49
Reálná a komplexní čísla
7. Těleso reálných čísel
7.1. Definice. Buď (R, < ) lineárně uspořádaná množina. Dvojice a — {A,B), kde A C R, B C R, se nazývá řez v množině R, jestliže platí:
(1) AU B = R, A ^ 0 ŕ B,
(2) x e A, y € B       x < y.
Je zřejmé, že množiny A, B jsou disjunktní, tedy systém {A, B] tvoří rozklad na množině R.
Množina A se nazývá dolní skupina řezu a, množina B se nazýva horní skupina
řezu a.
Jestliže dolní skupina řezu a má největší prvek a horní skupina řezu a má nejmenší prvek, pak řez a nazýváme skok v množině R. Jestliže dolní skupina řezu a nemá největší prvek a horní skupina řezu a nemá nejmenší prvek, pak řez a nazývame mezera v množině R. - -: -'
Mezi pojmem hustě uspořádaná množina a pojmem skok platí následující vztah.
7.2. Tvrzení. Lineárně uspořádaná množina, která obsahuje alespoň dva prvky, je hustě uspořádaná právě tehdy, když nemá skoky.
7.3. Příklady.
a) Nechť m je celé číslo, A = {x £ Z | x < m}, B = {x € Z | x > m + 1}. Pak dvojice-(A, B) je skok v množině Z celých čísel.
b) Nechť m je libovolné racionální číslo. Mějme dánu množinu Q - {m}, na níž je definováno lineární uspořádání stejným způsobem jako na množině Q. Pak řez a = (A,B), kde A = {x 6 Q | x < m}, B - {x e Q | x > m}, je mezerou v Q - {m}.
c) Nechť n je pevně zvolené přirozené číslo (n > 1), a <E Q, a > 0 a zároveň nechť neexistuje racionálni číslo f takové, že fn = a. Položme
A   = {£eQ|£<0}U{Č€Q|É>0,Én<a}, B  =  {£ e Q K >(U" > a}.
Ukážeme, že dvojice (A, B) je mezera v množině Q racionálních čísel.
Zřejmě 0 7^ A C Q, 0 ^ £ C Q, AU B = Q. Nechť í € A, 77 e S. Pak n > 0, r/n > a. Jestliže £ < 0, pak £ < 77. Jestliže £ > 0, pak f1 < a < 7/", odkud plyne £ < 77. Tedy (A, S ) je řez v množině Q.
50
ReáJiiá a komplexní čísla
Předpokládejme, že horní skupina B má nejmenší prvek 0. Protože množina racionálních čísel je hustě uspořádaná, existuje racionální číslo £ splňující následující tři podmínky: ,
0<Č</3, £<
/3" - a
n/3
n-l '
€</JC)[UJ]
pro každé sudé číslo u (2 < v < n). Z těchto podmínek plyne, že n0n~l£, < 0n - a, nebo-li 0" - > a a (JJ)/3 - > 0.
Pokud položíme 7 = 0 — £, potom 0 < 7 < 0 a
7n = E (ľ)(-W"r = z?" - np*-^ + YJPn—1c[(:)0 - uje] + s,
kde sčítání probíhá všechna sudá v taková, že 2 < v < n, a kde £ = 0 pro ?z liché a e = £n > 0 pro n sudé. Odtud, vzhledem k podmínkám kladeným na číslo £, plyne 7" > a. Tudíž 7 e B, což je spor s předpokladem, že 0 je nejmenší prvek B. Množina B tedy nemá nejmenší prvek. y
Předpokládejme, že množina A má největší prvek /3. Rozlišme nyní dva případy.
Nejprve nechť platí 0 = 0. Je-li a > 1, položíme 7 = 1, je-li a < 1, položíme 7 = f. V obou případech dostáváme, že 7" < a, a tudíž 7 e A, což je však spor s tím, že 0 je největší prvek A, neboť 0 — 0 < 7.
Nechť nyní platí /? > 0. Označme
w = min {(a - /T) [(")/3n-"7i]_1 | 1 < 1/ < 7i] .
Jistě platí w > 0. Je-li dokonce w > 1, položíme f = 1. Je-li naopak oj < 1, klademe £ = f. V obou případech dostáváme     < lo pro každé 1 < v < n, tedy
r<^P[(:)r-i
-1
pro všechna 1 < 1/ < n. To znamená, že pro všechna uvažovaná v platí nerovnost
(?)/?n-ir <
Položme nyní 7 = 0 + f. Potom platí 7 > /3 a
r" = /3" +      (nu)0n-"C < 0n +
a—0n
n • —t*— = a.
Odtud plyne 7 6 A, což je spor s předpokladem, že 0 je největší prvek A. Množina A tedy nemá největší prvek, a (A, B) je tudíž mezera v Q.
Nyní ukážeme, že každou lineárně uspořádanou množinu lze vnořit do lineárně uspořádané množiny, která nemá mezery. Za tím účelem si nejdříve definujme pojem vnoření lineárně uspořádaných množin.
Kap. 7. Těleso reálných čísel
51
52
Reálná a komplexní čísla.
7.4. Definice. Buďte (R, <), (5,^) lineárně uspořádané množiny. Zobrazení / množiny i? do 5 se nazývá vnoření lineárně uspořádané množiny (R, <) do lineárně uspořádané množiny (S,^), jestliže platí:
(1) / je injekce,
(2) pro libovolné x,y G R, x < y platí, že f(x) ^ f{y).
Řekneme pak, že lineárně uspořádanou množinu (R, <) lze vnořit (resp. je vnořena) do lineárně uspořádané množiny (S,^<). Vnoření / se též často nazývá izomorfismus vzhledem k uspořádání nebo pořádkový izomorfismus lineárně uspořádaných množin.
Protože je (R, < ) uspořádáno lineárně, pro vnoření / také platí, že:
x,y G R, /(a;) d f (y) =>■ x < y.
Uspořádání -< na množině S se často označuje stejným symbolem jako uspořádání < na množině R. Prvek r € R se obvykle identifikuje s prvkem f(r). Při této identifikaci je pak množina R podmnožinou množiny S.
7.5. Věta. Každou lineárně uspořádanou množinu lze vnořit do lineárně uspořádané množiny bez mezer.
Důkaz. Nechť (R, <) je lineárně uspořádaná množina. Pro r E R označme symbolem (r] množinu {x G R \ x < r}.
Nechť 5 značí systém dvojic (A,B), A C R, B C R a (A,B) je mezera v R nebo A — (r}, B = R-(r ] pro nějaké 7- G R. Zřejmě (^4, B) je řez v R s eventuálni výjimkou případu, kdy R má největší prvek m a A = (m] = R, B = 0.
Pro a — (A, B) G S, 0 = {C, D) e S položíme a H 0, jestliže A C C, což je ekvivalentní s podmínkou B D D. Snadno lze ukázat, že relace ■< na S je lineárni uspořádání.
Ukážeme sporem, že lineárně uspořádaná množina (S, ■< ) nemá mezery. Předpokládejme proto, že (A, B) je mezera v S. Položme
A*
u *.
(X,Y)eA
B"
- U y-
Zřejmě pak A*, B* C R a A* ^ 0. Kdyby B* = 0, pak by musela mít množina R největší prvek a muselo by platit B = {(R, 0)}, což není možné kvůli našemu předpokladu, že (A,B) je mezera v S. Je tedy i B* neprázdná.
Ukážeme, že dvojice {A*, B*) je mezera v R.
Nechť r G i? je libovolné. Označme q = ({r],R— (r]) G S. Pak q G A nebo g e B. Z prvního případu ihned plyne r G A*. Protože B nemá nejmenší prvek, z,druhého případu dostáváme r G B*. Je tedy A* U B* = R.
Nechť a G i*, 4 e B*: Pak existuje (.A,B) € -4, (C,D) G B tak, že a G A, b e D. Jelikož (yi,B) ^ (C,-D), máme B D D, tudíž b E B a odtud dostáváme a < 6.
Dvojice (*4*,iB*) je tedy řez v R. Kdyby (A*,B*) nebyla mezera, musel by existovat největší prvek x množiny A* nebo nejmenší prvek y množiny B*.
V prvním případě by pak ovšem existovalo d; — (X, Y) G A tak, že x G X, a toto £ by muselo být největším prvkem množiny A, což není možné, neboť předpokládáme, že {A,B) je mezera v 5. Podobně ve druhém případě by pak existovalo r; = (X, Y) G B tak, ze y € Y, přičemž toto n by ,se stalo nejmenším prvkem množiny B, což opět není možné ze stejného důvodu.
Ukázali jsme si, že (A*,B*) je mezera v R. To ovšem znamená (A*,B*) G S. Pak (A*,B*) G A nebo {A*,B*) G B. V prvním případě je'(>l*,B*) největší prvek množiny .4, neboť pro libovolné (C,D) G .A platí C C ,4* z definice .4*, a tedy (C, D) ^ (j4*, 23*). Jenže existence nej většího prvku množiny A je ve sporu 3 naším předpokladem, že {A,B) je mezera v S. Podobně ve druhém případě je (A*,B*) nejmenší prvek množiny B, což je spor ze stejného důvodu.
Dokázali jsme, že (S, ■< ) nemá mezery.
Pro r £ R položme x/j(r) = ((?•], R — (r]). Pak yj je vnoření {R, < ) do (S, <) a věta je dokázána.
7.6. Definice. Lineárně uspořádaná množina (S, •< ) sestrojená v důkazu věty 7.5 se nazývá normální obal lineárně uspořádané množiny (R, < ). Zobrazení tjj se nazývá kanonické vnoření lineárně uspořádané množiny (R, < ) do jejího normálního obalu.
Ztotožníme-li prvky r € R 8 dvojicemi ((r],R - (r]) = yj{r), můžeme říci, že normální obal lineárně uspořádané množiny (R, <) se skládá z prvků množiny R a z mezer v množině R. V dalším textu budeme uspořádání na normálním obalu označovat stejným symbolem jako uspořádání na R, tj. <.
Normální obal lineárně uspořádané množiny je v následujícím smyslu jejím „nejmenším obalem", který nemá mezery.
7.7. Věta. Nechť (R, < ) je lineárně uspořádaná množina, (S, < ) její normální obal a yj kanonické vnoření (R,<) do (S,<). Buď (T, <) lineárně uspořádaná množina bez mezer a f vnoření (R, < ) do (T, < ). Pak existuje vnoření f množiny (5, < ) do (T, < ) takové, ře f o ý = /.
Můžeme pak říci, že diagram na obrázku 7 komutuje.
(R,<
(s,<:
(T,<
Obr. 7.
Kap. 7, Těleso reálných čísel
Důkaz. Nechť a = (A,B) £ S. Jestliže A r £ R, pak položíme f{a) = /(r).
Jestliže (A, B) je mezera v R, položme
53
r], B = R — (r] pro nějaké
A*   =   {í G T I 3. a 6 A,* </(»)},
fí*  = {teT \ 3be B,t> f(b)}.
Ukážeme, že množina A* nemá největší prvek. Skutečně, je-li a e A* největší prvek A*, pak podle definice A* musí existovat a £ A tak, že a < f {a), současně však /(a) < a, neboť f (a) G A* a a je největší prvek A*. Tedy a = /(a). Protože pro libovolný prvek c G A platí /(c) G A*, je /(c) < a = /(a), odkud c < a, a tedy a je největší prvek A. To je spor, neboť jsme předpokládali, že řez (A, B ) je mezera v R.
Podobně lze ukázat, že B* nemá nejmenší prvek. Jistě pro libovolné a G A*, (3 £ B* platí a < (3. Protože v T nejsou mezery, není (A*, B* ) řez, a tedy existuje s G T — (A* U B*). Položme f (a) = s.
Je zřejmé, že /o = /. Nechť a, t £ S, a < t. Pak cr =JA, B), t = (C, D), přičemž existuje e G B n C. Z definice zobrazení / plyne /(<r) < /(e) < /(r), a tedy / je vnoření. Zobrazení / tedy splňuje podmínky věty.
7.8. Věta. Nechť (R, < ) je lineárně uspořádaná množina, (S, < ) její normální obal a ip kanonické vnoření (R, < ) do (S,<). Pak platí:
(a) je-li (A, B) skok v R, a největší prvek A, b nejmenší prvek B, pak (A, B) je skokem v S, přičemž A - {s G S \ s < rp(a)}, B = {s £ S \ s > i>(b)},
(b) je-li {A,B) skok v S, pak existují a,b G R takové, že 4>(a) je největší prvek A a ip(b) je nejmenší prvek B; přitom platí, že (A, B) je skokem v R, kde A = {r G R \ r < a}, B = {r G R \ r > b}.
Jinými slovy: skoky v S jsou právě „obrazy" skoků v R při kanonickém vnoření.
Důkaz, (a) Množina A má největší prvek xp(a) a B má největší prvek ijj(b). Pokud (A,B) je řez v 5, pak je (A,B) skok. Abychom ověřili, že (A,B) je řez v S, ukážeme sporem, že A U B = S. Předpokládejme tedy naopak, že existuje s G 5, s g A U B. Odtud dostáváme, že ip(a) < s < tp(b). Pak s = (G,D) je řez v R. Z ip{a) < s plyne, že a G C, z s < ip(b) plyne, že b G D. Protože (A,B) je vez v R, je AU B - R, a tedy neexistuje x G R splňující a < x < b. Je tedy s = (C, ľ ) = (A, B ) =ip(a), což Je sPor a (A ^) Je skutečně řezem v S.
(b) Předpokládejme, že (A, B) je skok v S. Označme a = {X, R - X) největší prvek A, 0= {Y,R-Y) nejmenší prvek B. Protože a < p, existuje b G Y, b g X. Pak b je největší prvek y, neboť v opačném případě by existovalo c G Y, b < c, a tedy a < i/j {b) < ip{c) < j3, což by byl spor s tím, že (A, B) je řez v S. Je tedy ,3 = 0(5). Současně je & nejmenším prvkem množiny iř - X: v opačném případě by existovalo d € R-X, d < b, a tedy a < ip(d) < ý(b) = (3, což by byl opět spor. Pak ovšem a nemůže být mezerou v R, a proto existuje a £ R tak, že a = Ví0)) a je největším prvkem X. Označíme-li A = {r G ií | r < a}, B — {r G R \ r > b], pak a — (A, B) je skok v Jí.
54
fleá/íiá a komplexní čísla
7.9. Důsledek. Lineárně uspořádaná množina nemá skoky právě tehdy, když její normální obal nemá skoky.
7.10. Definice. Normální obal lineárně uspořádané množiny (Q, <) racionálních čísel se nazývá lineárně uspořádaná rnnožina reálných čísel a značí se (K, < ). Prvek množiny K se nazývá reálné číslo.
Racionální číslo q se zpravidla ztotožňuje s reálným číslem ((q], Q— ((?]), tedy Q C E. Můžeme říci, že reálné číslo je buď racionální číslo nebo mezera v lineárně uspořádané množině racionálních čísel Q. Reálné číslo, které není racionální, se nazývá iracionální číslo. Tudíž iracionální číslo je mezera v Q.
7.11. Definice. Lineárně uspořádaná množina (R, < ) se nazývá spojitě uspořádaná, jestliže nemá skoky ani mezery.
7.12. Věta.
(a) Množina reálných čísel (K, < ) je spojitě uspořádaná.
(b) Jestliže a,0 G M, a < f3, pak existuje 7 G Q tak, že a < 7 < (3.
(c) Množina reáinýcii čísel R je rovna množině řeků v množině racionálních čísel Q, jejichž horní skupina nemá nejmenší prvek.
Důkaz. Tvrzení (a) plyne ihned z vět 6.12, 7.2 a 7.9. Protože množina racionálních čísel nemá největší prvek, dostáváme z (a) ihned tvrzení (c).
Nechť a = {A,B) GlJ = (C,D) 6 1, a < 0. Pak B D D, B ^ D, tudíž existuje q G B - D. Jelikož B nemá nejmenší prvek, existuje c € B, c < q. Pak A C (c] C C, A ^ (c] 7^ C, tedy pro racionální číslo 7 = ((c],Q - (c]) platí: a < 7 < (3.
Věta je tím dokázána.
7.13. Definice. Nechť q = (A, B ), j3 = {C, D ) jsou reálná čísla. Pak položíme a + f3 = (Q - {B + D), B + D). (Výrazem X + Y pro X C Q, Y C Q rozumíme množinu {x + y \ x £ X,y £ Y}).
7.14. Tvrzení. Pro reálná čísla a, (3 je a + (3 zase reálnym číslem. Tudíž + je operací na množině 1. Jestliže a, /3 jsou racionální čísla, je reálné číslo a + (3 rovno dříve definovanému racionálnímu číslu a + (3.
Důkaz. Nechť a = (A, B), (3 = (C, D), X = Q - (B + D), Y = B + D. Pak K C Q, Y C Q, X U Y = Q, Y £ 0. Zvolme a G A, c G C. Pak a < Ď pro každý prvek b £ B, c < d pro každý prvek d £ D, tudíž a + c < ď + d pro každý prvek b £ B a každý prvek d £ D. Odtud plyne, že a + c G Q -(5+ D), tedy X ^ 0.
Buď a; £ X, y £ Y. Pak existují b £ B, d £ D takové, íe y = b + d. Jelikož x £ B + D, je x - b £ D. Proto platí x — b £ C, z čehož plyne nerovnost x - b < d. Tedy x < b + d = y. Dvojice (X, F) je pak řezem na Q. Stačí ukázat, že Y nemá nejmenší prvek.
Nechť y £ Y. Pak existují b £ B, d £ D taková, že y = b + d. Jelikož B a D nemají nejmenší prvek, existují u£B,v£Ľ,u<b,v<d. Pak w — u + v £ Y,
Kap. 7. Těleso reálných čísel
55
5G
Reálná a komplexní čísla
iv < y. Tedy Y nemá nejmenší prvek, tudíž a + 0 = (X, Y) je reálné číslo. Druhý výrok tohoto tvrzení lze již dokázat snadno.
7.15. Lemma. Nechť (A,B) je řez v Q, d G Q, d > 0. Pak existují prvky a £ A, b e B takové, že a není nejvštší prvek množiny A a platí d = b - a.
Důkaz. Podle tvrzení 6.12 existuje / 6 Q, 0 < / < d. Zvolme nyní x G ,4, y € B tak, aby x nebylo největším prvkem množiny A. Podle tvrzení 6.14 existuje přirozené číslo n takové, že ^y- < n. Tudíž y <nf + x, odkud plyne n f + x G B.
Buď m nejmenší přirozené číslo s vlastností x + mf G B. Pak x + (m-l)f G A.
Jestliže x + (m - 1)/ G A je největší prvek množiny A, pak m > 2 a položíme o = .t + (m - 2)/, b — x + (m - 2)/ + d — a + d. Jestliže x+ (m-l)f není největší prvek množiny A, položíme a = x + (m — 1)/, b = x + (m - 1)/ + d = a + d. Odtud plyne lemma.
7.16. Věta. Grupoid (E, +) je komutativní grupa. Nulovým prvkem této grupy je racionálni Číslo 0 = ((OJ, Q- (0]). Pro a = (A, B) G R je opačným prvkem -a = (Q - (-Ä), -Ä), kde
~    í A, jestliže A nemá největší prvek,
[A - {m},   jestliže in je největší prvek množiny A.
(Pro X C Q značí -X množinu {—x \ x G X}.)
Důkaz. Zrejme je operace + na E komutativní a pro libovolné X,Y,Z C Q platí (X + Y) + Z = X + (Y + Z), tudíž (R, +) je komutativní pologrupa.
Dokážme, že ((Oj,Q - (0]) je nulovým prvkem uvažované pologrupy. Nechť a = (A,B) € K. Zřejmě B + (Q-(0]) C B. Buď b G B. Pak existuje c G B, c < b. Položme g == 6 - c. Pak g € Q - (0], a tudíž 6 = c + yGB4-(Q- (0]). Odtud plyne B + (Q - (0].) = B, a tedy ((0],Q - (0]) je nulovým prvkem pologrupy
Ä +      '"■.'>'■■■. .
Položme X = Q - (-1), F = -í. Pak X C Q, 7 C Q, r # 0, X U r = Q, X n Y = 0, -B C X, tedy X ^ 0. Buď a; G X, y G ľ. Pak existuje a E A, které není největším prvkem množiny A, takové, že y = -a. Kdyby y < x, pak a; > -a, tudíž -2 < a, odkud plyne, že -x G A. Odtud dostáváme, že x G Y, což je spor. Tedy (X, Y) je řez v Q. Jelikož množina A nemá největší prvek, nemá množina Y nejmenší prvek, což znamená, že 0 = (X, Y) je reálné číslo.
Zřejmě B + Y C Q - (OJ. Buď d G Q - (0]. Podle lemmatu 7.15 existují a G A, b G B tak, že ď = b — o. Položíme-li ?/ = -a, je y G Y, d = & + y, tudíž £? + Y = <Q>—(0], z čehož plyne, že a + /3 = 0. Věta je tím dokázána.
7.17. Věta. Nechť a, (3,7,5 G K. PaJc piati:
(aj a < /9 <ř=í> a + 7 < (3 + 7,
(b) a < (3       a + 7 < /? + 7,
(c) jestliže a < 0, 7 < ô nebo a < (3, 7 < 5 nebo a < (3, 7 < 6, potom a + j < (3 + S,
(d) a</3, 7<í=í>a + 7</3 + (5.
Důkaz. Nechť a = (A,B), (3 = (C, D), 7 = {E,F) jsou reálná čísla. Dokážme nejprve výrok (a).
„=>" Nechť a < 0. Pak B D D, B ^ D, tudíž B + F ~D D + F. Dokažme, že B + F^D + F.
Existují b*, b G B, 6 < 6*, i* {ŕ ľ. Podle lemmatu 7.15 existují f € F, e € E taková, že &*-& = / — e. Položme w = b + f. Pak uj G 5 4* F. Předpokládejme nyní, že w G D + F, pak existují x G Ľ,y G F taková, že w = x + y- Pak :c + y = = 6 + / = e + &*, e < y, tudíž 6* > x, z čehož plyne b* e D, což je spor. Tedy w^D + FaB + F.^D + F, a tudíž a + 7 < /3 + 7.
„■*=" Jestliže a + 7 < j3 + 7, pak podle předešlého platí a = a + 7 + (-7) < < 0 + 7 + (-7) =    Platí výrok (a).
Výroky (b), (c), (d) lze z výroku (a) snadno odvodit.
7.18. Definice. Nechť a = (A, B), j3 — (C, D) jsou libovolná reálná čísla. Je-li a > 0, 0 > 0, položíme
•j
a 0 = (Q- B • D,B D).
(Výraz X • 7 značí pro I C Q, ľ C Q množinu {x • y | x G X, y G Y}). V ostatních případech definujeme součin a ■ 0 následovně:
í -(-a) • ]3     pro a < 0, /? > 0, a ■ 0 = < -[a ■ (-/3)]    proa>0, /? < 0, , [ (-a) • (-0)   pro a < 0, /3 < 0.
7.19. Tvrzení. Pro a1(3 G ljea-/3 € I. Tudíž • je operace na E. Jestliže a,(3 jsou racionální čísla, pak reálné číslo a-0 je rovno dříve deňnov&nému racionálnímu číslu a-0.
Důkaz. Nechť a - (A,B), 0 = {C,D) G 1. Předpokládejme nejdříve, že a > 0, 0 > 0 a položme X = Q - B ■ D, Y = B ■ D. Zřejmě X C Q, Y C Q, XUF = Q, Y £ 0, Y C {q € Q | g > 0}. Tudíž X D (Oj, z čehož plyne X 7^ 0.
Nechť a; G X, y G Y. Potom musí existovat b e B, d e D taková, že y = b ■ d (b > 0,d > 0). Předpokládejme, že x > y. Pak | > b, a tudíž f G i?, odkud plyne x £ B • D, což je spor. Tedy x < y, což znamená, ze a • 0 — (X, Y) je řezem v Q. Jelikož !?,£> nemají nejmenší prvek, podle 6.10 (e) nemá nejmenší prvek ani množina Y. Takže cc • /3 G E.
Nechť nyní a, /3 G Q. Pak 5 = {t G Q | t > a}, D - {s G Q | .s > 0}. Abychom ukázali, že reálne číslo a ■ 0 splyne s dříve definovaným racionálním číslem a • 0, je třeba dokázat, že {í • s \ t G B, s G D} = {u G Q | u > a ■ 0], kde oba symboly • značí dříve definované násobení racionálních čísel. Jsou-li t,s € Q, t > a, s > 0, pak t - s > a - 0 podle věty 6.10 (e), neboť a > 0 a 0 > 0. Tím jsme ověřili inkluzi C"
Nechť nyní u G Q, u > a • 0. Ukažme, že existují í, s G Q, t > a, s > 0 tak, že u = ťa, Je-li a = 0, stačí volit s = /3 + 1, í =        Předpokládejme dále, že a^0.
Kap. 7. Těleso reálných čísel
57
i I
58
Zvolme v € Q tak, aby u > v > a ■ P (existence takového v je zaručena tvrzením 6.12). Položme a = j, * = *f- Podle 6.10 (e) z v > a ■ p plyne s > p & z u > v plyne t > a. Přitom jistě t ■ s = u. Dokázali jsme inkluzi „D", a tedy rovnost. Ostatní případy, kdy a nebo 0 je záporné, odsud snadno vyplynou.
7.20. Věta. Trojice i racionální číslo 1 = ((1 a-1 = (X,Y), kde .
K + i') Je těleso. Jednotkovým prvkem tohoto tělesa je Q - (1]) a pro reálné číslo a = {A,B) > 0 piatí, že
Y - {a-1 | a € Ä,a > 0},
Y.
Pro a < 0 piat/: a 1 = -(-a) l. (Symbol Ä má stejný význam jalco v 7.16 J
Důkaz. Zřejmě je operace ■ komutativní. Nechť jsou nyní dána reálná čísla ct = {A,B), 0 ~ (C,D), 7 = (E,F) G M. Předpokládejme nejdříve, že jsou. nezáporná, tedy a > 0, 0 > 0, 7 > 0. Pak a -0>O, 0-y>O& platí
(a./3).7 = (Q-(B-D)-F,(B-D)-F), a-(P-j)   = (q-B-(D-F),B-(D-F)).
Jelikož (B ■ D) • F = B • (D ■ F), ]e [a ■ 0) • -y = a ■ (0 ■ 7)/
Pro ostatní případy se již tvrzení (a • 0) ■ 7 = a • (0 ■ 7) snadno dokáže. Tudíž (M, ■) je komutativní pologrupa.
Nechť a > 0. Zřejmě (Q-(1])-BCB. Nechť b e B. Pak existuje c e B, takové, že c < b. Potom x = * > 1, a tudíž x G (Q - (1]), z čehož dostáváme 6 € (Q - (1 ]) • B. Tedy 1 • a = a. Pro a < 0 je 1 • a = -(1 • (-a)) = -(-a) = a. Takže 1 = ((' 1 ],Q - (1]) jě jednotkovým prvkem pologrupy (!,•)•
Dokažme nyní, že inverze ke kladnému reálnému a je opravdu reálným číslem. Buď a = (A,B) > 0, Y = {a"1 | a G Ä, a > 0}, x = Q - Y. Zřejmě 0 # x C Q, 0 Ž Y c Q, x u Y = Q. Nechť 1 e I, 1/ € ľ. Pakexistuje a € A, a > 0, y = a l. Jestliže x < 0, pak x < y. Je-li x > 0, pak x--1 £ A, tudíž .t-1 > a, z čehož plyne, že x < y. Dvojice (X, Y) je tedy řezem v Q. Jelikož množina Ä nemá, největší prvek, nemá množina Y nejmenší prvek. Tedy £ = (X,Y) £ R, přičemž zřejmě £>0.
Ukažme nyní, že £ - (x, Y) je skutečně inverzním prvkem k prvku q. Piati, ze a.£ = (Q-B-Y,B-Y). Nechť z e B ■ Y. Pak existují 6 G B, a € A, a> Otak, ze
z — b-a"1. Platí, že a < b, tudíž z = b■
,-1
> 1, což znamená, žeB-ľC Q- (1].
Ukažme, že platí i opačná inkluze. Buď z G Q, z > 1. Pak z == 1 + d, kde d e Q, d > 0. Zvolme s e A, o > 0, 6 € J5. Podle věty 6.14 existuje přirozené číslo n takové, že éra < n, tedy £ < 1 + cín < (1 + d)n, a proto b < azn. Je tedy azn G B. Buď m nejmenší přirozené číslo s vlastností azm G B. Pak azm 1 £ -B, a proto oz™-1' G A. Jestliže azm~l G A, pak (az"1'1)-1 e Y, a tedy z = (azmy
(az
m-i-pi e £f. y. Jestliže naopak az™-1 g A, znamená to, že azm 1 je největší
Reálná a komplexní čísla
prvek A a že m > 1. Protože 1 < 1 + f .< 1 + d = z, platí azm"2(l + f) <
< az"1"1 < azm ~m—1
l(l+f)
Odtud azm-2(l + |) ei,
(1 + f) G 5. Opět
tedy z = (az"1-1^ + f)) • (azm-2(l + f))-1 6 B • ľ. Tím jsme ukázali, že platí
11 = B-Y. Odtud
m-2(l + f
(1 ] CBT, což vzhledem k předchozímu znamená, že plyne a • £ = 1 a £ = a-1.
Pro a < 0 existuje £ G M, £ > 0 takové, že (-a) • £ = 1. Pro toto £ G M platí a • (-0 = (-a) • [-(-£)] = (-a) •£ = 1, tudíž ~£ = a"1.,
Zbývá dokázat platnost distributivního zákona. Pro a>0, 0 > 0, 7>0 dostáváme
«•(/? + 7)   =   (Q-B.(D + F),5-(Í} + F)), a-/3 + a-7   =   (Q - (B ■ D + B ■ F),(B ■ D + B ■ F)).
Zrejmé B ■ {D + F) C B ■ D + B ■ F. Nechť q e B ■ D + B • F. Pak existují u,v £ B, d e D, f £ F taková, že q = ud + vf. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že u < v. Pak q = u(d + f) + (v - u)f > u(d + /) G 5 • [D + F), odkud a G B ■ (D + F). Tedy B ■ (D + F) — B ■ D + B ■ F a dostáváme tak, že a ■ (0 + j) = a ■ 0 + a ■ j.
Pro ostatní případy lze odtud platnost distributivního zákona snadno dokázat. Např. pro a > 0, 0 > 0, 7 < 0, 0 + 7 > 0 je
a ■ {fi + 7) ~ a • 7 = a ■ {p + 7) + a ■ (-7) = a ■ [0 + 7 + (-7)] = a- 0.
Tudíž (&, + ,•) je komutativní okruh a vzhledem k výše dokázanému je i tělesem.
7.21. Definice. Těleso (M, + , •) se nazývá těleso reálných čísel a často se označuje pouze symbolem 1. Tímto symbolem budeme též označovat celou čtveřici (M, + , •, < ), tudíž M. — (B, + .,-,<). Operace • se v běžném zápise často nevyznačuje, tedy pro a,,/3 €.E je afJ — a • 0.
Následující tvrzení plyne z definice součinu reálných čísel a z věty 7.20.
7.22. Tvrzení. Nechť a, 0 G M. Pak platí:
(a) a > 0 =$> a
(b) a < 0 a
(c) a > 0, 0 > 0 nebo a<0, /3<0=^a
(d) a > 0, 0 < 0 nebo a <Q, 0 > 0 a
> 0,
0 > o, f > 0, /3 < 0, I < 0.
7<č 7 < a
7.23. Věta. Nechť a, 0, y G E.
(a) pro 7 > 0 piati; a < 0       a • 7 < 0 ■ 7, a</3 <ŕ=^> a
(b) pro 7 < 0 platí: a < 0       0 • 7 < a • 7, a</3       /? ■ Důkaz. Nechť a < /?, pak podle 7.17 je ^ - a > 0, a tedy podle 7.22 platí'
[P - a)7 > 0, tj. Py-aj > 0. Opět podle 7.17 dostáváme 0:7 < 0-y.
Naopak v případě, že 0-7 < P-j, dostaneme (jelikož podle 7.22 (a) je 7"* > 0) a = (a ■ 7) • 7_1 < (/3 • 7) • 7-1 = /?. Tím je platnost (a) dokázána.
Výrok (b) se dokáže analogicky.
60
8. Binomické rovnice a g-adický rozvoj v reálném oboru
8.1. Lemma. Nechť cti,..., an jsou kladná reálná čísla. Nechť dále a je racionální číslo s vlastností 0 < ó < tti •... • an< ľak existují racionální čísla ai,...,a„, splňující nerovnost 0 < a.i < cti pro každé i G {1,..., n}, taková, že platí:
a = ai ■... • a„.
Důkaz. Nejprve důkaz provedeme pro případ n = 2. Podle 7.12 (b) existuje racionální číslo a-i takové, že — < a-i < a2. Položíme-li a\ — pak čísla ai,a2 vyhovují podmínkám lemmatu.
Pro obecné n dokážeme lemma indukcí: pro n = 1 je lemma zřejmé, pro u = 2 bylo dokázáno. Předpokládejme tedy, že n > 2 a že pro n — 1 lemma platí. Pak existují racionální čísla Oi, 02,..., an_2,6 tak, že 0 < av < a\t 0 < 02 < a2,..., 0 < an-2 < dn-2, 0 < b < an-\ctn, a — 01 • ... • a„_2 ■ b. Podle>dokázaného případu n — 2 však existují racionální čísla un_i, a„ taková, že 0 < aH_i < «n-i, 0 < On < a„, 6 = an_i • an. Tudíž lemma platí pro libovolné přirozené 11.
8.2. Věta. Nechť n je přirozené číslo, a reálné číslo. Pak platí:
(a) Jestliže n je sudé a a > 0, pale binomická rovnice xn = a je řešitelná v E. Jestliže £ je řešením te'fo rovnice, pak {£,-£} je množinou všech řešení rovnice xn = a v E.
(b) Jestliže n je sudé a a < 0, paJc binomická rovnice a" = a nemá v E řešení.
(c) Jestliže n je liché, pak binomická rovnice xn — a má v E právě jedno řešení £. Navíc platí:
ct > 0 a = 0 a < 0
£>0,
e=o,
£<0.
Důkaz. Nechť a > 0. Položme 5 = {(/ G Q \ qn > a, q > 0}, A = Q- B, a dokažme, že (A,B) je řez v Q. Ze 7.12 (b) plyne existence racionálního čísla q takového, žea + l < q < a + 2. Pak q > 1, a tedy qn > q > a. Proto B ^ Jelikož 0 G A, máme A ^ 0. Jistě AUB - Q. Nechť a€ A,be B. Je-li a < 0, pak zřejmě a < b. Předpokládejme, že a > 0, a > b. Pak a < bn < an, což však není možné. Tudíž a < b a (A, B) je řez v množině racionálních čísel.
Ukažme sporem, že (A, J5) je reálné číslo, tj. že B nemá nejmenší prvek. Nechť b je nejmenší prvek množiny B. Pak 6" > a a podle 7.12 (b) existuje c G Q takové, že a < c < bn. Protože množina racionálních čísel je hustě uspořádaná, existuje racionální číslo / > 0 splňující následující dvě podmínky:
nb
Si
/   n X
í)    pro libovolné i G {1,... ,m},
Kap. 8. Binomické rovnice a g-adický rozvoj v reálném oboru.
61
kde
~-    pro sudé n, pro liché n.
To znamená, že platí následující nerovnosti:
bn - c - n f b11'1 > 0   a   {Z)f2ibn-2i - (2i" A/2^"-2^1 > 0.
Položme d = b- f. Pak d G Q a jelikož bn - c < bn < nbn, je        < b. Tedy 0 < d < b. Platí, že
t=0
m .
kde
F =
r
0
pro sudé n, pro liché n.
Jelikož výrazy v hranatých závorkách jsou z definice čísla / kladná racionálni čísla, platí, že ď1 — c > 0. Tudíž a < c < d", odkud plyne d e B. Ale d < b, což je spor. Množina B tedy nemá nejmenší prvek. Řez f = (A, B) je pxoto nezáporným reálným číslem.
V následujícím ukážeme, že £n = a. Podle definice je £n = (Q - C,C), kde C — {ai ■ ... • an I cti,... ,an G B}. Zvolme ai,...,an G B libovolně a označme a to nejmenší z nich. Pak Oi ...On > an, přičemž z a G B plyne an > a. Ukázali jsme, že € C JD, kde D = {d 6 Q | d > a}. Protože a = (Q - D, 13 ), tato inkluze znamená, že a < Jestliže a < £n, existuje podle 7.12 (b) racionálni číslo a takové, že a < o < í". Podle lemmatu 8.1 existují racionální čísla a\,...,an taková, že 0 < Oj < £ pro každé i G {1,..., n} a a = ai • ... • on.
Nechť 1 < h < n takové, že pro každé i G {!,...,n} máme > áj. Pak a < o < a£ < £n, z čehož plyne, že G J5, odkud a/t > £, což je spor. Tudíž a = £n.
Případ a = 0 plyne z tvrzení 6.18, případ a < 0 se dokáže analogicky jako tvrzení 6.19.
8.3. Definice. Pro nezáporné a G E a přirozené n existuje podle věty 8.2 jediné řešení £ > 0 binomické rovnice xn = a" v R Reálné číslo f se pak značí symbolem \fa.
Je-li a G E, a <0an přirozené liché číslo, pak binomická rovnice xn = a má podle věty 8.2 právě jedno řešení £ v E. Pak klademe £ = tfot. V obou případech číslo á/o7 nazýváme n-tá odmocnina z a.
62
Reálná a komplexní Čísla
Zřejmě platí následující tvrzení.
8.4. Tvrzení. Nechť a £       > O, n liché přirozené číslo. Pak
'—a =
^ Následující věta plyne přímo z věty 6.21 a udává nutnou a dostatečnou podmínku pro to, aby $/a byla racionálním číslem.
8.5. Včta. Nechť je dáno reálné číslo a a přirozené číslo n. Nechť platí a > 0 nebo platí, že a < t) a zároveň n liché. Pak reálné číslo ýbl je racionálním číslom právě tehdy, když a je racionální číslo a n \ vp(ct) pro každé prvočíslo p.
V následující části si ukážeme, jak lze vyjádřit reálné číslo nekonečným tvarem složeným z „g-adičkých číslic". Budeme k tomu předpokládat jisté znalosti matematické analýzy, speciálně základní pojmy a tvrzení o nekonečných řadách.
Potřebujeme také zavést následující pojem.
8.6. Definice. Nechť a je reálné číslo. Podle věty 7.12 (b) a tvrzení 6.14 existují celá čísla a, b taková, že a < a < b. Tudíž existuje největší celé číslo x takové, že x < a. Číslo x se nazývá celá část čísla a a značíme jej x = [a]. Číslo a - [a] se označuje symbolem (a) a nazývá se necelá část čísla a. Platí tedy
a = [a] + (a),    [a] < a < [a] + 1,    0 < (a) < 1,    [a] € Z.
V další části tohoto odstavce bude g značit přirozené číslo větší než 1.
8.7. Definice. Nechť pro celé nezáporné číslo n je an 6 Z a pro n > 1 je 0 < an < g. Nekonečná řada
E
n=0
-n al °2
a„0 n=a0 + — + -L +
9 r
(*)
se nazývá g-adický zlomek, pro n > 1 se číslo on nazývá g-adická číslice. Místo zápisu (*) se často používá zápis a0 + 0, aia2a3 ... nebo a0, oia3a3 ....
Z analýzy je známo, že řada (*) konverguje a její součet a (a G K) nazýváme hodnota g-adickélw zlomku (*) a píšeme pak
a =
Říkáme též, že g-adický zlomek (*) je g-adickým rozvojem reálného čísla a.
Jestliže existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna n > N je a„ = 0, pak se g-adický zlomek nazývá konečný, v opačném případě nekonečný.
Jestliže existuje celé nezáporné číslo N a přirozené číslo m tak, že pro libovolná celá čísla l > N, k > N, l = k{moá m) platí a( = ak, nazývá se g-adický zlomek
Kap. 8. Binomické rovnice a g-adický rozvoj v reálném oboru.
63
(*) periodický. Skupina g-adických číslic 0^+1,^+2, ••• , o/v+m se pak neustále opakuje a nazývá se perioda. Číslo m se nazývá délka periody. Píšeme pak
a = óo + 0, ai... a^Aľ+i ... a^+r
ii| v desítkové sou-= 1,04629. Desetinný.
8.8. Příklad. Provedeme-li zápis racionálního čísla a stavě (5 = 10), dostaneme vyjádření a - 1,04629629629 • • rozvoj je tedy nekonečný periodický s periodou délky 3.
Zapíšeme-li totéž číslo a == j^f jako g-adický zlomek pro g = 6, dostaneme a = 1 + f + Jr + 5S = 1,014. Zlomek je v tomto případě konečný.
8.9. Věta. Nechť a je libovolné reálné číslo. Pak a je hodnotou g-adického zlomku a = £ľ=oaníTn> kterÝ není Periodický s periodou g - 1 délky 1. Toto vyjádření čísla ct je jednoznačné.
Důkaz. Pro libovolné reálné číslo a existuje posloupnost celých čísel {an}%L0 a reálných čísel {ctn}£L0 taková, že platí: a0 = [a], a0 - (a), an - [ga„_i], an = (^an-x) pro n > 1. Pak a = a0 4- a0, gan_i - an + an, 0 < an < g pro « > lj 0 < an < 1 pro n > 0. Tedy můžeme psát, že
ao + uq — ao +
gao
aQ +
+
Ol Cíl
— ao -]---1--
g g
Úplnou indukcí vzhledem k n se pak snadno ukáže, že pro každé celé číslo n > 0 platí;
ai
a — ao -I---V
9
2^n
9
odkud plyne a = Yľ^Lo a™9
Ukažme nyní sporem, že uvažovaný g-adický zlomek není periodický s periodou g-1 délky 1. Předpokládejme, že existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna celá čísla n> N platí an - g - 1. Pak pro n > N je gan = g - 1 + an+i, tudíž i _an = odkud pro všechna n > N a každé /c G N plyne indukcí vzhledem
ke k, že
1 - an+k
f
Protože limu*
1-a
'f±i = 0, je 1 - a„ = 0, což je spor, neboť an < 1. Platí tedy,
že g-adický zlomek E^Lo a„g~" splňuje podmínky věty.
Na závěr dokažme sporem jednoznačnost takového vyjádření reálného čísla a. Nechť pro všechna celá čísla n > 0 jsou bn celá čísla taková, že 0 < bn < g pro n > l, a = E^LoM-" a neexistuje přirozené číslo N takové, že pro všechna n > N je &n = 9 — 1- Pro " > 0 položme
6n
64
Reálná a komplexní čísla
Jelikož existuje k > 1 takové, že i>n+Jt < g - 2, je 0 < 0„ < J2kLi ^ = 1. Pro n > 1 platí 0/?n_i = £~ t = bn + 0n, i čehož vyplývá, že bn = [g0n-i]
a Pn = (gPn-i)- Jelikož máme 0O = a - b0, je 60 = [a], A) = (a), odkud již vyplývá, že an = bn, an = fln pro libovolné n > 0. Tím je věta dokázána.
8.10. Příklad. Vezměme reálné číslo a, jehož g-adický rozvoj pro g = 10 vypadá následovně: (
'   10  '  Tň7 ~ TňT T TňT 1
102
103
104
1,29.
Tento 5-adický zlomek je periodický s periodou g - 1 = 9 délky 1. Podle předchozí věty však je číslo a hodnotou 5-adického zlomku, který nemá tyto vlastnosti. Skutečně, součet geometrické řady
»    i__a    1__a_
jot t jo3" T íc
+ .
s kvocientem g = ~ je roven i. Proto číslo a lze psát ve tvaru "     x -r 10 -r 1Q — 1 i- 10 — 1, ú.
8.11. Věta. Nechť a je reálné číslo. Následující výroky jsou ekvivalentní:
(a) a je racionální číslo, ■: ~
(b) Jcaždý g-adický rozvoj reálného čísla a je periodický,
(c) existuje periodický g-adický rozvoj reálného čísla a.
Důkaz, „(c) => (a)" Nechť existuje periodický 5-adický rozvoj reálného čísla a. Pak a = b+c Xľ^Li p^r> kde 6, c jsou racionální čísla a m délka periody nějakého periodického g-adického rozvoje a. Tudíž
a = Ď +
ľ
což znamená, že a je racionální číslo.
„(a)=>(b)" Nechť a je racionální číslo. Existuje posloupnost celých čísel {an}£=o a dálných čísel {an}£L0 tak, že platí: a0 = [a], a0 = (a), a„ = [ffa,,-:], an = (5a
n—1) Pr° libovolné n > 1. Podle důkazu věty 8.9 je pak a = ao + ao, gan-i = an + a„, 0 < a„ < g pro n > 1, 0 < a„ < 1 pro n > 0 a platí
71=0
5"
Pak an je racionální číslo pro libovolné n > 0. Položme rn = a„ • m. kde a = r,m € Z, m > 0. Odtud pro n > 0 dostáváme, že 0 < rn < m, r = ma0 + r0, grn_i = a„m + rn pro n > 1. Z toho plyne, že pro n > 0 je rn celé číslo a pro n > 1 je an = [gr^i""1] a a0 = [^]. Podle věty 4.18 existují různá přirozená čísla u,p. taková, že r„ = rM, odkud plyne, že g-adický zlomek Y^^Lo an9~n je periodický.
Kap. 8. Binomické rovnice a g-adický rozvoj v reálném oboru.
65
Tudíž výrok (a) implikuje, že g-adický rozvoj reálného čísla a s vlastnostmi z věty 8.9 je periodický. Odtud a z věty 8.9 plyne dokazované tvrzení. M(b) => (c)" Platnost této implikace je zřejmá.
8.12. Poznámka. V praxi se používá nejčastěji g = 10, dostáváme pak tzv. desetinný neboli dekadický rozvoj. Ve výpočetní technice se často užívá g = 2.
8.13. Cvičení.
1) Napište následující g-adické zlomky v desítkové soustavě:
a) 0,1001101(p = 2),
b) 0,102 (5 = 3),
c) 0,73(5 = 9).
2) Napište číslo 0,4140625 ve tvaru 5-adického zlomku:
a) 5-2,
b) .5 = 8.
3) Převeďte následující čísla přímo z dvojkové do šestnáctkové soustavy, resp. naopak (přímo znamená bez toho, abyste je zapisovali v desítkové soustavě):
a) 0,0110100001 (5 = 2),
b) 10001,10011110101 (5 = 2),
c) C3,4£ (5 = 16).
Při zápisu čísel v šestnáctkové soustavě používáme místo číslic 10 - 15 velkých písmen A — F.
4) Dokažte, že číslo
0,123456789101112131415...
není racionální.
5) Rozhodněte, zda existuje necelé reálné číslo takové, že v desítkové i trojkové soustavě je jeho 5-adický rozvoj konečný.