9. Derivace funkce
Repetitorium z matematiky
Podzim 2011
Ivana Vaculová

Osnova:
•1 Pojem derivace
•2 Geometrický význam derivace funkce
•3 Derivace základních funkcí
•4 Vzorce pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí
•5 Aplikace – vyšetřování průběhu funkce
• 5. 1 Monotónnost funkce
• 5. 2 Extrémy funkce
•
•
2

1 Pojem derivace
•Je-li funkce f definována v okolí bodu xo a existuje-li limita
•
•
•Potom tuto limitu označujeme f`(xo) a nazýváme ji derivací funkce f v bodě xo.
•
•Derivace funkce f v bodě xo  je tedy číslo:
•
•
•
•Pozn.: Při označení x = xo  + h a x – xo  = h:
3

E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0004.jpg
4
Pro směrnici tečny kT ke grafu funkce f v bodě T [xo,yo] platí:

2 Geometrický význam derivace funkce
Rovnici tečny pak můžeme psát ve tvaru:
Platí totiž: směrnice sečny ST je
Pokud se bude bod S přibližovat k bodu T, bude se poloha sečny „blížit“ poloze tečny v bodě T [xo,
yo].
Pro směrnici tečny tedy dostaneme:

E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0006.jpg
5
3 Derivace základních funkcí

6
4 Vzorce pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí
Jestliže funkce f: u = f(x), g: v = g(x) mají derivaci v každém bodě x є M, pak pro derivaci
součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto funkcí platí pro všechna x є M (u podílu g (x) ≠ 0)
následující vzorce:
E:\ZÁLOHA_DAT_HPProbook5310m_5.11.2011\Documents\Pracovna\VÝUKA na KATEDŘE
FY\MATIKA\Derivace,integraly_obrazky\IMG_0005.jpg

5 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce
•
•5. 1 Monotónnost funkce
•
•Nechť funkce f je spojitá na intervalu <a,b>  a má v každém bodě x є (a; b) derivaci f`(xo). Pak
platí:
•
•  Je-li f`(xo) > 0 pro každé x є (a;b)      f je rostoucí na <a,b> .
•  Je-li f`(xo) < 0 pro každé x є (a;b)      f je klesající na <a,b> .
•
•
•
7

5 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce
•
•5. 2 Extrémy funkce
•
•Má-li funkce f v bodě xo derivaci a je-li  f`(xo) = 0, pak xo nazýváme stacionárním bodem. V tomto
bodě xo  může, ale nemusí mýt funkce lokální extrém – jedná se o bod „podezřelý “ z extrému.
•
•Nechť f`(xo) = 0 a nechť existuje v bodě xo druhá derivace. Pak:
•
•  Je-li f``(xo) < 0        má funkce f v bodě xo ostré lokální maximum.
•  Je-li f``(xo) > 0        má funkce f v bodě xo ostré lokální minimum.
•
•
•
8

Literatura
•Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s.,
2003.
•Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992.
•Hrubý, D., Kubát, J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. Praha:
Prometheus, 1997.
•Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998.
•Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 2003.
•
9