ť.-*M i *,>*,, resp. ,v, = /......sh fy., .*,>',„•„•...;,,,.,. ,
t s. i Pakpři       je:. ,. .,A(    /(,, r .» .
. a při / >/< je: 1 A, = r......*,-.,.= ',.,. *,>',.     ■     , ■')»•»« • a
Mu tedy v každém případě je A> C, s       - ,■ ,V.     ■•: ,, ..
(iv) lineární (dpitiet), neboťje-li A *B , puk existuje nějaký exponentov némž.se oba členy liší. Vezmeme-li pivní takový1 exponent,dostaneme, že bud. A; je ' 'před B nebo B je před A, tedy buďje A > B nebo B P A . | ■
85 -
Definice: Relaci > nazýváme   r e I a c í I e xik.o g r.af ic:k.e-ho ,us.p o -řádání členíi o   n   p r o m i n n ý c h . Vysctřujeme-H pouze členy daného polynomu f (x,, ...,*„'). pak hovoríme o   I ex i kografické m u s p ó radá-' n í členil polynomu   f. Člen polynomu f, který je. před vseml ostatními členy tohoto polynomu nazývame   v e d o u c iní Členem   polynomu f. .
Príklad 1.2.: Polynom f BR [x,, x,, x3, x4] tvaru
/» 5.trf + ix}xlxyx\xlx\ + 5x,Xi,xi + 2x, + x]xt - 2 je lexikograficky uspořádán a jeho vedoucím členem je člen t4- .
Vetn 1.7.: Necht" R. je obor Integrity a necht"f, g&R\xx, •,x|l] jsou lib. nenulové polynomy. Pak součin vedoucích členíi polynomů f a g je vedoucím členem sou-činu f.g.
[ D fi k a z : nechť A = v*' ....x" je vedoucí člen /,resp. A' = x"1... * " jéiib. další člen polynomu /. Pak existuje /, í '<i <n ták, ti:" Ac, =/«,,...,/£,| = rri^,", kf> mt . Nechťpodobné, B = x\' ...x^ je vedoucí clen polynomu g , resp. .= = x\l... x']} je lib. další člen g . Pak existuje / : s, *tx \ .'.'„^  -     ^ žlffi     : •
Platí vrak: ^Ä-^'^'lx^'"; /l' «' = x™1 +''... x™" *, oďkúd je .hněď vidět, že A.B je před členem A'.B' ■ Podobne se ukáže,že A.B je rovněž přeďM.Í'',i před A'.B . Koeficient u Členu A.B v f.g je vsak Součinem koeficientu u A á B , t.zh. je nenujoyý, neboť./' je podle předpokladu obor integrity. Tedy A.B je vedouc! člen polynomu f.g . J
Poznámka: Nechť R je těleso; pak R [x......xj je obor integrity, pro který mS-
žeme stejnou metodou jako v § 9 kapitoly U. sestrojit podílové těleso, které označuje-me/Kx,x.,) a nazýváme teleso racionálních funkcí n proměnných nad R ; Při tom racionální'\  funkcí n proměnných (nad R) rozumíme výraz
f<*i.....-r.) ľ'""*' '"*"
?(.v,, ...;x„)        ■■■-"-• "• .....'■ !*"
kde f,g&R'[x,.....X] » j#o(.v......J^). Rovnost racionálních funkcí n proměnných a operace na množině R(x,,.....v ) vSecli tříd navzájem rovných racionálních
funkcí n proměnných définujeniéstejné jako v i; 9 kapitoly II: Platí pák' i analogické výsledky, t. zn. R[x,, ...,x ] můžeme chápat juko podokruh tělesa racionálníchfunk-
cí /?(.y,.....x) a libovolný prvek z R(x,.xu) můžeme pak vyjádřit jako podii dvou
prvků z R|.v.......v. | .
■'■.SSJiSä...
i
mm
mgm
,'l r
1
■
11
86
8 2 : SYMETRICKÉ POLYNOMY
ÚMLUVA: všíude v tomto paragrafu předpokládáme, že /? značí těleso.
Definice: Polynom fix......xH)jeá\x,.....a;] se nazývá symetrický.
jestliže se nezmíní'zadnoupermutací proměnných, t. zn, pro libovolnou permutaci (a,,an) indexů 1,2.....n platí:
nx.,..ýX.J'flxt,.r.xH)'. Množinu vsvcli symetrických polynomS n proměnných nad R budeme označovat symbolem Rt[x,, ...,x J •
Přiklad 2.|.: V Q[xj.Xjj polynomy f* '%>![x,.+ 2x,xf.+*, + x? ,resp.ř = 3 jsou symetrické,kdežto polynomy h = x? , résp. * = x, + 2.x,x,' symetrické nejsou.
Víta ,2.1.: Ä?[x......xj je ppdokruhem oboru Integrity R [x,,xn ], tedy le
to obor integrity, který navíc obsahuje tíleso R . "
[Důkaz ■ jsou-li /) a /, symetrické polynomy, pak i f, . /í-/j se
nemehi^žádnpu.permutací.promifnný.ch, f. zn. jsou to symetrické polýiiomy. Tedy /?Jx,xj je podokruhém oboru Integrity /? [xt, ...,xn]. t. zn. jétakě óborém integrity. Zbytek tvrzení je zřejmý, nebôt'konstantní polynomy jsou symetrické'. ]
Veta 2.2.: Necht"A ■ x\\*i '•■•x? )ě~ vedoucííHen symetrického polynomu /(x,, ...,xn). Pak platí: .    . k,>k2> ... > k
[Důkaz: provedeme sporem; nechť ,4 je vědoucí Čleň f a ňechfexistuje-in-jdex /, I <Kn-l, takový', le kt<t jfcjf"'. Vzhledem k tomu, žfe polynom / jé symetrický, musí obsahovat i clen B * je*1'xf^xf*1 ..ľi£*<* x,' ...x^'x*!','!;.x*". Potom však člen B je před členem A , což jé spor.)
Veta 2.3.:. Neclit'4 "x,1 .....x*" je clen o n proměnných. Pak existuje pouze ko-nečne'mnoha vedoucích clenu symetrických polynomů o n proměnných,'které jsou za členěni A .
| D ú k a z : nechť .v'1. ... v" je vedoucí člen nějakého symetrického polynomu o n proměnných, který je za členem A (při lexikograflckém uspořádáni členi" 6 //
- 87 -
proměnných). Pak musí platit:
1) existuje i, I sí<n tak, že: k, =.v......"£,., = *,., <:,>.*',
2) í, >,v, >... >*„ (podle V.2.2.)
Odtud vidíme, že musí jisté platil: jř < <c,, í = I, n , t. zn. vedoucích členů symetrických polynomů, které jsou za členem A je jisté méně héž (fc,+ 1 )",t. zn. konečné mnoho. ] ■■'':' * -"
Definice: Polynomy z R\x,.....xj tvaru:
U,(X,......V ) = X| + x3 +....+ xn -. .,
0,(X|......v, I =X| Xj + X(Xj + ... + X|X + XjXj + ... + ii
V*......x)= - \\-xi
o?(x,.....■V = X| •*» •••Jr«
nazýváme   clem e ni drn l, s y. m.e t-ric k e' poly n o m y,, .(.n. pron\innýx:.hi.
Poznámka: Je bezprostredné vidět, že výse.deťinované polynomy ak{x, i-íj^íj.) jsou skutečné symetrickými polynomy, S těmito polynomy jsme se setkali již dříve (při poněkud odlišném označení, což je vsak nepodstatné), ve V.7,5. kapitoly:'!., která udávala vztahy mezi kořeny a koeficienty polynomu /6if [xj . Mflzeme.tedy.-nci, že koeficienty polynomu jedné proměnné (nad K) jsou, aŽ na konstantní násobek, elementárními symetrickými polynomy jeho kořenů:
V dalším budeme řešit otázku, zda libovolný symetrický polynom /ert íx,, ..:,xj lze vyjádřit jako polynom v proměnných o, ,..... <i„ , resp. kolika způsoby. Vyčerpávající odpověď na tuto otázku dává následující víta.
Víta 2.4.: (Hlavní věta o symetrických polynomech.)
Každý symetrický polynom fix......x„)e/? fx......x„) lze vyjádřit jako polynom
n proměnných o......on nad R . f. zn.
fix,, ...,.v(l) = <p(u, , .... on) při čemž loto vyjádření je jednoznačne.
[Důkaz: I. existence; necht"/(x.......v,) je symetrický polynom nad R a
nechť
li)   ■. . .   . " 'l  X\ ...xH
je jeho vedoucí člen s koeficientem uBR.a^O. Podle V.2.2. jc: k, ť k2 <* ••• <* fc„ -
*ľ*5 *2*3
88
Uvažme polynom:
(3) ifl = "• °V Pak podle předchozího jsou všechny exponenty v (3) cela' nezáporná čísla a navíc po
dosazení z (l) je ^ symetrickým polynomem v proměnných x.....,.x (plyne z V.2.1,
neboťpakje     součinem symetrických polynomů proměnných x,, u.,x"). Napis'me nyní vedoucí Člen (i s koeficientem) polynomu yj,. Podle V.1.7. je to:
(4) a.x,    .(x,*,)     ....(x,x2....tn|)      ".(x, .Aj...x,) " = a.x, V-\"
Vidíme, že je roven (i co do koeficientu) vedoucímu členu polynomu /. Utvořme polynom:
(5) h -./-*
Pak /j je symetrickým polynomem v proměnných x,, ...,xn nad R , při čemž vedoucí člen ft stojí za vedoucím členem polynomu /, jak plyne z (2), (4) a (5). Dále, vy-jdeme-li z vedoucího členu polynomu f,, zkonstruujeme analogicky polynom \pt a označíme: /j = f,       . Pak vedoucí člen /j stojí za vedoucím Členem polynomu /; a platí:
Takto postupujeme dále, až obdržíme jT = o , což podle V.2.3. po konečném počtt) kroku musí nastat. Po dosazen! pak dostáváme:
což je hledané vyjádření.
II. jednoznačnost: důkaz jednoznačnosti hledaného vyjádření provedeme sporem. Nechť: f(x,.....x ) « v>(o,, ...,V) " ^(o,, .„,a ) , při íerňž
t. zn, polynomy ip a \j/ se liší alešpoňivjednom koeficientu u stejného členu. Označme: '*'
t(.o,,an) = <fi(ot,on)   i/v(o,.....on) .
Označ!me-li g(x,,.....rn) polynom získaný z r(o,.....an) substitucí(1),pak jé zřejmé g(x......r) = o . Podle předpokladu je t(o....., on) + o(o......an) , ť. zn.
alespoň jeden koeficient u některého členu polynomu t je nenulový. Nechť
(6) a.o, .Oj .— o,, . kde u ¥> 0
vystupuje v r(«,      o ). Po dosazení(I) do (6) dostáváme zřejmě symetrický polynom v proměnných v,......v  , jehož vedoucí člen nechťje:
(7)
Xi .X,  ... X..
Pipdle.V.IJ.jeyšak: ,      .... Myí-„ ■ <'x",'lxf...x" = xeilxfay^'tfffi.žxj
odkud po úpravě pravé strany dostáváme:
v, = í, + řj + ... + /,
. " Liá ■   - C.-«.eä*' • - <••••••
což jinak zapsáno dává:
(8)
ř, '»;vt-v,
-I       n-l n
':-^í,-ii-j>; it-* tti
Vidíme tedy,Že exponenty ./,,Jn .Sienu (6)lzejednoznaČníjZkonstruovat zcxpo-nentů v.....vedoucího členu (7). Tedy, různé Členy polynomu r(o, oB),uvažované jako symetrické polynomy v x,.....xn (t.zn.pp substituci (1 j) musí mít různě vedoucí členy (jinak totiž podle (8) z rovnosti vedoucích členů (7) plyne i rovnost původních členů (6)). «• *»" Uvalme nynívíechny,členy sncnulovými koeficienty pplyjiomu.,.;- . ,.každý,z^nlch
substitucí (i) převeďme na polynom v proměnných x......xr >. vezměme vždy vedou-
ěrčiéií tohoto pblynómuv Dostaneme täk'neprázdrtbu'rhnóžiriúnavzájem různých čle-;!lnfi?které uspořádáme lexikograficky. Vezmeme-11 ny.níy ťomtó'ušpoŕádáhŕvedoučí
člen, pak tento musí být před vůbec všemi cleny, které při substitucí (1 Yrio"r(ai, i,icn) ■ řdiostaňeme; při 'tom jehb' koeficient je zřejmé nenulový: Pak ale polýňomťříx,.'; ...,xn) ■'definbvähý yýse je hehiiíovy; což je spor. Musí tedytiýť v>(oi( i~i.i-q?>'- típiv^jo?), -•tjžfíívyjádření polynomu/'' 'v^tv»reípólynomu.,proměnn^ch'..»,j^>.);*B\'na4 Rwje,
X^táHl&mi&tií]'-''^' * í*'4**** ť-".<f-<2V?'Í&-    j ;, .1. -1  «      ii':J< Í!iU .».Svi.í:!iJ vjeeki S---'".\
• *     DSálédék: -Nechť-jrOr, A-í¥>("i>'i-raj)'jéWyjádřenísymetrickéhopolyno-fnii / 6Ä '[*;,xn ] ■ pomocí elementárních symetrických ipólynomů, Pak koeficienty polynomu ^ získáme z koeficientů polynomu/pomocí operací:sčítání:a odečítám
;;.<-„,-:W ;.•.,}<! ŕ»3j0 i 4 rtSiigŕ.   'j.i.'i   .   "■ '      ' •: í»iijv ...
[ D 5 k a'z : z první Části důkazu předchozí věty plyne, žepolynom^pniá za . koeficient přímo koeficient vedoucího Členu polynomu f . Pro,vedeme:li:Ve (3.) sub-stituci (l),pak pb rozepsání dostaneme poly.nomiVpromínnýchcXi i-U.x^ ,.jphpz
i
I
90 -
koeficienty jsou celými násobky koeficientu vedoucího Sienu polynomu f. Takáte z (5) piyrte.že koeficienty polynomu ft získáme z koěflcieťjfu; polynomu / pomocí sčítání a odečítání a totéí tedy platí pro koeficient polynomu ^ ..Podobní prapoly-nomy y)3, ...,.y> , t. zn. i pro polynom,<p . J
iPoznámka: důkaz první části předchozí vetý je konstruktivní, t. zn; lze jej aplikovat při konkrétním výpočtu, jak ukazuje následující příklad.
Příklad 2.2.: Symetrický polynom /(x,, xa, x3) - x?xa + x?x3 + x\xx + xjx3 + + x$xt + x^x, 6 O [x, ,.va ,x3 1 vyjádřete pomocí elementárních symetrických polynomu. (..
ReŠení;
Vl " l.Q|',-W'"'ľ? " ?l»ľj* (X| t    + JřjXJti JI, t X, Jí, + *,*,.)•• ' ,.!.v, , fe x?*, + x?x, + xjx, + xfx, + *?x, + VíSri + ^.'.rji/j ' -'*
V".■:'.■>•. ■■ . í   i:     t  ÍIS V    .     .    ,.   j        ., 'I \ , "i   •:•     ů! .:,ft!1 :j««»./.
„:.,,v,-.        ,«> = 'M ffjftSfcft* .<»< . fcS:.«, : > ?é bll.fe:
•Pak:.        /» */! "V*      • .ttefcí Aí»Sí d9ä«fewá^
á;:ťedý;vysiedné*y^ !.loí.**.j.f;|; unifäp* -   .i.  . . , j. .;(■';:     <u:;;;'j í .ŕtť.-> ŕrs<n r, i SHtWíS-it i (■ WlilwJfíí -íJS íS.ZipříJ<laduJe/vidě^ 3tupn|pplynomu,,/;^
stup velmi pracný. Odvodíme proto nyní jidou metodu, která při praktickém výpočtu i  bude jednodušší.       •.. .*.3 m, ..     ,,    wá< -vWJv !*V« >vd hi-m •xt-n-Aem »•&
Zjdfikazuihifivní věty je vidžt yžečlenyJUpdanéhp,^^ . jadřovány pomocívedoucfch.čionu symetrických rplynomú      , .,:,{r\ - 1'n.tom vedoucí členy polynomů ft, ...,jJ.pjsou,za, vedoucím čte^
kove'Členy riiuzeme víak lehce vypsat a z p^oupňosttjfjlch.e^pbnerji&^{i>^n^^i|ych
x,; .....r můžeme Ihned psát jim odpovídající členy hledaného polynomu <p(n.....on).
koeficienty takloinalezéných Člen.fljspu jistéVprvky i R , -které' zjistíme Tpstúpnýni dokazováními kphkretníchihodnpt (z télesai/f )>ap ramenné,,^ ,!:.*, x . Ljlyétjén^ ríútoda •se proto nizfa&ímetoda neurčitých koeficientmi,*, y,é,1   í ■ ii      v !';c«i2««í>jq
Je-ll /(.v,......v) navíc homogenním polynomem stupní     pak polynomy
fx,...,fr. musí být též homogenníi stupně * a tedy 1 jejich vedoucí členy jsou stupne k   Stáčí tedy vtomto případě vypisovat pouze vedoucí členy.stupne k,.,;   , . ;; 1 NehtMipólyriom /(.v,, .t-v;) homogenní, paki je zřejmé .výhPdnéiřozdSllt jej,na homogenní části navzájem různých stupňů a pro každou část provést jyýppqet^vlás't.
91 -
Shrneme-li to, co jsme právě řekli, dostáváme praktický návod k vyjádření symetrického polynomu /(.«-,,xn) pomocí elem. sym. polynomů o,, .. , on : I; Polynom / rozdělíme na homogenní Části různých stupňů a pro každou z nich
řešíme zvlášť.
2. Napíšeme posloupnosti exponentů vedoucího členu A polynomu / a všech vedoucích členů symetrických polynomů daného stupně, stojících za A .
3. Ke kai'dé posloupnosti exponentu vypíšeme odpovídající člen v proměnných o....., on (viz (3) v důkazu V.2.4.).
4. Hledané vyjádření je lineární kombinací členů z 3., při čemž koeficient u.prvniho z nich je roven koeficientu členu A a ostatní koeficienty zjistíme postupným,dosazováním vhodných hodnot (zR)z».xx, ...,x . •'■ ,   . •,.
5. Sečtením nalezených vyjádření pro jednotlivé homogenní části dostaneme řešení.
Příklad 2.3.: Symetrický polynom /(jr,, x, ,x3) = (jej + x\ )(x? + x} )(xl,+ x3J) + + (x, + x2 )(x, + x3 )(.Xj + x,) 6 R[xx, xi, x, ] vyjádřete pomocí elem. symetrických polynomů.
Řešení: polynom / rozdělíme na dvé homogenní časti: /=g + /i, kde: a) g (x,, x, , x,) = (x? + x\ )(x/ + x} )(x| + XÍ) = x?. xj f......
4 2   O o\ol
4 11=» ofa3
3 3   0   -» o$
3 2    1    •» 0|Oja3
g = of aj2 +/l.a|3a3 + fl.o,3 + C.c^OjOj + D.oJ
2 2
(I, 1, 0) o, =0, a, = -1, o3= 0,«=   2=»    2=-Ä ,lzn.z7 = -2
( 2, 1,-1) ■» o, =0, o, = -3, o3= 2,g= 50=»  50 = -2.(-27)+4^ ,fzn.£l = -l
(-1, 2,  2) -» a, = 3, o,= 0, u3 = -4,^ = 200 =► 200 =/l.(27).(-4)-16, tzn./l, = -2
'    (-1, I,   I) -» r;, = 1, o, = -l, o,= -l,í=   8*    8 = 1+2+2+C-l ,tzn.C=4
Tedy: g = o, o,1   2«' u,   2oi + 4o, u, o, - of b) /i(x,,Xj,x3) = (X| +x2)(x, +.vj)(.vj +Xj)=.v,JXj + ....
2 1 1 I
0 -t o. o, ^
>   h = o,o2 + tfa3
1 "* ' "3 )
(1,1,1) - a, =3, a, = 3,o;, = I. h = 8 - 8 = ')+ K , tzn. /ŕ =-1 Tedy: // = o, o2 c,
-   102 -
Dodatek
ALGEBRAICKÉ ROVNICE
§ 1 : ALGEBRAICKÉ RESENl'ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
Problém řešení rovnic je jedním z nejstarších a při tom nejdůležitějších matematických problémů vůbec,.který rovněž souvisíš teorií polynomů. Poznamenejme ,*Že všechny úvahy v te'to kapitole budeme provádět nad polem, K komplexních čísel, ne-bude-li výslovní řečeno jinak. Dále, na rozdíl od předchozích kapitol bude podaný výklad tentokrát pouze stručným přehledem, při čemž důkladný rozbor lze najít např. v [6] nebo [8].
Jc-Ii f(x) = anx" + ällAxn,+ ... + a0 polynom s komplexními koeficienty, stupně n > 1 , pak rovnici
(1) ..      ' Ax) = O -'--.r. ■■:
budeme nazývat algebraickou rovnicí (n-te'ho stupně, o jedné neznámé). Při tom (1) bude vyjadřovat příkaz vyhledat všechny (obecně komplexní) kořený pólýriornú f(x), ktére' budeme^■tél/nažývatikpřeny nebo Mení rovnice. (\), Je vidět, že polynom f(x) v(l) lze v tomto případě, bez újmy na obecnosti, předpokládat v normovaném tvaru.
Poznámka: je důležitá si uvědomit, že zápis (I) neznamená tentokrát rovnost dvou polynomů (totiž polynomu / a nulového polynomu). Dále připomeňme, že kromě algebraických rovnic existujíi nealgebraicke rovnice, tj. rovnice tvaru (1), kde vlak f(x) není polynom, nýbrž nějaká jiná komplexní funkce. Takovými rovnicemi se zde nebudeme zabývat.
Příklad lil,j Rovnice
(2) 1=0
je algebraickou rovnicí, jejímiž kořeny, jak známo, jsou právě všechny n-ií odmocniny z jedné, t.j. čísla: cos^r + /sin^^ , k = 0,1,/i-l . V dalším budeme pro jednu z těchto hodnot používat pevného označení, a sice:
en = cos —■ + i sin ^ .
Při tomto označení pak zřejmě všechny kořeny rovnice (2) jsou: I ,.e , e1,    e"'1.
103
V dalším nyní naznačíme metody řešení pro několiknejjedrioduŠiiich, resp. specielních typů algebraických rovnic.
(a) Kvadratická'rovnice ■(*. . >■       -•■.<'. ■ .»•* 1&*
t.j. rovhlčetväru x'+px * q = f) (kde p, tj jsOu obecne komplexní čísla!) séďä přepsat do tvaru:;>(x + <^f - (^- q) - O , odkud ihned dostáváme její kořeny':1 :' ' ' '
r%~ q znamená libovolnou (ale pevnou) z obouidruhýchodmocnin z kom^.,., "» y/     „i ' '
plexnflio čísla ^-  q . Připomeňme, že druh kořenů kvadratické rovnice záleží na
hodnotě diskriminantu D polynomu na levé straně (viz § 3,,kapw III.), Má:li kyadra-
tickaro.vnice navíc reálné koeficienty,•pak,při DS> O, má pouze reálné kořeny, resp,
při D<0 pouze nereálné (imaginární) kořeny.
(b) Kubická rov/iice
(3) — ŕ- >J       z3 +0Z1 + bz + c--' O '■     ' . se jednoduchou substitucí:
(4) z=*~f
převede na jednodušší rovnici (samozřejmí ovšem rovněž kubickou) tvaru:
(5) 'x3+px + q = Ó     ' ' ' ',J!v' '• ■'■ • Stačí nyní najít všechny kořeny rovnice (5), neboťpak užitím (4) určíme všechny kořeny původní rovnice (3). Po několika úpravách dostáváme nakonec tento výsledek: necht" K = y^J- +     .značí jednu (pevnou).z obou hodnot napsaného symbolu; nechťdále u značí libovolnou (pevnou) ze tří třetích odmocnin l/ ■ | + K 'a koneč-
ně v značí tu z třetích odmocnin j/ - 5 - K , která splňuje vztah: 3m> = ~/>, tom kořeny rovnice (5) jsou:
Po-
(6)
t, =u + ľ;   jt, = e3. u + ej. v ;  x3 = ej .u + e3.v
2rr
2tí .
kde e3 = cos -y + i sin -y = ^
I . 1
+ k 'V^,  Vzorce (6), pomocí nichž můžeme-alge-
braicky explicitně najít kořeny kubické rovnice, se nazývají -Cardanovy vzotct!?M,ji O druhu kořenů rovnice (5) lze opít rozhodnout podle hodnoty diskriminantu D polynomu na levé straně (5), přičemž D. - ■ 4/>3- llql. Jak plyne z příkladu 3.3, kap. III.Podle V.3.4..kap. III. jsou kořeny navzájem různé právě když D±Jř:0,t :
3162
-  104 -
. pbzylášf dOležitý je případ, kdy koeficienty kubické rovnice (5) jsou reálná čísla. Potom při D <0 dostáváme (rozborem Cardanových vzorců), že jeden kořen (5) je reálný a zbývající dva jsou imaginární (a to komplexné sdružené, vzhledem k V.7.6., kap. 11.). Je-li D > O , pak jsou všechny tři kořeny rovnice (5) reálné a rtjzné, Carda-novy .vzorce vlak tytoreálné kořeny vyjadřuj! ve tvaru součtu třetích pdrnocnln z komplexních čísel, což je v praxi nepříjemné. Dokonce lze ukázat, že žádnou metodou užívající pouze základních aritmetických operací (t. j. + ,-,.,: ) a tvoření aritmetických (reálných) odmocnin nelze v tomto případe vyjádřit kořeny rovnice (5) pomocí jejích koeflcíentfl. Tento problém je však možno řešit poměrně jednoduše pomocí goniometrických funkcí.       ->••/.•' > ;
(c)-Rovnice čtvrtého stupně'   ' ' -. '■        '?''
(7)- :; - • " ■    x* + áx3 + bx2 +''čx + o* "' O   '" 1 '• '
se da' opět řešit celou řadou algebraických metod. Například, označ!me-íl x\, x,, x3, x* kořeny rovnice (7) a uvážíme polynom g[x) tvaru:
g{x) = (x -(x, + Jf,)J.(x-Ui + x1)).(x-(x, + x,)).{x~(xi + x,)).(x-(,xI+x,)).(x-(x3+x,)) pak koeficienty polynomu g{x) jsou zřejmé symetrickými polynomy koíeriů rovnice
(7) . Substitucí ' tt'"'" ■'"
(8) x = t -1 ^
přejde polynom g(x) v polynom FV)mgíf-§) , který obsahuje pouze sudá mocniny proinínné /. Položíme:ll: t2 = u , dostáváme pak kubickou rovnici o neznámé u. Tuto umíme iešit a z jejich tří kořenu «,,«,, it3 obdržíme 6 kořenu f bvrilcě fjjff&v , a sice ±-ju, ■', ±\/5^ , *v^3.< odkud pomocí (8) dostaneme 6 kořenu: a,,c<2 , .'.;ó4 rovnice g(x) - O . Nakonec, pró náležení kořeníí původní rovnice (1) stačí řešit teřitb jednoduchý systémróvřiic: " " " " '"! *% '""*'"' *,+jr, =a, , *, + jt3=a2 , *, + x4 = oíj ,'x, + *,«o« , xt+X4*ctj', x34xi' = at z něhož již snadno vypočítáme x,, x,, x3. x4 .
»(d) Binomickárovnice t\ 1
je algebraická rovnice tvaru; -   .  , .■■ ■ . .-. .lij.. .,•/.,;„,.„
(9) ••• ••- :' ■ x"-u = O . i . kde a*=0 je pevná komplexní číslo. Prípad a- 1 jsme rozebrali v příkladu LI ■ Obecně, označíme-ll libovolnou (ale! pevnou) z H-tých odmocnin z komplexního čísla a symbolem y/a , pak všechny kořeny rovnice (9) jsou: 1/ä , enX/S, e'.\fa~, .■> f"'Vä >
1k
- 105
kde e = cos     + / sin — , jak bylo zavedeno výše.
(e) Reciproká rovnice Rovnici tvaru: anx" + + ••• + d\X + a0 = O nazýváme reciprokou rovnicí
1. druhu (resp. 2. druhu), jestliže platí: a^ = a0 , ani=a{ ,. «« = a,., ........(resp.
a„ =  "o > "„'., " -0| , aM.} = - a, , .....). . , :
Zřejmě, má-li reciproká rovnice (ať 1. nebo 2. druhu) kořen c , pak má take'kořen ~ . Dále, reciproká rovnice 1, druhu, lichého stupně, má vždy kořen, c = ■-la po jejím vydělení kořenovým Činitelem (x+1) obdržíme reciprokou rovnici 1. druhu, sudého stupně. Podobně, reciproká rovnice 2. druhu má vždy kořen Ci,= ;l.a po vydělení činitelem (x-1) obdržíme reciprokou rovnici 1. druhu. Z těchto úvah vyplývá', že při studiu reciprokých rovnic se stačí omezit pouze na reciproké rovnice 1. druhu a sudého Stupně, ňapř. 2m . Řešení takové rovnice lze však jednoduchou substitucí převést na řešení algebraické rovnice polovičního, t.j. m-tého stupně a řešení m kvadratických rovnic.
Výše jsme ukázali, jak lze explicitně vyjádřit kořeny algebraické rovnice, z jejích koeflcíentfl 'algebraickými' metodami (t. j. metodami, užívajícími v konečném počtu Čtyř základních aritmetických operací a tvoření odmocnin) pro rovnice až do,4. stupně, Problém najít 'algebraické' řešení rovnice 5. stupně se stal po objevu řešení rovnic 3. a 4. stupně v XVI. století jedním.z ústředních matematických problémů. V letech 1700-1701 francouzský matematik Lagrange podal obecnou metodu jak vyjádřit kořeny algebraickérovnice metodou symetrických funkcí pomocí kořenů jiných algebraických rovnic, které'nazýváme resolyentami, Ukazuje se, že resolventy rovnic 3. a 4. stupně jsou p jedničku menšího stupně než daná rovnice, zatímco resolventa rovnice 5. stupně má stupen 6. Nesčetné pokusy o obecné 'algebraické' řešení rovřiic stupně pátého,a vyšších selhávaly a vedly nakonec k opačným pokusům, dokázat nemožnost nalezení takové metody. Správnost druhé'domněnky potvrdil norský matematik H. Abel ve dvacátých letech minulého století. Tím ovšem není řečeno, že by nebylo možno některá speciální typy algebraických rovnic vyšších stupňů řešiťalgebraic-kými' metodami. Ucelenou odpověď na otázky tohoto druhu podal francouzský matematik E.Gaiois (1811-1832). Z teorie po něm nazvané plyne, že pro každé' n > 5 existuje algebraická rovnice stupně n , která není řešitelná'algebraickými'metodami.
- 106 -
5 2: n um BRIťKlí ř KSBNl' ALCíEBRAICKÝcH ROV Niť.
V předchozím paragrafu jsme poukázali na nemožnost obecné 'algebraicky' řešit algebraické rovnice stupně n > S . Ale i metody a vzorce pro r'ejení algebraických rovnic stupne menšího než 5 mají význam spíše teoretický než praktický: Proto je nutné hledat jino zpiísoby vypočtu kořenil algebraických rovnic. Při těchto líváhách, které většinou přesahují rámec základního kurzu algebry, je obvykle nutné použiti aparátu a metod matematické'analýzy. ■■:•.'..-••<:■..
Vdalšíin alespoň schematicky naznačíme postup získání (přibližných) hodnot reálných kořenů algebraické rovnice s reálnými koeficienty, t.j. rovnice:' . i .
(1) a, .v" + «„.,a"'1 + ... + a, x + a„ = (j ,     a,ěR .
což je sice specielní, ovsem v praxi nejčastější případ. Postup .sestava' ze tří kroků:
a| ohruničenikořenů
b) .separace kořenu
c) aproximace k.ořenů.
OHraničěnírri kořenu se rozumí nalezení intervalu na reálné ose, v němž leží všechny reálné kořeny dané rovnice (1). Lze například ukázať; že reálné kořeny rovnice (1) leží v intervalu  < - (I + -~ ) , (1 +        ) > , kde M = max {I fl0 I, ..i.l a,;., I }. Podobných odhadů existuje celá řada. Separace kořenů znamená nalezeníintervalů na reálné ose, z nichž každý obsahuje právě jederl reálný kořen rovnice (1). Obecné metody pro separaci kořenů bývají dosti těžkopádhéíá praéhé. Někdy vystačíme š pouhým horním odhadem počtu.kořénň, který může dokonce vést i k přesným výsledkům, spo-jíme-li jej s do|ním odhadem počtu kořenů. Poslední odhad lže nejjednodušeji provést pouhým sledovaním znaménkových Změn hodnot polynomu ha levé straně (I) v libovolné konečné posloupnosti bodů. Konečně, jestliže jsme nalezli interval obsahující právějedén kořen rovnice (I), který označíme např. v0 , pak provádíme aproximaci tohoto kořene s jistou předem danou přesností. Znamená to Zkonstruovat dvéposloup-nosti reálnych čísel: v    -     •,. ..,',•:.>
c, S c2 <.... <c «S .... <.v„ <.....< c/(i < ....<;</, <</, , ' :" obě konvergující k hodnotě .v„ . Existuje opět celá řada t. zv. přibližných metod, které umožňují aproximovat hledaný kořen s libovolnou přesností.
Všechny numerické metody řešení algebraických rovnic získaly na významu v poslední dobé především možností využití moderní výpočetní techniky.
02