Příklady z „Elektřiny a magnetismu" - elektrostatika.
1. Dvě stejné vodivé kuličky s náboji +qi a -q2 se po vzájemném přitahování dotkly a poté se začaly vzájemně odpuzovat až do vzdálenosti r. Určete náboj každé z kuliček po vzájemném dotyku a sílu jejich vzájemného působení ve vzdálenosti r.
2) Dvě kuličky, jejichž poloměry a hmotnosti jsou stejné, jsou zavěšeny tak, že se navzájem dotýkají <jejich závěsy jsou navzájem velmi blízké a jsou rovnoběžné). Po předání náboje q kuličkám, se tyto začaly vzájemné odpuzovat, takže nakonec jejich závěsy svírají úhel 2a. Určete hmotnost kuliček, znáte-li délku závěsu / (poloměr kuliček je zanedbatelný).
3. ; Dvě kuličky, jejichž poloměry a hmotnosti jsou stejné, jsou zavěšeny na vláknech
stejné délky. Každá kulička je nabita nábojem q. Po ustavení rovnováhy ponoříme obě kuličky do kapaliny o hustotě pi a permitivitě er. Jaká musí být hustota materiálu kuliček, aby úhly mezi vlákny závěsů obou kuliček byly na vzduchu i v dielektriku stejné ?
4. \ Mějme dva kladné náboje, q; - n.e a q2 = m.e, nacházející se ve vzájemné vzdálenosti
/. Jak je třeba umístit třetí náboj q, aby byl s oběma předcházejícími náboji v rovnováze, jestliže jsou náboje qj a q2 :
a) upevněny,
b) volné?
Určete znaménko a velikost náboje q.
5. Elektron rotuje po kruhové dráze o poloměru r kolem jádra s nábojem +Z.e. Určete rychlost ä periodu rotace elektronu.
6. ) Ve vrcholech pravidelného šestiúhelníku se stranami a jsou umístěny bodové náboje q,
2q, 3q, 4q, 5q a 6q. Určete sílu, působící na bodový náboj q, nacházející se v průsečíku úhlopříček šestiúhelníku.
7. Ve vrcholech čtverce o straně a se nachází stejné kladné náboje q. Jaký záporný náboj je třeba umístit do středu čtverce, aby byla soustava v rovnováze ?
8. Každá ze dvou stejných vodních kapiček má nadbytečný elektron. Jaký je poloměr kapiček v případě, že je síla elektrostatického odpuzování v rovnováze s gravitační přitažlivou silou ?
9. AB je nekonečně velká rovnoměrně nabitá rovina, k níž je v bodě P připevněno vlákno, na jehož konci je souhlasně nabitá kulička o tíze G. Náboj kuličky je q a vlákno svírá s nabitou rovinou úhel a. Určete plošnou hustotu náboje crna rovině AB.
10. Kovová koule o poloměru r se nachází v dielektrické kapalině s permitivitou st a hustotou p2. Hustota materiálu kouic je pi Čemu je roven náboj koule, jestliže v homogenním elektrickém poli, orientovaném vertikálně nahoru, se koule v kapalině vznáší ? Elektrické pole je vytvořeno dvěma paralelními deskami, mezi nimiž je vzdálenost d a rozdíl potenciálů U.
1 \). Mezi horizontálními deskami velkého deskového kondenzátoru je zavěšena malá kovová kulička o hmotnosti m. Perioda kmitů kuličky v případě nenabitého kondenzátoru je T/. Po nabití kondenzátoru a kuličky perioda kmitů vzrostla na T? . Jakou silou působí elektrické pole na kuličku ? Určete délku vlákna a periodu kmitů kuličky, změní - li se znaménko jejího náboje na opačné.
12. Vzdálenost desek ve vodorovně položeném kondenzátoru je d. Mezi oběma deskami se nachází nabitá kapička o hmotnosti m. Bude - li mezi deskami nulový rozdíl potenciálů, bude kapička padat s určitou konstantní rychlostí v. Při rozdílu potenciálu U na deskách bude kapička padat s poloviční rychlostí. Určete náboj kapičky.
13. Elektrické poleje vytvořeno dvěma nekonečně velkými paralelními deskami, na nichž se nachází rovnoměrně rozložený náboj s hustotami <jj a a2. Vypočítejte intenzitu E a potenciál <f> elektrického pole mezi deskami a vně desek.
14. Několik malých kapiček rtuti (každá má poloměr r a je na ní náboj q) spojíme do jedné velké kapky. Určete potenciál této kapky a hustotu náboje na jejím povrchu. Všech n kapiček se nachází ve vodě.
15. Na plné kovové kouli o poloměru R se nachází rovnoměrně rozdělený náboj s plošnou hustotou cr. Určete průběh intenzity a potenciálu elektrického pole uvnitř a vně koule.
16. Dvě koncentrické nabité kovové koule o poloměrech R/ < R2 jsou nabity náboji <// a q2. Určete průběh intenzity a potenciálu uvnitř koulí, mezi nimi a vně koulí.
17. ;Vzdálenost mezi dvěma kovovými koulemi je velká ve srovnání s jejich rozměry. Poloměr první koule je R/ a je nabita na potenciál <j>j. Poloměr druhé koule je R2 a je nabita na potenciál <fh. Jaký bude výsledný potenciál obou koulí, spojíme - li je vodičem ?
18. Elektrický náboj je rozložen rovnoměrně v nevodivé kouli o poloměru R s hustotou náboje p. Určete průběh intenzity a potenciálu uvnitř a vně koule.
19. Určete průběh intenzity a potenciálu uvnitř a vně nevodivé kulové vrstvy, nabité s hustotou náboje p a ohraničené kulovými plochami o poloměrech Ri <R2.
20}Určete potenciální energii soustavy čtyř bodových nábojů, nacházejících se ve vrcholech čtverce o straně a. Náboje jsou stejné co do absolutní hodnoty. Všimněte si případu, kdy
a) všechny náboje mají stejné znaménko
b) dva náboje jsou kladné a dva záporné.
21. Jakou práci je třeba vykonat, aby se dvě kuličky s náboji <// a q2, nacházející se ve vzájemné vzdálenosti rj přiblížily na vzdálenost r2 ?
^22)Tři elektrony se pohybují pouze pod vlivem elektrostatických odpudivých sil. Jaká bude jejich rychlost v nekonečnu ? Na počátku se nacházely ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka o straně r a byly v klidu.
23.)Vzdálenost mezi deskami kondenzátoru je d. Od jedné z desek se současně začaly pohybovat ve směru normály k deskám proton a á - částice. Jakou vzdálenost proletí a - částice za dobu, za kterou proletí proton celou vzdálenost mezi deskami ?
'2-í)Deskový vzduchový kondenzátor o kapacitě C je nabíjen baterií s napětím V na svorkách. Určete rozdíl potenciálů na deskách kondenzátoru, zvětšíme - li vzdálenost mezi deskami n - krát. Dále určete práci vnějších sil, potřebnou na oddálení desek, jestliže
a) po nabití desek odpojíme kondenzátor od zdroje,
b) kondenzátor zůstane trvale připojen ke zdroji.
25. Prostor mezi deskami kondenzátoru je vyplněn dielektrikem, jehož objem je V a permitivita sr . Plošná hustota nábojů na deskách kondenzátoru je cr. Určete práci, potřebnou na vytažení dielektrika z kondenzátoru (tření dielektrika o desky je zanedbatelné).
26. Plná homogenní koule o poloměru r je rovnoměrně nabita s objemovou hustotou náboje p. Určete energii elektrického pole vně koule, je - li tato umístěna do dielektrika s permitivitou er.
27. Dva kondenzátory C/ a C2 jsou spojeny sériově a připojeny ke zdroji o svorkovém napětí U. Jak se změní napětí na kondenzátorech, jestliže kondenzátor 1 ponoříme do dielektrika s relativní permitivitou er ?
28. Koule o poloměru Rj je nabita na potenciál fa a koule o poloměru iř? na potenciál fa. Určete náboje a potenciály koulí po jejich propojení kovovým vodičem, jehož kapacitu lze zanedbat. Úlohu řešte s využitím pojmu kapacita (viz př. 17).
29) Odvoďte vztah pro kapacitu kulového kondenzátoru, skládajícího se ze dvou koncentrických koulí o poloměrech R/ a R? (prostor mezi nimi je vyplněn dielektrikem s permitivitou sr). Jaký poloměr musí mít osamocená koule, umístěná do téhož dielektrika, aby měla stejnou kapacitu ?
30. Odvoďte vztah pro kapacitu válcového kondenzátoru, skládajícího se ze dvou souosých válců o poloměrech R] a R2 (prostor mezi nimi je vyplněn dielektrikem s permitivitou sr). Jaký poloměr musí mít osamocená koule, umístěná do téhož dielektrika, aby měla stejnou kapacitu ?
3 1. Tři kondenzátory o kapacitách C/, C? a Cj (viz Obr. 1) jsou připojeny ke zdroji eran. takže napětí na svorkách je U. Určete náboje na každém z kondenzátoru.
r
a
Obr.l.
32. Desky vzduchového kondenzátoru mají náboje +q a -q. Vzdálenost mezi deskami je malá ve srovnání s jejich lineárními rozměry. Jak se změní síla vzájemného působení mezi deskami, zvětšíme - li vzdálenost mezi nimi třikrát ?
33. Kondenzátory Cj a C? jsou nabity na napětí U/ a U? a spojeny paralelně:
1) souhlasně nabitými deskami,
2) nesouhlasně nabitými deskami.
Určete intenzitu elektrického pole mezi deskami v obou případech.
34. Dva deskové kondenzátory o kapacitách Cj a C?, spojené sériově, byly připojeny ke zdroji, na jehož svorkách bylo napětí U a byly nabity. Určete napětí na deskách kondenzátoru po jejich odpojení od zdroje a přepojení na paralelní spojení. Čemu bude rovna práce, potřebná na znovunabití kondenzátoru ?
35. Určete napětí mezi body A a B (Obr.2), je-li napětí mezi body C a D rovno U.
Obr.2.
36,;Na dně nádoby s kapalným dielektrikem o relativní permitivitě £>je upevněna deska kondenzátoru, která má tvar kruhu o poloměru r. Druhá, stejná deska o tloušťce // plave nad dolní deskou. O jakou vzdálenost Ali se ponoří horní deska, nabijeme - li obě desky nábojem s povrchovou hustotou náboje cŕ a <f ? Hustota materiálu desky je p, hustota dielektrické kapaliny po-