Zadání úloh pro seminární práci z geometrie 1


II. ČÁST (úlohy 13 – 23)



Termín odevzdání –16.12.2011 ve výuce předmětu M5  ( ev. 6.1.2012,  mimo určení též 12-13h
v pracovně vyučující)


Úkoly vypracujte na listy formátu A4 včetně náčrtů a konstrukcí. Odpovědi, výsledky, požadované
definice, apod. formulujte přesně, řešení ilustrujte vhodnými obrázky. Při řešení úloh využívejte
studijní literaturu.




13.   Je dán kosočtverec ABCD. Dokažte, že jeho úhlopříčky AC a BD jsou na sebe kolmé. (Návod:
Využijte shodnost dvou vhodně vybraných trojúhelníků.)



14.   Dokažte, že pro každý čtyřúhelník platí: Jsou-li dvě jeho protější strany rovnoběžné a shodné
úsečky, pak se jeho úhlopříčky navzájem půlí (a tento čtyřúhelník je tedy rovnoběžníkem). (Návod:
Načrtněte uvažovaný čtyřúhelník včetně jeho úhlopříček a najděte vhodné shodné trojúhelníky,
z nichž plyne dokazované tvrzení. Využijte vlastnosti střídavých úhlů.)



15.   Vyšetřete množinu  M středů všech kružnic, které se dotýkají dané přímky p v daném bodě A.
Načrtněte a množinu M zapište slovně nebo užitím symboliky.



16.   V rovině je dána úsečka AB, /AB/ = 4cm. Sestrojte v této rovině všechny trojúhelníky, jejichž
strana c je úsečka AB, strana a má délku 3,4cm a výška ke straně a, tj. v[a] má délku  3,8cm.
Proveďte rozbor (náčrt + zápis) a konstrukci včetně zápisu. Kolik neshodných trojúhelníků lze
sestrojit ?



17.   Sestrojte kosočtverec ABCD, jestliže je dáno: /AB/ = a,  /AC/ = u. (Narýsujte pro a = 7cm, u
= 10cm). Proveďte rozbor (náčrt + zápis) a konstrukci včetně zápisu. Jaká je podmínka řešitelnosti
úlohy vzhledem k délkám  a, u úseček AB a AC ?



18.    Sestrojte kružnici k, která se dotýká dané přímky t v bodě T a další přímky p.  Přímky t a p
jsou různoběžné. Narýsujte všechna řešení.



19.    Uvažujte čtverec o straně délky 1m. Vysvětlete, proč je jeho úhlopříčka nesouměřitelná
s jeho stranou.






20.   Vyznačte graficky vzdálenost bodu R

         a) od přímky  p,

         b) od polopřímky MN,

         c) od úsečky AB.

Uvažujte různé možnosti polohy bodu R vzhledem k daným útvarům  (různé polohy bodu R označujte
R[1], R[2], R[3], … ). (Vzdáleností bodu R od uzavřeného geometrického útvaru rozumíme velikost
nejmenší úsečky RX, kde bod X U.)


21.   Je dán konvexní úhel AVB (A,V,B jsou nekolineární body). V rovině AVB zvolte bod R a
vyznačte  graficky jeho vzdálenost od konvexního úhlu AVB. Uvažujte různé možnosti polohy bodu R
vzhledem k úhlu AVB (různé polohy bodu R označujte R[1], R[2], R[3], … ).



22.  Užitím Jordanovy teorie míry lze odvodit vzorec pro výpočet obsahu obdélníku o rozměrech a, b,
tj. S = a.b . Užitím tohoto vzorce odvoďte vzorce pro výpočet obsahu rovnoběžníku a trojúhelníku.
(Návod: Načrtněte rovnoběžník(kosodélník) ABCD a do téhož obrázku obdélník ABEF (v polorovině ABC),
jehož strana BE je shodná s výškou rovnoběžníku ke straně AB. Porovnejte obsahy obou obrazců.
Analogicky postupujte při vyvození vzorce pro obsah trojúhelníku.)



23.    Sestrojte v rovině čtvercovou síť o rozměru 1cm. Narýsujte takový geometrický útvar U, aby
jeho jádro v této síti mělo velikost 5cm^2. Jádro vyšrafujte. Vyznačte též obal útvaru U v této
síti a určete jeho velikost.