§ 4 . REÁLNA CISLA
4.1. Definice : Označme E množinu váech mezer a dedekíndovských fezů 1 .druhu v mne žiné R racionálních čísel Množinu E nazývame množinou reálných čísel, prvk množiny E se nazývají reáíjia. čísla.
Je-li dedekindoyský, nazveme jej racignáln^J^iem , je-li mezerou, -hází-
me jej iracionálním řezem .
\ Po zumjc aj  Je-li tedy ä - jyllřy42J   libovolné reálne číslo, neobsahuje horní tŕída A 2  tohoto řezu nejmenši prvek .
>. ;B4i2. VfaJ   Definujme relaci .< na množine E takto:   Pro a=[AiiA2] ,b-[EuB2] piati a <z h pravé tehdy, když je A± £ $i . /teÄ: /g. < iip/?2<s uspořádáni na
■  množine E.     ' ____....................-^.-«.í-..-._,, .^_v__,,:
Dôkaz:   zřejmý . ".
. 4.3« Definice :   Označme R* množinu všech kladných racionálních .čísel. Pak je
[R -R+ , R*] .reálné, óíslo, které označíme symbolem 0 a nazývame je (reálnou) nulou. .
Reálně éislo a se nazýva kladné , je-li a > 0  a záporné , je-li. a <0 .
Značíme tedy stejným symbolem nulu v množině racionálních čísel i nulu v množině reálných čísel. Z kontextu však bude vždy zřejmé, o kterou nulu jde. Později tato dvé óísía opŠi ztotožníme. (Je zřejmé, že 0 e E je racionálni řez) . -
4.4. Veta V Buďte a - {AiAil ,b ~     J?2 ] libovolná reálnačisla. Položme
D-ô k a z :   Potřebujeme zřejmě dokázat že (1)   C2 * p , C2 * i? , (2)   C2 je konec v R■, (3)   C2 neobsahuje nejmensí prvek .
(1)   Buďte a e A2 , p e B2 libovolné .■ (Protože jsou a,b řezy v R , je .   ."'   ^" * 0 4= #3   -a tedy takové prvky existuji). Pak je a + jS.e C2 , takže C2 * 0 . Jsou-li i e 4 L- * Í € Bi  libovolné (takové prvky ze stejného důvodu také existují) , Je. £<■« pro"každé aeA2 pro "každé /? e B2 , takže < 7 pro každé 7 e C2  a tedy C2 * R .
(2) Tvrzení, že C2 je konec v R je zřejmé, neboť A2,B2 jsou konce v R .
(3) Bud* y e C2 libovolný .Pak existuji a e A2 , $ e B2 tak, že 7 ~ á ':-f Prvek a aíe není nejmenší v A:2  a 0 není nejmenší v B2 , takže, existují prvky
oíi e A2 , &i £ B2 , «1 < a , /3, < # . Pak je 7, = ctx +      < 7 , 7, e C2, takfe ani 7 není nejmenší prvek v C2 . ':; Věta je tím dokázána. ■ ,
Nyní můžeme definovat-sfcitání reálných čísel takto :
••' Definice :   Buďte a - {AUA%], b = [BitB2] libovolná reálna čísla. Položme
C2 * \^a + §\aeA2 ,ýe BA , Cx - R - C2. Pak klademe a + b :■= [Cl}C2] .
Následující tvrzeni je zřejmé :
1 jfffi. Vftjj$   Bučíte a,b,c libovolná, reálná čísla. Pak platí : l  ■       (a)   a + b =■ b + a (komutativní zákon)
(b)  a.+. (b + c) - (a + b) + c. (asociativnízákon)
K důkazu monotónnosti sčítáni reálných čišel-potřebujeme následující tvrzení :
-4.7» Vftta.^  Buď a = [AltA2] libovolné reálné číslo , 7 buď libovolné kladné racionální ■
■ číslo. Rak existují čísla &^Á \,, 0 tak,_íe fi. — a - 7._______ _ ......___
Dôkaz:   Zvolme a0 e .4I} ft0 e A-2 libovolné. Pak je (3Q - a0 > 0. Protože je 7 > <9 , existuje takové přirozené číslo n , že ny> 0O — a0 , takže a0 + ny > |30 . Pak ale «0 , ce0 + j<;3 o>0 + 2y ,    , aQ + ?*7 je konečná posloupnost ra-cionálních čísel taková, že aG e ,4j , aQ -f «7 e A2 . Bud" 0< K n - 1 nejvôtsi celé číslo takové, že a0 f    e At . Pak je olq--+ (l + l)y e A2 , takže k'dokončení důkazu stačí položit a - <xQ '+ ty , j3 - «0 -ŕ- (7 + l)y .
? 4.8/Věta 1  -^Mfiř?e libovolná reálná čisla. Je-li a <b , je a + c < b + c . ;
d u.k a z ;   Nechť a = [^i.-^23 » b•= í^i^2] ; c - [Čf.Cj] . J.e-li 0 < ä , je C B{ , takže £2 C yí2. Označme a + 'c- [DUD2 ], b + c[#/j^ ] ,
Potŕebujeme tedy dokázat, že      C E{, tj. E2 C D2 •
Je zřejmé, že £3 c/)2 . Podle předpokladu je B2 C A2 , takže existuje e ^42 - jB2 , tj. a* e     , Protože yšak J2 nemá nejmenší prvek, existuje a2 e A2 , -a2 < o:,. Protože je i?s  začátek v i? , je ct2 e Bx . Nyní platí a{ - a2 > 0 , takže podle vety 4,7. existují prvky 7j £•     ,'■ y2 e C2 takové, že a, — a2 = y2 — yl , tj. a, .-f yt = a2 -h y2 . Platí však a2 + j2 e D2 ; pro libovolné % e E2 je nyní £ = j3 + 7.V kde (3 e B2 , y e C2 , j3 >     , 7 >7X . Je tedy £ - 0 + 7 > «i + 7i = «2 + I2 , takže c?2 + 72 £ ii2 . Tím je věta dokázána,
_ 4*9.'Věta ;  Buďte a, b e E libovolná reálná: cisla. Pak existuje právě jedno reálné číslo x
............_____takové, ze a_+ x ~b ,, _. ........ ...,..„ ...... ,.—.....
Důkaz:   Zřejmě stačí položit x = [Xľ ,X2 ]   kde X2 = f $ — a f 0 e B2 , ueA3}t Xx =R -X2 .
_j4,10. Definice ;   Budvte a.b libovolná reálná.čísla. Řešení rovnice a + x = b značíme symbole b :—a a nazýváme, je rozdílem, čísel b,a (v tomto pořadí) . Cislo 0 — a značíme stručně —a .a nazýváme je číslem opačným, k číslu a .
Je zřejmé, ze pro rozdíl dvou reálných čísel je snadné odvodit všechny běžné vlastnosti. Evidentní je rovněž fakt, ze. cislo a j'e kladné (tj. a>.0) právě, tehdy, když cislo -a je,' záporné, (.tj. —a < 0).; -(—a) = a apod.
../Analogicky jako součet se definuje i součin reálných čísel. Především platí :
4.11. Věta :   Buďte a = [AlfÄ2] , b * [Bl,B2] libovolná reálná cisla. Položme
.    C2 =Ía.p\aeA2 , č e J?2 ] > ci ~ R ~ ci - Pak fe [Cy,C2) reálne číslo. Důkaz:   Zcela analogicky, jako důkaz vety 4.4.
Nyní je oprávněná následující definice :
4/12. Definice :; Buďte a =.[AltA2] , b = [Bi,B2'] libovolná reálná čísla. Utvořme [CVA3-jáko ve větě . 4.11. Pak definujeme ' .
'       a.b: « [CUC2] . . "• ,     . .     (-a) . b = a .(-b).: « - (a . b)
( h> ■ = a   b ■
Důkaz následujícího tvrzení je zřejmý.
r ,4.13, Věta 'i   Bucťte'a.b,e libovolná reálná čísla. Pak platí :
r- (1)   a . b = b . a . (komutativní zákon) i
\ (2)   a . (b , c) = (ar. b) . c (asociativní zákon) I
! •        ' • . i
i. (3)   a . (b + c) = a . b -f a . c (distributivní zákon) !
f . ■
(4)   a . b' - 0 práve tehdy, kdy z a       nebo b = 0 .
jJA^Věta^j Buďte a,b e E' , a- ť 0 , libovolná reálná cisla. Pak existuje právě^jedno reálné
í^».*í^~*^^^M9.~.x^.í{^P.Y§-i.M ..&jJL 5A.- . ml;úi»i.mllriři»li.:ri  ,-„•,>„,"„„''; ,■,(,„■■ vŤV'm„;, ^-ÍVf,^nTff,.^..l. _ . c|D ů k a z.:   Je-li 6 -0 , je podle věty .4.13. jediným řešením rovnice a . x ^b číslo Nechť tedy Z? * 0 . Předpokládejme například, že a >0 , b> 0 ,
a = [AUA2 },b = [BltB$í : Položme X2 =|| | ■ j3 e 52 , a e ,42 j , Xx » i? - X2 . Důkaz toho, žé číslo * = [XlřX2] je hledané číslo, je zřejmý.
Je-li některé z čísel a,b záporné, je důkaz zcela analogický.
Nyní je již zřejmé, jakým způsobem lze vybudovat aritmetiku reálných čísel. Nyní dokážeme některá tvrzení, týkající se struktury uspořádáni na E . •
: 4.15. Věta í   Buď ó ^ M c. E libovolná množina reálných čísel. Pák platí : J[l)   /e-fí M zdola ohraničená, existuje inf^M (2)   Jie-/z M shora.ohraničená, existuje sup M .
Dôkaz-.   (1)   Nechť M je zdola ohraničená. Poněvadž je E podle věty 2.4. řetězec, štaci zřejmě dokázat,'(viz definici L, 7.1.) , že existuje taková dolní, závora a množiny M . že ke každému x e E, x > a   existuje prvek y e M , y''<x v Pak.-hude a = ínf.M . .
Položme A2 = Sa j. a e Ŕ, existuje {Xx ,X2 ] e M tak, že a e X2^   ,AX =R - A . Dokážeme, že a = [Ax ,A2 ] :- infE M .. - .' '
(a)   Nejprve dokážeme, že [A!^423 ie reálné číslo, tj. A2 *4., A2A R , A2 je konec v R a A2 neobsahuje nejmenší prvek."
Protože je M * <j> , je.i X2 * 0 9 neboť existuje. [X1(X2] e M , X2. +.0' -
Podle předpokladu je M zdola ohraničená, takže existuje       ITi,^] é£ tak, .že 7 <x pro každé jc e M . Pak ale pro libovolný prvek £ e ľ", ;e § f A2., takže       * R .
Buď nynl á e A2  libovolný prvek a volme £ e K , ř é* a uoovoine. rroioze existuje [X, ,X2]   e M tak, že oč e yY2 a Jř"2  je konec v R. , je nutně  f e X2   a tedy i | e .42 . -Je.tedy A2  konec v R .
Bud4'nyní d. e A2  libovolný. Je a e X2 pro vhodný prvek [Xl,X2\ e Ař . Protože však X2  neobsahuje nejmenší prvek, existuje j3 e Z2 , j3 < a . Pak je ale /3 e ^42-a .4 2 tedy rovněž neobsahuje nejmenší prvek. • </./;
Je tedy a = [^4,ľ^42] e E .
(b)   Nyní-dokážeme, že a = infM .
Baď x - [Xi ,X2 J e M libovolný prvek. Je-lí £ el,  libovolný, je £ e A2 , takže X2 c a42': Pak ale J4"j c Xj a tedy a < jc■ . To tedy znamená, že íí je doiní závora-množiny M .
.Buďnýní x =■ [XUX2] e E., x > a libovolný, prvek. Pak je Ax C %\ , takže existuje a e Xx — A i , tj, a e A2.. Fodle definice množiny ^42- existuje ý = [JVKa] e.Af ■ takový, že a e ľ2 . Pak je ale ľ} Clj , takže y <x .
Je tedy a - infM . ; ■
(2)   Buď' M shora ohraničená. Množina M* všech horních závor množiny M je tedy neprázdna a je zdola ohraničená, neboť každý prvek z M ■ je její domí zá-' vorou (a podle predpokladu je M 4= é) . Existuje tedy inf^M+  podle (1) . Nyní je ale zřejmě supEM = infEM+ . (Srovnej s důkazem věty L, 7.17:) .. '
:l4.í6f-.Véta 'f   Uspořádaná množina reálných čísel jespojitá \ (Viz definici L, 6.13.)
D u. k a z :   Je zřejmé, že .množina 'j? je hustá,, tj. neobsahuje skoky. Z vety 4.15. ale plyne, že i? neobsahuje ani mezery; je tedy každý řez v E dedekindovský.
Z vety 4.16. také plyne, že pomoci řezů v množine všech reálnych Čísel nelze definovat nové prvky. .
V záveru tohoto paragrafu musíme opět odstranit stejnou nesrovnalost jako v §§ 253 . Podle naší definice totiž racionální cisia nejsou zvláštním případem čísel reálných. Podle následujícího tvrzení, jehož důkaz je zřejmý, však môžeme racionálni čísla ztotožnit s racionálními řezy.  ' •        •• - ' -
i
4,i7. Věta :   Označme £(r) množinu všech racionálních řezů. Pro libovolné racionální číslo a. označme R.a : = •[ | | % eR , | < a ]  . Pfl* /fi [£-a , R - Äa] e £(r) a zobrazení f : R    j&"(r) definované takto :
: ■ /(a:) = |7?a , R -        pro každé a e R , •
_    ;e isomorfismus vzhledem k uspořádáni < i vzhledem k operacím + a •>
Jinou možnost konstrukce reálných čísel pomocí čísel racionálních viz v MP , § 9 .
v.
§ -5 . ČÍSLA KOMPLEXNÍ .
6.1. Definice :   Budv £ množina reálných ciseJ. Množinu ZT2 označme Ä" a nazveme ji
fflUpžtnQtf kgtnp!<i^ÍGfccís?l. prvky množiny ^ se nazývají komplexní čísla.
6.2. Definice :   Bučíte x = [a.b] , v - [e,d] komplexní čísla. Pak klademe
x ŕ y ; - [a + c , b + d]
x . y :■ - [ac — bd , ad + bc] .
6.3. Veíä.i   Buďte x,y,z libovolná komplexní cisla. Pak platí:
(1) x f y - y + x . (komutativní zákon pro sčítáni)
(2) x + (y + z) = (x + y) * z (asociatívni zákon pro sčítáni)
(3) x . y = y . x (komutativní zákon pro. násobeni)
(4) x.. (y . z) = (x . y) . z .    (asociativní zákon pro násobení)
(5) x . (y + z) -■ x . y + x . z (distributivní zákon) \ ■
Dôkaz:   je jednoduchý, přenecháme jéj čtenáři.
.ÄéJMpMJi' Označme u : = [1,0] , n : = [0,0] . Pak pro libovolné komplexní číslo x piati
(1) x -f- n — x
(2) x . n = n
(3V x .u - x ^..............
D ú k a z :   Tvrzení plynou bezprostředně z definice. Evidentní je rovněž důkaz následujícího tvrzeni : .
6S. Věta :   Buďte a.b libovolná komplexní čísla. Pak existuje práve jedno komplexní číslo x takové, ze a+.x-b. ......
Dokaž:   Nechť <? =[alta2]fb '*ibt.bt] /Položme x-lbí-- a{ . b2~ a2 ];. pak. je a + .v = [a, * 6, - *-*a ~        [?i'aj = £ • Že je řešení rov
nice a -f .x-'*ä .6 určeno jednoznačné., je evidentní . .
6.6, Definice :   Buďte a.b libovolná komplexní čísla. Jednoznačné určené řešení rovnice
- 156
a ■+. x = b značíme symbolem b — a a nazýváme je rozdílem čísel b,a . Číslo n — a značíme stručni symbolem —a .
Následující tvrzení je zřejmé :
|| 6.7. Věta :   Pro libovolná dve komplexní čísla x,y platí :
i (a)   x ■— x - n
Í--sv.J
fa- i-
_(bj____■ y = x • i-y) = -(x . y j - (-u) . (x . y) . !!
j- 6.8. Definice :   Buď x = [xltx2] e K . Absolutní hodnotou čísla x nazývame (reálné) číslo
t-
:ä . *:.'■
r
p
I.
Je zrejmé, že platí :
| 6.9. Věta í  /Vo libovolná komplexní čísla x,y platí : (a)   1*1 > 0  pro každé x i n , \n[ - 0
f: 6.10. Veta :   Buée x,y libovolná dve komplexní čísla. Pak je x . y = n právě tehdy, když -     . x = n nebo y
D u k a z :   L   Je4i x . y =n , je M . M = I* . J>| ~ N = 0 ■ Protože |x| , |v| jsou reálna čísla, je |jc| = 0 nebo \y\ = 0 , takže podle věty 6.9. je * - n nebo y = n . ■
II.   Je-li x = n nebo y = n , je x . y - n podle definice 6.2.
? 6.1í. Věta :   Budfte x,y e K , x4 n , libovolná komplexní čísla. Pak existuje pravé jedno
komplexní číslo z takové, že x^zj^^
...... ' a —o
Důkaz:   Nechť x =.        ( y * M] . Položme z « [c.cř]. Ljrjrjl ' ^TJJi^^
ac bd -cb ad
= ta2 í ô2  'hairirbi   ' a2 + b2  * a2 + b1
ac + bd    ad — bc = t2 + b2 ' a2 -f- b* •
a2 c + abď - abd + b2 c     a1d - obe + abc + b2d • ■
Pak je *.,* = [---■■   "j.hZ   • . --:-2~I~h2~----Í = M] = J;' '
- X.J i -
Buďte nyní v,w libovolná taková komplexní čísla, že x , v = xw = .y .Pak je podle věty 6.7. xv - xw - x (v - w) = n . Podle vety 6.10. je tedy x - n nebo v — w - n . Podle předpokladu však je x. t « , takže je nutně v — w - n ,'tj. v = w .
Tím je věta dokázána. .
6.12. Definice ;   Buďte x,y e K, x 4= n , libovolná komplexní čísla; Jednoznačne určené ŕe^
šení rovnice x . z = y -značíme symbolem — a nazýváme je podílem čísel'
- ■ «/v
'm;    •      - . .....    • ... .............
6.13. Věta :   Pro libovolná reálna čísla a,b platí:   \ \.
• (a)   .[a,0} + [b,0] = {a+b,Q j j •
(b)  [3,0]. [b,0]=[a. b,0]
a [a,0] • ľ
■   (c) ír^^r^Tr^-o],&o b±o     s "
(d)   JM]l.= !ai •
Důkaz.:   zřejmý.
j  jyjyHsjedekj   Polozme KQ = {[ a,0] \ a e E \ '.Pak f e zobrazení f: E    KQ definova-
I . tato ;
i /fa^ = [a,(9J pro každé a e h ,
i . i
í isomorfismus vzhledem k operacím •    _a  ,' _-u_,,-,.......•......,......,|l-ľ,^nir-inril1___
Žtotožn'lme-li nyní každé' reálne číslo a s komplexním číslem [a, 0]., budou reálna čís la speciálním případem čísel komplexních.
Lze tedy vybudovat ^aritmetiku, komplexních čísel i bez zavedení symbolu i . Jeho zavedením se vsak usnadní symbolika.
6.1-5 DefiniceKlademe í: = [0,l\
Z definice 6.2. okamžitě plyne :
'6.16. Věta :   i1 - - i