Posloupnosti
Repetitorium z matematiky
Podzim 2011
Ivana Vaculová

Osnova:
•1 Posloupnosti
•1.1 Vlastnosti posloupností
•2 Aritmetická posloupnost
•3 Geometrická posloupnost
•4 Limita posloupnosti
•
•
2

1 Posloupnosti
•Posloupnost je funkce, která je definovaná v množině přirozených čísel N.
•
A)Konečná posloupnost, D (f) = je množina prvních k přirozených čísel
B)
•
•
•
•B)   Nekonečná posloupnost, D (f) =N
•
3

4
Úlohy
Př.2: Zapište dané posloupnosti vzorcem pro n-tý člen:
  Př.3: Je dána posloupnost                          . Rozhodněte, zda číslo 223 je členem této
posloupnosti.
  Př.1: Napište prvních pět členů posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen:
Zadáno vzorcem pro n-tý člen

Zadání posloupnosti rekurentním  vzorcem
•= jsou zadány první členy posloupnosti a vztah pro výpočet dalších členů posloupnosti pomocí členů
předcházejících
5
Např.:
Úlohy
  Př.1: Napište prvních pět členů posloupnosti určené rekurentně:

1.1 Vlastnosti posloupností
•Posloupnost                se nazývá:
•
•rostoucí
•klesající
•nerostoucí
•neklesající
•omezená shora               existuje takové h ϵ R, že pro
•omezená zdola           existuje takové d ϵ R, že pro
•omezená                      posloupnost je omezená shora i zdola zároveň
6

7
Úlohy
Př.1: Rozhodněte, která z daných posloupností je rostoucí či klesající:

2 Aritmetická posloupnost
8
Posloupnost                se nazývá aritmetická, právě když existuje takové d ϵ R, že pro každé n
ϵ N je :
diference aritmetické posloupnosti
Dále platí:
Pro součet sn   prvních n členů aritmetické posloupnosti              , tj. pro a1 + a2 +…+ an,
platí:

9
  Př.3: Vypočítejte součet všech dvojciferných přirozených čísel.
Úlohy
  Př.1: Vypište první 3 členy aritmetické posloupnosti, ve které platí:
  Př.2: Určete součet prvních dvanácti členů aritmetické posloupnosti, pro kterou platí:

10
Posloupnost                se nazývá geometrická, právě když existuje takové q ϵ R, že pro každé n
ϵ N je :
Kvocient geometrické posloupnosti
Dále platí:
Pro součet sn   prvních n členů geometrické posloupnosti              , s kvocientem q platí:
a)je-li q = 1, pak
b)Je-li q ≠ 1, pak
3 Geometrická posloupnost

11
Úlohy
  Př.2: Vypočtěte kvocienty daných geometrických posloupností a určete první 3 členy.
  Př.3: Určete součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti, pro kterou platí:
 Př.1: Vypočtěte kvocient dané geometrické posloupnosti a určete členy a5 a a8 :

C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Posloupnosti a
řady_obrázky\Vlastní limita.jpg
4 Limita posloupnosti
12
Pro každou posloupnost                    může nastat jeden z těchto tří typových případů:
a)
a)

a)S rostoucím n se členy posloupnosti neomezeně blíží k určitému a ϵ R, pak a je vlastní limitou
posloupnosti.
b)
b)
b)S rostoucím n se členy posloupnosti blíží k +∞ nebo -∞, pak říkáme, že posloupnost má nevlastní
limitu +∞ nebo -∞.
c)S rostoucím n se členy posloupnosti neblíží ani k a ϵ R, ani k +∞ nebo -∞, pak říkáme, že
posloupnost nemá ani vlastní, ani nevlastní limitu.
Např.:
Např.:
Např.:
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Posloupnosti a
řady_obrázky\Vlastní limita – kopie.jpg
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Posloupnosti a
řady_obrázky\Nevlastní limita – kopie.jpg
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Posloupnosti a
řady_obrázky\Nevlastní limita.jpg C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na
KATEDŘE FY\MATIKA\Posloupnosti a řady_obrázky\Nemá limitu – kopie.jpg
C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Posloupnosti a
řady_obrázky\Nemá limitu.jpg

C:\Users\Vaculova\Documents\vaculova\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE FY\MATIKA\Posloupnosti a
řady_obrázky\IMG_0002.jpg
Věty o limitách posloupností
• Pokud                  je:
    - aritmetická posloupnost, kde d = 0, a1 = a
    - geometrická posloupnost, kde q = 1, a1 = a
•  Pokud je u aritmetické posloupnosti d ≠ 0            nemá vlastní limitu.
•  Pokud pro geometrickou posloupnost platí:
                       |q|< 1
                       |q|> 1 nebo q = -1                nemá vlastní limitu
•   Při výpočtu limit využíváme následující vztahy:


f)

14
Úlohy
  Př.1: Určete limity:

Literatura
•Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s.,
2003.
•Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992.
•Odvárko, O. Matematika pro gymnázia – Posloupnosti a řady, Praha: Prometheus, 1996.
•Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998.
•Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 2003.
•
15