7.3 JADERNÁ FYZIKA Jaderná fyzika je část fyziky, která zkoumá vlastnosti atomového jádra a procesy při jaderných reakcích. RADIOAKTIVITA Radioaktivitou rozumíme schopnost některých atomových jader vysílat záření. Záření, které vysílají radioaktivní látky a které vzniká při jaderných přeměnách, se nazývá jaderné (radioaktivní) záření. Rozlišujeme záření alfa, beta a gama. Záření alfa je proud jader helia ^He, které jsou složeny ze dvou protonů a dvou neutronů. Záření beta je tvořeno rychle letícími elektrony. Záření gama je elektromagnetické vlnění o velmi krátké vlnové délce (A Y + b, kde X je ostřelované jádro, a částice dopadající na jádro, Y nově vzniklé jádro a b nově vzniklá částice. Při jaderných reakcích musí být splněny zákon zachování energie, zákon zachování hybnosti, zákon zachování elektrického náboje a zákon zachování počtu nukleonů. JADERNÁ ENERGETIKA Mezi nukleony v jádře působí jaderné síly. Jsou to přitažlivé síly velmi krátkého dosahu, které drží jádro pohromadě a zajišťují jeho stabilitu. K rozložení jádra na jednotlivé nukleony je proto zapotřebí energie, která se nazývá vazební energie jádra Ey 172 173 Soustava Z volných protonů a N volných neutronů má tedy větší energii než jádro atomu, které se z těchto částic skládá, a podle rovnice Am = Jjf-má také větší klidovou hmotnost. Rozdíl mezi klidovou hmotností volných nukleonů, z nichž se skládá jádro, a klidovou hmotností jádra atomu se nazývá hmotnostní úbytek Am. V literatuře věnované jaderné fyzice se hmotnostní úbytek často také značí symbolem B. Z definice hmotnostního úbytku vyplývá vztah Am = Zmp + Nmn — nij, kde mp je klidová hmotnost volného protonu, mn klidová hmotnost volného neutronu, mj klidová hmotnost jádra, Z protonové číslo a N neutronové číslo. Vazební energii E-3 jádra atomu vypočteme pak z rovnice £j = Amc2 = (Zmp + Nmn — mj)c . Na jeden nukleon připadá vazební energie 3 A' kde A je nukleonové číslo daného jádra. Různost vazebních energií připadajících na jeden nukleon v jádrech různých prvků lze využít k uvolňování jaderné energie. Jadernou energii lze uvolnit dvěma způsoby: termojadernou reakcí a jaderným štěpením. Při termojaderné reakci se spojují jádra lehkých prvků v jádra těžší. Při štěpení jader se těžší jádro štěpitelné látky (např. 2g8U) rozštěpí na dvě lehčí atomová jádra a současně se uvolňuje několik neutronů. Vzniklé neutrony mohou být pohlceny dalšími jádry štěpitelné látky a mohou tak vyvolat další štěpení. Vzniká řetězová reakce, při které se uvolňuje značná energie. Řízená řetězová reakce probíhá v jaderných reaktorech využívaných především v jaderných elektrárnách. FYZIKA ČÁSTIC Přístroje, které umožňují zachytit a zaznamenat různé částice (např. jaderného záření), se nazývají detektory částic. Fotony, které mají dostatečnou energii (fotony ultrafialového, rentgenového a gama-záření), a elektricky nabité částice na své dráze ionizují atomy a molekuly plynu, ve kterém se pohybují. Takové záření nazýváme ionizující záření a podle ionizačních účinků ho můžeme také registrovat. K detekci částic se dnes používají různé druhy detektorů založené na různých principech. Abychom mohli zkoumat složení částic a zákonitosti jejich přeměn, musíme použít rychle letící částice jako střely. Růstu rychlosti a energie částic dosahujeme na urychlovačích. Izotopové složení prvků zkoumáme pomocí hmotnostních spektrometrů založených na odlišném pohybu různě těžkých iontů v elektrických a magnetických polích. Hmotnostními spektrometry lze také zjistit relativní atomové hmotnosti izotopů určitého prvku. ÚLOHY RADIOAKTIVITA Úloha 148 Ve vzorku radioaktivního fosforu 15P, který má poločas přeměny 14 dnů, je 4-1018 atomů fosforu. Kolik atomů fosforu bude v tomto vzorku za čtyři týdny? Řešení N0 = 4 • 1018, T = 14 d = 2 týdny, t = 4 týdny; N = ?_ Poločas přeměny radioaktivního fosforu J^P je 2 týdny, a proto po uplynutí této doby bude ve vzorku poloviční počet nerozpadlých atomů, tj. 2 ■ 1018 atomů fosforu. Za další dva týdny se z tohoto počtu rozpadne opět polovina atomů, takže za čtyři týdny bude ve vzorku 1018 nerozpadlých atomů fosforu. Úloha 149 Poločas přeměny nuklidu 2§gRa je 1 590 roků. Určete jeho přeměnovou konstantu. Rok má přibližně 3,154 • 107 sekund. Řešení T = 1 590 r = 1 590 • 3,154 • 107 s 5,015 • 1010 s; A = 174 175 Mezi přeměnovou konstantou A a poločasem přeměny T platí vztah ln 2 A = T Číselně A = ln2 5,015- 101 s_1 = 1,38 • 10~n s"1. li „— i Přeměnová konstanta nuklidu 22,gRa je přibližně 1,38 -10 ~ s Úloha 150 V kousku starého dřeva klesl obsah radionuklidu 146C na 72% původní hodnoty. Určete stáří dřeva, je-li poločas přeměny nuklidu 5 570 r. Řešení N = 0,72JV0, T = 5 570 r; t = ? Jestliže v počátečním okamžiku je počet nepřeměněných jader radionuklidu N0, pak v čase t je počet nepřeměněných jader N určen vztahem N = N0e (a) kde A = ~ je přeměnová konstanta (T je poločas přeměny radionuklidu). Vztah (a) vyjádříme nejprve ve tvaru N N — e a najdeme přirozený logaritmus jeho levé a pravé strany i N ln — = -Aí. Nq Pro hledaný čas t odtud vyplývá \NoJX \N0J ln 2 Číselně t = - ln(0,72) r = 2 640 r. In2 Stáří dřeva je přibližně 2 640 roků. Poznámka Radionuklid uhlíku zemské atmosféře vlivem kosmického záření. Ra- dionuklid 1|C se pak gC vzniká chemicky váže s atmosférickým kyslíkem a vytváří molekuly oxidu uhličitého CO2. Radioaktivní oxid uhličitý je spolu s ostatním oxidem uhličitým obsaženým ve vzduchu pohlcován rostlinami a dostává se tak i do organismu býložravých živočichů. Když živý organismus zemře (např. když je pokosen len, ze kterého bylo vyrobeno plátno, když je pokácen strom, když zahyne živočich), žádné nové atomy radionuklidu 'gC v organismu již nepřibývají a pokračuje jen radioaktivní rozpad. Aktivita uhlíku se při tom postupně zmenšuje a podle toho lze určit stáří zbytků rostlin, semen, plátna, dřevěných předmětů, zuhelnatěné třísky nalezené v jeskyni s nástěnnými malbami, kostí živočichů apod. Výsledky získané radiouhlíkovou metodou jsou v dobré shodě s výsledky, ke kterým dospěli archeologové. Kromě radiouhlíkové metody se používají také metody založené na postupném rozpadu jiných radioaktivních prvků. Užitím těchto metod je možné určit stáří hornin, nerostů, různých archeologických nálezů apod. Úloha 151 Uran 2^U o hmotnosti 1 g vyzáří za sekundu 1,24 • 104 částic alfa. Určete počáteční aktivitu vzorku a poločas přeměny. Relativní atomová hmotnost uranu ^U je 238, atomová hmotnostní konstanta 1,66 • 10~2' kg. Rok má přibližně 3,154 ■ 10T sekund. Řešení m 10"3 kg, Aŕ = 1 s, AN = 1,24 ■ 104, AT = 238, mu = 1,66 • 10"27 kg, lr = 3,154-107 s; A{0) = ?, T = Aktivita radionuklidu je vyjádřena počtem radioaktivních přeměn za 1 sekundu. Počáteční aktivita ^4(0) vzorku uranu ^U o hmotnosti 1 g je tedy A(0) AN ~Kt' (a) Aktivita radionuklidu .4(ŕ) v čase t je přímo úměrná celkovému počtu dosud nepřeměněných jader N(t). Platí tedy A(t) = XN(t), kde A = ^ je přeměnová konstanta (T je poločas přeměny daného radionuklidu). Pro počáteční aktivitu A{0) v čase t = 0 odtud dostáváme A(0) = XN(0). (b) 176 177 kde N(0) je počáteční počet jader vzorku uranu ^U o hmotnosti 1 g. Tento počet lze vyjádřit vztahem AT(O) .i. « ] ma Armu kde m je hmotnost daného vzorku uranu, ?Tía hmotnost jednoho atomu uranu, Ar relativní atomová hmotnost uranu 2g?,U a mu atomová hmotnostní konstanta. Dosazením do vztahu (b) dostáváme A(0) = X m ln2 m a odtud T = ATmu T ATmu ln 2 • m A(0)Armu' Obecné řešení je tedy určeno vztahy (a) a (c). i 24•104 Číselně A(0) = -- Bq = 1,24 ■ 104 Bq. (c) 1 ln2 • 10" 1,24-104-238-1,66-10-'2' 1,415 • 1017 s = 1,415 ■ 10" s = 3,154 • 107 r = 4,49 • 10a r = 4,5 ■ 109 r. Počáteční aktivita vzorku uranu gjU o hmotnosti 1 g je 1,24 • 10 Bq. Uran "^U má poločas rozpadu 4,5 • 109 roků. JADERNE REAKCE Úloha 152 Jádro kyslíku XgO bylo ostřelováno částicí alfa, která v něm uvízla, a při tom se uvolnil neutron. Zapište příslušnou reakci a zjistěte, jaký nuklid v důsledku této reakce vznikl. Řešení Označme symbolem gX jádro, které vznikne v důsledku reakce. Uvažovanou jadernou reakci můžeme pak zapsat ve tvaru ^0 + 4He Vzhledem k tomu, že při jaderných reakcích se zachovává elektrický náboj i počet nukleonů, platí 8 +2 = 0 +Z, 16 + 4 = 1 +A, odkud Z = 10 a A = 19. Z tabulky periodické soustavy prvků zjistíme, že atom s protonovým číslem Z = 10 je neon (Ne). Jadernou reakci můžeme tedy napsat ve tvaru 1680 + >^Jn + l9Ne. Úloha 153 Při ostřelování nuklidu dusíku "N protony vznikl nuklid kyslíku ^O, který vysílal záření p+. Zapište proběhlé reakce a zjistěte, jaký nuklid v důsledku těchto reakcí vznikl. Řešení Reakci, která je důsledkem ostřelování nuklidu dusíku protony, můžeme zapsat ve tvaru 14]\j _i_ 1tí _>. !5q ^N + JH Záření p+ je tvořeno pozitrony °e, takže platí 10 °ie + 157x. Výsledný nuklid má protonové číslo Z = 8 - 1 = 7; ostřelováním nuklidu 14,N vznikl tedy jiný nuklid dusíku X|N. Poslední reakci můžeme proto napsat ve tvaru JADERNÁ ENERGETIKA Úloha 154 10 "e + ^N. 238 u. >.x. Vypočítejte vazební energii připadající najeden nukleon jádra uranu Klidová hmotnost protonu je 1,672 6 10"27 kg, neutronu 1.674 9-10"27 kg, relativní atomová hmotnost uranu ^U je 238,05 a atomová hmotnostní konstanta 1,660 5-10""27 kg. Rychlost světla ve vakuuje 2,997 9 108 m-s"1. Hledanou energii vyjádřete v MeV (1 eV = 1,6 • ÍO"'19 J). 178 179 Řešení mp = 1,672 6 • 10"27 kg, mn = 1,6749 • 1CT27 kg, ArV = 238,05, mu = 1,6605 • 10~27 kg, c = 2,9979 • 108 m • s"1, Z = 92, A = 238, N = A — Z = 146; £j = ? Hmotnost jádra uranu mj lze vypočítat ze vztahu ArVmí kde >lru je relativní atomová hmotnost uranu 2g8U a mu atomová hmotnostní konstanta. Hmotnostní úbytek jádra uranu Am lze pak vyjádřit vztahem Am = Znip + Nmn Zmv + Nmn - Arumu, kde mp je klidová hmotnost volného protonu, mn klidová hmotnost volného neutronu, Z protonové číslo a N neutronové číslo uranu 2g|U. Vazební energie E} jádra uranu 2g8U je určena vztahem Ej = Amc2. Na jeden nukleon v jádře uranu 2g8U připadá tedy vazební energie A' kde A je nukleonové číslo uranu g8U Číselně Am 92- 1,672 6 -10"27 kg + 146- 1,674 9- 10"27 kg-- 238,05 • 1,660 5 • 10"27 kg = 3,132 6 • 10"27 kg 3,132 6 • 10~27 • (2,997 9 ■ 108)2 J = 2,815 4 ■ 10"10 J = 1 757,2 MeV 1 757,2 238 MeV = 7,4 MeV. Najeden nukleon v jádře uranu 2g8U připadá vazební energie asi 7,4 MeV. Poznámka Podobným způsobem jako v této úloze bychom mohli vypočítat vazební energii připadající na jeden nukleon také u dalších jader. Závislost této energie na počtu nukleonů v jádře je znázorněna na obr. 77. Z grafu na obr. 77 vyplývá, že největší vazební energii připadající na jeden nukleon mají jádra prvků nachazejioch se uproštxed S periodické soustavy prvků, kdežto jádra prvků umístěných na začátku nebo na konci tabulky periodické soustavy prvků mají tuto energii menší. Různost vazebních LeÍS pSpaScfch na jeden nukleon v jádrech různých prvků lze vyuz.t pft uvolňováni jaderné energie. MeV 10 9 7 fjhHe iMh 50 100 150 Obr. 77 200 250 A Úloha 155 Určete energii, kterou lze získat štěpením 1 kg uranu ^U, jestliže se při štěpení jednoho jádra uranu uvolní energie asi 200 MeV. Jakou hmotnost by muselo mít černé uhlí s výhřevností 3 ■ 107 J • kg-1, aby se získala stejná energie? Relativní atomová hmotnost uranu ^ÍJU je 235, atomová hmotnostní konstanta je 1,66 • 10 kg. Řešení m = 1 kg, E0 = 200 • 106 eV, Ar = 235, mu = 1,66 • 10"27 kg, H = 3- 107 J - kg"1; E = t, mK = ?_ a) Energie E uvolněná štěpením 1 kg uranu je E = NE0 = ^-E0 = ^L, ma Armu 180 181 kde N je počet atomů v 1 kg uranu 2g|U, E0 energie uvolněná štěpením jednoho jádra g|U, m hmotnost uranu a ma = i4rmu hmotnost jednoho atomu uranu. i • 9on • 1 o6 Číselně E = „ eV = 5,13 • 1032 eV = 8,2 • 1013 J. 235-1,66-10"27 b) Z definice výhřevnosti paliva H = — dostáváme pro hledanou hmotnost mx černého uhlí E Číselně H' 8.2 ■ 1013 3 • 107 kg = 2,7 ■ 106 kg = 2 700 t. Štěpením 1 kg uranu lze získat energii asi 8,2 • 1013 J. Stejnou energii bychom získali spálením černého uhlí o hmotnosti 2 700 t. Úloha 156 Blok jaderné elektrárny, která přeměňuje jadernou energii v elektrickou s účinností 40%, má elektrický výkon 600 MW. Určete hmotnost uranu 292U, který se spotřebuje v elektrárně za 24 hodin, jestliže při štěpení jednoho jádra ^íjU se uvolní energie 200 MeV. Relativní atomová hmotnost 23|U je 235, Avogadrova konstanta 6,02 • 1023 mol"1. Řešení P = 6 • 108 W, q = 0,4, E0 = 200 ■ 106 eV = 3,2 • 10~n J, t = 24 h = 8,64 • 10'1 s, Ax = 235, Mm = 235 • 10~3 kg • mol-1, iVA = 6,02 • 1023 mol-1; m = ? Účinnost 7? bloku jaderné elektrárny je určena vztahem Pt V E ' kde Pt je elektrická energie získaná v bloku jaderné elektrárny za dobu t a E energie, která se za tuto dobu uvolní štěpením jaderného paliva o hmotnosti m. Tuto energii lze vyjádřit vztahem m nu m JSI mE0NA (b) kde N je počet jader uranu 2g|U rozštěpených za 24 hodin, E0 energie uvolněná štěpením jednoho jádra uranu ^U, m hledaná hmotnost uranu, ma hmotnost jednoho atomu uranu, Mm molární hmotnost uranu a ÍVa Avogadrova konstanta. Po dosazení z (b) do (a) dostáváme Pt PtM„ a odtud PtMm nE0NA ■ x. , 6 • 108 • 8,64 • 104 • 235 • 10"3 , . Číselne m =-—-— kg — 1,58 kg. 0,4 • 3,2-10"11-6,02-1023 6 8 V bloku elektrárny o výkonu 600 MW se při účinnosti 40 % spotřebuje za 24 h jaderné palivo o hmotnosti 1,58 kg. FYZIKA ČÁSTIC Úloha 157 Částice alfa s energií 5 MeV vytvoří ve vzduchu 150 • 103 párů jedno-mocných iontů. Určete ionizační proud, který vytváří radioaktivní látka vyzařující 3,7-1010 částic za 1 s za předpokladu, že všechny vytvořené ionty se účastni vedení proudu. Elementární elektrický náboj je 1,6 • 10~ia C. Řešení N0 = 150 • 103, N = 3,7 • 1010, t = 1 s, e = 1,6 • 10~19 C; I = ? Nasycený ionizační proud lze vyjádřit vztahem AQ 1 = At kde AQ = NNQ(e + e) je součet nábojů kladných částic (jednomocných iontů), které za dobu Ač projdou ve směru intenzity elektrického pole, 182 183 a absolutní hodnoty nábojů záporných částic (elektronů), které projdou ve směru opačném. Dosazením dostáváme Číselně / = 2NN0e At ■ 2-3,7-1010 (a) 150- 103 • 1,6 ■ 10 -19 = 1,8- 10~3 A = 1,8 mA. Radioaktivní látka vytváří ionizační proud 1,8 mA. ^ Poznámka Ze vztahu (a) vyplývá, že s rostoucím počtem částic N jaderného záření roste také nasycený ionizační proud /. Tuto závislost lze využít k měření aktivity radioaktivních látek. Úloha 158 Kladné jednomocné ionty neonu urychlené v elektrickém poli mezi dvěma body A a B, mezi kterými je napětí 1 000 V, vlétnou do homogenního magnetického pole kolmo k jejich indukčním čarám (obr. 78). V magnetickém poli se ionty pohybují po dvou kružnicích o poloměrech 14,6 cm a 15,3 cm. Určete relativní atomové hmotnosti obou izotopů neonu. Velikost magnetické indukce homogenního magnetického pole je 0,14 T, elementární elektrický náboj 1,6 • 10"19 C a atomová hmotnostní konstanta 1,66 • 10"27 kg. Řešení U = 103 V, n = 0,146 m, r2 = 0,153 m, B = 0,14 T, e = 1,6 ■ 10"19 C, mu = 1,66 ■ 10~27 kg; Atl = ?, Ať2 = ? _ Práce eU vykonaná elektrickým polem při urychlení iontu o hmotnosti m mezi body A a B se rovná přírůstku jeho kinetické energie \mv2; dostá- váme proto rr 1 2 eU = -mv . 2 (a) Na iont neonu pohybující se v magnetickém poli působí kolmo ke směru jeho pohybu magnetická síla o velikosti Fm = evB, která uděluje iontu o hmotnosti m dostředivé zrychlení o velikosti o = ^. Podle druhého pohybového zákona platí v2 eBr m— = evB, odkud v =- r m Dosazením z (b) do (a) dostáváme vztah 1 e2B2;-2 eU = -m- 2 fn' ze kterého pro hmotnost m iontu izotopu neonu vyplývá eB2r2 m = 2U Relativní atomová hmotnost iontu izotopu neonu je pak eB2r2 m„ 2Umu' Obr. 78 1 6 ■ 10-19 • 0 142 • 0 1462 Číselně Atl= ' 2.103.li66.io-27 =20,1 = 20 1,6-10-19-0,142-0,1532 ^ 22 ^ 22 r2 2 • 103 • 1,66 • 10-27 První nuklid má relativní atomovou hmotnost 20, druhý 22. (b) 184 185 ^ Poznámky 1. Oloha ukazuje princip hmotnostního spektrometru, kterým lze zjistit relativní atomové hmotnosti izotopů daného prvku. 2. Neon, který se vyskytuje v přírodě, se skládá z 90 % nuklidu foNe a 9,73% nuklidu l^Ne. Zbytek 0,27% tvoří nuklid JjNe. Úloha 159 Při setkání elektronu s pozitronem (částice, která má stejnou klidovou hmotnost jako elektron, má však kladný náboj) obě částice zmizí a místo nich se objeví zpravidla dva fotony záření gama. Určete vlnovou délku tohoto záření. Předpokládáme, že kinetická energie elektronu a pozitronu je v porovnání s klidovou energií obou částic malá. Klidová hmotnost elektronu (popř. pozitronu) je 9,1 • 10~31 kg, rychlost světla 3 • 108 m • s-1, Planckova konstanta 6,63 • lď~34 J ■ s. Řešení m0 = 9,1 • 1(T31 kg, c = 3 ■ 108 m ■ s"1, h = 6,63 ■ 10~34 J ■ s; A = ? Při setkání elektronu s pozitronem se klidová energie těchto částic přemění v energii dvou fotonů záření gama. Platí proto r-2 8 ASTROFYZIKA 2m0ď = 2hf, odkud / = moc Pro vlnovou délku A záření gama pak dostáváme c c h tasi moc A Číselně A 6,63- ÍCT34 . ia m = 2,4 ■ 10 LZ m. 9,1-10"31 -3-108 Poznámka Energie fotonů záření gama může být obecně větší než součet klidových energií elektronu a pozitronu, neboť elektron a pozitron mohou mít před srážkou také určitou kinetickou energii. 186 ASTROFYZIKA Astrofyzika je vědní obor, který zkoumá fyzikální a chemické vlastnosti kosmických těles a mezihvězdného prostředí. Přehled základních poznatků astrofyziky nalezne čtenář v knize [37] na str. 451. ÚLOHY_ Úloha 160 Pod jakým úhlem vidí průměr Měsíce pozorovatel na Zemi a naopak pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Poloměr Měsíce je 1,74 • 10 m, poloměr Země 6,38 • 106 m a střední vzdálenost Měsíce od Země je 384000 km. Řešení RM = 1,74 • 108 m, i?z = 6,38 ■ 106 m, d ■■ tm = ?, 06 • 10"3 ) = 0,52° = 0°3ť b) Výpočet úhlového průměru Země pozorovaného z Měsíce Analogickými výpočty dostáváme , 2i?z rz = Číselně t'z = 180 , rh = —— a rz = -tz. L d ti ' - 2 ■ 6'38 ^ rad = 3,32 • IQ"2 rad 3,84 • 108 rz = ^3,32-10-2)° = 1,9° = 1°54'. Pozorovatel na Zemi vidí průměr Měsíce pod úhlem 31', pozorovatel na Měsíci vidí průměr Země pod úhlem 1°54'. Obr. 80 Poznámka Úhlový průměr Měsíce můžeme vypočítat přímo ve stupních podle obr. 80. Z obr. 80 vyplývá tm Rm tgT = ^- Číselně tg^ = ^i^ =4,53.10-3 2 3,84 ■ 108 M. 2 ^ = 0,26' tm = 2 ■ 0,26° = 0,52° = 0°3ľ Analogicky pro úhlový průměr Země dostáváme , tz Rz tgT = T" 188 189 2 tz = 2-0,95° = 1,9° = 1°54' Úloha 161 Určete dobu, po kterou se k nám šíří světlo z galaxie M 31 ze souhvězdí Andromedy, která je od nás vzdálená 680 kpc. Převodní vztah mezi jednotkou pc (paprsek) používanou v astronomii a kilometry je 1 pc = = 30,9-1012 km, převodní vztah mezi rokem a sekundou je 1 r = 3,15-107 s. Rychlost světla ve vakuu je 3 ■ 108 m • s~l. Řešení s = 680 kpc = 680 • 30,9 • 1018 m = 2,1 • 1022 m, c = 3 ■ 108 m • s^1; t = ? Hledanou dobu vypočteme ze vztahu s t = 9i.i n22 Číselně t = ' 1U s = 7 ■ 1013 o ■ J. U 7 • 1013 fi S=3^Wr = 2'2'10 r" Světlo z galaxie M 31 ze souhvězdí Andromedy se k nám šíří po dobu 2,2 milionu roků. Úloha 162 Určete hustotu látky neutronové hvězdy, která má poloměr 10 km a hmotnost 1,4M0. Veličina MQ = 2 • 1030 kg je hmotnost Slunce. Řešení r = 10 km = 104 m, rn = 1,4M0 = 1,4 - 2- 1030 kg = 2,8 • 1030 kg; q = ? Budeme-li předpokládat, že neutronová hvězda má tvar koule o objemu V = §Ttr3, dostaneme pro hustotu g její látky vztah m rn 3m q = V |7ir3 4nr3' = 6,C9 ■ 1017 kg • m"3 = 7 ■ 1017 kg • m~3. Hustota látky dané neutronové hvězdy je asi 7 • 1017 kg • m-3. ^ Poznámka Vysokou hustotu látky neutronové hvězdy lze vysvětlit těsným uspořádáním neutronů, ze kterých se neutronová hvězda skládá. Na Zemi se látka v tomto stavu nevyskytuje. Úloha 163 Některé neutronové hvězdy se otáčejí s frekvencí až 640 Hz. Určete velikost, obvodové rychlosti bodů, které leží na jejich rovníku. Poloměr neutronové hvězdy je 10 km. Řešení f = 640 Hz, r = 10 km = 104 m; v = ?_ Pro velikost rychlosti bodů ležících na rovníku rotující neutronové hvězdy platí v = 2%rf. Číselně v = 2 • 3,14 • 104 ■ 640 m ■ s"1 = 4 ■ 107 m • s"1 = = 4 • 104 km • s"1. Body na rovníku dané neutronové hvězdy mají obvodovou rychlost o velikosti 40000 km • s_1. Poznámka Pro porovnání připomeňme, že body ležící na rovníku naší Země mají obvodovou rychlost o velikosti 470 m ■ s-1 (viz Sbírku řešených úloh I, úloha 41, str. 44). Úloha 164 První přistání lidí na Měsíc se uskutečnilo dne 20. 7. 1969. Jako první vstoupil na měsíční povrch americký kosmonaut N. A. Armstrong a 18 minut poté E. E. Aldrin. Aldrin se skafandrem a zásobou kyslíku měl hmotnost 180 kg. Určete gravitační sílu, která působila na Aldrina na povrchu Měsíce, a porovnejte ji s tíhovou silou, která by působila na téhož kosmonauta na povrchu Země. 190 191 Hmotnost Měsíce je 7,4 • 1022 kg, poloměr Měsíce 1,7 • 106 m a gravitační konstanta 6,67 • 10-11 N ■ m2 • kg""2. Tíhové zrychlení na povrchu Země je přibližně 10 m ■ s~2. Řešení m = 180 kg, MM = 7,4 ■ 1022 kg, RM = 1,7 • 106 m, x = 6,67 • ÍO"11 N • m2 • kg"2, g = 10 m • s"2; FM = ?, Fz = ?, = ? Velikost gravitační síly FM, kterou byl Aldrin přitahován k Měsíci, je určena Newtonovým gravitačním zákonem = x- m Na Aldrina by na povrchu Země působila tíhová síla o velikosti Fz = mg. Číselně FM = 6,67 • 10 .u 180-7,4- 10 22 N = 307 N = 300 N. (1,7- 106)' Fz = 180- 10 N = 1800 N. Poměr obou sil je tedy Fz ^ 1 800 N FM ~ 300 N ~ Na Měsíci působila na Aldrina gravitační síla 300 N. Tato síla je přibližně šestkrát menší než tíhová síla, která by působila na téhož kosmonauta na Zemi. Poznámka Kdybychom neznali tíhové zrychlení g na povrchu Země, museli bychom velikost tíhové síly Fz, kterou je kosmonaut přitahován k Zemi, vypočítat přibližně také pomocí Newtonova gravitačního zákona Fz = x mMz w V tomto vztahu je m hmotnost kosmonauta, Mz hmotnost Země a Rz její poloměr. Úloha 165 Určete hmotnost planety Mars, jejiž měsíc Deimos obíhá kolem planety ve vzdálenosti 23 460 km za dobu 1,263 dne. Gravitační konstanta je 6,67 • 10~n N • m2 • kg~2. Řešení r = 23 460 km = 2,346 ■ 107 m, x = 6,67 ■ 10~n N ■ m2 • kg-2, T = 1,263 d = 1,263 • 24 -3 600 s = 1,091 • 105 s; M = ? Podle gravitačního zákona působí na měsíc Deimos gravitační síla o velikosti mM Fd = x—pT" kde m je hmotnost měsíce Deimos, M hmotnost Marsu a r vzdálenost měsíce Deimos od planety Mars. Tato síla uděluje měsíci dostředivé zrychlení o velikosti v2 aa = —. r Z druhého pohybového zákona pak dostáváme Fg = mod iM x- a odtud v = \ x—• r M (a) V tomto vztahu je v velikost rychlosti měsíce Deimos, r jeho vzdálenost od středu Marsu, M hledaná hmotnost Marsu a x gravitační konstanta. Pro velikost rychlosti v měsíce Deimos pohybujícího se rovnoměrným pohybem po kružnici platí také 2iir T (b) kde T je doba oběhu měsíce Deimos kolem Marsu. Porovnáním (a) a (b) dostáváme M 2nr x—= -=r r 1 192 193 M 4n2r2 2^3 a odtud M 4aŕr xT2 ' Jednotková zkouška [M] = N-: kg • m • s- m2 • kg -r = kg- Číselně 4-3,142 • (2,346-107) M =---—-'— kg = 6,41 ■ 1023 kg. 6,67- 10-11 ■ (1,091 ■ 105)2 Planeta Mars má hmotnost asi 6,41 • 1023 kg. Poznámka Podle tabulek je hmotnost Země Atfz = 5,976 ■ 1024 kg. Poměr hmotnosti Marsu M a hmotnosti Země Mz je proto M 6,41 • 1023 kg = 0,107 = 0,1. Mz 5,976 • 1024 kg Mars má tedy asi desetkrát menší hmotnost než Země. Úloha 166 Družice obíhá kolem Země po elipse. Její největší vzdálenost od povrchu Země je 35 810 km a nejmenší vzdálenost 325 km. Vypočtěte oběžnou dobu družice, jestliže doba oběhu Měsíce kolem Země je 27,3 dne, největší vzdálenost Měsíce od středu Země je 406 730 km a nejmenší vzdálenost 356400 km. Poloměr Země je 6 378 km. Řešení hm = 35 810 km, hD2 = 325 km, rMi = 406 730 km, rM2 = 356 400 km, Rz = 6 378 km, TM = 27,3 d; TD = ? Podle třetího Keplerova zákona platí 3 odkud TD = T2 1m «d . t V tomto vztahuje TD doba oběhu družice, TM doba oběhu Měsíce, aD délka velké poloosy eliptické dráhy družice a Om délka velké poloosy eliptické dráhy Měsíce. a \ Z A \ 1 X X Y Y / \ r2 a = n + r 2 Obr. 81 Pro délky velkých poloos oD a oM družice a Měsíce podle obr. 81 platí hdi + rm rMi + »'M2 aD =--- a au - -^-> kde roi = hni +Rz a nn jsou maximální vzdálenosti družice a Měsíce od středu Země a rD2 = hD2 + Rz a rMi jsou analogické vzdálenosti minimální (Rz je poloměr Země). Číselně rD1 = 35 810 km + 6 378 km = 42 188 km rD2 = 325 km + 6 378 km = 6 703 km 42188 + 6 703 od = om = TD = km = 2,44 • 104 km 406 730 + 356 400 km = 3,82 ■ 105 km 2 44 • 104 \ ' r • 27,3 d = 0,44 d = 10,6 h. 3,82 • 105 J Oběžná doba družice je asi 10,6 hodin. Poznámka Při řešení úlohy je třeba si uvědomit, že v úloze jsou dány vzdálenosti hDl a /id2 družice od povrchu Země, a nikoliv od jejího středu. Vzdálenosti družice rD1 a rD2 od středu Země je proto třeba nejprve vypočítat. 194 195