Několik poznámek k používání tabulkových procesorů ve výuce matematiky Jiíí Vaniček Úvod Tento materiál se nezabývá tabulkovým procesorem (Microsoft Excel, OpenOffice Tabulka >) jako takovým, cílem není seznámit uživatele s jeho obsluhou. Cílem není procházet témata, ke kterým je tabulkový procesor , jako stvořen", tzn. hromadné zpracování dat, statistické výpočty, ekonomické výpo'-ty apod. Tyto výpočty se vyučují v píedmétu výpočetní technika nebo informatika, bylo by zbytečné o tato témata rozšiřovat výuku matematiky (pokud se nejedná o odbornou strední školu). Spíše se zaméľíme na níkterá témata, která najdeme v béžné školní látce, a zastavíme se u nékterých úskalí, se kterými se začáteční nesetká a nematematik je pTejde jako pro ního nepodstatná. Uvedené úlohy platí pro Microsoft Excel i OpenOffice. Nékteré odlišnosti (napr. v psaní vzore ú nebo v nabídkách ) jsou v textu zachyceny. Vzorce vepisované do bunék jsou v textu formátovány fontem Courier. Adresy bunék, které jsou ve vzorcích psány modrým písmem, nejsou nijak pevné dané a podstatné pro výpočet úlohy. Grafy matematických funkcí Typické chyby při tvorbě grafu v tabulkovém procesoru Úloha: sestrojte graf funkce y=sin(x) s definičním oborem 0° - 400° 1. První graf se nepovedl (viz obr.) První potíží je, že tabulkový procesor počítá sinus úhlu měřeného v radiánech - je potíeba nejprve píevést stupni na radiány. Vzorec =SIN (A2*PI () /180) je složitý zápisem a chybný vzorec =SIN (A2*3 ,14/180) vede k viditelné nepíesným výsledkům. Jestliže nám nejde o aplikaci prevodu mezi radiány a úhlovými stupni, je možno použít funkci RADIANS, která píevádí stupne na radiány. Vzorec v buílce pak bude =S IN (RADIANS (A2)) Graf funkce sinus Pii uplatnení vzorce =SIN(A2) je sin (30) nikoliv sinus 30 stupil Ľi, ale 30 radián ú _1 ~T I I I I I I I I I I I I I O 3O 6O 9O 12O 15O 18O 21O 24O 27O 3OO 33O 36O 39O PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2. Častou chybou žákľi p Ti vykreslování grafů je vynesení malého portu bodů pro konstrukci grafu. Jde o pTenesení stereotypu z rýsování grafu na papíťe. Graf je hrbolatý, nebo, je-li body proložena kTivka, je grafem jakási sínusoide podobná čára. Takový graf potom podává zkreslenou pťedstavu o tom, jak vlastné sinusoida vypadá, je nepřijatelný. x sin(x) O O SO O,5 6O O,87 9O 1 12O O,87 15O O,5 18O O 21O -O,5 24O -O,87 27O -1 SOO -O,87 SSO -O,5 S6O O S9O O,5 1 O,75 O,5 O,25 O -O,25 -O,5 -O,75 -1 Graf funkce sinus Malý počet hodnot - špatné vykreslení SO 6O SO 12O 15O 18O 21O 24O 27O SOO SSO S6O SSO Nebojme se vytvořit tabulku s rostoucím argumentem tíeba i po 1 stupni - program nezpomalíme a výsledek bude vérohodnéjší. 3. Nesrozumitelný graf Také jste nikdy dostali takovýto graf funkce? Když se podíváte na obor hodnot funkce, je jasné, že modrá píímka není hledaným grafem (sinus má obor hodnot (—). Grafem funkce sinus je ona nenápadná hnédá čára kolem osy x. PTi vytváTení grafu došlo k chybé, kdy uživatel zahrnul prvnísloupectabulkyjakodalší datovou ladu, a program udělal pro každý sloupec jeden graf (o tom svědčí i to, že popiskami na ose x nyní nejsou čísla z prvního sloupce čísel tabulky, ale čísla ťádků Graf funkce sinus 4OO S5O SOO 25O 2OO 15O 1OO 5O -5O ßa dek 1 ßa ßa ßa ßa dek dek dek dek 2S45 0á ßa ßa ßa ßa ßa ßa ßa Eá ßa dek dek dek dek dek dek dek dek dek dek 6 7 8 S 1O 11 12 ^ 14 15 Odstránení chyby je znázorněno v nabídkách obou tabulkových procesorů - viz obr. na další stránce. O O str. 2 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactorv.com Excel: Zde není v poli Popisky osy x (kategorie) označena žádná oblast, sloupec A je označen jako Řadal (jeho hodnoty jsou tak vykreslovány do grafu) OpenOffice: Zdenení zaškrtnuto, že prvnísloupec obsahuje popiskyproosu x. 4. Graf je správný, ale neprochází počátkem. Je jakoby posunutý. To je způsobeno chybnou volbou typu grafu Místo spojnicového je tťeba zvolit XY bodový graf. Více o tomto typu grafu v dalším textu. str. 3 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactorv.com Úloha: Z grafu funkce y = sin(x) vytvořte graf funkce y = 2 sin (x) Mame vytvoíen graf funkce y = sin(x) a chceme pouhým píepsáním vzorce vytvořit graf funkce y = 2.sin(x), abychom mohli ihned vidět rozdíl v obou křivkách. Obsah buněk druhého sloupce =S IN (RADIANS (A2)) opravíme na =2*SIN(RADIANS(A2)). Grafse automaticky plekreslí, jenže pro pozorovatele se téměV nic nezmění. y = sin(x) y = 2.sin(x) 0,75 0,5 0,25 0 -0,25 -0,5 -0,75 -1 100 150 200 250 300 350 400 450 1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 100 150 200 250 300 350 400 450 Je zřejmé, že pro nezkušeného pozorovatele, který buď neodhalí rozdíl v mčřítku na ose y nebo nedocení jeho význam, píipadají oba grafy stejné. To je ovšem z pedagogického hlediska nechtěná situace. Podstatou chyby je automatické zobrazov oblasti grafu programem (tak, aby se vždy celý graf „vešel" do obrázku). Toto automatické nastavování je potíeba vypnout. OpenOffice: Pťi úpravách grafu klepněte pravým tlačítkem myši do grafů, v místní nabídce vyberte Osy/Osa Y. V otevíeném okně v kartě Měřítko vypněte zaškrtnutí Automaticky u položek minimum a maximum. Je možné nastavit vlastní hodnoty hranic vykreslované části osy y. Excel: P ti editaci grafu klepněte pravým tlačítkem myši na osu y. V místní nabídce vyberte Formát osy. V otevíeném okně v kartě Měřítko vypněte zaškrtnutí Automaticky u položek minimum amaximum. Jemožnénastavitvlastníhodnotyhranic vykreslované iásti osy y. TIP: Možnosti ruině ovládat hranice zobrazované oblasti grafů můžete využít v následujícím „pokusu": vytvolte graf funkce y = a.sin(x). Do některé buíiky vložte iíslo (napť. do buňky Cl vložte číslo 2). Opravte vzorec v buňkách druhého sloupce =2*SIN(RADIANS (A2)) na =C1*SIN (RADIANS (A2)). Vypněte automatické maximum a minimum na ose y grafů. Měňte čísla v buňce Cl a pozorujte, jak se mění tvar grafů funkce. Tento postup lze uplatnit u jakékoliv funkce s parametrem. 2 0 50 0 50 str. 4 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Typ grafu „bodový XY" Pro vykreslování grafů matematických funkcí se hojné používá spojnicový graf, což je ale zásadní chyba. Kromě již zmíněné nepresnosti, kdy body grafu jsou jakoby posunuty oproti hodnotám na osách (viz obr. na strane 3), může dojít k horší situaci (obr.). Na tomto obrázku je použit spojnicový graf. Protože hodnoty ve sloupci A nerostou lineárne, ale jsou mezi nimi rtaK velké intervaly, spojnicový graf se celý pokřiví. Je to dáno tím, že spojnicový graf vynáší hodnoty pouze na osu y. Ve vodorovném smíru není žádná osa, osa x slouží pouze k zobrazování položek jednotlivých íádkil. Jinými slovy, každá položka na ose x je nanesena vždy ve stejné vzdálenosti, nezávisle na asie, které je v príslušné buňce napsáno. V našem ptfldadě tedy čísla ve sloupci A slouží v grafu pouze jako popisky osy x. Je vidět, že mezi 0 a 30 je stejná vzdálenost jako mezi 30 a 45 nebo mezi 90 a 180.___ A tl C U x sin (x) 0 0 3D 0,5 45 0,707107 6D 0,866025 3D 1 180 1.23E-16 270 -1 360 -2.5E-16 y = sin(x) 400 Tentýž plípad, ovšem graf XY bodový: je vidět nerovnoměrné rozdílení bodů grafu. (tvarktivkyjezde zkreslen užitím malého počtu bodTi, který jsme použili kvTili názornosti) Spojnicový graf vynáší hodnoty pouze na osu y. Graf „XY bodový" vynáší hodnoty na obě osy, dva údaje v jednom Tádku naši úlohy pak slouží jako souťadnice bodu grafu. Graf XY bodový je tedy ten typ grafu, který používáme v matematice k vykreslování graffi funkcí. Graf spojnicový se používá k vizualizaci při statistických výpočtech apod. Pii tvorbě „XY bodového" grafu je treba zvláš ľ zkontrolovat, které hodnoty z tabulky mají sloužit jako popisky os a které mají být vyneseny do grafu. Oproti spojnicovému grafu zde pTibývá jeden ťádek nebo sloupec hodnot. str. 5 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactorv.com Spojování čar v XY bodovém grafu Jedno úskalí skýtá použití XY bodového grafu, a to tehdy, když vybereme graf spojující nanesené hodnoty: pokud hodnoty ve sloupci A (nanášené na osu x) nerostou, mohlo by se stát, že se graf začne „vracet" (viz obrázek) Hodnoty ve sloupci A nejdou „za sebou", ale „na píeskáiku". Je nutno buď seladit hodnotyvesloupci A, nebozobrazit pouze body grafu -bez spojovacích iar. Tentýž graf bez spojovacích iar TIP: použijteXYbodovýgrafprovykreslení výsledku nijakého hromadného měTení fyzikální nebobiologicképodstaty: Napl'. Jak souvisí výška ilovéka s váhou, jak souvisí výška ilovéka s rozpétím rukou pli rozpažení, jak souvisí hmotnost ilovéka s jeho časem pľi béhu na 60 m. ZméTené hodnoty pro všechny déti tTídy se zapíší do tabulky a vynesou do bodového grafu (bez spojování hodnot čarou). Z grafu lze zjistit souvislost obou veličin proložením spojnice trendu (a prípadné zobrazením hodnoty spolehlivosti R2). str. 6 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactorv.com Procenta aneb použití formátu buňky Procenta jako formát buňky Procenta pledstavují zvláštní kapitolu píi výuce tabulkových procesoru: neexistuje žádná funkce pro výpočet procent. Žáci hodnotí procenta vesmís jako velmi obtížnou látku, protože musí používat vzorce, které se naučili píi matematice a kterým nepííliš rozumí. Triviální příklad: Ve tťídé je 29 žáků, z toho 16 dívek. Kolik procent je dívek. V obrázku vpravo je typické žákovské Tešení s použitím vzorce počet _procent = íaS* . 100 základ Tento vzorec je složitý uplatnením násobení stem (žák ľim není jasné, ve které variante vzorce se násobí, kdy se délí, a musí si vzorec pamatovat nazpamčL). Používání téchto vzorců píi výpočtech nevede k pochopení pojmu procento. Tabulkový procesor používá k zobrazení äsel v buílce datové formáty, mezi nimi „styl procent", který lze vyvolat tlačítkem na panelu nástroj li (nebo v nabídce FormáťButtky, karta ( íslo). Seznámení se stylem procent Nechejte žáky napsat libovolné číslo a poté stisknout tlačítko procent. Vysvětlete, že obé hodnoty představují totéž číslo jinak zapsané._ 5| 0,02| 0,4| 10| 0,001 500%| 2%| 40%| 1000%| 0% Záci zjistí, že napT'. číslo5 znamená 500%, že procenta jsou vlastní pouze jinak zapsaná bčžná čísla, se kterými již umčjí počítat. V každém sloupci je zapsáno stejné číslo v obou Tádcích. Druhý ťádek je zformátován do stylu procent. Počítáme se stylem procent Učiteli se v tabulkovém procesoru nabízí výborná možnost ukázat souvislost mezi procenty a výpočty částí celku. Použitím formátu bulíky zvaném „procenta" lze plevést „úlohu na procenta" na obyčejnou úlohu s násobením a delením čísel. Porovnejme dvé velmi podobné úlohy: Zadání: Ve tlídé je 29 žáků, z toho 16 dívek.. Jaká část tíídyjsou dívky? Vzorec (podle obrázku nahoťe) = B2/B3 - lze vymyslet uvažováním. Výsledek vyjde v číslech. Excel: 0,5517241379 OpenOffice: 0,55 Je vidět, že interpretace výsledku u této úlohy by byla obtížná, ale návod na její tešení, pledevším na vymyšlení vzorce, je totožný s vedlejší úlohou na procenta. Zadání: Ve tHdé je 29 žáků, z toho 16 dívek. Kolik procent ze tťídy je dívek? Vzorec (podle obrázku nahole) = B2/B3 - lze též vymyslet uvažováním.